Scopri tutte le radici razionali di un termine ricco online. Equazione in tutta la matematica Radice razionale di termini ricchi. Lo schema di Horner. Chi є tse numero razionale

Un termine ricco nella forma di una variabile x è chiamato in modo diverso: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n è un numero naturale; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - siano essi numeri, detti coefficienti di questo polinomio. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sono chiamati membri del polinomio e 0 è chiamato membro arbitrario. an - coefficiente a xn, an-1 - coefficiente a xn-1 e così via. ad esempio, il termine rich 0x2 + 0x + 0 è nullo. Dalla registrazione del polinomio, è chiaro che vin è sommato dal numero di termini. Suona come il termine "membro ricco" (membri ricchi). A volte un termine ricco è chiamato polinomio. Questo termine ricorda le parole greche πολι - ricco e νομχ - membro.

Un membro ricco nella forma di un cambiamento x è indicato: . f (x), g (x), h (x) e così via, ad esempio, come i primi termini più ricchi in termini di f (x), allora puoi scrivere: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Il termine ricco h (x) è chiamato il dormiente più grande dei termini ricchi f (x) e g (x), quindi è possibile per aggiungere f (x), g (x) e cuoio dilnik. 2. Il termine ricco f(x) con coefficienti dal campo P del passo n è detto riducibile sul campo P, stabilendo così termini ricchi h(x), g(x) Î P[x] del passo minore n tali che f (x) = h(x)g(x).

Questo è il termine ricco f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, allora il numero n è chiamato stadio del termine ricco f (x) (o sembra: f (x) è l'n-esimo stadio) e scrivi Art. f(x) = n. E qui an è chiamato coefficiente senior e anxn è il membro senior di questo polinomio. Ad esempio, se f (x) = 5 x 4 -2 x +3, allora l'art. f(x) = 4, coefficiente senior - 5, termine senior - 5 x4. Il passo polinomiale è il più grande dei numeri dei suoi coefficienti, i tipi iniziali di zero. I termini ricchi del passo zero sono i numeri interi, che sono gli stessi di zero. il termine ricco zero del passaggio non può essere; termine ricco f(x) = a, dove a è un numero, diverso da zero, il passo massimo è 0; passo ben essere qualche altro polinomio, che è più costoso per il massimo indicatore del passo di cambiamento x, il coefficiente al successivo è zero.

Rivnist dei membri ricchi. Due termini ricchi f(x) e g(x) sono considerati uguali, anche se i loro coefficienti sono uguali agli stessi passaggi della modifica x e termini liberi (coefficienti їх відпровідні uguali). f(x) = g(x). Ad esempio, i termini ricchi f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 non sono uguali, il primo di essi ha un coefficiente a x3 più uguale a 1 e l'altro ha zero ( proprio con le intelligenze accettate, possiamo scrivere: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Nel qual caso: f (x) ≠ g (x x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

E l'asse del termine ricco f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 ugualmente anche se a = 3 , ma b = -2. Assegna il termine ricco f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 è un numero c. Numero f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 è chiamato il valore del polinomio f(x) in x = c. In tal modo, per conoscere f (c), è necessario sostanziare x ed effettuare i calcoli necessari. Ad esempio, se f(x) = 2x3+3x2-x+5, allora f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Può essere preso un membro ricco con diversi valori di cambio x valori diversi. Il numero è chiamato radice del polinomio f (x), quindi f (c) =0.

È importante prestare attenzione alla differenza tra due affermazioni: "il termine ricco f(x) è uguale a zero (in caso contrario, il termine ricco f(x) è zero)" e "il valore del polinomio f(x) a x=z è uguale a zero". Ad esempio, il polinomio f (x) \u003d x 2 -1 non è uguale a zero, vіn può essere coefficienti diversi da zero, come il valore in x \u003d 1 è uguale a zero. f(x) ≠ 0 e f(1) =0. Tra la comprensione dell'equivalenza dei termini ricchi e il significato del termine ricco c'è la stessa stretta interrelazione. Se sono dati due polinomi uguali f(x) e g(x), allora їх sono coefficienti uguali di uguali, e, quindi, f(c) = g(c) per il numero di skin c.

Operazioni sui polinomi I termini ricchi possono essere sommati, visti e moltiplicati secondo le consuete regole di espansione dell'arco e riduzione di termini simili. Con questo, di conseguenza, entro di nuovo un membro ricco. Le operazioni designate possono avere potenza: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Lascia che ti dia due termini ricchi f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, io g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Era chiaro che l'art. f(x)=n, e l'art. g(x) = m. Se moltiplichi qi due polinomi, otterrai un termine ricco della forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 e bn≠ 0, quindi anbm≠ 0, inoltre, art. (f(x)g(x))=m+n. I suoni sono forti e importanti.

Passi per sommare due termini ricchi diversi da zero alla somma dei passi dei moltiplicatori, art. (f(x)g(x)) = p. f(x) +st. g(x). Il membro senior (coefficiente) della creazione di due termini ricchi diversi da zero per sommare i membri senior (coefficienti) dei moltiplicatori. Un membro libero della creazione di due membri ricchi è degno della creazione di membri liberi dei moltiplicatori congiunti. I passaggi di f(x), g(x) e f(x) ±g(x) riccamente articolati sono associati alla prossima spivvіdnoshennia: art. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Viene chiamata la sovrapposizione di più termini f(x) e g(x). termine ricco, che è indicato con f (g (x)), che può anche entrare nel polinomio f (x) invece di x, sostituire il polinomio g (x). Ad esempio, se f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, allora f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Si può notare che f(g(x)) ≠g(f(x)), cioè una sovrapposizione di più termini f(x), g(x) e una sovrapposizione di più termini g(x), f( x) diverso. In questo modo l'operazione di sovrapposizione non ha potere di spostamento.

, Algoritmo di sottostima e overflow Per se f(x), g(x) è chiaro q(x) (privato) e r(x) (surplus), così che f(x)=g(x)q(x )+ r(x) e i passaggi r(x)

Dizionari di un polinomio Dizionario di un termine ricco f(x) è un termine ricco g(x) tale che f(x)=g(x)q(x). Il letto più grande di due riccamente segmentati Il letto più grande di f(x) e g(x) riccamente segmentati è un tale letto matrimoniale di d(x), che può essere diviso in qualsiasi altro loro letto.

L'algoritmo di Euclideo (algoritmo dell'ultima sottoriga) del più grande diario comune di termini ricchi f(x) e g(x) Todi è il più grande dilnik di f(x) e g(x).

Cambia altri Soluzione: Conosciamo il GCD di questi termini ricchi, che corregge l'algoritmo euclideo 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, termine ricco (- x2 - 3 x - 2) Il risultato è sotto la bandiera del polinomio di vіdomy.

