Espansione algebrica del campo. Perdona l'espansione dell'irrigazione. Ampliamento del magazzino dei campi dell'algebra

estensione del campo algebrico- — Argomento per la protezione delle informazioni Campo di estensione EN … Traduzione tecnica Dovіdnik

Campo E, a cui viene assegnato il campo K come sottocampo. Estensione del tipo Estensione dell'estensione dell'estensione dell'algebra, tutti gli elementi di tale є algebrico su K, ovvero un tale elemento di tale є è la radice di un termine ricco f (x) c ... Wikipedia

Estensione algebrica del campo EÉ K, che è normale e separabile. Per le menti tsikh, E farà da madre al maggior numero di automorfismi su K (poiché E è unico, anche il numero di automorfismi è un grado di espansione significativo e più avanzato).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho vendetta Av yak p_demigroup. Suona sull'espansione dei nomi del gruppo A, sul legame con Atem con altre menti. La teoria più avanzata dell'ideale R. nap_vgroup (nap_vgroup, cosa vendicare Av yak ......) Enciclopedia matematica

Uguale alla mente del termine de rich dell'ennesimo stadio sotto forma di uno o più del cambiamento. A. in. con un suono sconosciuto. uguale alla mente: non c'è numero, suono. i coefficienti sono uguali e є danimi, hnaz. nevidomim e є... Enciclopedia matematica

Campi k algebrico. estensione del campo k, che è un campo algebrico chiuso. Tale estensione per qualsiasi campo è assegnata in modo univoco fino all'isomorfismo. A.h. campi numeri del giornoє campo numeri complessi(Div. … … Enciclopedia matematica

L'estensione algebrica normalmente estesa del campo EÉ K per qualsiasi termine ricco irriducibile f(x) su K, che può avere una radice E, può essere espansa in E in moltiplicatori lineari. Nominati in modo equivalente: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Un'estensione separabile di un'estensione algebrica di un campo che è composto da elementi separabili, tali che tali elementi siano α, è l'annullatore minimo f(x) su K per il quale non ci sono radici multiple. Pokhіdna f (x) può buti per vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Espandere il campo, in modo tale che E, sia fantastico, su Kyak spazio vettoriale. L'espansione dello spazio vettoriale E su K è chiamata grado di espansione ed è designata. Il potere delle ultime espansioni In ... ... Wikipedia

I campi sono un'estensione algebrica del campo L K, che soddisfa una delle menti equivalenti in avanzamento: 1) se il campo L è incorporato nel campo algebrico. chiusura del campo є da un automorfismo del campo L; 2) L campo di disposizione di una data famiglia di polinomi s ... ... Enciclopedia matematica

Espansione algebrica dei campi

Introduzione.

Le università pedagogiche hanno lanciato un programma per un corso unificato di algebra e teoria dei numeri. Il capo del meta-corso è lo sviluppo dei sistemi di base dell'algebra e lo sviluppo della cultura algebrica, che è necessario per il futuro insegnante per una profonda comprensione degli obiettivi e del compito del corso principale di matematica della scuola, nonché corsi opzionali scolastici.

A nostro avviso, l'introduzione più significativa al curriculum scolastico sono gli elementi dell'algebra astratta contemporanea.

Il processo di algebrizzazione della matematica, che ha avuto origine nel XX secolo, non è accettato, ma costretto a cercare di comprendere i fondamenti dell'algebra nella didattica matematica della scuola.

La profondità matematica e la densità della sfera dei campi superbamente ampia saranno combinate con la semplicità delle disposizioni di base: per comprendere i campi, è possibile formulare e portare alla luce un numero intero di importanti teoremi, che spesso compaiono nell'universo della teoria della molteplicità. Pertanto, la teoria dei campi è più adatta per mostrare agli scolari una visione della matematica moderna.

Inoltre, lo sviluppo di elementi nella teoria del campo è familiare agli scolari, grazie alla loro crescita intellettuale, che si manifesta nello sviluppo di quei diversi lati arricchiti della loro mente, qualità e caratteristiche, nonché nello sviluppo degli scienziati , scienza e matematica.

1. Una semplice estensione dell'algebra dei campi.

1.1.Espandi semplicemente il campo.

Sia P[x] un anello di polinomi come x sul campo P, dove P sono sottocampi del campo F. Supponiamo che l'elemento a del campo F sia detto algebrico sul campo P, perché a è la radice di un tale polinomio di passo positivo P[x].

Appuntamento. Sia p< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Sia a0F, P [x] - anello di polinomi in x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

quindi P [a] è impersonale di tutto nella forma a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - essere un numero naturale.

È facile vedere che l'algebra +P[a], +, -, ., 1, è il sottocampo del campo P(a) - il sottocampo; l'intero anello è indicato dal simbolo P[a].

Teorema 1.1. Sia P [x] - un anello di polinomi in x su P e P (a) - una semplice estensione del campo P. Sia y - espandi P [x] su P [a] in modo che y (f) = f ( a) per essere -esimo f іz P[x]. Todi:

(a) per ogni a z P y (a) = a;

(c) y è un omomorfismo dell'anello P[x] sull'anello P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) cerchio-fattore P[x]/Ker y isomorfo all'anello P[a].

Portare. L'affermazione (a) e (b) stride senza intermediari dalla nomina di y. L'introduzione di y salva le operazioni principali dell'anello P[x], quindi per ogni f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

La fermezza (d) risplende senza lasciare traccia dalla y.

Se l'anello y è un omomorfismo dell'anello P[x] su P[a], allora l'anello fattoriale P[x]/Ker y è isomorfo all'anello P[a].

Ultimo 1.2. Sia a un elemento trascendentale sul campo P. Se l'anello polinomiale P[x] è isomorfo all'anello P[a].

Portare. Guardando indietro alla trascendenza di un sopra P Kery=(0). A quel P[x]/(0) - P[a]. Inoltre, il fattore dell'anello P[x] dietro l'ideale zero è isomorfo a P[x]. Inoltre, P[x] - P[a].

1.2.Polinomio minimo di un elemento algebrico.

Sia P [x] un anello di polinomi sul campo P.

Appuntamento. Sia a un elemento algebrico sul campo P. Il polinomio minimo di un elemento a su P è il polinomio di valutazione di P [x] di grado minimo, la cui radice è є a. Il passo del polinomio minimo è detto passo dell'elemento a su P.

