Személytelen természetes számok rendezése. A természetes szám és a nulla fogalma. Az "egyenlő", "kevesebb", "nagyobb" kifejezések személytelen természetes számokon Táplálkozás megértése a matematikai elemzéshez

Az N természetes sorozat alternatívája egy személytelen természetes szám, amely nem változtatja meg az a természetes számot, így N = (x | x N i x a).

Például N ce személytelen természetes számok, tehát ne változtass 7-en, így. N = (1,2,3,4,5,6,7).

A természetes sorozat két legfontosabb ereje:
1) Be-yaky vіdrіzok N bosszúálló magány. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka természetes sorozat.
2) Ha az x szám eltűnik az N і x a ellenfélből, akkor az x + 1 szám következik utánuk, és eltűnik N-ben.

Bezlich A-t kіtsevimnek nevezik, mintha az N természetes sorozat azonos megfelelőjével lenne egyenlő. Például arctalan És a trikutnik teteje, arctalan büdösek egyenlők N = (1,2,3), azaz. A~B~N .
Mivel az A szám nem üres és egyenlő N-nel, ezért az a természetes számot az A szorzó elemeinek számának nevezzük, és felírjuk, hogy n(A) = a. Például, ha A a trikó csúcsainak sokasága, akkor n(A) = 3.

Ha nem lenne üres, a kіtsev bezlіch egyenlő egy és több vіdrіzk a természetes sorozatból, tobto. skin endian plural És tehető egy egyedileg egyenlő a számba, így a személytelen A kölcsönösen egyértelmű az N számban.

A kölcsönös és egynemesség rendezése az elviselhetetlen multilivo és a természetes sorban az ehető rakhunka eke etikája A. Zkilka Az azonos számú istentiszteletek mögött. Az egyik osztályban az összes egyelemű szorzó csökken, a másikban a kételeműek stb. Az első szám az egyenlő erősségű hercegek osztályának végső hatalmának tekinthető. Ebben a sorrendben elméleti-többszörös szempontból egy természetes szám a terminális szorzók osztályának fő hatványa.

A 0 szám lehet szorzóelméleti is – üres szorzóra kell állítani: n() = 0.

Ezenkívül egy természetes szám, mint a mennyiség jellemzője, két pozícióból látható:

1) az A halmaz elemeinek számaként, egy rahunkára nyert;
2) milyen erős a kіtsevyh egyformán erős sokaság osztályának ereje.

A végső szorzók és a természetes számok közötti kapcsolatok létrehozása lehetővé teszi, hogy a "kevesebb" szorzóelméleti elhomályosulását adjuk.

Ha a = n(A), b = n(B), akkor az a szám kisebb, mint a b szám, még akkor is, ha az A szorzó egyenlő a szorzó hatványszorzójával, akkor. A ~ B, de B, B, B (1. ábra) . Abo ha a természetes sorozatban N є szerezzünk sok erőt vіdrіzka N, tobto. N N .

Az а і b számok egyenlők, a yakscho stink egyenlő többszörösei: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Például 2 = 2, mert n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.

A természetes számoknál a „kevesebb” kifejezés dominanciája is hasonló a szorzóelméleti felhőzethez: ehhez kapcsolódik ennek a kifejezésnek a tranzitivitása és antiszimmetriája, ami tranzitív és antiszimmetrikus a „szorzóvá válik” kifejezésre.

Megmutatjuk, hogy a „kevesebb” többelméleti értelmezése természetes számokra, ami 2
Vegyük az A szorzót 2 elem megbosszulásához, és a B szorzót 5 elem megbosszulásához, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Például A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). A B szorzóból láthatjuk a részszorzót, az A egyenlő szorzót: például B = (c, d) і A ~ B.
Méltányosság N-vel szemben
Tsyu nerіvnіst megnézheti a kis 2-t. Ugyan a 2 a hajtások száma, az 5 pedig a négyzetek száma. Ha a köröket a négyzetekre helyezi, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy a négyzetek egy része befejezetlen marad.

Otzhe, a redők száma kisebb, mint a négyzetek száma, tobto. 2
Egyenetlenség szorzóelméleti érzete 0

A számok egymáshoz igazítását a matematika gubacs kurzusában többféleképpen fejlesztik - minden olyan megközelítésen alapul, amelyet a „kevesebb” kifejezés értelmezése előtt megvizsgáltunk.

Tételek a "legnagyobb" és a "legkisebb" számról

4. Tétel (a „legkisebb” számról). Ha nem lenne üres, személytelen számok aljával körülvéve, álljon bosszút a legkisebb számon. (A természetes számokhoz hasonlóan itt is a "többszörös" szót a "többszörös" szó váltja fel E

Hoz. Legyen O A Z i A rojtos alulról, tobto. 36? Zva? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Gyerünk LA.

Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).

Tegyük személytelen M az összes számot a - b formában, de probіgaє személytelen A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)

Nyilvánvaló, hogy a személytelen M nem üres, az A szilánkok 74 0

A jak magasabb, M C N . Később az o r a l n o m h i s l e (54, III. fejezet) tételt követve az M szorzóban a legkisebb m természetes szám. A, és t szilánkok legalább M-ben, akkor Wah? Nál nél< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

5. tétel (a "legnagyobb" egész számról). Legyen valami nem üres, vegye körül a személytelen számok vadállatát, hogy megbosszulja a legnagyobb számot.

Hoz. Legyen O 74 AC Z i A körül a b számú vadállat, tehát. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b minden a számra? DE.

Később az M szorzó (z g \u003d -a, a? A) nem üres, és az alábbi (-6) szám veszi körül. Az előző tétel szerint az M szorzónak a legkisebb a száma, azaz. ász? ICC? M (z< с).

