Il sottointegrale ha la potenza, analoga alla potenza dell'integrale cantato. Significativamente meno dei principali:

1. Quali sono le funzioni
integrazione nella regione
, quindi l'integrazione in essi è l'importo e la differenza, inoltre

2. Il moltiplicatore costante può essere incolpato del segno integrale di ferretto:

3. Yakscho
integrato nella regione
, e quest'area è divisa in due aree che non si sovrappongono і
, poi

.

4. Yakscho
і
integrazione nella regione
, in parole povere

, poi

.

5. Cosa c'è nella zona
funzione
soddisfatto delle incongruenze


de
і
atti numeri disordinati, poi

,

de – zona della regione
.

Le dimostrazioni di queste potenze sono analoghe alla dimostrazione dei secondi teoremi per l'integrale semplice.

Calcolo dell'integrale verticale in coordinate cartesiane rettangolari

Sia necessario calcolare l'integrale sottostante
, di zona - Rettangolare, caratterizzato da irregolarità ,.

Assumiamo che
è ininterrotta nello stesso rettangolo e si gonfia nel nuovo valore sconosciuto, anche se l'integrale del volume del corpo con la base , orlato con la bestia in cima
, dai lati - appartamenti
,
,
,
:

.

Dall'altro lato, una tale cifra può essere calcolata con l'aiuto dell'integrale sing:

,

de
- l'area di attraversamento di questo corpo con un piano che passa per un punto e perpendicolare all'asse
. Frammenti di analisi incrociati con un trapezio curvilineo
, circondato dalla bestia con un grafico funzionale
, de fisso, e , poi

.

Z tsikh triokh uguaglianze vyplivaє, scho

.

D'ora in poi, il calcolo dell'integrale di base era il calcolo dei due integrali sing; quando si calcola l '"integrale interno" (scritto in archi) essere immutabile.

Rispetto. Puoi spiegare che il resto della formula è corretto quando
, nonché a colpo d'occhio, se la funzione
cambia il segno del rettangolo indicato.

I diritti della parte della formula sono detti integrali iterati e sono designati come segue:

.

Allo stesso modo, si può dimostrare che

.

Al di sopra di ciò che è stato detto, piagnucoli

.

Rimanere uguaglianza significa che il risultato dell'integrazione dovrebbe rientrare nell'ordine dell'integrazione.

Per dare un'occhiata alla pendenza più profonda, introduciamo la comprensione dell'area standard. L'area standard (o corretta) assegnata direttamente all'asse è chiamata tale area, per la quale dovrebbe essere diritta, parallela al centro dell'asse, non più intervallata dall'area, più in basso in due punti. Altrimenti, sembra, ribaltando la regione stessa, che її cordone sia solo una brezza diritta.

È accettabile che la regione sia circondata

che è circondato dalla bestia con un grafico di funzione
, in basso - grafico della funzione
. Forza R ( ,) - rettangolo minimo, in cui è posata la regione
.

Vai in zona
quella funzione ininterrotta è assegnata
. Introduciamo una nuova funzione:

,

simile alle potenze dell'integrale di ferretto

.

io, dopo,

.

Oskіlki vіdrіzok
per coprire l'area
poi più tardi,
a


, ma sdraiati in una posizione vіdrіzkom, quindi
.

Con fisso possiamo scrivere:

.

Il primo e il terzo integrale sul lato destro dell'integrazione si sommano quindi a zero

.

Otzhe,

.

Perché è necessario utilizzare la formula per calcolare l'integrale di corsa sull'area dell'asse standard
tramite il collegamento all'integrale ripetuto:

.

regione di Yakscho
є standard y asse rettilineo
si presenta come incongruenze ,

, allo stesso modo, si può dimostrarlo

.

Rispetto. Per la regione
, standard y assi diritti
і
, ci saranno vicons

Per questa formula cambia l'ordine di integrazione e l'ora del calcolo dell'integrale sublineare.

Rispetto. Non appena l'area di integrazione cessa di essere standard (corretta) su entrambi gli assi delle coordinate, її suddividere alla somma delle aree standard e rappresentare l'integrale come somma delle integrazioni in queste aree.

culo. Calcola l'integrale corrente
per regione
, circondato da linee:
,
,
.

