Numeri algebrici e trascendenti. numeri trascendenti numeri trascendenti

cioè per a = 1 ci è servito lo scopo della somma della progressione geometrica. Assumendo che il teorema di Gauss sia stato dimostrato, si assume che a = a 1 sia radice uguale (17),

Considerando la virasi s f(x) e i termini di raggruppamento, prendiamo in considerazione l'uniformità

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − un n 1 ) + an−1 (xn−1 − un n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Ora spulciando la formula (20), possiamo vedere il moltiplicatore x − a 1 dal membro della pelle e poi incolpare Yogo per l'arco, inoltre, i piedi del membro ricco, che è rimasto nell'arco, diventano uno meno. Raggruppando nuovi membri, togliamo l'uniformità

f(x) = (x − a1 )g(x),

dove g(x) è un termine ricco del passo n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Il calcolo dei coefficienti, noti attraverso b, lo chiameremo qui.) Occorre allontanare lo stesso calcolo dal polinomio g (x). Secondo il teorema di Gauss, la radice quadrata a2 è uguale a g(x) = 0, quindi

g(x) = (x − a2 )h(x),

dove h(x) è un nuovo polinomio del passo n − 2. Ripetendo n − 1 volte

Dall'uniformità (22) non solo quelli che sono numeri complessi a1, a2,

An è l'essenza della radice di uguale (17), e quelle che non hanno altre radici di uguale (17). Vero, il numero yakbi y era la radice di uguale (17), quindi s (22) fece scorrere bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Ale mi bachili (p. 115) che l'addizione di numeri complessi a zero in quello e meno in quel modo, come uno dei moltiplicatori a zero. Inoltre, uno dei moltiplicatori y−ar è uguale a 0, quindi y = ar, che è necessario impostare.

§ 6.

1. Lo scopo è quella ragione nutrizionale. Qualsiasi numero x è chiamato numero algebrico;

130 SISTEMA DI NUMERI MATEMATICI cap. II

de numeri ai numeri. Quindi, ad esempio, il numero 2 è algebrico, a quello che è soddisfatto di uguale

x2 - 2 = 0.

Nello stesso rango di numero algebrico, sia che vi sia una radice, sia essa uguale, con i coefficienti interi di terza, quarta, quinta, sia essa il mondo, ed indipendentemente, inoltre, può essere espressa o non espressa dai radicali. Il concetto di numero algebrico è una comprensione naturale del concetto di numero razionale, in un modo che conferma l'okremy caduta n = 1.

Non tutti i numeri reali sono algebrici. Tse vipliva z offensive, con Kantor, teoremi: l'impersonalità di tutti i numeri dell'algebra di rachunkiv. Bo bezlich usikh numeri del giornoè indistinguibile, quindi obov'yazkovo deve utilizzare i numeri effettivi, poiché non sono algebrici.

Segnaliamo uno dei metodi per risolvere i numeri algebrici impersonali. Pelle uguale all'aspetto (1) uguale al numero di destinazione

h = | un | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

per amore dello stile, lo chiamiamo "alto" uguale. Fino allo skin il valore fisso n è solo l'ultimo numero uguale alla forma (1) con l'altezza h. La pelle di tali eguali può essere più di n radici. Per questo, è possibile utilizzare solo l'ultimo numero di numeri dell'algebra, che sono generati da uguali con altezza h; padre, tutto numeri algebrici puoi roztashuvati alla vista della sequenza, superando la testa di loro, poiché sono nati da uguali di altezza 1 quindi - altezza 2 e così via.

Questa prova dell'identità dei numeri algebrici impersonali stabilisce le basi dei numeri reali, poiché non sono algebrici. Tali numeri sono detti trascendentali (dal latino trascendere - passare, capovolgere); Eulero gli ha dato un tale nome, che puzza "di ribaltare la rigidità dei metodi dell'algebra".

La dimostrazione di Cantor della fondazione dei numeri trascendentali non si trova prima di quelli costruttivi. Teoricamente, è possibile indurre un numero trascendentale per una procedura diagonale aggiuntiva, che viene eseguita su un elenco esplicito di decine di espansioni di tutti i numeri dell'algebra; Ma una tale procedura è stata risparmiata da qualsiasi significato pratico e non avrebbe portato a un numero che potrebbe essere scritto nelle decine (o qualsiasi altro) drib. La maggior parte dei problemi associati ai numeri trascendentali sono legati alla dimostrazione che peevn, i numeri specifici (qui ci sono i numeri p ed e, sul div. 319-322) sono trascendentali.

**2. Il teorema di Liouville e la costruzione dei numeri trascendentali. La prova della fondazione dei numeri trascendentali fu data davanti a Cantor da J. Liouville (1809–1862). Ci permette di costruire effettivamente esempi di tali numeri. La prova di Lіouvil è più importante, più bassa della prova di Cantor, e non sorprende che i frammenti costruiscano un calcio, apparentemente infiammato, piegato, più basso per portare le fondamenta. In basso c'è la dimostrazione di Liouville, forse meno simile a un lettore esperto, che vuole capire la dimostrazione con una conoscenza sufficiente della matematica elementare.

Come mostrato a Lіouville, i numeri algebrici irrazionali hanno quel potere che non possono essere approssimati da numeri razionali con un già grande grado di accuratezza, semplicemente non prendere gli stendardi delle frazioni che approssimano, superbamente grandi.