Tse mit jelent Wah? Mint< -а), откуда Уа? А(-с >a)

Z. Az egész számok matematikai indukciójának módszerének különböző formái. Tétel a podіl іz többletről

1. Tétel (a matematikai indukciós módszer első formája). Legyen P(s) - egyetlen predikátum, hozzárendelések Z egész szám többszöröséhez., 4 . Ugyanígy A deyaky SZÁM és Z esetén a P (o) і állítás elégséges egész számhoz K > a z P (K) elcsúszott P (K -4- 1), akkor a P (g) állítás minden számra helyes. z > a (tehát a Z є szorzón a predikátumok kiszámításának valódi képlete:

P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)

bármely rögzített egész számra a

Hoz. Legyenek mindenre igazak a P (c) állítások, a tétel elméjére, tobto.

1) P(a) - igaz;

2) KK SC a + is igaz.

Valahogy elfogadhatatlan. Tegyük fel, hogy van ilyen szám

b> a, sho RF) - helló. Nyilvánvaló, hogy a, oskіlki R (a) igaz. Kielégítően személytelen M = (z?> a, P (z) - hibno).

Todi bezlich M0, oskіlki L? M-et és M-et alul az a szám határolja. Később, a na i m e n n m e l e l o m h i sl tétel (4., 2. tétel) után az M szorzóban a legkisebb c. Zvіdsi z\u003e a, sho, my black, húzva s - 1\u003e a.

Tegyük fel, hogy Р(с-1) igaz. Ha c-1 = a, akkor P (c-1) az elme alapján igaz.

Legyen c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, maga mögött húzva az s 1 birtokát? M, ami nem lehet, de az s-ek száma M-ben a legkisebb.

Ebben a sorrendben s - 1> a és P (c - 1) - igaz.

Gondoljunk a P((c- 1) + 1) állításra a P((c- 1) + 1) állításból – ez igaz. R(s) – igaz. Tse superechit a választás a szám c, oskіlki? A tétel elkészült.

Tekintettel arra, hogy ez a tétel a Peano-féle axiómák 1. következményének szoros következménye.

2. Tétel (az egész számok matematikai indukciós módszerének másik formája). Legyen P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) Z egész számok sokaságán. A P (c) állítás azonban érvényes K decimális egész számra és megfelelő egész számra s A P (c) állítás javítására minden olyan egész számra, amely kielégíti K szabálytalanságait< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Előtt.

p align="justify"> Ennek a tételnek a bizonyítása gazdag, ezért megismétlem egy hasonló tétel bizonyítását természetes számokra (1., 55. tétel, III. fejezet).

3. tétel (a matematikai indukció módszerének harmadik formája). Legyen P(s) - egy-egy predikátum, hozzárendelések a Z cіlіs CHІСі szorzón. Ha P(c) igaz A nulla természetes számok M decimális szorzójának minden számára i Elégséges egész esetén a C igaz P(a), akkor P(a - 1) igaz, akkor a P(c) állítás igaz minden számra.

A bizonyítás analóg a természetes számok kettős tételének bizonyításával.

Proponuemo yogo, mint egy kabóca jobbra.

Érdemes megjegyezni, hogy a gyakorlatban a matematikai indukció harmadik formája hangsúlyosabb, alacsonyabb és alacsonyabb. Elmagyarázzák, hogy її zastosuvannya esetén ismerni kell a természetes számok szorzójának M végtelen részszorzóját, ez a tételből kiderül. Egy ilyen multiplikátor ismerete nehéz feladatnak tűnhet.

Ale, a harmadik alak előnye a többi előtt abban rejlik, hogy a P (c) kiegészítő propozíciót minden egész számra hozzák.

Az alábbiakban a harmadik formájú zastosuvanya fenekét célozzuk meg. Ale, háttal, damo még egy tiszteletteljes megértés.

Időpont egyeztetés. Az a egész szám abszolút értéke a szabály szerint hozzárendelt szám

0, ha a O a, ha a > O

A yakscho a< 0.

Otzhe, mint egy 0, akkor? N.

Azt javasoljuk az olvasónak, hogy joga van az ilyen hatalmat abszolút nagyságrendre vinni:

Tétel (a túlcsordulásról). Előtte tetszőleges számú a i b, de b 0, iсnuє i számhoz csak egy olyan q U m számpár van, amelyre a r: bq + T L D.

Hoz.

1. A tét alapja (q, t).

Legyen a, b? Z i 0. Megmutatjuk, hogy van egy q i számpár

A bizonyítás indukcióval történik a harmadik alakban az a mennyiségre fix b számmal.

M = (mlm = n lbl, n = N).

Nyilvánvaló, hogy M lt egy f: N M kifejezés, amelyet az f (n) = nlbl szabály határoz meg bármely n? N egy bijekció. Tse azt jelenti, hogy M N, azt. M-nem egyértelműen.

Mondjuk, hogy egy bizonyos számtól a? A q і t számpár alapjáról szóló tétel M (і L-fix) állítása igaz.

Igaz, legyen egy (- M. Todi a pf! egy igazi p?

Ha b > 0, akkor a \u003d n + O. Figyelembe véve most q \u003d n és m O, vesszük a szükséges q és m számpárt.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Zrobimo most bevezető juttatás. Tegyük fel, hogy elegendő s egész számból (és elegendő fix b 0-ból) igaz a tétel állítása, akkor. olyan számpár (q, m), hogy

Megmutatható, hogy a (з 1) számra inkább az i. Z = s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (egy)

Esetleg leesik.

1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. Ezen a ponton, miután - t - 1-et tettünk, z - 1 - bq + Tl-t veszünk, de para (q, 7" 1,) nyilvánvalóan tetszik ész

0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1

Gyakorlás nélkül lehetséges, hogy 0< < Д.

Ebben a sorrendben a határozottság igaz és számok fogadására

A tétel első része elkészült.

P. Egyszeri fogadás q і stb.

Tegyük fel, hogy az a i b 0 számokra két (q, m) i (q1) számpárt is fel lehet állítani úgy, hogy az elmét kielégítse (*)

Lássuk, szöknek a bűzök. Ó, ne már

én egy bq1 L O< Д.

Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1

Tegyük fel most, hogy q ql, majd q - q1 0, csillagok lq - q1l 1. - q11 D. (3)

Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

U r a f n i n nya:

1. Fejezze be az 5 1. 2. és 3. tétel bizonyítását!

2. Egészítsd ki a 3. Tétel 1. 2. következményét.

3. Összeadáshoz mennyi az NS Z összege, mit adunk össze az űrlapon megadott számokból< п + 1, 1 >(n? N), a szorzás zárt módja.

4. Jelentse N ugyanazokat a személytelen dolgokat, amelyekhez joga van 3. Hozd el, amit látsz ј: M örömet okoz az elméknek:

1) ј - bієktsіya;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) és j(nm) = j(n) j(m) bármely n, m, i (H, +,) számra.

5. Fejezze be a 2. 1. tétel bizonyítását!

6. Annak bizonyítására, hogy tetszőleges számú a, b számra a következő következtetések érvényesek:

7. Mondd el egy barátodnak a Z tétel harmadát.

8. Bizonyítsuk be, hogy a Z egészek száma nem bosszulja meg a nulla számokat.

Irodalom

1. Bourbaki N. A többszörösek elmélete. M.: Svit, 1965.

2. Vinogradiv I. M. A számelmélet alapjai. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov I. T. Adja meg az aritmetikát. M: Uchpedgiz, 1963.

4. Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai.

M: Nauka, 1972.

5. Kostrikin A. I. Bevezetés az algebrába. M: Nauka, 1994.

b. Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet. M: Vishcha. iskola, 1979.

7. Kurosh A.G. A legfejlettebb algebra menete. M: Nauka, 1971.

8. Lyubetsky V. A. Az iskolai matematika alapfogalmai. M: Prosvitnitstvo, 1987.

9. Lyapin ES. hogy be. Már a csoportelméletből. M: Nauka, 1967.

10. Maltsev A. I. Algebrai rendszerek. M: Nauka, 1970.

11. MenDelson Ege. Bevezetés a matematikai logikába. M: Nauka, 1971.

12. Nechaev V. I. Numerikus rendszerek. M: Prosvitnitstvo, 1975.

13. Novikov P.S. A matematikai logika elemei. M.. Nauka, 1973.

14. Petrova V. T. Algebra és geometria előadásai.: U 2 évf.

CHL. M: Vlados, 1999.

15. Sochasni lesből iskolai matematika tanfolyam Avt. hitel: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980.

16. L. A. Kushnir, Az algebra elemei. M: Nauka, 1980.

17. Stom R.R. Személytelenség, logika, axiomatikus elméletek. M.; Osvita, 1968.

18. Stolyar A. A. Logikai bevezetés a matematikába. Minszk: VISCHII. iskola, 1971.

19. V. P. Filippov, Algebra és számelmélet. Volgograd: VGPІ, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hiel I. Adja meg a többszörösek elméletét! M: Svit, 1966.

21. Fuchs L. Chastkovo rendelési rendszerek. M.: Svit, 1965.

Kezdetben látható

Volodimir Kosztyantinovics Kartasov

BEVEZETŐ MATEMATIKA TANFOLYAM

Fő segítség

Szerkesztői előkészítés O. I. Molokanova Az eredeti elrendezést O. P. Boshchenko tervezte

„PR 020048 96.12.20

99.08.28-án aláírták egymásnak. Formátum 60x84/16. Druk iroda. bumm. típusú. M 2. Uel. pich. l. 8.2. Uch.-nézet. l. 8.3. Példányszám 500 példány. Varázslat 2

Vidavnitstvo "Zmina"

A természetes szám az egész szám, mintha nyerne a tárgyak rahunkájára. Vono viniklo z az emberek gyakorlati szükségletei. A természetes szám megértésének fejlesztése több lépésre bontható: 1. az idősek a személytelenség leküzdésére kialakították a lényeget: például a talpbetétet, az ujjakat a kezeken. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli, de egy óra áll rendelkezésre ellenőrzésre. 2. Bezlich - közvetítők, például kövek, teknősök, botok. A kilkіst fogalma szerteágazóbb. І számok meghatározott tárgyakhoz kötve. 3. Egy szám megjelenése (a szám megjelölése a látható számjegyekkel). A matematika születése. Az aritmetika, mint tudomány az ókori származású országokban - Kínában, Indiában, Egyiptomban, távoli fejlődés Görögországban. A „természetes szám” kifejezést először Boetius római tanításai használták. Rakhunok szükséges kijelölni egy csomó pénzt. Rozіb'єmo minden kіlkіsnі szorzót az ekvivalencia osztályán, például egy ekvivalenciaosztályban. látni a trikutnik arctalan tetejét, a tér oldalait, a fény szó arctalan betűit. Ha folytatja ezt a folyamatot, akkor azokon keresztül, amelyek egyenértékűek - minden ugyanolyan erős. Kіntsevі szorozva vyyavlyatsya osztályok számára. Hogy. elméletileg - a kіlkіsnogo természetes szám pluralitása - є zagalna vlastіvіst osztály kіncevih egyformán erős többes szám. A bőrosztálynak saját száma van. A nulla üres szorzóra van állítva.

Az A és B számokat egyenlőnek nevezzük, mert számuk egyenlő.

Egy ilyen módszer stagnál a cob osztályokban.

Az aritmetikai barkácsolás sajátos jelentését feltáró feladatokon végzett munka technikája.

A matematika során jelentős helyet foglalnak el az aritmetikai feladatok. Mayzhe fél órával azelőtt egy óra matematika órákat kell bevezetni a feladat elvégzéséhez. Mindaz a nagy szellemi és világító tekercs, amit a bűz játszik a gyerekek nevelésének órájában. A Virishennya számtani feladatok segítenek feltárni a számtani műveletek alapvető matematikáját, konkretizálni azokat, kapcsolódni az énekes élethelyzethez. Zavdannya átvenni matek értsd, Vidnosin, törvények. Amikor a feladatot teljesítik, a gyerekekben egészen tisztelet, óvatosság, logikusabb gondolat, Mova, kmіtlivist. A cél a kognitív tevékenység olyan folyamatainak fejlesztése, mint az elemzés, szintézis, összehangolás és finomítás.

