Մատրիցային շարքի լուծում. Մաթեմատիկա թեյնիկների համար Մատրիցներ և դրանց վերևում գտնվող հիմնականները: Մատրիցային փոխադրման գործողություն

Դանիական մեթոդական օգնությունը կօգնի ձեզ սովորել, թե ինչպես հաղթել dії մատրիցներովմատրիցների ավելացում (հեռացում), մատրիցների փոխադրում, մատրիցների բազմապատկում, առանցքային մատրիցայի նշանակություն։ Ավանդումների բոլոր նյութերը պարզ և մատչելի ձևերով են, արված են նույն ձևով, նման աստիճանի դեպքում անպատրաստ մարդը կարող է սովորել աշխատել մատրիցներով։ Ինքնավերահսկման և ինքնաստուգման համար կարող եք օգտագործել մատրիցային հաշվիչը >>> առանց ծախսերի։

Փորձում եմ նվազագույնի հասցնել տեսական ենթակետերը, եթե կարող եք «մատների վրա» բացատրել այդ ոչ գիտական ​​տերմինները։ Հիմքի տեսության սիրահարներ, բարի եղեք, մի զբաղվեք քննադատությամբ, մեր խնդիրն է սովորել, թե ինչպես սովորել, թե ինչպես օգտագործել մատրիցներ.

Թեմայի մակերեսային պատրաստման համար (ով է «վառվում»)՝ ինտենսիվ pdf-դասընթաց Matrix, vyznachnik այդ դահլիճը!

Մատրիցը ուղղանկյուն աղյուսակ է, լինի դա տարրեր. Յակոստում տարրերմենք կարող ենք նայել թվերին, դա թվային մատրիցներն են: ՏԱՐՐ- Tse տերմինալ. Տերմինը պետք է հիշել, գինիները հաճախ խզբզվում են, ես չեմ վիկորիստավ այս տեսիլքի համար թավ տառատեսակով:

Նշանակում:մատրիցները հնչում են մեծ լատինատառ տառերով

Հետույք:Եկեք նայենք երկու-երեք մատրիցային.

Այս մատրիցը կազմված է վեցից տարրեր:

Մատրիցայի մեջտեղում գտնվող բոլոր թվերը (տարրերը) կարող եք գտնել ինքներդ, այնպես որ դրա մասին ոչինչ չեք կարող գտնել.

Դա պարզապես թվերի աղյուսակ (հավաքածու) է:

Այսպիսով, մենք տուն ենք մի վերադասավորիրհամարը, որը չի նշվում բացատրություններում։ Մաշկի համարն ունի փտման իր տեղը, և դրանք խառնել հնարավոր չէ:

Մատրիցը դիտվում է, այն ունի երկու տող.

և երեք սյուներ.

ՍՏԱՆԴԱՐՏեթե խոսենք մատրիցայի ընդլայնման մասին, ապա կոճի վրանշեք տողերի քանակը, այնուհետև՝ սյունակների քանակը: Նրանք կամաց-կամաց դասավորեցին «երկու-երեք» մատրիցը վրձիններով։

Եթե ​​մատրիցայի տողերի և սյունակների թիվը zbіgaєtsya է, ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի, օրինակ: - երեք-երեք մատրիցա:

Ինչպես մատրիցում մեկ տող կամ մեկ տող, այդպիսի մատրիցները նույնպես կոչվում են վեկտորներ.

Մենք իսկապես գիտենք մատրիցները դպրոցներից, եկեք նայենք, օրինակ, «iks» և «iplayer» կոորդինատներով մի կետ. Փաստորեն, կետի կոորդինատները գրված են մեկ առ երկու մատրիցով։ Ելույթից առաջ առանցքը ձեզ օրինակ է, թե ինչու թվերի կարգը կարող է նշանակալից լինել. i - tse հարթության երկու տարբեր կետեր:

Հիմա եկեք առանց խոչընդոտի անցնենք հարսանիքին diy մատրիցներից:

1) Դիյա պերշա. Մատրիցից մինուսի սխալը (մինուսի ներմուծումը մատրիցային).

Եկեք դիմենք մեր մատրիցային . Ինչպես հիշում եք, իմ մատրիցը չափազանց շատ բացասական թվեր ունի: Էլ ավելի անհարմար է մատրիցով փոքրերի խզբզողի տեսքը, մինուս նոտաների առանց ձեռքի գրությունը, որ դիզայնում պարզապես տգեղ տեսք ունի:

Մենք մեղադրում ենք մինուսին միջմատրիցների համար՝ փոխելով մատրիցայի SKIN տարրի նշանը:

Զրոյին, ինչպես գիտեք, նշանը չի փոխվում, զրո՝ գինի, իսկ զրո Աֆրիկայում։

Զվորոտնի հետույք: . Ես քամահրանքով եմ նայում.

Մատրիցին ներկայացնում ենք մինուս՝ փոխելով մատրիցայի SKIN տարրի նշանը:

Դե, առանցք, առատորեն համակրելի veyshlo. Ես, naygolovnіshe, ԱՎԵԼԻ ՀԵՇՏ կլինի հաղթել մատրիցը: Քանի որ դա այնքան մաթեմատիկական է ժողովրդական պրիկմետա: որքան շատ մինուսներ - այնքան շատ խարդախներ և ներումներ.

2) Դիա ընկեր. Մատրիցը թվով բազմապատկելը.

Հետույք:

Դա պարզ է, մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է կաշվեբազմապատկել մատրիցային տարրը ամբողջ թիվ. ժամը այս կոնկրետ տեսակին- Եռյակ:

Եվս մեկ շագանակագույն հետույք.

- մատրիցային բազմապատկում դիպչելով

Գլխի հետևի մասում մենք նայում ենք նրանց, ովքեր robiti են ՉԻ ՊԱՀԱՆՋՎՈՒՄ:

Մատրիցին ավելի շատ գումար ավելացնելը ՊԱՀԱՆՋ ՉԷ, նախ՝ ավելի հեշտ է ծալել մատրիցից ավելի հեռու, այլ կերպ, ավելի հեշտ է վերստուգել լուծումը վիկլադաչով (հատկապես՝ յակշոյով): - մնացորդային պահանջագրում):

Թիմ ավելին, ՉԻ ՊԱՀԱՆՋՎՈՒՄմատրիցայի մաշկի տարրի խտությունը մինուս sіm-ով.

Երեք վիճակագրություն Մաթեմատիկա կեղծամների համար, կամ էլ ինչու, մենք դա հիշում ենք տասնորդական կոտորակներում հետ մնացած բոլոր մաթեմատիկոսները փորձում են եզակի լինել:

Մի բան պագան robiti ձեր դիմումում - tse ավելացրեք մինուս մատրիցին.

Իսկ յակբիից ԲՈԼՈՐմատրիցայի տարրերը բաժանվել են 7-ի առանց ավելորդության, Ապա դուք կարող եք (եւ դուք պետք է!) Boulo b podіlit:

Հետույք:

Ո՞ր ուղղությամբ կարող եմ ԱՆՀՐԱԺԵՇՏբազմապատկել մատրիցայի բոլոր տարրերը, այնպես, որ մատրիցայի բոլոր թվերը բաժանվեն 2-ի առանց ավելորդության.