Supponiamo che il numero z soddisfi l'equazione dell'algebra a coefficienti interi

ma non sei soddisfatto di un simile livellamento del livello inferiore. Todi

sembra che x stesso sia il numero dell'algebra di grado n. Quindi, per esempio,

il numero z = 2 è il numero dell'algebra livello 2, per cui il livello x2 − 2 = 0√ è soddisfatto del livello 2, ma non il livello del primo livello non è soddisfatto; il numero z = 3 2 - passo 3, che è soddisfatto con x3 - 2 = 0, ma non soddisfatto (come mostreremo nella sezione III) con il passo inferiore. Numero algebrico del passo n > 1

non può essere razionale, perché il numero razionale z = p q

soddisfa il livello qx − p = 0 step 1. Skin numero irrazionale z può essere, con un certo grado di accuratezza, approssimato da un numero razionale aggiuntivo; non significa che puoi sempre indicare la sequenza dei numeri razionali

p1, p2,. . .

q 1 q 2

non è circondato da striscioni in crescita, che Volodya Tim-

cosa cosa

p r → z. qr

Il teorema di Liouville è sconcertante: se non ci fosse un numero di algebra z di passo n > 1, non potrebbe essere più vicino a un razionale aggiuntivo

per finire i grandi alfieri obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Scegliamo di dimostrare il teorema e prima verrà mostrato come ottenere numeri trascendentali per ulteriore aiuto. Diamo un'occhiata al numero

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10-m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000. . . ,

de ai significa certi numeri da 1 a 9 (sarebbe più facile mettere tutti ai uguali a 1), e il simbolo n! . . n. Il potere caratteristico della decima distribuzione di un tale numero sono quelli che sono gruppi, che crescono rapidamente dietro la loro dozhina, gli zeri vengono disegnati in quello nuovo con cifre okremi, che sembrano zero. Significativamente attraverso zm, la fine del decimo drіb, che viene risolto, se tutti i membri vengono presi nel layout fino a am · 10-m! compreso. Todi togli il nervosismo

Supponiamo che z sia il numero dell'algebra del passo n. Todi, nel rispetto del nervosismo di Lіouville (3) pq = zm = 22! , siamo madri colpevoli

|z - zm | > 10(n+1)m!

ad alti valori di m. Confronto dell'irregolarità residua con il nervosismo (4) sì

le stelle seguono (n + 1) m! > (m+1)! − 1 per grande m. Alece sbaglia per valori di m maggiori di n (prova il lettore a dare una prova dettagliata di questa affermazione). Abbiamo didshli super-nitidezza. Inoltre, il numero z è trascendentale.

Resta da concludere il teorema di Liouville. Supponiamo che z sia il numero dell'algebra di grado n > 1, che soddisfa l'equazione (1), in modo che

f(zm ) = f(zm ) - f(z) = a1 (zm - z) + a2 (zm 2 - z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Trattare con parti offensive su zm − z e carotaggi con una formula algebrica

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

accettiamo:

Poiché zm è la z giusta, quando si raggiunge la m grande, è razionale prendere in considerazione il numero zm z meno inferiore di uno. Pertanto, per dosare grandi m, puoi guadagnare una stima così approssimativa:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

inoltre, per essere destrorsi, il numero M è costante, i frammenti z non cambiano durante il processo di dimostrazione. Vibero ora m pavimentazione grande, shob

frazione z m = p m standard q m M superiore, inferiore; anche mq

cosicché era anche possibile vedere il moltiplicatore (x − zm ) dal polinomio f(x), anche io, z era soddisfatto del livello della n inferiore inferiore. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale numero a destra dell'uguaglianza (9) In tal modo, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) e (9) vyplyaє nerіvnіst

ancora magazzino zmіst zaznachenї teorema.

Con un arco di pochi decenni rimanenti, la possibilità di approssimare numeri algebrici con numeri razionali si fece strada in lontananza. Ad esempio, il matematico norvegese A. Tue (1863–1922) ha scoperto che l'irregolarità di Liouville (3) potrebbe avere un esponente n + 1 sostituito da un esponente più piccolo n 2 + 1.

Siegel mostra che puoi prendere anche più piccoli (più piccoli

con n) maggiore indicatore 2 n.

I numeri trascendentali sono sempre stati un argomento, poiché hanno inchiodato a se stessi il rispetto dei matematici. Ale, fino alla recente ora di metà giornata, come tsіkavі da potenti forze, non ce n'erano molti, la natura trascendentale di tale bulo è stata installata. (A causa della trascendenza del numero p, come avviene nella sezione III, vi è l'impossibilità di quadrare la posta con l'aiuto di un righello e di un compasso.) Al suo discorso al Congresso Internazionale di Matematica di Parigi 1900 r. David Hilbert che canta trenta matematici

problemi che consentono un semplice formulario, deyakі - navіt zovsіm elementare e più popolare, per qualche motivo non solo non era vilіshena, ma navіtі non era dato dall'edificio ma consentito dai matematici dell'era tієї. Qi "I problemi di Hilbert" ha dato un forte campanello d'allarme per lo sviluppo della matematica nel prossimo periodo. Mayzhe tutte le puzza furono ammesse passo dopo passo, e nei ricchi vipadka la loro virishennia era dovuta a successi chiaramente manifestati nel senso di metodi più oltraggiosi e disinvolti. Uno dei problemi che il senza speranza ha osato affrontare

prova che il numero

є trascendentale (chi wanta b irrazionale). Per tre decenni non è stato possibile fare pressione su un tale pidhіd per nutrirsi dalla parte di qualcun altro, il che ha stimolato la speranza di successo. Zreshtoyu, Zigel e, indipendentemente, il giovane matematico russo A. Gelfond hanno scoperto nuovi metodi per dimostrare la trascendenza delle ricchezze

numeri, che possono significare il significato della matematica. Zokrema, inserito Bulo

trascendenza come un numero di Hilbert 2 2 , e il esimo intero a una grande classe di numeri della forma ab , dove a è un numero algebrico, a è un numero algebrico, a b è un numero algebrico irrazionale.

AGGIUNTA A RAZDILU II

Algebra dei multipli

1. Teoria calda. Il concetto di classe, sukupnostі, chi oggetti impersonali - uno dei più fondamentali in matematica. L'impersonale significa un potere diaconico (“attributo”) A, che è colpa o della madre, o non della madre dell'analisi della pelle dell'oggetto; quegli oggetti, come la potenza di A, costituiscono l'impersonalità di A. Quindi, poiché vediamo lo scopo del numero che la potenza di A è nel fatto che perdoniamo, allora l'impersonalità di A viene sommata dal solito primo numeri 2, 3, 5, 7, . . .