Az aritmetikai feladatok megoldása során a tanulók megtanulják megtervezni, irányítani tevékenységeiket, megnyílnak az elfogadás, az önkontroll (feladatok újraellenőrzése, majd a feladatok becslése), arroganciájukban, akaratukban megingatják, az érdeklődést pontig fejlesztik. feladatok megoldásában. Nagy szerepe van a virishennya zavdannak a gyermekek életre, jövőre való felkészítésében munkaügyi tevékenység. A cselekményfeladatok megoldása során a tanulók elkezdenek váltani az objektumok és értékek között a „matematika nyelvére”. A számtani feladatokban a számszerű anyag győzedelmeskedik, amely az ország sikerét inspirálja a népállam, a kultúra, a tudomány különböző galériáiban. A Tse spryaє bővíti a hallgatók látókörét, új ismeretekkel gazdagodva az aktuális akcióról. Uminnyam vyrishuvati aritmetikai zavdannya uchnі opanovuyut nagy nehézségekkel.

A gyerekek kegyelmi feladatainak okai elméjük sajátosságai előtt kiáltanak értünk. A navchannya rozvyazannyu folyamatában a feladatokat egyedileg az első elme feladatának tetejére kell feszíteni, figyelembe kell venni a feladatok rozvjazannya megközelítését, eligazodni az egyszerű élethelyzetben, a feladat leírásában. , a feladat mérlegelése, az adott jövőkép mérlegelése. Bármely aritmetikai probléma feldolgozásakor a következő szakaszokat láthatja:

1. Dolgozzon a feladatkezelőn.

2. Poshuk problémamegoldás.

3. Problémamegoldás.

4. A vélemény megfogalmazása.

5. A problémamegoldás áttekintése.

6. Távol a robottól a legfontosabb feladatok felett.

Mármint a következő tiszteletére, hogy a robotokat a gyár zmistje fölé csatolja, tobto. a feladatokban a helyzet megértése, a danim és a shukanim közötti parlagon létesítés. A feladat meghódításának munkasora;

a) tudatlan szavak és virazivok elemzése;

b) a tanár által adott szöveg elolvasása és tanulása;

c) jegyzőkönyvet a feladat elvégzéséről;

d) az étkezési feladat megismétlése.

Vyraznym a következő tanulmány vezetőjének szövegét olvasva. Emlékeztetni kell arra, hogy a gyerekeknek különösen szükségük van egy promóciós olvasmány elolvasására, nem tudják önállóan helyesen elolvasni a feladatot, nem tudnak logikus hangokat rendezni stb.

A további tantárgyak, sablonok és kisgyerekek feladatának konkretizálása a széles körű iskolákban a robotok gyakorlatában a feladat kiosztásához a következő formában került kialakításra:

1. A jegyzet formája lerövidül, ha a feladat szövegébe számszerű adatokat és csak néhány szót és szót írunk fel, ha a feladat logikai értelmének megértéséhez szükséges.

2. Rövid szerkezetű írásforma, ha a feladat skin logikai részét új sorból írjuk.

3. A rekord sematikus formája.

4. Grafikus írásforma.

Mivel a funkció a kontroll gyermekeknél gyengül, akkor az újbóli vizsgálat a rozvyazannya zavdannya lehet megvilágított, és th wihovne jelentősége. A fiatalabb osztályokban szükséges:

1. Verbálisan fogalmazza meg a feladatokat, barangolva az objektumok között.

2. Gondolja át a helyzet valóságát.

3. Gondolja át a növény elméjének és táplálékának megfelelőségét. A feladatok megoldásának más módon történő újraellenőrzése її vyshennya a 4. osztálytól lehetséges.

A feladat kidolgozásának helyességének ellenőrzése érdekében a programozott képzés elemeinek kiválasztása és cselekvése szükséges. Ez az elem még macerásabb, hogy ismét figyelembe veszem a chi helyességét és a saját tetteim bocsánatát. A borok döntésének bocsánatára a cseresznye új módjai vannak.

A tanár az iskolában nagy valószínűséggel éneklik, hogy a rozvyazannya avdannya megvilágosodott a tanítások. Jobb, ha ő végzi el a feladat elvégzésének rögzítését. A rögzített feladatok munkája többféleképpen is elvégezhető.

1. Állítson be egy egyetemi ételt, hogy megmentse a helyzetet.

2. Proponuetsya rozpovіsti all rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.

3. Tegye fel az ételt okremih diy chi ételre. A tanulók számára fontos az analóg feladatok varianciáinak száma, a tárgyi helyzet megértése közöttük. Tsіy metі і, hogy messzire robotként szolgálja a feladat feladatait, hiszen láthatja, mennyire fontos az ilyen típusú feladat kezdete. A téma, a feladat, az adatok és a shukani közötti ugarok jobb megértéséhez, a feladat tökéletesítéséhez a napi számadatok krediteiből, nem számokkal, hanem szavakkal. Ügyeljen arra, hogy megmutassa, hogy a legjobb tanárok széles körben győzedelmeskednek, mint az egyik módszer a tanárok által végzett feladatok megszervezésére.

A feladat sorrendbe állítása segíti a gyerekeket abban, hogy jobban megértsék a feladat élet-gyakorlati jelentőségét, jobban megértsék felépítését, és megtanulják a különböző fajok feladatának megkülönböztetését, a döntés megértését. A feladatok sorrendbe állítása az előkészített feladatok döntéseivel párhuzamosan történik. Dosvid, hogy az óvatosság megmutatja, hogy könnyebb az uchnіv chastkovo hajtogatott feladat. Csúsztatva serkenti a különböző cselekmények vezetőinek tanításainak kialakulását. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet kegyelem, іnіtsiativi. Kínosabb, ha az iskolavezető tárolására megkapják azt az anyagot, amit egy órás kirándulásokhoz „szereznek”, dovіdnikіvből, újságokból, folyóiratokból stb. A felső tagozatosok tanulóinak meg kell tanulniuk az ezekkel és más rosrahunkákkal kapcsolatos üzleti dokumentumok írását és megírását. Például írjon jóváhagyó levelet, töltse ki az űrlapot egy filléres megrendeléshez. Minden magasabb kinevezés széles körben felhasználható mindenféle feladat megünneplésekor.