Conosciamo il risultato della suddivisione del numero. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Lo schema di Horner di divisione da un termine eccessivamente ricco f(x) in un termine ricco diverso da zero g(x) -ne significa rivelare f(x) nella vista f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) -termini ricchi i o r(x) = 0, o st. r(x)

Segmenti ricchi, che si trovano nelle parti sinistra e destra della sua spіvvіdnoshennia, uguali e anche uguali їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. È uguale a loro, avendo aperto gli archi davanti e instillato arti simili nella parte destra della linea dell'equanimità. Meno: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih uguaglianze: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Conoscevamo le formule che possono essere utilizzate per calcolare i coefficienti di un privato dispari s (x) e dell'eccesso di r. Con questo, le spese vengono redatte in testa al tavolo; si chiama schema di Horner.

Tabella 1. Coefficienti f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 I coefficienti s(x) sono troppi. In un'altra riga, vicino alla prima cella, annota il numero c. Reshta clitin della riga viene compilato, contando, uno per uno, i coefficienti del privato non lineare s (x) e l'eccesso r. In un altro cliente, annotare il coefficiente bn-1, che, come abbiamo installato, è più costoso di un.

Il coefficiente per stare al muro offensivo della pelle è calcolato secondo la seguente regola: il numero c viene moltiplicato per il numero per stare al muro di fronte, e al risultato viene aggiunto il numero, stare sopra il muro, essere ricordato . Per ricordare, diciamo, cinque clitine, per sapere stare al suo coefficiente, è necessario moltiplicare c per il numero che è nel quarto clitino, e aggiungere al risultato il numero che sta sopra il quinto clitino. Dividiamo, ad esempio, il termine ricco f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 in x-2 іz troppo, lo schema di Horner. Quando si compila la prima riga, i numeri dello schema non possono essere dimenticati sui coefficienti zero del polinomio. Quindi, i coefficienti f(x) sono i valori dei numeri 3, 0, - 5, 3, - 1. Un'altra cosa da tenere a mente è che il passo di un privato incompleto è uno inferiore al passo di il termine ricco f(x).

Inoltre, sembra essere stato suddiviso secondo lo schema di Horner: Tabella 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 È importante notare che private s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 e eccedenza r=33. Rispettosamente, abbiamo calcolato il valore del polinomio f (2) =33. Ora dividiamo il termine molto ricco f(x) in x + 2 іz troppo. Ho un vipadku con = -2. opzionale: Tabella 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Di conseguenza, f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21.

Radice dei polinomi Nehai с1, с2, …, сm - Radice diversa del polinomio f(x). Allora f(x) è divisibile per x-c1, allora f(x) = (x-c1) s1(x). Paghiamo per questa equanimità x=c2. Sottraiamo f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, quindi f(c2) =0, quindi (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, quindi c2 -c1≠ 0, il che significa che s 1 (c 2) = 0. Inoltre, c2 è la radice del polinomio s 1 (x). Mostra che s1(x) è divisibile per x-c2, quindi s1(x) = (x-c2) s2(x). Immagina di sottrarre virasi per s 1 (x) y uguale a f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Può f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Dopo aver inserito il resto dell'uguaglianza x \u003d c3, per risolverlo f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, assumiamo che c3 sia la radice del polinomio s 2 (x). Quindi, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), quindi f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) e così via per le radici che sono andati perduti, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) viene tolto, questo è portato a una formula inferiore.

Poiché c1, c2, ..., cm è la diversa radice del polinomio f (x), allora f (x) può essere dato guardando f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) mq (x). Sembra una conseguenza importante. Poiché c1, c2, ..., cm è la radice del polinomio f (x), allora f (x) è diviso per il polinomio (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Il numero di diverse radici del polinomio diverso da zero f(x) non è maggiore del gradino inferiore. Vero, poiché f(x) non ha radice, è chiaro che il teorema è corretto, più l'art. f (x) ≥ 0. Sia f (x) ora m radici c1, c2, ..., cm, inoltre, tutte le puzze sono diverse. Così come f (x) è diviso per (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). A volte l'art. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = p. (x-c1) + art. (X-C2) + ... + Art. (x-cm) \u003d m, quindi st. f(x)≥m, em è il numero di radici del termine ricco che può essere considerato. E l'asse del termine zero ricco è infinitamente ricco di radici, anche se ha un significato per tutto ciò che x è più bello 0. Zokrema, per il gusto di provocarlo, e non punire lo stesso passo di canto. Da teoremi ben provati, la stessa affermazione è evidente.

Se il polinomio f(x) non è un multinomio di passo, maggiore, minore n, e può essere maggiore, minore n radici, allora f(x) è un polinomio zero. Infatti, dalla mente della mente dell'impresa, risulta chiaro che f(x) è un polinomio zero, ovvero l'art. f(x) ≤n. Assumendo che il polinomio f(x) non sia zero, allora l'art. f(x) ≤n, e quindi f(x) non può essere più, al di sotto di n radici. Stiamo arrivando al punto di superbia. Quindi, f(x) è un termine ricco diverso da zero. Siano f(x) e g(x) termini ricchi non nulli del passo, non maggiore, n minore. Se q polinomi acquisiscono lo stesso valore per n + 1 valori di variazione x, allora f (x) = g (x).

Per la dimostrazione, osserviamo il termine ricco h(x) = f(x) – g(x). Mi è venuto in mente che - o h (x) = 0, o st. h (x) ≤n, allora h (x) non è un termine ricco del passo, maggiore di, minore di n. Prendo ora il numero in modo che f (c) = g (c). Allora h(c) = f(c) - g(c) = 0, allora h è la radice del polinomio h(x). Inoltre, il termine ricco h(x) ha n+1 radici, e se, come è stato fatto, h(x) = 0, allora f(x) = g(x). Se f(x) e g(x) hanno gli stessi valori per tutti i valori della variabile x, allora

Radici multiple del multinomio Poiché il numero є è la radice del multinomio f (x), questo polinomio, apparentemente, è divisibile per x-s. Potrebbe essere possibile che f(x) possa essere esteso al passaggio successivo bugato-membro x-s, cioè su (x-c) k, k>1. Questo vipadka è chiamato radice multipla. Formuliamo l'appuntamento in modo più chiaro. Il numero è chiamato radice di molteplicità k (radice k-fold) del polinomio f (x), quindi il polinomio è divisibile per (x-c) k, k>1 (k è un numero naturale), ma non divisibile per ( x-c) k + 1. Se k=1, allora è detta radice semplice, e se k>1, è chiamata radice multipla del polinomio f (x).

Quindi il polinomio f(x) può essere rappresentato come f(x)=(x-c)mg(x), m è un numero naturale, vin è divisibile per (x-c) m+1 e quindi se g(x) è divisibile per x-c. Infatti, se g(x) è divisibile per x-c, allora g(x)=(x-c)s(x), allora f(x)=(x-c) m+1 s(x), e anche, f(x ) è suddiviso per (x-c) m+1. Indietro, poiché f(x) è divisibile per (x-c) m+1, allora f(x)=(x-c) m+1 s(x). Quindi (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) e dopo il breve tempo per (x-c) m, viene preso g (x) = (x-c) s (x). Sembra che g(x) sia suddiviso in x-s.