Teoria matematica i multipli derivano dal fatto che è possibile stabilire nuovi moltiplicatori per operazioni addizionali (analogamente, a partire dai numeri per l'operazione addizionale di piegare quel moltiplicatore, compaiono nuovi numeri). Le operazioni di Vyvchennya sulle moltiplicazioni diventano oggetto di "algebra multipla", poiché può essere riccamente coerente con una grande algebra numerica, volendo vedere perché e in essa. Il fatto che i metodi dell'algebra possano essere scaglionati al punto da includere oggetti non numerici, come impersonali, ilu-

un flusso di grande convergenza di idee della matematica moderna. Nel resto dell'ora era chiaro che l'algebra dei moltiplicati gettava una nuova luce sulla ricca magia della matematica, ad esempio la teoria del mondo e la teoria delle cose immaginarie; vona korisna è anche una pessima ora di sistematizzazione capire la matematica che z'yasuvannі їх logico zv'yazkіv.

Nadal Intendo il deak degli oggetti impersonali postiynu, la natura di tale baiduzh, e come possiamo chiamarlo impersonalità universale (o l'universo di mirkuvannya), e

A, B, C, . . . Se I è la pluralità di tutti i numeri naturali, allora A, diciamo, può significare l'assenza di tutti i numeri accoppiati, B - l'assenza di tutti i numeri spaiati, C - l'assenza di tutti i numeri primi, e così via. quindi A può essere un punto inutile nel mezzo di questa puntata, B - un punto inutile nel mezzo di un'altra puntata e così via. Meta, come se seguendo un tale pezzo di espansione, frugando nel salvataggio di quella posizione, che l'autorità della pelle A mostra molti elementi da I, che condurranno al potere dell'autorità. A volte, poiché A є autorità universalmente vykonuvan, il calcio di cui puoi servire (come puoi trovare sui numeri) l'autorità soddisfa l'equivalenza banale x = x, quindi nel caso di un moltiplicatore sarò io stesso, l'elemento pelle può avere tale autorità; dall'altro lato, come A є come un potere internamente superpotente (su kshtalt x 6 = x), quindi non è possibile vendicare gli elementi, è "vuoto" ed è indicato da un simbolo.

Sembra che il moltiplicatore A sia il sottomoltiplicatore del moltiplicatore B, insomma “A entra in B”, oppure “B vendica A”, perché il moltiplicatore A non ha tale elemento, che non è lo stesso del moltiplicatore B.

A B o B A.

Ad esempio, l'impersonale A di tutti i numeri interi, che è divisibile per 10, è il sottomultiplo dell'impersonale B di tutti i numeri interi, che è divisibile per 5, quindi anche il numero skin, che è divisibile per 10, è divisibile per 5. A B non include B A. maє mіsce i te y іnshe, quindi

Tse significa che l'elemento skin A є allo stesso tempo l'elemento B, і indietro, quindi moltiplica A e B per sostituire gli stessi elementi.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny ricco di ciò che indovina spіvіdnoshennia a 6 b numeri mizh. Zokrema, ovviamente rintracciato

soffiando il potere di questa spіvvіdnoshennia:

1) A A.

2) Se AB e BA, allora A = B.

3) Come A B e B C, poi A C.

Per ragioni di spіvvіdnoshennia AB sono talvolta chiamati "su ordinazione". Golovna Vidmіnniy ha analizzato SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b miniere nei numeri di Polega nell'uno, il cugino della mucca del numero di numeri a і b non è una riserva, l'affermazione analoga è sbagliata. Ad esempio, quella A è impersonale, che è composta dai numeri 1, 2, 3,

e B è un moltiplicatore, che viene sommato dai numeri 2, 3, 4,

allora non c'è tempo per A B, o B A. Non ci sono ragioni per dire che A, B, C, . . . moltiplicatori I є "parzialmente ordinati", gli stessi dei numeri effettivi a, b, c, . . .

stabilire un ordine "completamente ordinato".

Rispettosamente, tra l'altro, che non c'era differenza tra A e B, che, se non c'era un moltiplicatore di A, un moltiplicatore di I,

Potere 4) può essere alquanto paradossale, ma, a pensarci bene, è logicamente subordinato all'esatto cambio del segno designato. È vero, spіvvіdnoshnya A era rotto solo

in a quel vipadka, come se fosse vuoto, molti elementi hanno messo fuori posto l'elemento, che non ha vendicato b A; ma così, come un vuoto impersonale, non vendicarti degli elementi, allora non puoi esserlo, se non fosse per A.

Ora sono significative due operazioni sui moltiplicatori, che consentono formalmente alle ricche autorità algebriche di aggiungere quella molteplicità di numeri, volendo per il loro zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh aritmetica fai da te. Siano A e B due moltiplicatori. Con i termini, o "somma logica", A e B intendono l'impersonale, che è composto da elementi tranquilli, che si trovano in A o

in B (compresi e quegli elementi che possono essere trovati in A e B). Questo moltiplicatore è indicato con A + B. 1 Sotto la "peretina", o "creazione logica", si intendono impersonalmente A e B, che sono composti da elementi tranquilli, che si trovano in A e in B. Questo moltiplicatore è indicato da AB.2

Tra i poteri importanti dell'algebra delle operazioni A+B e AB, l'offensiva è travolta. Il lettore può invertire l'equità, a seconda dello scopo delle operazioni stesse:

La nuova verifica di tutte queste leggi è la logica più semplice a destra. Ad esempio, la regola 10) afferma che gli elementi sono impersonali, che o A, o A, o l'impersonale A; regola 12) affermando che gli elementi impersonali, se sono in A e nello stesso tempo sono B o C, sono elementi impersonali, se sono contemporaneamente in A e B, o se il tempo è un'ora in A e C vykoristovuyutsya nel dimostrare un simile tipo di regole, illustrate a mano, come se potessimo immaginare l'impersonale A, B, C, . . . alla vista di tali figure sulla piazza, saremo più rispettosi in tal senso, per non perdere le possibilità logiche, se c'è circa la presenza degli elementi principali di due insiemi, o, al contrario, la presenza di un insieme di elementi, se non si trova nell'altro.