Նշում. տեսականորեն առաջադեմ մաթեմատիկադպրոցականի «podіl» հասկացողությունը չկա: «Սրան մի ավելացրեք» արտահայտության փոխարեն միշտ կարող եք ասել «բազմապատկել ավելիով»։ Tobto podіl - tse okremia vpadok հոգնակի:

3) Դիա երրորդ. Մատրիցային փոխադրում.

Մատրիցը փոխադրելու համար անհրաժեշտ է տողեր գրել փոխադրված մատրիցայի սյունակներում։

Հետույք:

Փոխադրել մատրիցա

Այստեղ կա միայն մեկ տող և, ըստ կանոնի, անհրաժեշտ է այն գրել սյունակում.

փոխադրված մատրիցն է:

Փոխանցված մատրիցը նշվում է վերնագրի ցուցիչով կամ աջակողմյան օձաձկան հարվածով:

Ծածկույթի հետույք.

Փոխադրել մատրիցա

Հետևի մասում մենք վերագրում ենք առաջին շարքը առաջին քայլին.

Եկեք մեկ այլ տող վերագրենք մեկ այլ տողով.

І, nareshti, վերագրիր երրորդ շարքը երրորդ stovpets.

Պատրաստ. Մոտավոր թվացյալ տրանսպոսը նշանակում է մատրիցը մի կողմ պտտել:

4) Դիա չորրորդ. Գումարի (մանրածախ) մատրիցա.

Դիա մատրիցների գումարը անհարմար է:
ՈՉ ԲՈԼՈՐ ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԸ ԿԱՐԵԼԻ Է ԾԱՔԵԼ։ vykonannya ծալովի (vіdnіmannya) մատրիցների համար անհրաժեշտ է, որ բուլերի գարշահոտը նույնը լինի ROZMIROM-ի համար:

Օրինակ, եթե տրված է «երկու-երկու» մատրիցա, ապա այն կարող եք ավելացնել միայն «երկու-երկու» մատրիցին և ցանկացած այլ ձևով:

Հետույք:

Ծալեք մատրիցները і

Մատրիցները ծալելու համար անհրաժեշտ է ծալել դրանց պահանջվող տարրերը:

Տարբեր մատրիցների համար կանոնը նման է. անհրաժեշտ է իմանալ տարբեր տարրերի տարբերությունը.

Հետույք:

Իմացեք մատրիցների տարբերությունը ,

Իսկ ինչպե՞ս կարող եք այս հետույքն ավելի պարզ դարձնել, որպեսզի չկորչեք։ Մի հապաղեք ավելացնել մինուսները, որոնց համար մատրիցին կավելացնենք մինուս.

Նշում. տեսականորեն մաթեմատիկայի միջնակարգ դպրոցում հասկացողություն գոյություն չունի: «Ինչ որ տեսնում ես» արտահայտության փոխարեն միշտ կարող ես ասել «բացասական թիվ ավելացնելու համար»։ Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok ծալված:

5) Diya p'yata. Մատրիցների վերարտադրություն.

Ի՞նչ մատրիցներ կարելի է բազմապատկել:

Որպեսզի անհրաժեշտության դեպքում մատրիցը բազմապատկվի մատրիցով, այնպես, որ մատրիցում սյունակների թիվը հավասար է մատրիցի տողերի թվին.

Հետույք:
Կարո՞ղ եք մատրիցը բազմապատկել մատրիցով:

Կրկին, դուք կարող եք բազմապատկել այս մատրիցները:

Եվ նույն մատրիցից վերադասավորեք առաքելությունները, ապա այս կերպ բազմապատկումն արդեն անհնար է:

Otzhe, vikonati հոգնակի անհնար է:

Այնքան հաճախ չէ, որ առաջադրանքները խաբվում են խաբեությամբ, եթե ուսանողին խրախուսում են բազմապատկել մատրիցներ, որոնց բազմապատկումն ակնհայտորեն անհնար է:

Սլայդը ցույց է տալիս, որ մի շարք փոփոխականներ կարող են բազմապատկել մատրիցները і so, і so:
Օրինակ, մատրիցների համար ես կարող եմ բազմապատկվել, ուստի ես բազմապատկել եմ

mxn ընդլայնման ուղղանկյուն մատրիցը mxn թվերի գումարն է, որոնք դասավորված են ուղղանկյուն աղյուսակում, որպեսզի վրեժխնդիր լինեն m և n սյունակների տողերից: Մենք կգրենք її հայացքից

հակառակ դեպքում, երբ նայում ենք A = (a i j) (i = ; j = ), a i j թվերը կոչվում են її տարրեր; առաջին ինդեքսը ցույց է տալիս տողի համարը, մյուսը՝ տողի համարին։ Նույն չափի A \u003d (a i j) և B \u003d (b i j) կոչվում են հավասար, քանի որ տարրերը զույգերով հավասար են, ուստի նրանք կանգնած են նույն տեղերում, այնուհետև A \u003d B, ուստի a i j \u003d b i j:

Մատրիցը, որը ծալված է մեկ տողից կամ մեկ սյունակից, կոչվում է տող կամ սյունակ վեկտոր: Stow վեկտորները և տողերի վեկտորները պարզապես կոչվում են վեկտորներ:

Մատրիցա, որն ունի մեկ թիվ, քարտեզագրվում է այդ թվին: A rozmіru mxn, բոլոր տարրերը, որոնք հավասար են զրոյի, կոչվում են զրո և վերագրվում են 0-ի միջոցով: Նույն ցուցանիշներով տարրերը կոչվում են գլխի անկյունագծի տարրեր: Եթե ​​տողերի թիվը հավասար է քնածների թվին, ապա m = n, ապա մատրիցը կոչվում է քառակուսի կարգ n: Քառակուսի մատրիցները, որոնք ունեն գլխի շեղանկյունի զրո կամ ավելի տարրեր, կոչվում են անկյունագծային և գրվում են հետևյալ կերպ.

.

Եթե ​​a i i բոլոր տարրերը անկյունագծով գումարվում են 1-ի, ապա այն կոչվում է միայնակ և նշվում E տառով.

.

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է տրիկոտ, քանի որ բոլոր այն տարրերը, որոնք ավելի բարձր են (կամ ցածր), քան գլխի անկյունագիծը, հավասար են զրոյի: Տրանսպոզիցիան կոչվում է այնպիսի փոխակերպում, երբ տողերն ու սյունակները փոխվում են ըստ իրենց թվերի խնայողության տեղերի: Այն նշվում է վերևում գտնվող փոխադրման T պատկերակով:

Քանի որ (4.1)-ում մենք կարող ենք սյունակներով տողերը վերադասավորել, ապա վերցնում ենք

,

ասես փոխադրված լինի Ա.Զոկրեմի կողմից, վեկտոր-ստովպցյա փոխադրելիս կհայտնվի տող-վեկտորը և navpacki:

Ենթաբաղադրիչ Իսկ b թիվը կոչվում է մատրիցա, որի տարրերը գալիս են A-ի երկրորդ տարրերից՝ բազմապատկելու համար b թիվը՝ b A = (b a i j):

Մեկ չափման A = (a i j) և B = (b i j) գումարը կոչվում է նույն չափման C = (c i j), որի տարրերը վերագրված են c i j = a i j + b i j բանաձևին:

Dobutok AB-ը կապված է ընդունելության հետ, ուստի A սյունակների թիվը հավասար է U տողերի թվին:

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , նշանակված է հանձնարարված AB կարգին, որը կոչվում է C = (c i k), տարրերը վերագրվում են այսպիսի կանոն.

