Sistemi di linee lineari. Trasformazione elementare di sistemi vettoriali. Sistema passo-passo di sistemi vettoriali

Appuntamento 5. Trasformazioni elementari i sistemi di allineamenti lineari sono chiamati її trasformazioni in avanzamento:

1) permutazione di due posti uguali o meno;

2) moltiplicando entrambe le parti per lo stesso numero;

3) sommando ad entrambe le parti una parte uguale della seconda parte uguale, moltiplicata per il numero K;

(allo stesso tempo, i fiumi diventano permanenti).

Zero è uguale chiamato uguale alla mente offensiva:

Teorema 1. Sii come l'ultima sequenza di trasformazioni elementari e la trasformazione della domenica di equalizzazione zero per tradurre un sistema di uguaglianze lineari ugualmente forti e un altro sistema di uguaglianze lineari.

Portare. Con uno sguardo all'autorità del 4° paragrafo, per portare alla pelle il teorema per la trasformazione dell'okremo.

1. In caso di permutazione dei ranghi del sistema, i ranghi stessi non cambiano, quindi il sistema è altrettanto forte per le nomine.

2. In virtù della prima parte della dimostrazione, basta portare la fermezza per il primo uguale. Moltiplicando il sistema (1) per il numero , prendiamo il sistema

(2)

Avanti  sistema (1) . Gli stessi numeri soddisfano le uguaglianze del sistema (1). Poiché gli oskіlki sono tutti uguali del sistema (2) del primo zbіgayutsya con gli uguali del sistema (1), i numeri soddisfano tutti gli uguali. I frammenti del numero soddisfano la prima uguaglianza del sistema (1), potrebbe essere la prima volta che l'uguaglianza numerica:

Moltiplicando yogo per un numero K, Prendiamo l'uguaglianza numerica corretta:

Quella. installare, cosa  sistema (2).

Indietro, Yakscho soluzione del sistema (2), allora i numeri soddisfano i baffi del sistema (2). L'oskіlki tutti gli uguali del sistema (1) del primo zbіgayutsya con gli uguali del sistema (2), quindi i numeri soddisfano tutti gli uguali. I frammenti del numero soddisfano la prima uguaglianza del sistema (2), quindi l'uguaglianza numerica (4) è valida. Dopo aver diviso gli insulti nel numero, togliamo l'uguaglianza numerica (3) e la concludiamo  disaccoppiamento del sistema (1).

Zvіdsi per appuntamenti 4 il sistema (1) è uguale al sistema (2).

3. In virtù della prima parte della dimostrazione, basta portare fermezza per il primo e per l'altro sistema uguale. Dodamo ad entrambe le parti del primo allineamento del sistema K, prendi il sistema

(5)

Avanti soluzione di sistema (1) . Gli stessi numeri soddisfano le uguaglianze del sistema (1). Poiché i numeri di tutti gli uguali del sistema (5) del primo sono combinati con gli uguali del sistema (1), allora i numeri soddisfano tutti gli uguali. I frammenti del numero soddisfano la prima equivalenza del sistema (1)

Sommando termine per termine alla prima uguaglianza di un amico, moltiplicato per il numero K prendiamo la corretta uguaglianza numerica.

§7. Sistemi di linea

Sistemi uguali. Trasformazione elementare del sistema di rette lineari.

Avanti w- campo numeri complessi. Uguale alla mente

de
, sono detti lineari uguali n nevidomi
. Set di ordinazione
,
chiamate decisioni uguali (1), come .

sistema m lineare rivnya z n il sistema è chiamato uguale alla mente:

- Coefficienti del sistema di allineamenti lineari, - Membri gratuiti.

Tavolo rettangolare

,

chiamata matrice del mondo
. Introduciamo la notazione: - io-Ta riga della matrice,
- K-Ty stufa a matrice. Matrice MA più significato
o
.

La prossima trasformazione delle righe nella matrice MA sono detti elementari:
) spegnendo la riga zero; ) moltiplicazione di tutti gli elementi di qualsiasi riga per un numero
; ) un'aggiunta a qualsiasi riga di qualsiasi altra riga, moltiplicata per
. Trasformazioni simili delle colonne della matrice MA sono dette trasformazioni elementari della matrice MA.

