Vedi la matrice di quello yoga del potere. Matrici. Spostarsi sulle matrici. Dominanza di operazioni su matrici. Vedi la matrice. Operazioni di piegatura e visualizzazione di matrici

Matrici. Spostarsi sulle matrici. Dominanza di operazioni su matrici. Vedi la matrice.

Matrici può essere un valore importante nella matematica applicata, che può essere scritto in una forma semplice di una parte significativa modelli matematici oggetti e processi. Il termine "matrice" è apparso nel 1850. In precedenza, le matrici venivano indovinate nell'antica Cina, poi nei matematici arabi.

Matrice A=Amm viene chiamato l'ordine m * n tabella numerica rettilinea.

Elementi di matrice aij , per cui i=j sono chiamati diagonali i diagonale principale.

Per una matrice quadrata (m=n), la diagonale della testa è composta da elementi a 11 , a 22 ,..., a nn .

matrici rivniste.

A=B solo l'ordine delle matrici UNі B tuttavia, quello a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Spostarsi sulle matrici.

1. Aggiunta di matrici - operazione elemento per elemento

2. Visualizzazione delle matrici - operazione elemento per elemento

3. L'aggiunta di una matrice a un numero è un'operazione elemento per elemento

4. Multiplo A*B matrice per regola fila in alto(il numero di colonne nella matrice A può essere uguale al numero di righe nella matrice B)

Amk * Bkn = Cmn perché l'elemento pelle ciao ij matrici cmn sommare la somma degli elementi della i-esima riga della matrice A e degli altri elementi della j-esima colonna della matrice B, tobto.

Mostriamo nell'esempio l'operazione di moltiplicazione delle matrici

5. Collegamenti ai piedi

m>1 cella Data. A è una matrice quadrata (m=n) tobto. rilevante per matrici quadrate

6. Trasposizione della matrice A. Una matrice trasposta è indicata con A T o A

Righe e colonne sono state commemorate dalle missioni

culo

Potenza delle operazioni sulle matrici

(LA+B)+C=LA+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matrici Vidi

1. Rettangolare: mі n- numeri piuttosto positivi

2. Quadrato: m=n

3. Riga della matrice: m=1. Ad esempio, (1 3 5 7) - per molti compiti pratici, tale matrice è ​​chiamata vettore

4. Stufe Matrix: n=1. Per esempio

5. Matrice diagonale: m=nі a ij = 0, piace i≠j. Per esempio

6. Matrice sola: m=nі

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice Tricot: tutti gli elementi sotto la diagonale del titolo sommano 0.

9. Matrice simmetrica: m=nі un ij = un ji(per stare elementi uguali su diagonali della testa simmetriche), e anche A"=A

Per esempio,

10. Matrice inclinata: m=nі a ij =-a ji(Ecco perché sulle diagonali principali simmetriche sono presenti elementi protilenici). Inoltre, sulla diagonale della testa stanno gli zeri (perché con io=j può essere a ii =-a ii)

ho capito A"=-A

11. Matrice hermitiana: m=nі un ii =-ã ii (ã ji- complesso - ricevuto fino a un ji, poi. yakscho A=3+2i, quindi complesso - ottenuto Ã=3-2i)

Responsabile di Algebra Lineare. Concetto di matrice. Vedi la matrice. Operazioni con matrici. Razv'yazannya compiti per la trasformazione di matrici.

Nel caso di diversi compiti di matematica, la madre viene spesso portata a destra con tabelle di numeri, dette matrici. Per matrici aggiuntive, rivedere manualmente il sistema di allineamenti lineari, rivedere le operazioni ricche di vettori, rivedere i vari compiti di computer grafica e altri compiti di ingegneria.

Si chiama Matrice tabella numerica rettilinea, cosa vendicare lo spratto m ryadkіv ta deyaka kіlkіst P stoptiv. Numeri tі P sono detti ordini di matrice. Allo stesso tempo t = P, la matrice si chiama quadrato e il numero m = n-її in ordine.

Nadal per la registrazione delle matrici sarà bloccato da doppie creste o da archi a tutto sesto:

Abò

Per un valore di matrice breve, utilizzerai spesso una lettera latina grande (ad esempio, A) o il simbolo || a ij ||, e talvolta con le spiegazioni delle rose: MA = || a ij || = (aij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Numeri aij , che entrano nel magazzino di una data matrice, sono detti elementi її. Alla posta aij primo indice і indica il numero di riga e l'altro indice j- Numero della stazione. In una matrice quadrata

(1.1)

introdurre i concetti di testa e diagonali laterali. La diagonale della testa della matrice (1.1) è chiamata diagonale un 11 un 12 … ann cosa va dall'angolo in alto a sinistra della matrice all'angolo in basso a destra della matrice. La diagonale laterale della stessa matrice è chiamata diagonale a n 1 a (n -1) 2… a 1 n , sho vai dal kut in basso a sinistra al kut in alto a destra.

Le principali operazioni sulle matrici sono quelle di potenza.

Passiamo alla definizione delle principali operazioni sulle matrici.

Aggiunta di matrici. Somma due matrici A = | a ij || , de і B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) uno stesso ordine tі P chiamata matrice C = || ciao ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) ordine tranquillo tі P, elementi ciao ij che sono assegnati alla formula

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Per comprendere la somma di due matrici, viene creato un record Z \u003d A + U. L'operazione di piegare una somma di matrici è chiamata piegatura. Otzhe, per i nominati:

+ =

Dalla designazione della somma delle matrici, o meglio dalle formule (1.2), si sottintende che l'operazione di ripiegare matrici può avere potenza, che l'operazione di ripiegare numeri reali, e se stessa:

1) autorità mutevole: A + B = B + A,

2) con buona potenza: ( A + B) + C = A + (B + C).

Le autorità non consentono dbati sull'ordine di passaggio di matrici aggiuntive quando si piegano due o numero maggiore matrici.