Lettore, senza dubbio, avendo perso il rispetto di coloro che le leggi 6), 7), 8), 9) e 12) sono chiamate uguali con le ben note leggi commutative, associative e distributive dell'algebra sonica. Zvіdsi viplivaє, scho tse regole zvichaynoї algebra, yakі z tsikh leggi, efficaci nell'algebra degli insiemi. Navpaki, leggi 10), 11) e 13) non ci sono analoghi dell'algebra originale e danno all'algebra molte strutture semplici. Ad esempio, la formula binomiale nell'algebra dei multipli può essere ridotta all'uguaglianza più semplice

(LA + B) n = (LA + B) · (LA + B). . . (LA+B) = LA+B,

per legge 11). Leggi 14), 15) e 17) per parlare di coloro che la potenza dei plurali I in termini di numero prima dell'operazione di somma di quel numero è simile alla potenza dei numeri 0 e 1 in termini di termine prima del operazione di numeri numerici e l'aggiunta di quel plurale. La legge di Ale 16) non ha analoghi nell'algebra numerica.

Resta da fare un'altra operazione nell'algebra degli insiemi. Sia A il sottomoltiplicatore del moltiplicatore universale I. Quindi, sotto l'additivo A in I, si può intendere l'impersonale di tutti gli elementi di I, se non in A. Per il moltiplicatore introduciamo il valore A0. Quindi, se I è impersonale di tutti i numeri naturali e A è impersonale di tutti i numeri primi, allora A0 è impersonale, che viene sommato da tutti i numeri di magazzino e dal numero 1. autorità:

23) LA00 = LA.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (LA + B) 0 = LA0 B0. 26) (AB)0 = LA0 + B0.

Ri-verifica di questi poteri I re-nadaemo chitachev.

Le leggi 1)-26) sono alla base dell'algebra degli insiemi. Il fetore del potere miracoloso della "dualità" nella sensazione offensiva:

Come in una delle leggi 1)–26) sostituirne una con una

(per l'input dermico), quindi, di conseguenza, una di queste leggi riappare. Ad esempio, la legge 6) si trasforma in legge 7), 12) - in 13), 17) - in 16) giusta. germoglio. , "Dvіyna" їth teorema, che esce dal primo per significati aggiuntivi di permutazioni di simboli. Vero, frammenti di prova

Obiettivo. II ALGEBRA MNOZHIN 139

il primo teorema è composto dalla stagnazione successiva (a diversi stadi della riconciliazione da effettuare) delle leggi 1–26), quindi la stagnazione agli stadi finali delle “due” leggi in magazzino è la prova del “ teorema del doppio”. (A causa della spinta di tale “duplicità” nella geometria del div. Sezione IV.)

2. Logica matematica di Zastosuvannya. La ri-verifica delle leggi dell'algebra dei multipli si è basata sull'analisi del senso logico dello spiving A B e delle operazioni A+B, AB e A0. Possiamo ora invertire questo processo e considerare le leggi 1)–26) come base per "l'algebra della logica". Per dirla più precisamente: quella parte della logica, come ce ne sono tante, anzi, le stesse stesse, le potenze degli oggetti che si guardano, si può ridurre a un sistema algebrico formale basato sulle leggi 1) –26). La logica "onniscienza intelligente" significa l'io impersonale; potere dermico A significa A impersonale, che è composto da oggetti tranquilli I, come se potesse essere potere. Regole per tradurre in linguaggio la terminologia più logica

In termini di algebra, esiste un sillogismo "Barbara", il che significa che "se ogni A є B e ogni B є C, allora ogni A є C", sembra semplice:

3) Se AB e BC, allora AC.

Allo stesso modo, la "legge di resistenza", che afferma che "un oggetto non può contemporaneamente guidare e non può guidare tale potere", viene registrata dallo spettatore:

20) AA 0 = ,

un “la legge del terzo incluso”, cioè che “l'oggetto è la colpa della madre, ma non la madre del diacono del potere”, sta scritto:

19) LA+LA0=IO.

In questo modo, quella parte della logica, vista in termini di simboli, +, · і 0, può essere interpretata come un sistema formale di algebra, secondo le leggi 1)–26). Sulla base di un'analisi logica della matematica e analisi matematica della logica, è stata creata una nuova disciplina: la logica matematica, come nessuna di esse, sta rimproverando il processo di sviluppo turbolento.

Dal punto di vista assiomatico, per il rispetto di quel fatto miracoloso, che è confermato da 1)-26), insieme ad altri teoremi dell'algebra degli insiemi, si possono logicamente vedere dalle tre uguaglianze seguenti:

27) LA+B = B+LA,

(LA + B) + C = LA + (SI + C),

(LA0 + B0) 0 + (LA0 + B) 0 = LA.

È evidente che l'algebra dei multipli può essere motivata come una teoria deduttiva, sulla base della geometria euclidea, sulla base di queste tre posizioni, che vengono accettate come assiomi. Come assiomaticamente accettato, allora l'operazione AB e la proposizione A B sono definite in termini di A + B e A0 :

Chiamiamo un altro esempio di sistema matematico, in cui sono codificate tutte le leggi formali dell'algebra dei moltiplicatori, è dato da un sistema di otto numeri 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: qui un + b significa,

il multiplo più alto e più basso di a і b, ab - il più alto dіlnik a і b, a b - durezza "b è suddiviso per a" e a0 - il numero 30 a. Su-

La base di tali applicazioni ha determinato lo sviluppo di sistemi algebrici scandalosi, che soddisfano le leggi 27). Tali sistemi sono chiamati "algebre booleane" - in onore di George Boole (1815-1864), un matematico e logico inglese, il cui libro "Un'indagine sulle leggi del pensiero" apparve nel 1854.