Soluzione.

Area di Tsya є asse standard di yak schodo
, così io
.

Calcoliamo l'integrale, tenendo conto dell'area dell'asse standard
.

.

Rispetto. Come calcolare l'integrale, tenendo conto dell'area dell'asse standard
, prendiamo lo stesso risultato:

.

culo. Calcola l'integrale corrente
per regione
, circondato da linee:
,
,
.

Soluzione. Rappresentativamente, la regione di integrazione è data al piccolo.

Area Tsya є asse schodo standard
.

.

culo. Modificare l'ordine di integrazione per l'integrazione ripetuta:

Soluzione. Immaginiamo la regione dell'integrazione.

Dalle linee di interintegrazione, conosciamo le linee che racchiudono l'area di integrazione: ,
,
,
. Per cambiare l'ordine di integrazione, possiamo come funzioni in e conosciamo il punto di incrocio:

,
,
.

Quindi, su uno degli intervalli, la funzione è espresso da due virasi analitiche, quindi l'area di integrazione va divisa in due aree, e l'integrale ripetuto dell'imposta è la somma di due integrazioni.

.

1.1 Determinazione dell'integrale verticale

1.2 Dominanza del subintegrale

Il predominio del subintegrale (quello yogo visnovok) è analogo al predominio dell'integrale canoro di una volta.

1°. Additività. Se la funzione f(x, y) è integrata nel dominio D e se il dominio D oltre la curva addizionale à l'area zero è divisa in due collegamenti e non può avere punti interni congiunti del dominio D 1 e D 2, allora il la funzione f(x, y) è inoltre integrata nella pelle delle aree D 1 e D 2

2°. Potenza lineare. Come sono le funzioni f(x, y) e g(x, y) integrabili nello spazio D, eh? io? - siano numeri vocali, allora la funzione [? f (x, y) + ? g (x, y)] è inoltre integrato nel dominio D

3°. Poiché le funzioni f(x, y) e g(x, y) sono integrabili nel dominio D, le funzioni aggiuntive di queste funzioni sono integrabili in D.

4°. Come si possono integrare le funzioni f(x, y) e g(x, y) nel dominio D e incrociare f(x, y)? g(x, y), allora

5°. Poiché la funzione f(x, y) è integrata dal dominio D, allora la funzione th |f(x, y)| integrato nella regione D, inoltre

(Ovviamente, l'integrazione di | f (x, y) | D non mostra l'integrazione di f (x, y) in D.)

6°. Il teorema del valore medio. Sebbene le funzioni offensive f(x, y) e g(x, y) siano integrate nel dominio D, la funzione g(x, y) è invisibile (non positiva) ovunque in questa regione, M e m sono le esatte limiti superiore e inferiore della funzione f( x, y) nella regione D, allora esiste un numero? che soddisfa l'irregolarità di m? ? ? M i in modo che la formula sia valida

Sokrema, poiché la funzione f(x, y) è continua D e il dominio D è connesso, allora in questo dominio c'è un tale punto (?, ?), Cosa? = f(?, ?) e la formula è simile

7°. Importante potere geometrico. zona giorno D

Lascia che il corpo T (Fig. 2.1) sia assegnato allo spazio, sotto l'area D, alla bestia - un grafico di una funzione ininterrotta e invisibile) z \u003d f (x, y,) come è assegnato allo spazio D, dai lati - una superficie cilindrica, una diretta є tra l'area D e parallela all'asse di Oz. Un corpo di questo tipo è chiamato corpo cilindrico.

1.3 Interpretazione geometrica dell'integrale verticale

1.4 Comprendere l'integrale verticale di un rettangolo

Assegna ovunque una funzione sufficiente f(x, y) al rettangolo R = ? (div. Fig. 1).

spicchio di rosmarino a? X? b di n segmenti parziali oltre il punto ausiliario a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Perché la divisione per l'aiuto di rette, parallele agli assi Ox e Oy, divide il rettangolo R in n · p rettangoli parziali R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Indicato dalla divisione del rettangolo R, è significativo con il simbolo T. Gli abbiamo dato una divisione sotto il termine "rettangolo" per intendere il rettangolo con i lati paralleli agli assi delle coordinate.