È facile capire che per ogni elemento a, che è algebrico su P, esiste un polinomio minimo.

Proposta 1.3. Se a è un elemento di un'algebra su un campo P, e g e j sono il esimo polinomio minimo su P, allora g = j.

Portare. I passi dei polinomi minimi g e j vengono omessi. Se g ¹ j, allora l'elemento a (passo n su P) sarà la radice del polinomio g - j, il cui passo è minore del passo del polinomio j (minore di n), cosa impossibile. Successivamente, g = j.

Teorema 1.4. Sia a un elemento algebrico di grado n sul campo P (aóP) e g è il esimo polinomio minimo su P. Allora:

(a) il polinomio g non è indotto nel cerchio P [x];

(b) quindi f (a) = 0, dove f 0 P[x], g divide f;

(c) il cerchio-fattore P[x]/(g) è isomorfo al cerchio P[a];

(d) P [x]/(g) è un campo;

(e) l'anello P [a] è abbinato al campo P (a).

Portare. Supponiamo che il polinomio g sia indotto nel cerchio P [x], allora in P [x] si possono stabilire tali polinomi j e h che

g = jh, 1£gradi j, gradi h

Allora g(a) = j(a)h(a) = 0. Poiché P(a) è un campo, allora j(a) = Pro oppure h(a) = 0, che è impossibile, frammenti, dietro la mente , l'elemento passi a su P è più p.

Assumiamo che f 0 P[x] e f(a) = 0. Per la mente, g(a) = 0. Allora f e g non possono essere perdonati reciprocamente. Se il polinomio g è irriducibile, allora g divide f.

Sia j un omomorfismo dell'anello P[x] sull'anello P[a] (y(f)=f(a) per ogni f ⊂ P[x]), in vista del Teorema 2.1. 3(b) il nucleo dell'omomorfismo y è composto da multipli del polinomio g, quindi. Ker y = (g). Inoltre, il fattore dell'anello P = P[x]/(g) è isomorfo all'anello P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), quindi P[a] è l'area di integrità. Poiché P @ P [a], anche il quoziente P è anche il dominio di integrità. Dobbiamo mostrare che qualsiasi elemento f diverso da zero da P può essere ridotto a P. Sia f un elemento della classe somma f. Oskіlki f ¹ 0, quindi f(a)¹0; Pertanto, il polinomio g non può essere diviso per il polinomio f. Il polinomio di Oskіlki g è irriducibile, le stelle sono chiare, ma i polinomi f e g sono reciprocamente semplici. Inoltre, Р[x] stabilisce tali polinomi u e v che uf + vg=1. Il valore uf = 1 mostra che l'elemento f è bestiale nell'anello P.

З (с) і (d) P [a] є campo e volume P(a)ÌP[a]. Dall'altro lato, ovviamente, P[a]ÌP(a). Inoltre, P[a] = P(a). Inoltre, l'anello P[a] è abbinato al campo P(a).

1.3. Semplice estensione di Budov dell'algebra dei campi.

Teorema 1.5. Sia a un elemento algebrico di classe positiva n sul campo P. Qualsiasi elemento del campo P(a) può essere rappresentato univocamente da una combinazione lineare di n elementi 1, a, ..., a n-1 con coefficienti Р.

Portare. Sia l'elemento b-be-yakie del campo P (a). Per il Teorema 1.4, P(a) = P[a]; inoltre, in P[x] il polinomio f è tale che

Sia g il polinomio minimo per a su P; in virtù del teorema, il primo passo è più avanzato.

(2) f = gh + r, de r = 0 o der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Si mostra che l'elemento è rappresentabile in modo univoco in una combinazione lineare di elementi 1, a, ..., a n-1 . Avanti

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d io 0 P)

Be-yaké una tale manifestazione. Diamo un'occhiata al polinomio j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (× n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, se il passaggio j è minore di n, impossibilmente, scotta a causa di (3) і (4) j(a) = 0 і il passaggio j è il tipo più piccolo di passaggio g. È meno possibile modificare, se j \u003d 0, quindi s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. Inoltre, l'elemento b può essere rappresentato in modo univoco come una combinazione lineare di elementi 1, a,…,a n-1 .

1.4 Variazione sotto forma di irrazionalità algebrica nella bandiera di una frazione.

Un compito su zvіlnennya sotto forma di irrazionalità dell'algebra nello stendardo di una frazione nel passaggio. Sia a un elemento algebrico di grado n>1 sul campo P; f і h - polinomi dal cerchio dei polinomi P[x] e h(a) ¹0. Occorre fornire l'elemento f(a)/h(a)0P(a) nel caso di una combinazione lineare di gradini dell'elemento a, quindi nel caso di j(a),

Tse vdannya virishuєtsya così. Sia g il polinomio minimo per a su P. Oskilki, secondo il Teorema 1.4, il polinomio non è indotto su P і h(a) ¹ 0, quindi g non divide h і, inoltre, i polinomi h і g sono reciprocamente semplice. Pertanto, P[x] ha tali polinomi u e v che

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Inoltre, f(a)/h(a) = f(a)u(a), inoltre, f,u 0P[x] e f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, noi zvіlnilis con іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Sembra irrazionalità all'alfiere

I termini ricchi p(x) e g(x)=-x 2 +x+1 sono mutuamente semplici. Pertanto, ci sono termini così ricchi j e y che

Per vіdshukannya j і y zastosuemo Algoritmo euclideo per polinomi p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

In modo tale,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki lo sa

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

In modo tale,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Estensione pieghevole dell'algebra dei campi.

2.1. Espansione del campo di Kintseve.

Siano P i sottocampi del campo F. Quindi possiamo guardare F come uno spazio vettoriale su P, quindi possiamo guardare lo spazio vettoriale +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - l'operazione di moltiplicazione degli elementi di F per lo scalare l0P.

Appuntamento. L'espansione del campo F è chiamata terminale, come F, come spazio vettoriale su P, è possibile terminare l'espansione. Tsya rozmirnіst significava.

Proposta 2.1. Se a è un elemento algebrico di grado n su P, allora = n.

Questa proposizione sfolgora clamorosamente attraverso il Teorema 1.5.

Appuntamento. Un'estensione F di un campo P è detta algebrica, poiché un elemento skin di F è algebrico su P.

