Дії մատրիցների և їх vyzniki-ի վրա: Մատրիցների վրա կատարվող հիմնական գործողությունները (ծալում, բազմապատկում, փոխադրում) նույն հզորությունն են։ Մատրիցային բազմապատկման գործողություն

Մատրիցներ. Շարժվել մատրիցների վրայով: Մատրիցների վրա գործողությունների գերակայություն. Տես մատրիցան:

Մատրիցներկարող է կարևոր արժեք լինել կիրառական մաթեմատիկայի մեջ, որը թույլատրվում է գրել զգալի մասի պարզ ձևով մաթեմատիկական մոդելներառարկաներ և գործընթացներ. «Մատրիցա» տերմինը հայտնվել է 1850 թվականին։ Նախկինում մատրիցները գուշակվում էին Հին Չինաստանում, ավելի ուշ՝ արաբ մաթեմատիկոսների մոտ։

Մատրիցա A=Amn m * n կարգը կոչվում է թվերի ուղղագիծ աղյուսակ.

Մատրիցայի տարրեր աիջ,որի համար i=j կոչվում են անկյունագծային i հիմնական անկյունագիծ.

Քառակուսի մատրիցայի համար (m=n) գլխի անկյունագիծը կազմված է a 11, a 22,..., a nn տարրերից:

Ռիվնիստական ​​մատրիցներ.

A=Bպարզապես մատրիցների հերթականությունը Աі Բսակայն, որ a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Շարժվել մատրիցների վրայով:

1. Մատրիցների ավելացում՝ տարր առ տարր գործողություն

2. Դիտման մատրիցներ՝ տարր առ տարր գործողություն

3. Թվերին մատրիցա ավելացնելը տարր առ տարր գործողություն է

4. Բազմակի Ա*Բմատրիցա ըստ կանոնի շարք վերեւում(A մատրիցայի սյունակների թիվը կարող է հավասար լինել B մատրիցի տողերի թվին)

Amk * Bkn = Cmnինչու է մաշկի տարրը հ իջմատրիցներ Cmnավելացնել A մատրիցի i-րդ շարքի և B մատրիցի j-րդ սյունակի այլ տարրերի գումարը, tobto:

Օրինակով ցույց տանք մատրիցների բազմապատկման գործողությունը

5. Հղումներ ոտքերի մոտ

m>1 բջիջ ամսաթիվը. A-ն քառակուսի մատրից է (m=n) tobto: համապատասխան քառակուսի մատրիցների համար

6. Մատրիցային տրանսպոզիցիա A. Փոխանցված մատրիցը նշվում է A T-ով կամ A-ով

Տողերն ու սյունակները հիշատակվում էին առաքելությունների միջոցով

հետույք

Մատրիցների վրա գործողությունների հզորությունը

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Վիդի մատրիցներ

1. Ուղղանկյուն: մі n- բավականին դրական թվեր

2. Քառակուսի: m=n

3. Մատրիցային տող. m=1. Օրինակ, (1 3 5 7) - շատ գործնական առաջադրանքների համար նման մատրիցը կոչվում է վեկտոր

4. Matrix Stovpets: n=1. Օրինակ

5. Անկյունագծային մատրիցա: m=nі a ij = 0, նման i≠j. Օրինակ

6. Միայնակ մատրիցա: m=nі

7. Զրոյական մատրիցա: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Տրիկոտի մատրիցա. գլխի շեղանկյունի տակ գտնվող բոլոր տարրերը հավասար են 0-ի:

9. Սիմետրիկ մատրիցա: m=nі ա իջ = ա ջի(հավասար տարրեր կանգնել գլխի սիմետրիկ անկյունագծերի վրա), ինչպես նաև Ա»=Ա

Օրինակ,

10. Skew matrix: m=nі a ij =-a ji(Այդ պատճառով սիմետրիկ հիմնական անկյունագծերի վրա կան պրոտիլենային տարրեր)։ Նաև գլխի վրա անկյունագծով կանգնած են զրոները (քանի որ հետ i=jՄիգուցե a ii =-a ii)

ես հասկացա Ա»=-Ա

11. Հերմիտյան մատրիցա: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- համալիր - ստացվել է մինչև ա ջի, ապա. յակշո A=3+2i, ապա կոմպլեքս - ստացված Ã=3-2i)

Ծառայության հանձնարարություն. Matrix Հաշվիչառաջադրանքներ մատրիցային վիրուսների առաջացման համար, օրինակ, օրինակ՝ 3A-CB 2 կամ A -1 +B T:

Հրահանգ. Համար առցանց լուծումներանհրաժեշտ է սահմանել մատրիցային փոփոխական: Մեկ այլ փուլում անհրաժեշտ կլինի ճշտել մատրիցների չափերը։ Թույլատրված գործողություններ՝ բազմապատկել (*), ավելացնել (+), ավելացնել (-), հակադարձ մատրիցա A^(-1), իջնել (A^2, B^3), փոխադրել մատրիցը (A^T):