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Հակառակ դեպքում, թվում է, որ AB ստեղծագործության տարրը վերագրվում է հետևյալ հաջորդականությամբ. k-րդ B սյունակի կախյալ տարրերը.

հետույք 2.1. Իմացեք doboot AB i.

Լուծում. Մայիս. A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, ապա dobutok AB \u003d C іsnuє і տարրեր С հավասար

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10:

իսկ tvir BA-ն ճիշտ չէ։

հետույք 2.2. Աղյուսակում նշված է 1-ին և 2-րդ կաթնամթերքի օրական M 1, M 2 և M 3 խանութ-սրահներ տեղափոխվող առանձին ապրանքատեսակների քանակը, ընդ որում, մաշկային կաթնամթերքից մինչև M 1 խանութ մեկ ապրանքի առաքումն արժե 50 դրամ: մեկը, դեպի խանութ M 2 - 70, իսկ M 3 - 130 den. մեկ. Pіdrakhuvat schodennі տրանսպորտային vitrati կաշեգործարանի գործարան:

կաթնամթերք

Լուծում. Զգալիորեն մեզ հասկանալու համար տրված մատրիցով և միջոցով
B - մատրիցա, որը բնութագրում է խանութի մեկ ապրանքի առաքման փոփոխականությունը, tobto,

,

Todo matrix vitrate-ը տեղափոխված մատիմայի վրա նայեց.

Նաև վիտրաժների առաջին գործարանի գինը ներկայումս կազմում է 4750 գրոս: մեկը, մյուսը՝ 3680 դն.

հետույք 2.3. Կարի բիզնեսը պատրաստում է ձմեռային վերարկուներ, կիսասեզոնային վերարկուներ և անձրեւանոցներ։ Մեկ տասնամյակի համար նախատեսված թողարկումը բնութագրվում է X = (10, 15, 23) վեկտորով: Vykorivuyutsya գործվածքներ chotirioh տեսակների T1, T2, T3, T4: Աղյուսակում մաշկի վիբրի համար հյուսվածքային վիտրատի (մետր) նորմերը. С = (40, 35, 24, 16) վեկտորը ցույց է տալիս մաշկի տիպի հյուսվածքի չափիչի փոփոխականությունը, իսկ P = (5, 3, 2, 2) վեկտորը՝ փոխադրվող հաշվիչի շեղումը։ մաշկային տիպի հյուսվածք.

	Vitrata գործվածքներ
ձմեռային վերարկու
Կիսասեզոնային վերարկու

Գծային հանրահաշիվ

Մատրիցներ

մատրիցա rozmіru m x n - tse թվերի ուղղագիծ աղյուսակ, վրեժ լուծելու համար մ տողերի և n stoptsіv. Մատրիցը կազմող թվերը կոչվում են մատրիցային տարրեր։

Մատրիցները նշանակվում են մեծ լատինատառ տառերով, իսկ տարրերը՝ նույն, փոքր տառերով՝ ներքևի ինդեքսավորմամբ:

Օրինակ, եկեք նայենք 2 x 3 չափերի A մատրիցին.

Այս մատրիցն ունի երկու տող (m = 2) և երեք տող (n = 3), այսինքն. won-ը կազմված է վեց տարրերից՝ ij de i - տողի համար, j - տողի համար: Սրանով արժեքը 1-ից 2-ն է, իսկ մեկի արժեքը՝ մինչև երեքը (գրանցված): Զոկրեմա, ա 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; ա 21 = 0; ա 22 = 1,5; ա 23 = 5.

Կոչվում են նույն չափի A և B մատրիցները (m x n): հավասար, որպեսզի գարշահոտը տարր առ տարր zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij համար , ապա. ցանկացած i-ի և j-ի համար (կարող եք գրել «i, j»):

տողերի մատրիցա- նույն մատրիցը, որը ծալված է մեկ շարքից, և մատրիցա-կնիք- Tse matrix, որը ծալված է մեկ stovptsya.

Օրինակ, տողերի մատրիցա է, և .

քառակուսի մատրիցամինչև n-րդ կարգը՝ մատրիցը, մինչև տող՝ մինչև սյունակների քանակը և մինչև n։

Օրինակ՝ այլ կարգի քառակուսի մատրիցա։

Շեղանկյունմատրիցային տարրեր – թիրախային տարրեր, որոնց համար տողի համարը հավասար է սյունակի համարին (a ij, i = j): Qi տարրերը բավարարում են հիմնական անկյունագիծմատրիցներ. Առջևի հետույքում հիմնական անկյունագիծը կազմված է a 11 = 3 և a 22 = 5 տարրերից:

Անկյունագծային մատրիցա- Սա քառակուսի մատրից է, որտեղ բոլոր անջատված անկյունագծային տարրերը հավասար են զրոյի: Օրինակ, - Երրորդ կարգի անկյունագծային մատրիցա: Եթե ​​այո, ապա բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են մեկի, ապա մատրիցը կոչվում է միայնակ(Հնչյունները նշվում են E տառով): Օրինակ, - Երրորդ կարգի միայնակ մատրիցա:

Մատրիցը կոչվում է զրոայնպես որ բոլոր її տարրերը հավասար են զրոյի:

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է տրիկոտաժեԱյսպիսով, գլխի անկյունագծից ներքև (կամ վերևում) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի: Օրինակ, - Երրորդ կարգի տրիկոտաժի մատրիցա:

Գործողություններ մատրիցների վրա

Մատրիցների վրա կարող են կատարվել հետևյալ գործողությունները.

1. Մատրիցը թվով բազմապատկելը. L թվի լրացուցիչ մատրիցը B = lА մատրիցն է, որի տարրերն են b ij = la ij ցանկացած i i j-ի համար:

Օրինակ, yakscho, ապա .

2. Մատրիցների ավելացում. Նույն չափի m x n A і մատրիցների գումարը կոչվում է C \u003d A + B մատրիցա, որի տարրերն են ij \u003d a ij + b ij «i, j» համար:

Օրինակ, նման ապա

.

Հատկանշական է, որ ճակատային գործողության միջոցով հնարավոր է տեսողական մատրիցանույն չափը: տարբերություն A-B\u003d A + (-1) * Արվեստ.

3. Մատրիցների վերարտադրություն. Լրացուցիչ A մատրիցը, որը ընդլայնվել է m x n n x p ընդլայնված մատրիցին, կոչվում է այնպիսի մատրից C, որի մաշկի տարրը լրացնում է A մատրիցի i-րդ շարքի տարրերի գումարը j-րդ տեսանելի տարրերի վրա: մատրիցայի սյունակ, tobto. .

Օրինակ, նման

, ապա մատրիցա-ստեղծման ընդլայնումը կլինի 2 x 3, և ուշադրություն դարձրեք մորը.