Teorema 2.2. Se un'estensione finita del campo F è algebrica su P.

Portare. Sia F n-smooth su P. Il teorema è ovviamente vero, poiché n = 0. Assumiamo che n>0. Se n+1 elementi di F sono linearmente a maggese su P. Sokrema, un sistema linearmente a maggese di elementi 1, a, ..., a n , allora P tali elementi di 0 , 1, ..., c n non sono tutti uguali a zero , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

L'elemento a è anche algebrico su P.

È significativo che ci siano estensioni dell'algebra di campo che non sono estensioni terminali.

2.2. Ampliamento del magazzino del campo dell'algebra.

L'estensione F del campo P è detta comprimibile, così com'è

sottocampo di lancetta crescente L i del campo F tale che

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Teorema 2.3. Sia F - estensione finale del campo L і L - estensione finale del campo P. Quindi F - estensione finale del campo P i

=@[L:P].

Portare. Avanti

(1) a 1 ,…,am - base del campo L su P (come uno spazio vettoriale) e

(2) b 1 ..., b n - base del campo F su L . Qualsiasi elemento d di F può essere espresso linearmente attraverso la base:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Il coefficiente 1 k può essere espresso linearmente attraverso la base (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​​​(p ik 0P).

Sostituendo il punteggio ai coefficienti l k (3), è accettabile

d = p un un b k .

In questo modo, l'elemento skin del campo F può essere rappresentato come una combinazione lineare di elementi del moltiplicatore B, de

B = (a io b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

È significativo che il moltiplicatore B somma a nm elementi.

Mostriamo che F è una base su P. Dobbiamo mostrare che il sistema di elementi del moltiplicatore B è linearmente indipendente. Avanti

(5) åc ik a io b k = 0,

de ci ik ​​0 P. Poiché il sistema (2) è linearmente indipendente su L , allora (5) segue l'uguaglianza

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​​​= 0 (k = 1,..., n).

Poiché gli elementi a 1 , ..., a m sono linearmente indipendenti su P, allora (6) segue l'uguaglianza

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

per mostrare che i coefficienti in (5) sono uguali a zero. Pertanto, il sistema degli elementi B è linearmente indipendente ed è la base di F su P.

Otzhe, inserito, scho = nm = ×. Anche F є ultime estensioni del campo P і maє misce formula (I).

Appuntamento. L'estensione F del campo P è detta algebrica pieghevole, in quanto è la lancia crescente dei sottocampi del campo P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

tale che per i = 1,..., k campi L i є espandiamo semplicemente l'algebra del campo L i-1 . Il numero k è chiamato lancia dozhina (1).

Ultimo 2.4. Le estensioni di magazzino dell'algebra F del campo P sono estensioni terminali del campo P.

La dimostrazione può essere facilmente compiuta per induzione dietro la lancia (1) sulla fondatezza del Teorema 2.3.

Teorema 2.5. Sia a 1 ,..., ak algebrico sul campo P di elementi del campo F . Lo stesso campo P(a 1 ,..., ak) è l'ultima estensione del campo P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Allora L 1 = P è una semplice estensione dell'algebra del campo L 0 ; L 2 è una semplice estensione dell'algebra del campo L 1, poiché

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) ecc.

In modo tale,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) per i = 1, ..., k, allora il termine skin del Lanziuk (2) è una semplice estensione dell'algebra del termine forward del Lanziuk. Successivamente, il campo F è un'estensione ripiegabile dell'algebra del campo P. Anche in questo caso, per il Corollario 2.4, il campo F è un'estensione terminale del campo P .

Ultimo 2.6. Ampliamento di magazzino del campo algebra є ampliamento del campo algebrico.

2.3. Semplicità di espansione del magazzino dell'algebra dei campi.

Teorema 2.7. Sia il campo numerico F un'estensione pieghevole dell'algebra di campo P . Quindi F є semplificheremo le estensioni dell'algebra del campo P.

Portare. Sia P - L - F, inoltre, L = P (a), F = L (b) i, anche F = P (a, b).

Siano f e g polinomi minimi su P, che è valido per i numeri aeb e deg f = m, deg g = n. I polinomi f і g non possono essere sovrapposti a P і, quindi non può trovarsi nel campo E di numeri complessi di radici multiple. Avanti

a = a 1 ,..., a m - radici del polinomio f C i

b = b 1 ,..., b n - radice del polinomio g C.

Diamo un'occhiata al kitsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P è un moltiplicatore numerico (i, quindi, non limitato), quindi P è il numero c, vidminne negli elementi del moltiplicatore M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 un io + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Vero, in tempi di uguaglianza a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a io -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo ha utilizzato la scelta del numero c.

Sia F 1 = P(g) e F 1 - un anello di polinomi in x. Sia h = f(g - cx) un polinomio da F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Si può dimostrare che x-b è la più grande consonante dei polinomi heg nell'anello F 1 [x]. Scala g(b) = 0, quindi x-b divide g E[x]. Daly, a causa di (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Per quello x-b dividi il polinomio h E[x]. In questo ordine, x-b è un dormiente heg nell'anello E[x].

È stato riferito che g і h С non ci sono radici, vіdmіnkh vіd b. Diciamo solo che b k , k0(2 ,..., n) è la sua radice selvatica. Allora h(b k) = f(g - сb k) = 0. Allora esiste un tale indice i0(1 ,..., m) ). Pertanto, è possibile che x-b sia la traversina più grande di g e h in E[x]. Oskіlki x - b - polinomio di normalizzazione, quindi la stella è chiara, scho x - b є il più grande dilnik caldo g e h y kіltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] e b 0 F 1 = P(g).

Inoltre, a = g - cb 0 F 1 . In modo tale,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Campo numeri algebrici.

La classe dei sottocampi del campo dei numeri complessi è una delle più importanti: il campo dei numeri algebrici.

Appuntamento. Un numero algebrico è detto numero complesso, che è la radice di un polinomio di grado positivo a coefficienti razionali.

È significativo che il numero di un'algebra, sia esso un numero complesso, sia algebrico sul campo Q. Sokrema, sia che sia un numero razionale, è algebrico.

Teorema 2.8. L'impersonale A di tutti i numeri algebrici è chiuso nell'anello E = +C, +, -, 1, dei numeri complessi. L'algebra A = +А, +, -, , 1 è un campo, un sottocampo del campo E.