Sulla pelle chastkovy rettangolo Rkl, scegliamo un punto intero (?k,?l). Posto ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, è significativo per ?R kl dell'area del rettangolo R kl . Ovviamente, ?R kl = ?x k ?y l .

è detta somma integrale della funzione f(x, y), che dà una data distribuzione T di un rettangolo R e una data scelta di punti intermedi (? k, l) su rettangoli parziali di una distribuzione T.

La diagonale è chiamata diametro del rettangolo R kl . Un simbolo? Significativamente il più grande dei diametri di tutti i comuni rectocut R kl .

Il numero I è chiamato limite delle somme integrali (1) in? > 0, come può essere un numero positivo? puoi dirlo? Data?, Cosa a?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Io |< ?.

La funzione f(x, y) è chiamata integrata (secondo Riemann) sul rettangolo R, perché c'è un confine finale tra le I somme integrali della funzione a? >0.

Il confine designato I è chiamato subintegrale della funzione f(x, y) dal rettangolo R ed è indicato da uno dei seguenti simboli:

Rispetto. Quindi, proprio come per un integrale sing una tantum, si stabilisce che la funzione f(x, y) è integrata sul rettangolo R ed è circoscritta a questo rettangolo.

Questo dà l'opportunità di guardare più lontano dal confine delle funzioni f(x, y).

Potenza degli integrali subordinati.

Parte delle potenze dei sottointegrali senza intermediari grida dal significato di cui la comprensione di quella potenza degli integrali somma, ma essa stessa:

1. Qual è la funzione f(x, y) integrato in D, poi kf(x, y) tezh è integrato in questo galusi, inoltre (24.4)

2. Cosa c'è nella zona D funzioni di integrazione f(x, y)і g(x, y), quindi quelle funzioni vengono integrate in questa galleria f(x, y) ± g(x, y), io a

3. Come integrarsi nella regione D funzioni f(x, y)і g(x, y) nervnіst f(x, y)≤g(x, y), poi

(24.6)

Aggiungiamo più potenza al sottointegrale:

4. Zona di Yakscho D divisa in due regioni D 1 ta D 2 senza puntini interni luminosi e funzione f(x, y) ininterrotta nella regione D, poi

(24.7) Portare . Somma integrale per regione D puoi vedere a colpo d'occhio:

de divisione della regione D effettuato in modo tale che tra D 1 ta D 2 è costruito tra le parti della battaglia. Passando il sudore al confine, mentre si toglie l'uguaglianza (24,7).

5. Al momento dell'integrazione il D funzioni f(x, y) questa funzione è integrata nel mio galus | f(x, y) |, e maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Portare.

stelle per aiuto al valico di frontiera in caso di nervosismo posseduto (24.8)

6. de S D– zona della regione D. La prova di cui asserzione viene tolta, sostituendo la somma integrale f(x, y)≡ 0.

7. Ancora integrato nella regione D funzione f(x, y) soddisfa il nervosismo

m ≤ f(x, y) ≤ M,

poi (24.9)

Portare.

La dimostrazione è effettuata da una transizione di confine da evidente disuniformità

Conseguenza.

Come sottomettere tutte le parti del nervosismo (24.9) su D, puoi prendere il cosiddetto teorema del valore medio:

Zokrema, per la mente dalla funzione ininterrotta f in D c'è un punto del genere nella regione ( x 0, y 0), in yakіy f(x 0, y 0) = μ , poi

-

Un'altra formulazione del teorema del valore medio.

Zmist geometrica integrale inferiore.

Vediamo il corpo V, circondato da una superficie parziale, ciò che viene chiesto da uguali z = f(x, y), proiezione D tsієї superficie per piano eh una superficie cilindrica tabulare, tagliata da quelle verticali, che collega i punti tra le superfici con le loro sporgenze.

z = f(x, y)

V

y P i D Fig.2.

Shukatimemo il volume del corpo come tra la somma dei volumi dei cilindri, le cui basi sono le parti Δ si regioni D, e per altezza - vіdrіzki zavdovka f(Pi), di punti Pi mentire Δ si. Passando al confine con, otrimaemo, scho

(24.11)

cioè sotto l'influenza dell'integrale del cosiddetto cilindro, circondato dalla bestia sulla superficie z = f(x, y), e sotto - l'area D.