Թույլատրված գործողություններ՝ բազմապատկել (*), ավելացնել (+), ավելացնել (-), հակադարձ մատրիցա A^(-1), իջնել (A^2, B^3), փոխադրել մատրիցը (A^T):
Գործողությունների ցանկը տեսնելու համար օգտագործեք հյուսած բծը կոմայի մեջ (;): Օրինակ, vikonannya-ի համար երեք գործողություն.
ա) 3A + 4B
բ) AB-BA
գ) (A-B) -1
պետք է գրել այսպես՝ 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Մատրիցը ուղղանկյուն թվային աղյուսակ է, որն ունի m տող և n սյունակ, այնպես որ մատրիցը կարող է սխեմատիկ կերպով ներկայացվել՝ նայելով ուղղանկյունին:
Զրոյական մատրիցա (զրոյական մատրիցա)անվանել մատրիցը, բոլոր այն տարրերը, որոնք հավասար են զրոյի և սահմանել 0:
Միայնակ մատրիցակոչվում է քառակուսի մատրիցա

Երկու մատրիցներ A և B հավասար են yakscho նույն չափի գարշահոտություն և їх vіdpovіdnі տարրեր іvnі.
Վիրոգենի մատրիցակոչվում է մատրիցա, որը հավասար է զրոյի (Δ = 0):

Զգալիորեն հիմնական գործողություններ մատրիցների վրա.

Մատրիցների ավելացում

Նշանակում. Երկու մատրիցների գումարը A = | | ա ի կ | | i B=||b i k || նույն չափը կոչվում է C=||c i k || մատրիցա հանգիստ իրենք razmіrіv, տարրեր, ինչպիսիք են perebuvayut համար բանաձեւի c i k =a i k + b i k. Ցուցադրված է որպես C=A+B:

Օրինակ 6. .
Ծալովի մատրիցների գործողությունը ընդլայնվում է հավելումների քանակով: Ակնհայտ է, որ A+0=A:
Եվս մեկ անգամ խորհուրդ ենք տալիս ծալել նույն չափի մատրիցից ավելին. Տարբեր ընդլայնումների մատրիցների համար գումարման գործողությունը նշանակված չէ:

Տեսողության մատրիցա

Նշանակում. Մանրածախ B-A B և A նույն չափի մատրիցը կոչվում է C մատրից, որպեսզի A+C=B:

Մատրիցների վերարտադրություն

Նշանակում. Լրացուցիչ մատրիցա A=||a i k || α թիվը կոչվում է մատրից C = | |

Նշանակում. Տրե՛ք երկու մատրիցներ A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), ընդ որում, A-ում սյունակների թիվը հավասար է B-ի տողերի թվին: Doboot A-ից B-ը C=||c i k || մատրիցն է, որի տարրերը գտնվում են բանաձևի հետևում: .
Ցուցադրված է որպես C=A·B:
Սխեմատիկորեն, բազմապատկվող մատրիցների գործողությունը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

և արարման տարրի հաշվարկման կանոնը.

Pidkremlimo կտրել մեկ անգամ, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, եթե առաջին dorivnika Kilkosti-ի քայլերի թիվը մյուսն է, ստեղծագործողի աշխատանքի տակ, գլորված գլանափաթեթների քանակը: Բազմապատկման արդյունքը կարող եք ստուգել հատուկ առցանց հաշվիչի միջոցով։

Օրինակ 7. Տրվում է մատրիցա і . Իմացեք C = ​​A B և D = B A մատրիցները:
Լուծում. Մենք հարգում ենք, որ A B-ն օգտագործվում է, բայց A սյունակների թիվը հավասար է B տողերի թվին:

Հարգանքով, vipadku-ն ունի A·B≠B·A, ուրեմն. dobutok մատրիցներ anticommutatively.
Մենք գիտենք B A (մի քանի հնարավոր է):

Օրինակ 8. Տրվում է մատրիցա . Իմացեք 3A 2 - 2A:
Լուծում.

.
; .
.
Սա նշանակալի փաստ է։
Ինչպես պարզվում է, երկու կրկնակի զրո թվերի գումարումը հավասար չէ զրոյի։ Մատրիցների համար իրավիճակը կարող է լինել կամ չլինել նման, այնպես որ ոչ զրոյական մատրիցների արտադրությունը կարող է հավասար լինել զրոյական մատրիցների:

Հարգանքներով, մատրիցայի տարրերը կարող են լինել ոչ ավելի, քան թիվ: Տեղեկացրեք մեզ, որ դուք նկարագրում եք գրքերը, ինչպես կանգնել ձեր գրքի ոստիկանության վրա: Թող ոստիկանները կարգուկանոն պահպանեն, և բոլոր գրքերը կանգնեն երգի վայրերում։ Աղյուսակը, որպես ձեր գրադարանի պատշաճ նկարագրություն (ոստիկանության կողմից և ոստիկանության մասին գրքերի հետևում), նույնպես կլինի մատրիցա: Ալե, նման մատրիցը թվային չի լինի: Երկրորդ օրինակ. Թվերի փոխարեն տարբեր գործառույթներ են կանգնած, որոնք իրար մեջ ուտում են մի տեսակ ձագուկ: Օտրիմանի աղյուսակը կոչվում է նաև մատրիցա։ Այլ կերպ ասած, Matrix-ը, այսպես ասած, ուղղանկյուն սեղան է՝ ծալված համանմանտարրեր. Այստեղ և հետագայում մենք խոսում ենք թվերից ծալված մատրիցների մասին:

Մատրիցները ձայնագրելու համար փոխարինեք կլոր թևերը՝ տեղադրելով քառակուսի թեւեր կամ ուղիղ ուղղահայաց գծեր:

(2.1*)

Նշանակում 2. Վիրազիի նման(1) m = n, հետո խոսեք դրա մասին քառակուսի մատրիցա, բայց յակշո , ապա մոտ ուղղանկյուն.

m-ի և n-ի արժեքները բաժանված են մատրիցների հատուկ տեսակների.

Ամենակարևոր հատկանիշը քառակուսիմատրիցներ є її vyznachnikկամ որոշիչ, Ինչ է գոյանում մատրիցայի տարրերից և նշվում

Ակնհայտ է, որ D E = 1; .

Նշանակում 3. Յակշո , ապա մատրիցըԱ կանչեց ոչ կույս կամ ոչ հատկապես.

Նշանակում 4. Յակշո detA = 0, ապա մատրիցըԱ կանչեց վիրուսածին կամ հատկապես.

Նշանակում 5. Երկու մատրիցաԱ іԲ կանչեց հավասար նա գրում է A=B կարծես գարշահոտը նույնն է, տարբերությունները և կենսունակ տարրերը հավասար են,.

Օրինակ, մատրիցներ և հավասարներ, քանի որ գարշահոտն ավելի մոտ է աշխարհին, և մի մատրիցայի մաշկի տարրը ավելի մոտ է մեկ այլ մատրիցայի համանման տարրին: Իսկ i մատրիցի առանցքը չի կարելի անվանել հավասար, չնայած երկու մատրիցների որոշիչները հավասար են, և մատրիցները նույնն են, բայց ոչ բոլոր այն տարրերը, որոնք կանգնած են նույն հավասար կետերի վրա: Մատրիցները տարբեր են, որպեսզի այլ աշխարհ հնարավոր լինի: Առաջին մատրիցը 2x3 ​​է, իսկ մյուսը՝ 3x2: Թեև տարրերի թիվը նույնն է՝ 6, իսկ տարրերն իրենք նույնն են՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ալե հոտ է գալիս մաշկի մատրիցին մոտ տարբեր տեղերում կանգնելու համար: Իսկ մատրիցայի առանցքը առաջընթաց է, zgіdno z vznachennyam 5:

Նշանակում 6. Ինչպես շտկել մատրիցայի շղարշըԱ և այդպիսին է նրա տողերի թիվը, նույն տարրերը, որոնք կանգնած են սյուների և տողերի նշանակման ցանցաթաղանթի վրա՝ ստեղծելու քառակուսի մատրիցա n- րդ կարգը, դրա նախակարապետը կանչեց անչափահաս k- մատրիցային կարգըԱ.

հետույք. Գրեք երեք անչափահասներ մատրիցայի տարբեր հերթականությամբ

Այս թեմայում կդիտարկվեն այնպիսի գործողություններ, ինչպիսիք են այդ մուտքային մատրիցը ավելացնելը, մատրիցը թվով բազմապատկելը, մատրիցը մատրիցով բազմապատկելը, մատրիցայի փոխադրումը: Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya ts_y կողմում, վերցված է առջևի թեմաներից:

Այդ տեսողական մատրիցը ծալելով:

$A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ և $B_(m\times n)=(b_(ij))$ մատրիցների գումարը $C_(m\) մատրիցն է: անգամ n) =(c_(ij))$, որտեղ $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ բոլոր $i=\overline(1,m)$ և $j=\overline(1) ,n) $.

Մուտքագրեք նմանատիպ նշանակում տարբեր մատրիցների համար.

$A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ և $B_(m\times n)=(b_(ij))$ մատրիցների միջև տարբերությունը $C_(m\times n) մատրիցն է: )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ բոլոր $i=\overline(1,m)$-ի և $j=\overline(1,n) համար ) $.