Moltiplicare una matrice per un numero. Matrice aggiuntiva A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) nel parlato il numero l è chiamato matrice Z = | | ciao ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) elementi assegnati alla formula:

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Per il riconoscimento della creazione della matrice per il numero si effettua una registrazione Z \u003d l A o Z \u003d A l. L'operazione di somma della creazione di una matrice a un numero è chiamata moltiplicazione del numero di matrice.

Dalla formula (1.3) risulta chiaro che moltiplicare una matrice per un numero può avere la stessa potenza:

1) con una buona potenza come un moltiplicatore numerico: (l m) A = l (m A);

2) rozpodіlnoyu power shkodo sum matrici: l (LA + B) = l UN + l B;

3) rozpodіlnoyu power shkodo sumi numeri: (l + m) A = l A + m A

Rispetto. Vendita al dettaglio di due matrici MAі In lo stesso ordine tі P naturalmente chiamare tale matrice w ordine tranquillo tі P, yak u sumі z matrice B fornisce la matrice A. Per determinare la differenza tra due matrici, viene utilizzato un record naturale: W = A - Art.

È facile confondersi in ciò che è diverso w due matrici MAі In forse buti otrimana per la regola C \u003d A + (-1) B.

matrice televisiva o moltiplicazione matriciale.

Matrice Dobootcom A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maє ordini, vіdpovіdno uguale tі n, sulla matrice B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maє ordini, vіdpovіdno uguale nі R, chiamata matrice Z = | | ciao ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho maє ordini, vіdpovіdno uguale tі R elementi assegnati alla formula:

de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Per la conoscenza della creazione della matrice MA sulla matrice In record di vicorista C = A × B. Operazione di piegatura a matrice MA sulla matrice In si chiama moltiplicazione di matrici.

Dal formulato vishche vznachennya viplivaє quello la matrice A può essere moltiplicata non per una matrice,è necessario, schob numero di colonne di matrice MA più del numero di righe nella matrice Arte.

La formula (1.4) è la regola per piegare gli elementi della matrice C, che è la creazione della matrice MA sulla matrice Arte. Questa regola può essere formulata verbalmente: l'elemento c i j, che sta sull'intersezione della i-esima riga e della j-esima colonna della matrice C = AB, somma la somma delle creazioni a coppie degli stessi elementi nell'i-esima riga della matrice A e nella j-esima colonna della matrice B.

Come esempio di impostazione della regola assegnata, introduciamo la formula per moltiplicare matrici quadrate di ordine diverso.

× =

Le formule (1.4) trasudano tale potere alla creazione della matrice MA sulla matrice A:

1) buona potenza: (AB) C = A (BC);

2) rozpodіlna schodo sumi matrici di potere:

(LA + B) C = AC + BC o A (B + C) = AC + AC.

Nutrizione sulla permutazione (rilocazione) del potere alla creazione della matrice UN sulla matrice In dare più senso alle matrici quadrate A e B stesso ordine.

Portiamo importanti matrici okremі vpadki, per le quali è equa e permutazione del potere. Due matrici per la creazione di chi giustamente permutazione del potere, è consuetudine chiamare pendolarismo.

Il centro delle matrici quadrate può essere visto come una classe di matrici diagonali, nella pelle di questi elementi, la cucitura della posizione della diagonale della testa è uguale a zero. Matrice diagonale della pelle in ordine P può guardare

D= (1.5)

de d1, d2,… , dn-yakі zavgodno numeri. È facile bachiti, che i numeri siano uguali tra loro, cioè. d1=d2=… = dn quindi per qualsiasi matrice quadrata MA ordine P la giustizia è giusta LA D = LA LA.

Il centro delle matrici diagonali (1.5) è composto da elementi d1=d2=… = d n = = d Due matrici svolgono un ruolo particolarmente importante. La prima di queste matrici esce a d=1 chiamata matrice identitaria n e. Un'altra matrice in cui entrare d=0 chiamata matrice zero n esimo ordine, è indicato dal simbolo Oh In modo tale,

E= O=

In virtù di quanto sopra A E = E Aі AO = PRO A. Inoltre, è facile dimostrarlo

A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)

La prima delle formule (1.6) caratterizza il ruolo speciale della singola matrice E, simile al tuo ruolo, come se giocassi il numero 1 moltiplicando i numeri reali. Qual è il ruolo speciale della matrice zero oh, quindi non mostra solo un amico delle formule (1.7), ma anche l'uguaglianza, che è elementaremente invertita

LA+0=0+LA=LA.

In conclusione, è rispettoso che la comprensione della matrice zero possa essere introdotta per matrici non quadrate (viene chiamato zero be-yaku matrice, tutti gli elementi uguali a zero).

matrici a blocchi

Diciamo che la matrice di Deak A = | a ij || per l'aiuto di linee rette orizzontali e verticali, viene suddiviso in cellule okremі dritte, la pelle con una matrice di dimensioni più piccole ed è chiamata blocco della matrice esterna. In un tale momento, la ragione è la capacità di guardare la matrice esterna. MA come una nuova matrice (il cosiddetto blocco). MA = || A a b ||, gli elementi a cui sono assegnati i blocchi. Le designazioni degli elementi sono indicate dalla grande lettera latina, pedice singhiozzo, ciò che puzza, vzagali apparente, matrici e non numeri і (come elemento numerico primario) è fornito da due indici, il primo dei quali indica il numero degli elementi riga del blocco e l'altro - il numero del blocco.

Ad esempio, matrice

puoi sembrare una matrice a blocchi

elementi come questi blocchi:

Strano è il fatto che le operazioni principali con le matrici di blocchi seguono le stesse regole, dietro le quali la puzza segue le matrici numeriche più significative, i blocchi svolgono il ruolo di elementi.

Concetto visionario.