Այս կերպ A մատրիցը կոչվում է նեղացված մատրիցա։

Քառակուսի մատրիցների բազմապատկման գործողության հիման վրա գործողությունը հղումներ ոտքերի մոտ. A քառակուսի մատրիցի A m (m > 1) դրական աստիճանը կոչվում է A-ին հավասար լրացուցիչ m մատրիցներ, tobto:

Ասենք, որ մատրիցների գումարումը (փոխարինումը) և բազմապատկումը նախատեսված են ոչ թե երկու մատրիցների համար, այլ միայն ամենաշատերի երգելու համար, ինչը հաճելի է իր չափով։ For znakhodzhennya sumi chi rіznitі matrices їх rozmіr obov'yazkovo կարող է լինել նույնը: Մատրիցների ստեղծման համար առաջինում սյունակների թիվը կարող է ավելացվել մյուսի տողերի քանակով (այդպիսի մատրիցները կոչվում են. խնդրում եմ).

Դիտարկենք նայված գործողությունների ուժերը՝ անալոգային թվերի վրա գործողությունների հզորություններին:

1) ծալման փոխատեղելի (փոխանցող) օրենքը.

A + B = B + A

2) Ասոցիատիվ (ուրախ) ծալովի օրենք.

(A + B) + C = A + (B + C)

3) բազմապատկման բաշխիչ (տարածման) օրենքը՝ ինչպես ծալել.

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) բազմապատկման ասոցիատիվ (երջանիկ) օրենքը.

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Աջակցվում է, որ մատրիցների համար բազմապատկման փոփոխական օրենքը չի փոխվում հակառակ ուղղությամբ, այսինքն. AB ¹ BA. Ավելին, AB հիմքից պարտադիր չէ, որ BA հիմքը արտասանվի (մատրիցաները կարող են ընդունելի չլինել, և նույնիսկ նույն դոբութները չեն նշանակվում, ինչպես ինդուկտիվ հետույքի դեպքում՝ մատրիցների բազմությունը)։ Ale navіt yakscho անել վիրավորանք, դա անել, գարշահոտություն մռնչալ raznі.

Լավ իմաստով, կոմուտատիվ օրենքը կարող է նույն կարգի մեկ մատրիցին ավելացնել A քառակուսի մատրիցը, ավելին, սա գումարվում է A-ի (այստեղ մեկ մատրիցով բազմապատկելը նման է թվերը բազմապատկելիս մեկով բազմապատկելուն).

AE = EA = A

Ճիշտ,

Թվերի բազմապատկումներին ավելացնում ենք մատրիցների ևս մեկ բազմապատկություն։ Ավելի շատ թվեր կարելի է ավելացնել կամ զրոյին, կամ դրանից պակաս, եթե ցանկանում եք, որ դրանցից մեկը հավասար լինի զրոյի: Հնարավոր չէ ասել մատրիցների մասին, tobto: զրոյական մատրիցներին կարող են ավելացվել լրացուցիչ ոչ զրոյական մատրիցներ: Օրինակ,

Եկեք նայենք մատրիցների վրա կատարվող գործողություններին:

4. Մատրիցային փոխադրումє անցումային գործողություն A մատրիցից դեպի ընդլայնում m x n դեպի A T մատրիցից մինչև n x m ընդլայնում, նույն տողերում և սյունակներում հիշատակվում են բացատներով.

%.

Փոխադրման գործողության հզորությունը.

1) Մենք ընտրել ենք հետևյալը, որպեսզի մատրիցը փոխակերպվի երկուսի, մենք կանդրադառնանք ելքային մատրիցին՝ (AT) T = A:

2) Տրանսպոզիցիոն նշանի համար կարելի է մեղադրել հաստատուն բազմապատկիչին՝ (lА) T = lА T .

3) Բաշխիչ կերպով բազմապատկված լրացուցիչ մատրիցների փոխադրումը. (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T:

Մատրիցներ

Մաշկի քառակուսի մատրիցայի համար մուտքագրեք |A| թիվը vyznachnik. Իննոդի յոգան նշվում է D տառով։

Tse є կարևոր է ցածր գործնական առաջադրանքների վերևում: Զգալիորեն յոգա հաշվարկի մեթոդով.

Առաջին կարգի մատրիցայի համար її մեկ տարրը |А| = D1 = a11.

Տարբեր կարգի її մատրիցի համար թիվը կոչվում է նշանակիչ, քանի որ այն հաշվարկվում է |А| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Երրորդ կարգի її A մատրիցայի համար թիվը կոչվում է նշանակիչ, քանի որ այն հաշվարկվում է բանաձևից հետո:

Այն ներկայացնում է հանրահաշվի գումարը, որը բաղկացած է 6 հավելումներից, որոնց մաշկի մեջ մտնում է մաշկի շարքից և մաշկի մատրիցային մատրիցից ուղիղ մեկ տարր։ Վիզնաչնիկի բանաձեւը մտապահելու համար ընդունված է արագացնել այսպես կոչված հնարքների կանոնը կամ Սարուսի կանոնը (նկ. 6.1):

Փոքրիկ 6.1-ում ցուցադրվում է չարի սխեման, թե ինչպես ընտրել տարրեր հավելումների համար գումարած նշանով, - գարշահոտը պերեբյուվում է գլխի անկյունագծով և հավասար ազդրային տրիկուտնիկների վերին մասում և դրանք զուգահեռաբար դնում: The սխեման zlіva vikoristovuєtsya համար dodankіv zі նշան «մինուս»; դրա վրա վերցված է գլխի անկյունագծի փոխանորդը, այսպես կոչված, կողմը։

Բարձրագույն կարգերի առաջատարները հաշվարկվում են ռեկուրսիվ եղանակով, tobto: չորրորդ կարգի իրավահաջորդը երրորդ կարգի իրավահաջորդի միջոցով, հինգերորդ կարգի իրավահաջորդը չորրորդ կարգի իրավահաջորդի միջոցով և այլն: Մեթոդը նկարագրելու համար անհրաժեշտ է ներկայացնել մատրիցայի այդ հանրահաշվական կոմպլեմենտար տարրի մինորի հասկացությունը (առավել նշանակալից է, որ մեթոդն ինքնին, որը կքննարկվի հետագա, հարմար է երրորդ և այլ կարգի համար):

Անչափահաս M ij տարրը n-րդ կարգի ij մատրիցը կոչվում է (n-1)-րդ կարգի մատրիցի սկզբնաղբյուր, որը վերցված է A մատրիցից և j-րդ սյունակի i շարքի i համապատասխանությունից:

n-րդ կարգի մաշկի մատրիցը n2 փոքր է (n-1)-րդ կարգով:

Հանրահաշվական լրացումներ ij տարր ij n-րդ կարգի մատրիցը կոչվում է yogo minor՝ վերցնելով zі նշանը (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, որը զույգի շարքի և սյունակի թվերի գումարն է, і A ij \u003d -M ij, որը զուգակցված չէ:

Օրինակ, նման , ապա ; և այլն։

Հիմնական գումարի հաշվարկման եղանակըՔառակուսի մատրիցայի նշանաբանն ավելի առաջադեմ է տարրերի ստեղծագործությունների գումարը ցանկացած կարգով (stovptsya) դրանց լրացումների հանրահաշիվին.

(դասավորությունը ըստ i-րդ ​​տարրերշարքեր; );

(J-րդ սյունակի տարրերի դասավորությունը;).

Օրինակ,

Հատկանշական է, որ սկզբում տրիկոտի մատրիցայի սկզբնական նախշը ավելի առաջադեմ է, քան գլխի անկյունագծային տարրերը:

Ձևակերպենք մագիստրատուրայի հիմնական լիազորությունները.

1. Եթե կա տող կամ եթե մատրիցը կազմված է միայն զրոներից, ապա արբիտրը հավասար է 0-ի (այն հետևում է ռոզրահունկա մեթոդին):

2. Եթե մատրիցայի ինչ-որ շարքի (stowptsya) բոլոր տարրերը բազմապատկեք նույն թվով, ապա նույն թիվը բազմապատկվում է ամբողջ թվով):

Նշում. նշանակիչի նշանի համար կարող եք մեղադրել հենց տողի տաք բազմապատկիչին (մատրիցի նշանի համար, որի նշանի համար կարող եք մեղադրել տարրերի տաք բազմապատկիչին): Օրինակ, , .

3. Երբ її մատրիցը փոխադրվում է, նշանակիչը չի փոխվում՝ | Ա Տ | = | Ա | (Ապացույցը չի իրականացվի):

4. Մատրիցայի երկու շարքերի (stowptsiv) բացատները վերադասավորելիս արբիտրը փոխում է պրոլեգի նշանը։

Քոբի արժեքը հաստատելու համար ընդունելի է, որ մատրիցայի երկու հաջորդական տողերը վերադասավորվեն՝ i-րդ և (i + 1)-րդ: Համար rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj մատրիցով i-րդ ​​շարքը, իսկ նոր մատրիցի համար (վերադասավորվող տողերով) - ըստ (i + 1) - րդ (ինչպես niy-ում նույնն է, ուստի տարր առ տարր է շարժվում): Այնուհետև, երբ մյուս նշանը ընդլայնվում է, մաշկը լրացնում է հանրահաշվական մաթիման պրոլեգի նշանով, ուստի (-1) կկրճատվի ոչ թե աստիճաններով (i + j), այլ աստիճաններով (i + 1 + j), իսկ մեկ այլ բանաձեւում բանաձեւերը չեն ավելացվի։ Այս կերպ պրիմատի նշանը փոխվում է պրոտիլի։

Հիմա ընդունելի է, որ վերադասավորվեն ոչ թե դատարանները, այլ ևս երկու շարք, օրինակ՝ i-րդ և (i + t)-րդ։ Նման փոխակերպումը հնարավոր է, քանի որ i-րդ շարքի հաջորդական տեղաշարժը t տողերով ներքև, իսկ (i + t)-րդ շարքը` (t-1) տողերով վերև: Ում համար պրիմատի նշանը փոխվում է (t + t - 1) = 2t - 1 քանի անգամ, այսինքն. չզուգակցված մի քանի անգամ: Otzhe, թող վազերը փոխեն մնացածը:

Նմանատիպ հայելային կարելի է փոխել stovptsiv-ի համար:

5. Եթե մատրիցը պետք է փոխարինի երկու միանման տողեր (stowptsya), ապա հաջորդը հավասար է 0-ի:

Ճիշտ է, եթե նույն տողերը (stovptsі) վերադասավորվեն առաքելությունների միջոցով, ապա այդ մատրիցան ինքնին կվերցվի նույն նշանակվածների կողմից: Մյուս կողմից, առջևի yakistyu երակների հետևում, կարող եք փոխել խորհրդանիշը, tobto: D = -D D = 0:

6. Քանի որ մատրիցայի երկու տողերի (stowptsіv) տարրերը համաչափ են, ուրեմն առաջին թիվը հավասար է 0-ի։

Այս հզորությունը հիմնված է այդ գինու առջևի հզորության վրա՝ գլխի կապանքների բազմապատկիչի համար (եթե մատրիցայում համամասնության գործակցի կապանքների գինին կլինի նույն տողերը, և արդյունքում գործակիցը կլինի. բազմապատկել զրոյով):

7. Մատրիցի ցանկացած տողի (stowptsya) ստեղծագործական տարրերի գումարը նույն մատրիցայի հաջորդ շարքի (stowptsya) տարրերի հանրահաշվական գումարման վրա միշտ կլինի 0: համար i ¹ j.

Հզորություն բերելու համար բավական է A մատրիցի j-րդ շարքը փոխարինել i-րդ շարքով։ Կրճատված մատրիցում կլինեն երկու հավասար տողեր, որոնց հաջորդ արբիտրը հավասար է 0-ի: Մյուս կողմից այն կարելի է հաշվարկել j-րդ շարքի տարրերով. .

8. Մատրիցայի ինդեքսը չի փոխվում, ուղղակի շարքի տարրերին կամ մատրիցին ավելացրեք հաջորդ շարքի (ստոուի) տարրերը՝ նույն թվով բազմապատկված։

Ճիշտ է, ավելացնեմ i-րդ շարքի տարրերը j-րդ տարրըտողերը բազմապատկված լ-ով: Կերևան նոր i-րդ շարքի Todi տարրերը
(a ik + la jk , «k): Հաշվենք նոր մատրիցային դասավորության նշանը i-րդ շարքի տարրերից հետո (կարևոր է, որ її տարրերի հանրահաշվական գումարումները չեն փոխվում, երբ փոխվում են).

Մենք հանեցինք, որ այս պրիմատը արտաքին մատրիցայի պրիմատին նման չէ։

9. Նշանակալից dobutku մատրիցները ավելի թանկ dobutku їх vyznachnіv՝ | ԱԲ | = | Ա | * |U| (Ապացույցը չի իրականացվի):

Նրանք նայեցին վիզնաչնիկների և վիկորիստների ավելի շատ հեղինակություններին իրենց հաշվարկի ներման համար: Zzvichay namagayutsya perevorit matrix է նման ձեւով, shchob be-yaky stovpets կամ մի շարք վրեժի yaknabіlshe զրոյական. Հեշտ է իմանալ հաջորդ մրցավարին առաջին կամ մյուս շարքի երեսարկման համար:

հակադարձ մատրիցա

Matrix A-1 կոչվում է շրջելիըստ A քառակուսի մատրիցայի հարաբերակցության, նույնիսկ եթե մատրիցը բազմապատկվում է A մատրիցով, այն աջակողմյան է, ուստի դուրս է գալիս միայնակ մատրիցը՝ A -1 * A = A * A -1 = E:

Հետևում է, որ հակադարձ մատրիցը նույն կարգի քառակուսի մատրից է, ինչ A մատրիցը:

Կարելի է տեսնել, որ առանցքային մատրիցայի ըմբռնումը նման է առանցքային թվի ըմբռնմանը (ամբողջ թիվը, երբ բազմապատկվում է տրված թվով, տալիս է մեկը՝ a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Բեղերի համարները՝ զրոյական, կարող են թվեր փաթաթել:

Հզորությունը պարզելու համար, թե որն է վերադարձի քառակուսի մատրիցը, անհրաժեշտ է իմանալ արբիտրին։ Եթե ​​մատրիցը հավասար է զրոյի, ապա այդպիսի մատրից է կոչվում վիրուսածին, կամ հատկապես.

Անհրաժեշտ է բավականաչափ միտքՇիճուկի մատրիցայի հիմքը. շիճուկի մատրիցը նույնն է և միայն այն դեպքում, եթե չի օգտագործվում ոչ վիրուսային մատրիցը:

Մենք կբերենք անհրաժեշտությունը. Թող մատրիցը լինի A -1 հակադարձ մատրիցը, ապա: A -1 * A \u003d E. Todi | Ա -1 * Ա | = | Ա -1 | * |Ա| = | E | = 1. Ավելի ուշ,
|Ա| ¹0.