3. Una delle tappe prima della teoria dell'inamovibilità. L'algebra può essere molto più vicina alla teoria dell'inamovibilità e permette di guardarla in un nuovo mondo. Diamo un'occhiata all'esempio più semplice: facciamo il nostro esperimento dall'ultimo numero di possibili nasledkiv, yakі tutti pensano come "ugualmente capaci". Un esperimento può, ad esempio, risiedere nel fatto che possiamo pescare una carta da un nuovo mazzo, che è ben mischiato. Se il moltiplicatore di tutti i risultati dell'esperimento è significativo per I, e A significa che è un sottomoltiplicatore di I, allora la possibilità che il risultato dell'esperimento corrisponda al sottomoltiplicatore di A è indicata come un'estensione

p(A) = numero di elementi in A. numero di elementi in I

Se pensiamo al numero di elementi in ogni moltiplicatore A come n(A), allora il resto dell'uguaglianza può essere dato guardando

Idee di algebra dei plurali compaiono quando si contano le possibilità, se è possibile, conoscendo l'imovirtà di alcuni plurali, di contare l'imovirità di altri. Ad esempio, conoscendo la dinamica di p(A), p(B) e p(AB), possiamo calcolare la dinamica di p(A + B):

Non importa portarlo. Mi maєmo

n(LA + B) = n(LA) + n(B) − n(AB),

frammenti di elementi che possono essere occupati contemporaneamente in A e B, quindi gli elementi di AB vengono presi in considerazione quando si contano le somme n(A) + n(B), e, quindi, è necessario vedere n(AB) dalla somma delle somme, quindi n(A + B) la lettera di divisione è corretta. Manteniamo i trasgressori offesi da parte dell'equivalenza su n(I), toglieremo la spontaneità (2).

Cіkavіsha formula per uscire, quindi ci sono circa tre moltiplicatori A, B, C z I.

p(LA + B + C) = p[(LA + B) + C] = p(LA + B) + p(C) − p[(LA + B)C].

La legge (12) del paragrafo precedente ci dà (A + B) C = AC + BC. I suoni stanno urlando:

p[(LA + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Sostituendo nell'ordine precedente il valore di p[(A + B)C] e il valore di p(A + B), tratto dalla (2), si arriva alla formula necessaria:

p(LA + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Come un mozzicone, possiamo guardare a un esperimento offensivo. Tre numeri 1, 2, 3 sono scritti in qualsiasi ordine. Qual è il significato del fatto che una delle cifre è accettata come basata sullo spazio sopraelevato (nella numerazione sensi)? Sia A una permutazione impersonale, per la quale il numero 1 dovrebbe costare il primo posto, B - una permutazione impersonale, per la quale il numero 2 dovrebbe costare un altro posto, C - una permutazione impersonale, per la quale il numero 3 dovrebbe costare il terzo posto . Dobbiamo calcolare p(A+B+C). ho capito che

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

in effetti, come se la figura si trovasse nel posto giusto, allora ci sono due possibilità per riordinare la soluzione di due cifre dal numero principale 3 2 1 = 6 possibili permutazioni di tre cifre. Dalì,

Destra. Immettere una formula valida per p(A + B + C + D) e attendere fino all'esperimento, che prevede 4 cifre. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

Potrebbe apparire una formula comune per la combinazione di n moltiplicazioni

combinazioni per vendicare uno, due, tre, . . . , (n − 1) lettera dal numero A1 , A2 , . . .

un. Questa formula può essere inserita dopo un'ulteriore induzione matematica, proprio come la formula (3) è stata introdotta dalla formula (2).

Dalla formula (4) è possibile aggiungere wisps, in modo che ci siano n cifre 1, 2, 3, . . . n scritto in qualsiasi ordine, quindi la possibilità di accettare una delle cifre per appoggiarsi al posto giusto è maggiore

inoltre, prima del membro rimanente, c'è un segno + o −, che chiama quelli che sono accoppiati e disaccoppiati. Zocrema, per n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

Nella VIII divisione, vorremmo sapere che se non c'è incompatibilità, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! -. . . ±n!

pragne tra 1 e, il cui significato, con cinque segni dopo Komi,

uno 0,36788. Dalla formula (5) è chiaro che pn = 1 − Sn, allora la stella è chiara, che per n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

La parola "trascendentale" è associata alla meditazione trascendentale ea vari esoterismi. Ma per vivere correttamente lo yoga, è necessario come minimo rivedere lo yoga nei termini del termine "trascendentale" e, al massimo, indovinare il ruolo dello yoga nei robot di Kant e in altri filosofi.

Tse comprensibile per assomigliare al latino trascendens - "attraversare", "attraversare", "andare oltre". In generale, i vini significano quelli che sono inaccessibili alla conoscenza empirica o basati su prove. Ripensa al termine filosofia viniklische del neoplatonismo - il fondatore direttamente Plotin ha fatto un vchennya sull'Uno - il pershopochka tutto buono, poiché è impossibile riconoscere i pensieri con l'aiuto della mente, senza l'aiuto di una mente sensibile. "Non esiste uno, ma padre Yogo" - spiega il filosofo.

Il termine più recente "trascendentale" è stato sviluppato nella filosofia di Immanuel Kant, de vin vikoristovuvsya per caratterizzare, chiaramente indispensabile alla conoscenza e al modo in cui il nostro corpo è sensibile, essendo lasciato in linea di principio irriconoscibile, come nella pratica e in teoria. Proliferazione della trascendenza - : significa o l'invisibilità, il legame interno, sia come l'oggetto è con l'oggetto stesso, sia il riconoscimento dell'oggetto su certificato speciale. Ad esempio, supponiamo che il Tutto-Mondo delle creazioni, dietro una grande idea, si sia ritenuto trascendente per noi - possiamo solo fare ipotesi sul nuovo. Eppure, per come l'ho concepito, è vero, e le conseguenze per noi sono immanenti, influenzando le leggi e le condizioni fisiche, che possiamo consumare. Pertanto, in alcuni concetti teologici, Dio è postura trascendente e perebuvaet creata da lui mozziconi.

I discorsi reali sono ancora accessibili alla conoscenza a priori: per esempio, spazio e tempo, idee di Dio, bontà e bellezza, categorie logiche. Tobto oggetti trascendentali - tse, in senso figurato, "dietro la linea stabilita" nella nostra mente

L'affermazione sulla natura trascendentale in matematica: un numero trascendentale è un numero che non può essere calcolato usando l'algebra aggiuntiva o algebricamente (cioè, non può essere la radice di un termine ricco con coefficienti multipli che non è uguale a zero). Prima di loro inserire, ad esempio, i numeri π і e.