Diamo un'occhiata a una matrice piuttosto quadrata, indipendentemente dall'ordine P:

A= (1.7)

Con una tale matrice skin, leghiamo una singola caratteristica numerica, io la chiamo significante, un numero prominente della matrice.

Come ordinare n le matrici (1.7) sono uguali a 1, quindi questa matrice è composta da un elemento un io j è il significante del primo ordine che corrisponde a tale matrice, chiamiamo il valore dell'elemento.

quindi il segno di un ordine diverso, che mostra una tale matrice, è chiamato numero che è maggiore a 11 a 22 - a 12 a 21 ed è indicato da uno dei simboli:

Padre, per i nominati

(1.9)

La formula (1.9) è la regola per piegare la variabile in un ordine diverso dopo gli elementi di una matrice simile. La formulazione verbale di questa regola è la seguente: il significante di un ordine diverso, la seconda matrice (1.8), l'aggiunta al dettaglio più costosa di elementi, che dovrebbe stare sulla diagonale principale della matrice, e l'aggiunta di elementi, che dovrebbe stare sulla diagonale secondaria. I capi dell'altro e superiore ordine conoscono un ampio zastosuvannya all'ora della perfezione dei sistemi di linee lineari.

Diamo un'occhiata, come fare l'occhiolino operazioni con matrici nel sistema MathCad . Le operazioni più semplici dell'algebra delle matrici sono implementate da MathCad come operatori. La scrittura degli operatori dietro le quinte è il più vicino possibile alla funzione matematica originale. L'operatore della pelle è espresso nello stesso carattere. Diamo un'occhiata alle operazioni su matrici e vettori di MathCad 2001. n x 1, Pertanto, per loro valgono tutte le operazioni, come per le matrici, che non sono particolarmente sature (ad esempio, tali operazioni sono limitate alle sole matrici quadrate) n x n). Yakіs non è ammissibile solo per i vettori (ad esempio, twir scalare) e yakіs, indipendentemente dalla stessa scrittura, in un modo diverso su vettori e matrici.

Per la finestra di dialogo, specificare il numero di righe e colonne della matrice.

q Quando si preme il pulsante OK, viene visualizzato un campo per l'immissione di elementi della matrice. Per inserire un elemento di matrice, posizionare il cursore sulla designazione della posizione e immettere il numero o il numero di volte dalla tastiera.

Per vikonate come operazione per una barra degli strumenti aggiuntiva, è necessario:

q vedere la matrice e fare clic nel pannello sul pulsante operativo,

q oppure fare clic sul pulsante del pannello e immettere il nome della matrice nella posizione del valore.

Il menu "Simboli" ha tre operazioni: trasposizione, inversione, oscillatore.

Tse significa, ad esempio, che puoi calcolare l'indice della matrice digitando il comando Simboli/Matrici/Firma.

Il numero della prima riga (i della prima colonna) della matrice di MathCAD è preso dalla modifica ORIGIN. Per le promozioni il conto si effettua da zero. Nella notazione matematica, è spesso consuetudine mantenere il valore dell'input 1. In MathCAD, è necessario inserire i numeri di riga e colonna dell'input 1 per impostare il valore della modifica ORIGIN:=1.

Le funzioni assegnate ai robot dalle routine di Algebra lineare sono selezionate nella sezione "Vettori e matrici" della finestra di dialogo "Inserisci funzione" (presumibilmente, viene cliccata dal pulsante nel pannello "Standard"). Le principali funzioni di questi saranno descritte di seguito.

Trasposizione

Fig.2 Trasposizione della matrice

MathCAD può aggiungere matrici, così puoi vederle una per una. Per questi operatori vengono disegnati dei simboli <+> o <-> ovviamente. Matrici dovute alla madre della stessa pace, altrimenti vedrai un promemoria sul perdono. L'elemento skin è la somma di due matrici e la somma degli altri elementi delle matrici-addizioni (butt in Fig. 3).
Matrice pieghevole, MathCAD supporta l'operazione di aggiunta di una matrice con un valore scalare, tobto. numero (testata fig. 4). L'elemento skin della matrice risultante è uguale alla somma dell'elemento della matrice di output e del valore scalare.
Per inserire il simbolo di moltiplicazione, è necessario premere il tasto con la zirochka<*>o velocizzare la barra degli strumenti Matrice (Matrice), premendo il pulsante Prodotto a punti (moltiplicazione)(Fig. 1). La moltiplicazione della matrice è indicata dal punto di abbreviazione, come mostrato nell'appendice della Figura 6. Il simbolo della moltiplicazione della matrice può essere scelto allo stesso modo di i nelle espressioni scalari.
Un altro esempio, che può essere moltiplicato per un vettore per una matrice-riga i, ora righe per un vettore, è mostrato in fig. 7. In un'altra riga, quale esempio mostra come appare la formula quando si seleziona l'operatore di moltiplicazione Nessuno spazio (insieme). Tuttavia, lo stesso operatore di moltiplicazione divide in due vettori e in modo diverso .

Informazioni simili.

Matrici. Vedi la matrice. Operazioni sulle matrici e yoga del potere.

Matrice significativa dell'n-esimo ordine. N, Z, Q, R, C,

Una matrice dell'ordine m * n è chiamata tabella rettangolare di s numeri, che può essere sostituita da una m-riga e n - colonne.

Matrici rivniste:

Due matrici sono dette uguali, perché il numero di righe e colonne di una di esse è più simile al numero di righe e colonne dell'altra e dell'altra. matrici el-ti tsikh uguali.

Nota: El-ty, yakі potrebbe avere gli stessi indici, є vіdpovіdnimi.

Vedi matrice:

Matrice quadrata: la matrice si chiama quadrata, perché il numero delle righe è uguale al numero delle colonne.

Rettangolare: la matrice è detta rettangolare, perché il numero delle righe non è uguale al numero delle colonne.

