Assiomi dei numeri reali. Seguito degli assiomi della teoria dei numeri

Numeri vocali, che vengono indicati tramite (cd R ruban), viene introdotta l'operazione di addizione ("+"), in modo che la coppia skin di elementi ( X,y) con numeri vocali impersonali inseriti nell'elemento principale X + y z tsієї w moltiplicatore, titoli sumo Xі y .

Assiomi di pluralità

Viene introdotta l'operazione di moltiplicazione ("·"), quindi la coppia di elementi skin ( X,y) per i numeri vocali impersonali, inserire un elemento (altrimenti, abbreviato, Xy) s tsієї w moltiplicatore, titoli di creazione Xі y .

Zvyazok dodavannya quel plurale

Assiomi da ordinare

Sul compito dell'ordine "" (meno di uno), quindi per scommessa x, y vykonuєtsya vuole essere una delle menti abo.

Zv'yazok in ordine che piega

Zvyazok vіdnoshennia ordina quel plurale

Assioma di continuità

Commento

Questo assioma significa questo Xі Y- due moltiplicatori vuoti di numeri reali tali che vi siano elementi di X non capovolgere nessun elemento Y, quindi puoi inserire un numero vocale tra di loro. Per numeri razionali questo assioma non è vittorioso; culo classico: numeri razionali riconoscibilmente positivi e visibilmente all'impersonalità X quei numeri, il cui quadrato è inferiore a 2, e l'altro - fino a Y. Todi Miz Xі Y non può inserire un numero razionale (non un numero razionale).

Questo è l'assioma chiave che garantisce la sicurezza e quindi consente l'analisi matematica. Per illustrarne l'importanza, vorrei sottolineare due implicazioni fondamentali che ne derivano.

Eredità degli assiomi

Senza assioma intermedio, i diaconi sono importanti per il potere dei numeri di oggi, ad esempio,

unità di zero,
l'unità degli elementi proliferativi e di virulenza.

Letteratura

Zorich V.A. Analisi matematica. Volume I.M.: Fazis, 1997, parte 2.

div. anche

Posilannia

Fondazione Wikimedia. 2010.

Vedi anche "Assiomatica dei numeri reali" in altri dizionari:

Il discorso, che è un numero reale, è un'astrazione matematica, che vinikla z richiede l'uso di quantità geometriche e fisiche della luce necessaria, nonché l'esecuzione di operazioni come l'estrazione delle radici, il calcolo dei logaritmi, le soluzioni.

Discorso, chi numeri effettivi è un'astrazione matematica, cosa servire, zokrema, la manifestazione di quella somiglianza del valore delle quantità fisiche. Un tale numero può essere rappresentato intuitivamente come una descrizione della posizione di un punto su una retta.

Wikizionario contiene l'articolo "assioma" Axiom (in greco ... Wikipedia

Un assioma, poiché è usato in vari sistemi assiomatici. Assiomatica dei numeri reali Assiomatica di Hilbert della geometria euclidea Assiomatica della teoria degli imovirnosti di Kolmogorov ... Wikipedia

Sistema numerico

Immaginiamo che sia apparsa la serie naturale per il trasferimento di oggetti. Ma se vogliamo lavorare con gli oggetti, allora abbiamo bisogno di operazioni aritmetiche sui numeri. Tobto, se vogliamo piegare una mela o dividere una torta, dobbiamo tradurre il numero di numeri.

È un vergognoso rispetto che dopo l'introduzione delle operazioni + і * nel linguaggio dei numeri naturali sia necessario aggiungere assiomi che indicano la potenza di queste operazioni. Aletodi e numeri naturali impersonali tezh in espansione.

Ci meravigliamo di come si espandono i numeri naturali impersonali. L'operazione più semplice, poiché era necessaria per una delle prime: ce dodavannya. Se vogliamo nominare un'operazione aggiuntiva, è necessario designare un ritorno ad essa - una decisione. È vero, come sappiamo, che aggiungendo, ad esempio, 5 e 2, allora siamo colpevoli di aggiungere all'ordine del tipo: cosa deve essere aggiunto a 4, per prendere 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya i numeri naturali danno di nuovo numero naturale, quindi guardando i numeri naturali si ottiene un risultato che non rientra in N. Abbiamo bisogno di più numeri. Per analogia di una visione sensibile di numero maggiore boulo minore ha introdotto la regola di vidnіmannya z minore maggiore, quindi è apparso il numero di numeri negativi.

Completando la serie naturale con le operazioni + і - mi, arriviamo a interi impersonali.

Z=N+operazioni(+-)

Sistema di numeri razionali yak mov aritmetica

Ora diamo un'occhiata a questo per piegare diu - plurale. In effetti, questa è un'aggiunta bagatarase. І il numero aggiuntivo di numeri interi viene riempito con un numero intero.

Ale, un'operazione inversa a un multiplo - tse podіl. Ma è ben lungi dal dare sempre un buon risultato. E ancora ci troviamo di fronte a un dilemma - ovvero accettare come se il risultato non potesse essere “capito”, oppure indovinare il numero di un nuovo tipo. Quindi hanno incolpato i numeri razionali.

Prendiamo un sistema di numeri interi e lo integriamo con assiomi, che determinano l'operazione di moltiplicazione e il minimo. Eliminiamo il sistema dei numeri razionali.

Q=Z+operazioni(*/)

Padre, il linguaggio dei numeri razionali ti permette di lavorare tutte le operazioni aritmetiche sui numeri. Il linguaggio dei numeri naturali non bastava.

Introduciamo assiomaticamente il sistema dei numeri razionali.

Appuntamento. La Q impersonale è chiamata impersonalità dei numeri razionali, come gli elementi - numeri razionali, poiché il complesso avanzante delle menti, i titoli sono chiamati assiomatica dei numeri razionali:

Assiomi dell'operazione di piegatura. Per una scommessa simile all'ordine x,y elementi Q elemento deyaky x+yÎQ, ranghi in somma Xі a. Quando vinci, pensa in questo modo:

1. (Isnuvannya zero) Iznuє elemento 0 (zero) tale che per qualsiasi XОQ

X+0=0+X=X.

2. Per qualsiasi elemento X Q Q elemento principale - XО Q (di fronte X) tale che

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Commutatività) Per qualunque cosa x,yО Q

4. (Associatività) Per ogni x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Assiomi dell'operazione di moltiplicazione.

Per una scommessa simile all'ordine x, y elementi di Q assegnati all'elemento effettivo ehÎ Q, titoli della creazione Xі y. Quando vinci, pensa in questo modo:

5. (Isnuvannya singolo elemento) Iznuє elemento 1 Q tale che per qualunque cosa XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Per qualsiasi elemento X Q Q , ( X≠ 0) elemento principale X-1 ≠0 tale che

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Associazione) Per essere-cose x, y, zО Q

X . (a . z) = (x . y) . z

8. (Commutatività) Per qualunque cosa x, yО Q

Axiom zv'azku ha piegato e moltiplicato.

9. (Distributivo) Per qualunque cosa x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Gli assiomi sono in ordine.

Sii come due elementi x, y, Q Q inizia alla fine della riga ≤. Quando vinci, pensa in questo modo:

10. (X≤a)L ( a≤X) ó x=y

11. (X≤y) l ( y≤ z) => X≤z

12. Per essere-yakah x, yО Q o x< у, либо у < x .

Ambientazione< называется строгим неравенством,

Rapporto = chiamato uguaglianza di Q elementi.

Axiom zv'yazku dodavannya quell'ordine.

13. Per ogni x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axiom zv'yazku mnozhennya quell'ordine.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

L'assioma della perpetuità di Archimede.

15. Se a > b > 0, abbiamo m N e n Q tali che m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Pertanto, il sistema dei numeri razionali è l'aritmetica di Zem.

Prote, oltre ai compiti pratici di conteggio, il film non basta.

Metodo assiomatico in matematica.

Comprensione e comprensione di base della teoria assiomatica delle serie naturali. Nomina di un numero naturale.

Addizione di numeri naturali.

Un aumento dei numeri naturali.

Potenza del moltiplicatore dei numeri naturali

Vіdnіmannya raspodіl numeri naturali.

Metodo assiomatico in matematica

Con suggerimenti assiomatici, viene integrata una sorta di teoria matematica cantare le regole:

1. Deyakі capisce la teoria come vibirayutsya principaleè accettata senza mandato.

2. Formulato assiomi, che sono accettate da queste teorie senza prove, che hanno il potere di comprendere le principali.

3. La pelle comprende la teoria, per non vendicarsi dell'elenco dei principali, si dà appuntamento, per uno nuovo, si spiega yogo zmist per l'aiuto dei principali e davanti a questa comprensione.

4. La proposizione skin della teoria, che non può mancare nell'elenco degli assiomi, può essere portata alla luce. Tali proposizioni sono chiamate teoremi e portarli sulla base di assiomi e teoremi, che sono da rielaborare.

Il sistema di assiomi può essere:

a) sconsiderato: siamo colpevoli di buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z dato il sistema di assiomi, non venire a superechnosti;

b) indipendente: nessuno degli assiomi è colpevole di seguire altri assiomi del sistema.

in) ancora, anche all'interno di questo quadro, è sempre possibile portare il chi dell'impresa, in cui Yogo è elencato.

La prima prova della motivazione assiomatica della teoria deve essere presa in considerazione dal libro di geometria di Euclide in Yogo "Cobs" (3° secolo e.). Un contributo significativo allo sviluppo del metodo assiomatico che ispira geometria e algebra è stato sviluppato da N.I. Lobachevsky e E. Galois. Ad esempio, 19 st. Il matematico italiano Peano ha rotto un sistema di assiomi per l'aritmetica.

Nozioni di base e comprensione della teoria assiomatica del numero naturale. Nomina di un numero naturale.