Մենք բերում ենք բավարարություն. Այն վեր հանելու համար անհրաժեշտ է պարզապես նկարագրել շիճուկի մատրիցայի հաշվարկման եղանակը, որը միշտ կարելի է անել ոչ կույս մատրիցայի համար։

Օտժե, արի | Ա | ¹ 0. Տեղափոխեք A մատրիցը: Մաշկի А Т տարրի համար արի(Փոխադարձաբար, դաշնակցային).

Մենք գիտենք ստացված մատրիցայի և ելքի իրականությունը: Վերցրու . Այս կարգով մատրիցը անկյունագծային է: її գլխի անկյունագծում կան ելքային մատրիցայի նշաններ, իսկ տարրերի գծերը զրո են.

Նմանապես, դուք կարող եք դա ցույց տալ:

Եթե ​​մատրիցայի բոլոր տարրերը բաժանեք |A|-ի, ապա կվերացնեք մեկ մատրիցը E:

Նման կոչում , ապա. .

Մենք բերում ենք առանցքային մատրիցայի միասնությունը: Ենթադրենք, հիմնական հակադարձ մատրիցը A-ի համար, կանխադրվածը A -1 է: Զգալիորեն її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Միասնությունը բերեց.

Նաև առանցքային մատրիցը հաշվարկելու ալգորիթմը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1. Իմանալ մատրիցայի արբիտրին | Ա | . Յակշչո |Ա| = 0, ապա A մատրիցը վիրուսածին է, և հակադարձ մատրիցը հնարավոր չէ իմանալ: Յակշչո |Ա| ¹ 0, այնուհետև անցեք ոտնաթաթի հյուսին:

2. Խրախուսեք AT մատրիցայի փոխադրումը:

3. Իմանալ փոխադրված մատրիցի հանրահաշվական կոմպլեմենտար տարրերը և դրդել տրված մատրիցը:

4. Հաշվե՛ք փաթաթված մատրիցը՝ ստացված մատրիցը բաժանելով |Ա|ի:

5. Հնարավոր է շրջել առանցքային մատրիցայի հաշվարկի ճիշտությունը ճիշտ ձևով՝ A -1 * A = A * A -1 = E:

1. Եկեք իմանանք հնարքների կանոնի հիմքում ընկած մատրիցայի թիվ մեկ համարը.

Եկեք բաց թողնենք վերաշարադրումը:

Դուք կարող եք իշխանության բերել հետևյալ մատրիցները.

1) | Ա-1 | = 1 / | Ա |

2) (A -1) -1 = Ա

3) (A m) -1 = (A -1) մ

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Մատրիցային աստիճան

Փոքր k-րդ կարգը m x n չափերի մատրիցին, անվանել k-րդ կարգի քառակուսի մատրիցայի նշանը, քանի որ այն վերցված է A մատրիցից, որպեսզի համապատասխանի տողերի և սյուների առկայությանը:

Կարևոր է նշել, որ անչափահասի կարգը չի գերակշռում ավելի փոքրին, tobto-ին: k £ min (m; n). Օրինակ, A 5x3 մատրիցներից հնարավոր է հեռացնել առաջին, մյուս և երրորդ կարգերի քառակուսի ենթամատրիցները (հնարավոր է ընդլայնել փոքր կարգերը):

աստիճանմատրիցների անվանումը պատվեր գտնելըմատրիցի մինորներում զրոների տեսքով (նշեք A տիրույթը կամ r(A)):

Վայ

1) մատրիցայի աստիճանն ընտրվում է ամենափոքր її razmiriv, tobto-ից:
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 և ապա, եթե մատրիցը զրո է (մատրիցի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի), ապա. r(A) = 0 A = 0;

3) n-րդ կարգի քառակուսի մատրիցի համար r(A) = n և ապա, եթե A մատրիցը ոչ վիրուսային է, ապա. r(A) = n | | ¹0.

Փաստորեն, ում համար բավական է հաշվարկել մեկից ավելի այդպիսի անչափահաս (երրորդ սյունակի հարությունից հանվածը (որովհետև ռեշտում զրո երրորդ սյուն է լինելու, և դրան կավելանա գարշահոտությունը. զրոյի):

Տրիկոտի կանոնի հետևում = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Երրորդ կարգի բոլոր անչափահասների բեկորները զրո են, r(A) £ 2: Շարդերն ունեն այլ կարգի ոչ զրոյական մինոր, օրինակ.

Ակնհայտ է, որ մեր կողմից ընդունված վիկորիստանին (տարբեր անչափահասների հայացքը) հարմար չէ ավելի բարձր աստիճանի համար ավելի բարդ տենդենցներում մեծ աշխատանքով։ Հնչեք վերափոխման հաղթական գործեր մատրիցայի աստիճանի նշանը, ինչպես իրենք են անվանում տարրական:

մեկը): V_dkidannya զրոյական տողեր (stovpts_v):

2). Տողի կամ մատրիցի բոլոր տարրերի վերարտադրումը թվով, չհաշված զրո:

3). Մատրիցայի տողերի (stovptsiv) հերթականության փոփոխություն:

չորս): Երկրորդ շարքի տարրերի (stovptsya) մեկ շարքի (stovptsya) մաշկի տարրին ավելացում՝ բազմապատկված թվով։

5). Փոխադրել.

Քանի որ A մատրիցը վերցված է B մատրիցներից տարրական փոխակերպումներով, այդ մատրիցները կոչվում են համարժեքես նշանակում եմ A~B.

Թեորեմ. Մատրիցայի տարրական փոխակերպումները չեն փոխում աստիճանը:

Թեորեմի ապացույցն ակնհայտ է մատրիցայի գերակայությունից։ Իրոք, այս փոխակերպումների դեպքում քառակուսի մատրիցները կա՛մ պահվում են, կա՛մ բազմապատկվում են մի թվով, որը հավասար չէ զրոյի։ Պատերազմի միջոցով արտաքին մատրիցայի անչափահասների առաջատար զրոների մեծագույն կարգը թողնվում է ինքնին, այսինքն. її վարկանիշը չի փոխվել:

Տարրական փոխակերպումների օգնությամբ մատրիցը հասցվում է այսպես կոչված փուլային տեսքի (վերամշակված քայլի մատրիցա), ապա. Ենթադրվում է, որ գլխի շեղանկյունի տակ գտնվող համարժեք մատրիցն ուներ միայն զրոյական տարրեր, իսկ գլխի շեղանկյունը՝ ոչ զրոյական տարրեր.

Քայլ-հաճախականության մատրիցայի աստիճանը հավասար է r-ին, խաչվող արժեքների տատանիչները դրանից, սկսած (r + 1)-ից և հեռու, հնարավոր է վերցնել r-րդ կարգը: եռարժութային մատրիցա, արբիտրը, որը կլինի զրոյի տեսքով, տատանումները կլինեն ոչ զրոյական կարգի, ոչ հավասար զրոյի).

հետույք. Գտեք մատրիցայի աստիճանը

մեկը): Եթե ​​11 \u003d 0 է (ինչպես մեր դեպքում), ապա տողերը վերադասավորելով և stovptsіv-ով կարելի է հասնել 11 ¹ 0: Այստեղ մենք հիշում ենք մատրիցայի 1-ին և 2-րդ տողերը.

2). Հիմա 11 է՞ 0. Տարրական փոխակերպումներ Dob'єmosja, shchob shta elementіv առաջին stovptsi doіvnyuvali զրոյական: Մյուս շարքը ունի 21 = 0: Երրորդ շարքը ունի 31 = -4: Սբ (-4) կանգնած 0, երրորդ շարքին ավելացնելով առաջին շարքը, բազմապատկել 2-ով (tobto-ով (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2): Նմանապես, չորրորդ շարքին ավելացրեք առաջին շարքը (բազմապատկումները մեկով, այնուհետև (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1):

3). Նվազեցման մատրիցայում a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, ապա կարող եք նորից դասավորել տողերը): Եկեք համոզվենք, որ մյուս կողմից ներքև գտնվող անկյունագծերը զրո են: 3-րդ և 4-րդ տողերի համար ավելացրեք ևս մեկ տող, բազմապատկեք -3-ով ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

չորս): Կրճատված մատրիցայում մնացած երկու տողերը զրո են, և їх-ը կարելի է թողնել.

Քայլի մատրիցը հանվել է, որը ծալված է երկու շարքով։ Նաև r(A) = 2:

Tse ըմբռնումը, scho zagalnyu є բոլոր հնարավոր գործողությունները, yakі viroblyayutsya մատրիցներով: Մաթեմատիկական մատրիցա - տարրերի աղյուսակ: Նման սեղանի մասին դե մ rowkіv ta n stoptsіv, թվում է, որ մատրիցը կարող է լինել rozmirnіst մվրա n.

Մատրիցայի պայծառ տեսքը.

Համար լուծման մատրիցաանհրաժեշտ է հասկանալ, թե որն է մատրիցը և իմանալ հիմնական պարամետրերը: Մատրիցայի հիմնական տարրերը.

• Գլխի անկյունագիծ, որը կազմված է տարրերից ա 11, ա 22 ..... մի րոպե.
• Կողային անկյունագիծ, որը կազմված է տարրերից a 1n, a 2n-1 …..a m1.

Մատրիցայի հիմնական տեսակները.

• Քառակուսի - այդպիսի մատրիցա, տողերի քանակը = սյունակների քանակը ( m=n).
• Զրո - մատրիցայի բոլոր տարրերը = 0:
• Փոխադրված մատրիցա - մատրիցա ժամը, yak bula otrimana արտաքին մատրիցից Աարահետով, փոխարինեք սյուների վրա գտնվող շարքերը:
• Մենակ - գլխի բոլոր տարրերը անկյունագծով = 1, գիծ = 0:
• Հակադարձ մատրիցը մատրից է, երբ բազմապատկվում է հակադարձ մատրիցով, արդյունքում ստացվում է մեկ մատրից:

Մատրիցը կարող է սիմետրիկ լինել ինչպես գլխի, այնպես էլ կողային անկյունագծերի նկատմամբ: Տոբտո, յակշչո a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1ապա մատրիցը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծով: Ավելի քան քառակուսի մատրիցները կարող են լինել սիմետրիկ:

Rozvyazannya մատրիցների մեթոդներ.

Mayzhe բոլորը մատրիցային փոխակերպման մեթոդպառկել հայտնի її vyznachnik-ում nրդ կարգը և դրանցից ավելին անել ծանր: 2-րդ և 3-րդ կարգի պրիմատին իմանալու համար կան այլ, ավելի ռացիոնալ ուղիներ:

Znakhodzhennya vyznachnikі 2-րդ կարգով:

Մատրիցայի հաշվարկի համար ԲԱՅՑ 2-րդ կարգ, գլխի անկյունագծով տարրեր ստեղծելու համար անհրաժեշտ է լրացուցիչ տարրեր ավելացնել կողային անկյունագծում.

3-րդ կարգի իմացության մեթոդներ.

Ստորև ներկայացված են 3-րդ կարգի իմացության կանոնները.

Trikutnik կանոնը պարզեցվել է, ինչպես մեկը բալի մատրիցային մեթոդներ, կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Այլ կերպ ասած, տարրերի ստացումը առաջին արբիտրից, կարծես դրանք ուղիղ են, վերցվում է «+» նշանով; հենց այդպես, 2-րդ գործավարի համար - ամենակարևոր ստեղծագործությունները վերցված են «-» նշանով, ուստի նման սխեմայի համար.

ժամը մատրիցների լուծում Սարուսի կանոնով, աջակողմյան, ստորագրողի ուղղությամբ ավելացրեք առաջին 2 սյունակները և ստեղծեք ամենակարևոր տարրերը գլխի անկյունագծով, իսկ անկյունագծերի վրա, ինչպես i-րդ զուգահեռը, վերցրեք 3-ը «+» նշանով. բայց ստեղծել կողային անկյունագծերի և շեղանկյունների երկու տարր, ինչպես զուգահեռները, «-» նշանով.

Razkladannya vyznachnik ըստ թվի stovptsyu pіd ժամ vіrіshennya մատրիցներ:

Vyznachnik-ը ավելի լավ գումար է vyznachnik-ի մի շարք տարրերի ստեղծագործությունների հանրահաշվի հավելումների վրա: Զանգահարեք ընտրել այդ շարքը / վառարանները, այնպես, որ զրոյական լինի: Որպես սլաք կնշանակվի տող կամ տող, որի համաձայն իրականացվում է դասավորությունը:

Պրիմատին բերելով տրիկոտային հայացք՝ բալի մատրիցների ժամին:

ժամը լուծման մատրիցաՊրիմատին տրիկոտային տեսքի բերելու օգնությամբ վարժվեք այսպես. երգերի շարքերի վրա ամենապարզ փոխակերպումների օգնությամբ պրիմատը դառնում է տրիկոտի տեսք և նույն իմաստը, ըստ երևույթին, պրիմատի ուժի, դոբուտկու տարրերի: , ինչպես կանգնած է գլխի անկյունագծով:

Լապլասի թեորեմը մատրիցների կատարելության համար.

Տեսնելով Լապլասի թեորեմի հիմքում ընկած մատրիցները՝ անհրաժեշտ է իմանալ հենց թեորեմն առանց միջին հիմքի։ Լապլասի թեորեմ. Արի Δ - tse vyznachnik n-րդ կարգը։ Vibiraemo նոր be-yakі կ rowkiv (abo stovptsiv), մտքի համար կ≤ n - 1. Նման ժամանակն ունի աշխատանքների հանրագումար կրդ կարգը, թե ինչ վրեժխնդիր լինել ընտրյալից կտողեր (stowptsyah), իրենց հանրահաշվական հավելումների վրա vyznachnik.

Virishennya մատրիցա.

Հաջորդականությունը համար շիճուկի մատրիցայի լուծում:

1. Հասկացեք, որ տրված է քառակուսի մատրիցա: Բացասական կարծիքի ժամանակ պարզ է դառնում, որ թքագեղձի մատրիցը չի կարող լինել:
2. Հանրահաշվում լրացումների հաշվարկ.
3. Մենք ստեղծում ենք դաշնակցային (փոխադարձաբար, արի) մատրիցա Գ.
4. Հանրահաշվին լրացումներով հակադարձ մատրիցայի ավելացում՝ տվյալ մատրիցայի բոլոր տարրերը Գ dilimo վրա cob մատրիցով. Ենթագումարի մատրիցը կլինի պատահականորեն սահմանված առանցքային մատրիցա:
5. Մենք ստուգում ենք vikonan ռոբոտը. մենք բազմապատկում ենք փոստային կոդի մատրիցը և մատրիցայի մատրիցը, արդյունքը կարող է լինել մեկ մատրիցա:

Virishennya համակարգերի մատրիցներ.

Համար լուծումներ մատրիցային համակարգերի համարԱմենատարածված մեթոդը Գաուսի մեթոդն է:

Գաուսի մեթոդը հանրահաշվի (SLAE) և vin polygaє գծային հավասարումների համակարգերի ստացման ստանդարտ եղանակն է, որով հաջորդաբար փոփոխությունները միացված են, ուստի լրացուցիչ տարրական փոփոխությունների դեպքում հավասարեցումների համակարգը հասցվում է համարժեքի (հետևում): համարը) իմանալ համակարգի մաշկի տարրը.

Գաուսի մեթոդє մատրիցների լուծման ամենահամընդհանուր և լավագույն գործիքը: Ինչպես համակարգն ունի անանձնական լուծում, կամ համակարգը ոչ ամփոփիչ է, ուրեմն անհնար է խախտել Քրամերի կանոնը և մատրիցային մեթոդը։

Գաուսի փոխանցման մեթոդը նույնպես ուղիղ է (ընդլայնված մատրիցը իջեցնելով աստիճանական տեսքի, այնպես որ զրոները հանվում են գլխի անկյունագծով) և հակադարձ (զրոները հանվում են ընդլայնված մատրիցայի գլխի անկյունագծից վերևում) քայլում։ Ուղղակի վերնագիրը Գաուսի մեթոդն է, հակառակը՝ Գաուս-Հորդանանի մեթոդը: Գաուս-Հորդանանի մեթոդը նման է Գաուսի մեթոդին, բացառությամբ փոփոխությունների հաջորդականության։

Նշանակում 1. Մատրիցա Ա աշխարհինմ nուղղանկյուն աղյուսակը կոչվում է m տողերով և n սյունակներով, որոնք գումարվում են թվերով կամ այլ մաթեմատիկական փոփոխականներով (մատրիցային տարրերի շարքեր), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3: , ..., n.

, կամ

Նշանակում 2. Երկու մատրիցա
і
կոչվում են նույն չափի հավասար, որոնք դասավորված են տարր առ տարր, այսինքն. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Լրացուցիչ մատրիցների համար հեշտ է գրել տնտեսական ավանդների ակտերը, օրինակ՝ ռեսուրսների բաշխման աղյուսակները՝ ըստ տնտեսության գործերի։

Նշանակում 3. Այսպիսով, մատրիցում տողերի թիվը zbіgaєtsya է її stovptsіv-ից, այսպես. m = n, ապա մատրիցը կոչվում է քառակուսի կարգըn, և այլ լույսի ներքո ուղղագիծ.

Նշանակում 4. Անցում A մատրիցից A t մատրիցին, որում տողերն ու սյունակները հիշատակվում են ըստ խնայողության կարգի վայրերի, դրանք կոչվում են. փոխադրումմատրիցներ.

Տես մատրիցան՝ քառակուսի (չափը 33) -
,

ուղղագիծ (չափը 25) -
,

անկյունագծային -
, միայնակ -
, զրո -
,

մատրիցային տող -
, matrix-stowpets -.

Նշանակում 5. Նույն ինդեքսներով n կարգի քառակուսի մատրիցայի տարրերը կոչվում են գլխի անկյունագծի տարրեր, այսինքն. ce տարրեր:
.

Նշանակում 6. N կարգի քառակուսի մատրիցայի տարրերը կոչվում են կողային անկյունագծի տարրեր, քանի որ դրանց ինդեքսները n + 1 են, այսինքն: Տարրեր:

1.2. Գործողություններ մատրիցների վրա.

1 0 . սումոյու երկու մատրիցա
і
նույն չափը կոչվում է С = (з ij) մատրիցը, որի տարրերը հավասար են ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… , n).

Ծալովի մատրիցների գործողության հզորությունը:

Բե-յակայի համար մատրիցներ A,B,Cմեկ rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (փոխադարձություն),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (ասոցիատիվություն):

2 0 . Տվորոմ մատրիցներ
մեկ թվով  կոչվում է մատրիցա
i-ի հետ նույն չափումը A մատրիցն է, ընդ որում՝ b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n):

Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողության հզորությունը:

(А) = ()А (բազմապատկիչ ասոցիատիվություն);

(А+В) = А+В (պատահականորեն ծալվող մատրիցների բազմակի բաշխում);

(+)А = А+А (պատահականորեն ծալվող թվերի բազմապատկման բաշխվածությունը):

Նշանակում 7. Մատրիցների գծային համադրություն
і
նույն չափը կոչվում է A + B, de  և  - բավարար թվեր:

3 0 . Դոբութքոմ Ա  Մատրիցներ A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk կոչվում է մատրիցա 3 expіrum mk, այնպիսին, որ z ij տարրը ստեղծագործական տարրերի գումարն է A ի j-րդ սյունակի i-րդ շարքում: B մատրիցից, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB-ն օգտագործվում է միայն այդ դեպքում, քանի որ A մատրիցի սյունակների թիվը տատանվում է մատրիցայի տողերի քանակից կախված:

Բազմապատկվող մատրիցների գործողության հզորությունը.

(АВ)С = А(ВС) (ասոցիատիվություն);

(А+В)С = АС+ВС (պատահականորեն ծալվող մատրիցների բաշխում);

А(В+С) = АВ+АС (պատահականորեն ծալվող մատրիցների բաշխում);

АВВА (ոչ կոմուտատիվ):

Նշանակում 8. A և B մատրիցները, որոնց համար AB = BA, կոչվում են փոխադրումներ կամ փոխադրումներ:

Քառակուսի մատրիցայի վերարտադրումը, անկախ նրանից, թե ինչ կարգով է տարբեր մեկ մատրիցով, չի փոխում մատրիցը:

Նշանակում 9. Տարրական փոխակերպումներմատրիցները կոչվում են հետևյալ գործողություններ.

Փոխարինելով երկու շարքերը (stovptsiv) առաքելությունների հետ:

Շարքի (stovptsya) մաշկի տարրի վերարտադրումը զրոյի ոչ հավասար թվով:

Հաջորդ շարքի (stowptsya) երկրորդ շարքի տարրերի ավելացում (stowptsya):

Նշանակում 10. Matrix, otrimana մատրիցներից Եվ տարրական փոխակերպումների օգնության համար կոչվում է համարժեք(ստորագրված է BA):

հետույք 1.1.Իմացեք 2A-3B մատրիցների գծային համակցությունը, ինչպես

,
.

,
,

.

հետույք 1.2. Իմացեք doboot մատրիցը
, նման

.

Լուծում. առաջին մատրիցում սյունակների թիվը փոխվում է մեկ այլ մատրիցի տողերի քանակից, այնուհետև օգտագործվում է լրացուցիչ մատրիցը: Արդյունքում մենք վերցնում ենք նոր մատրիցա
, դե

Արդյունքում մենք վերցնում ենք
.

Դասախոսություն 2. Նշանակվողներ. Հաշվարկը vyznachniki մեկ այլ, երրորդ կարգի. Նշանակվողների իշխանությունըn-րդ կարգը։