Matrice di righe: una matrice 1 * n (m = 1) può assomigliare a a11, a12, a13 ed è chiamata matrice di righe.

Stufe Matrix:………….

Diagonale: la diagonale della matrice quadrata, che va dal kut in alto a sinistra al kuta in basso a destra, cioè formata dagli elementi a11, a22 ... - è chiamata diagonale della testa. (definizione: una matrice quadrata con tutti gli elementi che si sommano a zero, la crema è tranquilla, che è stesa sulla diagonale principale, è chiamata matrice diagonale.

Da solo: la matrice diagonale è detta singola, perché tutti gli elementi sono posizionati sulla diagonale della testa e si sommano 1.

Tritaglio superiore: LA = | | aij | | è chiamata matrice tricot superiore, quindi aij=0. Pensa i>j.

Tritaglio inferiore: aij=0. io

Zero: matrice ce El-ty come buono 0.

Operazioni sulle matrici.

1. Trasposizione.

2. Moltiplicazione di una matrice per un numero.

3. Matrici pieghevoli.

4. Moltiplicazione di matrici.

Il principale sv-va podії su matrici.

1.A+B=B+A (commutatività)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (associatività)

3.a(A+B)=aA+aB (distributività)

4.(a+b)A=aA+bA (distributore)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoot.)

6.AB≠BA (giorno a chi.)

7.A(BC)=(AB)C (assoc.) Le matrici Virobiv sono vittoriose.

8.A(B+C)=AB+AC (distributore)

(B+C)A=BA+CA (distributore)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Il significante della matrice quadrata è il significato di quello yoga del potere. La disposizione del vyznachnik in file e file. Modi per calcolare i candidati.

Se una matrice ha ordine m>1, il significante di questa matrice è un numero.

Addizioni algebriche Aij el-ta aij matrice A si chiama Mij minore, moltiplicazioni per il numero

TEOREMA 1: La matrice significativa A è una buona somma delle creazioni di tutti gli elementi di una riga sufficiente (stovptsya) con le loro addizioni algebriche.

I principali poteri degli incaricati.

1. Il designatore della matrice non cambia nell'ora della trasposizione.

2. Quando si riordinano due righe (stovptsiv), il significante cambia il segno, ma il valore assoluto dello yogo non cambia.

3. Matrice significativa che può avere due righe identiche (stowpt) uguali a 0.

4. Quando si moltiplica una riga (stovptsya) di una matrice per un numero її, il significante viene moltiplicato per il numero intero.

5. Se una delle righe (stowpt) della matrice viene aggiunta a 0, l'indice della riga della matrice è uguale a 0.

6. Anche se tutti gli elementi dell'i-esima riga (stowptsya) della matrice sono rappresentati osservando la somma di due matrici addizionali, lo stesso segno può essere archiviato osservando la somma della somma di due matrici.

7. L'incaricato non cambia, in modo che agli elementi di una colonna (riga) aggiunga un ulteriore elemento dell'altra colonna (riga) davanti ad una pluralità. per lo stesso numero.

8. La somma degli elementi più importanti della colonna successiva (riga) del leader in cima all'algebra degli elementi della colonna successiva (riga) è uguale a 0.

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Modalità di calcolo del capitale:

1. Per la definizione di chi dal Teorema 1.

2. Portato a un aspetto tricot.

Significato di quel potere della matrice di tornitura. Calcolo della matrice del fatturato. Allineamento della matrice.

Designazione: Una matrice quadrata di ordine n è chiamata pivot di una matrice e dello stesso ordine i è assegnato

Affinché la matrice A sia basata sulla matrice inversa, è necessario e sufficiente che l'origine della matrice A sia 0.

La dominanza della matrice cardine:

1. Unità: per la matrice A її reversibile - unità.

2. designatore di matrice

3. L'operazione di prendere la trasposizione e prendere la matrice della rotazione.

Allineamento della matrice:

Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine.

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Comprendere la linearità e l'indipendenza delle colonne della matrice. Il predominio dell'errore lineare e l'indipendenza lineare del sistema dei partner.

Stovptsі A1, A2 ... An sono chiamati linearmente incolti, poiché non è una combinazione lineare banale, che è più vicina alla 0a colonna.

Le colonne A1, A2 ... An sono dette linearmente indipendenti, poiché non sono una combinazione lineare banale, che è uguale alla 0a colonna.

Una combinazione lineare è detta banale, perché tutti i coefficienti С(l) sono uguali a 0 e non sono banali in modo diverso.

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2. affinché le colonne siano linearmente a riposo, è necessario e sufficiente, in modo che debbano essere una combinazione lineare di altre colonne.

Porta 1 delle colonne con una combinazione lineare di altre colonne.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" linearmente a riposo, quindi tutte le colonne sono linearmente a riposo.

4. Proprio come il sistema delle traversine è linearmente indipendente, anche il sottosistema è così linearmente indipendente.

(Tutto ciò che viene detto sullo stovptsiv vale anche per le righe).

Matrici minori. Minore di base. Grado di matrice. Il metodo è inquadrato dai minori nel calcolo del rango della matrice.

Il minore dell'ordine alla matrice A è il significante dell'elemento di qualche ordinamento sulla corsia alle righe e alle colonne della matrice A.

Se tutti i minori al esimo ordine della matrice A = 0, allora se c'è un minore all'ordine fino a +1 o anche 0.

Minore di base.

Il rango della matrice A è l'ordine della base minore.

Metodo per inquadrare i minori: - Selezioniamo un elemento diverso da zero della matrice A (se tale elemento non esiste, allora il rango di A = 0)

È incorniciato dal minore del 1° ordine anteriore dal minore del 2° ordine. (Se questo minore non è uguale a 0, allora il grado è >=2) Se il grado del primo minore è 0, allora le vibrazioni del 1° ordine minore sono inquadrate da altri minori del 2° ordine. (Se tutti i minori del 2° ordine = 0, allora il rango della matrice = 1).