Բացատրություն $i=\overline(1,m)$ գրառումից առաջ՝ show\hook

«$i=\overline(1,m)$» մուտքը նշանակում է, որ $i$ պարամետրը փոխվում է 1-ից մինչև մ: Օրինակ, $i=\overline(1,5)$ նշումը վերաբերում է նրանց, որոնց $i$ պարամետրը ընդունում է 1, 2, 3, 4, 5 արժեքը:

Խնդրում ենք ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ ավելացման և կատարման գործողությունները նախատեսված են միայն նույն չափի մատրիցների համար։ Vzagali, ավելացնելով և vіdnіmannya մատրիցներ - գործողություններ, պարզ ինտուիտիվ, ավելի վատ հոտ է գալիս, իրականում դա ավելի քիչ գումարում է կամ ավելի ակնհայտ տարրեր:

Հետույք #1

Տրված է երեք մատրիցա.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \աջ)\;\; B=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \աջ); \;\; F=\left(\սկիզբ(զանգված) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \աջ): $$

Chi կարո՞ղ եք իմանալ $A+F$ մատրիցը: Իմացեք $C$ և $D$ մատրիցները, այսինքն $C=A+B$ և $D=A-B$:

$A$ մատրիցա՝ 2 տող և 3 սյունակ ավլելու համար (այլ կերպ ասած՝ $A$ մատրիցայի ընդլայնումը $2 \ անգամ 3$ է), և $F$ մատրիցը՝ 2 տող և 2 տող մաքրելու համար։ $A$ և $F$ մատրիցների ընդլայնումները չեն փախչում, այնպես որ մենք կարող ենք դրանք միասին ավելացնել: $A+F$ գործողությունը այս մատրիցների համար նշանակված չէ:

Թող $A$ և $B$ մատրիցները ընդլայնվեն, այսպես. մատրիցայի տվյալները պետք է հավասար լինեն տողերի և stovptsiv թվին, կպահանջվի դրանց ավելացման գործողությունը:

$$ C=A+B=\ ձախ (\սկիզբ(զանգված) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \վերջ (զանգված) \աջ)+ \ձախ (\սկիզբ (զանգված ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \վերջ (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Մենք գիտենք $D=A-B$ մատրիցը.

$$ D=A-B=\ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \վերջ (զանգված) \աջ) - \ձախ (\սկիզբ(զանգված) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \վերջ (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Վիդպովիդ$C=\ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \վերջ(զանգված) \աջ)$, $D=\ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \աջ)$.

Մատրիցը թվով բազմապատկելը.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ $\alpha$ թվի համար լրացուցիչ մատրիցը $B_(m\times n)=(b_(ij))$ մատրիցն է, որտեղ $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ բոլոր $i=\overline(1,m)$-ի և $j=\overline(1,n)$-ի համար:

Ավելի պարզ թվացող, մատրիցան բազմապատկել թվով - նշանակում է բազմապատկել տվյալ մատրիցայի մաշկի տարրը ամբողջ թվով:

Հետույք #2

Տրվում է մատրիցա՝ $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ)$: Իմացեք մատրիցները $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $:

$$ 3\cdot A=3\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \վերջ(զանգված) \աջ) =\ձախ(\սկիզբ( զանգված) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ):\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\սկիզբ (զանգված) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) =\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \վերջ (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \վերջ (զանգված)\աջ): $$

$-A$ նշումը կարճ նշում է $-1\cdot A$-ի համար: Այսպիսով, $-A$ իմանալու համար անհրաժեշտ է $A$ մատրիցայի բոլոր տարրերը բազմապատկել (-1-ով): Ըստ էության, դա նշանակում է, որ $A$ մատրիցում բոլոր տարրերի նշանը փոխվում է երկարացման.

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ)= \ ձախ (\սկիզբ(զանգված) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Վիդպովիդ$3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \աջ);\; -5\cdot A=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \աջ);\; -A=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \աջ)$:

Dobutok երկու մատրիցա.

Այս գործողությունների նպատակը ծանր է և առաջին հայացքից՝ անհիմն: Ես ձեզ կպատմեմ գլխի հետևի մասում ավելի լուրջ հանդիպում, այնուհետև մենք կզեկուցենք, թե դա ինչ է նշանակում և ինչպես դուրս գալ դրանից:

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ մատրիցի ենթաբազմությունը $B_(n\times k)=(b_(ij))$ $C_(m\times k) մատրիցն է: )=(c_( ij))$, մաշկի տարրի համար $c_(ij)$ տարրեր i-րդ$A$ մատրիցայի տողեր $B$ մատրիցի j-րդ սյունակի տարրերի վրա. $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Պոկրոկովի կողմից մատրիցների բազմապատկումը վերցված է հետույքից։ Այնուամենայնիվ, խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ոչ բոլոր մատրիցները կարող են բազմապատկվել: Եթե ​​ցանկանում ենք $A$ մատրիցը բազմապատկել $B$ մատրիցով, ապա անհրաժեշտ է հետադարձ կատարել, որպեսզի $A$ մատրիցի սյունակների թիվը հավասար լինի $B$ մատրիցի տողերի թվին ( նման մատրիցներ հաճախ կոչվում են խնդրում եմ) Օրինակ՝ $A_(5\ անգամ 4)$ մատրիցը (մատրիցան ունի 5 տող և 4 տող), չի կարող բազմապատկվել $F_(9\ անգամ 8)$ մատրիցով (9 տող և 8 տող), թվով։ $A մատրիցայի տողերի $-ը հավասար չէ $ F $ մատրիցի տողերի թվին, վերջ: $4\nq 9 $. Իսկ $A_(5\ անգամ 4)$ մատրիցի բազմապատկումը $B_(4\ անգամ 9)$ մատրիցով հնարավոր է, բայց $A$ մատրիցայի սյունակների թիվն ավելի մեծ է, քան թիվը։ տողերի $B$ մատրիցում: Այս դեպքում $A_(5\ անգամ 4)$ և $B_(4\ապատիկ 9)$ մատրիցները բազմապատկելու արդյունքը կլինի $C_(5\ապատիկ 9)$ մատրիցը, որը կընդգրկի 5 տող և 9։ սյունակներ:

Հետույք #3

Տրվում է մատրիցա՝ $ A = \ ձախ ( \ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ վերջ (զանգված) \աջ)$ i $ B=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \վերջ (զանգված) \աջ ) $. Իմացեք $C = A\cdot B$ մատրիցը:

$C$ մատրիցայի ընդլայնման համար մեծության կարգը նշանակալի է։ Եթե ​​$A$ մատրիցը $3 \ անգամ 4 $ է, իսկ $B $ - $4 \ անգամ 2 $, ապա $C$ մատրիցը $3 \ անգամ 2 $ է:

Այնուհետև $A$ և $B$ մատրիցները ավելացնելու արդյունքում մենք հերթով վերցնում ենք $C$ մատրիցը, որը բաղկացած է երեք տողից և երկու սյունակից՝ $ C = \ ձախ ( \ սկիզբ (զանգված) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \վերջ (զանգված) \աջ) $: Ինչ վերաբերում է տարրերի իմաստին, ապա կարող եք նայել առաջին թեմային՝ «Մատրիցներ։ Տես մատրիցան։ Հիմնական տերմիններ», կոդի վրա բացատրվում է մատրիցայի տարրերի նշանակությունը։ Մեր մետան $C$ մատրիցայի բոլոր տարրերի արժեքներն իմանալն է:

Դիտարկենք $c_(11)$ տարրը։ $c_(11)$ տարրը վերցնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ $A$ մատրիցայի առաջին շարքի և $B$ մատրիցի առաջին սյունակի տարրերի ստեղծագործությունների գումարը.

$c_(11)$ տարրը իմանալու համար անհրաժեշտ է $A$ մատրիցայի առաջին շարքի տարրերը բազմապատկել $B$ մատրիցայի առաջին սյունակի երկրորդ տարրերով, ապա։ առաջին տարրը առաջինն է, մյուսը՝ մյուսը, երրորդը՝ երրորդը, չորրորդը՝ չորրորդը։ Ակնկալվում է արդյունքների հետկանչում.

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Մենք շարունակում ենք լուծումը և գիտենք $c_(12)$: Որի համար դուք պատահում եք բազմապատկել $A$ մատրիցի առաջին շարքի և $B$ մատրիցի մյուս շարքի տարրերը.

Առջևի նման, գուցե.

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Գտնված են $C$ մատրիցայի առաջին շարքի բոլոր տարրերը: Անցնենք մեկ այլ տող, որը սկսում է $c_(21)$ տարրը։ Սա իմանալու համար բազմապատկեք $A$ մատրիցի մեկ այլ տողի և $B$ մատրիցի առաջին սյունակի տարրերը.

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

$c_(22)$ առաջընթաց տարրը հայտնի է $A$ մատրիցի մեկ այլ տողի տարրերը բազմապատկելով $B$ մատրիցի մեկ այլ տողի երկրորդ շարքի տարրերով.

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ իմանալու համար բազմապատկեք $A$ մատրիցայի երրորդ շարքի տարրերը $B$ մատրիցայի առաջին սյունակի տարրերով.

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

Նախ, $c_(32)$ տարրի արժեքը պետք է բազմապատկվի $A$ մատրիցայի երրորդ շարքի տարրերով $B$ մատրիցայի մեկ այլ սյունակի այլ տարրերով.