Il primo elemento diverso da zero (soprattutto a destra) di qualsiasi riga della matrice MAè chiamato l'elemento conduttivo di questa riga.

Appuntamento. matrice
si chiama passo, come se fossero consacrati così:

1) zero righe della matrice (come puzzolente) sono inferiori a quelle diverse da zero;

2) Yakscho
condurre gli elementi di una riga di una matrice, quindi

Sii come una matrice diversa da zero E nel caso di trasformazioni elementari ordinarie, può essere ridotta a una matrice a gradini.

culo. Matrice inducibile
alla matrice di passi:
~
~
.

Matrice piegata con coefficienti di sistema le linee lineari (2) sono dette matrice principale del sistema. Matrice
, Otriman, con l'ammissione dei membri liberi, è chiamata la matrice espansa del sistema.

Gli ordinamenti dell'insieme sono chiamati le soluzioni del sistema di allineamenti lineari (2), così come le decisioni dell'allineamento lineare della pelle del sistema.

Il sistema degli allineamenti lineari si chiama coerente, perché può essere solo una soluzione, e non è pazzo, perché non può essere risolto.

Il sistema degli allineamenti lineari si chiama canto, perché c'è una sola soluzione, quella non è segnata, perché c'è più di una soluzione.

La prossima trasformazione del sistema degli allineamenti lineari è chiamata elementare:

) esclusione dal sistema pari alla mente;

) multipli di entrambe le parti, se uguale a
,
;

) aggiungendo se esiste un altro uguale, moltiplicato per ,.

Due sistemi di linee lineari n gli sconosciuti sono chiamati ugualmente forti, perché il fetore non è coerente, ma molte delle loro decisioni vengono prese.

Teorema. Ad esempio, un sistema di allineamenti lineari è stato sottratto alle altre trasformazioni elementari del tipo ), ), ), è altrettanto forte di uno visivo.

Revisione del sistema degli allineamenti lineari con il metodo dell'ignorare l'ignoto (con il metodo di Gauss).

Lascia andare il sistema m lineare rivnya z n non vedomi:

Come un sistema (1) per vendicare la mente

allora il sistema non è coerente.

Assumiamo che il sistema (1) non sia uguale alla forma (2). Lascia che il sistema (1) modifichi il coefficiente X 1 inizialmente uguale
(come se non fosse così, allora riordinando posti uguali non si arriva a cosa, quindi non tutti i coefficienti a X 1 è uguale a zero). Zastosuyemo al sistema di linee lineari (1) lancette avanzanti di trasformazioni elementari:

, Dodamo ad un altro livello;

Primo uguale, moltiplicato per
, Dodamo al terzo livello e così via;

Primo uguale, moltiplicato per
dodamo al resto del sistema.

Di conseguenza, togliamo il sistema di allineamenti lineari (abbiamo fornito il SLN più breve per il sistema di allineamenti lineari) uguale alla forza del sistema (1). Potresti scoprire che nell'altro sistema è uguale al numero io, io 2, non vendicarti dell'ignoto X 2. Avanti K così minimo numero naturale, cosa è sconosciuto X K Voglio vendicarmi in un numero uguale io, io 2. Todi otrimana system rivnyan maє vyglyad:

Il sistema (3) è uguale al sistema (1). Zastosuєmo ora al sottosistema
sistemi di microscopia ad allineamenti lineari (3), che sono stati indicati in SLN (1). E finora. Come risultato di questo processo, arriva fino a uno dei due risultati.

1. Togliamo lo SLU, che è uguale alla mente (2). E qui SLE (1) è incoerente.

2. Trasformazioni elementari, stasi a SLN (1), non portano a un sistema che vendichi l'apparenza (2). A tsomu vipadku SLP (1) da trasformazioni elementari
indica il sistema uguale alla mente:

(4)

de, 1< K < l < . . .< S,

Il sistema di allineamenti lineari nella forma (4) è chiamato stepwise. Qui puoi avere due cadute.

un) r= n allora il sistema (4) potrebbe apparire

(5)

Il sistema (5) ha una sola soluzione. Anche in questo caso, il sistema (1) può essere risolto solo.