Comprensione, vicino a "trascendentale", e anche al di là dei significati - "trascendentale". Sul retro intendeva semplicemente l'area delle categorie astratte rozum, ed entro la fine dell'anno, dopo aver allevato Kant, aver bevuto pasta dal vlasnu: era impossibile indurre il sistema filosofico solo su dati empirici, ma era impossibile riconoscere i vecchi degli altri, il delitto degli empirici, senza conoscere il vino. Per voltare pagina, i filosofi hanno avuto modo di ammettere che alcuni discorsi sono ancora accessibili a una conoscenza a priori: per esempio, spazio e tempo, idee di Dio, bontà e bellezza, categorie logiche. Quegli oggetti trascendentali - tse, in senso figurato, "prima di essere messi dietro la mente" nella nostra mente - con i quali le informazioni su di loro sono evidenti e non vyplyvaet dalla nostra conoscenza.

C'è un'altra comprensione controversa: la trascendenza. In senso lato, la parola “vono” significa il passaggio al cordone tra due diverse regioni, in particolare il passaggio dalla sfera di questo mondo alla sfera del futuro, il trascendente. Per semplicità, prendiamo un esempio dalla fantascienza: un mondo parallelo per Grandi persone- manifestazione trascendentale. Ma se l'eroe ha bevuto alla sua luce parallela, sembra che il rango si manifesti con la costruzione yoga spriymati, tse trascendenza. Un esempio più pieghevole di filosofia esistenziale: Jean-Paul Sartre, avendo capito che una persona è trascendente, i frammenti non andranno oltre i limiti di ogni possibile verità bagnata: possiamo navkolishniy svit da diverse parti, ma in ogni caso non possiamo avvicinarci al pieno riconoscimento di noi stessi. Ale, subito, una persona può costruire fino alla trascendenza: trascende se è un fiume, dandogli un significato. La trascendenza è un elemento importante nella religione: aiuta le persone a crescere nella loro natura materiale e raggiungere qualcosa di estraneo.

Dalla filosofia, il concetto di trascendentalità è migrato alla psicologia: lo psicologo svizzero Carl Jung ha sviluppato il concetto di “funzione trascendentale”, la stessa funzione che accompagna quell'incomprensibilità. Zocrema, la funzione trascendentale può essere superata da uno psicoanalista: aiuta il paziente ad analizzare le immagini dell'invisibile (ad esempio, il sogno) e mostrale immediatamente dai propri processi psichici.

Yak parlare

Errato "Mi sono iscritto a un corso di meditazione trascendentale". Esatto - "trascendentale".

Esatto, "Quando vado al tempio, guardo qualcosa di trascendente".

Correttamente: "L'arte della trascendenza ci conosce oggetti del mondo materiale, che li ricorda con la massima luce".

Illya Shchurov

Il matematico Illya Shchurov su decine di frazioni, trascendenza e irrazionalità del numero Pi.

In che modo la “solitudine” ha contribuito a ispirare il primo posto e quel grande impero? Come hai fatto esplodere le menti delle persone? Che ruolo ha giocato nell'aspetto dei penny? Yak "uno" unito a zero, per governare mondo moderno? La storia dell'unicità è indissolubilmente legata alla storia della civiltà europea. Terry Jones è virushaya in modo umoristico più costoso con il metodo di raccogliere la meravigliosa storia del nostro numero più semplice. Con l'aiuto della computer grafica in questo programma, si prende vita in diverse forme. Dalla storia della solitudine, è diventato chiaro, le stelle sono apparse oggi e, come i difetti dello zero, vryatuvav alla luce della necessità di vincere i numeri romani.

Giacomo Cesiano

Sappiamo poco di Diofanto. Bene, Vin è vivo da Oleksandriya. Nessuno dei matematici greci l'ha scoperto fino al 4° secolo, perché ymovirno è vivo a metà del 3° secolo. La testa del robot di Diofanto, "Aritmetica" (Ἀριθμητικά), è stata portata sulla pannocchia di 13 "libri" (βιβλία), da dividere. Oggi possiamo averne 10, e in sé: 6 nel testo greco e altri 4 nella traduzione in arabo medio, alcuni nel mezzo dei libri greci: libri I-III in greco, IV-VII in arabo, VIII -X in greco. "Aritmetica" di Diofanto è in anticipo sui tempi, solo vicino 260. Teorie, apparentemente vere, nulla; Non ci sono istruzioni più generali all'inizio del libro, e più privato rispetto per gli altri registi, se necessario. "Aritmetica" sembra già un trattato algebrico. Diofanto sulla pannocchia segni diversi, schob vyslovlyuvati nevidome that yogo step, anche deakі calcolo; come tutti i simboli algebrici del mezzo, il suo simbolismo ricorda parole matematiche. Quindi, Diofanto spiega come risolvere il problema usando il metodo dell'algebra. Ma il compito di Diofanto non è algebrico nel senso primario, in modo che tutto possa essere ridotto all'altezza di un uguale indefinito, o di sistemi di tali uguali.

Giorgio Shabat

Programma del corso: Storia. Prime valutazioni. Il problema della consistenza di un paletto con un diametro її. Righe Neskіchennі, crea quel vrazi inshі per π. Zbіzhnist e її yakіst. Virazi, cosa vendicare π. Successioni che convergono velocemente fino a π. Metodi moderni calcolo di π, numero di computer. Sull'irrazionalità e trascendenza di π e di altri numeri. La conoscenza avanzata non è necessaria per il corso.

Funzionari dell'Università di Oxford hanno affermato che le prime introduzioni del numero 0 per indicare il numero di giorni consecutivi (come nel numero 101) dovrebbero tenere conto del testo del manoscritto indiano di Bakhshali.

Vasil Pispanen

Chi non è inciso dai bambini nel gruppo "nomina il maggior numero"? Milyoni, trillioni e altri "-loro" possono essere visti nei pensieri già senza intoppi, ma cercheremo di risolvere il "mastodonte" in matematica: il numero di Graham.

Viktor Kleptsin

Il numero giusto può essere approssimato esattamente da quelli razionali. E se lo facciamo gentilmente, possiamo avvicinarci l'uno all'altro - è in linea con lo yoga pieghevole? Ad esempio, la rottura decimo ingresso numeri x su k-esima cifra dopodiché togliamo la prossimità x≈a/10^k con un perdono dell'ordine di 1/10^k. I vzagali, avendo sistemato lo striscione q nella frazione che si avvicina, possiamo sicuramente prendere l'avvicinamento con un indulto dell'ordine 1/q. E cosa puoi fare di meglio? Sapendo a tutti, la prossimità π≈22/7 dà un perdono dell'ordine di 1/1000 - che è chiaramente migliore, inferiore potrebbe essere corretto. Come mai? Siamo stati risparmiati, perché π è così vicino a є? Sembra che per qualsiasi numero irrazionale є frazioni impersonali p / q, che è più vicino ad esso, sia inferiore a 1 / q ^ 2. Il teorema di Tseverzhuє Dirichlet - e il corso mi pochnemo è una dimostrazione non standard di troha.

Nel 1980, il Guinness dei primati ripeté le affermazioni di Gardner, aumentando ulteriormente l'interesse pubblico fino a quel numero. Il numero di Graham in nome del numero di volte in più, più basso altrimenti buono in casa grandi numeri, quindi, come googol, googolplex e navit more, abbassa il numero di Skewes e il numero di Moser. In verità, il mondo intero è troppo piccolo perché qualcuno possa prendere il suo decimo record del numero di Graham.

Dmitro Anosov

Le lezioni recitano Anosov Dmitro Viktorovich, dottore in scienze fisiche e matematiche, professore, accademico dell'Accademia delle scienze russa. Summer School "Matematica Moderna", Dubna. 16-18 aprile 2002

Non è possibile rispondere correttamente alla catena alimentare, frammenti serie numerica non maє limite superiore. Quindi, fino a un certo numero, basta aggiungerne un altro, per prendere il numero ancora di più. Sebbene i numeri stessi non siano limitati, i loro nomi non sono così ricchi e ricchi, quindi la maggior parte di loro si accontenta di nomi che vengono sommati da numeri più piccoli. Mi sono reso conto che nella serie finale di numeri, che le persone hanno accumulato per i loro nomi potenti, possono essere i più. Ma come si chiama e perché è uguale? Dai, proviamo a capirlo in qualche modo e riconoscere l'infezione, i matematici hanno tirato fuori dei grandi numeri.

Il numero è chiamato algebrico yakscho è la radice di un termine deaky ricco con molti coefficienti

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(cioè la radice di uguale a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de un, un n-1, ..., un 1, uno 0--- numeri, n 1, uno 0).

Un numero algebrico impersonale è significativamente una lettera .

È facile vedere se un numero razionale è algebrico. Vero, - la radice del fiume qx-p=0 con molti coefficienti a 1 =qі a 0 =-p. Otzhe, .

Tuttavia, non tutti i numeri algebrici sono razionali: ad esempio, il numero è la radice dell'uguaglianza x 2 -2 = 0, otzhe, --- algebrico numero.

L'ora vecchia è rimasta intatta, importante per l'alimentazione matematica: ? Meno del 1844, il destino di Lіouville è stato per la prima volta un esempio di numero trascendentale (tobto. Non algebrico).

Il primo giorno del mese, la prova della sua trascendenza è ancora più pieghevole. È possibile portare il teorema sulla base dei numeri trascendentali in modo significativamente più semplice, evidenziando l'equivalenza e la non equivalenza dei multipli numerici.

E di per sé, possiamo portare, che i numeri algebrici impersonali sono Rakhunkov. Tuttavia, i frammenti di tutti i numeri reali non sono uguali, possiamo impostare la base di numeri non algebrici.

Distinguiamo reciprocamente senza ambiguità e con una dozzina . Tse è significativo, sho - È buono chi rakhunkovo. Ale Oskilki , poi neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Dai - deyake numero di algebra. Diamo un'occhiata a tutti i termini ricchi con il numero di coefficienti, la cui radice è є, e scegliamo la metà dei termini ricchi P il gradino minimo (in modo che non sia la radice dello stesso termine ricco con i coefficienti interi del gradino minore).

Ad esempio, per un numero razionale, un tale polinomio può avere il passaggio 1 e i numeri - passaggio 2.

Dividiamo tutti i coefficienti di un membro ricco P al loro dormiente più grande. Togliamo il polinomio, il cui coefficiente è mutuamente semplice in una volta (la loro traversina più grande è 1). Zreshtoyu, come coeficiente senior un In ogni caso, moltiplichiamo tutti i coefficienti del polinomio per -1 .

La sottrazione del termine ricco (cioè il termine ricco con coefficienti grandi, la cui radice è il numero, che può essere il passo meno possibile, coefficiente mutualmente semplice e coefficiente senior positivo) è chiamata termine minimo ricco del numero.

Si può dimostrare che un tale polinomio è assegnato in modo univoco: il numero di skin di un'algebra può essere esattamente un polinomio minimo.

Il numero di radici reali di un polinomio non è altro che il gradino inferiore. Inoltre, puoi numerare (ad esempio, per la crescita) le radici di un termine così ricco.

Ora, sia esso il numero dell'algebra, sarà riconosciuto dal suo termine minimo ricco (cioè dall'insieme dei suoi coefficienti) e dal numero, che è diverso dalle altre radici del polinomio: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Successivamente, per il numero algebrico dermico, impostiamo la distinzione dell'insieme finale di numeri interi, inoltre, è seguito in modo univoco da questo insieme (quindi insiemi diversi sono dati a numeri diversi).

Tutti i numeri primi sono numerati in ordine di crescita (non importa mostrare che sono troppo ricchi). Togliamo la sequenza imperdonabile (pz): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Ora un insieme di numeri interi (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) puoi metterti in primo piano

(Questo numero è più positivo e razionale, ma non essere naturale, nemmeno nel mezzo dei numeri uno 0, un 1, ..., un n-1, può essere negativo). Rispettosamente, che il numero non sia di breve durata, i frammenti sono dei semplici moltiplicatori, da inserire prima della stesura del libro dei numeri e dello stendardo, diversi. Vale anche la pena rispettare che due frazioni non brevi con numeri positivi e stanze sono uguali, anche se sono numeri uguali, quelle їх sono stanze uguali.

Ora vediamolo con le pinze:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki diversi numeri di algebra hanno impostato diversi insiemi di numeri interi e diversi insiemi --- diverso numeri razionali, allora noi, in questo ordine, abbiamo stabilito una validità reciprocamente inequivocabile tra una molteplicità e con una dozzina . Pertanto, i numeri algebrici impersonali sono significativi.

Frammenti di numeri reali impersonali sono indistinguibili, abbiamo portato le basi dei numeri non algebrici.

Tuttavia, il teorema del ragionamento non mostra come determinare cosa numero intero algebrico. E l'alimentazione a volte è importante per la matematica.

numero trascendente

un numero (dіysne abo yavne), che non è soddisfatto di alcuna equalizzazione dell'algebra (Div. equalizzazione algebrica) con molti coefficienti. In questo rango, i T. h. sono assegnati ai numeri algebrici. Іsnuvannya TH ha fondato per primo J. Liouville (1844). Il punto giusto per Liouville era il teorema th, che afferma che qualsiasi ordine di approssimazione di una frazione razionale con un dato standard al numero algebrico th irrazionale non può essere sufficientemente alto. Il numero più algebrico un soddisfa l'uguale non ridotto dell'algebra n con molti coefficienti, quindi solo per qualsiasi numero razionale da depositare α ). Pertanto, per un dato numero irrazionale α, è possibile mostrare approssimazioni razionali impersonali che non soddisfano l'induzione di irregolarità per qualsiasi hі n(alcuni e tranquilli per tutti vicini), quindi α є T. h. Il calcio di un tale numero è sì:

R. Kantor (1874), dopo aver detto che l'impersonalità di tutti i numeri algebrici è distinguibile (in modo che tutti i numeri algebrici possano essere rinumerati; div. Teoria della molteplicità), allora l'impersonalità di tutti i numeri reali è immutabile. Suonava come l'impersonale T. h.

Il compito più importante della teoria di T. h. - tse z'yasuvannya che chi є T. h. il valore delle funzioni analitiche, che possono avere quegli altri poteri aritmetici aritmetici con valori algebrici dell'argomento. Il compito di quale famiglia sta davanti al compito più importante della matematica moderna. U 1873 Sh.

Nel 1882 il matematico tedesco F. Lindemann ottenne un risultato più significativo: poiché α è il numero dell'algebra, allora e Il risultato di α - T. h. Lipdeman è stato notevolmente aggravato dal matematico tedesco K. Siegel (1930), che ha dimostrato, ad esempio, la trascendenza del valore di un'ampia classe di funzioni cilindriche con i valori dell'argomento dell'algebra. Nel 1900, al Congresso di Matematica di Parigi, D. Hilbert, tra 23 problemi inviolabili della matematica, segnalava l'offensiva: il chi è un numero trascendentale α β , de α і β - numeri algebrici, inoltre β - numero irrazionale, i, zokrema, chi є numero trascendentale e π α β bula prima in forma privata fu messa da L. Eulero, 1744). La versione esteriore del problema (in senso stretto) fu più o meno presa in considerazione nel 1934 da A. O. Gelfond. Dall'affermazione di Gelfond, zokrema, è chiaro che tutte le decine di logaritmi di numeri naturali (cioè i "logaritmi tabulari") sono T. h. Metodi della teoria T. h.

Illuminato.: Gelfond A. O., Numeri trascendentali e algebrici, M., 1952.

Grande Enciclopedia Radianska. - M: Radianska Enciclopedia. 1969-1978 .

Lasciati stupire da un tale "numero trascendente" in altri dizionari:

Un numero che non è soddisfatto di nessun uguale di algebra con qualsiasi numero di coefficienti. Numeri trascendentali є: numero? 3.14159...; il decimo logaritmo di qualsiasi numero intero, che non è rappresentato da uno con zeri; numero e = 2.71828 ... ta in ... Grande Dizionario enciclopedico

- (latino trascendere, girare) tse recheve abo numero complesso, che non è algebrico, cioè un numero che non può essere radice di un termine ricco con molti coefficienti. Zmist 1 Potenza 2 ... ... Wikipedia

Un numero che non è soddisfatto di nessun uguale di algebra con qualsiasi numero di coefficienti. Numeri trascendentali є numero π = 3,14159...; il decimo logaritmo di qualsiasi numero intero, che non è rappresentato da uno con zeri; numero e = 2,71828... ta in. Dizionario enciclopedico

Un numero che non soddisfa la stessa algebra. non sei con coefficienti qіlimi. T. anno. є: numero ПІ = 3,14159...; il decimo logaritmo di qualsiasi numero intero, che non è rappresentato da uno con zeri; numero e = 2,71828... ta in. Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Il numero, che non è la radice dello stesso termine ricco con gli stessi coefficienti. Lo scopo di tali numeri è lo zero dei numeri reali, complessi e radiali. Іnuvannya che ovviamente ha spinto l'azione di T. h. obguruntuvav J. Liouville ... Enciclopedia matematica

Uguale, come non є algebrico. Chiama l'allineamento dei prezzi, che può essere mostrato, funzioni logaritmiche, trigonometriche, trigonometriche reversibili, ad esempio: Suvorishe della designazione come: Allineamento trascendentale dell'obiettivo ... Wikipedia

Il numero, circa 2.718, è spesso usato in matematica e scienze naturali. Ad esempio, quando il discorso radioattivo si rompe, dopo la fine dell'ora t, alla fine del periodo del parlato, una parte viene persa, che è più costosa e kt, de k numero, ... Enciclopedia Collier

E è una costante matematica, la base del logaritmo naturale, un numero irrazionale e trascendentale. In altre parole, il numero e è chiamato numero di Eulero (da non confondere con i cosiddetti numeri di Eulero del primo tipo) o numero di Napier. È indicato dalla minuscola lettera latina "e".

E è una costante matematica, la base del logaritmo naturale, un numero irrazionale e trascendentale. In altre parole, il numero e è chiamato numero di Eulero (da non confondere con i cosiddetti numeri di Eulero del primo tipo) o numero di Napier. È indicato dalla minuscola lettera latina "e".