Come comprensione principale (non significativa) nella deakіy molteplicità N scegliere otturatore e navіt vikoristovuyutsya comprensione teorico-multipla, navіt le regole della logica.

Un elemento che segue l'elemento senza interruzioni un, significare un".

Apparentemente, "senza intermediario seguito per" sono soddisfatti degli assiomi imminenti:

Assiomi Peano:

Assioma 1. Al senza volto N іsnuє elemento, senza mezzo non offensivo non ci sono moltiplicatori per nessun elemento. Chiamiamo yoga solitudine che simboleggiano 1 .

Assioma 2. Per elemento pelle un h N singolo elemento fondamentale un" , avanzando senza sosta per un .

Assioma 3. Per elemento pelle un h Nіsnuє non più di un elemento, per il quale segue senza intermediari un .

Assioma 4. Sii come un moltiplicatore M senza volto N spіvpadє z N , yakscho maє potere: 1) 1 vendicarsi M ; 2) da cosa un vendicarsi M , dopo, cosa io un" vendicarsi M.

Appuntamento 1. Bezlich N , per gli elementi di cui è installata una serranda "Segui subito", che soddisfa gli assiomi 1-4, è chiamato bezlіchchu numeri naturali e elementi yoga - numeri naturali.

Questa persona designata non ha nulla da dire sulla natura degli elementi del moltiplicatore N . Quindi, puoi essere lì. Vibirayuchi come un senza volto N il giorno è un moltiplicatore specifico, sul quale viene dato un riferimento specifico “senza seguito intermedio”, che soddisfa gli assiomi 1-4, lo prendiamo modello di questo sistema assiomi.

Il modello standard del sistema di assiomi di Peano è una serie di numeri, che è la radice del processo di sviluppo storico della successione: 1,2,3,4,... La serie naturale parte dal numero 1 (assioma 1 ); dopo il numero naturale della pelle segue immediatamente un numero naturale (assioma 2); un numero naturale della pelle segue non più di un numero naturale (assioma 3); partendo dal numero 1 e spostandoci in ordine ai numeri naturali che avanzano uno dopo l'altro, prendiamo tutti i moltiplicatori dei numeri (assioma 4).

Otzhe, abbiamo sviluppato il sistema assiomatico pobudov dei numeri naturali con la scelta del principale vodnosiny "senza intermediario segui per" quell'assioma, in alcune descrizioni dello yoga del potere. Un po' più avanti sulla teoria di pobudov di trasferire uno sguardo alle potenze dei numeri naturali e alle operazioni da essi. La puzza può essere rozkritі al nominato e teoremi, tobto. introdotto dal percorso logico quotidiano dell'introduzione del “senza considerazione di mezzo”, e dagli assiomi 1-4.

La prima cosa da capire, che introduciamo dopo la designazione di un numero naturale, è otturatore "subito avanti" , yake spesso vikoristovuyut per un'ora per guardare i poteri della serie naturale.

Appuntamento 2. Cos'è un numero naturale b seguire senza intermediari numero naturale un, quel numero un chiamato direttamente avanti(altrimenti la parte anteriore) numero b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє accanto alle autorità.

Teorema 1. L'unità non ha un numero naturale diretto.

Teorema 2. La pelle è un numero naturale un, Vіdmіnne vіd 1, maє un numero in avanti b, e allora b"= un.

La logica assiomatica della teoria dei numeri naturali non si vede né nella scuola media né in quella media. Prote dominion vіdnosinі "senza seguito intermedio", come era negli assiomi di Peano, є oggetto di studio nel corso di matematica di pannocchia. Già alla prima lezione, è un'ora per guardare i numeri dei primi dieci, è chiaro, come puoi ottenere un numero di skin. A cui si intendono le parole “scivolato” e “prima”. La pelle è un nuovo numero come continuazione della torsione contorta della serie naturale dei numeri. Impara a riconsiderare a tsiom, scho con un numero di skin, è lo stesso, e più di uno, che la serie naturale di numeri è inesauribile.

Addizione di numeri naturali

Per le regole della teoria assiomatica, che designa l'addizione dei numeri naturali, è necessario eseguire, indirettamente, "segui subito", Capisco "numero naturale"і "numero precedente".

Viperedimo vyznachennya piegato avanzando mirkuvannyami. Come a qualsiasi numero naturale un aggiungi 1, quindi prendi il numero un", avanzando senza sosta un, poi. un+ 1= un" E, quindi, prendiamo la regola di aggiungere 1 a qualsiasi numero naturale. Aggiungi a un numero naturale b, vіdmіnne vіd 1? Stiamo accelerando il fatto in arrivo: se vediamo che 2 + 3 = 5, allora la somma è 2 + 4 = 6, che segue senza intermediari il numero 5. In questo ordine, 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Al caldo sembra forse, .

Questo fatto è la base per la designazione dei numeri naturali nella teoria assiomatica.

Appuntamento 3. Somma di numeri naturali viene chiamata un'operazione algebrica, che può essere potente:

Numero a + b chiamato somma di numeri unі b , e i numeri stessi unі b - dodanki.

UNIVERSITÀ PEDAGOGICA STATALE DI OMSK
FILIALE DI OmDPU presso G. TARI
LBC sta lavorando per le decisioni dell'editoria e dell'editoria
22° 73° ramo di OmDPU presso metro Tari
Cap67

Le raccomandazioni sono riconosciute agli studenti delle università pedagogiche, poiché insegnano la disciplina "Algebra e teoria dei numeri". Nell'ambito di questa disciplina, nel 6° semestre si sviluppa la divisione "Numeri del sistema". Queste raccomandazioni includono materiale sulla logica assiomatica per sistemi di numeri naturali (sistema di assiomi di Peano), sistemi di numeri interi e numeri razionali. L'assiomatica di Tsya ti consente di capire meglio cos'è un tale numero, come uno dei principali per comprendere il corso di matematica della scuola. Per la più breve assimilazione del materiale, si suggerisce l'introduzione di argomenti rilevanti. Ad esempio, raccomandazioni e raccomandazioni, dichiarazioni, compiti.

Revisore: Ph.D., prof. Dalinger VA

Firmato ad un amico - 22.10.98

Carta di giornale
Tiratura 100 copie.
Metodo operativo l'uno per l'altro
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tuchačevskij, 14
filiya, 644500, Tara, st. Sculina, 69 anni

1. NUMERI NATURALI.

Con il ragionamento assiomatico del sistema dei numeri naturali, è importante tenere conto della comprensione del moltiplicatore, del blu, delle funzioni e di altre comprensioni multi-teoriche.

1.1 Il sistema degli assiomi di Peano e le inferenze più semplici.

L'interpretazione comune nella teoria assiomatica di Peano è l'impersonale N (come viene chiamata l'impersonalità dei numeri naturali), in particolare il numero zero (0) dalla nuova relazione binaria "segue" a N, che è indicato con S ( a) (o a ().
ASSIOMA:
1. ((a(N) a"(0 (Questo è un numero naturale 0, che non segue alcun numero.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (il numero naturale della pelle segue più di un numero.)
4. (assioma dell'induzione) Come moltiplicatore M(N e M soddisfa due menti:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, quindi M=N).
Nella terminologia funzionale, ze significa che S:N®N è inattivo. Dagli assiomi 1 risulta chiaro che la fermentazione S:N®N non è sur'attiva. L'assioma 4 è la base per dimostrare il duro lavoro "con il metodo dell'induzione matematica".
Atti significativamente della potenza dei numeri naturali, che senza intermediari invocano assiomi.
Potenza 1. La pelle è un numero naturale a(0 dopo uno e più di un numero.
Portare. Significativamente attraverso M numeri naturali impersonali, scho svaniscono zero e tutti i numeri naturali, pelle di qualsiasi seguito per qualsiasi numero. È sufficiente mostrare che M=N, l'unità è evidente dagli assiomi 3. Dimostriamo l'assioma di induzione 4:
A) 0(M - per il moltiplicatore di richiesta M;
B) anche a(M, quelli a"(M, più a" segue a.
Media dagli assiomi 4 M=N.
Potenza 2. Come a (b, poi a "(b").
Il potere è portato con il metodo "dall'inaccettabile", assioma vicorista 3. Allo stesso modo, tale potere è portato 3, assioma vicorista 2.
Potenza 3. Come una "(b", poi una (b.)"
Potenza 4. ((a(N)a(a". (Nessun numero naturale lo segue).)
Portare. Sia M=(x(x(N, x(x))). ) in un tale rango di Umov A) assiomi 4 0(M - win. Se x(M, allora x(x"), allora 2 x" ((x")" è al potere, e tse significa che Umov B) x ( M ® x"(M. Segue etodicamente l'assioma 4 M=N."
Sia (- il due della potenza dei numeri naturali. Il fatto che il numero a abbia potenza (, scrivi ((a)).
Compito 1.1.1. Lasciate che vi dica che l'assioma 4 della designazione dei numeri naturali impersonali è più vicino alla durezza che avanza: per ogni tipo di autorità (, come ((0) i, quindi).
Compito 1.1.2. L'operazione unaria (: a(=c, b(=c, c(=a)) è definita in questo modo sul moltiplicatore trielemento A=(a,b,c).)
Compito 1.1.3. Sia A \u003d (a) - moltiplicatore a un elemento, a (= a) Yaki con gli assiomi di verità di Peano sul moltiplicatore A con l'operazione (?)
Compito 1.1.4. Su una molteplicità di N, un'operazione significativamente unaria è significativa, non importa chi. Spiega cosa sarà vero degli assiomi di Peano formulati in termini di operazione.
Compito 1.1.5. Avanti. Dimostrare che A è chiuso con l'operazione (. Invertire la verità degli assiomi di Peano sul moltiplicatore A con l'operazione (.).
Compito 1.1.6. Avanti, . Tuttavia, significativamente su A è un'operazione unaria. Come sono veri gli assiomi di Peano sul moltiplicatore A dell'operazione?

1.2. Non superelettività e categoricità del sistema di assiomi di Peano.

Il sistema di assiomi è chiamato non superabile, poiché con її assiomi è impossibile portare il teorema T e її trasversale (T. Si è capito che i sistemi di assiomi super efficienti non possono avere lo stesso valore in matematica, perché in tale teoria è possibile portare tutto ciò che Pertanto, la mancanza di superbia del sistema di assiomi è assolutamente essenziale.
Yakshcho nella Teorema Aksіomatic non ha trasmesso il teorema t і ї ї ї ї ї ї ї non significa, il sistema di aksi non è sopraffatto; al fatto che l'interpretazione del sistema di assiomi in una teoria S ovviamente non superabile, quindi lo stesso sistema di assiomi non è superuguale.
Per il sistema di assiomi di Peano, si possono zbuduvat ricche interpretazioni diverse. Particolarmente ricco di interpretazione della teoria della molteplicità. Una di queste interpretazioni è significativa. Per numeri naturali possiamo prendere multipli (, ((), ((())), (((())),..., distingueremo zero per il numero (. (M), l'unico elemento di tale e tale M. In questo ordine, ("=((), (()"=((()) e così via)). è piccolo: mostra che il sistema degli assiomi di Peano è anche se la teoria dei multipli è non superlativo, ma ancor più importante è la dimostrazione della nonsuperità del sistema di assiomi della teoria dei multipli.
Un sistema di assiomi che non è superlativo è detto indipendente, perché l'assioma skin di questo sistema non può essere dimostrato come un teorema sulla base di altri assiomi. Portare alla luce questo assioma
(1, (2, ..., (n, ((1))
abbastanza per dimostrare che il sistema degli assiomi non è superabile
(1, (2, ..., (n, (((2))
È vero, yakby (era possibile variare dagli altri assiomi del sistema (1), quindi il sistema (2) era super intelligente, i frammenti sarebbero vere del teorema (e dell'assioma ((.)).
Inoltre, per portare l'indipendenza degli assiomi (da altri assiomi del sistema (1), basta incoraggiare l'interpretazione del sistema degli assiomi (2).
L'indipendenza del sistema di assiomi è una grande neobov'yazkova. A volte, per evitare la dimostrazione di teoremi "importanti", creeremo un sistema di assiomi (di deposito) sovramondiale. Tuttavia, gli assiomi "zayv" rendono più facile vedere il ruolo degli assiomi in teoria, così come i collegamenti logici interni tra le diverse divisioni della teoria. Inoltre, la pobudova interpreta i sistemi di assiomi a maggese è significativamente piegata, inferiore per quelli indipendenti; anche se bisogna riconsiderare la validità degli assiomi "zayvih". Delle ragioni per la nutrizione del maggese, tra gli assiomi di un tempo, fu data la prima importanza. Cerca di portare al tuo tempo che il 5° postulato nell'assiomatica di Euclide "Non è più di una retta che passa per il punto A parallelo alla retta" (", є per il teorema (stare negli altri assiomi) e portato alla conclusione della geometria di Lobachevsky).
Un sistema non superscrittivo è chiamato deduttivamente nuovo, come se la proposizione A di una data teoria potesse essere portata, o proclamata, allora A, o (A è un teorema della data teoria. un assioma è chiamato Deduttivo povnota - tezh not obov'yazkova vimoga, ad esempio, un sistema di assiomi della teoria dei gruppi, la teoria del territorio, la teoria dell'irrigazione - non è vero, i frammenti si basano su e gruppi kіntsevі e neskіnchennі, kіltsya, campi, quindi in questi teorie che non puoi chiedere, non puoi portare una proposta.: "Gruppo (kіltse, campo) per vendicare gli elementi kіlkіst".
Va notato che nelle teorie assiomatiche ricche (ste stesse, in quelle non formalizzate) le proposizioni impersonali non possono essere prese esattamente in considerazione, ed è impossibile riportare la completezza deduttiva del sistema di assiomi di una tale teoria. Il secondo cambiamento è spesso chiamato categoriale. Il sistema di assiomi è chiamato categoriale, quindi siano due interpretazioni isomorfe, in modo che vi sia una tale distinzione reciprocamente inequivocabile tra più oggetti pannocchia e altre interpretazioni Categoricità - mente tezh neobov'yazkova. Ad esempio, il sistema di assiomi della teoria dei gruppi non è categorico. Il motivo è che il gruppo Kintsev non può essere un gruppo isomorfo senza pelle. Tuttavia, con l'assiomatizzazione della teoria di un sistema numerico, la natura categoriale di obov'yazkova; Ad esempio, la natura categoriale del sistema degli assiomi, che sta a significare i numeri naturali, fa sì che, fino all'isomorfismo, vi sia una sola serie naturale.
Portiamo la categoricità del sistema di assiomi di Peano. Siano (N1, s1, 01) e (N2, s2, 02) due interpretazioni del sistema di assiomi di Peano. È necessario indicare una tale espressione biektivne (reciprocamente non ambigua) f: N1®N2, per la quale dovresti pensare:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) per ogni x N1;
b) f(01) = 02
Se le operazioni unarie s1 e s2 sono offese dallo stesso tratto, allora umova a) riscrivi
a) f(x()=f(x)(.
Significativamente sul moltiplicatore N1(N2)
1) 01f02;
2) come xfy, x(fy(.
Cambiamo, qual è l'uso della fermentazione da N1 a N2, quindi per il derma x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Significativamente attraverso elementi impersonali M1 x N1, per alcune menti (1) vincono. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 in virtù di 2) e la potenza di 1 punto 1).
Pertanto, secondo l'assioma 4, è possibile che M1=N1 e tse i significhi che l'introduzione di f є fermentazione di N1 N2. A tsimu z 1) è ovvio che f (01) = 02. Umov 2) è scritto in questo modo: f(x)=y, quindi f(x()=y(. Suona come f(x()=f(x)(. Inoltre, per la riflessione di f, pensa a )) e b.
Significativamente attraverso M2, elementi tranquilli impersonali di N2, pelle di ognuno di essi nella forma di uno e solo un elemento di N1 quando f.
Frammenti f(01)=02, quindi 02 є. Se è così x(N2 і x(01), allora per potenza 1 elemento 1 x segue l'elemento corrente c z N1 і quindi f(x)=f(c()=f(c)((02. Mean, 02 f) il rango di un singolo elemento 01, quindi 02 (M2.
Sia y(M2 і y=f(x), dove x è la singola preimmagine dell'elemento y. Quindi, in virtù di a) y(=f(x)(=f(x()), allora y(є l'immagine dell'elemento x ) (. Sia c una sorta di preimmagine dell'elemento y(, quindi f(c)=y(. Oskіlki y((02, quindi c(01 і c) è l'elemento in avanti, che è significativo attraverso d.)) Allora y( =f( c)=f(d()=f(d)(, a causa dell'assioma 3 y=f(d)). M2 ® y
Tutta la matematica pre-greca ha scarso carattere empirico. Tutti gli elementi della teoria stavano annegando nella massa di approcci empirici allo sviluppo di compiti pratici. I greci hanno fornito questo materiale empirico di analisi logica, hanno cercato di trovare la connessione tra diversi dati empirici. Per i quali tutto il senso della geometria ha un grande ruolo svolto da Pitagora e dalla scuola (V sec. dC). Le idee del metodo assiomatico erano chiaramente espresse nelle opere di Aristotele (IV secolo dC). Prote, uno sviluppo pratico di queste idee fu portato avanti da Euclide durante lo yoga "Cobs" (3 secoli d.C.).
Si possono nominare tre forme di teorie assiomatiche.
uno). Zmistovna assiomatica, come se lo fosse fino alla metà del secolo scorso.
2). Assiomatica napіvformal, vinile scho nell'ultimo quarto del secolo scorso.
3). L'assiomatica formale (o formalizzata), la data della sua nascita può essere presa come 1904, se D. Hilbert ha pubblicato il suo famoso programma sui principi di base della matematica formalizzata.
La nuova forma della pelle non è bloccata davanti, ma con uno sviluppo e chiarificazione, lo stesso vale per lo sviluppo della nuova forma della pelle, più in basso nella parte anteriore.
Gli assiomatici di Zmistovna sono caratterizzati dal fatto che possono essere compresi intuitivamente in modo chiaro prima di formulare assiomi. Quindi, nelle "Pannocchie" di Euclide, sotto il punto di comprensione, coloro che sono intuitivamente evidenti sotto queste comprensioni. Allo stesso tempo, c'è un grande linguaggio e una grande logica intuitiva, che è più simile ad Aristotele.
Le teorie assiomatiche formali hanno anche un linguaggio forte e una logica intuitiva. Tuttavia, i primi comprensivi non si basano sullo stesso senso intuitivo, sono caratterizzati solo da assiomi. Tim stesso muove il rigore, i frammenti di intuizione con un mondo canoro conquistano il rigore. Inoltre, la sonnolenza sta crescendo, perché il teorema della pelle, introdotto in una tale teoria, sarà giusto in qualsiasi interpretazione. Chiaramente sotto forma di una teoria assiomatica formale - la teoria di Hilbert, inclusa nel libro "Imagine Geometry" (1899). I mozziconi delle teorie nap_vformalnyh sono anche la teoria dei kіlets e altre teorie, presentate nel corso dell'algebra.
Il calcio della teoria formalizzata è il calcolo del numero di parole, che si sviluppa nel corso della logica matematica. Sul vіdmіnu vіd zmіstovnoї e napіvformalії assiomatica, la formalizzazione della teoria vittoriosa mova particolarmente simbolica. L'alfabeto della teoria è assegnato a se stesso, in modo che sia un due di simboli impersonali, che svolgono lo stesso ruolo delle lettere nella lingua originale. Sia che si tratti di una sequenza di simboli kіntseva è chiamata viraz o una parola. Tra i virus c'è una classe di formule, e il criterio esatto che permette di riconoscere il virus della pelle è indicato dalla formula. Le formule svolgono lo stesso ruolo del discorso della grande lingua. Deyakі formule goloshuyutsya assiomi. Inoltre, vengono stabilite regole logiche di visione; Una tale regola significa che nel corso della totalità delle formule, l'intera formula è senza mezzo. La dimostrazione del teorema stesso è la fine del lanz delle formule, il resto della formula è il teorema stesso e la formula della pelle è o un assioma o il teorema è stato portato prima, altrimenti canta fuori dal centro dell'avanti formule della lancia su una delle regole di osservazione. In questo rango, non dovremmo sostenere le prove sulla validità delle prove: altrimenti Lancia daneseє prova, o є, non ci sono prove conclusive. Al collegamento con il cim si formalizza l'assiomatica per abituarsi ai principi particolarmente sottili del priming teorie matematiche, se l'ovvia logica intuitiva può portare al perdono, che sono il rango principale per le imprecisioni e le ambiguità del nostro grande movimento.
Quindi, come nella formalizzazione della teoria sullo skin viraz, si può dire che si tratta di una formula, allora si possono prendere in considerazione le proposizioni impersonali della teoria formalizzata. In relazione a ciò, è possibile, in linea di principio, scomporre l'argomento sulla prova della ragione deduttiva, nonché sulla prova della non superficialità, senza entrare nell'interpretazione. In molti dei modi più semplici, puoi vedere la differenza. Ad esempio, la mancanza di superficialità del calcolo viene effettuata senza interpretazioni.
Nelle teorie non formalizzate, le proposizioni impersonali non sono chiaramente definite, quindi la ragione per dimostrare la non superficialità, senza andare all'interpretazione, è posta stupidamente. Quelli stesso valore e cibo sulla prova dei povnoti deduttivi. Tuttavia, poiché una tale proposizione di una teoria non formalizzata è stata ascoltata, poiché è impossibile portarla o chiedere, la teoria, ovviamente, è deduttivamente imprecisa.
Il metodo assiomatico è stato a lungo stabilito non solo in matematica, ma anche in fisica. Innanzitutto, provalo direttamente, Aristotele ha provato a farlo, ma ha anche corretto il proprio metodo assiomatico in fisica, escludendo i robot di Newton dalla meccanica.
Al collegamento con il turbolento processo di matematizzazione delle scienze, c'è anche il processo di assiomatizzazione. Nessuno dei metodi assiomatici si trova in varie divisioni della biologia, ad esempio in genetica.
Le possibilità del metodo assiomatico non sono infinite.
È significativo che non dobbiamo dimenticare di formalizzare le teorie senza ignorare l'intuizione. La teoria stessa è formalizzata senza alcuna interpretazione del significato desiderato. La colpa di questo è bassa sulla connessione tra la teoria formalizzata e l'interpretazione. Inoltre, come nella formalizzazione delle teorie, si pone la questione della non-superità, dell'indipendenza e della completezza del sistema degli assiomi. La totalità di tutto questo cibo diventa l'essenza di un'altra teoria, poiché viene chiamata metateoria di una teoria formalizzata. Sulla base della teoria formalizzata, la metateoria del linguaggio è il più importante linguaggio quotidiano e il rispecchiamento logico è svolto dalle regole della logica intuitiva naturale. In questo modo, l'intuizione, che è ripresa dalla teoria formalizzata, riappare nella metateoria.
Ma la principale debolezza del metodo assiomatico non è nel tsoma. In precedenza si pensava già al programma di D. Hilbert, poiché poneva le basi per un metodo assiomatico formalizzato. L'idea principale di Hilbert è quella di fare della matematica classica una teoria assiomatica formalizzata, per portare la non superabilità. Tuttavia, il programma nei suoi punti principali sembrava essere utopico. Nel 1931, il famoso matematico austriaco K. Gödel sviluppò i suoi famosi teoremi, che rendevano chiaro che i compiti principali posti da Hilbert incriminati non erano stati pubblicati. Yomu è andato oltre l'aiuto del suo metodo di codifica per imparare per l'aiuto di formule di aritmetica formalizzata e per portare l'aiuto della metateoria che queste formule non sono visibili nella formalizzazione dell'aritmetica. In questo modo, l'aritmetica formalizzata appariva deduttivamente imprecisa. Dai risultati di Gödel, era chiaro che anche se una formula non dimostrabile è inclusa nel numero degli assiomi, esiste un'altra formula non dimostrabile che esprime la stessa proposizione corretta. Tutto ciò significava che non solo tutta la matematica, ma anche l'apprendimento dell'aritmetica - la parte più semplice, è impossibile da formalizzare. Zokrema, Gödel, avendo ispirato una formula che mostra le proposizioni "L'aritmetica formalizzata non è superabile", e mostrando che nemmeno la formula può essere mostrata. Questo fatto significa che l'imperfezione dell'aritmetica formalizzata non può essere portata al centro dell'aritmetica stessa. Zrozumіlo, puoi incoraggiare una forte teoria formalizzata e її portando la non-superità dell'aritmetica formalizzata, e allo stesso tempo incolpare in modo ancora più importante la non-superità della nuova teoria.
I risultati di Gödel indicano la validità del metodo assiomatico. E, soprattutto, podstav per le visioni pessimistiche della teoria della conoscenza di chi non conosce la verità, - no. Il fatto che siano stabilite verità aritmetiche, che non possono essere portate alla formalizzazione dell'aritmetica, non significa la manifestazione dell'ignoranza delle verità e non significa l'oscurità del pensiero umano. Vin significa solo che le possibilità della nostra mente non saranno ridotte a procedure, che saranno più formalizzate e che le persone hanno ancora bisogno di testare e trovare nuovi principi di prova.

1.3 Memorizzazione dei numeri naturali

Non si postulano operazioni di piegatura e moltiplicazione dei numeri naturali mediante il sistema degli assi di Peano, ma al posto di operazioni.
Appuntamento. L'addizione di numeri naturali è chiamata operazione algebrica binaria + sul moltiplicatore N, che può essere potente:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Incolpare la nutrizione: cos'è un'operazione del genere, ma se lo è, allora che cos'è?
Teorema. L'addizione di numeri naturali è necessaria e solo uno.
Portare. L'operazione binaria dell'algebra sulla molteplicità N è la fermentazione (:N(N®N. Occorre portare che c'è una sola fermentazione (:N(N®N con potenze: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Significativamente sul moltiplicatore N, espressione binaria fx delle menti:
a) 0fxx;
b) come yfxz, y(fxz(.
Cambiamo, qual è l'uso di N in N, quindi per la pelle y z N
(((z(N) yfxz (1)
Significativamente, attraverso M, il moltiplicatore dei numeri naturali y, per il quale le menti (1) sono vittoriose. Quindi pensa a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) e power 1 p. e significa che fx è la fermentazione da N a N. Per quale fermentazione, pensa:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - attraverso b).
Tim stesso ha portato il ragionamento per piegare.
Portiamo l'unità. Sia + i (- sia come due operazioni binarie di algebra su insiemi N con potenze 1c e 2c. È necessario portare che
((x, y(N) x + y = x(y)
È fissato un numero sufficiente x i è significativo attraverso S di numeri naturali impersonali y, per i quali l'equanimità
x+y=x(y (2)
vincita. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, quindi
A) 0(S
Ora sia y(S, in modo che vinca l'uguaglianza (2). Quindi x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)))(і x+y=x(y, allora) ) assiomi 2 x+y(=x(y(, in modo che la mente vinca)
B) y(S ® y((S.)
Quindi, per l'assioma 4 S=N, che completa la dimostrazione del teorema.
Portiamo le autorità nel dodavannya.
1. Il numero 0 è l'elemento neutro dell'addizione, quindi a+0=0+a=a per il numero naturale della pelle a.
Portare. Equanimità a+0=a urla dalla mente 1s. Portiamo l'uguaglianza 0+a=a.
Significativamente attraverso M numeri impersonali, che non vinceranno. Ovviamente, 0+0=0 e 0(M. Sia a(M, quindi 0+a=a.) Allora 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, come ed è necessario portare.
Dacci un lema.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Portare. Sia M un numero impersonale di tutti i numeri naturali b, per i quali l'uguaglianza è a(+b=(a+b)(vero per qualsiasi valore di a.):
A) 0(M, frammenti a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Sicuramente, poiché b(M e 2c) è possibile)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
quindi b ((M. Media, M = N, cosa devo portare).
2. L'addizione dei numeri naturali è commutativa.
Portare. Sia M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a)))) Dimmi che M=N. Forse:
A) 0(M - costo 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Significa a((M, i dall'assioma 4 M=N).
3. Aggiunta associativa.
Portare. Avanti
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Occorre riportare che M=N. Quindi (a+b)+0=a+b e a+(b+0)=a+b, quindi 0(M. Sia s(M, quindi (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Significa c((M i per l'assioma 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Portare. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Se b(0), allora ((a(N)a+b(a)).
Portare. Sia M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, quindi 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(altrimenti a( +b) (a)) significa a((M і M=N)).
6. Se b(0, allora ((a(N)a+b(0))
Portare. Se a=0, allora 0+b=b(0, se a(0 і a=c(, allora a+b=c(+b=(c+b))((0. Quindi, y be- quale tempo a) + b (0.
7. (La legge della piegatura della tricotomia). Per tutti i numeri naturali aeb, solo una e solo una delle tre similitudini è vera:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Portare. Fissiamo un certo numero a ed è significativo per M il moltiplicatore di tutti i numeri naturali b, per i quali una delle connotazioni 1), 2), 3) è vittoriosa. Occorre riportare che M=N. Sia b = 0. Se a=0, allora 1), e se a(0, solo 3), allora a=0+a. Otzhe, 0(M.
È ora accettabile che b(M, in modo che l'inverso di a sia uno dei contrari di 1), 2), 3). Se a=b, allora b(=a(=a+1, quindi per b(viene contato l'offset 2).) Se b=a+u, allora b(=a+u(, quindi per b(l'offset viene contato) 2 ) Se a=b+v, allora sono possibili due declinazioni: v=1 e v(1. Se v=1, allora a=b+v=b", allora per b" il rapporto inverso 1 è preso. e v(1 , quindi v=c", de c(0 e poi a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, quindi per b " abbiamo un converso 3). Successivamente, abbiamo portato che b (M ® b "(M, i, anche M = N, quindi per se aeb, si vuole usare una delle consonanze 1), 2), 3) non possono essere sconfitti in una volta spіvvіdnoshennia 2) e 3), quindi piccolo b a = (a + u) + v = a + + (u + v), ma è impossibile attraverso il potere di 5 e 6. La potenza di 7 viene portata a termine.
Compito 1.3.1. Sia 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Dimmi 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. MOLTIPLICAZIONE DEI NUMERI NATURALI.

Appuntamento 1. La moltiplicazione dei numeri naturali è chiamata tale operazione binaria (sul moltiplicatore N, per il quale viene contata la mente:
1u. ((x(N)x(0=0);
2 anni ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Sto rivendicando di nuovo la nutrizione: perché è un'operazione del genere e com'è, quindi qual è l'unica cosa?
Teorema. L'operazione di moltiplicazione dei numeri naturali è una sola.
La prova può essere eseguita allo stesso modo, come per la prova supplementare. È necessario conoscere tale espressione (:N(N®N), come
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Risolviamo un bel numero x. È anche possibile per la pelle x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: autorità di N®N s
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
quindi la funzione ((x,y), che è uguale a ((x,y)=fx(y) e soddisfa le menti 1) e 2).
Successivamente, la dimostrazione del teorema sale fino alla dimostrazione della base di tale unità per skin x della funzione fx(y) con potenze 1") e 2"). Impostiamo il numero di N valori secondo la seguente regola:
a) il numero zero è impostato al numero 0,
b) poiché al numero y è dato il numero c, allora il numero y (il numero c + x è uguale).
Riconsideriamo che in tale impostazione la pelle numero y può essere una singola immagine: ed è significativo che sia possibile convertire N in N. Significativamente, attraverso M l'impersonalità di tutti i numeri naturali y, si può formare una singola immagine. Pensa a) che l'assioma 1 è corretto, quindi 0(M. Sia y(M. Pensa b) e l'assioma 2 sono chiari che y((M. Quindi, M=N, quindi la nostra dimostrazione è N) in N , è - appena in termini di fx, quindi fx(0)=0 in ragione di a) e fx(y()=fx(y)+x - in ragione di b).
Successivamente è stato confermato il motivo dell'operazione di moltiplicazione. Lasciatemi ora (i (- essere due operazioni binarie sul moltiplicatore N con potenze 1y e 2y. Resta da dire che ((x,y(N) x(y=x(y) Fissiamo un bel numero x e non))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Salta 1y x(0=0 і x(0=0, quindi 0(S. Sia y(S), quindi x(y=x(y))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, allora, y((S. Quindi, S=N, inferiore i, la dimostrazione del teorema finisce).
Significativamente molti diaconi del potere.
1. L'elemento neutro è solitamente il numero 1=0(, quindi ((a(N) a(1=1(a=a))).
Portare. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) In questo modo l'uguaglianza di a(1=a è stata completata. N) (1(a=a). Quindi 1 (0=0, quindi 0(M. Sia a(M, quindi 1(a=a)). Allora 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Quindi, dagli assiomi 4 M=N, che era necessario riportare).
2. Per un insieme di fiere, un diritto distributivo, quindi
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Portare. Sia M=(c(c(N((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , quindi 0(M. Quindi c(M, quindi (a+b) c=ac+bc), quindi (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Quindi, c((M і M=N).
3. La moltiplicazione dei numeri naturali è commutativa, cioè ((a,b(N) ab=ba).
Portare. Comprendiamo bene per b (N uguale 0 (b = b (0 = 0. Uguale b (0 = 0) è chiaro 1y. Sia M = (b (b (N (0 (b = 0)))) ) 0 =0, quindi 0(M. Quindi b(M, quindi 0(b=0, quindi 0(b(=0(b+0=0)) i, anche, b((M. Quindi, M= N, quindi uguaglianza 0(b=b(0 portato a tutti b(N. Andiamo oltre) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, quindi ab = ba. Allora a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, quindi a ((S. So S = N), che è necessario portare) .
4. Piegatura distributiva multipla. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 e 4.
5. Il plurale è associativo, cioè ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
La prova viene effettuata, come quella a magazzino, induzione su s.
6. Se a(b=0, allora a=0 e b=0, allora N non ha divisori zero.
Portare. Sia b(0 і b=c(. Se ab=0, allora ac(=ac+a=0, i segni seguono la potenza di 6 item 3, quindi a=0).
Compito 1.4.1. Sia 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Dimmi cosa 2(4 =8, 3(3=9.
Siano n, a1, a2, ..., an numeri naturali. La somma dei numeri a1, a2,...,an è chiamata il numero, come è indicato attraverso di esso dalle menti; per qualsiasi numero naturale k
Un sottoinsieme dei numeri a1, a2,...,an è un numero naturale, come è indicato da i ed è indicato da menti: ; per qualsiasi numero naturale k
Come quel numero è indicato tramite un.
Compito 1.4.2. Porta cosa
un);
b);
in);
G);
e);
e);
e);
h);
і) .

1.5. ORDINE DEL SISTEMA DEI NUMERI NATURALI.

L'affermazione "segue" è antiriflessiva e antisimmetrica, ma non transitiva e non segue quell'ordine. Stiamo cambiando in modo significativo l'ordine, basandoci sull'aggiunta di numeri naturali.
Appuntamento 1. a
Destinazione 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі numeri naturali, povyazanih іz vіdnosinami innostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Portare. Dominance 1.1 e 1.2 trasudano dall'unicità delle operazioni di piegatura e moltiplicazione. Yakscho a
2. ((a(N) a
Portare. Oskils a(=a+1, quindi a
3. L'elemento minimo N è 0 e l'elemento minimo N\(0) è il numero 1.
Portare. Quindi ((a(N) a=0+a, quindi 0(a, i, quindi, 0 è l'elemento più piccolo di N.) Allora, come x(N\(0), allora x=y(, y( N ) , altrimenti x = y + 1. La risposta è che ((x (N \ (0)) 1 (x, quindi 1 è l'elemento più piccolo in N \ (0)).
4. Suggerimento ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Portare. Ovviamente, per ogni a naturale, esiste anche un numero naturale n, che
a Tale numero є, ad esempio, n = a (. Dahl, se b (N \ (0), quindi per potenza 3
1(b(2)
Z (1) e (2) sulla base delle potenze 1.10 e 1.4 prendono aa.

1.6. IL VERO ORDINE DEL SISTEMA DEI NUMERI NATURALI.

Appuntamento 1. Come sottomoltiplicatore skin non vuoto del moltiplicatore ordinato (M; Riconsiderare che il nuovo ordine è lineare. Siano aeb due elementi dell'intero moltiplicatore ordinato (M; Lema) . 1) a
Portare.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Teorema 1. L'ordine naturale sull'insieme dei numeri naturali è un ordine superiore.
Portare. Sia M vuoto dei numeri naturali impersonali, e S è l'immaterialità degli inter inferiori in N, quindi S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). next, 0(S Yakby è stato vittorioso e altri assiomi di Umov 4 n(S(n((S, quindi piccolo b S=N)).
Teorema 2. Se esiste un confine non vuoto per la bestia dei numeri naturali impersonali, può esserci l'elemento più grande.
Portare. Sia M un confine non vuoto tra la bestia dei numeri naturali impersonali, e S è l'impersonalità dei cordoni superiori, quindi S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Significativamente attraverso x0, l'elemento più piccolo di y S. Se m
Compito 1.6.1. Porta cosa
un);
b);
in).
Compito 1.6.2. Dai (- potere deak dei numeri naturali e k - più di un numero naturale. Porta cosa
a) be-like un numero naturale può essere potenza (come solo 0 può essere potenza per qualunque n (0
b) se è un numero naturale, maggiore o uguale a k, maє power (, se solo k maє tsyu power i per qualsiasi n (k (n) s omissione, scho n maє power (, next, scho numero n + 1 anche Volodya tsієyu power). ;
c) se è un numero naturale, maggiore o uguale a k, può avere potere (poiché solo k può avere potere e per qualunque n (n>k) sia un'indennità, che tutti i numeri t, assegnati da k mentale (t

1.7. PRINCIPIO DI INDUZIONE.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost del sistema dei numeri naturali, puoi portare un tale teorema, uno dei fondamenti dei metodi di dimostrazione, titoli con il metodo dell'induzione matematica.
Teorema (principio di induzione). Usі vyslovlyuvannya z sequent A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 è vero;
2) come usare Ak con k
Portare. È ammissibile non accettare: pensa 1) e 2) per vincere, ma se il teorema non è vero, non consentiremo є impersonale M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). elemento, che è significativo in termini di n. mentalmente 1) A1 è vero, e An è cattivo, quindi 1(n, i, aka, 1)
Per la conferma con il metodo di induzione, si possono vedere due fasi. Al primo stadio, che è chiamato la base dell'induzione, la mentalità della mente è ribaltata 1). Dall'altro lato del palco, chiamato coccio di induzione, viene in mente la mente 2). Al più spesso si attraversano vipad, se per provare la verità di An non è possibile utilizzare la vittoria della verità di Ak at k
culo. Per portare irregolarità Pagabile = Sk. Occorre portare la verità della costellazione Ak=(Sk La successione dei consumi, come descritto nel Teorema 1, può provenire dal predicato A(n) assegnato all'insieme N o al sottoinsieme Nk=(x( x(N, x(k)), dove k è un numero naturale fisso.
Sokrema, se k=1, allora N1=N(0), e la numerazione può essere effettuata per ulteriori uguaglianze A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Se k(1, allora la sequenza di occorrenze può essere ricavata da equazioni aggiuntive A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . ..Vidpovidno a tali valori, il Teorema 1 può essere formulato in forma diversa.
Teorema 2. Il predicato A(m) vale anche sul moltiplicatore Nk, quindi sai:
1) A(k) è vera;
2) come usare A(m) per m
Compito 1.7.1. Lascia che ti dica che questo tipo di uguaglianza non prende una decisione nella galleria dei numeri naturali:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2a.
Compito 1.7.2. Porta, principio vittorioso dell'induzione matematica:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
in);
G);
e);
e).

1.8. NUMERI NATURALI DI VIDCHITANNYA I DELENNYA.

Designazione 1. La differenza tra i numeri naturali aeb è tale numero naturale x che b+x=a. La differenza dei numeri naturali aeb si indica con a-b, e l'operazione della differenza della differenza si chiama differenza. Vіdnimannya non è un'operazione di algebra. Teorema di Tse vyplyvaє iz nastupnoї.
Teorema 1. Retail a-b è l'unica differenza e solo una, se b(a. Se c'è una differenza, allora solo una).
Portare. Se b(a, allora per la designazione di un riferimento (se è un numero naturale x, allora b+x=a. Ale ce i significa che x=a-b. che b + x = a. Alece significa che b (a .
Portiamo l'unità vendita al dettaglio a-b. Sia a-b=x e a-b=y. Lo stesso vale per gli appuntamenti 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, anche, x=y.
Destinazione 2. La frazione di due numeri naturali aeb(0) è chiamata numero naturale c tale che a = bc.
Teorema 2. È più privato di uno.
Portare. Dai = x quello = y. Lo stesso vale per gli appuntamenti 2 a=bx e a=by. Zvіdsi bx=by і, inoltre, x=y.
È degno di nota che le operazioni svolte in quell'occasione possono essere conteggiate letteralmente allo stesso modo, come nel caso degli assistenti scolastici. Tse significa che nei paragrafi 1-7, sulla base degli assiomi di Peano, sono state poste le basi teoriche dell'aritmetica dei numeri naturali, e successivamente sono stabiliti ulteriori sviluppi nel corso di matematica del liceo e nel corso universitario "Algebra e Numero Teoria".
Compito 1.8.1. Rendi giustizia a tali affermazioni, ammettendo che tutte le differenze che sono espresse nelle loro formule sono chiare:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
a) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Compito 1.8.2. Per rendere giustizia ai disagi futuri, ammettendo che tutto è privato, che sono enunciati nella formula data, è chiaro.
un); b); in); G); e); e); e); h); io); a); l); m); n); di); P); R).
Compito 1.8.3. Per dimostrare che madri di due diverse soluzioni naturali non possono essere così uguali: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Compito 1.8.4. Slega i numeri naturali uguali:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Compito 1.8.5. Per dimostrare che non esiste una soluzione così uguale nella sfera dei numeri naturali: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; in); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Compito 1.8.6. Svelare i numeri naturali delle irregolarità: a) ; b); in); d) x+y2 Compito 1.8.7. Dimmi che nel regno dei numeri naturali l'inizio dello spiving è discreto: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9 MORTE KILKISNIY numeri naturali.
In realtà, i numeri naturali dovrebbero essere posti come il rango principale dei rahunka degli elementi, e ciò che è necessario per stabilire un sostituto trimestrale dei numeri naturali teoricamente da Peano.
Destinazione 1. Anonimo (x(x(N, 1(x(n)) è chiamato in contrasto con la serie naturale) ed è indicato con (1; n()).
Appuntamento 2. Viene chiamato un moltiplicatore kіntsevoj se è un moltiplicatore, uguale a qualsiasi contatore della serie naturale, e anche un moltiplicatore vuoto. Bezlich, come non є kіtsevim, è chiamato senza pelle.
Teorema 1 al bagnato(Tobto podmnozhini, soprattutto di A).
Portare. Come A=(, il teorema è vero, non ci sono frammenti vuoti di sottomultipli vuoti. Diamo A((і A ugualmente duro (1,n((A((1,n()).))) Possiamo dimostrare il teorema per induzione su n. Come n= 1 , allora A((1,1(, quindi usiamo il singolo sottomoltiplicatore del moltiplicatore A è un moltiplicatore vuoto). Era chiaro che anche A(i, per n=1 , il teorema è vero. Assumiamo che il teorema sia vero per n=m, quindi tutti i moltiplicatori terminali, forze uguali (1,m(, non pensare a forze uguali). inversa)) (1,m+1(in A Se ((k) è noto con ak, k=1,2,...,m+1, allora l'impersonale A può essere scritto come A=(a1, a2, ...)) , am, am+ 1) Il nostro obiettivo è dimostrare che A non ha sottomultipli di potenza ugualmente forti.
Diamo un'occhiata ai moltiplicatori A1 = A (am + 1) e B1 = B (am + 1). Poiché f(am+1)=am+1, la funzione f zdіysnyuvatime mostra in modo bioattivo il moltiplicatore A1, dal moltiplicatore B1. In questo rango, l'impersonale A1 sarà uguale al suo potente sottomultiplo B1. Ale oskіlki A1((1,m(, non sostituisce l'indennità di induzione).
Conclusione 1. L'assenza di numeri naturali non è limitata.
Portare. Dagli assiomi di Peano risulta chiaro che S:N®N\(0), S(x)=x(oggettivamente) è fermentato.
Conclusione 2. Se il moltiplicatore A di kіntsev non è vuoto, è uguale a una e solo una controparte della serie naturale.
Portare. Sia A((1,m(і A((1,n(. Todі) (1,m(((1,n(, a causa del Teorema 1 è chiaro), quindi m=n.)).
Gli ultimi 2 consentono di inserire una designazione.
Designazione 3. Come A((1,n(, allora il numero naturale n è chiamato il numero di elementi nel moltiplicatore A), e il processo per stabilire una somiglianza reciprocamente inequivocabile tra i moltiplicatori A e (1,n (chiamato il numero di elementi nel moltiplicatore A. Il numero di elementi naturali del multiplo del vuoto inserire) il numero zero.
Sulla grandezza del significato del rahunka per una vita pratica, parla zayve.
Rispettosamente, conoscendo il calcolo di un numero naturale, sarebbe possibile calcolare l'operazione di moltiplicazione attraverso l'addizione stessa:
.
Non abbiamo inviato in questo modo per ora, per dimostrare che l'aritmetica stessa non è richiesta nel senso del calcolo: il senso del calcolo del numero naturale è necessario solo in aggiunta all'aritmetica.

1.10. IL SISTEMA DEI NUMERI NATURALI COME INVERSO DISCRETO E' ORDINATO BAGATO.

Abbiamo mostrato che i numeri naturali impersonali sono compatibili con l'ordine naturale e l'intero ordinamento. In tal caso, ((a(N) a
1. per qualsiasi numero a(N іsnuє sudіdnє viene dopo di esso 2. per qualsiasi numero a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma di fronte a te) Viene chiamata l'intera impersonalità ordinata (A;()) con poteri 1 e 2 memo ciclo discreto Sembra che l'ordinamento con potenze 1 e 2 sia la potenza caratteristica del sistema dei numeri naturali, l'elemento i, inoltre, l'assioma 1 Peano vince).
Quindi è come un ordine lineare, quindi per ogni elemento a c'è un singolo elemento che lo segue e non più di un elemento sudidny in avanti.
1) a0(M, dove a0 è l'elemento più piccolo di A;
2) a(M (a((M.))
Diciamo che M=N. Ammissibile non è accettato, quindi A \ M ((. Significativamente attraverso b è l'elemento più piccolo in A \ M. Sparsi a0 (M, quindi b (a0) i, quindi, esiste un tale elemento c, come c (= b.).
Abbiamo anche proposto la possibilità di un'altra designazione del sistema dei numeri naturali.
Appuntamento. Il sistema dei numeri naturali si chiama se una molteplicità è ordinata nel suo insieme, su cui si contano le menti:
1. per ogni elemento, c'è un successivo elemento che avanza dietro di esso;
2. per ogni elemento, l'elemento meno visibile, l'elemento giudiziario principale.
Іsnuyut іnshі pіdhodi destinazione del sistema di numeri naturali, su cui non facciamo qui zupinaєmosya.

2. TSILI E NUMERI RAZIONALI.

2.1. SIGNIFICATO E POTERE DEL SISTEMA DEI NUMERI.
Apparentemente, non ci sono numeri nella mente di una mente intuitiva, e il numero è come piegare quel moltiplicatore, inoltre, il numero è vendicare tutti i numeri naturali. Si è capito che non c'è giuramento nei numeri kіltsі tsіlih, come se vendicasse tutti i numeri naturali. Il qi del potere, a quanto pare, può essere posto come base per una rigida designazione di un sistema di numeri. Nei paragrafi 2.2 e 2.3 verrà riportata la correttezza di tale designazione.
Appuntamento 1. Il sistema dei numeri è chiamato sistema algebrico, per cui la mente è:
1. Sistema algebrico є kіltse;
2. Dovrebbe essere preso in considerazione l'anonimato dei numeri naturali, inoltre, aggiungendo che la moltiplicazione in kіltsі su sottomultipli è presa dalle addizioni di quelle moltiplicazioni di numeri naturali, tobto
3. (minimità umova). Z è il minimo per l'inclusione del moltiplicatore con potenza 1 e 2. In altre parole, per vendicare i numeri naturali, allora Z0=Z.
L'appuntamento 1 può avere carattere assiomatico. I primi concetti di questa teoria assiomatica saranno:
1) Z anonimo, i cui elementi sono detti numeri interi.
2) Un numero intero speciale, in quanto si chiama zero e si indica con 0.
3) Vіdnosini ternario + ta (.
Con N, come di consueto, i numeri naturali impersonali sono indicati piegando (e moltiplicazioni (. Infatti, fino alla designazione 1, il sistema degli interi è chiamato tale sistema di algebra (Z; +, (, N ), per il quale sono vittoriosi i seguenti assiomi):
1. (Assiomi del kіltsya.)
1.1.
Questo assioma significa che + є è un'operazione binaria dell'algebra sull'insieme Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, quindi il numero 0 può essere aggiunto come elemento neutro).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), quindi per l'intero skin c'è il numero opposto a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Questo assioma significa che la moltiplicazione è un'operazione binaria dell'algebra sul moltiplicatore Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Assiomi del legame tra Z e il sistema dei numeri naturali.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Assioma di minimalità.)
Se Z0 è la fine dell'anello Z e N(Z0, allora Z0=Z.
Significativamente atti di potere del sistema dei numeri.
1. Il numero di skin può essere rappresentato osservando la differenza tra due numeri naturali. L'aspetto è ambiguo, inoltre, z=a-b e z=c-d, de a, b, c, d (N, entrambi e solo se a+d=b+c).
Portare. Significativamente, attraverso Z0, l'assenza di tutti gli interi, la pelle di ognuno di essi, sembra due numeri naturali. Ovviamente, ((a(N) a=a-0, i, alias, N(Z0).
Andiamo x,y(Z0, quindi x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Allora x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)))- ( a(d(b(c). Si può vedere che x-y, x(y(Z0 i, d'ora in poi, Z0 è un sottoinsieme dell'anello Z, per vendicare l'impersonale N.)).
2. L'anello degli interi è un anello commutativo con unità e lo zero dell'anello è il numero naturale 0 e l'unità dell'anello è il numero naturale 1.
Portare. Sia x,y(Z. Valido per alimentare 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Allora x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))). Pertanto, a causa della commutatività della moltiplicazione dei numeri naturali, si adatta a xy=yx. La commutatività della moltiplicazione in è stato portato l'anello Z. 2 vyplyvayut dalle ovvie uguaglianze offensive, in cui, tramite 0 e 1, sono noti i numeri naturali zero e uno: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b ( 1 = a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SYSTEM CYLIKH NUMERO.

Il sistema dei numeri è assegnato a 2.1 come minimo per l'inclusione dell'anello, che vendica i numeri naturali. Vikaє pitanya - qual è lo stesso kіltse? In altre parole, il sistema degli assiomi s 2.1 è super semplicistico. Per portare la non-superità del sistema degli assiomi, è necessario indurre un'interpretazione in una teoria chiaramente non-supervisibile. Tale teoria è presa in considerazione dall'aritmetica dei numeri naturali.
Anche in questo caso è necessario spiegare l'interpretazione del sistema degli assiomi 2.1. Partiamo per l'impersonale. Per chi l'impersonale sono significativamente due operazioni binarie e un'impostazione binaria. Se l'addizione di quella moltiplicazione di coppie si riduce all'addizione di quella moltiplicazione di numeri naturali, allora per i numeri naturali, l'addizione di quella moltiplicazione di coppie è commutativa, associativa, e la moltiplicazione è distributivamente simile all'addizione. Riconsideriamo, ad esempio, la commutatività della somma di coppie: +===+.
Diamo un'occhiata al potere di vіdnoshennia ~. Oskіlki a + b = b + a, quindi ~, quindi impostando ~ di riflesso. Se ~, allora a+b1=b+a1, allora a1+b=b1+a, allora ~. Otzhe, impostando ~ simmetricamente. Vai avanti ~ io ~. Sono valide anche le uguaglianze a+b1=b+a1 e a1+b2=b1+a2. Sommando i numeri delle uguaglianze, togliamo a + b2 = b + a2, quindi ~. Otzhe, impostando ~ anche transitivamente і, otzhe, є equivalente. La classe di equivalenza che vendica una coppia sarà determinata attraverso. In questo grado, la classe di equivalenza può essere assegnata alla tua coppia e con essa
(1)
L'anonimato di tutte le classi di equivalenza è significativo. Il nostro compito è mostrare che il moltiplicatore in caso di una specifica operazione di piegatura e moltiplicazione sarà l'interpretazione del sistema di assiomi di 2.1. Le operazioni sui senza volto sono significative per uguaglianza:
(2)
(3)
Se i è, allora sul moltiplicatore N vale l'uguaglianza a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)), l'uguaglianza (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), che, in virtù di (1), è accettabile, che. Tse significa che l'equivalenza (2) significa un'unica operazione di somma di un moltiplicatore, così come non cadere per scelta delle coppie, che denota addizioni) e unicità della moltiplicazione delle classi In questo modo, le uguaglianze (2) e (3) sono assegnate alla molteplicità delle operazioni binarie di algebra.
Le classi di aggiunta e moltiplicazione di Oskіlki possono essere costruite per piegare e moltiplicare coppie, queste operazioni sono commutative, le classi associative e moltiplicatrici sono distributivamente facili da piegare. Dalle uguaglianze si stabilisce che la classe è un elemento neutro del modo di piegare e la classe della pelle è quella proliferativa. Quindi, il moltiplicatore è un cerchio, quindi vengono contati gli assiomi del gruppo 1 da 2.1.
Diamo un'occhiata al kіl'tsі podmnozhina. Se a(b, quindi tramite (1) e se a
Sull'impersonale, il binario è significativo (seguendo (; stesso, seguendo la classe, seguendo la classe, de x (є numero naturale, venendo dopo x. Classe, venendo dopo naturalmente significato attraverso). la classe lo segue, la classe i è ancora uno solo.
Diamo un'occhiata all'immagine. È ovvio che lo scopo della fermentazione è biattivo e la mente f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () In altre parole, algebra (;, () è un'interpretazione del sistema di assiomi di Peano. Derivante da algebre isomorfe, quindi puoi considerare rispettosamente che la stessa N impersonale è sottomoltiplicata. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, il che significa che l'aggiunta di quella alle addizioni e alle moltiplicazioni dei numeri naturali viene aggiunta la moltiplicazione nel kіltsi sul sottomultiplo N. Pertanto, viene installata l'aggiunta degli assiomi del gruppo 2.
Dai Z0 - sii come un kіltse pіdkіltse, scho per vendicare l'impersonale N i. Con rispetto, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - un kіlce, quindi la differenza tra queste classi può anche risiedere in un kіltsu Z0. З uguaglianze -= (= fit, sho (Z0 і, alias, Z0=. Viene portata la non-superità del sistema di assiomi dell'elemento 2.1).

2.3. UNITÀ DEL SISTEMA DEI NUMERI.

Ho solo un sistema di numeri per la mia mente intuitiva. Tse significa che il sistema degli assiomi, che designa i numeri dei numeri, può essere categoriale, quindi l'interpretazione del sistema degli assiomi è isomorfa. Categorico e significa che, fino all'isomorfismo, esiste un solo sistema di numeri. Perekonayemosya, scho tse true so.
Siano (Z1;+,(,N) e (Z2;(,(,N)) due interpretazioni del sistema di assiomi del paragrafo 2.1.) sono riempiti con indisciplinato e crema per qualsiasi elemento x e y dall'anello Z1 equità
(1)
. (2)
Rispettosamente, i frammenti N(Z1 e N(Z2, quindi
, a(b=a(b. (3)
Sia x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Imposta l'elemento x=a-b sull'elemento u=a(b, de) , stars z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse significa che la nostra capacità di cadere come rappresentante dell'elemento x come differenza tra due numeri naturali e cim è mostrata in f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Comprendendo che v(Z2 і v=c(d), quindi v=f(c-d).) l'espressione f è su'iettiva.
Se x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), allora a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c ) forza (3) a+d=b+c, quindi a-b=c-d Abbiamo portato che l'uguaglianza di x=y è evidente dall'uguaglianza di f(x)=f(y), quindi l'espressione di f è inattivo.
Se a(N, allora a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Quindi, i numeri naturali non sono violenti quando f è esagerato. Lontano, come x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, quindi x + y = (a + c) - io f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). È stata dimostrata l'equità dell'uguaglianza (1). Uguaglianza reversibile (2). Scale f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), e dall'altro lato f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Quindi, f(xy)=f(x) (f(y)), che completa la dimostrazione della categoria del sistema degli assiomi n.) 2.1.