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

$C$ մատրիցայի բոլոր տարրերը գտնված են, բավական չէ գրել, որ $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( զանգված) \աջ)$ . Աբո, ես նորից կգրեմ ավելին.

$$ C=A\cdot B =\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \վերջ (զանգված) \աջ)\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \վերջ (զանգված) \աջ) =\left(\սկիզբ(զանգված) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end (զանգված) \աջ): $$

Վիդպովիդ$C=\left(\սկիզբ(զանգված) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \վերջ (զանգված) \աջ)$:

Ելույթից առաջ հաճախ իմաստ չունի հայտնել մաշկի տարրի նշանակությունը մատրիցային արդյունքի համար: Մատրիցների համար, որոնց թիվը փոքր է, կարող եք գտնել այսպես.

$$ \left(\սկիզբ(զանգված) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\ right)\cdot \left(\ Begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \վերջ (զանգված) \աջ) =\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \վերջ (զանգված) \աջ) =\ձախ (\սկիզբ(զանգված) ( գ) 6 & 324 \- -56 & -333 \վերջ (զանգված) \աջ) $$

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մատրիցների բազմապատկումը ոչ կոմուտատիվ է: Tse նշանակում է, որ վայրի vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Միայն որոշակի տեսակի մատրիցների համար, ինչպես անվանել փոփոխական(հակառակ դեպքում փոխադրում), հավասար է $A cdot B = B cdot A $: Բազմապատկման հենց ոչ փոխադարձությունը, անհրաժեշտ է ցույց տալ, թե ինչպես ենք մենք բազմապատկում այդ chi-ն և մեկ այլ մատրիցա բազմապատկելով. աջ կողմում chi-ն չար է: Օրինակ՝ «$3E-F=Y$ պարիտետի վիրավորական մասը բազմապատկել $A$ մատրիցով աջակողմյան է» արտահայտությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտ է վերցնել հետևյալ պարիտետը՝ $(3E-F)\dot A=։ Y\cdot A$.

$A_(n\ անգամ m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ մատրիցը տարրերի համար, այսինքն $a_(ij)^(T)=a_(ji)$:

Ավելի պարզ թվացող $A^T$ մատրիցան վերցնելու համար անհրաժեշտ է, որ $A$ արտաքին մատրիցը սյունակները փոխարինի կրկնակի տողերով՝ հետևելով այս սկզբունքին. առաջին տող - դառնա առաջին տող; buv մեկ այլ տող - կանգնել մեկ այլ շարք; լինել երրորդ շարք - դառնալ երրորդ քայլ և այլն: Օրինակ, մենք գիտենք, որ փոխադրված մատրիցը $A_(3\ անգամ 5)$ մատրիցին:

Ակնհայտ է, որ քանի որ ելքային մատրիցը փոքր է $ 3 անգամ 5 $, ապա փոխադրված մատրիցը $ 5 \ անգամ 3 $ է:

Մատրիցների վրա գործողությունների փաստացի բնութագրերը:

Այստեղ փոխանցվում է, որ $ ալֆա $, $ բետա $ տասնորդական թվեր են, իսկ $ A $, $ B $, $ C $ մատրիցներ են։ Առաջին chotirioh իշխանությունների համար, նշելով անունը, reshta կարելի է անվանել առաջին chotirma-ի համեմատությամբ:

Այս հոդվածում մենք կարող ենք ընտրել, թե ինչպես իրականացնել նույն կարգի մատրիցների վրա գումարելու գործողությունը, մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունը և նույն կարգով մատրիցաների բազմապատկման գործողությունը, աքսիոմատիկորեն կարող ենք դնել հզորությունը. գործողություններ, ինչպես նաև քննարկել մատրիցների վրա գործողությունների առաջնահերթությունը: Տեսությանը զուգահեռ մենք առաջնորդում ենք հավելվածների հաշվետվական լուծումները, որոնցում կատարվում են գործողություններ մատրիցների վրա։

Շատ հարգված է, որ այն ամենը, ինչ ասվել է ստորև, բերվում է մատրիցների՝ այնպիսի տարրերով, ինչպիսիք են є dіysnі (կամ բարդ) թվերը:

Նավիգացիա կողքի վրա:

Երկու մատրիցա ծալելու գործողություն.

Երկու մատրիցների ծալման նշանակված գործողություն:

Ավելացման օպերացիան նշանակվել է ՄԻԱՅՆ ՄԵԿ ԿԱՐԳԻ ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ։ Այլ կերպ ասած, անհնար է իմանալ տարբեր չափումների մատրիցների գումարը, և հնարավոր չէ խոսել տարբերակային չափումների մատրիցայի ծալման մասին։ Այսպիսով, դուք չեք կարող խոսել մատրիցայի և թվի գումարի կամ մատրիցի և որևէ այլ տարրի գումարի մասին:

Նշանակում.

Երկու մատրիցների գումար i - մատրիցը, որի տարրերը հավասար են A և B մատրիցների համապատասխան տարրերի գումարին, tobto.