Grado di matrice. Metodi per determinare il rango di una matrice.

Il rango della matrice A è l'ordine della th minore fondamentale.

Metodi di calcolo:

1) Il metodo per delimitare i minori: - Selezionare un elemento diverso da zero della matrice A (se non c'è tale elemento, allora rango = 0) - Inquadrare il minore del 1° ordine in avanti con il minore del 2° ordine.. gif" width="40" >r+1 Mr +1=0.

2) Osservare per gradi la matrice: questo metodo si basa su trasformazioni elementari. Con le trasformazioni elementari, il rango della matrice cambia.

Le seguenti trasformazioni sono dette trasformazioni elementari:

Permutazione di due righe (stovptsiv).

La moltiplicazione di tutti gli elementi del numero deyago stovptsya (righe) non è =0.

Supplemento a tutti gli elementi della riga (riga) successiva degli elementi della riga (riga) successiva, moltiplicato in avanti per lo stesso numero.

Il teorema del minore di base. Tale intelligenza sufficiente è necessaria per l'uguaglianza dello zero del significante.

La minore in base della matrice A è la minore del più grande pre-esimo ordine della vista dominante 0.

Teorema di base minore:

Le righe di base (stovpts) sono linearmente indipendenti. Se una riga (stovpets) della matrice A è una combinazione lineare di righe di base (stovptsiv).

Le righe e le colonne sulla retina di cui sta il minore di base sono chiamate fondamentalmente righe e colonne di base.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Mente necessaria e sufficiente per essere uguale a zero del significante:

A tale scopo, il leader dell'n-esimo ordine = 0, è necessario e sufficiente, in modo che le righe (stowpt) siano linearmente incolte.

Sistemi di linee lineari, loro classificazione e forma del record. La regola di Cramer.

Diamo un'occhiata al sistema di 3 linee lineari del trio di nevidomimi:

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chiamato arbitro del sistema.

Aggiungiamo altri tre leader nella prossima classifica: sostituiamo in successione D in sequenza 1, 2 e 3 dei pilastri del pilastro dei membri liberi

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Portare. Più tardi, diamo un'occhiata al sistema di 3 uguali da un trio di nevіdomimi. Moltiplichiamo il 1° allineamento del sistema per la somma dell'algebra A11 dell'elemento a11, il 2° allineamento per A21 e il 3° per A31:

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Diamo un'occhiata alla pelle del grillo e alla parte destra del tsy uguale. Secondo il teorema sulla disposizione dell'arbitro per gli elementi della 1a colonna

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Allo stesso modo, si può dimostrare che i .

A Nareshti non interessa ricordarlo

Otzhe, otrimuemo gelosia:.

Padre, .

Allo stesso modo vengono mostrate l'equivalenza e le stelle e la solidificazione del teorema.

Sistemi di linee lineari. La somma di Umov del rivnyan lineare. Il teorema di Kronecker-Capelli.

La soluzione del sistema di equalizzazioni algebriche si chiama tale pluralità di n numeri C1,C2,C3……Cn, in quanto sostanziando y, il sistema si trova sullo spazio x1,x2,x3…..xn

Il sistema degli allineamenti lineari dell'algebra è chiamato sistema articolare, come se non potesse avere una soluzione.

Un sistema diviso si chiama canto, perché c'è una sola soluzione, ed è invisibile, perché c'è una soluzione impersonale.

Wash la somma di sistemi di rette algebriche lineari.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn mld

TEOREMA: Affinché il sistema di m allineamenti lineari con n sia invariabilmente coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice estesa sia aumentato al rango della matrice A.

Nota: questo teorema fornisce più di un criterio per la base di una soluzione, ma non indica il metodo per cercare una soluzione.

10 pasti.

Sistemi di linee lineari. Il metodo del minore di base è un modo selvaggio di esaminare tutte le soluzioni dei sistemi di allineamento lineare.

A=a21 a22…..a2n

Metodo minore di base:

Sia il sistema spilna che RgA=RgA'=r. Indica la minore di base delle iscrizioni nell'angolo in alto a sinistra della matrice A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Se il rango della matrice principale e di quella analizzata è r=n, allora in questo caso dj=bj і il sistema ha una sola soluzione.

Sistemi uniformi di linee lineari.

Il sistema delle uguaglianze lineari dell'algebra è detto omogeneo, perché tutti i suoi termini liberi sono uguali a zero.

AX=0 – sistema omogeneo.

AX \u003d B è un sistema eterogeneo.

Sistemi omogenei per ogni camera da letto.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Teorema 1.

I sistemi omogenei possono avere soluzioni eterogenee, se il rango della matrice del sistema è inferiore al numero di quelli non omogenei.

Teorema 2.

Sistema omogeneo di n uguaglianze lineari con n soluzioni maє zero incomplete, se il segno della matrice A è uguale a zero. (detA=0)

Il potere dei sistemi rozvyazkіv odnorodnyh.

Che si tratti di una combinazione lineare di una soluzione di un sistema omogeneo e soluzioni di un sistema.

α1C1 +α2C2; α1 e α2 sono numeri reali.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, cioè k. (LA C1) = 0; (AC2) = 0

Non c'è posto per il potere per un sistema eterogeneo.

Sistema di soluzioni fondamentali.

Teorema 3.

Poiché il rango del sistema matriciale è uguale a n dorivnyu r indipendente, questo sistema può avere n-r soluzioni linearmente indipendenti.

Lascia che il minore di base nell'angolo in alto a sinistra. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Un sistema di n-r soluzioni linearmente indipendenti di un sistema omogeneo di uguaglianze lineari con n ranghi r indipendenti è detto sistema fondamentale di soluzioni.

Teorema 4.

Se una soluzione per un sistema di allineamenti lineari è una combinazione lineare di una soluzione per un sistema fondamentale.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Yakscho r

12 pasti.