Az egyszerű számtani feladatot feladatnak nevezzük, mintha egy számtani feladatot kellene megoldani. Bocsáss meg a zavdannya-nak, hogy a matematikatanítás órájának szuper-elsődleges szerepét játssza. A legegyszerűbb feladatok lehetővé teszik az alapismeretek bővítését és a számtani függvények konkretizálását, azok és más matematikai fogalmak megfogalmazását. Bocsáss meg a raktári hajtogatás rendjéért, később a vminnya virishuvati їx formálásával a tanár felkészíti a tanulókat a hajtogatási rend megnyitására.

A dermális alapozás alapján tanulja meg a legegyszerűbb feladatok új típusait. Lépésről lépésre történő bevezetésüket a matematikai megértés problémájának különböző szakaszai magyarázzák, a csendes aritmetikai folyamatok művelésének folyamata, feltárul az ilyen bűz sajátos megoldása. Nem kisebb tisztelet a tanár felé, amikor megválasztja a vezetőt, milyen érdem, és ennek a megtiszteltetésnek a konkretizálása. Nareshti, olvasó, hogy konkretizálja a zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi, hogy shukanimi további formáit rövid felvétel.

A legjobb olvasók munkájának befejezése azt mutatja, hogy a számolási feladatok elvégzésére való felkészítést a tanulás gyakorlati ismereteinek fejlesztéséből, azok megfelelő hatékonyságú orientálásából kell kiindulni. Megtanulva vezetni kell abban az élethelyzetben, amelyben lehet javítani, számtani feladatokat felülvizsgálni, változtatni lehet. Sőt, ezek a helyzetek nem a következő dolgok, amelyek darabonként jönnek létre, kevésbé valószínű, hogy megfordulnak, és elveszik a hallgatók tiszteletét. A tanár az edények helyett a tantárgyi sokaságok változó elemszámára őrzést szervez. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst to znajomstvo їх іz sing termіnologiєyu, yak zstrіnetsya a feladat szóbeli megfogalmazásával: lett, minden elveszett, elvitték, nőtt, változott stb. Meg kell szervezni a tanulók ilyen játékos és gyakorlatias tevékenységét, hogy e tevékenység megszakítás nélküli résztvevői, valamint poszterigayuchi lévén, maguk a diákok is megdolgozhassák a visnovkát a bőr krémes cseppjére; a szorzó elemeinek száma nőtt, vagy a szorzó elemeinek száma megváltozott, és valamilyen művelet, amely a verbális viraz növekedést vagy változást mutat. A munka előkészítésének ez a szakasza az első tíz számainak megmunkálásával és az aritmetikai műveletek, a megoldások és a műveletek tárgyi többesszámból történő hajtogatásának ismeretével kezdődik.

Mindenekelőtt a számolási feladatok tanulásának kezdetekor a tanár vétkes abban, hogy egyértelműen felfedi magát, a tudáshoz hasonlóan ezeket a készségeket is át kell adni a tanulóknak. A feladat megoldásához tanulja meg az aritmetika feladatait, alkalmazza, hallgassa, majd olvassa el a feladatot, ismételje meg a feladatot ételből, rövid jegyzet erejéig, emlékezetből, nézze meg a raktári komponenseket a feladatban, ellenőrizze a feladatot, és fordítsa meg a feladatot. a bontás helyessége. Az 1. órán a tanulók elkezdik ellenőrizni a táska és a felesleg dorgálásának feladatát. A feladat qi-jét az első tíz számainak kezdetének órájának kezdete előtt kell megadni. A rozvjazannya elején ugyanazon dodankiv összegének megváltoztatása volt a feladat, alul a chi egyenlő részén az ezüstért ment, majd spirálozás következett a szorzás napi aritmetikai folyamatainak megértésében, ill. az alsó. A tanítások közötti különbségek sorrendjének megnyitása előtt meg kell érteni az objektumok sorrendjét egy totalitásban, két objektív totalitásban, méretben, számban, ezek s-hasonlóságát egy sorba állítva. egyenértékűség és idegesség. Rakjuk össze, vagy rakjuk össze, az aritmetikai feladatokat feladatoknak hívják, mint ahogy két ember nem tud több aritmetikai folyamatok. Az aritmetikai raktári feladatok jellemzőinek alakulását vizsgáló pszichológiai vizsgálatok azt mutatják, hogy a gyerekek nem ismerik fel az egyszerű feladatokat egy új raktári feladat kapcsán. A raktári feladatok elvégzéséig tartó munka előkészítése a nevelési-oktatási intézmények jogrendszerének, felvételinek, szabályszerű lebonyolításának a számlájára írható a raktári feladatok döntéseinek megszületéséig. A raktárvezető befejezése előtt átmehet ugyanoda, ha meggondolja magát, ahol a tudósok trükkök segítségével elsajátították az egyszerű feladatok elrendezését, ha a raktárvezetőhöz megy, akkor maga is felteheti együtt egy éneklő elme egyszerű feladata. Amikor rozv'yazannі raktározás zavdan uchnі povinnі vagy danih fel élelmiszer vagy élelmiszer, hogy adatokat. Az előkészítő időszakban is, tobto. az első sors utolsójának nyújtásával, hogy a másik sors csutkáján tanulva, követve a feladat tanításait:

1. Mossa el az ételt, mielőtt elkészül.

2. Az ételből összeadja a feladatot, a napi számszerű adatokat szedve.

Az egyszerű és raktári feladatok hajtogatása, a raktári feladatokból való tanulás lépésről lépésre történő megtanulása egyszerű, még ha még pontosabban is elvégezte őket, joga van hajtogatni a hajtogatási feladatokat. Elfogadják az egyszerű feladatok nézeteinek legrövidebb elsajátítását, okosítják azokat, hogy megkülönböztessék őket a raktári feladatoktól, és segítik a tanulókat a feladatok elemzésében. Amikor vyrіshennі raktár zavdan uchnіv szán nauchit zagalnyh priyom_v munka z zavdannyam; vminnyu zmist feladatok elemzésére, a megadott adatokban látva shukane (meg kell állapítani, hogy a feladatban mi szükséges felismerni), attól függően, hogy mely adatok nem kerülnek felhasználásra a feladatban szereplő táplálkozás fejére vonatkozó áttekintéshez. Gyakorlatilag az iskolai munka önmagához igazodik a kártyás munka, olyan feladatok használatával, amelyekben rögzítik a feladatok elvégzésének sorrendjét. A rendelés elkészültekor a döntést felírják a táplálkozással, vagy rögzítik és elmagyarázzák a bőrműködést. Az adott típusú feladatok meghatározott elrendezési módjának változatosságát a feladatok változatos elrendezése biztosítja különböző típusú, cselekményekkel, a tanulók által elkészített és hajtogatott megoldásokkal, adott típusú feladatok korábban megoldott feladattípusokkal, stb.

1. Ismertesse a vipadkіv számolási módszerét 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 százas koncentrációval kell számolni.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54

4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36

5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18

6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45

Usі priyomi és számolás usnі és vykonuyutsya alapján a soraiban összecsukható és vіdnіmannya.

Mint kiderült, a számtalan természetes számokat egy további "kevesebb" kifejezéssel lehet rendbe tenni. De hangsúlyozni kell az axiomatikus elmélet szabályait, hogy a célt ne csak meghatározzák, hanem az ebben az elméletben már kijelöltek alapján megértsék. Többet tehet, ha a hozzáadással "kevesebbet" tesz.

Időpont egyeztetés. Az a szám kisebb, mint a b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

A tsikh elméknek ugyanezt mondják, scho szám b több aő írja b > a.

12. tétel. Bármilyen természetes számra aі b lehet egy és csak egy a három életképes közül: a = b, a > b, a < b.

Ennek a tételnek a bizonyítása kimaradt. Z ієї a tétel nyilvánvaló, mi az

a ¹ b, te chi a< b, vagy a > b tobto. vіdnoshennia „kevesebb” lehet a pov'yazanostі ereje.

13. tétel. Yakscho a< b і b< с. akkor a< с.

Hoz. Ez a tétel a tranzitivitás erejét a „kevesebb” sugallatával fejezi ki.

szóval jak a< b і b< с. akkor a "kevesebb" elnevezés céljából vannak olyan természetes számok előttés akkor b \u003d a + i c \u003d b + I. Ale todi h = (a + k)+ / і a hajtogatás asszociativitása alapján: h \u003d a + (+/). Oskilki hogy + én - akkor természetes szám a< с.

14. tétel. Yakscho a< b, ez nem igaz b< а. Hoz. A Tsya tétel a hatalmat fejezi ki antiszimmetria vodnosini "kevesebb".

Kezdjük elölről, mi minden természetes szám esetében a ne wi-!>! ■ ) її lemondás a< a. Ne fogadjuk el, tobto. mit a< а maє mistse. Todi, a kék "kevesebb" céljára van egy ilyen természetes szám Val vel, mit a+ h= a,és nem helyettesíti a 6. tételt.

Most mondjuk azt a yakschot a< b, akkor ez nem igaz b < a. Ne fogadjuk el, tobto. mi yakscho a< b , akkor b< а győzelem. A 12. tétel egyenlőségeinek listája a< а, ami lehetetlen.

Tehát, ahogy mondjuk, a „kevesebb” antiszimmetrikus és tranzitív, és ereje lehet a lineáris sorrendhez képest, de a természetes számok személytelensége. lineárisan rendezett arc nélkül.

A "kevesebb" megjelölésből az erő jógája bevezethető a természetes számok szorzójának hatalmi házába.

15. tétel. Az összes természetes szám közül az egyik a legkisebb szám, tobto. én< а для любого натурального числа a¹1.

Hoz. Na gyere a - természetes szám legyen. Akkor két lehetőség van: a = 1 ta a ¹ 1. Yakscho a = 1, akkor ez egy természetes szám b, amiért az egyik következik a: a \u003d b " \u003d b + I = 1+ b, tobto, a vodnosini "kevesebb" céljára, 1< a. Otzhe, legyen az természetes több 1 chi több mint 1. Abo, a magány a legkisebb természetes szám.

A „kevesebb” bevezetése a számok hajtogatásához és szorzásához kapcsolódik a monotónia erejével.

16. tétel.

a \u003d b => a + c \u003d b + c, hogy a c \u003d b c;

a< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c és ac > bc.

Hoz. 1) Ennek a szilárdságnak az igazságossága nyilvánvaló a hajtogatás és a szorzás egységéből.

2) Yakscho a< b, akkor ez egy természetes szám k, mit a + k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ nak nek)= (a + c) + k. Saját tőke b+ c = (a + c) + -hoz azt jelenti, hogy a + c< b + Val vel.

Szóval magától értetődik a< b =>ász< bс.

3) Ugyanúgy kell hozni.

17. tétel(Fordított 16. tétel).

1) a+ c = b + c vagy ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с vagy ász< időszámításunk előttÞ a< Ь:

3) a + c > b+ w o ac > bcÞ a > b.

Hoz. Hozunk például mit ász< bс következő a< b Ne fogadjuk el, tobto. hogy a tétel nem győztes. Todi nem tud buti, scho a = b. arra, hogy akkor is a féltékenység győzne ac = bc(16. tétel); nem lehetek én a> b, másik út ac > bc(Tétel!6). Ezért a 12. tételig a< b.

A 16. és 17. tételből bevezethető a szabálytalanságok tagonkénti összeadása és szorzása. Kihagyjuk.

18. tétel. Bármilyen természetes számra aі b; n természetes szám is, amely p a.

Hoz. Kinek lenni a találni egy ilyen számot P, mit n > a. Kinek elég venni n = a + 1. A tag egyenetlenségének szorzása P> aі b> 1, elfogadható pb > a.

Ha a hatóságokat nézzük, a kék „kevesebbet” láthatjuk, hogy kiénekeljük a természetes számok szorzójának fontos szingularitásait, amelyeket bizonyítás nélkül indukálunk.

1. Ні egy természetes számra a nincs ilyen természetes szám P, mit a< п < а + 1. Tsya hatalmat hívnak hatalmon
diszkrétség személytelen természetes számok és számok aі egy + 1 név bírósági.

2. Be-yak nem üres részszorzó természetes számok bosszút állni
a legkevesebb szám.

3. Yakscho M- A személytelen természetes számok üres száma
és ugyanaz a szám b, mi minden x s számra M nem fog nyerni
egyenlőség x< b, majd az arctalanban Mє legtöbb.

A 2 és 3 erejének szemléltetése a fenéken. Na gyere M- névtelen kétjegyű számok. szóval jak Mє természetes számok részszorzója і minden számra< 100, то в множестве Mє a legnagyobb szám a 99. M, - 10. szám.

Ily módon a "kevesebb" bevezetése lehetővé tette, hogy megvizsgáljuk (és vipadkiv sorba hozzuk) a természetes számok szorzójának hatványainak jelentőségét. Zokrema, lineárisan elrendezett, diszkrét, legalább 1.

A természetes számok „kevesebb” („több”) beállításával a kisiskolások a tanulás legelejét ismerik. És gyakran a jógo-szorzó-elméleti értelmezések sorrendjében az axiomatikus elmélet keretein belül általunk adott definíció implicit módon igazolódik. Például a tanulók elmagyarázhatják, hogy 9 > 7, szilánkok 9 - nem 7 + 2. Gyakran és implicit módon győztes hatalom monotónia hajtogatás és szorzás. Például a gyerekek elmagyarázzák, hogy „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

jobb

1, Miért nem lehet a személytelen természetes számokat a kék segítségével „középsorrend nélkül” rendezni?

Fogalmazzon meg egy jövőképet a > bés bizonyítsa be, hogy tranzitív és antiszimmetrikus is.

3. Mondd el, mi az a, b, c- természetes számok, akkor:

a) a< b Þ ас < bс;

b) a+ h< b + su> a< Ь.

4. Néhány tétel az összeadás és szorzás monotonitásáról lehet
vykoristovuvaty fiatal iskolások, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, ne vykonuyuchi számítani":

a) 27+8...27+18;

b) 27-8...27-18.

5. A természetes számok szorzójának erejéhez hasonlóan a kisiskolások implicit módon nyernek, ugyanazt a feladatot nyerik:

A) Írja le a számokat, például nagyobb, kisebb 65, kisebb, kisebb 75.

B) Nevezze meg a következő számot a 300-as szám előtti dátum szerint (800 609 999).

C) Nevezze meg a legkisebb és legnagyobb háromjegyű számot!

Vidnimannya

Nál nél axiomatikus motiváció A természetes számok elmélete köztudottan úgy hangzik, mint egy művelet, amely visszatér a készletbe.

Időpont egyeztetés. Figyelembe véve az a és b természetes számokat, a műveletet hívjuk meg, ami kedvére való: a - b = s csak és csak néhány, ha b + c = a.

Szám a - b a számok különbségét i-nek nevezzük b, szám a- változás, és a szám b- látott.

19. tétel. Természetes számok változása a- bіsnuє tоdі і kevesebb, mint tоdі, ha b< а.

Hoz. Hagyja kiskereskedelmi forgalomba a- bІсnuє. Todi, a megjelölt kiskereskedelminél van ilyen természetes szám Val vel, mit b + c = a, a tse pedig azt jelenti b< а.

Jakscso b< а, akkor a "kevesebb" elnevezés céljából az is természetes szám, hogy b + c = a. Todi, a kijelölt kiskereskedelem számára, c \u003d a - b, tobto. kiskereskedelem a - bІсnuє.

20. Tétel. Mi a különbség a természetes számok között aі b Biztos vagyok benne, csak egy van.

Hoz. Elfogadható, hogy kettő van különböző értékeket a számok különbsége aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, ráadásul c₁ ¹ c₂ . Todi a kijelölt kiskereskedők számára, esetleg: a = b + c1,і a = b + c₂ : . Lásd a következőket b+ s ₁ \u003d b + c ₂ :és a 17. Tétel alapján illeszthető c1 = c2. Akkor a kihagyásig jutottak, ez téves, de a tétel helyes.

Vyhodyachi z vznachennya raznitsі természetes számok, amelyek її іsnuvannya, követheti a szabályait vіdnimannya számok sumi és sumi a számok.

21. tétel. Na gyere a. bі h- természetes számok.

hanem yakscho a > c, majd (a + b) - c \u003d (a - c) + b.

b) Yakscho b > c. akkor (a + b) - h - a + (b - c).

c) Yakscho a > c és b > c. akkor vikoristovuvati if-yaku ezekből a képletekből.
Hoz. Időben a) számbeli különbség aі cіsnuє, oskelki a > c. Jelentősen її át x: a - c \u003d x. csillagok a = c + x. Yakscho (a+ b) - c \u003d y. majd a meghatározott áron, a+ b = h+ nál nél. Mi képviseljük a qiu kiegyensúlyozottság zamіst a viraz h + x:(h + x) + b = c + y. Felgyorsítjuk az asszociativitás erejét, hogy hozzáadjuk: c + (x + b) = c+ nál nél. Változtassuk meg ezt az egyenrangúságot a monotónia ereje alapján, hozzátéve, hogy:

x + b = y.. A dán x ekvivalencia helyére viraz a-c, anyáskodjunk (a - G) + b = y. Ebben a rangban hoztak minket, scho yakscho a > c, akkor (a + b) - c = (a - c) + b

Hasonlóképpen történik a bizonyítás a b) esetben is.

A tétel eredménye könnyen megjegyezhető szabályként fogalmazható meg: ahhoz, hogy az összegből számot vegyünk, elegendő egy raktári összegből átvenni a számot, és több kiegészítést hozzáadni.