È chiaro, ad esempio, che chi è il numero 2 come radice del termine ricco f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, e se sì, allora ne conosciamo la molteplicità. Per verificare la prima alimentazione, possiamo verificare lo schema aggiuntivo di Horner, che divide f(x) per x-2. può essere: Tabella 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Come Bachimo, l'eccesso quando si divide f(x) per x-2 è maggiore di 0, quindi dovrebbe essere diviso per x-2. Quindi, la radice 2 del polinomio. Inoltre, abbiamo tolto che f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Ora è ovvio, chi є f (x) su (x-2) 2. Tse depositare, come ha portato mi schoyno, vista la divisibilità del polinomio g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 su x-2.

Ancora una volta accelerando secondo lo schema di Horner: Tabella 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Quindi f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Inoltre, f(x) è divisibile per (x-2) 2, ora è necessario dire che f(x) è divisibile per (x-2)3. Per cui è reversibile che h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 sia diviso per x-2: Tabella 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, inoltre, f(x) è diviso per (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Quindi, analogamente, è possibile verificare se f(x) è diviso per (x-2)4, in modo che s(x)=x 2+x-3 sia diviso per x-2: Tabella 7. 2 1 1 1 3 -3 3 È noto che l'eccesso quando s(x) è suddiviso per x-2 è uguale a 3, allora s(x) non è suddiviso per x-2. Inoltre, f(x) non sussume su (x-2) 4. In questo modo, f(x) sussume su (x-2)3, ma non su (x-2)4. Inoltre, il numero 2 è la radice della molteplicità del termine ricco 3 f(x).

Suona il riverbero della fondamentale per la molteplicità di contare meno al tavolo. Per questa applicazione, la tabella potrebbe essere simile a questa: Tabella 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner ha sottratto il multinomio f (x) per x-2, in un'altra riga togliamo i coefficienti del polinomio g (x). Quindi prendiamo quest'altra riga nella prima riga del nuovo sistema Horner e sottraiamo g (x) per x-2 e così via. In questo modo, la molteplicità della radice è uguale al numero di otrimanih zero eccedenze. Di seguito, per vendicare il rimanente surplus diverso da zero, ci sono anche i coefficienti della parte in cui f (x) è suddiviso per (x-2) 3.

Ora, vikoristovuyuchi schoyno proponovan schema di riverificazione della radice per la molteplicità, sembra che il compito stia arrivando. Per qualsiasi aeb, il termine ricco f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 il numero - 2 può essere la radice della molteplicità di 2? Quindi la molteplicità della radice - 2 è dovuta ad aggiungere 2, quindi, dopo averlo suddiviso per x + 2 per lo schema proposto, dobbiamo raddoppiare per prendere l'eccesso di 0, e nel terzo - l'eccesso, che è uguale a zero. Maggio: Tabella 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

In questo rango, il numero - 2 є radice della molteplicità di 2 del termine ricco espiratorio, allora e solo allora, se

La radice razionale del polinomio Se il termine non breve l/m (l, m sono gli interi del numero) è la radice del termine ricco f(x) a coefficienti multipli, allora il coefficiente più alto del polinomio è divisibile per m, e il lungo termine è divisibile per 1. Vero, come f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 sono numeri interi, quindi f(l/m) = 0, quindi an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/mq+a 0=0. Moltiplicare le parti incriminate del prezzo di equivalenza per mn. Prendi anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) suona.

Bachimo, il numero intero anln è divisibile per m. Ale l/m è un drib non corto, quindi i numeri l ed m sono mutuamente semplici, ma anche, secondo la teoria della validità dei numeri interi, anche i numeri ln ed m sono mutuamente semplici. Otzhe, anln essere diviso in m ed m è mutuamente semplice da ln, inoltre, an essere diviso in m. Conosciamo la radice razionale del termine ricco f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Secondo il teorema, la radice razionale del polinomio si trova tra le frazioni non brevi nella forma l / m, de l è il dilnik del termine libero a 0 \u003d 8 e m è il dilnik del coefficiente più alto a 4 \u003d 6. in tal caso, l / m è negativo, quindi il segno "-" viene visualizzato sul quadrante numerico. Ad esempio, - (1/3) = (-1)/3. Inoltre, possiamo dire che l è il fattore del numero 8 e m è il fattore positivo del numero 6.

Gli oscillatori del numero 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 e i dilatatori positivi del numero 6 saranno 1, 2, 3, 6, quindi la radice razionale del termine ricco cercato è tra i numeri ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Immagino di aver annotato più delle brevi frazioni. In questo ordine, potremmo avere venti numeri - "candidati" per le radici. Non restava che riconsiderare la loro pelle e scegliere quelle, come se fossero fedeli alle radici. Sta arrivando un teorema che renderà le cose più facili per il robot. Finché l/m è la radice del termine multiplo f(x) con coefficienti multipli, allora f(k) è diviso per l-km per ogni intero k per mente, cioè l-km≠0.

Per dimostrare il teorema, dividiamo f(x) in x-k іz troppo. Sottrarremo f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskіlki f(x) è un termine ricco con coefficienti qlimi, quindi un termine così ricco è s(x) e f(k) è un numero intero. Sia s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Allora f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Paghiamo per questa equanimità 1 x=l/m. Se f(l/m)=0, allora f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Moltiplicare la parte incriminata dell'equità residua per mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . È chiaro che il numero mnf (k) è diviso per l-km. Ale oskіlki l і m sono mutuamente semplici, quindi anche mn і l-km sono mutuamente semplici, inoltre f (k) è diviso per l-km. Il teorema è stato completato.

Torniamo al nostro sedere e, dopo aver dimostrato il teorema, è ancora più sonoro sul suono della radice razionale. È necessario assegnare il teorema per k=1 і k=-1, cioè perché il drіb l/m non corto è la radice del termine f(x), quindi f(1)/(l-m), e f(-1)/(l + m) . È facile sapere che nei tempi f(1)=-5, e f(-1)=-15. Rispettosamente, lo abbiamo immediatamente disattivato a colpo d'occhio ± 1. D'ora in poi, la radice razionale del nostro termine ricco è il seguente numero di numeri centrali ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8 /3. Diamo un'occhiata a l/m=1/2. Quindi l-m=-1 e f(1)=-5 sono divisi per il numero intero. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 quindi esso stesso è diviso per 3. Quindi, drіb 1/2 viene lasciato nel mezzo di "candidati" alla radice.

Lasciami ora lm=-(1/2)=(-1)/2. In questo caso, l-m=-3 і f(1) =-5 non divide per - 3. Quindi, drіb -1/2 non può essere la radice di questo termine ricco e possiamo disattivarlo da una vista distante. È necessario riconsiderare per l'applicazione sulla pelle degli scatti, teniamo conto che la radice si trova tra i numeri 1/2, ± 2/3, 2, - 4. In questo rango, per finire lo stesso semplice trucco, la regione delle radici razionali del polinomio considerato suonava significativa. Bene, per ricontrollare i numeri che sono stati tralasciati, possiamo usare lo schema di Horner: Tabella 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 è la radice del termine ricco f(x) e f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Era chiaro che le altre radici del polinomio f(x) sono ricavate dalle radici del polinomio g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, quindi, ricontrollando ulteriormente i "candidati" in la radice può essere eseguita già dello stesso polinomio. Sappiamo: Tabella 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Abbiamo tolto che l'eccesso quando g(x) è stato suddiviso per x-2/3 è maggiore - 80/9 , poi. 2/3 non è una radice del polinomio g(x), inoltre, i f(x). Inoltre, sappiamo che - 2/3 è la radice del polinomio g (x) e g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Allora f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ulteriori verifiche possono essere effettuate per il polinomio x 2+2 x-4, che è notevolmente più semplice, inferiore per g (x) o maggiore per f (x). Di conseguenza, si tiene conto del fatto che i numeri 2 i - 4 non sono radicati. Inoltre, il termine ricco f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ha due radici razionali: 1/2 i - 2/3. Questo metodo permette di conoscere solo una radice razionale di un termine ricco con un gran numero di coefficienti. Tim è a volte un membro ricco della madre e radice irrazionale. Quindi, per esempio, quando si guarda il calcio di un termine ricco, ci sono solo due radici: - 1±√5 (queste radici di un termine ricco sono x2 + 2 x-4). un polinomio può essere chiamato radice razionale non materiale.

Quando si testano i "candidati" alla radice del termine ricco f(x) dopo un'ulteriore elaborazione di altri teoremi, si dovrebbe chiamare la sinistra per i candidati k=± 1. In altre parole, se l/m è un "candidato" a la radice, allora penserai troppo che f( 1 ) e f(-1) su l-m e l+m siano corretti. Ma potrebbe essere, ad esempio, f(1) =0, cioè 1 è la radice, quindi f(1) può essere esteso come un numero e la verifica ha senso. In questo caso, dividi f(x) per x-1, quindi prendi f(x)=(x-1)s(x) e verifica il polinomio s(x). Se dimentichi che una radice del polinomio f(x)-x 1=1 - lo sapevamo già. Se i "candidati" sono invertiti alla radice, che sono andati persi dopo un altro teorema sulla radice razionale, secondo lo schema di Horner è possibile che, ad esempio, l / m sia la radice, allora dovresti conoscerne la molteplicità. Se è più costoso, diciamo, k, allora f(x)=(x-l/m) ks(x), e un'ulteriore riverificazione può essere fatta per s(x), che accorcerà il calcolo.

Soluzione. Dopo aver modificato la modifica y=2 x, si passa ad un polinomio con coefficiente pari a uno per il gradino più alto. Per questa spalla, moltiplichiamo il viraz per 4. Se la funzione della radice viene rimossa, la puzza si trova nel mezzo del membro libero. ix scrivibile: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Calcoliamo sequenzialmente il valore della funzione g(y) in questi punti fino a zero. Tobto, y=-5 є radice, otzhe, є radice di funzione esterna. Condotto sotto lo stovpchik (bobina) del termine ricco sul binomio

La nuova verifica di dilnikov, che è andata perduta, dovrebbe essere eseguita in modo incompleto, quindi è più facile disporre il trinomio quadrato Otzhe in moltiplicatori di sottrazioni,

Formule di Vykoristannya di moltiplicazione veloce e binomio di Newton per l'espansione di un termine ricco in fattori Inodi vecchio aspetto polinomio per suggerire il metodo di diffusione dello yoga sui moltiplicatori. Ad esempio, dopo trasformazioni incoerenti, i coefficienti di vishikovyvayutsya di seguito dal tricot di Pascal per i coefficienti del binomio di Newton. culo. Disporre il termine moltiplicatore.

Soluzione. Torniamo al punto: la sequenza dei coefficienti in somma nelle braccia mostra chiaramente di cosa si tratta. Dallo stesso, ora formuleremo la formula per la differenza dei quadrati: Viraz l'altro arco non ha radici d'azione, ma per il termine ricco del primo arco, formuliamo ancora una volta la formula per la differenza dei quadrati

Le formule di Vieta esprimono i coefficienti di un polinomio attraverso la radice esima. Con queste formule, puoi correggere manualmente la correttezza del significato della radice del termine ricco, nonché per la piegatura del termine ricco per determinate radici. La formula Come radice di un polinomio, allora i coefficienti sono manifestati dai termini ricchi simmetrici delle radici, e

In altre parole, ak caro somma di tutte le possibili creazioni da k radici. Come coefficiente senior del polinomio, allora è necessario dividere tutti i coefficienti in uno 0 prima della formula di Vieta. Dal resto della formula Vієta è forte, come se la radice del membro ricco fosse intera, quindi la puzza è il dilniks del membro libero yogo, che è anche intero. La dimostrazione si basa sulla visione dell'equivalenza, togliendo la disposizione del termine ricco secondo le radici, vrakhovuchi, che a 0 = 1 Eguagliando i coefficienti agli stessi livelli di x è ossessionato dalla formula Vієta.

Slega l'allineamento x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Slega. Significativamente y \u003d x 3, anche se è uguale a guardare y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, altrimenti Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya è equivalente al matrimonio di rіvnyan: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, cioè X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vidpovіd: 1;

Teorema della destinazione di Bezout 1. Un elemento è chiamato radice di un termine ricco, quindi f(c)=0. Il teorema di Bezout. L'eccesso nella suddivisione del polinomio Pn(x) per il binomio (x-a) aumenta il valore del polinomio in x = a. Portare. In virtù dell'algoritmo, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de o r(x)=0, altrimenti. Successivamente, f(x)=(x-c)q(x)+r, dopo, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, e f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Ultimo 1: L'eccesso nella suddivisione del polinomio Pn (x) per il binomio ax+b è più prezioso per il polinomio in x = -b/a, quindi R = Pn (-b/a). Ultimi 2: Poiché il numero a è la radice del polinomio P (x), il cui polinomio è divisibile per (x-a) senza eccedere. Lezione 3: Come il polinomio P(x) può essere a coppie diverse radici a 1 , a 2 , … , an, vin dividendo per tvir (x-a 1) … (x-an) senza eccesso. Lezione 4: Un membro ricco del passaggio n può essere tre o più di n radici diverse. Lezione 5: Per ogni polinomio P(x) quel numero a è diverso (P(x)-P(a)) divisibile senza eccedere per il binomio (x-a). Lezione 6: Il numero a è la radice del polinomio P(x) di grado non inferiore al primo e solo se P(x) è diviso per (x-a) senza eccedere.

Disposizione di una frazione razionale sulla più semplice Dimostriamo se una frazione razionale corretta può essere distribuita sulla somma delle frazioni più semplici. Sia data l'argomentazione razionale corretta (1).

Teorema 1. Sia x=а є la radice della bandiera di stile k, quindi , de f(a)≠ 0, allora la stessa frazione corretta può essere data dalla somma di altre due frazioni regolari nell'ordine seguente: (2 ) , e F 1 (x) è un termine ricco, il cui passaggio è inferiore al passaggio dello standard

de richomember, il gradino di una specie di gradino inferiore dello standard. І in modo simile alla formula in avanti può essere preso: (5)

Come abbiamo già indicato, uno dei compiti più importanti della teoria dei termini riccamente definiti è il compito di comprenderne le radici. Per l'adempimento di questo compito, puoi vincere il metodo di selezione, tobto. prendi un numero reale e cambialo, che sono le radici di questo polinomio.

Con questo, puoi bere shvidko sulla radice o non puoi saperlo affatto. È impossibile per aje pervertire tutti i numeri, per coloro che sono troppo ricchi.

Fiume Insha, yakby siamo riusciti a suonare la regione per scherzo, ad esempio, per sapere qual è la radice, diciamo, nel mezzo di trenta numeri specificati. E per trenta numeri, puoi anche lavorare su un riverbero. Al legame con i baffi, diciamo più importante, e vediamo una tale fermezza.

Finché l/m (l,m - interi del numero) è la radice del termine multiplo f(x) con coefficienti multipli, allora il coefficiente più alto del polinomio è divisibile per m, e il termine più grande è divisibile per 1.

Infatti, se f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 sono interi di un numero, allora f (l /m) = 0, quindi an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Moltiplicare le parti incriminate del prezzo di equivalenza per mn. Prendi anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

I suoni stanno urlando:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, il numero intero anln è divisibile per m. Ale l / m - non un breve drіb, tobto. i numeri l ed m sono mutuamente semplici, inoltre, secondo la teoria della divisibilità degli interi, anche i numeri ln ed m sono mutuamente semplici. Otzhe, anln essere diviso in m ed m è mutuamente semplice da ln, inoltre, an essere diviso in m.

Il tema è stato portato avanti per consentire al territorio di essere significativamente scandito dalla ricerca di una radice razionale di un termine ricco a coefficienti multipli. Lo dimostreremo su un'applicazione specifica. Conosciamo la radice razionale del termine ricco f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Secondo il teorema, la radice razionale del polinomio si trova nel mezzo di frazioni non brevi nella forma l / m, de l è il dilnik del lungo termine a0 = 8 e m è il dilnik del coefficiente più alto a4 = 6. in tal caso, yakscho drіb l/m è negativo, quindi il segno "-" vodnosimeme al numero. Ad esempio, - (1/3) = (-1)/3. Inoltre, possiamo dire che l è il fattore del numero 8 e m è il fattore positivo del numero 6.

Gli oscillatori del numero 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8 e i dilatatori positivi del numero 6 saranno 1, 2, 3, 6, quindi la radice razionale del termine ricco esaminato è la metà dei numeri ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Immagino di aver annotato più delle brevi frazioni.

In questo ordine, potremmo avere venti numeri - "candidati" per le radici. Non restava che riconsiderare la loro pelle e scegliere quelle, come se fossero fedeli alle radici. Ma ancora una volta, dovrò fare molte rielaborazioni. E l'asse sta arrivando, il teorema semplificherà il robot.

Finché l/m è la radice del termine multiplo f(x) con coefficienti multipli, allora f(k) è diviso per l-km per qualunque intero k sia, ad esempio, l-km?0.

Per dimostrare il teorema, dividiamo f(x) in x-k іz troppo. Prendi f (X) = (x-k) S (X) +f (K). Poiché f(x) è un termine ricco con coefficienti multipli, allora tale polinomio è s(x) e f(k) è un numero intero. Sia s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Allora f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Paghiamo per questa equanimità x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, è possibile

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Moltiplica la parte offensiva della gelosia residua per mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

È chiaro che il numero mnf (k) è diviso per l-km. Ale oskіlki l і m sono mutuamente semplici, quindi anche mn і l-km sono mutuamente semplici, inoltre f (k) è diviso per l-km. Il teorema è stato completato.

Passiamo ora al nostro sedere e, dopo aver dimostrato il teorema, suona ancora più forte quando si tratta del suono della radice razionale. È necessario assegnare il teorema per k=1 і k=-1, quindi. come drіb non breve l/m è la radice di f(x), quindi f(1)/(l-m), e f(-1)/(l+m). È facile sapere che f(1) =-5 e f(-1) =-15. Rispettosamente, abbiamo spento il contagio a colpo d'occhio ±1.

Inoltre, la radice razionale del nostro termine ricco è la seguente dei numeri centrali ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Diamo un'occhiata a l/m=1/2. Quindi l-m=-1 e f(1)=-5 sono divisi per il numero intero. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 quindi esso stesso è diviso per 3. Quindi, drіb 1/2 viene lasciato nel mezzo di "candidati" alla radice.

In questo rango, per concludere lo stesso semplice trucco, hanno sondato significativamente la regione alla ricerca di una radice razionale del polinomio analizzato. Bene, per ricontrollare i numeri, utilizziamo lo schema di Horner:

Tabella 10

Hanno tolto che l'eccesso quando g (x) è stato suddiviso per x-2/3 è uguale a 80/9, quindi 2/3 non è la radice del termine ricco g (x), ma significa, i f (x) .

Inoltre, è facile sapere che - 2/3 è la radice del termine multiplo g(x) e g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Allora f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ulteriori verifiche possono essere effettuate per il polinomio x2+2x-4, che è ovviamente più semplice, g(x) inferiore o f(x) maggiore. Di conseguenza, si tiene conto del fatto che i numeri 2 i - 4 non sono radicati.

Inoltre, il termine ricco f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 ha due radici razionali: 1/2 i - 2/3.

Indovinando, più descrizioni del metodo danno la possibilità di conoscere la radice razionale del termine ricco con molti coefficienti. Tim è a volte un membro ricco della madre e radice irrazionale. Quindi, per esempio, quando si osserva il sedere di un membro ricco, ci sono solo due radici: - 1±v5 (queste radici di un membro ricco sono x2 + 2x-4). E, a quanto pare, un membro ricco potrebbe non essere la madre di una radice razionale.

Ora la signora è felice.

Quando si provano i "candidati" alla radice del termine ricco f(x), dopo aver ulteriormente elaborato più teoremi, suonare a sinistra per vipadkіv k=±1. In altre parole, poiché l/m è un "candidato" alla radice, è inverso se f (1) ef (-1) possono essere divisi in l-m e l+m ovviamente. Ma potrebbe essere che, ad esempio, f (1) = 0, allora 1 è la radice, e quindi f (1) può essere diviso per un numero, e la nostra riverificazione ha senso. І qui il passo successivo è dividere f (x) per x-1, quindi. prendi f(x) = (x-1) s(x) e verifica il polinomio s(x). Se non dimentichi che una radice del termine ricco f(x) – x1=1 – lo sapevamo già. Come nel caso dell'inversione dei "candidati" alla radice, che è andata perduta dopo un altro teorema sulla radice razionale, secondo lo schema di Horner è possibile che, ad esempio, l / m sia la radice, quindi dovresti conoscerne la molteplicità. Se è più costoso, diciamo, k, allora f(x) = (x-l/m) ks(x), e si può fare un'ulteriore riverificazione per s(x), che accorcerà il calcolo.

In questo rango, abbiamo imparato a conoscere la radice razionale del termine ricco con coefficienti grandi. Sembra che noi stessi abbiamo imparato a conoscere la radice irrazionale del termine ricco con coefficienti razionali. Infatti, per quanto posso, ad esempio, un termine ricco f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, quindi, dopo aver aggiunto i coefficienti allo stendardo dormiente e aggiungendo lo yoga per le braccia, prendiamo f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Era chiaro che le radici del polinomio f(x) sono formate dalle radici del termine ricco, che stanno alle braccia, e nel nuovo coefficiente - i numeri. Diciamo, ad esempio, che sin100 è un numero irrazionale. Accelerando con la formula di casa sin3?=3sin?-4sin3?. Stelle sin300 = 3sin100-4sin3100. Guardando indietro a quelli che sin300=0,5 e conducendo trasformazioni imbarazzanti, possiamo assumere 8sin3100-6sin100+1=0. Inoltre sin100 è la radice del termine f(x) = 8x3-6x+1. Proprio come shukatimemo razionalmente la radice di quel membro ricco, allora perekaєmosya, non li abbiamo. Otzhe, la radice di sin100 è un numero razionale, tobto. sin100 è un numero irrazionale.

Avanti

- termine ricco di passo n ≥ 1 nel valore effettivo della variabile complessa z con il valore effettivo dei coefficienti complessi a i . Dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 1

Livellamento P n (z) = 0 Posso volere una radice.

Veniamo Lema.

Lemma 1

Sia P n (z)- termine ricco di passaggio n, z 1 - la radice del fiume:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) può essere rivelato in un modo guardando:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- termine ricco passaggio n - 1 .

Portare

Per dimostrarlo, facciamo un teorema (div. La divisione di un termine multiplo per un termine multiplo per una piega e un moncone), è possibile per due termini ricchi qualsiasi P n (z) io Qk (z), passi n e k, inoltre, n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- termine ricco di passaggio n-k, U k- 1(z)- il termine ricco del gradino non è superiore a k- 1 .

Mettiamo k = 1 , Qk (z) = z - z 1 anche
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - veloce. Immagina qui z = z 1 che vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
cosa era necessario portare.

L'espansione del termine ricco in moltiplicatori

Inoltre, sulla base del Teorema 1, il termine ricco P n (z) Posso volere una radice. Significativamente yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Lo stesso sullo stand lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dalì, come n > 1 , allora il polinomio P n- 1(z) quindi posso volere una radice, che è significativa come z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Continuando questo processo, arriviamo alla conclusione che abbiamo n numeri z 1, z 2, ..., z n tale che
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Uguagliando i coefficienti a z n , è noto che è più costoso a n . Di conseguenza, siamo ossessionati dalla formula per dividere un termine ricco in moltiplicatori:
(1) P n (z) = un n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Numeri z i є alle radici del termine ricco P n (z).

Allo zagalny vpadku non tutti z i, scho per entrare prima (1) , Riznі. Tra di loro possono esserci gli stessi valori. Come espandere un termine ricco in moltiplicatori (1) puoi scrivere alla vista:
(2) P n (z) = un n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Qui z i ≠ z j per i ≠ j. Yakscho n io = 1 , poi radice z io chiamato perdono. Entra nel layout per i moltiplicatori alla vista (z-z io). Yakscho n io > 1 , poi radice z io chiamata radice multipla della molteplicità n io . Entrando nel layout dei moltiplicatori guardando l'estrazione di n i moltiplicatori primi: (z-z io )(z-z io ) ... (z-z io ) = (z-z io ) n io.

Termini ricchi con coefficienti effettivi

Lemma 2

Poiché è una radice complessa di un polinomio con coefficienti effettivi, il numero è anche correlato in modo complesso alla radice del polinomio, .

Portare

Deisno, yakscho e coefficienti polinomiali - numeri disordinati, poi.

In questo ordine, la radice complessa è inclusa nel layout sui moltiplicatori in coppia con i loro significati complessi:
,
de, - Numeri reali.
Stesso layout (2) un termine ricco con coefficienti effettivi per moltiplicatori può essere archiviato alla vista, in presenza di solo veloce efficace:
(3) ;
.

Metodi per dividere un termine ricco in moltiplicatori

Con il miglioramento di quanto detto sopra, per la scomposizione di un polinomio in fattori, è necessario conoscere tutte le radici dell'equazione P n (z) = 0 e designa la loro molteplicità. I moltiplicatori con radici complesse devono essere raggruppati in modo complesso. Lo stesso layout dipende dalla formula (3) .

In questo grado, nell'offensiva viene utilizzato il metodo per diffondere il termine ricco in moltiplicatori:
1. Conosciamo la radice z 1 equalizzazione P n (z1) = 0.
2.1. Radice di Yakshcho z 1 efficace, quindi nel layout aggiungiamo un moltiplicatore (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), partendo dal punto (1) , Fino a quando non conosciamo tutte le radici.
2.2. Come radice complessa, il numero є è ottenuto in modo complesso come radice di un termine ricco. Todі prima di stendere inserisci il moltiplicatore

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Nella mia mente, nel layout aggiungiamo un moltiplicatore (z 2 + b 1 z + c 1) diluisco il termine ricco P n (z) di (z 2 + b 1 z + c 1). Di conseguenza, prendiamo un termine ricco di passaggio n - 2 :
.
Ripetiamo il processo per il polinomio P n- 2(z), partendo dal punto (1) , Fino a quando non conosciamo tutte le radici.

Conoscenza della radice del membro ricco

capoufficio, con l'espansione del polinomio in fattori, il significato della radice yogo. Sfortunatamente, non puoi sempre lavorare in modo analitico. Qui analizzeremo lo spratto di vipadkiv, se puoi conoscere analiticamente la radice del termine ricco.

Radice del membro ricco del primo stadio

Il membro ricco del primo passaggio è una funzione integrale. C'è solo una radice. Il layout può essere solo un moltiplicatore per vendicare il cambiamento di z:
.

Radice di un membro ricco di un altro livello

Per conoscere la radice del termine ricco di un altro livello, è necessario slegare il quadrato uguale:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Come discriminante, allora ci sono due vere radici:
, .
Basta guardare i moltiplicatori:
.
Qual è il discriminante D = 0 , quindi uguale può una radice dvorazovy:
;
.
Come discriminante D< 0 , allora la radice è più complessa,
.

Un gradino più alto riccamente articolato per un altro

Formule Іsnuyu per il significato delle radici dei segmenti ricchi del 3o e 4o passaggio. Raramente corrono con loro, i frammenti del fetore sono ingombranti. Non esistono formule per la conoscenza delle radici del grado riccamente articolato superiore al 4°. Ignorando sul posto, in deyakih vipadkas, si va a diffondere il termine ricco in moltiplicatori.

Significato della radice intera

Sembra che sia un termine ricco, per alcuni coefficienti: il numero di numeri, il numero di radici, che possono essere conosciuti ordinando tutti i valori possibili.

Lemma 3

Dammi un cazzo ricco
,
coefficienti a i di cui - il numero del numero che può essere la radice di z 1 . Stessa radice di dilnik del numero a 0 .

Portare

Riscriviamo uguale P n (z1) = 0 alla vista:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Diviso per z 1 :
.
Oskіlki M - qile, quindi i - qile. Cosa ci è voluto per portare.

Pertanto, come i coefficienti di un polinomio - i numeri dei numeri, puoi provare a conoscere i numeri della radice. Per chi è necessario conoscere tutti i dilnik di un membro libero 0 і, sostituzione di equalizzazione P n (z) = 0, perverti, chi є puzza fino alle radici di quello uguale.
Nota. Poiché i coefficienti di un polinomio sono numeri razionali, moltiplicando P n uguale (z) = 0 sullo standard elevato dei numeri a i prendiamo l'equalizzazione per il polinomio a coefficienti interi.

Il significato della radice razionale

Poiché i coefficienti di un polinomio - i numeri del numero e il numero delle radici non lo sono, allora per un n ≠ 1 , puoi provare a conoscere la radice razionale. Per chi è necessario creare una sostituzione
z = si/a n
e moltiplicare uguale per a n n- 1 . Di conseguenza, prendiamo in considerazione l'uguaglianza per il termine ricco sotto forma di cambiamento e con il numero di coefficienti. Dali shukaimo la radice del membro ricco del membro di mezzo del membro libero. Poiché conoscevamo tale radice y i , passando quindi alla modifica x , assumeremo una radice razionale
z io = y io / un n.

Formule colorate

Introduciamo formule, con l'aiuto delle quali è possibile espandere il polinomio in fattori.

Abbiate un carattere più selvaggio, per stendere un membro ricco
P n (z) = z n - a 0,
dea 0 - è più complesso, è necessario conoscere tutte le radici yogo, in modo da poter svelare allo stesso modo:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya è facile da sbagliare, come per dimostrare a 0 tramite il modulo r i argomento?
.
Oskilki a 0 non cambiare, come da aggiungere all'argomento 2 pi, quindi immagina un 0 alla vista:
,
de k – qile. Todi
;
.
Assegnazione di valori k k = 0, 1, 2, ... n-1, Prendiamo n radici del polinomio. Il layout di Todi Yogo per i moltiplicatori può apparire:
.

Termine bagatonico biquadrato

Diamo un'occhiata al termine biquadratico:
.
Un termine ricco biquadrato può essere suddiviso in moltiplicatori, senza radice.

Quando, forse:

,
de.

Segmenti bicubici e ricchi che possono essere ridotti a un quadrato

Diamo un'occhiata al membro ricco:
.
La radice di Yogo sta per uguale:
.
Ha vinto essere guidato fino a allineamento quadrato sostituzione t = z n :
un 2 n t 2 + un n t + un 0 = 0.
Virishivshi tse eve, conosciamo la radice yogo, t 1 , t 2 . Se conosciamo la disposizione alla vista:
.
Dali con il metodo, diamo un'occhiata, espandiamolo in moltiplicatori z n - t 1 io z n - t 2 . La visnovka ha un gruppo di moltiplicatori, che vendicano la radice in modo complesso.

Gambi rotanti

Viene chiamato il membro ricco Restituzione I coefficienti di yakscho yogo sono simmetrici:

Calcio del membro riponibile del bagato:
.

Poiché i passaggi del polinomio inverso n sono spaiati, un tale polinomio può avere radice z = -1 . Dividendo un termine così ricco in z + 1 , prendiamo il termine ricco di ritorno del passaggio

In caso di rozv'yazannі rivnyan i nerіvnjanі spesso vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє polinomio razvіdnіє su polinomi, stupіnіy in tre o più. Possiamo guardare queste statistiche, come renderlo più semplice.

Come uno zavzhd, bestiale per l'aiuto alla teoria.

Il teorema di Bezout stverzhuє, scho surplus nel dividere un polinomio in un binomio dorivnyuє.

Ma ciò che è importante per noi non è il teorema in sé, ma conseguenza da esso:

Poiché il numero è la radice di un polinomio, allora il polinomio può essere diviso senza troppo binomio.

Davanti a noi c'è il compito di sapere come conoscere una radice di un termine ricco, poi dividiamo il termine ricco in, de - la radice di un termine ricco. Di conseguenza, prendiamo un membro ricco, il piede di uno è inferiore, quella inferiore è la costola di quello esterno. E poi per il consumo, puoi ripetere il processo.

Tse zavdannya si è diviso in due: come conoscere la radice di un termine ricco e come dividere un termine ricco in un binomio.

Riportiamo questi momenti.

1. Come conoscere la radice di un membro ricco.

Il dorso della mano è venerato, chi è il numero 1 e -1 delle radici del membro ricco.

Ecco alcuni fatti che ci aiutano:

Poiché la somma di tutti i coefficienti del polinomio è uguale a zero, il numero è la radice del polinomio.

Ad esempio, il polinomio della somma dei coefficienti è uguale a zero: . È facile fraintendere qual è la radice di un membro ricco.

Poiché la somma dei coefficienti del polinomio a passi accoppiati è uguale alla somma dei coefficienti a passi spaiati, il numero è la radice del polinomio. Coefficiente di vvazhaetsya del membro di Vilniy al doppio livello, oskolki e - numero del ragazzo.

Ad esempio, nel polinomio della somma dei coefficienti a passi accoppiati : , e della somma dei coefficienti a passi spaiati : . È facile fraintendere qual è la radice di un membro ricco.

Se nі 1, nі -1 є alle radici del polinomio, la distanza crolla.

Per il termine ricco indotto del gradino (tobto il termine ricco, in cui il coefficiente senior è il coefficiente a - quello principale), vale la seguente formula:

De è la radice di un membro ricco.

Ci sono più formule di Vієta, che ci sono altri coefficienti del polinomio, ma possiamo parlarne da soli.

Z tsієї formula Vієta viplivaє, scho come radice di un membro ricco dell'intero, poi il fetore dei dilnik del membro libero yogo, che è anche un numero intero.

Vihodyachi z tsogo, dobbiamo disporre il termine variabile del termine ricco in multipli e, in sequenza, dal più piccolo al più grande, inverso, quale dei plurali è la radice del termine ricco.

Guardalo, per esempio, membro ricco

Agende dei membri gratuiti: ; ; ;

La somma di tutti i coefficienti di un polinomio è più costosa, quindi il numero 1 ha cessato di essere la radice di un polinomio.

La somma dei coefficienti per i passi gemelli:

Somma dei coefficienti per passi spaiati:

Inoltre, il numero -1 è anche la radice di un polinomio.

È reversibile che chi è il numero 2 come radice di un termine ricco: inoltre, il numero 2 è la radice di un termine ricco. Successivamente, seguendo il teorema di Bezout, un termine ricco può essere diviso senza eccessi in un binomio.

2. Come sottrarre un termine ricco in un binomio.

Il termine ricco può essere suddiviso in un binomio con un moncone.

Dividiamo il termine ricco in un binomio con uno stompchik:

Il secondo modo per suddividere un polinomio in un binomio è lo schema di Horner.

Guarda il video per capire come dividere un termine ricco in un termine binario con un passaggio i per lo schema di Horner aggiuntivo.