Zagalne rozvyazannya sistema eterogeneo.

Sonno (zag. non uniforme.) \u003d Coo + Mid (privato)

AX = B (sistema eterogeneo); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, quindi (ACoo) = 0

Sonno = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Metodo Gaus.

Il metodo delle ultime vinificazioni dell'ignoto (cambiare) - in coloro che, con l'aiuto delle trasformazioni elementari, il sistema uguale viene portato al sistema uguale dello sguardo a gradini, da cui, partendo dal resto delle modifiche, conoscere i cambiamenti.

Sia a ≠ 0 (se non è così, per permutazione di uguali indovina quale).

1) inclusa la modifica di x1 dall'altro, terzo ... n-esimo rango, moltiplicando il primo rango per il secondo numero e aggiungendo i risultati al 2°, 3o ... n-esimo rango, quindi prendiamo:

Prendiamo il sistema altrettanto forte.

2) disattivare la modifica x2

3) disattivare x3 change, ecc.

Proseguendo il processo di successivo spegnimento delle sostituzioni x4; x5 ... xr-1 è preso per (r-1) ritaglio.

Il numero di zero rimanenti n-r nell'uguale indica come appare la parte sinistra di esso: 0x1 +0x2+..+0xn

Se uno dei numeri vr+1, vr+2… non vuole essere uguale a zero, allora l'uguaglianza è superuguale e il sistema (1) non è coerente. In quest'ordine, per un essere simile a un sistema coerente, vr+1 … vm è uguale a zero.

Rimanendo n-r è uguale nel sistema (1; r-1) є con la stessa identità e non può essere preso per rispetto.

Ci sono due possibilità:

a) il numero di uguali del sistema (1; r-1) è uguale al numero di incognite, quindi r = n (il sistema sembra complicato in questo caso).

b) r

Il passaggio dal sistema (1) al sistema uguale (1; r-1) è chiamato passaggio diretto al metodo di Gauss.

Sulla modifica del cambiamento dal sistema (1; r-1) - un punto di svolta per il metodo Gauss.

La trasformazione di Gaus viene eseguita manualmente, costruendoli non con uguali, ma con una matrice espansa dei loro coefficienti.

13 pasti.

Matrici simili.

Diamo un'occhiata solo alle matrici quadrate di ordine n/

La matrice A è chiamata matrice simile (A~B), poiché esiste una matrice S non singolare tale che A=S-1BS.

Potenza di tali matrici.

1) La matrice A è simile a se stessa. (A~A)

Come S=E, anche EAE=E-1AE=A

2) Se A ~ B, allora B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Se A~B e un'ora B~C, allora A~C

Dato che A=S1-1BS1 e B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1

4) I designatori di matrici simili sono uguali.

Dato che A ~ B, è necessario portare che detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (presto) = detB.

5) I ranghi di matrici simili vengono modificati.

Vlasnі vektori i vlasnі valori di matrici.

Il numero λ è chiamato valore dato della matrice A, perché è un vettore X (colonna matrice) diverso da zero tale che AX = λ X, il vettore X è chiamato vettore dato della matrice A, e la combinazione di tutti i valori sono chiamati lo spettro della matrice A.

Il potere di potenti vettori.

1) Quando si moltiplica il vettore di potenza, il numero viene sottratto dal vettore di potenza dagli stessi valori di potenza.

AX = λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) I vettori umidi con valori umidi diversi a coppie sono linearmente indipendenti λ1, λ2,.. λk.

Lascia che il sistema sia composto da un vettore, rendiamolo induttivo:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - moltiplica per A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Moltiplica per λn+1 e vedi

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Schob richiesto С1 = С2 = ... = Сn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Caratteristicamente uguale.

A-λE è chiamata matrice caratteristica per la matrice A.

Affinché un vettore X diverso da zero sia un vettore libero della matrice A, è necessario abbinare il valore libero, in modo che un vettore X diverso da zero sia una soluzione di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (A - λE)X = 0

Una soluzione non banale del sistema può essere, se det (A - XE) = 0 - è caratteristicamente uguale.

Fermezza!

Le caratteristiche di tali matrici variano.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Membro ricco caratteristico.

det(A – λЕ) - funzione del parametro λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Questo polinomio è chiamato polinomio caratteristico della matrice A.

Scorso:

1) Come matrici A~B, allora si aumenta la somma dei loro elementi diagonali.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Esistono molti valori potenti di matrici simili.

Yakscho equalizzazione caratteristica matrici zbіgayutsya, quindi il fetore neobov'yazkovo podіbnі.

Per la matrice A

Per la matrice B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Affinché la matrice A sia diagonalizzata nell'ordine di n, è necessario che siano stati utilizzati i vettori d'onda linearmente indipendenti della matrice A.

Conseguenza.

Sebbene tutti i valori della matrice A siano diversi, è diagonalizzata.

Algoritmo per la conoscenza dei vettori di potenza e dei valori di potenza.

1) pieghevole caratteristicamente uguale

2) conosciamo la radice rіvnyan

3) aggiungiamo un sistema di equalizzazione dell'assegnazione del tuo vettore.

λi (A-λi E)X = 0

4) conosciamo il sistema risolutivo fondamentale

x1,x2..xn-r, de r - rango della matrice caratteristica.

r = Rg(A - λi E)

5) il vettore di potenza, i valori di potenza λi sono registrati nella vista:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) verificare se la matrice può essere ridotta ad un aspetto diagonale.

7) conosciamo l'Ag

Ag=S-1AS S=

15 pasti.

La base di una retta, un quadrato, uno spazio.

http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Il modulo del vettore è uguale a zero, anche se il vettore è zero.

4. Orth vettore.

L'orth di questo vettore è chiamato vettore, che però dirige con questo vettore e può avere un modulo, che è l'unità più comune.

