Matrici ad anello e spazio vettoriale. Spazio vettoriale lineare: nomina, autorità. Spazio della linea vettoriale

Lezione 6. Spazio vettoriale.

Alimentazione di base.

1. Spazio lineare vettoriale.

2. La base è l'espansione dello spazio.

3. Orientamento allo spazio.

4. Distribuzione di un vettore dietro una base.

5. Coordinate vettoriali.

1. Spazio lineare vettoriale.

Anonimato, che è composto dagli elementi di qualsiasi natura, in cui sono indicate le operazioni lineari: sommando due elementi, che moltiplicando un elemento per un numero si chiamano spazi aperti, E їх elementi - vettori lo spazio è assegnato come і, yak і quantità vettoriali in geometria: . vettori tali distese astratte, di regola, non possono essere concepite con i massimi vettori geometrici. Gli elementi degli spazi astratti possono essere funzioni, un sistema di numeri, matrici, ecc. e, in un caso okreme, vettori variabili. Ecco perché è consuetudine nominare spazi aperti vettoriali .

spazio vettoriale, Per esempio, numero infinito di vettori nonari indicati V1 , senza vettori complanari V2 , vettore impersonale di dimensioni considerevoli (spazio reale) V3 .

Per questo particolare vipadka, è possibile dare un trampolino di lancio alla distesa vettoriale.

Appuntamento 1. Viene chiamato il vettore anonimo spazio vettoriale, Come combinazione lineare, indipendentemente dal fatto che ci siano vettori in un moltiplicatore, è anche un vettore di quel moltiplicatore. I vettori stessi sono chiamati elementi spazio vettoriale.

È più importante sia nella prospettiva teorica e applicata che nella comprensione più astratta (astratta) dello spazio vettoriale.

Appuntamento 2. Bezlich R elementi, in cui per due elementi qualsiasi e viene assegnata la somma e per ogni elemento viene chiamato width="68". vettore(o lineare) spazio aperto, come elementi - vettori, come l'operazione di sommare vettori e moltiplicare un vettore per un numero per soddisfare le menti future ( assiomi) :

1) l'addizione è commutativa, quindi gif width = "184" height = "25";

3) utilizzare un tale elemento (vettore zero), che per qualsiasi cosa https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) per un numero qualsiasi di vettori, tale numero λ può essere uguale;

6) per qualunque vettore e qualunque numero λ і µ equità https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ giusto ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Dagli assiomi che significano lo spazio vettoriale, esclama il più semplice evidenza :

1. Lo spazio vettoriale ha più di uno zero: l'elemento è un vettore zero.

2. Uno spazio vettoriale ha un singolo vettore.

3. Fino all'equanimità vykonuetsya dell'elemento della pelle.

4. Per qualsiasi numero di giorno λ i del vettore zero.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> viene chiamato un vettore che soddisfa l'uguaglianza https://pandia.ru/ testo/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno e impersonale di tutti i vettori geometrici nello spazio є lineare (vettoriale), quindi per gli elementi di cui il moltiplicatore è assegnato all'addizione e alla moltiplicazione per il numero, che soddisfa la formulazione degli assiomi.

2. La base è l'espansione dello spazio.

Іstotnimi concetti di spazio vettoriale є comprensione delle basi e rozmіrnіst.

Appuntamento. La raccolta di vettori linearmente indipendenti presi dall'ordine di canto base che spazio. Vettore. Magazzino base per spazio, chiamato base .

La base dei vettori impersonali, sparsi sulla linea retta dolnіy, puoi usare un vettore rettilineo collineare.

Base in aereo Diamo un nome a due vettori non collineari su questo piano, presi nello stesso ordine.

Se i vettori di base sono perpendicolari a coppie (ortogonali), viene chiamata la base ortogonale, e se q vettori possono essere doppi, uguali a uno, allora viene chiamata la base Ortonormale .

Numero più grande vettori linearmente indipendenti sono chiamati nello spazio pace quello spazio, cioè l'espansione dello spazio aumenta con il numero di vettori di base in questo spazio.

Otzhe, ovviamente lodato ai dagi:

1. Spazio a un mondo V1 è una retta e da cui è formata la base uno collineare vettore https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Grande distesa con banale distesa V3 , la cui base è formata da tre non complanari vettore_v.

Mi sembra che il numero dei vettori base su una retta, su un piano, nello spazio reale vari con quello, che in geometria è comunemente chiamato numero di una retta, di un piano, di uno spazio. È naturale che ciò porti a punizioni più clamorose.

Appuntamento. Spazio vettoriale R chiamato n- pacifico, come nel nuovo mondo non più n vettori linearmente indipendenti e sono assegnati R n. Numero n chiamato pace spazio.