Calcolo dell'integrale della sottolineatura dal percorso del collegamento yoga al secondo.

Area prospettica D, delimitato da linee x=a, x=b(un< b ), de φ 1 ( X) e φ 2 ( X) senza interruzione su [ a, b]. Quindi essere diritto, parallelo all'asse delle coordinate a e passare per il punto più interno dell'area D, attraversando il cordone della regione in due punti: N 1 ta N 2 (Fig. 1). Chiamiamo quest'area corretta in su-

a asse corretto O a. Allo stesso modo, lo è

y=φ 2 (X) c'è un'area che è proprio in linea retta

N 2 assi O X. Regione, correggere in diretta-

Nії entrambi gli assi coordinati, lo faremo

D chiamalo giusto. Per esempio,

L'area corretta è mostrata in Fig.1.

y=φ 1 (X) N 1

O a b x

Forza funzione f(x, y) ininterrotta nella regione D. Guarda Viraz

, (24.12)

rango dvorazovym integrale tipo di funzione f(x, y) per regione D. Calcoliamo l'integrale interno (in piedi alle braccia) cambiando a, nonostante X postiinim. Di conseguenza, vediamo funzione ininterrotta Visualizza X:

La funzione di Otrimanu è integrabile per X nel mezzo un prima b. Di conseguenza, prendiamo il numero

Portiamo l'importante potere dell'integrale yard-wise.

Teorema 1. regione di Yakscho D, correggi dritto a, divisa in due aree D 1 ta D 2 dritto, asse parallelo Pro a abo asse O X, quindi l'integrale dvorazovy sulla regione D più somme degli stessi integrali per regioni D 1 ta D 2:

Portare.

a) Vai dritto x = c pause D sul D 1 ta D 2, dritto a. Todi

+

+

b) Vai dritto y=h pause D sulla destra dritto a regioni D 1 ta D 2 (Fig. 2). Significativamente attraverso M 1 (un 1 , h) Quello M 2 (b 1 , h) punti della retta trasversale della retta y=h dal cordone l regioni D.

y Regione D 1 circondato da linee ininterrotte

y=φ 2 (X) 1) y=φ 1 (X);

D 2 2) curva MA 1 M 1 M 2 In, uguale a quello che scriviamo

h M 1 M 2 y=φ 1 *(X), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) a a ≤ x ≤ a 1 ta

UN 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h a un 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) dritto x = a, x = b.

Regione D 2 circondato da linee y=φ 1 *(X),

Ay= φ 2 (X),un 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Possiamo dimostrare all'integrale interno il teorema su

sfondare l'integrazione:

oh un a 1 b 1 b

+

Diamo un altro s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) a a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Il primo e il terzo tolgono gli integrali e pareggiano a zero. Otzhe,

io D = , poi .

La potenza principale del subintegrale

Il predominio del subintegrale (quello yogo visnovok) è analogo al predominio dell'integrale canoro di una volta.

1°. Additività. Qual è la funzione f(X, y) integrato nella regione D e come zona D per la curva di aiuto G l'area zero è divisa in due anelli e non attutisce i punti interni alti della regione D 1 ta D 2 , quindi la funzione f(X, y) integrato nelle aree cutanee D 1 ta D 2, inoltre

2°. Potenza lineare. Quali funzioni f(X, y) Quello g(X, y) integrazione nel territorio D, un α і β - che si tratti di numeri vocali, allora la funzione [ α · f(X, y) + β · g(X, y)] è anche integrato nella regione D, inoltre

3°. Quali funzioni f(X, y) Quello g(X, y) integrazione nel territorio D, le funzioni aggiuntive di queste funzioni vengono integrate in D.

4°. Quali funzioni f(X, y) Quello g(X, y) integrazione offensiva nella regione D e ovunque nella mia galleria f(X, y) ≤ g(X, y), poi

5°. Qual è la funzione f(X, y) integrato nella regione D, quelle funzioni | f(X, y)| integrato nella regione D, inoltre

(Certo, con integrazione | f(X, y)| in D non mostra integrazione f(X, y) in D.)

6°. Il teorema del valore medio. Che funzione offensiva f(X, y) Quello g(X, y) integrazione nel territorio D, funzione g(X, y) è invisibile (non positivo) ovunque in questa galleria, Mі m- esatti limiti superiore e inferiore della funzione f(X, y) nella regione D, allora c'è un numero μ che soddisfa il nervosismo m ≤ μ ≤ M e in modo che la formula sia valida

INTEGRALI IN MOVIMENTO

lezione 1

Integrali sostenuti.Lo scopo dell'integrale sottocorrente è quello del potere. Integrazioni ripetute. Collegamenti di integrali inferiori a quelli ripetuti. Posizionamento tra integrazione. Calcolo degli integrali sottostanti del sistema di coordinate cartesiane.

Il subintegrale è un approfondimento della comprensione dell'integrale sing in diverse funzioni di due variabili. In questo modo, il viceversa dell'integrazione sarà presente come una figura piatta.

Avanti D- Dejaka è un'area chiusa, delimitata e f(x,y) - una funzione sufficiente, è stata segnalata da questa galleria. Supponiamo che tra regioni D sono riassunte dal numero finale di curve, dato dagli eguali della mente y=f(X) o X=g( y), de f(X) Quello g(y) sono funzioni ininterrotte.

regione di Rozib'ёmo D grado decente su n parte. la zona io-ї delyanki è significativo con il simbolo D s io. Sulla pelle dilyantsi, una bella vibrazione è un punto Pi, e fallo uscire in be-yak_y fissando le coordinate maє del sistema cartesiano ( x io, y io). Sklademo somma integrale per la funzione f(x,y) per regione D, per cui il valore della funzione è noto in tutti i punti Pi, moltiplicando їх per l'area delle doppie trame Ds io E assumiamo che tutti i risultati vengano rimossi:

Nazvemo diam(G) le zone G la distanza maggiore tra i punti di confine della regione.

Integrante funzioni f(x,y) nell'area D si chiama confine, in che misura la successione delle somme intere (1.1) con aumento illimitato del numero delle pause n (a chi). Scrivi in ​​questo modo

Caro, scho, vzagali apparente, la somma integrale per impostare le funzioni e la data area di integrazione D ta selezionare il punto Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse significa che tra le somme vіdpovіdny integralny non è possibile mentire tra il chinnikіv nominato. In ordine(o, come sembra, funzione generale f(x,y) è integrato nel dominio D), è sufficiente che la funzione integrale del bool ininterrotto nell'integrazione della galleria delle attività.

Forza funzione f(x,y) integrato nella regione D. I frammenti tra le somme cumulative per tali funzioni non possono essere accumulati con il metodo di divisione dell'area di integrazione, la divisione può essere eseguita con l'aiuto di linee verticali e orizzontali. Todі più uomini d'affari della regione D matime dall'aspetto dritto, l'area di un tale dorivnyu D s io=D x io D si io. Pertanto, il differenziale di area può essere scritto come ds=dxdy. Otzhe, nel sistema di coordinate cartesiane sotto gli integrali puoi scrivere alla vista

Rispetto. Come la funzione integranda f(x,y)º1, quindi il sottointegrale dell'area della regione di integrazione è:

È significativo che le integrazioni sottolineate possano essere la stessa potenza, oltre che singolarmente integrate. I loro atti sono significativi.

Potenza degli integrali subordinati.

1 0 .Potenza lineare. Integrale della somma delle funzioni dell'altra somma degli integrali:

e il moltiplicatore costante può essere accusato del segno dell'integrale:

2 0 .Potere additivo. Poiché l'area di integrazione D è divisa in due parti, il subintegrale è più completo della somma delle integrazioni sulla parte cutanea:

3 0 .Il teorema medio. Qual è la funzione f( x,y)è continuo nella regione D, quindi c'è un punto del genere nella galleria(x, h) , che cosa:

Ulteriore post nutrizione: come si calcolano i subintegrali? Yogo può essere virahuvati approssimativamente, con questo metodo è rotto metodi efficaci somme ripiegate di somme cumulative, che vengono quindi calcolate numericamente con EOM aggiuntiva. Con un calcolo analitico dei subintegrali si riducono a due integrali sing.