Rivnі vectori mayut rіvnі orti.

5. Taglia tra due vettori.

La parte minore dell'area è circondata da due svincoli che provengono dallo stesso punto e sono raddrizzati dagli stessi vettori.

Archiviazione vettoriale. Moltiplicare un vettore per un numero.

1) Aggiunta di due vettori

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Moltiplicazione di un vettore per uno scalare.

Il nuovo vettore, che può essere chiamato il sottovettore di quello scalare, è:

a) = addizione del modulo di moltiplicazione del vettore per il valore assoluto dello scalare.

b) direttamente in concomitanza con un vettore moltiplicato, come se lo scalare fosse positivo, i come opposto, come se lo scalare fosse negativo.

λ a(vettore)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Potenza delle operazioni lineari sui vettori.

1. Legge della comunicativa.

2. La legge dell'associazionismo.

3. Aggiunta di zero.

a(vettore)+ō= a(vettore)

4. Stoccaggio con biancheria da letto.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Legge di distributività.

Vettore Viraz tramite modulo Yogo i ort.

Il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è chiamato base.

La base sulla linea è qualsiasi vettore.

La base sul piano sono due vettori non calendariali.

La base dello spazio è un sistema di tre vettori non complanari.

Il coefficiente del layout del vettore dalla base effettiva è chiamato i componenti o le coordinate del vettore nella base data.

Vikonati a causa della piegatura e della moltiplicazione per uno scalare, quindi, di conseguenza, ci sono un certo numero di diy presi:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sono chiamati incolti lineari, perché esiste una combinazione lineare non banale, che va bene?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sono chiamati indipendenti dalla riga, poiché non esiste una combinazione di righe non banale.

Dominanza del maggese lineare e dei vettori indipendenti:

1) il sistema di vettori per sostituire il vettore zero è linearmente incolto.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sarà linearmente incolto, è necessario che il vettore sia una combinazione lineare di altri vettori.

3) come parte del vettore nel sistema a1(vettore), a2(vettore) ... ak(vettore) è un deposito lineare, quindi tutti i vettori sono un deposito lineare.

4) come tutti i vettori.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Operazioni lineari in coordinate.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Potenza della creazione scalare:

1. Commutatività

3. (a;b)=0, anche e una sola volta, se i vettori sono ortogonali, o se provengono da vettori, sono più o meno 0.

4. Distributività (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Viraz la creazione scalare aeb tramite le coordinate їх

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Quando vykonannі wash (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> e viene chiamato il terzo vettore che è soddisfatto dell'arrivo di:

3. - diritti

Il potere della creatività vettoriale:

4. Vitvir vettoriale coordinare gli orti

Base ortonormale.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Spesso vengono utilizzati 3 simboli per determinare la base ortonormale

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Yakscho è una base ortonormale, quindi

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- allineamento in linea retta asse parallelo OH

2) - allineamento della retta parallela all'asse OS

2. Espansione reciproca di 2 rette.

Teorema 1

A) Todi è necessario che basta mente se la puzza si tinge a colpo d'occhio:

B) Ciò è necessario e sufficiente della mente di ciò che è direttamente parallelo alla mente:

B) Qualunque cosa sia necessaria abbastanza mentale colui che è direttamente arrabbiato in una mente:

3. Spostarsi dal punto alla linea retta.

Teorema. Spostarsi da un punto a una retta utilizzando un sistema di coordinate cartesiane:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Tagliare tra due linee rette. Lavare perpendicolarità.

Sia 2 assegnazioni dirette a un sistema di coordinate cartesiane con livelli grandi.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Yakscho, quindi le linee rette sono perpendicolari.

24 pasti.

L'area vicino allo spazio. Complanarità vettoriale e piana di Umov. Vidstan indica l'aereo. Parallelismo di Umov e perpendicolarità di due piani.

1. Complanarità di Umov di un vettore e di un piano.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Senza'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Senza'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Kut mizh 2 appartamenti. Lavare perpendicolarità.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Yakshcho, quindi gli aerei sono perpendicolari.

25 pasti.

Retta nello spazio. Diversamente vedere l'allineamento delle linee rette nello spazio aperto.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vettore di allineamento diretto nello spazio.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Uguaglianza canonica dritto.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Senza'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

Rispettosamente, gli elementi di una matrice non possono essere altro che un numero. Fammi sapere che descrivi i libri, come stare sul tuo libro di polizia. Lascia che la polizia mantenga l'ordine e tutti i libri stiano sui luoghi del canto. La tabella, come corretta descrizione della tua biblioteca (dalla polizia e successivi libri sulla polizia), sarà anche una matrice. Ale, una tale matrice non sarà numerica. Secondo esempio. Al posto dei numeri stanno diverse funzioni, mangiate tra loro da una specie di maggese. La tabella di Otriman è anche chiamata matrice. In altre parole, il Matrix, per così dire, è un tavolo rettangolare, piegato simile elementi. Qui e oltre stiamo parlando di matrici, piegate da numeri.

Sostituisci i bracci rotondi per registrare le matrici posizionando bracci quadrati o linee verticali diritte.

(2.1*)

Appuntamento 2. Come un Virazi(1) m = n, poi parlane matrice quadrata, ma yakscho , poi circa rettangolare.

Il valore incolto di m e n è suddiviso in tipi speciali di matrici:

La caratteristica più importante quadrato matrici є її vyznachnik o determinante, Ciò che è formato dagli elementi della matrice ed è indicato

È ovvio che D E = 1; .

Appuntamento 3. Yakscho , poi la matrice UN chiamato non vergine o non particolarmente.

Appuntamento 4. Yakscho detA = 0, poi la matrice UN chiamato virogeno o specialmente.

Appuntamento 5. Due matrici UN і B chiamato pari lei scrive A=B come se il fetore potesse essere lo stesso, le differenze e gli elementi їх vitali sono uguali,.

Ad esempio, matrici e uguali, perché la puzza è più vicina al mondo e l'elemento pelle di una matrice è più vicino all'elemento simile di un'altra matrice. E l'asse della matrice i non può essere chiamato uguale, sebbene i determinanti di entrambe le matrici siano uguali e le matrici siano uguali, ma non tutti gli elementi che stanno negli stessi punti di uguale. Le matrici sono diverse, quindi è possibile un mondo diverso. La prima matrice è 2x3 e l'altra 3x2. Sebbene il numero di elementi sia lo stesso - 6 e gli elementi stessi siano gli stessi 1, 2, 3, 4, 5, 6, la birra puzza di stare in luoghi diversi vicino alla matrice della pelle. E l'asse della matrice è l'avanzamento, zgіdno z vznachennyam 5.

Appuntamento 6. Come riparare lo spratto della matrice UN e tale è il numero delle sue righe, gli stessi elementi che stanno sulla retina delle designazioni delle colonne e delle righe per stabilire una matrice quadrata n- esimo ordine, precursore di quello chiamato minore K- ordine di matrice UN.

culo. Scrivi tre minori in un diverso ordine della matrice

Appuntamento. Matrice rozmіru m'n, de m-numero di righe, n-numero di colonne, viene chiamata la tabella dei numeri, disponendoli nello stesso ordine. I numeri Qi sono chiamati elementi di matrice. L'area dell'elemento pelle è identificata in modo inequivocabile dal numero della riga e della spatola, sulla retina di cui si trovano le vene. Agli elementi della matrice viene assegnato un ij , dove i è il numero di riga e j è il numero di riga.

Suddivisioni di base su matrici.

La matrice può essere piegata in una riga e in una colonna. Ricorda, la matrice può essere piegata da un elemento.

Appuntamento. Se il numero di colonne della matrice è uguale al numero di righe (m=n), allora viene chiamata la matrice quadrato.

Appuntamento. Yakscho = , quindi viene chiamata la matrice simmetrico.

culo.- matrice simmetrica

Appuntamento. Si chiama la matrice quadrata diagonale matrice.

Appuntamento. Matrice diagonale, che ne ha meno di una sulla diagonale della testa:

= e, chiamato singola matrice.

Appuntamento. Viene chiamata la matrice, che ha meno di zero elementi sotto la diagonale della testa matrice tricot superiore. Se la matrice sopra la diagonale della testa ha meno di zero elementi, viene chiamata matrice tricot inferiore.

Appuntamento. Si chiamano le due matrici pari come il fetore di un vagabondaggio e l'equanimità vykonuєtsya:

· Informazioni aggiuntive le matrici vengono costruite per le successive operazioni sui loro elementi. L'autorità suprema di queste operazioni è quella che puzza riservato solo a matrici della stessa dimensione. In quest'ordine è possibile designare l'operazione di piegatura di quella matrice visiva:

Appuntamento. borsa (al dettaglio) matrice є matrice, i cui elementi sono la somma (al dettaglio) degli elementi delle matrici di output.

Z \u003d A + B \u003d B + A.

Operazione plurale (podіlu) la matrice, indipendentemente dal fatto che sia espansa di un certo numero, è ridotta al multiplo (diviso) dell'elemento skin della matrice per il numero intero.

a (A + B) \u003d aA ± aB

À(a±b) = aÀ ± bÀ

culo. Data matrice A = ; B = conosci 2A + B.

2A = , 2A + B = .

· Appuntamento: Tvorom Una matrice è chiamata matrice, i cui elementi possono essere calcolati utilizzando le seguenti formule:

Dalla designazione indotta, si può vedere che l'operazione di moltiplicazione di matrici è assegnata solo a matrici, il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe dell'altra.

culo.

· Appuntamento. Viene chiamata la matrice B trasposto matrice A e transizione da A a B trasposizione Ad esempio, gli elementi della riga skin della matrice A sono scritti nello stesso ordine nelle colonne della matrice B.

A =; B = A T =;

In altre parole, = .

matrice di inversione.

Appuntamento. Queste sono matrici quadrate X e A dello stesso ordine, che soddisfano la mente:

de E è una singola matrice dello stesso ordine della matrice A, quindi viene chiamata la matrice X reversibile alla matrice A i viene assegnato A-1.

Una matrice skin square con un pivot diverso da zero può avere una matrice inversa e più di uno.

matrice di inversione

Potrebbe essere richiesto un tale schema:

Bene, allora viene chiamata la matrice non vergine, e in un altro modo - virogeno.

La matrice inversa può essere indotta solo per matrici non vergini.

Matrici potenti.

1) (LA -1) -1 = LA;

2) (AB) -1 = B -1 LA -1

3) (AT) -1 = (AT -1) T .

Grado di matrice chiamato trovare l'ordine sotto forma di zeri nei minori della matrice.

Per una matrice di ordine m´n, minore, si chiama ordine r base yakscho vin non è uguale a zero, ma tutti i minori sono in ordine r+1 e uguale a zero, altrimenti è necessario dimostrarlo. r zbіgaєtsya con il minore dei numeri m o n.

Sono anche dette le colonne e le righe della matrice, su cui sta la base minore di base.

La matrice può avere un piccolo numero di minori di base differenti, che possono avere lo stesso ordine.

Le autorità più importanti delle trasformazioni elementari della matrice sono quelle che non cambiano il rango della matrice.

Appuntamento. Si chiamano matrici, otrimani dopo trasformazione elementare equivalente.

Quindi, indica cosa pari matrici e equivalente matrici - capire in modo assolutamente diverso.

Teorema. Numero più grande le righe linearmente indipendenti nella matrice sono uguali al numero di righe linearmente indipendenti.

Perché trasformazione elementare Se non modifichi il rango della matrice, puoi semplicemente semplificare il processo di assegnazione del rango della matrice.

culo. Trova il rango della matrice.