Vіdpovіdno fino a rozmіrnostі spazio aperto podіlyayutsya Kintsevіі illimitato. L'apertura dello zero oltre gli appuntamenti è considerata pari a zero.

Rispetto 1. Nello spazio della pelle, puoi specificare quante basi sono necessarie, ma tutte le basi di questo spazio vengono sommate dallo stesso numero di vettori.

Nota 2. In n- in uno spazio vettoriale pacifico, viene chiamata la base indipendentemente dal fatto che l'ordine ordinato sia o meno n vettori linearmente indipendenti.

3. Orientamento allo spazio.

Per per orientare lo spazio è necessario porre una certa base e esprimerla positivamente .

Si può dimostrare che le basi impersonali dello spazio sono divise in due classi, che sono divise in due sottomultipli, che non si sovrappongono.

a) tutte le basi che appartengono ad un sottomultiplo (classe) possono però orientamento (base dello stesso menu);

b) due basi qualsiasi che giacciono vita p_dmnozhin (classi), mayut protilezhnu orientamento, ( diverso base).

Se una delle due classi di basi è positiva e l'altra è negativa, allora sembra che la distesa orientati .

Spesso, quando ci si orienta nello spazio, viene chiamata una base governare, e інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> nome regola, Tuttavia, quando il terzo vettore è protetto, lo è il giro più breve del primo vettore freccia anti-anno(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riso. 1.8. Base destra (a) quella base sinistra (b)

Risuona con una base positiva

La base destra (livy) può essere assegnata allo spazio e per la regola aggiuntiva della vite "destra" ("sinistra") o attorcigliata.

Per analogia con cim, viene introdotto il concetto di destra e sinistra terzine vettori non comuni, che sono dovuti all'ordinamento (Fig. 1.8).

In questo modo, in un trend selvaggio, due triple ordinate di vettori non pianificati possono avere lo stesso orientamento (lo stesso) nello spazio V3 se il fetore dell'offesa è giusto, o se è offensivo, è sinistro, e l'orientamento opposto (diverso), se uno è giusto e l'altro è sinistro.

Simile a adattarsi e avere spazio V2 (Piazze).

4. Distribuzione di un vettore dietro una base.

Per semplicità, il mirroring può essere visto nell'esempio di uno spazio vettoriale trivimir R3 .

Dai - dovіlny vector tsgo space.

VECTOR SPACE (spazio lineare), una delle comprensioni fondamentali dell'algebra, che rende più facile comprendere la totalità dei vettori (liberi). Nello spazio vettoriale si considerano i vettori se sono oggetti, se possono essere sommati e moltiplicati per numeri; se necessario, in modo che le principali potenze delle operazioni algebriche siano le stesse dei vettori in geometria elementare. Al numero esatto designato, sono sostituiti da elementi del campo K. Lo spazio vettoriale sul campo K è chiamato V impersonale con l'operazione di sommare elementi di V e l'operazione di moltiplicare elementi di V per elementi del campo K , che può portare all'avvento del potere:

x + y \u003d y + x per se x, y z V, in modo che V possa essere piegato in un gruppo abeliano;

λ(x + y) = λ χ + λy per ogni λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх per qualsiasi λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) per qualsiasi λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x per qualsiasi x da V, qui 1 indica l'unità del campo K.

Mozziconi dello spazio vettoriale є: moltiplicatori L 1 L 2 і L 3 di tutti i vettori in geometria elementare, apparentemente su una linea retta, piani nello spazio con le eccezionali operazioni di piegare i vettori e moltiplicare per un numero; spazio vettoriale delle coordinate K n , i cui elementi є tutte le righe (vettori) sono n con elementi del campo K e le operazioni sono date da formule

impersonale F(M, K) di tutte le funzioni assegnate a un moltiplicatore fisso M e assumono valori nel campo A, con le operazioni più significative sulle funzioni:

Gli elementi dello spazio vettoriale e 1 ..., e n sono detti linearmente indipendenti, per l'uguaglianza λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Nella direzione opposta, gli elementi e 1 , e 2 , ·· ·> e n sono detti linearmente incolti. Se lo spazio vettoriale V ha n + 1 elementi e 1 ,..., e n+1 linearmente indeterminati e n elementi linearmente indipendenti, allora V è chiamato spazio vettoriale a n mondi, e n è la dimensione dello spazio vettoriale V Proprio come uno spazio vettoriale V per qualsiasi n naturale esistente n vettori linearmente indipendenti, allora V è chiamato spazio vettoriale infinito. Ad esempio, lo spazio vettoriale L 1 , L 2 , L 3 і K n allo stesso modo 1-, 2-, 3- e n-mіrnі; se M è impersonale, lo spazio vettoriale F(M, K) non è limitato.

Lo spazio vettoriale V e U sul campo K è detto isomorfo, così che φ : V -> U è mutuamente unico, così che φ(x+y) = φ(x) + φ(y) sia per x, y z V e φ (λx) = λ φ(x) per ogni λ z K i x z V. Gli spazi vettoriali isomorfi sono algebricamente indistinguibili. La classificazione degli spazi vettoriali finiti fino all'isomorfismo è data dalla loro diversità: se esiste uno spazio vettoriale n-dimensionale sul campo Do è isomorfo allo spazio vettoriale delle coordinate Do n . Ammira la stessa distesa di Hilbert, Algebra lineare.

Sia R - campo. Elementi a, b, ... н R nomineremo scalari.

Appuntamento 1. classe V vengono chiamati oggetti (elementi) , , , ... di natura sufficiente spazio vettoriale sul campo Р, e vengono chiamati gli elementi della classe V vettori anche se V è chiuso, ma l'operazione “+” è l'operazione di moltiplicazione per scalari da P (cioè, per ogni , íV + í V; "aÎ R aÎV), e vykonuyutsya quindi attenzione:

A 1: Algebra - gruppo abeliano;

A 2: per se a, bÎР, per se o meno ÎV, a(b)=(ab)-legge associativa rilevante;

A 3: per qualunque a, bÎP, per qualunque ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: per ogni az P, per ogni s V, vinciamo a(+)=a+a(leggi distributive aumentate);

A 5: indipendentemente dal fatto che V sia vittorioso o meno 1 = , de 1 - l'unità del campo P - il potere dell'unità.

Gli elementi del campo P sono detti scalari e gli elementi del moltiplicatore V sono detti vettori.

Rispetto. Moltiplicare un vettore per uno scalare non è un'operazione binaria sul moltiplicatore V, ma il ridimensionamento è PV®V.

Diamo un'occhiata agli spazi vettoriali.

Esempio 1. Distesa vettoriale zero (mondo zero) - distesa V 0 =() - che è composta da un vettore zero.

Per qualunque aОР a=. Riconsideriamo la validità degli assiomi dello spazio vettoriale.

Rispettosamente, lo spazio a dimensione zero sul campo R. Quindi, lo spazio a dimensione zero sul campo numeri razionali io sopra il campo numeri del giorno vvazhayutsya raznimi, hoch somma da un singolo vettore zero.

culo 2. Il campo P è esso stesso uno spazio vettoriale sul campo P. Sia V=P. Riconsideriamo la validità degli assiomi dello spazio vettoriale. Poiché P è un campo, P è un gruppo additivo e A1 vince. Guardando indietro allo zdіysnennostі in R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Gli assiomi A 3 e A 4 vincono per il fatto che R è distributivo e si moltiplica liberamente. Frammenti nel campo R è un singolo elemento 1, il potere dell'unità A 5 . In questo ordine, il campo P è uno spazio vettoriale sul campo P.

esempio 3. Spazio vettoriale aritmetico n-dimensionale.

Sia R - campo. Notevolmente impersonale V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Introduciamo sul moltiplicatore V l'operazione di sommare vettori e moltiplicare un vettore per uno scalare secondo le seguenti regole:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + mld) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Vengono chiamati elementi e moltiplicati V vettori di n mondi. Due vettori di n mondi sono detti uguali, poiché le loro componenti bidimensionali (coordinate) sono uguali. Si può dimostrare che V è uno spazio vettoriale sul campo P. Poiché è nota l'operazione di piegare un vettore e moltiplicare un vettore per uno scalare, V è una scelta chiusa di queste operazioni. Poiché l'aggiunta di elementi da V è ridotta all'aggiunta di elementi del campo P e P è un gruppo abeliano additivo, allora і V è un gruppo abeliano additivo. Inoltre, = , de 0 è lo zero del campo Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). In questa classifica vince A1. Le scalature della moltiplicazione dell'elemento V per l'elemento P si riducono alla moltiplicazione degli elementi del campo P, quindi:

A 2 vince per l'associatività del moltiplicatore su P;

A 3 e A 4 sono concatenati dalla moltiplicazione distributiva di come ripiegare su P;

E 5 vince, perché 1 P è un elemento neutro che può essere moltiplicato per R.

Appuntamento 2. L'impersonale V = P n con le operazioni definite dalle formule (1) e (2) è chiamato spazio vettoriale aritmetico n-dimensionale sul campo Р.

Diamo un'occhiata alla sequenza formata dagli elementi dell'azione campo semplice GF(q) (a^, a......ap). Tale sequenza viene chiamata l-by

consistenza sul campo GF)