Portare. Siano a e b elementi di A. Per l'ultima 2.6, il campo Q(a, b) è algebrico su Q. Pertanto, i numeri a + b, -a, ab, 1 sono algebrici, quindi i multipli di A giacciono . , l'impersonale A è chiuso secondo le operazioni di testa del ciclo E. Pertanto, l'algebra A è un sottociclo del ciclo E - è un ciclo.

Inoltre, poiché a è un elemento diverso da zero in A, a -1 0 Q (a, b) e che a -1 giacciono in A. Anche in questo caso, l'algebra A è un campo, sottocampi del campo E.

Appuntamento. Il campo A = +A, +, -, , 1 è detto campo dei numeri algebrici.

Mostra che il numero a = algebrico.

Soluzione. Z a \u003d urlando a-.

Zvedomly insultando parti dell'equivalenza rimanente nel terzo passaggio:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Ora le parti offensive della gelosia sono portate a un altro livello:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

In questo rango a є la radice di un termine ricco

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

da coefficienti razionali. Ce significa che a è un numero algebrico.

2.5. Chiusura algebrica del campo dei numeri dell'algebra.

Teorema 2.9. Il campo numerico di un'algebra è chiuso algebricamente.

Portare. Sia A [x] un anello di polinomi in x sul campo A dei numeri algebrici. Avanti

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Sii un polinomio del passo positivo A[x]. Dobbiamo dimostrare che f può essere radicato in A. Se f0C[x] e il campo E è algebricamente chiuso, allora f può essere radicato in E in modo che abbia un numero s così complesso che f (c) = 0. Sia L = Q (a 0 , ..., e n) e L(c) è una semplice estensione dell'algebra del campo L oltre l'aiuto di c. Allora Q - L - L (c) è un'estensione terminale dell'algebra del campo L. Per il Teorema 2.2, L è un'estensione terminale del campo Q. In virtù del Teorema 2.3, L (c) è un'estensione terminale di il campo Q. il campo L (c) è un'estensione dell'algebra del campo Q i, quindi c0A. Quindi, se c'è un polinomio in A[x] di passo positivo A può avere una radice, allora il campo A è algebricamente chiuso.

3. Estensioni separabili e inseparabili.

Forza D - campo.

Sicuramente, come può un polinomio D[x] non scomponibile essere madre di radici multiple?

Affinché f(x) sia radici multiple, i termini ricchi f(x) e fN(x) sono dovuti al moltiplicatore comune della doppia costante della madre, che può essere calcolato già in D[x]. Anche se il polinomio f(x) è inscomponibile, allora con qualsiasi termine ricco di grado inferiore f(x) non può essere madre di moltiplicatori globali incomprensibili, inoltre, può esserci uguaglianza f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Quindi fN(x) = O, il coefficiente skin è colpevole di zero:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Ciò che è importante è lo zero caratteristico della stella, cioè a n \u003d 0 all n ¹ 0. Inoltre, un polinomio incoerente può essere la madre di radici multiple. Al momento delle caratteristiche p_evenness na n \u003d 0 è possibile avere n ¹ 0, ma può anche essere uguale

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Indietro: se f(x) può assomigliare a questo, allora fN(x)=0.

Con questo vipadka possiamo scrivere:

Lo stesso Tim ha portato l'affermazione: Nel caso della caratteristica zero, il termine ricco f (x) non è divisibile in D [x], può essere solo una radice semplice, nel caso della caratteristica p, il polinomio f ( x) (che è anche la stessa della costante) può essere un multiplo della radice, se è possibile mostrarlo come un polinomio j vіd x p.

A volte, è possibile che j(x) sia un polinomio a modo suo x p . Allora f(x) è un polinomio come x p 2 . Sia f(x) - termine ricco come xpe

ale є polinomio vіd x pe +1 . Comprensibilmente, il polinomio y(y) è inscomponibile. Dali, y¢(y) ¹ 0, perché altrimenti y(y) assomiglierebbe a c(y p) i, allora f(x) assomiglierebbe a c(x pe + 1), il che sostituirebbe l'omissione. Otzhe, y (y) può essere solo una radice semplice.

Espandiamo il polinomio y per espandere il campo principale sui fattori lineari: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Sia a i la radice del polinomio x pe - bi. Quindi x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a io pe = (x-a io) pe .

Inoltre, a i є r e -radice multipla del polinomio x pe - b i

f(x) = J(x -a i) p e.

I baffi della radice del polinomio f(x) possono, in questo modo, avere la stessa molteplicità di p e.

Il passo m del polinomio y è detto passo di riduzione del polinomio f(x) (o radice a i); il numero e è detto esponente del polinomio f (x) (o radice a i) sul campo D.

de m più costoso numero di diverse radici del polinomio f(x).

Se q è la radice di un polinomio che non è scomponibile nella circonferenza D[x], che può essere più semplice delle radici, allora q è detto elemento separabile su D o elemento del primo tipo su D 1). Con questo, un termine ricco inestricabile, le cui radici sono separabili, viene chiamato separabile. Diversamente, l'elemento algebrico q ed il termine ricco inscomponibile f(x) sono detti inseparabili o un elemento (come un termine ricco) di tipo diverso. Ora, un'estensione dell'algebra S, i cui elementi sono tutti separabili su D, è chiamata separabile su D, e qualsiasi altra estensione dell'algebra è chiamata inseparabile.

In tempi di caratteristica zero, si dice che la pelle non è un termine ricco inscomponibile (e quindi l'estensione cutanea dell'algebra) è separabile. Ci piacerebbe sapere che la maggior parte delle estensioni di campi più importanti e importanti sono separabili e che conosciamo la qualità della classe di campi, quindi non sono possibili estensioni inseparabili (le cosiddette “finite il campo”). Z tsієї causa all pov'yazane specialmente con estensioni inseparabili digitate in un carattere diverso.

Vediamo ora l'estensione dell'algebra S = D (q). Se i gradini n sono uguali f(x) = 0, il che significa un gradino più grande e più avanzato (S:D), la riduzione dei gradini m è uguale al numero di isomorfismi del campo S in senso avanzante: si può solo guardare questi isomorfismi [email protetta]", poiché tutti gli elementi del sottocampo D sono riempiti con i non violento, quindi, S viene trasferito al campo equivalente S" (isomorfismo del campo S sul campo D) e per qualsiasi campo-immagine S "giacciono insieme con il campo S al centro del campo W. tsikh umovah maє mistse teorema:

Con un'opportuna scelta del campo W, l'estensione S=D(q) può avere esattamente m isomorfismi su D, e per qualsiasi scelta del campo W, il campo S non può avere più di m tali isomorfismi.