Այսպիսով, երկու մատրիցների ծալման գործողության արդյունքը նույն կարգի մատրից է։

Ծալովի մատրիցների գործողության հզորությունը:

Ինչպիսի՞ հզորություն կարող է ունենալ ծալովի մատրիցների աշխատանքը: Շղթայի վրա հեշտ է ստանալ պատասխաններ՝ կախված տվյալ կարգի երկու մատրիցների գումարից և իրական (աբոմպլեքս) թվերի գործողության հզորությունը գուշակելուց։

1. Նույն կարգի A, B և C մատրիցների համար ասոցիատիվության հզորությունը բնորոշ է A + (B + C) = (A + B) + C ավելացնելու համար:
2. Առաջին կարգի մատրիցների համար գումարումից հետո կա չեզոք տարր, որը զրոյական մատրից է։ Այսպիսով, A+O=A-ի հզորությունը արդար է:
3. Տրված կարգի ոչ զրոյական A մատրիցի համար մատրիցը (-A) իր գումարով զրոյական մատրից է. A + (-A) = O:
4. Այս կարգի A i մատրիցների համար ճշմարիտ է A + B = B + A ծալովի փոխադարձության հզորությունը:

Հետագայում տրված կարգի անանձնական մատրիցները առաջացնում են հավելյալ Աբել խումբ (Աբելյան խումբ, ինչպես ծալովի հանրահաշվի գործողությունը):

Մատրիցների ավելացում - հավելվածների լուծում.

Եկեք նայենք ծալված մատրիցայի օրինակին:

հետույք.

Գտե՛ք մատրիցների գումարը i .

Լուծում.

A և B մատրիցների կարգերը մեծանում և մեծանում են 4-ով 2-ով, ուստի մենք կարող ենք արդյունքում իրականացնել i մատրիցայի գումարման գործողությունը, վերցնել 4-րդ կարգի մատրիցը 2-ով։ Անհրաժեշտ է նախագծել երկու մատրիցա ծալելու գործողությունը՝ տարր առ տարր ավելացնելով.

հետույք.

Գտե՛ք երկու մատրիցների գումարը і տարրերը բարդ թվեր են:

Լուծում.

Oskіlki մատրիցների պատվերները հավասար են, մենք կարող ենք vikonat dodavannya:

հետույք.

Vikoite dodavannya երեք մատրիցա .

Լուծում.

Մենք կուտակում ենք A z B մատրիցը, այնուհետև կհեռացնենք մատրիցը, dodamo Z:

Հեռացրեք զրոյական մատրիցը:

Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողություն.

Նշանակված գործողություն՝ մատրիցը թվով բազմապատկելու համար:

Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունը նշանակված է ՑԱՆԿԱՑԱԾ ԿԱՐԳԻ ՄԱՏՐԻՑԻ ՀԱՄԱՐ:

Նշանակում.

Մատրիցայի և տասնորդական (կամ բարդ) թվի գումարում- ամբողջ մատրիցը, որի տարրերը, կարծես, բազմապատկված են ելքային մատրիցայի համապատասխան տարրերով թվով, այսինքն.

Այս հերթականությամբ մատրիցը є թվով բազմապատկելու արդյունքը նույն կարգի մատրից է։

Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողության հզորությունը:

Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողության ուժից հնարավոր է, որ զրոյական մատրիցը զրոյի թվով բազմապատկելը տալիս է զրոյական մատրիցա, իսկ լրացուցիչ թվի և զրոյական մատրիցի ավելացումը զրոյական մատրիցա է:

Մատրիցը թվով բազմապատկելը - կիրառիր այդ հատվածը:

Եկեք դիտարկենք հետույքի վրա մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունը:

հետույք.

Գտեք լրացուցիչ թիվ 2 և մատրիցա .

Լուծում.

Մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է տարրը բազմապատկել ամբողջ թվով.

հետույք.

Գտե՛ք մատրիցայի բազմապատկումը թվով:

Լուծում.

Տրված մատրիցայի մաշկի տարրը բազմապատկում ենք ամբողջ թվով.

Երկու մատրիցների բազմապատկման գործողություն.

Երկու մատրիցների բազմապատկման հատուկ գործողություն:

Երկու A և B մատրիցների բազմապատկման գործողությունը կիրառելի է միայն անկման համար, եթե A մատրիցի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին:

Նշանակում.

Վերագործարկեք A մատրիցը ըստ մատրիցայի հերթականության- 3-րդ կարգի նման մատրիցա, մաշկի տարրը մատրիցայի i-րդ շարքի տարրերի ամենաարժեքավոր գումարն է B մատրիցի j-րդ սյունակի համանման տարրերի վրա, ապա.

Այսպիսով, մատրիցը հերթականությամբ մատրիցով բազմապատկելու գործողության արդյունքը հերթականությամբ մատրից է:

Մատրիցի վերարտադրումը մատրիցով - կիրառությունների լուծում:

Դիտարկենք հետույքների վրա մատրիցների բազմապատկումը, որից հետո կանցնենք բազմապատկվող մատրիցների գործողության հզորությունների հակադարձմանը։

հետույք.

Գտեք C մատրիցի բոլոր տարրերը, ինչպես կարելի է բազմապատկել մատրիցները і .

Լուծում.