2.4. VALORE E POTERE DEL SISTEMA DEI NUMERI RAZIONALI.

Numeri razionali Q anonimi nel campo rozumіnnі intuitivo dato, per alcuni numeri interi Z impersonali є pіdkіltsem. Quando è ovvio che Q0 è il sottocampo del campo Q, per vendicarsi dei numeri, allora Q0 = Q.
Appuntamento 1. Un sistema di numeri razionali è un tale sistema di algebra (Q; +, (; Z), per il quale si usa la mente:
1. sistema algebrico (Q; +, () є campo;
2. anello Z numeri interi є pіdkіltsem campo Q;
3. (minimo) se il sottocampo Q0 del campo Q vendica il sottocampo Z, allora Q0=Q.
In breve, il sistema dei numeri razionali è il minimo per il campo incluso per vendicare il numero di numeri. Puoi fornire più rapporti sulla definizione assiomatica del sistema dei numeri razionali.
Teorema. Un numero razionale skin x può essere rappresentato come due interi privati, quindi
, de a, b (Z, b (0. (1)
L'aspetto è ambiguo, inoltre, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Portare. Significativamente in termini di Q0, ci sono numeri razionali impersonali, come si vede in (1). Per concludere la riconciliazione, quindi Q0 = Q. Andiamo, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Quindi, per la potenza del campo, è possibile: , e per c (0) La media Q0 è chiusa su un numero diverso da zero, i, quindi, є sottocampo del campo Q. Quindi se il numero a è rappresentabile in vista, allora Z (Q0. A causa del fatto che è minimo e ovvio , Q0 = Q. La dimostrazione dell'altra parte del teorema ovvio.

2.5. FONDAZIONE DEL SISTEMA DEI NUMERI RAZIONALI.

Il sistema dei numeri razionali è designato come il campo minimo per vendicare il numero di numeri. Zvichayno vinikaє pitanya - chi è un tale campo, quel chi є є nesuperechlivuyu sistema di assiomi, scho vyznaє numeri razionali. Per confermare la non-superità, è necessario indurre un'interpretazione del sistema degli assiomi. A chi è possibile spiraleggiare la base del sistema dei numeri interi. Prendiamoci un momento per interpretare Z(Z\(0) come un numero immutabile. Due operazioni binarie di algebra sono significative sul moltiplicatore
, (1)
(2)
quel binario
(3)
Dotsіlnіst sama una tale designazione di operazioni e vіdnosinі ~ vyplyaє z che in іyіnpretatsії, come sto per essere, un paio di parole sono più private.
È facile pensare troppo che le operazioni (1) e (2) siano commutative, associative e si moltiplichino in modo distributivo. Tutti i poteri del potere sono venerati sulla base dei poteri superiori di sommare quella moltiplicazione di numeri. Pereverimo, ad esempio, l'associatività di più coppie: .
Allo stesso modo, si riconsidera che la differenza è ~ є equivalente, e, quindi, l'impersonale Z(Z \ (0)) è diviso in classi di equivalenza. a coppie i in virtù della mente (3) prendiamo:
. (4)
Il nostro compito è designare l'operazione di piegare quel moltiplicatore in moltiplicatore, in modo che fosse un campo. Il numero di operazioni è significativo per uguaglianze:
, (5)
(6)
Quindi, allora ab1=ba1 e poi cd1=dc1, quindi moltiplicando i valori di uguaglianza, prendiamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), e tse significa che Tse ci cambierà da quello che è equal (6) ) significa effettivamente un'operazione univoca su una classe impersonale, tale da risiedere nella scelta dei rappresentanti della classe skin. Allo stesso modo, viene rivista l'unicità dell'operazione (5).
Poiché l'aggiunta e la moltiplicazione di classi possono essere ridotte a coppie di piegatura e moltiplicazione, le operazioni (5) e (6) sono commutative, associative e distributive e possono essere aggiunte.
Tra le uguaglianze, si stabilisce che la classe è un elemento neutro quando integrata e per la classe della pelle viene utilizzato l'elemento protella yoma. Allo stesso modo, è ovvio che la classe è un elemento neutro della pluralità e per la classe skin è la classe correttiva. Inoltre, є il campo delle operazioni (5) e (6); vince il primo Umov al punto 2.4 nominato.
Diamo un'occhiata alla distanza impersonale. Ovviamente, . L'impersonalità è chiusa dal vedere quel plurale e, più tardi, dai pidkil del campo. Corretta, . Diamo un'occhiata alla visione, . La suriettività di questa manifestazione è ovvia. Se f(x)=f(y), allora x(1=y(1 o x=y. Significa f e iniettivamente. Inoltre, kіltsya isomorfo, è possibile capire che Z kіlce è il subkіlcem del campo, quindi la mente è battuta 2 alla clausola nominata 2.4. campi io, Dai. Bo, ah, allora. Ale oskіlki - il campo, quindi gli elementi tsikh privati tezh giacciono sul campo. Lo stesso Tim lo ha sollevato, che cos'è, allora, tobto. La base del sistema dei numeri razionali è stata completata.

2.6. UNITÀ DEL SISTEMA DEI NUMERI RAZIONALI.

Se esiste un solo sistema di numeri razionali nel senso intuitivo moderno, allora la teoria assiomatica dei numeri razionali, come appare qui, può essere categorica. Categorico e significa che, fino all'isomorfismo, esiste un solo sistema di numeri razionali. Dimostriamo che è vero.
Siano (Q1;+, (; Z) e (Q2; (, (; Z)) - come due sistemi di numeri razionali.
(1)
(2)
per qualsiasi elemento xey dal campo Q1.
Gli elementi privati aeb nel campo Q1 saranno indicati da, e nel campo Q2 - con a:b. Dal momento che Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, quindi per qualsiasi numero di numeri a і b equivalenza
, . (3)
Vieni e de, . Assegniamo all'elemento dato x l'elemento y=a:b dal campo Q2. Se l'uguaglianza è vera nel campo Q1, allora, il teorema dell'elemento 2.4 nell'anello Z vince l'uguaglianza ab1=ba1, altrimenti, per la (3), l'uguaglianza, e similmente per lo stesso teorema, l'uguaglianza a: b=a1:b1 è valido nel campo Q2. Tse significa che assegnando all'elemento del campo Q1 l'elemento y=a:b del campo Q2, lo visualizzeremo, .
Qualsiasi elemento del campo Q2 può essere rappresentato come a:b, de, otzhe, є il rango dell'elemento del campo Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Sì, quindi nel campo Q1 e lo stesso. In questo modo, la fermentazione f є bієktivnym e tutti i suoi numeri diventano indisciplinati. È necessario rendere giustizia alle uguaglianze (1) e (2). Diciamo a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Allora i, segni dovuti a (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Allo stesso modo, e stelle.
Isomorfismo delle interpretazioni di (Q1; +, (; Z) e (Q2; (, (; Z)) avanza.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Soluzione. Che gli assiomi della mente 4 siano veri (tale potenza dei numeri naturali che ((0) i. Facciamolo. Se M soddisfa le potenze degli assiomi 4, frammenti ((0) (0(M i. Otzhe), M=N , quindi essere-come naturale ).il numero è potente (. Indietro. È accettabile che per che ci sia o meno potenza (da quella ((0) i, next. Sia M un sottomoltiplicatore di N, che 0(M i.) Si mostrerà che M = N. Introduciamo il potere (, rispettosamente. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Verdetto: Affermazione vera del 1° e 4° assioma di Peano. Conferma dei 2° assiomi di Hibne.
1.1.3. Verdetto: affermazione veritiera di 2,3,4 assiomi di Peano. Conferma dei 1° assiomi di Hibne.
1.1.4. Affermazioni vere 1, 2, 3 Assiomi di Peano. Enunciato del 4° assioma di Hibne. Vkazіvka: portare, scho soddisfatto delle possibilità dell'assioma 4, formulato in termini di operazione, birra.
1.1.5. Vkazіvka: per dimostrare la verità dell'assioma 4, dai un'occhiata al sottomoltiplicatore M z A, poiché soddisfa le menti: a) 1 ((M, b) e impersonale.
1.1.6. Affermazione vera degli assiomi 1,2,3 di Peano. Enunciato dei 4° assiomi di Peano Hibne.
1.6.1. a) Decisione: per favore fatemi sapere se è l'una di notte. Di ritorno. Andiamo am
1.6.2. a) Decisione: Accettabile. Attraverso M, siamo significativamente impersonali di tutti i numeri, in modo da non essere potenti (. Per ipotesi, M((. In virtù del Teorema 1, M ha l'elemento più piccolo n(0). Sia il numero x
1.8.1. f) Barrare p.e) e p.c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, inoltre, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Vincere il potere.
l) Spuntare p. b).
l) Spuntare p. b) e p. h).
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Padre, .
d) Maemo. Padre, .
e).
1.8.3. a) Like (i (soluzione diversa uguale ax2+bx=c), quindi a(2+b(=a(2+b(.)) . Esattamente ((. Tuttavia (2=a(+b>a(, inoltre, (>a.))).
c) Nehai (i (- diverse radici di uguale i (>(. Todі 2((-()=(a(2+b)))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Successivamente, a((+()=2), ma (+(>2), dopo, a(+()>2), che è impossibile).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y è un numero naturale; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Esattamente fino alle permutazioni x=1, y=2, z=3. Soluzione: ad esempio, diciamo x(y(z. Quindi xyz=x+y+z(3z, quindi xy(3.) Quindi xy=1, quindi x=y=1 і z=2+z, quindi) Impossibile: se xy = 2, allora x = 1, y = 2. In tal caso 2z = 3 + z, allora z = 3. Se xy = 3, allora x = 1, y = 3. Allora 3z = 4+z , quindi z=2, per sovrapporre la tolleranza y(z.
1.8.5. b) Se x=a, y=b è una divisione, allora ab+b=a, allora. a>ab, che è impossibile. d) Se x=a, y=b è una divisione, allora b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - numero naturale sufficiente e y(1. b) x - numero naturale sufficiente, y=1. c) x è un numero abbastanza naturale y=1. d) Non c'è soluzione. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Se a = b, allora 2ab = a2 + b2. Dai, per esempio, a

LETTERATURA

1. Redkov MI Sistemi numerici. /Suggerimenti metodologici al corso "Sistemi numerici". Parte 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova TI Sistemi numerici. / Sviluppo metodico per una presa pratica. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.