B) r< n. La cui mente non ha una casa
nel sistema (4) sono detti di testa non dominanti, altrimenti non dominanti in questo sistema - liberi (sei numero uno n- r). Nadamo non sono necessari alcuni valori numerici, ma lo SLU (4) è lo stesso del sistema (5). Da esso, i titoli sono inequivocabili. In questo rango, il sistema può essere risolto, quindi è coerente. Oskіlki vіlnim nevidomim ha dato un valore piuttosto numerico w, allora il sistema (4) non è definito. Anche in questo caso, il sistema (1) non è definito. Viraziv in SLN (4) smut nevidomі attraverso vіlnі nevidomі, il sistema otrimaemo, che è chiamato le soluzioni più selvagge del sistema (1).

culo. Slega il sistema di allineamenti lineari con il metodo G aussa

Scriviamo la matrice espansa del sistema di allineamenti lineari e, dopo l'aiuto di trasformazioni di riga elementari, la portiamo a una matrice a gradini:

~

~
~
~

~. Omettendo la matrice, possiamo trovare un sistema di allineamenti lineari:
Il sistema Tsya è uguale al sistema esterno. Come una testa dell'ignoto
in nessun caso. A proposito, la testa dell'ignoto è solo attraverso l'ignoto selvaggio:

Abbiamo portato via la soluzione completa di SLN. Lasciami andare

(5, 0, -5, 0, 1) è una soluzione privata per SLP.

Compito per una visione indipendente

1. Per conoscere la soluzione globale e un'altra soluzione del sistema uguale con il metodo di spegnimento dell'ignoto:

1)
2)

4)
6)

2. Conoscere per valori diversi parametro un soluzione globale del sistema dei fiumi:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§otto. Spazi vettoriali

Concetto di spazio vettoriale. Il potere più semplice.

Avanti V ≠ Ø, ( F, +,∙) – campo. Gli elementi del campo sono chiamati scalari.

Fermentazione φ : F× V –> Vè chiamata operazione di moltiplicazione di elementi di moltiplicazione V su scalari dal campo F. In modo significativo φ (λ,a) attraverso λа elemento attorcigliato un ad uno scalare λ .

Appuntamento. Bezlich V da una data operazione algebrica aggiungendo elementi in un moltiplicatore V che molteplici elementi V su scalari dal campo Fè chiamato spazio vettoriale sul campo F, il che significa i seguenti assiomi:

culo. Avanti F campo, F n = {(un 1 , un 2 , … , un n) | un io F (io=)). Multiplo elemento in pelle F n chiamato n-semplice vettore aritmetico. Introduciamo l'operazione di addizione n-vettori di pace e moltiplicazione n-vettore mondiale per campo scalare z F. Avanti
. Facciamolo = ( un 1 + b 1 , … , un n + b n), = (λ un 1, λ un 2 , … , λ un n). Bezlich F n dove l'introduzione delle operazioni è lo spazio vettoriale, ed è chiamato n-semplice spazio vettoriale aritmetico sul campo F.

Avanti V- spazio vettoriale sul campo F, ,
. Ci sono tali caratteristiche:

1)
;

3)
;

4)
;

Prova di tenacità 3.

Z di gelosia per la legge del gruppo veloce ( V,+) forse
.

Maggese lineare, indipendenza dei sistemi vettoriali.

Avanti V- Spazio vettoriale sul campo F,

. Un vettore è chiamato combinazione lineare di un sistema di vettori
. Viene chiamato l'anonimato di tutte le combinazioni lineari del sistema vettoriale guscio lineare tsієyu system vektorіv i poznaєєєєєyu.

