Zavdannya, mit értesz alátét integrált.

Elfogadható, hogy az elemek funkcióját hozzárendeljük és írd le az összeget

ahogy integrálnak nevezik.

K: Az sing integrál alatt (o.i.) függvényként és választásként

Kijelölés:

A számokat integráltnak nevezzük (Rіman szerint).

T. іsnuvannya: Az elmédnek, sho.

Vіdpovіdno o.i kinevezéséig. lényeges, hogy az integrál lerakható formában

Vіdpovіdno cl.17.1.1 és 17.1.2 és o. felírjuk a görbe vonalú trapéz területének képleteit: , robotikus erők

a:

A részintegrálok, integrálösszegek megértése.

Az aládrót integrál alapja, hogy az adott interintegrál összege nyilvánvaló, mivel a határ egy hengeres test térfogatát adja meg. Azonban tse mirkuvannya nem є suvorim. Magasabb keményedési fokozatokban a szubvertikális integrál alapján szükséges a tétel felhozatala és meghívása.

Tétel іsnuvannya. Legyen szó akár egy függvényről, megszakítás nélkül egy zárt területen, ahol meg tudom mérni a-t, van egy részintegrál, így van egy interintegrál összeg, amely korlátlanul növeli az elme számára a kis maidanchik számát, hogy a bőr róluk folttá húzódik. A Tsya határ nem a régió feldarabolásának módjában helyezhető el, hanem részben, nem a pontok kiválasztásában.

Nadalі mi vzglyaditimemo nem működik, megszakítás nélkül az integráció területén.

Az alapozási tételből például feloszthatjuk a régiót kis téglalapokra, amelyeknek egyenes oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (230. ábra). Amikor tsimu. Vibirayuchi potim a bőrnél kis végbél pontok szerint írhatunk, zgіdno z elnevezések a szubvertikális integrál

Annak alátámasztására, hogy a mögöttes integrál megszerezhető, mivel az elme összege között a vikorista jel neve egyben a

Viraz egy négyzet elemét derékszögű koordinátákban és egy további négyzetet egy téglalapnak, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Fontos, hogy a beépített táska összehajtásakor az interrégióhoz csatlakozó maidanok ne alkossanak téglalapokat. El lehet azonban hozni, hogy az ilyen maidanchik négyzetek közötti négyzetekkel való helyettesítésének elnézését nullára csökkentik.

Az alárendelt integrálok ereje

A részintegrál (az a yogo visnovok) dominanciája analóg az egyszeri énekintegrál dominanciájával.

1°. Adalékosság. Mi a funkciója f(x, y) integrálva a régióba Dés mint terület D segítség görbe G a nulla terület két láncszemre van osztva, és nem tompítja a régió magas belső pontjait D 1 ta D 2 , majd a függvény f(x, y) a bőrfelületekbe integrálva D 1 ta D 2 ráadásul

2°. Lineáris teljesítmény . Milyen funkciókat f(x, y) azt g(x, y) integrációja a térségben D, a α і β - legyen szó beszédszámokról, akkor a függvény [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] is integrált a régióba D, ráadásul

3°. Milyen funkciókat f(x, y) azt g(x, y) integrációja a térségben D, akkor e funkciók további funkciói beépülnek D.

4°. Milyen funkciókat f(x, y) azt g(x, y) offenzív integráció a régióban Dés mindenhol a galériámban f(x, y) ≤ g(x, y), akkor

5°. Mi a funkciója f(x, y) integrálva a régióba D, azok a funkció | f(x, y)| integrált a régióba D, ráadásul

(Természetesen integrációval | f(x, y)| ban ben D nem mutat integrációt f(x, y) ban ben D.)

6°. Az átlagérték tétel. Milyen sértő funkció f(x, y) azt g(x, y) integrációja a térségben D, funkció g(x, y) ebben a galériában mindenhol láthatatlan (nem pozitív), Mі m- a függvény pontos felső és alsó határa f(x, y) a régióban D, akkor van egy szám μ ami kielégíti az idegességet m ≤ μ ≤ Més hogy a képlet érvényes legyen

Zocrema, mint funkció f(x, y) megszakítás nélkül működik D, és a terület D zv'yazkova, akkor ebben a galériában van egy ilyen pont ( ξ , η ), mit μ = f(ξ , η ), és a (11) képlet így néz ki

MOZGÓ INTEGRÁLOK

előadás 1

Tartós integrálok.Az áram alatti integrál célja a hatalom. Ismételt integrációk. Alsó integrálok hivatkozásai ismétlődőkre. Elhelyezés az integráció között. A derékszögű koordinátarendszer mögöttes integráljainak számítása.

A részintegrál a sing integrál megértésének elmélyítése két változó különböző funkcióiban. Ily módon az integráció fordítottja lapos alakként lesz jelen.

Na gyere D- Dejaka zárt, határos terület, ill f(x,y) - elegendő funkció, ezt a galéria jelölte ki. Tegyük fel, hogy a régiók között Dösszeadják az utolsó számú görbét, társaitól kapott feladatokész y=f(x) vagy x=g( y), de f(x) azt g(y) megszakítás nélküli funkciók.

Rozib'ёmo régió D tisztességes beosztásban n rész. terület én A -ї delyanki jelentése a D szimbólummal történik s i. A bőrön dilyantsi, elég vibrálás egy pont pi,és engedd ki be-yak_y-ban, rögzítve a derékszögű rendszer maє koordinátáit ( x i, y i). Sklademo integrál összeg a funkcióhoz f(x,y) régiónként D, amelyre a függvény értéke minden pontban ismert Pi, їх-t megszorozva a kettős parcellák területével Ds énÉs feltételezzük, hogy az összes eredményt elveszik:

Nazvemo átm(G) területeken G a régió határpontjai közötti legnagyobb távolság.

Integrál függvények f(x,y) a D területen határnak nevezzük, mennyiben az integrálösszegek sorozatát (1.1) a szünetek számának korlátlan növekedésével n (akinél). Írd le így

Érdemes megjegyezni, hogy láthatóan egy adott funkció és egy adott integrációs terület integrálösszege a terület bővítésének útjába esik. D ta kiválasztani a pontot Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse azt jelenti, hogy a vіdpovіdny іntegrаlny összegek között nem lehet a kijelölt chinnikіv között feküdni. Rendben(vagy ahogy látszik, általános funkció f(x,y) a D tartományba van integrálva, elegendő, ha a bool integrál függvénye megszakítatlan a feladatgaléria integrációjában.

Hajrá funkció f(x,y) integrálva a régióba D. Az ilyen funkciók kumulatív összegei közötti szilánkok nem halmozhatók fel az integrációs terület felosztásával, a felosztás elvégezhető függőleges és vízszintes vonalak segítségével. Todі több üzletember a régióban D matime egyenes vágású, egy ilyen dorivnyu területe D s i=D x i D y i. Ezért a területi különbséget így írhatjuk fel ds=dxdy. Otzhe, a derékszögű koordinátarendszerben az integrálok alatt a látványnál leírhatod

Tisztelet. Mint az f integrand függvény(x,y)º1, akkor az integrációs régió területének alulintegrálja:

Lényeges, hogy az aláhúzott integrációk lehetnek azonos erejűek és külön-külön is integráltak. A tetteik jelentősek.

Az alárendelt integrálok hatalma.

1 0 .Lineáris teljesítmény. Az integrálok másik összege függvényösszegének integrálja:

és a konstans szorzó tehető az integrál előjeléért:

2 0 .Additív erő. Mivel a D integráció területe két részre oszlik, így a szubintegrál teljesebb, mint a bőrrész integrációinak összege:

3 0 .Az átlagtétel. Mi a funkciója f( x,y)folytonos a D régióban, akkor van egy ilyen pont a galériában(x, h) , mit:

További táplálkozás utáni: hogyan számítják ki a részintegrálokat? A jógó megközelítőleg virahuvati lehet, ezzel a módszerrel megtörik hatékony módszerek kumulatív összegek hajtogatott összegei, amelyeket aztán további EOM-vel számszerűen kiszámítanak. A részintegrálok analitikus számításával két sing-integrálra redukálódnak.

Függesztett integrálok teáskannákhoz

Ez a lecke bemutatja a több integrál nagyszerű témáját, amelyből a hallgatók egy másik kurzust szólaltatnak meg. Mozgassa azt hármas integrálokkal akkor zalyakate a kárpitos nem feljebb, lejjebb differenciál egyenlő arra a vіdrazura, vessünk egy pillantást az ételre: na, mi az? Zvichayno, deakim koherens lesz, és őszintén szólva, egy kicsit rágalmaztam a névadási statisztikákkal - ahhoz, hogy megtanulják, hogyan kell virishuvati podvіynі іntegrali, anya deyakі kezdő kell. Először is, ha az integrációról beszél, akkor nyilvánvalóan integrálnia kell. Logika. Otzhe, az alkalmazások fejlesztéséhez tudnia kell jelentéktelen integrálok hogy számít lineáris integrálok hot bi a középső szinten. Jó újdonság az a tény, hogy hatalmas erőkkel integrálták a nagyobb vipadkiv-t, hogy ezt egyszerűen elvégezzék.

Kinek lesz nehéz? a jobb oldalon értettem. Tim, aki sok sört ivott az első félévben. A normál hallgatók azonban túlterheltek - az oldalon minden hiánypótló vagy érthetetlen anyag megtalálható. Csak véletlenül több mint egy órát töltesz. Possilannya azokon, yakі csúszott vyvchiti vagy ismételje meg, dodavatimutsya pіd óra statti.

A bevezető órán lépésről lépésre a következő alapvető momentumokat tárgyaljuk meg:

– Az aluláram integrál megértése

– Integrációs terület. Az integrációs régió megkerülésének sorrendje. Hogyan lehet megváltoztatni az áthidalás sorrendjét?

Ezek után, ahogy egész Ázsiát JÓL érted, mehetsz a cikkre Hogyan számítsuk ki az alulbecsült integrált? Alkalmazza az oldatot. Ezen kívül van egy szélesebb körű feladat is a futó integrál számítása polárkoordinátában hogy tipikus kiegészítés kb lapos körülírt alak súlypontjának jelentősége.

Kezdjük a szemtelen ételekkel – mi az?

Az aluláram integrál megértése

A tudatlan személy részváltozó integrálja a következőképpen írható:

Vessünk egy pillantást a kifejezésekre és definíciókra:
- A függőleges integrál ikonja;
- Integrációs terület (lapos alak);
- Két változó integrálfüggvénye, gyakran egyszerű;
- Differenciál jelvények.

Mit jelent az alulbecsült integrál kiszámítása?

Számítsa ki a mögöttes integrált - tse átlagot ismerem KILO-t. A legegyszerűbb szám:

І vkray bazhano know yogo helyesen =)

Az eredmény (szám) negatív is lehet. A nullát pedig könnyen be lehet írni. Speciálisan zupinivsya egy adott pillanatban, oskolki chimalo diákok nyugtalanok voltak, ha kijön "valami más csodálatos."

Bagato, aki emlékszik erre a "nagyszerű" érték integrál- Tezh szám. Itt már csak ilyen. Az underwire integrál іsnuє i vidminny geometrikus zmist, Ale a tse pіznіshe, usumu svіy óra.

Hogyan számítsuk ki az alulbecsült integrált?

Az alapul szolgáló integrál kiszámításához a következőkre van szükség megismételjük az integrálokat. Zrobiti tse lehetséges két út. Az offenzív módszer legnagyobb kiterjesztése:

Helyettes élelmiszerellátás szükséges az integráció között kialakítani. Ráadásul a külső integrál táplálkozási jelei egyedül vannak - tse számok, és a belső integrál táplálkozási jeleinek alvezetékei olyanok funkciókat odnієї zminnoї , scho "iks" formában történő letétbe helyezéshez.

Vegyük a csillagokat az integráció között? A bűz egy v_d tsgogoban feküdni, mint az adott terület fejének elméje. A terület egy pompás lapos figura, amellyel többször is összeragadt, például amikor lapos figurák számozott területei vagy a testtekercselés térfogatának kiszámítása. Nezabar tudja, hogyan kell helyesen elhelyezni az integráció határait.

Ezt követően, amikor az ismétlődő integrálokra való áttérés eldől, a következő számítást végezzük közvetítés nélkül: először a belső integrált, majd a külsőt vesszük. Egyik a másik után. Zvіdsi név - iteratív integrálok.

Nagyjából úgy tűnik, két énekintegrál kiszámításáig kell elszámolni a feladatot. Mennyire nem minden olyan koherens és félelmetes, és hogyan futott bele az „egyes” énekintegrálba, mit kell elválasztani két integráltól?!

Az iterált integrálokra való átlépés másik módja egyszerűbb:

Mi változott? Az integráció sorrendje megváltozott: most a belső integrált az "ix"-nek, a külsőt pedig az "iplayer"-nek veszik. Az integráció között, csillagokkal jelölve - másnak lenni! Egyenként a külső integrál csillagai - tse számok, és a belső integrál mögöttes csillagok esztergálási funkciók, scho "igrok" formában hazudni.

Melyik bi mi nem választotta az ismételt integrációkra való áttérés módját, maradék hangja obov'yazkovo viide, hogy magát:

Kérem, ne feledje a hatalom fontosságát, mivel lehetséges vikoristovuvati, zokrema, a megoldás újbóli ellenőrzésére.

Algoritmus a részintegrál megoldására:

Rendszerezzük az információkat: milyen sorrendben nézze a feladatot?

1) A széket viszkonizálni kell. Fotel nélkül a feladat nem törni. Pontosabban, nem nyersz, de hasonló lesz a csekkben való játékhoz. A karosszéken ábrázolja a területet lapos alakként. A figura legtöbbször egyszerű, és vonalak, parabolák, hiperbolák stb. Hozzáértő, hogy shvidku tekhnіku pobudovі koslene elsajátítható a leckéken Az elemi függvények grafikonjai és alaphatványai, a grafika geometriai átalakítása. Otzhe, az első szakasz a karosszék vikonati.

2) Állítsa be az integrációk között, és folytassa az ismételt integrációkat.

3) Vegyük a belső integrált

4) Vegyük az aktuális integrált, és vonjuk ki a különbséget (számot).

Az integráció területe. Az integrációs régió megkerülésének sorrendje.
Hogyan lehet megváltoztatni az áthidalás sorrendjét?

Ebben a bekezdésben láthatjuk a legfontosabb táplálékot - hogyan lehet ismételt integrációkat végezni és helyesen elhelyezni az integrációk között. Ahogy már több szó esett, ezt így teheti meg:

Ez tetszik:

A gyakorlatban a legkínosabb feladatok elsajátítása okozza a legtöbb nehézséget, a tanulók gyakran eltévednek a beilleszkedés folyamatában. Nézzünk egy konkrét példát:

fenék 1

Megoldás: Vizualizáljuk az integrációs területet a karosszéken:

Zvichayna lapos alak és semmi különös.

Most látok neked egy bőrápoló eszközt – egy ásóbotot, egy lézermutatót. A feladat az árnyékolt terület bőrpontjának szkennelése:

Elősegíti a lézert, hogy áthaladjon az integrációs területen szigorúan lefelé, akkor be kell fejeznie a megrendelését Alsó lapos figurák. Promin, hogy belépjen a régióba a teljes abszcisszán keresztül, ahogy az egyenlők kérik, és egy parabolán (piros nyíl) keresztül lépjen ki a régióból. Az egész régió felvilágosításához szüksége van élesen dühös jobbra rajzoljon egy vkazіvka vzdovzh osі vіd 0-tól 1-ig (zöld nyíl).

Otzhe, mi történt:
"Іgrek" 0-ról ;
Az "ix" 0-ról 1-re változik.

A feladatoknál a fentieket inkonzisztencia esetén írjuk le:

Nevezze meg az inkonzisztencia adatait! megkerülve az integráció galériáját vagy csak integráció rendje

Miután rendeztük a bypass sorrendet, áttérhetünk az aluláram-integrálról az iterált integrálokra:

A feladat fele elkészült. Most más módon kell átmenni az iterált integrálokra. Kinek kell ismernie a kulcsfontosságú funkciókat. Aki ismeri a lecke másik bekezdését Volumen testpakolásígy könnyebb lesz. A területet meghatározó függvények megtekintése . Még egyszerűbb, akkor menjen a return függvényekhez, ami azt jelenti, hogy "iksi"-t mond az "igreeks"-en keresztül. Egyfunkciós, de є én "iks" és "iplayer", є.

Yakscho, akkor ráadásul:
a megfordítási függvény beállítja a parabola jobb oldalát;
A megfordítási függvény beállítja a parabola bal sarkát.

Nem ritka, hogy a sumniv-et, a tengelyt hibáztatják például a parabola bal vagy jobb oldalának jelzési funkcióját? A különbségek összegzése még egyszerűbb: vegyünk például egy parabolapontot (a jobb tűről), és állítsuk be a koordinátákat egy egyenesbe, például ugyanabban az egyenesben:

A helyes egyenlőség megszűnik, ezentúl a függvény a parabola jobb kezéhez van hozzárendelve, de a balhoz nem.

Több annàl tsyu visszhang(gondolatok feketében) töltse az estét ezt követően, ahogy átment a return függvényekre. Egy órára semmit sem kérek kölcsön, de a parton elénekelek egy bocsánatot!

Az integráció régióját más módon is megkerüljük:

Most levághatjuk a lézermutatót levoruch galéria integráció megtekintése. Promin lézeráteresztő terület élesen dühös jobbra. Nál nél ehhez a bizonyos típushoz v a parabolikus tűn keresztül lépjen be a tartományba, és egy egyenes vonalon keresztül lépjen ki a régióból, ahogy azt az egyenlők beállítják (piros nyíl). A teljes terület lézerrel történő beolvasásához egy vzdovzh tengelyt kell végrehajtani szigorúan lefeléírjon be 0-tól 1-ig (zöld nyíl).

Ebben az értelemben:
"iks" legfeljebb 1-re változik;
Az "Іgrek" 0-ról 1-re változik.

A szabálytalanságként rögzítendő terület megkerülésének eljárása:

Ezután az ismételt integrációkra való áttérés a következő:

Vidpovidígy írható:

Megint azt sejtem, hogy a régiók kikerülési sorrendjétől függően nem lehet a maradék eredményt kiszámolni (erre megállapították a jogosultságot). A végeredménytől azonban még messze van, most már nem az interintegráció megfelelő elhelyezése a feladatunk.

fenék 2

Dánia részintegrálja az integrációs régióval. Lépjen az ismételt integrációkra, és kétféleképpen bővítse az integrációkat.

Ez egy példa egy független megoldásra. Hozzáértően ébressze fel a széket egyenes vonalat kell tenni a kerülő úton(csillagok és hol lehet ragyogni lézermutatóval). Zrazok finom design, mint egy lecke.

A legtöbb tipikus feladatok A trochok egy másik képlet szerint zsugorodnak össze:

fenék 3

Indukálja az integrációs területet

Megoldás: Az elme számára megadatott az első mód a régió megkerülésére. A döntések újra a székből indulnak. Itt a régió nem fekszik egy ezüst tányéron egy blaky oblyamіvkoy, hanem arra ösztönzi Önt, hogy ne hozzon létre különleges nehézségeket. A kézfejen a "knіmaєmo" funkciók az interintegrációból: , . A függvény tetszőlegesen egyenest állít be, de mit állít be a függvény? Változtassuk meg a troch-t:
- a középpont közelében a 2-es sugarú koordináták csutkáján. A w függvény beállítja a felső vonalat (ne feledje, ha összegzi, akkor mindig beállíthat egy pontot, amely a felső vagy az alsó vonalon fekszik).

Csodálkozunk a külső integrál között: "ix" -2-ről 0-ra változik.

Vikonaemo fotelek:

Hogy pontosak legyünk, nyilakkal jeleztem a régió megkerülésének első módját, ami viszont az elme iteratív integráljait jelzi: .

Most meg kell változtatni a régió megkerülésének sorrendjét, amihez áttérünk az eszterga funkciókra (azaz „iksi” a „іgreki”-n keresztül):

Nemrég átrendeztük a funkciót a tét szintjére, mondjuk „iks”-re:
Ennek eredményeként két kulcsfontosságú funkcióra van szükség:
- A megfelelő pivkolo aláírása;
- Jelentős leva pіvkolo.
Ugyanezt tudom, mintha sumnivet hibáztatnám, vegyél egy tétet, és mondd, de balra és de jobbra.

Módosítsa a terület megkerülésének sorrendjét:

Zgidno másképp, lézeres promin belép a régióba levoruch az oroszlánon keresztül pivkolo i menj jobbkezesen egyenes vonalon keresztül (piros nyíl). Ugyanabban az órában lézeres behelyezés az ordináta tengelyén kell végrehajtani fárasztóírjon be 0-tól 2-ig (zöld nyíl).

Ebben a sorrendben a terület megkerülésének sorrendje:

Zagal írható célzás:

fenék 4

Ez egy példa egy független megoldásra. A csikk már nem összehajtható, de tartsa tiszteletben, hogy a maroknyi feladat megkerülésének eljárása másképp történik! Miért kell ilyen vipadkában dolgozni? Először is, a székek nehézségeit hibáztatva, a székszilánkok miatt hirtelen magamba sugallják a vérzéses funkció ütemezését. A következő sorrendben ajánlom a dіy-t: először is vegyük az „elsődleges” funkciót (az „iks”-ig „gravets”-t mondunk). Adunk egy ütemtervet az „extrém” funkcióhoz (mindig engedheti magát, ha krapkovo-zni szeretne). Hasonlóképpen használhatunk egy nagyobb, egyszerű lineáris függvényt: „sírhatunk” és vezethetünk egyenest.

Elemezzük az interintegrációs hézagokat: i-en keresztül belépünk a középső régióba, és -on keresztül kilépünk. Ha mindent jól csinálsz, akkor léphetsz a „görög” simaságra -1-től 0-ig. Mivel a széken kijelöltél egy integrációs területet, változtasd meg a speciális nehézségek raktárában való bejárás sorrendjét. Zrazok megoldást tervezett egy leckére.

Egy hasonló csikk később kicsit többet rendezek.

Navіt yakscho mindent jól értesz, légy kedves, ne siess, menj egyenesen a futó integrál számításáig. Gazdag a kitérő sorrendje, és fontos, hogy néhány fejet kézbe vegyél, inkább még nem néztem meg mindent!

Az elülső chotyroh fenékben az integrációs terület egészében volt látható az 1., 2., 3. és 4. koordinátanegyedben. Miért várna így? Nem, nyilván.

fenék 5

Módosítsa az integráció sorrendjét

Megoldás: Olyan, mint egy szék, amivel a függvény grafikonja tulajdonképpen egy köbös parabola, csak nem "fekszik oldalra":

A régió megkerülésének sorrendje, amely az iterált integrálokat utasítja , nyilakkal jelölve. Tisztelendő, hogy a szék vikonnannyéja során még egy körvonalazott alakot festettek (levoruch az ordináták tengelyében). Ezért tiszteletben kell tartanunk a régió integrációját – a régióért elnézést a rossz számért.

Térjünk át a return függvényekre:
- szükségünk van egy parabola megfelelő fejére;

Változtassuk meg a régió megkerülésének sorrendjét. Mint emlékszik, a terület megkerülésének másik módja esetén a területet jobb oldali lézerkapcsolóval kell pásztázni. Ale itt poszterіgaєtsya cіkava rіch:

Hogyan lehet javítani hasonló helyzetekben? Ilyen esetekben ossza fel az integrációs területet két részre, és a bőr részhez adja össze az ismételt integrációt:

1) Ha a "gravitáció" -1-ről 0-ra változik (zöld nyíl), akkor kérjük, lépjen be a régióba egy köbös parabolán keresztül, és lépjen ki egy egyenes vonalon (piros nyíl). Ezért a terület megkerülésének sorrendje a következő lesz:

2) Ha a „gravitáció” 0-ról 1-re változik (barna nyíl), azonnal lépjen be a területre a parabolikus tűn keresztül, és lépjen ki azon a nagyon egyenes vonalon (bíbor nyíl). Ezután a terület megkerülésének sorrendje a következő lesz:

Ismételtem integrálókat:

Az éneklésnek és a többszörös integrálnak van egy bizonyos ereje additívitás hogy össze lehessen hajtani, ami adott módon és mellette nő:
- És a tengely és a régióban való séta másképp, két integrál összegét nézve.

Vidpovidírj így:

Melyik kijátszási sorrend a legkézenfekvőbb? Zvichayno az egyik, amely betűt adott a fejében egy feladat - akkor számítani kétszer kevesebb!

fenék 6

Módosítsa az integráció sorrendjét

Ez egy példa egy független megoldásra. Az újnál van egy pivkol, melynek elemzését állítólag a 3. függelékben tekintettük át. A megoldás tanulságszerűen készült.

És azonnal, obіtsyane zavdannya, ha a feladatok listája egy másik módja a régió megkerülésének:

fenék 7

Módosítsa az integráció sorrendjét

Megoldás: Ha a feladatok megkerülésének eljárása más módon történik, az ébresztőszék előtt, akkor a „felsőbbrendű” funkciókhoz kell menni. Akinél a fenék, két beteg van az átalakulásra: i.
A lineáris függvény segítségével minden egyszerű:

A függvény grafikonja egy parabola, amely kanonikusságra hivatkozik.

Virazimo "iplayer" - "ix":

A parabolából két tűt veszünk: i. Yaku tőlük vibrati? A legegyszerűbb, ha meglátjuk a fotel vikonátját. Ha elfelejtette az analitikai geometria anyagát egy paraboláról, akkor csak egy sértés érheti krapkovót:

Még egyszer tisztelettel adózom, hogy ezen a fotelen lapos figurák voltak szórva, és fontos a figura kiválasztása! A tréfálkozó figurák kiválasztásánál segítenek a többi integrál integrálása között:
, ekkor ne felejtse el, hogy mit állít be a megfordítási függvény összes parabola.

Az ábrák kitérését jelző nyilak pontosan jelzik az integrációk integrációjának határait .

Dosit shvidko megtanulja, hogyan végezzen el egy ilyen elemzést a fejében, és tudja, hogy szükség van az integráció területére.

Ha az ábra megtalálható, a megoldás utolsó része még egyszerűbb, megváltoztatjuk a terület megkerülésének sorrendjét:

A visszatérési függvények már ismertek, és a terület megkerüléséhez szükséges eljárás:

Javaslat:

Az utolsó példa egy bekezdés önálló fejlesztésre:

fenék 8

Módosítsa az integráció sorrendjét

Külsőleg az a megoldás, hogy hasonló a leckéhez.

Kezdjük azzal, hogy nézzük meg a részváltozó integrál kiszámításának folyamatát, és ismerjük meg geometriai összetettséggel.

A részintegrál numerikusan felülmúlja egy lapos figura területét (integrációs régiók). Az alulintegrál legegyszerűbb alakja, ha két változtatható függvénye: .

Megnézhetjük a fej hátsó részét a hírhedt tekinteten. Ugyanakkor mozogsz, minden nagyon egyszerű! Számítsa ki a lapos alakok területét, vonalakkal körülvéve. Az énekléshez fontos, hogy legyen vіdrіzku. Az ábrák területei numerikusan fejlettebbek:

A fotelen ábrázoljuk a területet:

Válassza ki a terület megkerülésének első módját:

Ebben az értelemben:

Egykor fontos technikai trükk: ismételt integrálok beírhatók. Először is a belső integrál, majd a külső integrál. Erősen ajánlom a dán módot ezekhez a teáskannákhoz.

1) Számítsa ki a belső integrált, amellyel a "gravet" változáshoz az integrációt végrehajtjuk:

Nem szignifikáns integrál itt van a legegyszerűbb és messzebbre győztes Newton-Leibnitz banális képlete, ugyanazzal a különbséggel, Az integrációk között nem számok, hanem függvények állnak. A fej hátsó része került az "igrok" (eredeti funkció) felső határába, majd az alsó határba

2) Az első pontból kivont eredményt hozzá kell adni az aktuális integrálhoz:

A teljes megoldás nagyobb, kompakt felvétele így néz ki:

Otriman formula - ez pontosan egy működő képlet egy lapos figura területének kiszámításához az "extrém" énekintegrál segítségével! Csodáld meg a leckét Terület számítása az énekintegrál segítségével, Ott van a bőrön croci!

Tobto, a terület kiszámításának feladata a huzalintegrál segítségével kevés embert érdekel az énekintegrál segítségére! Sőt, ez ugyanaz!

Nyilvánvaló, hogy nem okolható semmilyen nehézségért! Megnézem a kis csikkeket, szilánkjait, sőt, nem egyszer összeragadt ezekkel a feladatokkal.

fenék 9

Az alátét-integrál segítségével számítsa ki a lapos figura területét, vonalakkal körülvéve,

Megoldás: A fotelen ábrázoljuk a területet:

Az ábra területét a képlet szubvertikális integrálja segítségével számítjuk ki:

Válassza ki a következő sorrendet a terület megkerüléséhez:

Itt és a továbbiakban nem foglalkozom azzal, hogyan nézzek körül a régióban, az első bekezdésben szereplő szilánkok még világosabban előkerültek.

Ebben az értelemben:

Ahogy már jeleztem, a polgárok könnyebben tudják gyorsabban kiszámolni az ismétlődő integrálokat, amit kiegészítek a módszerrel:

1) A Newton-Leibniz formulák háta mögötti sort a belső integrállal elemezzük:

2) Az eredmény az első krokodilból kivonva a meglévő integrált helyettesíti:

2. pont - valójában a lapos pozíció területének visszaverése az énekintegrál segítségével.

Javaslat:

A tengely olyan rossz, és naїvne zavdannya.

Cicavi csikk független cseresznyéhez:

fenék 10

Az alátét-integrál segítségével számítsa ki a lapos figura területét, vonalakkal körülvéve,

Bepillantás a lecke végső tervezési megoldásába.

A Prikladakh 9-10-ben lényegesen fontosabb, hogy megnyerjük az első utat a régió megkerülésére, többet igyunk, olvassunk, beszéd előtt módosíthatjuk az elkerülés sorrendjét és más módon számíthatjuk ki a területet. Ha nem bocsátasz meg, akkor természetesen meglátod a saját jelentős területedet.

1.1 A függőleges integrál meghatározása

1.2 A részintegrál dominanciája

A részintegrál (az a yogo visnovok) dominanciája analóg az egyszeri énekintegrál dominanciájával.

1°. Adalékosság. Ha az f(x, y) függvény integrálva van a D tartományba, és ha a D tartomány a Г kiegészítő görbén túl a nulla terület két linkre oszlik, és nem lehetnek közös belső pontjai a D 1 és D 2 tartománynak, akkor a Az f(x, y) függvény ráadásul a D 1 és D 2 területek bőrébe integrálva van

2°. Lineáris teljesítmény. Hogyan integrálhatók az f(x, y) és g(x, y) függvények a D térben, mi? én? - legyen szó beszédszámokról, akkor a [? f (x, y) + ? g (x, y)] is beépül a D tartományba, ráadásul

3°. Mivel az f(x, y) és g(x, y) függvények integrálhatók a D tartományban, ezért ezen függvények további függvényei integrálhatók D tartományba.

4°. Hogyan integrálhatók az f(x, y) és g(x, y) függvények a D tartományba, és keresztezhetők f(x, y)? g(x, y), akkor

5°. Mivel az f(x, y) függvényt a D tartomány integrálja, ezért az |f(x, y)| integrált a D régióba, sőt

(Nyilvánvalóan az | f (x, y) | D integrálása nem mutatja f (x, y) integrációját D-ben.)

6°. Az átlagérték tétel. Bár az f(x, y) és g(x, y) offenzív függvények integrálva vannak a D tartományban, a g(x, y) függvény mindenhol ebben a régióban láthatatlan (nem pozitív), M és m a pontos f( x, y) függvény felső és alsó korlátja a D tartományban, akkor van egy szám, amely kielégíti m? ? ? M i hogy a képlet érvényes legyen

Sokrema, mivel az f(x, y) függvény folytonos D, és a D tartomány összefügg, akkor ebben a tartományban van egy ilyen pont (?, ?), Mi? = f(?, ?), és a képlet így néz ki

7°. Fontos geometriai erő. lakóterület D

Adjuk meg a T testet (2.1. ábra) a D terület alatti térnek a fenevadnak - egy megszakítás nélküli és láthatatlan függvény grafikonja) z \u003d f (x, y,) ahogyan a térhez van rendelve D, oldalról - hengeres felület, közvetlen є a D terület között, és párhuzamosak az Óz tengellyel. Az ilyen típusú testet hengeres testnek nevezzük.

1.3 A függőleges integrál geometriai értelmezése

1.4 A téglalap függőleges integráljának megértése

Legyen az R = téglalaphoz mindenhol elegendő f(x, y) függvény rendelve? (oszt. 1. ábra).

Rozmaring szegmens a? x? b n részszakasszal az a = x 0 segédponton túl< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbettya az egyenes vonalak segítségéért, párhuzamos tengelyek Ox і Oy az R téglalapot n · p részleges téglalapokra bontja R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Az R téglalap felosztásával jelölve, a T szimbólum jelentőséggel bír. A "téglalap" kifejezés alatt felosztást adtunk, hogy megértsük azt a téglalapot, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

A skin chastkovy Rkl téglalapon egy teljes pontot választunk (?k,?l). Ha ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, akkor az R kl téglalap területének ?R kl-jén keresztül szignifikáns. Nyilvánvaló, hogy ?R kl = ?x k ?y l .

Az f(x, y) függvény integrálösszegének nevezzük, amely egy R téglalap adott T eloszlását és egy T eloszlás részleges téglalapjain adott köztes pontok (? k, l) megválasztását adja.

Az átlót az R kl téglalap átmérőjének nevezzük. Egy szimbólum? Az összes elterjedt rectometszet átmérője közül a legnagyobb az R kl .

Az I számot az (1) integrálösszegek határának nevezzük? > 0, hogyan lehet bármilyen pozitív szám? mondhatsz így dátum?, Miben?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Én |< ?.

Az f(x, y) függvényt integráltnak nevezzük (Riemann szerint) az R téglalapon, mert az at? függvény I integrál összegei között van egy végső határ? >0.

A kijelölt I határt az R téglalap az f(x, y) függvény részintegráljának nevezi, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük:

Tisztelet. Tehát csakúgy, mint az egyszeri énekes integrálnál, az f(x, y) függvény integrálva van az R téglalapon, és ezen a téglalapon van körülírva.

Ez lehetőséget ad arra, hogy távolabbra nézzünk az f(x, y) függvények határától.

Az alulintegrálnak van olyan ereje, mint az énekintegrálé. Lényegesen kevesebb, mint a főbbeknél:

1. Mik a funkciók
integráció a régióban
, akkor a beléjük való integráció a mennyiség és a különbség, ráadásul

2. A konstans szorzót a részváltozó integrál előjele okolhatja:

3. Yakscho
integrált a régióba
, és ez a terület két olyan területre oszlik, amelyek nem fedik át egymást і
, akkor

.

4. Yakscho
і
integráció a régióban
, yakіy nyelven

, akkor

.

5. Mi van a környéken
funkció
elégedett a következetlenségekkel


de
і
 cselekmények dіysnі számok, akkor

,

de – a régió területe
.

Ezeknek a hatványoknak a bizonyítása analóg az egyszerű integrál második tételének bizonyításával.

A függőleges integrál számítása derékszögű derékszögű koordinátákban

Legyen szükséges a mögöttes integrál kiszámítása
, de terület - Téglalap alakú, amelyet szabálytalanságok jellemeznek ,.

Tegyük fel, hogy
megszakítás nélküli ugyanabban a téglalapban és az új ismeretlen értékben duzzad, még akkor is, ha a test térfogatának integrálja az alappal , rojtos a tetején a fenevaddal
, oldalról - lapos
,
,
,
:

.

A másik oldalról a sing integrál segítségével kiszámítható egy ilyen szám:

,

de
- az a terület, ahol ezt a testet egy ponton átmenő síkkal keresztezzük és merőleges a tengelyre
. Görbe trapézzel keresztezett elemzésszilánkok
, körülvéve a fenevad függvénygrafikonnal
, de rögzített, és , akkor

.

Z tsikh triokh egyenlőségek vyplivaє, scho

.

A továbbiakban az alapintegrál számítása a két sing integrál számítása volt; a "belső integrál" kiszámításakor (ívekkel írva) változhatatlannak lenni.

Tisztelet. Meg tudnád magyarázni, hogy a képlet többi része helyes mikor
, valamint egy pillantással, ha a funkció
változtassa meg a jelzett téglalap előjelét.

A képlet részének jogait iterált integrálnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

.

Az elhangzottak felett nyafogsz

.

A megmaradó egyenlőség azt jelenti, hogy az integráció eredménye az integráció sorrendjében essen.

A legmélyebb lejtő megtekintéséhez mutassuk be a standard terület megértését. A tengelynek közvetlenül adott szabványos (vagy helyes) területet olyan területnek nevezzük, amelyhez egyenesnek, a tengely középpontjával párhuzamosnak kell lennie, a terület közé nem több, két ponton alacsonyabbnak kell lennie. Egyébként úgy tűnik, magát a régiót felborítva, hogy a kordon csak egy szellő egyenes.

Elfogadható, hogy a régió körül van véve

amelyet a fenevad egy függvénygrafikonnal vesz körül
, alul - a függvény grafikonja
. Gyerünk R ( ,) - minimális téglalap, amelyben a régiót elhelyezik
.

Menj a területre
hogy megszakítás nélküli funkció van hozzárendelve
. Mutassunk be egy új funkciót:

,

hasonló az underwire integrál hatványaihoz

.

én később,

.

Oskіlki vіdrіzok
hogy lefedje a területet
akkor később,
nál nél


, de feküdj vіdrіzkom helyzetben, akkor
.

Fixtel tudunk írni:

.

Ekkor az integráció jobb oldalán lévő első és harmadik integrál nullát ad

.

Otzhe,

.

Miért szükséges a képletet használni a szabványos tengely területe feletti futó integrál kiszámításához?
az ismétlődő integrálra mutató hivatkozással:

.

Yakscho régió
є szabványos y egyenes tengely
következetlenségként jelenik meg ,

, hasonlóképpen azt is be lehet bizonyítani

.

Tisztelet. A régió számára
, szabványos y egyenes tengelyek
і
, lesznek viconok

Ennél a képletnél megváltozik az integrálási sorrend és a szublineáris integrál számításának órája.

Tisztelet. Amint az integráció területe megszűnik standard (helyes) lenni mindkét koordinátatengelyen, її oszd fel a szabványos területek összegére, és jelenítse meg az integrált ezen területek integrációinak összegeként.

csikk. Számítsa ki a futó integrált!
régiónként
, sorokkal körülvéve:
,
,
.

Megoldás.

Tsya terület є szabványos jak schodo tengely
, Szóval én
.

Az integrált kiszámítjuk, figyelembe véve a szabványos tengely területét
.

.

Tisztelet. Hogyan kell kiszámítani az integrált, figyelembe véve a szabványos tengely területét
, ugyanazt az eredményt vesszük:

.

csikk. Számítsa ki a futó integrált!
régiónként
, sorokkal körülvéve:
,
,
.

Megoldás. Reprezentatív módon a beilleszkedés régiója adott a kicsinek.

Tsya terület є szabványos schodo tengely
.

.

csikk. Módosítsa az integráció sorrendjét az ismételt integrációhoz:

Megoldás. Képzeljük el az integráció régióját.

Az interintegrációs vonalakból ismerjük azokat a vonalakat, amelyek az integráció területét behálózzák: ,
,
,
. Az integráció sorrendjének megváltoztatásához megtehetjük mint függvények benne és ismerjük az átkelőhelyet:

,
,
.

Tehát az egyik intervallumon a függvény két elemző virázzal fejeződik ki, akkor az integrációs területet két területre kell osztani, és az adó ismételt integrálja két integráció összege.

.