Portare. L'isomorfismo skin su D è responsabile della traduzione dell'elemento q nelle sue associazioni con l'elemento q" di W. Scegli W in modo che f(x) si espanda su W in moltiplicatori lineari; quindi sembra che l'elemento q possa avere esattamente m occorrenze elementi q,q Se sì, come bi, il campo W non è stato scelto, l'elemento q non è matima in più di m casi. È rispettabile ora che l'isomorfismo cutaneo D(q)@D(q") su D dipende completamente dall'identità data di q® q". Ovviamente, se q passa a q "e tutti gli elementi di D vengono lasciati sul posto, allora l'elemento

3a k q k (yak 0D)

colpevole vai a

e cym sta per isomorfismo.

Sokrema, poiché q è un elemento separabile, allora m = n і, quindi il numero di isomorfismi sul campo principale è esteso in modo più uniforme.

Se è così, se il campo è fisso, che può coprire tutti i campi che si guardano, in cui possono essere localizzate tutte le radici dell'equalizzazione della pelle f (x) = 0 (come, ad esempio, nel campo dei numeri complessi) , quindi in qualità di W puoi scendere in campo i una volta per tutte A questo, aggiungi l'aggiunta di "in mezzo alla W deaky" in tutte le affermazioni sull'isomorfismo. Quindi inizia a riparare campi teoricamente numerici. Ti ricordiamo che per i campi astratti puoi utilizzare anche il campo W.

Il teorema citato è la seguente affermazione:

Come allargare S per uscire da D agli arrivi successivi m

elementi algebrici a 1 , ..., a m , inoltre, skin dietro a i , є root

non espandibile su D(a 1 , ..., a i-1) è uguale allo stadio ridotto n" i , quindi

l'espansione di S può essere esattamente ?n i ¢ isomorfismi su D i allo stesso modo

nessuna estensione numero maggiore tali isomorfismi del campo S.

Portare. Per m = 1, il teorema è stato ulteriormente sviluppato. Supponiamo її valido per l'estensione S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є esattamente n i ¢ isomorfismi del campo S su D.

Sia S 1 ®S 1 uno degli isomorfismi Õ n i ¢. Si sostiene che nell'ordine inverso del campo inverso W il vino può essere continuato fino all'isomorfismo S = S 1 (am) @ S = S (am) non più di n_zh n m modi.

L'elemento am soddisfa l'equazione f 1 (x) = 0 su S 1 con n¢ m radici diverse. Dopo l'isomorfismo aggiuntivo S 1 ® S 1, il termine ricco f 1 (x) può essere tradotto in un altro termine ricco f 1 (x). Ale todі f 1 (x) in modo ampiamente ampliato, ma n m radici diverse e non di più. Lascia una m - una di queste radici. Osservando la scelta dell'elemento a m, l'isomorfismo S 1 @S 1 è tre rispetto all'isomorfismo S (a m) @ S (am) per a m ®a m in uno e un solo modo: in effetti, la continuazione è data dalla formula

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Campioni della scelta dell'elemento a m possono essere definiti in n "m modi, utilizzando n" m continuazioni di questo tipo per l'isomorfismo inverso å 1 ®å 1

Oskіlki ha la propria linea e questo isomorfismo può essere convertito

Х n" i modi,

allora tutto è vero (quel campo W, in cui si trovano tutte le radici di tutti uguali, che si guardano)

Õ n" i × n" m = Õ n" i

isomorfismi dell'estensione di S sul campo D, che è stato necessario portare.

Se n i è un passo reale (non ridotto) dell'elemento a i su D (a 1 ,...,a i-1), allora n i più passi dell'estensione D (a 1 , ... , a i) del campo D(a 1 , .. ., a i-1);

otzhe, passi (S:D) altro

Come abbinare il numero al numero di isomorfismi

Il numero di isomorfismi dell'estensione S = D(a 1 , ... , a m) su D (per ogni data estensione W) è un passaggio aggiuntivo (S: D) anche se solo se l'elemento skin a i è separabile campo D(a 1 , .. , a i-1). Se vuoi che un elemento a i sia inseparabile su un campo separato, il numero di isomorfismi è inferiore al grado di espansione.

Dal punto del teorema, appariranno subito alcune importanti osservazioni. Per noi, il teorema afferma che la potenza dell'elemento skin a i è separabile sul campo frontale e la potenza dell'estensione S stessa è indipendente dalla scelta degli elementi che generano a i . Poiché un elemento aggiuntivo del campo può essere preso come prima generazione, l'elemento b sembra essere separabile, come lo sono tutti gli a i. Padre:

Gli elementi a i , ... ,a n i vengono aggiunti in sequenza al campo D, l'elemento skin a i appare separabile sul campo, rimuoviamo gli elementi frontali adiacenti a 1, a 2 ,...,a i-1 espansione

S = D(a 1 , ... ,a n)

separabile su D.

Zokrema, suma, retail, tvir che gli elementi separati privatamente sono separabili.

Inoltre, poiché b è separabile su S e il campo S è separabile su D, l'elemento b è separabile su D. Ciò è spiegato dal fatto che b soddisfa il numero finale di coefficienti a 1 , ... , a m з S i, ancora, è separabile su D (a 1, ..., a m). Tim stessa estensione separabile

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, può essere dato lo stesso posto: il numero di isomorfismi di un'estensione separabile terminale S su un campo D a un grado di estensione maggiore (S: D).

4. Espansione illimitata dell'irrigazione.

Il campo cutaneo emerge dal suo semplice sottocampo per l'aiuto del chi finale dell'inesauribile espansione. In questa divisione si vedono innumerevoli espansioni di campi, prima algebriche, e poi trascendentali.

4.1. Campi algebricamente chiusi

Tra l'espansione dell'algebra di un dato campo, un ruolo importante è svolto, in particolare, dalla massima espansione dell'algebra, in modo da non consentire un'ulteriore espansione dell'algebra. Il motivo di tali proroghe sarà riportato in questo paragrafo.

Affinché il campo W sia la massima estensione dell'algebra, è necessario far avanzare la mente: il polinomio skin del cerchio W[x] può essere scomposto in moltiplicatori lineari. La mente Tsya è sufficiente. Infatti, poiché un polinomio skin in W[x] è scomposto in moltiplicatori lineari, allora tutti i polinomi semplici in W[x] sono lineari e gli elementi skin di qualsiasi estensione dell'algebra W" del campo W sembrano essere la radice di qualsiasi termine lineare ricco x - a in W[x] , ovvero funziona con l'elemento effettivo a del campo W.

A quel damo è la stessa sorte:

Il campo W è chiamato chiusura dell'algebra, perché qualsiasi polinomio in W [x] può essere scomposto in fattori lineari.

Altrettanto importante è il seguente: il campo W è algebricamente chiuso, così che il polinomio in W[x] può essere un polinomio distinto in W[x] con una sola radice, cioè con un unico moltiplicatore lineare in W[x] .

In effetti, come un vikonan così intelligente e un bel po' di incassi, il polinomio f (x) è scomposto in fattori che non sono scomposti, quindi tutto il fetore è da biasimare ma lineare.

Il "Teorema di base dell'algebra" afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso. Un punto di avvicinamento di un campo algebricamente chiuso può essere il campo di tutti i numeri algebrici complessi, in modo che i numeri complessi impersonali, come essere soddisfatti di qualsiasi tipo di uguaglianza con coefficienti razionali. La radice complessa è uguale ai coefficienti dell'algebra є e realmente algebrica non solo nel campo dei numeri algebrici, ma anche nel campo numeri razionali, cioè essi stessi sono numeri algebrici.

Qui mostreremo come indurre un'estensione algebrica chiusa di un campo P sufficientemente dato e in modo puramente algebrico. Steinitz a sdraiarsi così

Teorema principale. Per il campo skin P, un'estensione algebrica chiusa dell'algebra W. Esattamente fino all'equivalenza, l'estensione è definita in modo univoco: se esistono due estensioni algebriche algebriche chiuse W, W" del campo P sono equivalenti.

La dimostrazione di questi teoremi è dovuta all'eccedenza del lem:

Lemma 1. Sia W un'estensione dell'algebra dei campi P. Mente sufficiente affinché W sia una chiusura dell'algebra, є espansione in fattori lineari di qualsiasi polinomio in P[x] nell'anello W[x].

Portare. Sia f(x) un polinomio addizionale da W[x]. Se vin non è scomposto in moltiplicatori lineari, allora si può prendere una esima radice ai per arrivare al supercampo superiore W. L'elemento a è algebrico su W, e W è un'estensione dell'algebra del campo P; la radice del polinomio successivo g(x) in P[x]

Lemma 2. Se il campo P è ordinato olisticamente, allora l'anello dei polinomi P[x] può essere ordinato olisticamente e nella misura in cui questo campo ordinato P sarà triplo.

Portare. Cambia significativamente l'ordine tra i polinomi f(x) in P[x] come segue: sia f(x)

1) il passo f(x) è un tipo più piccolo di passo g(x);

2) passo f(x) più passo g(x) e più n, quindi.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i per il prossimo indice k:

e i = b i per i

un k

Se è così, per il polinomio 0 viene data la colpa: gli viene assegnato un passo 0. È ovvio che un tale modo di uscire in ordine lo è, per il senso di cui P [x] è completamente ordinato. Verrà mostrato come segue: nella skin plurale non vuoto di segmenti ricchi, c'è un sottomultiplo non vuoto di segmenti ricchi di grado più piccolo; lascia che sia così buono. al sottomultiplo nominato є avere un proprio sottomoltiplicatore di linea di termini ricchi con il primo a 1 e così via minimnosti, che sono consecutivamente vittoriosi, a scelta); questo polinomio è il primo elemento del moltiplicatore dato.

Lemma 3. Se il campo P è ordinato nel suo insieme, il termine ricco f(x) dello stadio n і n simboli a 1 ..., a n allora il campo P (a 1 ,..., a n), in quale f(x) sarà espansa su moltiplicatori lineari

Õ(x-a i), sarà un singolo rango e un intero

ordine. Campo P in sensi tsiy є vіdrіzkom.

Portare. Aggiungiamo la radice a 1 ..., a n successivamente, dopo di che P = P 0 vinciamo successivamente i campi Р 1 , ..., Р n . Assumiamo che R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - il campo sia già stato indotto e che P sia un contratto con R i-1; allora R sarò così.

Prima del problema 2, l'anello dei polinomi Р i-1 [x] è ordinato in un tutto. Il polinomio f viene scomposto ad ogni kіltsi in fattori inestricabili, il centro dei quali è il primo posto x - a 1 ,..., x - a i-1 ; tra gli altri plurali, sia f i (x) il primo nel senso dell'ordine chiaro. Insieme al simbolo a i, che designa la radice del termine ricco f i (x), indichiamo il campo P i = P i -1 come la totalità delle somme

de h è il passo del termine ricco f i (x). Se f i (x) è lineare, allora naturalmente rispettiamo P i = P i -1; il carattere a i non è necessario. Incoraggia il campo nel suo insieme a ricevere ulteriori informazioni offensive: l'elemento pelle del campo

forse un membro ricco

E gli elementi del campo sono ordinati allo stesso modo, come l'ordinamento dei loro termini ricchi.

Ovviamente, la stessa Р i-1 è in relazione a Р i, ea quella і P - in relazione a Р i.

Tim i campi P 1 ,..., P n stessi sono motivati ​​da un intero ordinamento. Il campo Р n è ricercabile in modo univoco dal primo campo P(a 1 ,..., a n).

Lemma4

Portare. Per due elementi qualsiasi a, b, combinare due campi S a , S b , in modo da sostituire a, b e uno qualsiasi prima dell'altro. Nel campo rauco, gli elementi a + b e a × b sono assegnati agli elementi nel campo skin, in modo che aeb possa essere vendicato, poiché due di questi campi sono uno davanti all'altro e il sottocampo yogo. Ad esempio, per portare la legge di associatività

ab g = un bg,

conosciamo i campi intermedi S a , Sb, S g quelli che coprono altri due campi (il più grande); in quale campo c'è a, b e g i nella nuova legge di associatività vikonano. Allo stesso modo vengono riviste le regole reshta per il calcolo degli elementi dell'associazione.

La dimostrazione del teorema principale è divisa in parti: il sottocampo W e la dimostrazione dell'unità.

Campi di Pobudov W. Lemma 1 dimostra che per un'estensione W del campo P apparentemente algebricamente chiusa è sufficiente indurre una tale estensione dell'algebra del campo P, in modo che il polinomio in P[x] possa essere espanso su queste estensioni in moltiplicatori lineari.

1. Il campo P f є ob'ednannyam campo P і tutti i campi S g per g

2. Il campo P f è ordinato in modo tale che P e tutti i campi S g con g

3. Il campo S f deriva da R f alle radici date del termine ricco f dopo i simboli addizionali a 1 ,..., a n vale fino a lemi 3.

È necessario precisare che in questo modo l'intero ordinamento dei campi Р f , S f può essere assegnato esplicitamente dall'intero campo di ordinamento, così come tutti gli forward Р g , S g sono già assegnati più spesso.

Yakshcho vikonano 3, quindi nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 vediamo che il campo P i skin field S g (g

Р - vіdrіzok S h a h

S g - doppia S h a g

Suona come P i campi S h (h b, yak può essere salvato in Pf. Lo stesso ordine è lo stesso in tutti i campi P abo S g yak yak yak a, quindi ib, a quello tutto il campo є v_drіzkami uno di uno. Otzhe, viene nominato l'allestimento su ordinazione. Coloro che sono completamente ordinati impersonali, ovviamente, poiché la pelle non è vuota impersonale x in P f, per vendicare almeno un elemento dell'opera del campo deyakogo S g, e questo è il primo elemento di x x Ç Lavoro x Ç S g. Questo elemento è un'ora є i il primo elemento x.

Guardando la tua mente 3, il polinomio f(x) viene nuovamente scomposto in fattori lineari nel campo S f . Inoltre, dopo l'aiuto dell'induzione transfinita, si mostra che S f è algebrica su P. Si assume infatti che tutti i campi S g (g

Ora memorizziamo il pool W di tutti i campi Sf; zgіdno z lemoy 4 ha vinto є campo. L'intero campo è algebricamente su P e tutti i termini ricchi f sono espansi su di esso (i piccoli polinomi skin f sono già espansi su S f). Inoltre, il campo W è algebricamente chiuso (Lema 1).

L'unità del campo W. Siano W e W" due campi che sono estensioni algebriche ed algebriche chiuse del campo P. Portiamo l'equivalenza di questi campi. è considerato anche da uno di questi argomenti) sottomultiplo ¢ in W " e qualche isomorfismo

P(Â) @ P(¢).

Il resto di maggio sarà soddisfatto dell'imminente spiving ricorrente.

1. L'isomorfismo P(Â) @ P(¢) è dovuto all'esaurimento dell'elemento pelle del campo P sul campo.

2. L'isomorfismo P(Â) @ P(¢) con ÁÌ Â può essere un'estensione dell'isomorfismo P(Â) @ P(Á").

3. Se  è l'elemento rimanente a, così che  = ÁÈ(a), e se a è la radice del termine ricco f(x) che non può essere scomposto in P (Á), allora l'elemento a" è a colpa della prima radice del genere P(Á) @ P(I"), un polinomio f¢(x) in un ben ordinato campo W".

È necessario mostrare che l'isomorfismo P(Â) @ P(¢) è effettivamente assegnato allo stesso modo, anche se i vini sono già assegnati per tutti gli archi diretti di ÁÌ Â. Qui è necessario distinguere due punti.

Prima goccia. Impersonale non può avere il resto dell'elemento. Lo stesso elemento in pelle dovrebbe giacere sulla culatta anteriore cantante Á; a quello  є alle annaffiature combinate di Á, a quello P(Â) - ai campi cumulativi P(Á) per ÁÌ Â. Se gli elementi skin degli isomorfismi P(Á) @P(Á") procedono dai precedenti, allora all'elemento skin a con tutti questi isomorfismi viene assegnato un solo elemento a". Pertanto, vi è una e più di una flessione P(Â) → P(¢), che continua tutti gli isomorfismi diretti P(Á) → P(Á"), e l'inflessione stessa a®a". È ovvio che è un isomorfismo e una combinazione di 1 e 2.

Un'altra goccia. Anonimo maє restante elemento a; inoltre,  = ÁÈ(a). Infine, l'elemento a" associato all'elemento a è assegnato in modo univoco. Poiché a" sul campo P(I") (nel senso dell'isomorfismo analizzato) soddisfa "lo stesso" incoerentemente uguale a i a su P(I), quindi l'isomorfismo P(I) → P(I") (nel caso, se I è vuoto, allora lo stesso isomorfismo P®P) sale all'isomorfismo P(I, a) ®P(I", a¢ ), quando a passa per a". L'isomorfismo dermico è stato identificato inequivocabilmente dalla suggestione della pelle, quindi la funzione cutanea razionale j(a) con i coefficienti del linguaggio generale passa alla funzione j "(a") con i coefficienti equivalenti della Á". ) ® P(¢) ovviamente corrisponde a 1 e 2.

Pertanto, la sostituzione dell'isomorfismo P(Â)→P(¢) è completata. Significativamente attraverso W" la generalizzazione di tutti i campi P(В¢); poi c'è un isomorfismo P(W)®W" o W®W", che aggiunge un elemento del campo P allo spazio della pelle. Poiché il il campo W è algebricamente chiuso, così può Buti і W ", ea quello W" viene abbinato il campo richiesto W¢.

Il significato di un'estensione algebricamente chiusa di un dato campo è lo stesso in quanto, fino al punto di equivalenza, è possibile superare le possibili estensioni del campo algebrico. Più precisamente:

Se W è un'estensione algebrica chiusa dell'algebra del campo P e S è un'estensione abbastanza algebrica del campo P, allora al centro di W c'è un'estensione generale di S 0 , che equivale a un'estensione di S.

Portare. Possiamo estendere S a una certa estensione algebrica chiusa W". Sarà algebrica e su P, e quindi equivalente a un'estensione W. Sotto qualsiasi isomorfismo, per tradurre W" in W, prendendo l'elemento pelle inviolabile di P, il campo S passa in un deak equivalente al sottocampo yoma S 0W.