A մատրիցի կարգը մեծանում է p = 3-ով n = 2-ով, մատրիցի կարգը մեծանում է n = 2-ով q = 4-ով, իսկ մատրիցի կարգը կլինի p = 3-ով q = 4-ով: . Արագացնելով բանաձևը

Հետևողականորեն մենք վերցնում ենք i-ի արժեքը 1-ից 3-ում (սանդղակ p=3) մաշկի համար j-ի համար 1-ից 4-ում (սանդղակ q=4), իսկ մեր դեպքում՝ n=2, ապա

Այսպիսով, Z մատրիցի բոլոր տարրերը և մատրիցը հաշվարկվում են, երբ երկու տրված մատրիցները բազմապատկվում են, կարող են թվալ. .

հետույք.

Թվայնացնել բազմապատկիչ մատրիցը .

Լուծում.

Արտաքին մատրիցների կարգերը մեզ թույլ են տալիս իրականացնել բազմապատկման գործողությունը։ Արդյունքում մենք կարող ենք վերցնել 2-ից 3 կարգի մատրիցա:

հետույք.

Տրվում է մատրիցա . Գտեք լրացուցիչ A և B մատրիցներ, ինչպես նաև B և A մատրիցներ:

Լուծում.

Եթե ​​մատրիցայի կարգը 3-ով 1-ով է, իսկ մատրիցը 1-ով 3-ով, ապա A⋅B-ը 3-ի կարգն է 3-ի, իսկ լրացուցիչ մատրիցը B և A-ն 1-ի կարգն է 1-ի:

Յակ բաչիտ, . Սա բազմապատկվող մատրիցների գործողության ուժերից մեկն է։

Բազմապատկվող մատրիցների գործողության հզորությունը.

Եթե ​​A, B և C մատրիցները նույն կարգի են, ապա ճիշտ են հետևյալը բազմապատկվող մատրիցների գործողության հզորությունը.

Ստորև բերված է այն արժեքը, որը տարբեր կարգերի դեպքում A մատրիցին զրոյական մատրիցա ավելացնելը տալիս է զրոյական մատրիցա: Dobutok A-ն նաև տալիս է զրոյական մատրիցա, այնպես որ մեծության կարգերը թույլ են տալիս բազմապատկել մատրիցները:

Միջին քառակուսի մատրիցները կոչվում են այսպես փոխակերպման մատրիցներ, Բազմապատկման գործողությունը կոմուտատիվ է, ուստի . Փոխակերպման մատրիցների ետնամասը միայնակ մատրիցների զույգ է, լինի դա նույն կարգի մեկ այլ մատրիցա, ուստի այն արդար է:

Մատրիցների վրա գործողությունների առաջնահերթություն.

Մատրիցը թվով բազմապատկելու և մատրիցը մատրիցով բազմապատկելու գործողություններին տրվում է հավասար առաջնահերթություն։ Գործողության հենց այդ ժամին առաջնահերթությունն ավելի բարձր է, ստորին գործողությունը երկու մատրիցայի ծալումն է։ Այս կարգով մատրիցայի բազմապատկումը հաշվվում է մատրիցների այդ բազմապատկման թվով, այնուհետև կատարվում է մատրիցների գումարում։ Այնուամենայնիվ, մատրիցների վրա գործողությունների կարգը կարող է բացահայտորեն վերագրվել լրացուցիչ աղեղի համար:

Բացի այդ, մատրիցների վրա գործողությունների առաջնահերթությունը նման է իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողություններին տրված առաջնահերթությանը:

հետույք.

Տրվում է մատրիցա . Պարզեք dії-ին հատկացված տրված մատրիցներից .

Լուծում.

Մենք սկսում ենք A մատրիցը B մատրիցով բազմապատկելով.

Այժմ մենք մեկ այլ E կարգի մեկ մատրիցը բազմապատկում ենք երկուսով.

Մենք ավելացնում ենք երկու հանված մատրիցա.

Հեռացված մատրիցը A մատրիցով բազմապատկելու գործողությունը կորել է.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ գործողությունները, որոնք նայում են նույն կարգի A և B մատրիցներին, անհրաժեշտ չեն: Երկու մատրիցների միջև տարբերությունը, ըստ էության, Ա մատրիցի և մատրիցների գումարն է՝ առջևից մինուս մեկով բազմապատկված. .

Բնական աշխարհում քառակուսի մատրիցայի կառուցման գործողությունն ինքնին ինքնաբավ չէ, մատրիցների հաջորդական բազմապատկումների բեկորներ:

Եկեք պայուսակ բերենք:

Անանձնական մատրիցներին վերագրվում են երեք գործողություն՝ միևնույն կարգի մատրիցների ավելացում, մատրիցի բազմապատկում թվով և նույն կարգի մատրիցների բազմապատկում: Տվյալ կարգի անանձնական մատրիցների վրա գումարելու գործողությունը առաջացնում է Աբել խումբ: