Valós számok axiómái. A számelmélet axiómáinak nyomon követése

A beszédszámok, amelyeket keresztül jelölnek (ún. R ruban), az összeadás művelete („+”) kerül bevezetésre, így a bőr elempár ( x,y) a vіdpovіdnіst elemre helyezett személytelen beszédszámokkal x + y z tsієї w szorzó, címek sumo xі y .

A pluralitás axiómái

A szorzási művelet („·”) kerül bevezetésre, így a bőr elempár ( x,y) személytelen beszédszámok esetén tegyen egy elemet (egyébként rövidítve, xy) s tsієї w szorzó, alkotás címei xі y .

Zvyazok dodavannya hogy többes szám

Axiómák rendelésre

A "" rendelés feladatánál (egynél kevesebb), majd fogadásra x, y vykonuєtsya akar lenni az egyik elme abo.

Zv'yazok annak érdekében, hogy összecsukható

Zvyazok vіdnoshennia sorrendben, hogy többes szám

A folytonosság axiómája

Kommentár

Ez az axióma azt jelenti xі Y- két üres valós szám szorzója úgy, hogy van bármilyen eleme x ne döntsön fel egyetlen elemet sem Y, akkor beszúrhat közéjük egy beszédszámot. Mert racionális számok ez az axióma nem győztes; klasszikus popsi: felismerhetően pozitív racionális számok és szemmel láthatóan a személytelenségig x azokat a számokat, amelyek négyzete kisebb, mint 2, a másik pedig legfeljebb Y. Todi mizh xі Y nem tud beszúrni racionális számot (nem racionális számot).

Ez a kulcsfontosságú axióma, amely biztosítja a biztonságot, és ezáltal lehetővé teszi a matematikai elemzést. Fontosságának szemléltetésére hadd emeljek ki belőle két alapvető következményt.

Az axiómák öröksége

Köztes axióma nélkül a diakónusok fontosak a mai számok erejéhez, pl.

• nulla egység,
• a proliferatív és a virulencia elemek egysége.

Irodalom

• Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. M. kötet: Fazis, 1997, 2. rész.

Div. is

Posilannya

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Lásd még "A valós számok axiomatikája" más szótárakban:

A beszéd, amely valós szám, matematikai absztrakció, amelyhez a szükséges fény geometriai és fizikai mennyiségeinek felhasználása, valamint olyan műveletek elvégzése szükséges, mint a gyökérkivonás, logaritmus számítás, megoldás.

A beszéd, chi tényleges számok egy matematikai absztrakció, mit szolgáljunk, zokrema, a fizikai mennyiségek értékének hasonlóságának megnyilvánulása. Egy ilyen szám intuitív módon ábrázolható úgy, mint egy pont helyzetét az egyenesen.

A beszéd, chi tényleges számok egy matematikai absztrakció, mit szolgáljunk, zokrema, a fizikai mennyiségek értékének hasonlóságának megnyilvánulása. Egy ilyen szám intuitív módon ábrázolható úgy, mint egy pont helyzetét az egyenesen.

A beszéd, chi tényleges számok egy matematikai absztrakció, mit szolgáljunk, zokrema, a fizikai mennyiségek értékének hasonlóságának megnyilvánulása. Egy ilyen szám intuitív módon ábrázolható úgy, mint egy pont helyzetét az egyenesen.

A beszéd, chi tényleges számok egy matematikai absztrakció, mit szolgáljunk, zokrema, a fizikai mennyiségek értékének hasonlóságának megnyilvánulása. Egy ilyen szám intuitív módon ábrázolható úgy, mint egy pont helyzetét az egyenesen.

A beszéd, chi tényleges számok egy matematikai absztrakció, mit szolgáljunk, zokrema, a fizikai mennyiségek értékének hasonlóságának megnyilvánulása. Egy ilyen szám intuitív módon ábrázolható úgy, mint egy pont helyzetét az egyenesen.

A beszéd, chi tényleges számok egy matematikai absztrakció, mit szolgáljunk, zokrema, a fizikai mennyiségek értékének hasonlóságának megnyilvánulása. Egy ilyen szám intuitív módon ábrázolható úgy, mint egy pont helyzetét az egyenesen.

A Wikiszótárban az "axióma" szócikk található Axiom (görögül... Wikipédia

Axióma, mivel különféle axiomatikus rendszerekben használják. Valós számok axiomatikája Hilbert euklideszi geometria axiomatikája Kolmogorov imovirnosti elméletének axiomatikája ... Wikipédia

Számrendszer

Tegyük fel, hogy megjelent a természetes sorozat a tárgyak átvitelére. De ha objektumokkal akarunk dolgozni, akkor számtani műveletekre van szükségünk. Tobto, ha almát akarunk hajtogatni vagy tortát osztani, akkor le kell fordítanunk a számok számát.

Szégyenletes tisztelet, hogy a természetes számok nyelvében a + і * műveletek bevezetése után szükség van axiómák hozzáadására, amelyek e műveletek erejét jelzik. Aletódok és személytelen természetes számok tezh bővülő.

Csodálkozunk, hogy a személytelen természetes számok hogyan bővülnek. A legegyszerűbb művelet, mivel ez szükséges volt az egyik első - ce dodavannya. Ha pótműveletet akarunk kijelölni, akkor az arra való visszatérést - döntést - szükséges kijelölni. Igaz, mint tudjuk, hogy ha például 5-öt és 2-t adunk hozzá, akkor vétkesek vagyunk, ha a típus sorrendjébe adjuk: mit kell hozzáadni 4-hez, 11-et venni. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya természetes számok adnak újra természetes szám, akkor a természetes számokat nézve N-be nem illő eredményt kapunk. Több számra van szükségünk. Egy értelmes vízió analógiájával nagyobb szám kisebb boulo bevezette a vidnіmannya z kisebb nagyobb szabályt - így megjelent a negatív számok száma.

A természetes sorozatot + і - mi műveletekkel kiegészítve személytelen egész számokhoz jutunk.

Z=N+művelet(+-)

Racionális számrendszer yak mov aritmetika

Most nézzük meg ezt a többes szám hajtogatására. Ami azt illeti, ez egy bagataráz kiegészítés. І további egész számok egész számmal vannak kitöltve.

Ale, egy fordított művelet egy többszörös - tse podіl. De messze nem mindig ad jó eredményt. És ismét egy dilemma előtt állunk – vagy elfogadjuk, mintha az eredményt nem lehetne „érteni”, vagy kitalálni egy új típus számát. Ezért a racionális számokat hibáztatták.

Vegyünk egy egész számok rendszerét, és egészítsük ki axiómákkal, amelyek meghatározzák a szorzás és az alsó műveletét. Kivesszük a racionális számok rendszerét.

Q=Z+műveletek (*/)

Atyám, a racionális számok nyelve lehetővé teszi, hogy dolgozz minden aritmetikai művelet számok felett. A természetes számok nyelve nem volt elég.

Vezessük be axiomatikusan a racionális számok rendszerét.

Időpont egyeztetés. A személytelen Q-t a racionális számok személytelenségének nevezzük, az elemekhez hasonlóan a racionális számokat, ahogy az elmék, címek haladó komplexuma a racionális számok axiomatikája:

A hajtogatás axiómái. Rendezett fogadáshoz x,y elemeket K deyaky elem x+yÎQ, rangsorol összegben xі nál nél. Ha nyersz, gondolj így:

1. (Isnuvannya nulla) Iznuє elem 0 (nulla) úgy, hogy bármely xОQ

x+0=0+x=X.

2. Bármely elemhez x Q Q fő elem - xО Q (szemben x) oly módon, hogy

x+ (-X) = (-X) + x = 0.

3. (Kommutativitás) Bármiért x,yО Q

4. (Aszociativitás) Bármely x, y, z Q esetén

x + (y + z) = (x + y) + z

A szorzási művelet axiómái.

Rendezett fogadáshoz x, y az aktuális elemhez rendelt Q elemei HUÎ Q, az alkotás címei xі y. Ha nyersz, gondolj így:

5. (Isnuvannya egyetlen elem) Iznuє elem 1 Q olyan, hogy bármihez xО Q

x . 1 = 1. x = x

6. Bármely elemhez x Q Q , ( x≠ 0) fő elem x-1 ≠0 olyan, hogy

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Aszociativitás) A létező dolgokért x, y, zО Q

x . (nál nél . z) = (x . y) . z

8. (Kommutativitás) Bármiért x, yО Q

Axiom zv'azku hajtogatott és szoroz.

9. (Elosztó) Bármiért x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Az axiómák rendben vannak.

Légy olyan, mint két elem x, y, Q Q kezdődik a sor végén ≤. Ha nyersz, gondolj így:

10. (x≤nál nél)L ( nál nél≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Mert be-yakah x, yО Q vagy x< у, либо у < x .

Beállítás< называется строгим неравенством,

Arány = az úgynevezett Q elemek egyenlősége.

Axióma zv'yazku dodavannya, hogy a sorrendben.

13. Bármely x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z esetén

Axióma zv'yazku mnozhennya, hogy a sorrendben.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Arkhimédész örökkévalóságának axiómája.

15. Ha a > b > 0, akkor m N és n Q van, így m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Így a racionális számok rendszere Zem aritmetikája.

Prote, a gyakorlati számolási feladatokon felül a film nem elég.

Axiomatikus módszer a matematikában.

A természetes sorozatok axiomatikus elméletének alapvető megértése és megértése. Természetes szám kijelölése.

Természetes számok összeadása.

A természetes számok növekedése.

A természetes számok szorzójának hatványa

Vіdnіmannya raspodіl természetes számok.

Axiomatikus módszer a matematikában

Axiomatikus felszólítással valamiféle matematikai elméletet egészítenek ki énekeld a szabályokat:

1. Deyakі megérteni az elmélet vibirayutsya tetszik Jelentősebb parancs nélkül elfogadják.

2. Megfogalmazva axiómák, amelyeket ezek az elméletek bizonyítás nélkül elfogadnak, amelyek képesek megérteni a főbbeket.

3. A bőr megérti az elméletet, hogy ne álljon bosszút a főbbek listáján, megadják időpont egyeztetés, egy újhoz magyarázzák yogo zmist a főbbek segítségére és az elülső e megértésre.