4.2. Perdona l'espansione trascendente.

La pelle è semplicemente un'estensione trascendentale del campo D, apparentemente equivalente al campo privato D(x) dell'anello dei polinomi D[x]. A quel mi vivchimo tse campo privato

Gli elementi del campo W sono funzioni razionali

Teorema. L'elemento trascendentale h del passo n è trascendentale su D і il campo D(x) è un'estensione dell'algebra del campo D(h) del passo n.

Portare. La presentazione h = f(x)/g(x) non è di breve durata. Stesso elemento x soddisfatto

g(x)×h - f(x)=0

con coefficienti D(h). I numeri dei coefficienti non possono essere uguali a zero. Infatti, se tutte le puzze fossero uguali a zero e ak lettera bi nello stesso mondo x essere un coefficiente diverso da zero del polinomio g (x), e b k - un coefficiente diverso da zero del polinomio f (x), allora non basterebbe che la madre fosse uguale

stelle h = b k / ak = const, che è una superstizione. Anche in questo caso, l'elemento x è algebrico su D(h).

Se l'elemento h è seppur algebrico su D, allora x è seppur bialgebrico su D, il che, tuttavia, non è così. Anche in questo caso, l'elemento h è trascendentale su D.

L'elemento x è la radice del termine ricco del passo n

nell'anello D(h)(z). Questo polinomio è inscomponibile in D(h)[z], i frammenti sono anche vin bouv bi possono essere scomposti n nel kіlci D, і, i frammenti di vin sono lineari in h, uno dei multipli di maw bi non è possibile depositare h, o meno z. Ma un tale moltiplicatore non può esserlo, perché g(z) ef(z) sono mutuamente semplici.

Inoltre, l'elemento x è un passo dell'algebra n sul campo D(h). Le stelle sono solide, quindi (D(x) : D(h)) = n

Per un meschino, è significativo che un membro ricco

non ci sono multipli che possono giacere solo vicino a z (giare vicino a D[z]). La solidificazione di Tse viene ignorata, se h viene sostituito dai suoi valori f (x) / g (x) e moltiplicato per il banner g (x), noi stessi siamo un polinomio.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D non ci sono moltiplicatori, cadono solo in vіd z.

Dai teoremi sopra riportati, ci sono tre osservazioni.

1. Il passo della funzione h - f(х)/g(х) va depositato solo nei campi D(h) e D(x), e non nella scelta di un altro elemento che genera x.

2. Rivnist D(h) = D(x) è minore dello stesso, se h è minore di 1, allora è una funzione lineare di tiro. Tse significa: l'elemento padre del campo, il crim dell'elemento x, può essere una funzione frazionaria-lineare come x e solo una tale funzione.

3. Qualsiasi automorfismo del campo D(x), che lascia sulla tela un elemento del campo D, è colpevole di tradurre l'elemento x in un qualsiasi elemento del campo. Indietro, se x è tradotto in un elemento genitore x = (ax + b) / (cx + d) e funzione skin j (x) - y funzione j (x), allora viene fuori un automorfismo, quando tutti gli elementi D vengono lasciati sul bersaglio. Otzhe,

Tutti gli automorfismi del campo D(x) sul campo D sono sostituzioni di tiro lineari

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Importante per alcune realizzazioni geometriche

Il teorema di Lurot. Il campo skin-intermedio S, per il quale DÌSID(x) è semplice estensione trascendentale: S = D(q).

Portare. L'elemento x è colpevole di essere algebrico su S, perché se h - se un qualsiasi elemento di S non appartiene al campo D, allora, come è stato mostrato, l'elemento x è algebrico su D (h) e ancor più algebrico su S .S [z] termine ricco con coefficiente senior 1 e radice x può apparire

f 0 (z) \u003d z n + un 1 z n -1 + ... + un n. (uno)

Il ricco membro di Z'yasuєmo Budov.

Elementi a i є funzioni razionali x. Per l'aiuto della moltiplicazione per uno stendardo dormiente di їх, puoi usarlo con molte funzioni razionali e, inoltre, prendere un termine ricco come x іz invece di 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

I passi del polinomio sono significativi in ​​termini di m, e in z - in termini di n.

I coefficienti a i \u003d b i / b 0 z (1) non possono essere indipendenti in x, quindi x sembrerebbe altrimenti come un elemento algebrico su D; quindi uno di loro, dice,

q = un io = b io (x) / b 0 (x),

è effettivamente colpevole di deposizione con x; Scriviamo lo yoga in un breve sguardo:

I passi dei polinomi g(x) e h(x) non superano M. Polinomio

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(che non è lo stesso zero) se radice z = x, allora vin è divisibile per f 0 (z) nell'anello S[z]. Se vuoi passare da thir razionale in termini di x termini ricchi a tsilih in x termini ricchi con zmist 1, allora dovresti salvare la tua divisibilità e la prenderemo

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

La parte sinistra di questa equanimità ha dei passi lungo x, ma non si muove t. Ale a destra è già un ricco membro di f stupіn t; otzhe, i passi della parte sinistra sono esattamente vecchi e q(x, z) non giacciono in x. Tuttavia, è impossibile depositare meno di un moltiplicatore z per dividere la parte sinistra (div. more); a quella q(x, z) è una costante:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Poiché la presenza della costante q non gioca un ruolo, il polinomio di Budov f(x, z) viene descritto completamente. I passi del polinomio f(x, z) in x sono più avanzati (con la simmetria della simmetria), e i passi in z sono più avanzati, quindi m = n.m, successivamente, la funzione i q è dovuta alla madre di passi m x.

Tim noi stessi, i frammenti da un lato sono uguali

(D(x):D(q)) = m,

e per il resto - gelosia

quei frammenti per vendicare D(q),

Visnovok.

I robot si presentavano così, vedi l'espansione del campo numerico P:

Una semplice estensione dell'algebra dei campi.

Ampliamento del magazzino del campo dell'algebra.

Estensioni separabili e inseparabili.

Espansione illimitata dell'irrigazione.

Analizzando il lavoro, puoi creare visnovki deaky.

Z ha esaminato le prime due parti dell'espansione, come ad esempio:

semplice espansione dell'algebra;

terminare l'espansione;

ampliamento magazzino di algebra.

Successivamente, se vedi le estensioni zbіgayutsya і, zokrema, sono disegnate da semplici estensioni algebriche del campo P.

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