Appuntamento. Il sistema di vettori è chiamato lineare maggese, poiché vengono utilizzati tali scalari
non tutti sono uguali a zero, quindi

In che modo l'equivalenza (1) è vittoriosa o inferiore a quella, se λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, il sistema dei vettori è detto linearmente indipendente.

culo. Chi z'yasuvati chi є sistema di vettori = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) spazio R 3 lineare incolto o indipendente.

Soluzione. Sia λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – soluzione di sistema. Otzhe, il sistema vettoriale è linearmente indipendente.

Il predominio della fallacia lineare e l'indipendenza del sistema vettoriale.

1. Il sistema dei vettori, che vuole vendicare un vettore zero, è linearmente incolto.

2. Un sistema di vettori per vendicare un sottosistema lineare a maggese, lineare.

3. Sistema di vettori, de
є linearmente maggese anche e solo una volta, se si desidera un vettore del sistema, un singolo vettore, є una combinazione lineare di vettori diretti.

4. Come un sistema di vettori è linearmente indipendente, ma un sistema di vettori
linearmente maggese, quindi il vettore puoi guardare una combinazione lineare di vettori e fino allo stesso rango.

Portare. Se il sistema vettoriale è linearmente incolto, allora
non tutti sono uguali a zero, quindi

In equivalenza vettoriale (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, quindi s (2) \u003d\u003e Vediamo che il sistema di vettori è linearmente incolto, frammenti λ 1 , λ 2 , … , λ m non tutti uguali a zero. Sono venuti per pulire le loro menti. Z (1) => de
.

Lascia che il vettore venga mostrato nello stesso modo in cui lo vedi: Todo con l'uguaglianza del vettore
attraverso l'indipendenza lineare del sistema vettoriale, possiamo vederlo
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Fornire dati a due sistemi di vettori e
, m>K. Se il vettore del sistema vettoriale può essere combinato come una combinazione lineare del sistema vettoriale, il sistema vettoriale è linearmente a riposo.

Base, rango del sistema di vettori.

Sistema vettoriale Kіntseva nello spazio V sul campo F significativamente attraverso S.

Appuntamento. Be-yaka sottosistema linearmente indipendente del sistema vettoriale Sè chiamata base del sistema dei vettori S sistema vettoriale yakscho be-yaky S puoi guardare la combinazione lineare del sistema vettoriale.

culo. Trova le basi del sistema di vettori = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Il sistema di vettori, linearmente indipendente, oskіlki, vіdpovіdno al dominio 5 il sistema di vettori è stato rimosso dal sistema di vettori ulteriore aiuto basi elettromeccanotronica: inizialeulteriore aiuto fondazione ingegnere elettrico"; ...

Prima delle trasformazioni elementari si possono vedere:

1) Un'addizione a entrambe le parti di una parti uguali dell'altra, moltiplicata per lo stesso numero che non è uguale a zero.

2) Permutazione degli eguali delle missioni.

3).

TEOREMA DEL KRONECKER - CAPELLI

(Integrità del sistema Umova)

(Leopold Kronecker (1823–1891) matematico tedesco)

Teorema: Il sistema è diviso (potrebbe essere necessaria una soluzione) o meno se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa.

Ovviamente il sistema (1) può essere scritto come:

x 1 + x 2 + … + x n

Portare.

1) Se la decisione viene presa, la colonna dei membri liberi è una combinazione lineare delle colonne della matrice A, che viene aggiunta anche alla matrice, cioè. la transizione А®А* non cambia il rango.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse significa che il fetore può essere nella stessa minore di base. Stovpets vіlnyh termіnі - combinazione lineare di base stovptsіv minore, con notazione corretta, puntata più in alto.

culo. Calcola la consistenza del sistema di allineamenti lineari:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

Il sistema è pazzo.

culo. Determinare la somma del sistema di allineamenti lineari.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistema del sonno. Soluzione: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 METODO DI GAUSS

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) matematico tedesco)

Sulla base del metodo matriciale e del metodo Cramer, il metodo di Gauss può essere convertito in sistemi di allineamenti lineari da un gran numero di allineamenti e incognite. L'essenza del metodo si basa sulla successiva inclusione di pazienti non domestici.