Lo rispetterò quando rozpodіlі stovpchik ama i passaggi non familiari al polinomio vyhіdny vіdsutnya, її mistsі scrivi 0 - come і, come dal tavolo piegato per lo schema di Horner.

Pertanto, poiché abbiamo bisogno di dividere il termine ricco in un termine binario e di conseguenza prendiamo il termine ricco, allora possiamo conoscere i coefficienti dietro lo schema di Horner:

Possiamo anche vicista Lo schema di Horner per invertire, se il numero è dato come radice del termine ricco: se il numero è la radice del termine ricco, allora l'eccesso nel sottocampo del termine ricco è uguale a zero, quindi nella restante colonna di l'altra riga dello schema Horner prendiamo 0.

Nello schema di Vikoristovuyuchi Horner, "battiamo in due piccioni con una fava": un'ora controlliamo che il numero sia la radice di un termine ricco e dividiamo il termine ricco in un binomio.

culo. Virishiti Rivnyannia:

1. Annota i dilnik del membro libero e shukatimemo la radice del membro ricco dei dilnik medi del membro libero.

Dialoghi del numero 24:

2. Reversibilmente, chi è la radice numero 1 di un termine ricco.

La somma dei coefficienti del polinomio, inoltre, il numero 1 è la radice del polinomio.

3. Dividi il termine ricco esteriore in un termine binario usando lo schema di Horner.

A) Annotare la prima riga della tabella dei coefficienti del polinomio in uscita.

Membro di Oskіlki, scho vengeance vіdsutnya, a quel tavolo, che potrebbe avere un coefficiente quando scriviamo 0. Scriviamo la radice malvagia della conoscenza: numero 1.

B) Salva la prima riga della tabella.

Nel resto della colonna, come se fosse chiaro, abbiamo sottratto zero, il mondo ha diviso l'ultimo termine ricco in un binomio senza eccessi. I coefficienti del polinomio, che il risultato ha sotto l'immagine in colore blu in un'altra riga della tabella:

È facile fraintendere che i numeri 1 e -1 non sono le radici di un termine ricco

C) Continuiamo la tavola. Reversibilmente, chi è il numero 2 come radice di un termine ricco:

Quindi il passo del polinomio, che appare nel risultato del sottotermine è uno in meno rispetto al passo del termine ricco di output, anche il numero di coefficienti e il numero di colonne sono uno in meno.

Nel resto della colonna, abbiamo tolto -40 - un numero che non si somma a zero, quindi il termine ricco è diviso per un termine binario dall'eccesso e il numero 2 non è la radice del termine ricco.

C) Reversibilmente, chi è il numero -2 come radice di un termine ricco. Allora, come prima, la prova non era lontana, tanto che non c'era truffa con i coefficienti, sono in fila, che confermo la mia prova:

Miracoloso! Zero è stato tolto all'eccesso, quindi il termine ricco è stato diviso in un binomio senza eccessi e il numero -2 è la radice del termine ricco. I coefficienti del polinomio, che nel risultato suddivide il polinomio in un binomio nella tabella dell'immagine in colore verde.

Di conseguenza, abbiamo sottratto il trinomio quadrato , la cui radice è facile da conoscere dietro il teorema di Viet:

Otzhe, la radice del risveglio esteriore:

{}

Suggerimento: ( }

Membro ricco di Yakscho

Portare

Prendiamo i coefficienti del polinomio є per numeri interi, e sia il numero a la radice del esimo termine ricco. A quello in cui il suono risplende in ogni momento, il coefficiente è diviso per a.

Rispetto. Questo teorema in realtà ti permette di conoscere la radice dei termini più ricchi dei gradini più alti in quel caso, se i coefficienti di questi termini ricchi sono numeri e la radice è numero razionale. Il teorema può essere riformulato come segue: così come sappiamo che i coefficienti di un polinomio sono i numeri del numero, e la radice dello yogo è razionale, allora la radice razionale può essere solo come de p come un dilnik di un numero (un termine libero), e il numero q è un dilatatore di un numero (un anziano timido) .

Il teorema sull'intera radice, cosa vendicarti di te stesso

Proprio come il numero α è la radice di un termine ricco con coefficienti multipli, allora α è il dilnik del termine yogico libero.

Portare. Avanti:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

termine ricco con coefficienti qlimi e numero qile α - radice yogo.

Quindi il valore della radice è equalizzato P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny moltiplicatore α per gli archi, togli l'equivalenza:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , stelle

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Frammenti del numero a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі, quindi gli archi dovrebbero essere il numero intero, quindi, a n essere diviso per α, come doveva essere completato.

Il teorema è stato sollevato, ma può essere formulato in questo modo: il numero di radici del polinomio con il numero di coefficienti è il dilatatore del primo termine libero.
Sul teorema dei fondamenti, l'algoritmo per la ricerca della radice intera di un termine ricco con il numero intero di coefficienti:

2. Teorema di Dodatkova sul valore della radice

Oltre al numero di α-radici del termine ricco P(x) a coefficienti interi, allora α-1-divisore del numero P(1), α+1-divisore del numero P(-1)

Portare. 3 l'uniformità

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

puoi vedere che dal numero di numeri b і c il numero bⁿ-cⁿ è divisibile per b∙c. Ale per qualsiasi membro ricco P al dettaglio

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, inoltre, per un polinomio P con coefficienti zіlimi і zіlih numeri b і c la differenza P(b)-P(c) è suddivisa in b-c.

Ricordiamoci: per b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), il che significa che P (1) è diviso per α-1. Allo stesso modo, c'è un'altra vista.

Lo schema di Horner

Teorema: Lascia che una radice a breve termine p / q є sia uguale a 0 x n +a 1 x n - 1 + +a n - 1 x+a n =0 con coefficienti multipli, lo stesso numero q є dilnik del coefficiente senior a0 e il numero R є membro gratuito dilnik an.

Rispetto 1. Sii la radice della relazione con il numero di coefficienti e dilnik del membro libero yogo.

Rispetto 2.Poiché il coefficiente senior è uguale al numero di coefficienti della strada 1, tutte le radici razionali, come è noto il puzzo, il numero.

La radice del membro ricco. La radice di un membro ricco f(x)= a 0 x n +a 1 x n - 1 + +a n - 1 x+a n є x = c , e allora f (c)=0 .

Nota 3. Yakscho x = c radice di un membro ricco , allora il termine rich può essere scritto come: f(x)=(x−c)q(x) , de tse vista privata sotto il membro ricco f(x) in un monomio x-c

Puoi suddividere un termine ricco in un monomio usando lo schema di Horner:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 + +a n - 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x-c , quindi quando rozpodіlі f (X) sul g (X) privatamente q(x) può guardare q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + un k , k=1, 2, , n−1. eccedenza r conoscere la formula r=c b n - 1 + un n

Soluzione: Il coefficiente a livello senior è pari a 1; 2; 3; quattro; 6; 12. Schema di Vikoristovuyuchi Horner, sappiamo che il numero di radici è uguale:

C'è una radice di scelta per lo schema di Horner. allora puoi farlo così x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3