4. Napvilágra kerülhet az elmélet skin propozíciója, amelyet az axiómák felsorolása nem hagyhat ki. Az ilyen javaslatokat ún tételekés átdolgozandó axiómák és tételek alapján hozza azokat.

Az axiómarendszer a következő lehet:

a) megfontolatlan: bûnösek vagyunk buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z adott axiómarendszerben, nem jön a szuperechnosti;

b) független: egyik axióma sem hibás a rendszer többi axiómájának követésében.

ban ben) újra, ezen keretek között is mindig lehet hozni a cég chi-jét, mely jógo szerepel.

Az elmélet axiomatikus indíttatásának első bizonyítékát Euklidész Yogo "Cobs" (3. századi) geometriai könyve kell figyelembe venni. A geometriát és algebrát inspiráló axiomatikus módszer kifejlesztéséhez jelentősen hozzájárult N.I. Lobacsevszkij és E. Galois. Például a 19 st. Peano olasz matematikus felbontotta az aritmetika axiómarendszerét.

A természetes szám axiomatikus elméletének alapvető megértése és megértése. Természetes szám kijelölése.

Mint a fő (nem szignifikáns) megértés a deakіy sokféleségben N választ redőny , és navіt vikoristovuyutsya elméleti-többszörös megértés, і navіt a logika szabályai.

Egy elem, amely megszakítás nélkül követi az elemet a, jelent a".

Látszólag a „közvetítő követés nélkül” elégedettek a következő axiómákkal:

Peano axiómák:

1. axióma. Az arctalanoknál N іsnuє elem, közepe nélkül nem sértő egyetlen elemre sincsenek szorzók. Nevezzük jógának magányosság amelyek szimbolizálják 1 .

2. axióma. Bőrelemnek a h N alapvető egyetlen elem a" , könyörtelenül haladva a a .

3. axióma. Bőrelemnek a h Nіsnuє nem több, mint egy elem, amelyre közvetítés nélkül következik a .

4. axióma. Légy olyan, mint egy szorzó M arctalan N spіvpadє z N , yakscho maє teljesítménye: 1) 1 álljon bosszút M ; 2) miből a álljon bosszút M , következő, mit i a" álljon bosszút M.

Időpont 1. Bezlich N , melynek elemeihez redőny van beépítve "Azonnal kövesse", amely kielégíti az 1-4 axiómákat, nevezzük bezlіchchu természetes számok, és jóga elemek - természetes számok.

Ennek a kijelölt személynek nincs mondanivalója a szorzóelemek természetéről N . Szóval ott lehetsz. Vibirayuchi, mint egy arctalan N a nap egy meghatározott szorzó, amelyen egy konkrét hivatkozás szerepel „köztes követés nélkül”, ami kielégíti az 1-4 axiómákat, azt vesszük ennek a rendszernek a modellje axiómák.

Peano axiómarendszerének standard modellje egy számsor, amely az egymásutániság történeti fejlődési folyamatának gyökere: 1,2,3,4,... A természetes sorozat az 1-es számból indul ki (1. axióma). ); a bőr természetes száma után közvetlenül egy természetes szám következik (2. axióma); egy bőr természetes szám legfeljebb egy természetes számot követ (3. axióma); az 1-es számtól kezdve és az egymás után haladó természetes számok felé haladva a számok összes szorzóját vesszük (4. axióma).

Otzhe, kidolgoztuk a természetes számok axiomatikus pobudov rendszerét a fő kiválasztásával vodnosiny "közvetítő nélkül követni" az axióma a hatalom jógájának egyes leírásaiban. Kicsit tovább Pobudov elméletéhez, amely a természetes számok hatványainak és a belőlük végzett műveleteknek a pillantását veti át. A bűz lehet rozkritі a kijelölt és tételeknél, tobto. bevezetett napi logikai útja a „közepes megfontolás nélkül”, és axiómák 1-4.

Az első dolog, amit meg kell érteni, amint azt a természetes szám kijelölése után bevezetjük, az redőny "azonnal előre" , yake gyakran vikoristovuyut egy órát, hogy nézd meg a hatáskörét a természetes sorozat.

Időpont 2. Mi a természetes szám b közvetítés nélkül követni természetes szám a, azt a számot a hívott közvetlenül előre(egyébként az eleje) szám b .

Vidnoshennia "pereduє" maє hatóságok mellett.

1. Tétel. Az egységnek nincs előrefelé irányuló természetes száma.

2. Tétel. A bőr természetes szám a, Vіdmіnne vіd 1, maє egy előre szám b,és akkor mi van b"= a.

A természetes számok elméletének axiomatikus magyarázata nem látható sem a középiskolában, sem a középiskolában. Prote dominion vіdnosinі "közvetítő követés nélkül", mint Peano axiómáiban, є a matematika gubacs kurzus tanulmányozásának tárgya. Már az első órán egy óra az első tíz számait megnézni, ez egyértelmű, hiszen bőrszámot lehet kapni. Akinél a „csúszott” és „előtte” szavakat értik. A bőr egy új szám a természetes számsorok csavarodásának folytatásaként. Tanulj meg újragondolni a tsiomnál, scho-nál bőrszámmal, ugyanaz, és több is, hogy a természetes számsor kimeríthetetlen.

Természetes számok összeadása

Az axiomatikus elmélet felszólításának szabályaihoz, a természetes számok összeadásának kijelöléséhez, szükséges végrehajtani, helyettes, "azonnal követni", értem "természetes szám"і "előző szám".

Viperedimo vyznachennya hajtva előre mirkuvannyami. Hogyan bármely természetes számhoz a adj hozzá 1-et, majd vedd fel a számot a", könyörtelenül halad előre a, akkor. a+ 1= a"És akkor vegyük azt a szabályt, hogy bármely természetes számhoz hozzáadunk 1-et. Ale jak hozzá a természetes szám b, vіdmіnne vіd 1? Felgyorsítjuk a következő tényt: ha azt látjuk, hogy 2 + 3 = 5, akkor az összeg 2 + 4 = 6, ami közvetítő nélkül követi az 5-ös számot. Ebben a sorrendben 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". A melegben úgy néz ki talán, .

Ez a tény az alapja a természetes számok jelölésének az axiomatikus elméletben.

Időpont 3. Természetes számok összeadása egy algebrai műveletet nevezünk, amely erős lehet:

Szám a + b hívott számok összege aі b , és maguk a számok aі b - dodanki.

OMSKI ÁLLAMI PEDAGÓGIAI EGYETEM
AZ OmDPU ÁGAZATA G. TARI közelében
Az LBC a szerkesztőség és a kiadó döntéseiért dolgozik
Az OmDPU 22. 73. ága a Tari metró közelében
Ch67

Az ajánlásokat elismerik a pedagógiai egyetemek hallgatói számára, mivel az „Algebra és számelmélet” tudományágat oktatják. E tudományág keretein belül a 6. félévben kidolgozásra kerül a „Rendszerszámok” felosztás. Ezek az ajánlások tartalmazzák a természetes számrendszerek (Peano-féle axiómarendszer), az egész számok és a racionális számok rendszereinek axiomatikus magyarázatát. A Tsya axiomatika lehetővé teszi, hogy jobban megértse, mi ez a szám, mivel az egyik fő az iskolai matematika tanfolyam megértéséhez. Az anyag legrövidebb asszimilációja érdekében a releváns témák bevezetése javasolt. Például ajánlások és ajánlások, nyilatkozatok, feladatok.

Lektor: Ph.D., prof. Dalinger V.A.

(C) Mozhan N.M.

Aláírva egy barátnak - 98.10.22

Újságpapír
Példányszám 100 példány.
Operatív módszer egymásnak
OmDPU, 644099, Omszk, nab. Tuhacsevszkij, 14 éves
filiya, 644500, Tara, st. Shkilna, 69

1. TERMÉSZETES SZÁMOK.

A természetes számok rendszerének axiomatikus érvelésénél fontos figyelembe venni a szorzó, a kék, a függvények és egyéb többelméleti megértések megértését.

1.1 Peano axiómarendszere és a legegyszerűbb következtetések.

Peano axiomatikus elméletében az általános értelmezés a személytelen N (ahogy a természetes számok személytelenségének nevezik), különösen a nulla (0) az új és bináris relációból "következik" N-hez, amelyet S-vel jelölnek ( a) (vagy a ().
ALAPIGAZSÁG:
1. ((a(N) a"(0 (Ez egy természetes szám 0, amely nem követ semmilyen számot.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (a bőr természetes szám egynél több számot követ.)
4. (indukciós axióma) M(N és M) szorzóként két elmét elégít ki:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M® a)(M, akkor M=N).
A funkcionális terminológiában a ze azt jelenti, hogy az S:N®N inaktív. Az 1. axiómákból világos, hogy az S:N®N fermentáció nem túlaktív. A 4. axióma az alapja a kemény munka „matematikai indukciós módszerével” bizonyításának.
A természetes számok jelentős ereje, amelyek közvetítő nélkül axiómák után kiáltanak.
Hatalom 1. A bőr egy természetes szám a(0, amely egy és több számot követ.
Hoz. Jelentősen M személytelen természetes számon keresztül, scho eltűnik a nulla és minden természetes szám, bármely szám utáni bőre. Elegendő megmutatni, hogy M=N, egységnyilvánvaló a 3. axiómákból. Bizonyítsuk be a 4. indukció axiómáját:
A) 0(M - M prompt szorzóval;
B) még a(M, azokat a"(M, több a" követi a.
4. axiómák átlaga M=N.
Hatvány 2. Mint a (b, majd a "(b").
A hatalmat az "elfogadhatatlanból" módszerrel hozzuk, 3. vikorista axióma. Hasonlóképpen ilyen erőt hozunk 3, vikorista 2. axiómát.
Hatvány 3. Mint egy "(b", majd a (b.)"
Hatvány 4. ((a(N)a(a). (Nem követi természetes szám).)
Hoz. Legyen M=(x(x(N, x(x))). ) az Umov A) ilyen rangú axiómáiban 4 0(M - nyer. Ha x(M, akkor x(x"), akkor 2 x") ((x")" van hatalmon, és a tse azt jelenti, hogy Umov B) x ( M ® x"(M. Aletodikusan követi a 4. axiómát M=N.")
Legyen (- a természetes számok hatványa. Azt, hogy az a számnak van hatványa (, írjuk le ((a)).
Feladat 1.1.1. Hadd mondjam el, hogy a személytelen természetes számok jelölésének 4. axiómája közelebb áll a haladó keménységhez: bármilyen tekintélyre (mint például ((0) i, akkor).
Feladat 1.1.2. Az unáris műveletet (: a(=c, b(=c, c(=a))) így definiáljuk az A=(a,b,c) háromelemű szorzón.
Feladat 1.1.3. Legyen A \u003d (a) - egyelemű szorzó, a (= a) Yaki Peano igazságaxiómáival az A szorzón a (?) művelettel
Feladat 1.1.4. N multiplicitásán egy jelentősen unáris művelet jelentős, függetlenül attól, hogy kitől. Magyarázza el, mi lesz igaz a művelet szempontjából megfogalmazott Peano-axiómákra!
Feladat 1.1.5. Na gyere. Bizonyítsuk be, hogy A zárt a művelettel (. Fordítsa meg Peano axiómáinak igazságát az A szorzón a (.) művelettel.
Feladat 1.1.6. Na gyere, . Az A-n azonban jelentős egy unáris művelet van. Hogyan igazak Peano axiómái a művelet A szorzójára?

1.2. Peano axiómarendszerének nem szuperszelektivitása és kategorikussága.

Az axiómarendszert nem szuperálhatónak nevezzük, mivel a її axiómákkal lehetetlen a T és її tételt transzverzálisan hozni (T. Megértették, hogy a szuperhatékony axiómarendszereknek nem lehet azonos értéke a matematikában, mert egy ilyen elmélet mindent el lehet hozni, ami Ezért az axiómarendszer kiválóságának hiánya feltétlenül lényeges.
Yakshcho az Aksіomatikus elméletben nem streamelte a t і ї ї ї ї ї ї ї tételt, nem jelenti azt, hogy az aksi rendszere nincs túlterhelve, arra a tényre, hogy az axiómarendszer értelmezése egy nyilvánvalóan nem felülegyenlíthető elméletben S, akkor maga az axiómarendszer nem szuperegyenlő.
Peano axiómáinak rendszeréhez sokféle értelmezést lehet zbuduvat. Különösen gazdag a sokféleség elméletének értelmezésében. Az egyik ilyen értelmezés jelentős. A természetes számokkal többszöröseket vehetünk fel (, (), ((())), ((())),..., nullát a (. (M) szám egyetlen eleme alapján fogjuk megkülönböztetni. ilyen és ilyen M. Ebben a sorrendben ("=(), (()"=((()) és így tovább)). kicsi: azt mutatja, hogy a Peano-féle axiómarendszer annak ellenére, hogy a többszörösek elmélete nem szuperlatívusz, de a többszöröselmélet axiómarendszere nem-szupercitásának bizonyítása még fontosabb.
Egy nem szuperlatív axiómarendszert függetlennek nevezünk, mert ennek a rendszernek a bőraxiómája nem bizonyítható tételként más axióma alapján. Hogy napvilágra kerüljön az axióma
(1, (2, ..., (n, (1))
elég annak bizonyítására, hogy az axiómarendszer nem felülmúlható
(1, (2, ..., (n, ((2)))
Igaz, yakby (eltérni lehetett az (1) rendszer többi axiómájától, akkor a (2) rendszer szuperokos volt, a szilánkjai igazak lennének a tételre (és a (.) axiómára).
Az axiómák függetlenségének megteremtéséhez (a (1) rendszer többi axiómájától) elegendő a (2) axiómarendszer értelmezésére ösztönözni.
Az axiómarendszer függetlensége nagy neobov'yazkova. Néha, hogy elkerüljük a "fontos" tételek bizonyítását, egy világ feletti (letéti) axiómarendszert hozunk létre. A "zayv" axiómák azonban megkönnyítik az axiómák elméletben betöltött szerepének, valamint az elmélet különböző felosztásai közötti belső logikai kapcsolatoknak a megértését. Ezen túlmenően, a pobudova іinterpretatsіy parlagon belüli axiómarendszerek esetében jelentősen meg van hajtva, a függetleneknél alacsonyabb; még ha át kell gondolnia a "zayvih" axiómák érvényességét. Az ugar táplálkozásának okai közül a régmúlt axiómái között az első helyet kapták. Próbálja meg elhozni a maga idejét, hogy az 5. posztulátum Euklidész axiomatikájában "Nem több, mint egy egyenes, amely az A ponton halad át párhuzamosan az egyenessel" (", є a tétel szerint (a többi axiómában feküdni) és Lobacsevszkij geometriájának következtetésére jutott).
Egy nem szuperszkriptív rendszert deduktívan újnak nevezünk, mintha egy adott elmélet A propozíciója hozható, vagy kihirdethető, akkor vagy A, vagy (A az adott elmélet tétele. egy axiómát deduktív povnota -nak nevezünk - tezh not obov'yazkova vimoga, például a csoportok elméletének axiómarendszere, a területelmélet, az öntözés elmélete - nem igaz, a szilánkok és kіntsevі és neskіnchennі csoportok, kіltsya, mezők, majd ezekben elméleteket nem kérhetsz, nem hozhatsz propozíciót.: "Csoport (kіltse, field) to avenge kiltse kilkіst elements".
Megjegyzendő, hogy a gazdag axiomatikus elméletekben (magukban, a nem formalizáltakban) a személytelen állításokat nem lehet pontosan figyelembe venni, és lehetetlen egy ilyen elmélet axiómarendszerének deduktív teljességét hozni. A második változást gyakran kategorikusnak nevezik. Az axiómarendszert kategorikusnak nevezzük, legyen szó két értelmezésről izomorfnak, így kölcsönösen egyértelmű megkülönböztetés van a több cob objektum és más értelmezések között. Kategorikusság - tezh neobov'yazkova elme. Például a csoportelmélet axiómarendszere nem kategorikus. Ennek az az oka, hogy a Kintsev-csoport nem lehet izomorf, bőr nélküli csoport. A numerikus rendszer elméletének axiomatizálásával azonban az obov'yazkova kategorikus volta; Például a természetes számokat jelölő axiómarendszer kategorikus jellege azt jelenti, hogy az izomorfizmusig csak egy természetes sorozat létezik.
Nézzük a Peano-féle axiómarendszer kategorizálását. Legyen (N1, s1, 01) és (N2, s2, 02) a Peano-féle axiómarendszer két értelmezése. Meg kell jelölni egy ilyen biektivne (kölcsönösen egyértelmű) f: N1®N2 kifejezést, amelyre gondolni kell:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) bármely x N1 esetén;
b) f(01) = 02
Ha az s1 és s2 unáris műveleteket ugyanaz a vonás sérti, akkor umova a) írja át
a) f(x()=f(x)(.
Jelentősen az N1(N2) szorzón
1) 01f02;
2) hogyan xfy, x(fy(.
Változtassuk meg, mi a haszna az N1-ről N2-re, majd dermális x s N1-re történő fermentációnak
(((y(N2)xfy(1)
Jelentősen az M1 személytelen elemek x N1 révén, egyes elmék számára (1) nyer. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 2 alapján) és 1 pont hatványa 1).
Ezért a 4. axióma szerint lehetséges, hogy M1=N1, és tse i azt jelenti, hogy az N1 N2 f є fermentációjának bevezetése. Tsimu z 1) esetén nyilvánvaló, hogy f (01) = 02. Az Umov 2) így van felírva: f(x)=y, majd f(x()=y(. Úgy hangzik, hogy f(x()=f(x)(.. F tükrözésére is gondoljunk egy )) és b.
Jelentősen az M2-n keresztül, az N2 személytelen csendes elemei, bármelyikük bőre az N1 egy és egyetlen eleme formájában, amikor f jelenik meg.
Szilánkok f(01)=02, majd 02 є. Ha igen x(N2 і x(01), akkor az 1. teljesítményhez az 1 x elem követi a c z N1 і aktuális elemet, akkor f(x)=f(c()=f(c)((02. Átlag, 02 f) egyetlen elem rangja 01, majd 02 (M2.
Menjen tovább y(M2 і y=f(x), ahol x az y elem egyetlen előképe. Ezután az a) y(=f(x)(=f(x()), majd y( є az x elem képe (. Legyen c az y() elem előképe, akkor f(c)=y(. Skіlki y((02, akkor c(01 і c)) az előremenő elem, ami d-n keresztül értendő.)) Ekkor y( =f( c)=f(d()=f(d)(, a 3. axióma miatt y=f(d)). M2 ® y
Minden görög előtti matematika kevéssé empirikus jellegű. Az elmélet minden eleme belefulladt a gyakorlati feladatok kidolgozását célzó empirikus megközelítések tömegébe. A görögök adták ezt az empirikus logikai elemzési anyagot, megpróbálták megtalálni a kapcsolatot a különböző empirikus adatok között. Akinél a geometria egész érzékének nagy szerepe van Pythagorasnak és az iskolának (Kr. u. V. század). Az axiomatikus módszer gondolatai egyértelműen Arisztotelész (Kr. u. 4. század) műveiben hangzottak el. Prote, ezeknek az elképzeléseknek a gyakorlati továbbfejlesztését Euklidész végezte a Cobs jógánál (i.sz. 3 évszázad).
Az axiomatikus elméleteknek három formáját nevezhetjük meg.
egy). Zmistovna axiomatika, mintha a múlt század közepéig az lett volna.
2). Napіvformális axiomatika, scho vinyl a múlt század utolsó negyedében.
3). A formális (egyébként formalizált) az axiomatika, amelynek születési dátuma 1904-nek tekinthető, ha D. Hilbert kiadta híres programját a formalizált matematika alapelveiről.
Az új bőrforma elöl nem blokkolt, de egy fejlesztéssel, letisztulással ugyanez igaz az új bőrforma kialakulására is, elöl lejjebb.
A Zmistovna-féle axiomatikára az a jellemző, hogy az axiómák megfogalmazása előtt intuitív módon világosan megérthetők. Tehát Eukleidész „csutkáiban” a megértés pontja alatt azok, akik intuitív módon magától értetődőek e megértések alatt. Ugyanakkor van egy nagyszerű nyelv, és egy nagyszerű intuitív logika, amely inkább Arisztotelészhez hasonlít.
A formális axiomatikus elméleteknek is erős nyelvezetük és intuitív logikájuk van. Az első megértők azonban nem ugyanarra az intuitív érzékre támaszkodnak, csak axiómák jellemzik őket. Tim maga mozgatja a szigort, az intuíció szilánkjai énekes világgal hódítják meg a szigort. Ráadásul az álmosság növekszik, mert az ilyen elméletben bevezetett bőr-tétel minden értelmezésben igazságos lesz. Nyilvánvalóan formális axiomatikus elmélet formájában - Hilbert elmélete, amely az „Imagine Geometry” (1899) című könyvben szerepel. A nap_vformalnyh elméletek feneke egyben a kіlet elmélete és más elméletek is, amelyeket az algebra során mutatunk be.
A formalizált elmélet feneke a szavak számának kiszámítása, amelyet a matematikai logika során fejlesztenek ki. A vіdmіnu vіd zmіstovnoї és a napіvformalії axiomatikán az elmélet formalizálása győzött, különösen a szimbolikus mova. Az elmélet ábécéje önmagához van rendelve, így személytelen szimbólumokból áll, amelyek ugyanazt a szerepet töltik be, mint az eredeti nyelv betűi. Legyen szó egy kintseva szimbólumsorozatról, viraznak vagy szónak hívják. A vírusok között létezik a képletek egy osztálya, és a képlet jelzi, hogy pontosan melyik kritérium alapján lehet felismerni a bőrvírust. A képletek ugyanazt a szerepet töltik be, mint a nagy nyelv beszéde. Deyakі képletek goloshuyutsya axiómák. Emellett a látás logikai szabályait is meghatározzák; Egy ilyen szabály azt jelenti, hogy a képletek összessége során az egész képlet középpont nélküli. Maga a tétel bizonyítása a formulák lantzának vége, a képlet többi része maga a tétel és a bőrképlet vagy egy axióma, vagy a tételt korábban hozták, különben az előremenet közepéből énekel a lándzsa képletei a megfigyelés egyik szabályán. Ebben a rangban nem szabad kiállnunk a bizonyítékok érvényességéről szóló evidencia mellett: ellenkező esetben dán lanciugє bizonyíték, vagy є, nincsenek meggyőző bizonyítékok. A cim-mel való kapcsolatnál az axiomatika formalizálva van, hogy megszokja az alapozás különösen finom elveit matematikai elméletek, ha a nyilvánvaló intuitív logika kegyelmekhez vezethet, amelyek nagy mozgalmunk pontatlanságai és kétértelműsége révén a fő rangot jelentik.
Tehát ahogyan a bőrviráz elmélet formalizálásánál azt mondhatjuk, hogy ez egy képlet, akkor a formalizált elmélet személytelen állításai is figyelembe vehetők. Ezzel kapcsolatban elvileg meg lehet bontani a deduktív ok bizonyításával kapcsolatos érvelést, valamint a nem felületesség bizonyítását, anélkül, hogy értelmezésbe bocsátkoznánk. Számos legegyszerűbb módon láthatja a különbséget. Például a számítás felületességének hiánya értelmezés nélkül történik.
A nem formalizált elméletekben a személytelen állítások nincsenek egyértelműen definiálva, ezért a felületesség hiányának bizonyítását, értelmezés nélkül, hülyén fogalmazzák meg. Ugyanaz az érték és étel a deduktív povnoti bizonyítékáról. Mivel azonban egy ilyen formálatlan elmélet felvetése elhangzott, mivel nem lehet hozni vagy kérdezni, akkor az elmélet nyilvánvalóan deduktívan pontatlan.
Az axiomatikus módszer nemcsak a matematikában, hanem a fizikában is régóta kialakult. Először próbálja meg közvetlenül, Arisztotelész megpróbálta megtenni, de a fizikában saját axiomatikus módszerét is kijavította, kizárva Newton robotjait a mechanikából.
A tudományok turbulens matematizálási folyamatához kapcsolódik az axiomatizáció folyamata is. Az axiomatikus módszerek egyike sem található meg a biológia különböző részlegeiben, például a genetikában.
Az axiomatikus módszer lehetőségei nem végtelenek.
Fontos, hogy az intuíció figyelmen kívül hagyása nélkül ne feledkezzünk meg az elméletek formalizálásáról. Maga az elmélet a kívánt jelentés értelmezése nélkül formalizálódik. Ezért csekély mértékben a formalizált elmélet és az értelmezés közötti kapcsolatot okolhatjuk. Emellett az elméletek formalizálásához hasonlóan itt is felmerül az axiómarendszer nem-szuperitása, függetlensége és teljessége. Az összes ilyen táplálék összessége egy másik elmélet lényegévé válik, ahogy azt egy formalizált elmélet metaelméletének nevezik. A formalizált elmélet alapján a nyelvi metaelmélet a legfontosabb hétköznapi nyelv, a logikai tükrözés a természetes intuitív logika szabályai szerint valósul meg. Ily módon az intuíció, amely ismét a formalizált elméletből származik, újra megjelenik a metaelméletben.
De az axiomatikus módszer fő gyengesége nem a tsomában van. Korábban már D. Hilbert programjáról is gondoltak, hiszen ez alapozta meg a formalizált axiomatikus módszert. Hilbert fő gondolata az, hogy a klasszikus matematikát formalizált axiomatikus elméletté tegye, a nem-szuperabilitást hozva. A program azonban fő pontjait tekintve utópisztikusnak tűnt. 1931-ben a híres osztrák matematikus, K. Gödel kidolgozta híres tételeit, amelyek világossá tették, hogy a Hilbert által kitűzött fő feladatokat megsértve nem publikálták. Yomu a kódolási módszerén túl a formalizált aritmetika képleteinek segítségével tanult, és segítségül hozta azt a metaelméletet, amely szerint ezek a formulák nem láthatók az aritmetika formalizálásában. Ily módon a formalizált aritmetika deduktívan pontatlannak tűnt. Gödel eredményeiből nyilvánvaló volt, hogy még ha az axiómák számához egy bizonyíthatatlan képlet is szerepel, akkor van egy másik bizonyíthatatlan formula, amely ugyanazt a helyes állítást fejezi ki. Mindez azt jelentette, hogy nemcsak az összes matematikát, hanem az aritmetikát is - a legegyszerűbb részét - lehetetlen formalizálni. Zokrema, Gödel egy olyan képletet ihletett meg, amely a "Formalizált aritmetika nem szuperálható" állításokat mutatja, és megmutatja, hogy a képlet sem mutatható meg. Ez azt jelenti, hogy a formalizált aritmetika tökéletlensége nem hozható magának az aritmetikának a közepére. Zrozumіlo, ösztönözhet egy erős formalizált elméletet és її azáltal, hogy a formalizált aritmetika nem-szuperitását hozza magával, és egyúttal hibáztathatja, ami még fontosabb az új elmélet nem-szuperitásáért.
Gödel eredményei az axiomatikus módszer érvényességét jelzik. És ami még fontosabb, podstav a pesszimista visnovkіv a tudáselméletben annak, aki nem ismeri az igazságot, - nem. Az a tény, hogy olyan aritmetikai igazságokat állapítanak meg, amelyeket nem lehet az aritmetika formalizálásába hozni, nem jelenti az igazságok tudatlanságának megnyilvánulását, és nem jelenti az emberi gondolkodás homályát. A Vin csak azt jelenti, hogy elménk lehetőségei nem redukálódnak eljárásokra, formalizáltabbak lesznek, és az embereknek továbbra is tesztelniük kell és új bizonyítási elveket kell találniuk.

1.3 Természetes számok tárolása

A természetes számok Peano tengelyrendszerével történő hajtogatásának és szorzásának műveletei nem posztuláltak, hanem műveletek helyett.
Időpont egyeztetés. A természetes számok összeadását bináris algebrai műveletnek + nevezzük az N szorzón, ami erős lehet:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
A táplálkozás hibáztatása - mi egy ilyen művelet, de ha igen, akkor mi az?
Tétel. A természetes számok összeadása szükséges, és csak egy.
Hoz. Az algebra bináris művelete az N multiplicitáson a fermentáció (:N(N®N. Azt kell hozni, hogy csak egy fermentáció legyen (:N(N®N, hatványok: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Jelentősen az N szorzón, az elmék által fx bináris kifejezés:
a) 0fxx;
b) hogyan yfxz, y(fxz(.
Változtassuk meg, mi haszna N-nek N-re, akkor az y z N bőrre
(((z(N) yfxz (1))
Lényeges, hogy M-en keresztül az y természetes számok szorzója, amelyre az (1) elmék győznek. Tehát gondoljon a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) és a hatvány 1 p.-re, és azt jelenti, hogy az fx az N erjesztése N-re. Melyik fermentációra gondoljon:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - b-ig).
Tim maga hozta meg a behajtás indoklását.
Egységet hozunk. Legyen + i (- olyan, mint az algebra két bináris művelete az N halmazokon 1c és 2c hatványokkal.
((x, y(N) x + y = x(y)
Eléggé rögzített x i szám y személytelen természetes számok S-en keresztül szignifikáns, amelyre az egyenlet
x+y=x(y(2)
győzelem. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, majd
A) 0(S
Most legyen y(S, hogy a (2) egyenlőség nyerjen. Tehát x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, then) ) axiómák 2 x+y(=x(y(, hogy az elme nyerjen)
B) y(S ® y((S.)
Tehát a 4. axióma szerint S=N, ami befejezi a tétel bizonyítását.
Vigyük a hatóságokat a dodavannyára.
1. A 0 szám az összeadás semleges eleme, tehát a+0=0+a=a az a bőr természetes számra.
Hoz. Az egyenrangúság a+0=a az elméből kiált 1s. 0+a=a egyenlőséget hozunk.
Jelentősen M személytelen számon keresztül, ami nem nyer. Nyilvánvalóan 0+0=0 és 0(M. Legyen a(M, majd 0+a=a.) Aztán 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, hogyan és szükséges hozni.
Adj nekünk egy lemát.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Hoz. Legyen M az összes b természetes szám személytelen száma, amelyekre az egyenlőség a(+b=(a+b)(igaz a bármely értékére):
A) 0(M, szilánkok a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Határozottan, mivel b(M és 2c) lehetséges)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
tehát b ((M. Átlag, M = N, mit kell vinnem).
2. A természetes számok összeadása kommutatív.
Hoz. Legyen M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Mondja meg, hogy M=N. Talán:
A) 0 (M - költség 1.
C) a(M® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Mean a((M, i a 4. axiómából M=N).
3. Hozzáadás asszociatív módon.
Hoz. Na gyere
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Azt kell hozni, hogy M=N. Tehát (a+b)+0=a+b és a+(b+0)=a+b, majd 0(M. Legyen s(M, majd (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Átlag c((M i a 4. axiómával M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Hoz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ha b(0), akkor ((a(N)a+b(a)).
Hoz. Legyen M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, majd 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(egyébként a( +b) (a)) jelentése a((M і M=N)).
6. Ha b(0, akkor ((a(N)a+b(0))
Hoz. Ha a=0, akkor 0+b=b(0, ha a(0 і a=c(, akkor a+b=c(+b=(c+b))((0. Tehát y melyik idő a) + b (0.
7. (A trichotómiás hajtogatás törvénye). Bármely a és b természetes számra a három hasonlóság közül csak egy és csak egy igaz:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Hoz. Rögzítünk egy bizonyos a számot, és M-en keresztül szignifikáns az összes b természetes szám szorzója, amelyre az 1), 2), 3) számok közül akár egyet is nyerhetünk. Azt kell hozni, hogy M=N. Legyen b = 0. Ha a=0, akkor 1), és ha a(0, csak 3), akkor a=0+a. Otzhe, 0 (M.
Most már elfogadható, hogy b(M, tehát a inverze az 1), 2), 3). Ha a=b, akkor b(=a(=a+1, akkor b-re (az eltolás 2 számít).) Ha b=a+u, akkor b(=a+u(, akkor b esetén az eltolás számít) 2 ) Ha a=b+v, akkor két deklináció lehetséges: v=1 és v(1. Ha v=1, akkor a=b+v=b), akkor b" esetén a fordított arány 1 és v(1 , akkor v=c", de c(0 majd a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, tehát b esetén " van egy fordítva 3). Később hoztuk, hogy b (M ® b "(M, i, M = N is, tehát a és b esetén az 1. mássalhangzók valamelyikét akarjuk használni), 2), 3) nem győzhetők le egyszerre. spіvvіdnoshennia 2) és 3), akkor kicsi b a = (a + u) + v = a + + (u + v), de az 5 és 6 hatványa révén lehetetlen. A 7-es ereje véget ér.
Feladat 1.3.1. Legyen 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))). 3+5)) 8, 2+4=6.

1.4. A TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA.

Kinevezés 1. A természetes számok szorzását ilyen bináris műveletnek nevezzük (az N szorzón, amelyre az elmét számoljuk:
1u. ((x(N) x(0=0);
2y. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Ismét igazolom a táplálkozást - miért van ilyen műtét és hogyan, akkor mi az egyetlen dolog?
Tétel. A természetes számok szorzásának művelete csak egy.
A bizonyítást ugyanúgy el lehet végezni, mint a kiegészítő bizonyítást. Ismerni kell egy ilyen kifejezést (:N(N®N), mint
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Jó sok x-et javítunk. Ez is lehetséges bőr x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N s Authority
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
akkor az ((x,y) függvény, amely egyenlő ((x,y)=fx(y) és kielégíti az 1-es és 2-es elméket).
Később a tétel bizonyítása felmegy az fx(y) függvény 1") és 2"). Állítsuk be az N értékek számát a következő szabály szerint:
a) a nulla szám 0 lesz,
b) mivel az y szám a c számot kapja, akkor az y szám (a c + x szám egyenlő).
Gondoljuk át, hogy egy ilyen beállításnál az y bőrszám egyetlen kép is lehet: és lényeges, hogy N-t át lehet alakítani N-re. Lényeges, hogy M-en keresztül az összes y természetes szám személytelensége egyetlen képet alkothat. Gondoljuk a) hogy az 1. axióma világos, tehát 0(M. Legyen y(M. Gondoljuk b) és a 2. axióma világos, hogy y((M. Tehát M=N, tehát az okunk N) N-ben szignifikánsan fx szempontjából, akkor fx(0)=0 a) és fx(y()=fx(y)+x - b miatt).
Később beigazolódott a szorzási művelet oka. Hadd tegyem most (i (- legyen két bináris művelet az N szorzón 1y és 2y hatványokkal. Maradjunk annyiban, hogy ((x,y(N) x(y=x(y)) Rögzítünk egy igen sok x és ne))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Ugrás a következőre: 1y x(0=0 і x(0=0, majd 0(S. Legyen y(S), majd x(y=x(y)))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, akkor, y((S. Tehát, S=N, alacsonyabb i, a tétel bizonyítása véget ér).
Jelentősen sok a hatalom diakónusa.
1. A semleges elem általában az 1=0(, tehát ((a(N) a(1=1(a=a)))).
Hoz. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Ily módon az a(1=a) egyenlőség teljesült. N) (1(a=a). Tehát 1 (0=0, majd 0(M. Legyen a(M, majd 1(a=a)). Ezután 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Tehát az axiómákból 4 M=N, amit hozni kellett).
2. A vásárok halmazára, egy jogelosztási törvényre tehát
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Hoz. Legyen M=(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , majd 0(M. Tehát c(M, majd (a+b)) c=ac+bc), akkor (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Tehát c((M і M=N).
3. A természetes számok szorzása kommutatív, azaz ((a,b(N) ab=ba).
Hoz. Tegyük rendbe b-re (N egyenlő 0 (b = b (0 = 0. Egyenlő b (0 = 0) világos 1y. Legyen M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) ) 0) =0, akkor 0(M. Tehát b(M, akkor 0(b=0, majd 0(b(=0(b+0=0))) i, szintén, b((M. Tehát, M= N, akkor a 0(b=b(0) egyenlőség az összes b(N. Menjünk tovább) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, akkor ab = ba. Akkor a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, akkor a ((S. Tehát S = N), ami szükséges hozni) .
4. Többszörös elosztó hajtogatás. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 és 4.
5. A többes szám asszociatív, azaz ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
A bizonyítást, mint a th a raktárban, az indukciót az s-n hajtjuk végre.
6. Ha a(b=0, akkor a=0 és b=0, akkor N-nek nincs nulla osztója.
Hoz. Legyen b(0 і b=c(. Ha ab=0, akkor ac(=ac+a=0, az előjelek 6 3. tétel hatványát követik, tehát a=0).
Feladat 1.4.1. Legyen 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))).). Mondd meg, mi 2(4)) =8, 3(3=9.
Legyenek n, a1, a2, ..., an természetes számok. Az a1, a2,...,an számok összegét számnak nevezzük, ahogyan az elmék által rajta keresztül jelölik; bármely k természetes számra
Az a1, a2,...,an számok egy részhalmaza természetes szám, ahogyan i-vel jelöljük, és elmékkel jelöljük: ; bármely k természetes számra
Hogyan jelzi ezt a számot egy.
Feladat 1.4.2. Hozz mit
a)
b);
ban ben);
G);
e);
e);
és);
h);
і) .

1.5. A TERMÉSZETES SZÁMOK RENDSZERÉNEK RENDJE.

A „követi” kijelentés antireflexív és antiszimmetrikus, de nem tranzitív, és nem követi ezt a sorrendet. Jelentősen változtatjuk a sorrendet, támaszkodva a természetes számok összeadására.
Kinevezés 1. a
Cél 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі természetes számok, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1,2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Hoz. Az 1.1 és 1.2 dominancia a hajtogatás és a szorzás műveleteinek egyediségéből árad. Yakscho a
2. ((a(N) a
Hoz. Oskils a(=a+1, majd a
3. A legkisebb N elem 0, a legkisebb N\(0) pedig az 1.
Hoz. Tehát ((a(N) a=0+a, akkor 0(a, i, tehát a 0 N legkisebb eleme.) Ekkor, mint x(N\(0), akkor x=y(, y() N ) , egyébként x = y + 1. A válasz az, hogy ((x (N \ (0)) 1 (x, tehát 1 a legkisebb elem N \ (0)-ban).
4. Javaslat ((a, b (N) ((n (N))) b (0 (nb> a)).
Hoz. Nyilvánvalóan minden természetes a-hoz létezik n természetes szám is, amely
a Egy ilyen szám є, például n = a (. Dahl, ha b (N \ (0), akkor a 3. hatvány)
1(b)(2)
Z (1) és (2) az 1.10 és 1.4 hatványok alapján aa.

1.6. A TERMÉSZETES SZÁMOK RENDSZERÉNEK VALÓDI RENDJE.

Kinevezés 1. Egy rendezett szorzó skin nem üres részszorzójaként (M; Gondoljuk át, hogy az új sorrend lineáris. Legyen a és b két elem egy egész rendezett szorzóból (M; Lema) . 1) a
Hoz.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0))))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Tétel 1. A természetes számok halmazának természetes sorrendje magasabb rendű.
Hoz. Legyen M üres a személytelen természetes számoktól, S pedig az N-beli alsó inters immateriálissága, így S = (x (x (N (((m (M)) x (m)).). Következő, 0(S)) Yakby győzött és Umov többi axiómája 4 n(S(n((S, then small b S=N)).
2. Tétel. Ha van egy nem üres határ a személytelen természetes számok vadállatának, akkor ott lehet a legnagyobb elem.
Hoz. Legyen M egy nem üres határ a személytelen természetes számok fenevada között, S pedig a felső kordonok személytelensége, tehát S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Szignifikánsan x0-n keresztül, y legkisebb eleme S. Ha m
Feladat 1.6.1. Hozz mit
a)
b);
ban ben).
Feladat 1.6.2. Ugyan már (- természetes számok deak hatványa és k - több, mint egy természetes szám. Hozz mit
a) Legyen olyan, mint egy természetes szám lehet hatvány (mint ahogy csak 0 lehet hatvány bármilyen n (0
b) hogy természetes szám-e, nagyobb vagy egyenlő k-val, maє hatvány (, ha csak k maє tsyu hatvány i bármilyen n (k (n) s kihagyás esetén, scho n maє hatvány (, következő, scho szám n + 1 is Volodya tsієyu hatalom). ;
c) akár k-nál nagyobb vagy egyenlő természetes számról van szó, lehet hatványa (mivel csak k-nak lehet hatványa, és bármire n (n>k) engedmény, hogy a mentális k (t) által hozzárendelt t számok

1.7. INDUKCIÓS ALAPELV.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost a természetes számok rendszerének, akkor hozhat egy ilyen tételt, a bizonyítási módszerek egyik alapját, címeket a matematikai indukció módszerével.
Tétel (indukció elve). Usі vyslovlyuvannya z szekvenciális A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 igaz;
2) hogyan kell használni az Ak-t k-val
Hoz. Megengedhető, hogy ne fogadjuk el: gondoljuk, hogy 1) és 2) nyer, de ha a tétel nem igaz, akkor nem engedjük meg, hogy є személytelen M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). elem, ami n szempontjából értelmes. mentálisan 1) A1 igaz, és An rossz, akkor 1(n, i, aka, 1)
Az indukciós módszerrel történő megerősítéshez két szakasz látható. Az első szakaszban, amelyet az indukció alapjának neveznek, az elme mentalitása felborul 1). A színpad másik oldaláról, az úgynevezett indukciós kagylóról, az elme jut eszünkbe 2). Leggyakrabban vipádokon haladnak át, ha An igazságának bizonyítására nem lehet felhasználni az Ak igazságának győzelmét k-nál.
csikk. Egyenetlenség előidézése Fizetendő = Sk. Meg kell hozni az Ak=(Sk) levezetés igazságát A dedukció sorozata az 1. Tételben leírtak szerint származhat az N halmazhoz rendelt A(n) predikátumból vagy az Nk=(x( x(N, x(k)), ahol k egy rögzített természetes szám.
Sokrema, ha k=1, akkor N1=N(0), és a számozás elvégezhető további A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Ha k(1, akkor az előfordulások sorozata további A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . .Vidpovidno ilyen értékekre, az 1. Tétel más formában is megfogalmazható.
2. Tétel. Az A(m) predikátum az Nk szorzóra is igaz, tehát tudja:
1) A(k) igaz;
2) hogyan kell használni az A(m)-t m-re
1.7.1. feladat. Hadd mondjam el, hogy ez a fajta egyenlőség nem hoz döntést a természetes számok galériájában:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2év.
Feladat 1.7.2. Hozd a matematikai indukció győztes elvét:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
ban ben);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA TERMÉSZETES SZÁMOK.

Megnevezés 1. Az a és b természetes számok különbsége olyan x természetes szám, amelyre b+x=a. Az a és b természetes számok különbségét a-b-n keresztül jelöljük, a különbség különbségének műveletét pedig különbségnek nevezzük. A Vidnimannya nem az algebra művelete. Tse vyplyvaє iz nastupnoї tétel.
1. Tétel. Kiskereskedelem a-b az egyetlen különbség, és csak egy, ha b(a. Ha van különbség, akkor csak egy).
Hoz. Ha b(a, akkor a hivatkozás megjelölésére (ha x természetes szám, akkor b+x=a. Ale ce i azt jelenti, hogy x=a-b. hogy b + x = a. Alece azt jelenti, hogy b (a) .
Egységet hozunk kiskereskedelem a-b. Legyen a-b=x és a-b=y. Ugyanez vonatkozik az 1 b+x=a, b+y=a találkozókra is. Zvіdsi b+x=b+y і is, x=y.
Cél 2. Két természetes szám a és b(0) törtrészét c természetes számnak nevezzük úgy, hogy a = bc.
2. Tétel. Sokkal privátabb, mint egy.
Hoz. Ugyan = x ez = y. Ugyanez vonatkozik a 2. a=bx és a=by találkozókra. Zvіdsi bx=by і, is, x=y.
Érdemes megjegyezni, hogy az ekkor végrehajtott műveletek szó szerint ugyanúgy számolhatók, mint az asszisztensek esetében. A Tse azt jelenti, hogy az 1-7. bekezdésekben Peano axiómái alapján lefektették a természetes számok aritmetikájának elméleti alapjait, majd a további fejlesztéseket a matematika középiskolai kurzusban és az "Algebra és szám" egyetemi kurzusban. Elmélet".
1.8.1. feladat. Igazolja ezeket az állításokat, és ismerje el, hogy a képletekben szereplő összes különbség egyértelmű:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
to) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b) (c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Feladat 1.8.2. Az elkövetkező nehézségek igazságát hozni, elismerni, hogy minden magánjellegű, hogy az adott képletben szerepelnek, egyértelmű.
a) b); ban ben); G); e); e); és); h); én); nak nek); l); m); n); ról ről); P); R).
1.8.3. feladat. Annak bizonyítására, hogy két különböző természetes megoldás anyja nem lehet ennyire egyenlő: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
1.8.4. feladat. A természetes számok feloldása egyenlő:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
1.8.5. feladat. Annak bizonyítására, hogy a természetes számok szférájában nincs ilyen egyenlő megoldás: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; ban ben); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
1.8.6. feladat. Az egyenetlenség természetes számainak feloldása: a) ; b); ban ben); d) x+y2 1.8.7. feladat. Mondd meg nekem, hogy a természetes számok birodalmában az elfordulás kezdete igazságos: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9 KILKISNIY DEATH természetes számok.
Valójában a természetes számokat az elemek rahunkájának fő rangjaként kell elhelyezni, és azt, hogy melyiket kell elhelyezni a természetes számok számításában elméletileg Peano által.
Cél 1. Névtelen (x(x(N, 1(x(n))) a természetes sorozattól eltérően hívják), és (1; n ()) keresztül jelöljük.
Kinevezés 2. A kіntsevoj szorzót nevezzük, ha az egy szorzó, egyenlő a természetes sorozat bármely számlálójával, és egy üres szorzó. Bezlich, mint nem є kіtsevim, bőrtelennek nevezik.
1. tétel a nedveshez(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Hoz. Hogyan A=(, a tétel igaz, üres részmultipoknak nincsenek üres szilánkjai. Legyen A((і A ugyanolyan kemény (1,n((A((1,n()).))) Bebizonyíthatjuk a tétel indukcióval n-en. Yakscho n= 1, akkor A((1,1(, akkor a szorzó egyszeri részszorzóját használjuk A üres szorzó). Egyértelmű volt, hogy A(i is, n=1 esetén , a tétel igaz. Tegyük fel, hogy a tétel igaz n=m-re, akkor minden terminálszorzó, egyenlő erősségű (1,m(, ne gondolj egyenlő erősségekre). inverz)) (1,m+1(A-ban) Ha ((k)-t ak ismeri, k=1,2,...,m+1, akkor a személytelen A felírható A=(a1, a2, ...)) , am, am+ 1) Célunk annak bizonyítása, hogy A-nak nincsenek egyformán erős hatványrészei.
Nézzük meg az A1 = A (am + 1) és a B1 = B (am + 1) szorzót. Mivel f(am+1)=am+1, akkor az f zdіysnyuvatime függvény bioaktívan megjeleníti az A1 szorzót, a B1 szorzóval. Ebben a rangban a személytelen A1 egyenlő lesz a B1 erős résztöbbszével. Ale oskіlki A1((1,m(, nem váltja felül az indukciót).
Következtetés 1. A természetes számok hiánya nem korlátozott.
Hoz. Peano axiómáiból világos, hogy S:N®N\(0), S(x)=x(objektív) fermentálódik.
Következtetés 2. Ha a kіntsev A szorzója nem üres, akkor a természetes sorozat egy és csak egy megfelelőjével egyenlő.
Hoz. Legyen A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, az 1. Tétel miatt egyértelmű), tehát m=n.)).
Az utolsó 2 lehetővé teszi a megnevezés megadását.
Megnevezés 3. A((1,n(, akkor az n természetes számot az A szorzó elemeinek számának nevezzük), és az A és (1,n) szorzók közötti kölcsönösen egyértelmű hasonlóság megállapításának folyamata (úgynevezett szám elemeinek száma a szorzóban A. Az üres többszörösének természetes elemeinek száma írja be) a nulla számot.
A rahunka gyakorlati életben betöltött jelentőségének nagyságáról beszéljen Zayve.
Tisztelettel, egy természetes szám számításának ismeretében magán az összeadáson keresztül is ki lehetne számítani a szorzási műveletet:
.
Ezt egyelőre nem azért küldtük, hogy megmutassuk, magára az aritmetikára nincs szükség számítási értelemben: a természetes szám számítási értelmére csak az aritmetika összeadásánál van szükség.

1.10. A TERMÉSZETES SZÁMOK RENDSZERE, MINT DISZKRÉT FORDÍTÁS, RENDSZERŰ BAGATO.

Megmutattuk, hogy a személytelen természetes számok kompatibilisek a természetes renddel és az egész rendezéssel. Ha igen, ((a(N) a
1. bármely számra a(N іsnuє sudіdnє utána 2. bármely számra a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma előtted) A személytelen (A;()) teljes rendje 1-es és 2-es hatványokkal memo diszkrét ciklusnak nevezzük. Úgy tűnik, hogy az 1-es és 2-es hatványokkal való rendezés a természetes számok rendszerének jellemző hatványa.az i-es elem szintén az 1-es axióma, Peano nyer).
Tehát ez olyan, mint egy lineáris sorrend, akkor minden a elemnél egyetlen elem következik, és legfeljebb egy előremenő sudidny elem.
1) a0(M, ahol a0 A legkisebb eleme;
2) a(M (a((M.))
Tegyük fel, hogy M=N. Az Elfogadható nem fogadható el, akkor A\M((. Jelentősen b-n keresztül az A\M legkisebb eleme.
Elhoztuk a természetes számrendszer egy másik megnevezésének lehetőségét is.
Időpont egyeztetés. A természetes számok rendszerét úgy hívják, hogy a többszörösséget egészként rendezzük-e, amelyen az elméket számoljuk:
1. bármely elemnél van mögötte egy következő haladó elem;
2. bármely elem esetében a legkevésbé látható elem, a fő bírói elem.
Іsnuyut іnshі pіdhodi rendeltetési helye a természetes számok rendszerének, amelyen nem itt zupinaєmosya.

2. TSILI ÉS RACIONÁLIS SZÁMOK.

2.1. A SZÁMRENDSZER JELENTŐSÉGE ÉS EREJE.
Úgy tűnik, egy intuitív elme fejében nincs egész szám, és a gyűrű képes ezt a szorzót behajtani, ráadásul a gyűrű a természetes számok megbosszulására szolgál. Megértették, hogy nincs káromkodás a kiltsі tsіlih számokban, mintha megbosszulna minden természetes számot. Úgy tűnik, hogy a hatalom qi-je egy számrendszer szigorú kijelölésének alapjául szolgálhat. A 2.2. és 2.3. bekezdésekben az ilyen megjelölés helyességét ismertetjük.
Kinevezés 1. A számrendszert algebrai rendszernek nevezzük, amelyre az elme:
1. Algebrai rendszer є kiltse;
2. Figyelembe kell venni a természetes számok anonimitását, sőt, ennek a szorzásnak az összeadása a részszorzaton a természetes számok szorzójának összeadásából származik, tobto
3. (umova minimalitás). Z a minimum az 1-es és 2-es hatványú szorzó beszámításához. Vagyis a természetes számok megbosszulásához, akkor Z0=Z.
Az 1. kinevezés axiomatikus jelleget kaphat. Ennek az axiomatikus elméletnek az első fogalmai a következők:
1) Névtelen Z, melynek elemeit egész számoknak nevezzük.
2) Egy speciális egész szám, ahogyan nullának hívják, és 0-n keresztül jelöljük.
3) Ternáris vіdnosini + ta (.
N-en keresztül szokás szerint a személytelen természetes számokat hajtással (és szorzással jelöljük (. Ami azt illeti, az 1-es jelölésig az egész számok rendszerét ilyen algebrai rendszernek nevezzük (Z; +, (, N). ), amelyre a következő axiómák a győztesek):
1. (A kiltsya axiómái.)
1.1.
Ez az axióma azt jelenti, hogy a + є az algebra bináris művelete a Z halmazon.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, tehát a 0 szám hozzáadható semleges elemként).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), tehát a bőr egész számra az ellentétes a()) szám).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Ez az axióma azt jelenti, hogy a szorzás az algebra bináris művelete a Z szorzón.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b))) = c (a + c (b))
2. (A Z és a természetes számrendszer kapcsolatának axiómái.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (A minimalitás axiómája.)
Ha Z0 a Z gyűrű vége és N(Z0, akkor Z0=Z.
A számrendszer jelentős hatalmi aktusai.
1. A bőrök számát úgy ábrázolhatjuk, hogy megnézzük két természetes szám különbségét. A megjelenés nem egyértelmű, ráadásul z=a-b és z=c-d, de a, b, c, d (N, mindkettő és csak ha a+d=b+c).
Hoz. Lényeges, hogy Z0-n keresztül az összes egész hiánya, bármelyikük bőre, két természetes számnak tűnik. Nyilvánvaló, hogy ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Menjünk x,y(Z0, majd x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Akkor x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)))- a(d(b(c). Látható, hogy x-y, x(y(Z0 i, innentől kezdve Z0 a Z gyűrű egy részhalmaza, megbosszuljuk a személytelen N.)).
2. Az egész számok gyűrűje egy kommutatív gyűrű, amelynek egysége van, és a gyűrű nullája a 0 természetes szám, a gyűrű egysége pedig az 1 természetes szám.
Hoz. Legyen x,y(Z. Érvényes az 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) hatványra, majd x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb) )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))).). Ezért a természetes számok szorzásának kommutativitása miatt, hogy xy=yx. A szorzás kommutativitása ben) hozták a Z gyűrűt. 2 vyplyvayut sértő nyilvánvaló egyenletességekből, amelyekben 0-n és 1-en keresztül nulla és egy természetes szám ismert: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0= (a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 =)) a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA RENDSZER CYLIKH SZÁM.

A számrendszer a 2.1-hez van hozzárendelve minimumként a gyűrű felvételéhez, ami megbosszulja a természetes számokat. Vikaє pitanya - mi az ugyanaz a kiltse? Más szóval, az s 2.1 axiómarendszer rendkívül leegyszerűsített. Ahhoz, hogy az axiómarendszer nem-szuperitása érvényesüljön, értelmezést kell indukálni egy egyértelműen nem felügyelhető elméletben. Az ilyen elméletet a természetes számok aritmetikája veszi figyelembe.
Ismét el kell magyarázni az axiómarendszer értelmezését 2.1. Hagyjuk a személytelent. Akiknek a személytelen lényegesen két bináris művelet, és egy bináris beállítás. Ha a párok e szorzásának összeadását a természetes számok szorzásának összeadására redukáljuk, akkor természetes számok esetén a párok e szorzásának összeadása kommutatív, asszociatív, és a szorzás eloszlási szempontból hasonló az összeadáshoz. Gondoljuk át például a párok összeadásának kommutativitását: +===+.
Vessünk egy pillantást a vіdnoshennia ~ erejére. Oskіlki a + b = b + a, majd ~, majd a ~ beállítása reflexszerűen. Ha ~, akkor a+b1=b+a1, akkor a1+b=b1+a, akkor ~. Otzhe, beállítás ~ szimmetrikusan. Hajrá ~ én ~. Érvényesek az a+b1=b+a1 és a1+b2=b1+a2 egyenlőségek is. Az egyenlőségek számát összeadva kivesszük a + b2 = b + a2, majd ~. Otzhe, beállítás ~ tranzitívan is і, otzhe, є megfelelője. Az egyenértékűség osztálya, amely megbosszulja a párokat, meghatározásra kerül. Ebben a rangban az egyenértékűségi osztály hozzárendelhető a saját párodhoz és vele
(1)
Az ekvivalencia minden osztályának anonimitása jelentős. Feladatunk annak bemutatása, hogy a szorzó adott hajtogatás és szorzás esetén a 2.1-es axiómarendszer értelmezése lesz. Az arctalanon végzett műveletek egyenlőségekkel jelentősek:
(2)
(3)
Ha i az, akkor az N szorzón az a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,))) egyenlőség érvényes, az (a+c)+(b(+d() )=(b ) +d)+(a(+c(), ami az (1) alapján elfogadható, ami. A Tse azt jelenti, hogy az ekvivalencia (2) egy egyedi összeadás műveletet jelöl egy szorzón, tehát hogy ne feküdjünk a párok kiválasztásában, ami összeadást jelent) és az osztályok szorzásának egyedisége Ily módon a (2) és (3) egyenlőség hozzárendelődik az algebra bináris műveleteinek sokaságához.
Az Oskіlki összeadó és szorzó osztályok összecsukható és szorzó párokig építhetők fel, ezek a műveletek kommutatívak, az asszociatív és a szorzó osztályok elosztólag könnyen hajthatók. Az egyenlőségekből lefekszik, hogy az osztály a hajtogatási mód semleges eleme, a bőrosztály pedig a proliferatív osztály. Tehát a szorzó egy kör, így a 2.1-ből származó 1 csoport axiómáit megszámoljuk.
Vessünk egy pillantást a kil'tsі podmnozhina-ra. Ha a(b), akkor az (1)-en keresztül, és ha a
A személytelennél a bináris szignifikáns (követi (; magát, követi az osztályt, követi az osztályt, de x (є természetes szám, x után jön. Osztály, után jön természetesen jelzett keresztül). Az osztály követi, az i osztály még mindig csak egy.
Nézzük a képet. Nyilvánvaló, hogy az erjesztés célja biaktív és az elme f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Más szóval, algebra (;, () a Peano-féle axiómarendszer értelmezése. Izomorf algebrákból származik, így tisztelettel tekintheti, hogy maga a személytelen N szubszorzott. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, ami azt jelenti, hogy ennek összeadása A természetes számok összeadásaihoz és szorzásaihoz hozzáadódik a kiltsiben szereplő N részszoros szorzása, így a 2. csoport axiómáinak összeadása beépül.
Gyerünk Z0 - légy olyan, mint egy kiltse pіdkіltse, scho, hogy megbosszuld a személytelen N i-t. Tisztelettel: scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - egy kilce, akkor a különbség ezen osztályok között a kiltsu Z0-ban is lehet. З egyenlőségek -= (= illeszkedik, sho (Z0 і, aka, Z0=. A 2.1. tétel axiómarendszerének nem-superenciáját hozzuk).

2.3. A SZÁMRENDSZER EGYSÉGE.

Csak egy számrendszerem van az intuíciós elmém számára. A Tse azt jelenti, hogy az axiómarendszer, amely a számok számát jelöli, kategorikus lehet, így az axiómarendszer értelmezése izomorf. Kategorikus és azt jelenti, hogy az izomorfizmusig csak egy számrendszer létezik. Perekonayemosya, scho tse igaz így.
Legyen (Z1;+,(,N) és (Z2;(,(,N))) a 2.1. pont axiómarendszerének két értelmezése, amelyek a Z1 gyűrű bármely x és y elemére rakoncátlanul és krémmel vannak feltöltve. méltányosság
(1)
. (2)
Tisztelettel, a szilánkok N(Z1 és N(Z2, then
, a(b=a(b. (3)
Legyen x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Állítsa be az x=a-b elemet u=a(b, de) , csillagok z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse azt jelenti, hogy az x elem reprezentánsaként való esési képességünk két természetes szám és cim különbségeként az f-ben látható: Z1® Z2, f(a-b)=a(b). Annak megértése, hogy v(Z2 і v=c(d), majd v=f(c-d).) az f kifejezés szürjektív.
Ha x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), akkor a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) erő (3) a+d=b+c, ​​tehát a-b=c-d Azt hoztuk, hogy x=y egyenlősége nyilvánvaló az f(x)=f(y) egyenlőségből, akkor a kifejezés f in'aktív.
Ha a(N, akkor a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Tehát a természetes számok nem erőszakosak, ha f túlzó. , y=c-d , de a, b, c, d (N, akkor x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Az (1) egyenlőség igazságossága bebizonyosodott. Megfordítható egyenlőség (2). Skálák f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), és a másik oldalon f(x)(f( y))=(a(b)((c(d)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c))). Tehát, f(xy)=f(x) (f(y)) , amely kiegészíti az n axiómarendszer kategorizitásának bizonyítását.) 2.1.

2.4. A RACIONÁLIS SZÁMOK RENDSZERÉNEK ÉRTÉKE ÉS EREJE.

Névtelen Q racionális számok az adott intuitív rozumіnnі mezőben, néhány személytelen Z egész szám esetén є pіdkіltsem. Ha igen, akkor nyilvánvaló, hogy Q0 a Q mező részmezeje, hogy megbosszuljuk a számokat, akkor Q0 = Q.
Kinevezés 1. A racionális számrendszer egy olyan algebrai rendszer (Q; +, (; Z), amelyhez az elmét használják:
1. algebrai rendszer (Q; +, () є mező;
2. gyűrű Z egész számok є pіdkіltsem mező Q;
3. (minimum), ha a Q mező Q0 részmezeje megbosszulja a Z almezőt, akkor Q0=Q.
Röviden, a racionális számok rendszere a minimum, hogy a benne foglalt mező megbosszulja a számok számát. A racionális számok rendszerének axiomatikus definíciójáról további jelentéseket adhat.
Tétel. Egy x skin racionális szám egy privát két egész számként ábrázolható, tehát
, de a, b (Z, b (0. (1))
A megjelenés nem egyértelmű, ráadásul de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Hoz. A Q0 szempontjából jelentős mértékben vannak személytelen racionális számok, amint az (1) látható. Az egyeztetés befejezéséhez tehát Q0 = Q. Gyerünk, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Ekkor a mező hatványára: , és c esetén) (0) A Q0 átlaga egy nem nulla számra zárt, i, akkor є a Q mező részmezeje. Tehát ha az a szám reprezentálható a látványban, akkor Z (Q0. Minimális és nyilvánvaló , Q0 = Q. A nyilvánvaló tétel másik részének bizonyítása.

2.5. A RACIONÁLIS SZÁM RENDSZERÉNEK ALAPJA.

A racionális számok rendszere a számok számának megbosszulására szolgáló minimális mező. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє egy ilyen mező, hogy chi є є nesuperechlivuyu axiómarendszer, scho vyznaє racionális számok. A nem-szuperitás igazolására szükség van az axiómarendszer értelmezésének indukálására. Akinél meg lehet spirálozni az egész számok rendszerének alapját. Szánjunk egy pillanatra, hogy Z(Z\(0)-t változtathatatlan számként értelmezzük. Az algebra két bináris művelete szignifikáns a szorzón
, (1)
(2)
hogy bináris
(3)
Dotsіlnіst sama a műveletek és a vіdnosinі ~ vyplyaє z ilyen megnevezése, hogy іy іyіnpretatsії-ban, ahogy én leszek, pár szó inkább magánjellegű.
Könnyű túlgondolni, hogy az (1) és (2) műveletek kommutatívak, asszociatívak és disztributív módon szoroznak. A hatalom összes hatalmát a számok összeadásának magasabb ereje alapján tisztelik. Pereverimo például több pár asszociativitása: .
Hasonlóképpen újragondoljuk, hogy a különbség ~ є ekvivalens, és ezért a személytelen Z(Z \ (0)) ekvivalencia osztályokra oszlik.
. (4)
Az a feladatunk, hogy kijelöljük a szorzó szorzóvá hajtásának műveletét úgy, hogy az egy mező legyen. A műveletek száma egyenlőségekkel jelentős:
, (5)
(6)
Tehát akkor ab1=ba1, majd cd1=dc1, majd az egyenlőség értékeit megszorozva azt kapjuk, hogy (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), és a tse azt jelenti, hogy Tse megváltoztat minket attól, ami egyenlő (6) ) gyakorlatilag egy személytelen osztályon végzett egyértelmű műveletet jelent, például a bőrosztály képviselőinek megválasztásában. Hasonlóképpen felülvizsgálják az (5) művelet egyediségét.
Mivel az osztályok összeadása és szorzása párokra redukálható, így az (5) és (6) műveletek kommutatívak, asszociatívak és disztributívak, és összeadhatók.
Az egyenlőségek közül le van írva, hogy az osztály kiegészítve semleges elem, a bőrosztálynál pedig a protella yoma elemet használják. Hasonlóképpen nyilvánvaló, hogy az osztály a pluralitás semleges eleme, a bőrosztály esetében pedig a korrekciós osztály. Továbbá є a műveleti terület (5) és (6); először Umov a kijelölt ponton 2,4 nyer.
Nézzük a személytelen távolságot. Nyilvánvalóan, . A személytelenséget ennek a többes számnak a meglátása, majd később a mező pidkil-je zárja le. Helyes, . Vessünk egy pillantást a vízióra, . Ennek a megnyilvánulásnak a szurjektivitása nyilvánvaló. Ha f(x)=f(y), akkor x(1=y(1 vagy x=y. Jelentése f és injektív. Ezen túlmenően, izomorf kiltsya, meg lehet érteni, hogy Z kіlce a mező subkіlcemje, így az elme meg van verve 2 a kijelölt ponton 2.4. mezők i, Na gyere. Bo, ah, akkor. Ale oskіlki - a mező, majd privát tsikh elemek tezh fekszenek a pályán. Tim maga hozta fel, mi van akkor, tobto. Elkészült a racionális számrendszer alapja.

2.6. A RACIONÁLIS SZÁMOK RENDSZERÉNEK EGYSÉGE.

Ha csak egy modern intuitív értelemben vett racionális számrendszer létezik, akkor a racionális számok axiomatikus elmélete, ahogy itt megjelenik, kategorikus lehet. Kategorikus és azt jelenti, hogy az izomorfizmusig csak egy racionális számrendszer létezik. Mutassuk meg, hogy ez igaz.
Legyen (Q1;+, (; Z) és (Q2; (, (; Z)) - olyan, mint két racionális számrendszer.
(1)
(2)
a Q1 mező bármely x és y elemére.
Az a és b privát elemeket a Q1 mezőben, a Q2 mezőben pedig a:b-vel jelöljük. Mivel Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, akkor tetszőleges számú szám esetén a і b ekvivalencia
, . (3)
Gyerünk és de, . Az adott x elemhez a Q2 mezőből az y=a:b elemet rendeljük. Ha a Q1 mezőben igaz az egyenlőség, akkor a Z gyűrűben a 2.4 tétel tétele nyeri az ab1=ba1 egyenlőséget, ellenkező esetben a (3) egyenlőség miatt, és hasonlóképpen ugyanerre a tételre az a egyenlőség: A b=a1:b1 a Q2 mezőben érvényes. A Tse azt jelenti, hogy ha a Q1 mező eleméhez rendeljük a Q2 mezőből az y=a:b elemet, akkor azt, .
A Q2 mező bármely eleme ábrázolható a:b, de, otzhe, є az elem rangja a Q1 mezőből. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Igen, akkor a mezőnyben Q1 és ugyanaz. Ily módon az erjedés f є bієktivnym és minden tsіlі szám rakoncátlanná válik. Igazságot kell teremteni az (1) és (2) egyenlőségek között. Tegyük fel, hogy a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Ekkor i, előjelek a (3) függvényből f(x+y)=f(x)(f(y). Hasonlóképpen, és csillagok.
A (Q1; +, (; Z) és (Q2; (, (; Z))) értelmezésének izomorfizmusa halad.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Megoldás. Nehai Umov 4-es axiómiája igaz (természetes számok olyan hatványa, hogy ((0) i. Csináljuk. Tehát M kielégíti a 4. axióma hatványait, szilánkok (0) (0(M i. Otzhe), M=N, tehát legyen természetes) ).a szám erős (. Vissza. Elfogadható, hogy van-e teljesítmény vagy sem (ebből ((0) i, következő. Legyen M részszorzója N-nek, hogy 0(M i.). ) Megmutatjuk, hogy M = N. Vezessük be a hatványt (, tisztelettel. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Ítélet: Peano 1. és 4. axiómájának igaz állítása. Hibne 2. axiómáinak megerősítése.
1.1.3. Ítélet: Peano 2,3,4 axiómájának igaz állítása. Hibne 1. axiómáinak megerősítése.
1.1.4. Igaz állítások 1, 2, 3 Peano axiómája. Hibne 4. axiómáinak állítása. Vkazіvka: hozni, scho elégedett a 4. axióma lehetőségeivel, a művelet szempontjából megfogalmazva, ale.
1.1.5. Vkazіvka: a 4. axióma igazságának bizonyításához vessünk egy pillantást az M z A részszorzóra, mivel az kielégíti az elmét: a) 1 ((M, b), és személytelen.
1.1.6. Peano 1,2,3 axiómájának igaz állítása. Peano Hibne 4. axiómáinak állítása.
1.6.1. a) Döntés: Kérem, értesítsen, ha hajnali 1 óra. Vissza. Gyerünk
1.6.2. a) Határozat: Elfogadható. M-en keresztül jelentős mértékben személytelenek vagyunk minden számhoz képest, hogy ne legyünk erőteljesek (. Feltételezve, hogy M((. Az 1. Tétel értelmében M-nek van a legkisebb eleme n(0).) Az x szám)
1.8.1. f) Jelölje be az e) és c) pontokat: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, továbbá (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Win power.
l) Pipálja ki a b) o.
l) Jelölje be a b) és a h).
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Apa, .
d) Maemo. Apa, .
és).
1.8.3. a) Mint (i (különböző megoldás egyenlő ax2+bx=c), akkor a(2+b(=a(2+b(.))) . Pontosan ((. Azonban (2=a(+b>a(, is, (>a.))).
c) Nehai (i (- egyenlő i különböző gyökerei (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Később a((+()=2), de (+(>2), később a(+()>2), ami lehetetlen).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y természetes szám; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Pontosan az x=1, y=2, z=3 permutációkig. Megoldás: Például mondjuk x(y(z. Akkor xyz=x+y+z(3z, tehát xy(3.) Tehát xy=1, majd x=y=1 і z=2+z, tehát) Lehetetlen : ha xy = 2, akkor x = 1, y = 2. Ebben az esetben 2z = 3 + z, akkor z = 3. Ha xy = 3, akkor x = 1, y = 3. Ekkor 3z = 4+z , tehát z=2, az y(z.
1.8.5. b) Ha x=a, y=b osztás, akkor ab+b=a, akkor. a>ab, ami lehetetlen. d) Ha x=a, y=b osztás, akkor b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - elég természetes szám és y(1. b) x - elég természetes szám, y=1. c) x egy meglehetősen természetes szám y=1. d) Nincs megoldás. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Ha a = b, akkor 2ab = a2 + b2. Ugyan már, például a

IRODALOM

1. Redkov M.I. Numerikus rendszerek. /Módszertani ajánlások a „Számrendszerek” tantárgyhoz. 1. rész - Omszk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Numerikus rendszerek. / Módszerfejlesztés gyakorlati szempontból. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.