Diamo un'occhiata al sistema di allineamenti lineari:

Dividiamo le parti ingiuriose del 1° uguale su 11¹ 0, quindi:

1) moltiplichi per un 21 vedo da un altro uguale

2) moltiplichi per 31 vedo dal terzo uguale

, de d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = un ij - un io1 d 1j io = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

culo. Rivela il sistema di linee lineari usando il metodo gaussiano.

, Le stelle sono accettabili: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

culo. Controllare il sistema con il metodo di Gauss.

Espandiamo la matrice del sistema.

In questo rango, il sistema esterno può essere presentato nel modo seguente:

, Le stelle sono accettabili: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana per questo sistema con il metodo Cramer e il metodo matrice.

Per una visione indipendente:

Suggerimento: (1, 2, 3, 4).

TEMA 3. ELEMENTI DI ALGEBRI VETTORIALI

DESIGNAZIONE DI BASE

Appuntamento. Vettore dette rette (sono ordinati un paio di punti). Anche prima di vector_v_vіdnosti zero vettore, la pannocchia di quel tipo di zbіgayutsya.

Appuntamento. Dovzhina (modulo) il vettore è chiamato tra la pannocchia e la fine del vettore.

Appuntamento. I vettori sono chiamati collineare come fetore diffuso su una o le linee parallele. Il vettore nullo è collineare a qualsiasi vettore.

Appuntamento. I vettori sono chiamati Complanare come un vero appartamento, come una puzza parallela.

I vettori colineari sono sempre complanari, ma non tutti i vettori complanari sono collineari.

Appuntamento. I vettori sono chiamati pari come se fossero collineari, invece, sono raddrizzati e possono essere gli stessi moduli.

Be-yaki vettori e può portare alla sostanziosa pannocchia, tobto. per indurre vettori e vidpovidno dati uguali e fare una pannocchia calda. Dalla designazione dell'uguaglianza del vettore, è ovvio che se un vettore può essere un vettore impersonale, uguale a te.

Appuntamento. Operazioni di linea su vettori si chiama addizione e moltiplicazione per un numero.

Sumoyu vector_v є vector -

televisione - , in cui kolіnearen .

Direzione vettore іz vettore ( ), quindi a > 0.

Il vettore delle direttive protivolezhnoy con il vettore (?), in modo che a< 0.

POTERE DI VECTORIV

1) + = + - commutatività.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – associatività

6) (a + b) = a + b - distributività

7) a(+) = a + a

Appuntamento.

1) Base lo spazio è chiamato come se fossero 3 vettori non complanari, presi nello stesso ordine.

2) Base sul piano sono detti 2 vettori non collineari, presi nello stesso ordine.

3)Base su una retta si dice vettore diverso da zero.

Due sistemi di allineamenti lineari in un insieme x 1 ..., x n

Sono chiamati equivalenti, perché le loro decisioni impersonali sono evitate (quindi, le moltiplicazioni e K n sono evitate). Tse significa, sho: o puzza subito є sottomultipli vuoti (quindi sistemi offensivi (I) e (II) instabili), o puzza subito non vuota, io (quindi soluzione cutanea del sistema I є soluzioni del sistema II і soluzione cutanea di Sistema II є soluzioni del sistema I ).

Magazzino 3.2.1.

Metodo Gaus

Il piano per l'algoritmo proposto da Gaus è piuttosto semplice:

1. zastosovuvat al sistema degli allineamenti lineari in sequenza, in modo da non cambiare la soluzione impersonale (in questo modo prendiamo la soluzione impersonale del sistema visivo), e andare al sistema equivalente, che può essere "semplice" (questo è il nome del modulo passo);
2. per la "mente semplice" del sistema (con una matrice graduale) descrivere la soluzione impersonale che viene utilizzata per la soluzione impersonale del sistema visivo.

È significativo che il metodo ravvicinato "fan-chen" fosse usato già nell'antica matematica cinese.

Trasformazione elementare di sistemi di allineamenti lineari (riga di matrici)

Designazione 3.4.1 (trasformazione elementare del 1° tipo). Quando si arriva all'i-esimo livello del sistema, viene aggiunto il k-esimo livello, moltiplicato per il numero (con segno: (i) "=(i) + c(k); quindi solo un i-esimo livello (i ) è sostituito da un nuovo livello (i) "=(i)+c(k)). Potrebbe sembrare nuovo i-e uguale (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b io + cb k, o, brevemente,

Cioè, nel nuovo i-esimo distretto un ij " = un ij + ca kj , b io " = bi + cb k.

Designazione 3.4.2 (tipo di conversione elementare 2). Per i -е і k -е gli uguali sono cambiati dai ranghi, gli altri uguali non sono cambiati (segni: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Rispetto 3.4.3. Per chiarezza, per calcoli specifici, puoi aggiungere trasformazioni elementari del 3° tipo: l'i-esimo calcolo viene moltiplicato per un numero diverso da zero , (i)" = c (i) .

Proposta 3.4.4. Proprio come il tipo di sistema che ho passato al sistema II per l'aiuto del numero finale di trasformazioni elementari del 1° e 2° tipo, allora nella forma del sistema II puoi passare al sistema I così come alle trasformazioni elementari del 1° e 2° tipo.

Portare.

Rispetto 3.4.5. La fermezza è vera ed è inclusa nelle trasformazioni elementari della trasformazione elementare del 3° tipo. Yakscho i (i)"=c(i) , allora ta (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.Dopo l'ultima tappa dell'ultimo numero di trasformazioni elementari del 1° o 2° tipo, il sistema degli allineamenti lineari, equivalente al pannocchia, arriva al sistema degli allineamenti lineari.

Portare. È importante dare un'occhiata al passaggio dal sistema I al sistema II per l'aggiunta di una trasformazione elementare e per portare la soluzione dell'inclusione alla ricchezza (i frammenti attraverso la proposizione portata del sistema II possono essere rivolti al sistema I e a quello , inclusione, portare equanimità).

Appuntamento 1. Viene chiamato il sistema di allineamenti lineari mente (1) , de , campo un sistema di m linee lineari da n nevidomimi sul campo, - Coefficienti per membri non domestici, , , - liberi del sistema (1).

Appuntamento 2. Ordinato n-ka (), de, chiamato alla sommità del sistema di linee lineari(1), anche quando si sostituisce la modifica sulla pelle, il sistema (1) viene modificato nell'allineamento numerico corretto.

Appuntamento 3. assonnato yakscho vanitoso potrebbe voler prendere una decisione. In caso contrario, viene chiamato il sistema (1). pazzo.

Appuntamento 4. Viene chiamato il sistema degli allineamenti lineari (1). cantando ci può essere una sola soluzione. In caso contrario, viene chiamato il sistema (1). non nominato.

Sistema di linee lineari

(є decisione) (nessuna decisione)

pazzo assonnato

(una decisione) (non una decisione)

pevna è sconosciuto

Appuntamento 5. Il sistema di linee lineari sul campo R chiamato omogeneo yakscho tutti in termini di termini uguali a zero. Altrimenti viene chiamato il sistema eterogeneo.

Diamo un'occhiata al sistema di linee lineari (1). Quello stesso sistema omogeneo in mente è chiamato sistema omogeneo, associato dal sistema (1). SLN omogeneo per la prima volta, oskolki può essere deciso.

Per l'SLN cutaneo, è possibile introdurre a colpo d'occhio due matrici: quella principale è estesa.

Appuntamento 6. La matrice principale del sistema di allineamenti lineari(1) si chiama la matrice, è composta da coefficienti senza tipo offensivo: .

Appuntamento 7. Matrice espansa del sistema di allineamenti lineari(1) si chiama la matrice, troncata dalla matrice da un percorso ad essa adiacente un insieme di membri liberi: .

Appuntamento 8.Trasformazioni elementari del sistema degli allineamenti lineari sono chiamati come segue: 1) moltiplicando entrambe le parti di uno stesso sistema uguale per uno scalare; 2) sommando ad entrambe le parti di un livello del sistema delle seconde parti dell'altro livello, moltiplicate per un elemento; 3) integrando o dimostrandosi uguale alla mente.

Appuntamento 9. Due sistemi di linee lineari sul campo R come si chiama il cambiamento altrettanto forte, poiché le loro decisioni impersonali vengono evitate.

Teorema 1 . Proprio come un sistema di uguaglianze lineari è stato sottratto a un altro per l'aiuto di trasformazioni elementari, tali sistemi sono ugualmente forti.

Le trasformazioni elementari manuali non vengono portate a un sistema di allineamenti lineari, ma a una matrice espansa.

Appuntamento 10. Diamo una matrice con elementi del campo R. Trasformazioni elementari le matrici si chiamano così:

1) moltiplicazione di tutti gli elementi di qualsiasi riga della matrice per aО Р # ;

2) moltiplicando tutti gli elementi di una qualsiasi riga della matrice per aО Р # e sommando gli altri elementi della riga successiva;

3) permutazione dei posti di due righe della matrice;

4) aggiungendo o rilasciando la riga zero.

8. Soluzione SLU: m metodo di successiva esclusione delle incognite (metodo di Gauss).

Diamo un'occhiata a uno dei principali metodi di disaccoppiamento dei sistemi di allineamenti lineari, che si chiama con il metodo della successiva inclusione di sconosciuto, cos'altro, Metodo Gauss. Dai un'occhiata al sistema(1) m lineare rivnya z n nevidomi sul campo R:(1) .

Il sistema (1) vuole uno dei coefficienti se non buono 0 . Іnakshe (1) - il sistema di uguali da () nevіdomimi - tse superechit menti. Ricordiamo le uguaglianze per mesi in modo che il coefficiente alla prima equalizzazione non sia buono 0 . In questo grado, puoi vvazhati, sho. Moltiplica le parti incriminate del primo uguale e aggiungi alle seconde parti dell'altro, terzo, ..., m esimo uguale. Prendiamo la mente del sistema: , de S- il numero più piccolo, quindi voglio uno dei coefficienti se non sano 0 . Ricordiamo le uguaglianze per mesi in modo che l'altra riga abbia un coefficiente quando si cambia il costo 0 , poi. possiamo indovinare cosa. Moltiplichiamo le parti ingiuriose dell'altro uguale e aggiungiamo alle parti uguali del terzo, ..., m esimo uguale. Continuando questo processo, prendiamo in considerazione il sistema:

Il sistema di uguaglianze lineari, yak, secondo il Teorema 1, è uguale al sistema (1) . Il sistema è chiamato sistema a gradini di allineamenti lineari. Ci sono due possibilità: 1) Volere uno degli elementi non va bene 0 . Dai, per esempio. Lo stesso vale per il sistema di allineamenti lineari, è simile alla mente che è impossibile. Tse significa che il sistema non ha una soluzione, e quindi il sistema (1) non può avere una soluzione (a volte (1) è un sistema incoerente).

2) Dai, ...,. Todi per l'aiuto della trasformazione elementare Z) togliamo il sistema - il sistema r lineare rivnya z n sconosciuto. Ad ogni variazione, per i coefficienti vengono chiamati cambio di testa(tse), їх totale r. Інші ( n-r) cambia nome gratuito.

Ci sono due possibilità: 1) Yakshcho r=n, quindi - il sistema di tricot look. Per questo, dall'ultimo uguale, conosciamo il cambiamento, dall'ultimo - cambiamento, dal primo uguale - cambiamento. Inoltre, esiste una sola soluzione per il sistema di allineamenti lineari, e anche per il sistema di allineamenti lineari (1) (a volte viene assegnato il sistema (1)).

2) Dai r . Ed ecco che i principali cambiamenti girano tra le vile e vincono la soluzione decisiva del sistema delle linee lineari (1). Nadayuyuschie zmіnnym dovіlnі znachenya, nabuvayut diverse soluzioni private del sistema di linee lineari (1) (in questo caso, il sistema (1) non è visibile).