22. tétel. Na gyere a, b i c - természetes számok. Yakscho a > b+ c, akkor a- (b + c) = (a - b) - c vagy a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Ennek az elméletnek a bizonyítása hasonló a 21. tétel bizonyításához.

A 22. Tétel vizuális szabályként is megfogalmazható, ahhoz, hogy a számokból a számok összegét vegyük figyelembe, elegendő egyenként figyelembe venni az egymást követő skin-összeadások számát.

Nál nél kukoricacső matematikusok vyznachennya vіdnimannya jak dії, zvorotnogo dodavannya, a látvány, a hang, nem adnak, de folyamatosan koristuyutsya, pochinayuchi z vikonannya dіy egyjegyű számok felett. Tanulja meg jól megérteni, hogy mit kell mondania a redőkről, és nyerje meg az összefüggéseket a számítás során. Lásd például a 40-es számtól a 16-os számot, tanulja meg így jelölni: „Nézze meg a 16-os számot a 40-ből – ami azt jelenti, hogy ismerni kell egy ilyen számot, ha a 16-os számmal hajtogatja, írja be a 40-et; ez a szám 24 lesz, tehát 24 + 16 = 40. Átlag. 40-16 = 24".

A számok összegből és számokból összegből való értelmezésének szabályai a matematika csutka kurzusában є elméleti alapja Számítsa ki az egyéb bevételeket. Például egy viráz értékét (40 + 16) - 10 lehet tudni, nem csak úgy, hogy megszámoljuk a karokban lévő összeget, hanem akkor is, ha kiszámoljuk belőle a 10-et, de ilyen rangban;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

jobb

1. A chi helyes, mekkora a természetes bőrszám a szakadatlanul előretörő magányból?

2. Miért különleges a 19. Tétel logikai szerkezete? Meg tudod її győztesen megfogalmazni a „szükséges, hogy elég” szavakat?

3. Mit hozzon:

hanem yakscho b > c, akkor (a + b) - c \u003d a + (b - c);

b) yakscho a > b + c, akkor a - (b+ c) = (a – b) – p.

4. A Chi anélkül, hogy megszámolná, mondjuk az ilyen virazіv dorivnyuvatimut jelentését:

a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16-14 ),

b) (50-14) + 16; e) 50- (16-14);
c) (50–14) – 16, f) (50 + 14) – 16.

a) 50 - (16 + 14); d) (50-14) + 16;

b) (50-16) + 14; e) (50-14)-16;

c) (50-16)-14; e) 50 - 16-14.

5. Yakі power vіdnіmannya є elméleti alapja a priyomіv kalkulus fejlesztésének, scho vychayutsya a matematika gubacs kurzusánál:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 \u003d 16-6 - P;

c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 = 40 + 8 \u003d 18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Ismertesse a látási érték kiszámításának lehetséges módszereit! a - b- hés szemléltesse őket konkrét fenekeken.

7. Mondd, mit b< а és legyen bármilyen természetes c virna kiegyensúlyozottság (a - b) c \u003d ac - bc.

Vkazivka. A bizonyítás a 4. axiómán alapul.

8. Számítsa ki a virazu értékét a betűk számolása nélkül! Vidpovidi pakolás.

a) 7865 × 6 - 7865 × 5 b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 - 7×36.

Podil

A természetes számok axiomatikus elmélete szerint a rozpodil úgy hangzik, mint egy művelet, amely szorzásba fordult.

Időpont egyeztetés. A természetes számok a és b felosztása olyan művelet, amely kielégíti az elmét: a: b \u003d s todi és csak todi, előtt ha b× h = a.

Szám a:b hívott magán számok aі b, szám a dilimim, szám b- dilnik.

Úgy tűnik, a személytelen természetes számokon nem szükséges a természetes számokat megkülönböztetni, és nincsenek olyan nyilvánvaló jelei a magánalapnak, mint a kiskereskedelemben. Є tilki szükséges elme a magánélet alapja.

23. tétel. Két természetes szám létrehozása érdekében aі b szükséges b< а.

Hoz. Maradjon magán természetes számok aі b Tudom. olyan c természetes szám, hogy bc = a. Oskіlki bármely természetes szám 1 esetén érvényes nerіvnіst 1 £ Val vel, majd a sértő részt megszorozva egy természetes számmal b, vett b£ időszámításunk előtt. ale bc \u003d a, otzhe, b£ a.

24. tétel. Milyenek a privát természetes számok aі bіsnuє, csak egy van.

A tétel bizonyítása hasonló a természetes számok különbségének egységére vonatkozó tétel bizonyításához.

Vykhodyachi z vyznachennya természetes számok azon részei, amelyek a yogo іsnuvannya-ra gondolnak, felkerekítheti a szabályt a számon szereplő sumi (kiskereskedelem, létrehozás) szerint.

25. tétel. Mik a számok aі b számmal osztjuk Val vel, akkor az az összeg a + b ossza meg másokkal privátban a+ b számonként Val vel, egy összeg a magánjellegűek a a hі b a h, akkor. (a + b):c = a: c + b:Val vel.

Hoz. Oskіlki szám a részre kell osztani Val vel, akkor ez egy természetes szám x = a; h, sho a = cx. Hasonló a létező természetes számhoz y = b:Val vel, mit

b= su. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse mit jelent a + b c-vel osztva, ráadásul magánjellegűbb, amit a sumi szórásakor elvesznek a+ b a c számra, ami drágább x + y, tobto. ax + b: c.

A tétel eredménye az összeg számmal való felosztásának szabályával fogalmazható meg: az összeg számmal való osztásához elegendő az összeget elosztani a bőrösszeadások számával, és az eredményeket kivonni.

26. tétel. Mint a természetes számok aі b számmal osztjuk hі a > b majd kiskereskedelem a - b osztva c-vel, ráadásul privát, nyert, ha a különbséget elosztjuk c számmal, privátabb, nyert, ha a különbséget elosztjuk a a hі b to c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.

Ennek a tételnek a bizonyítása az előző tétel bizonyításához hasonlóan történik.

Ez a tétel a szám különbségének felosztására szabályként megfogalmazható: számára Ezenkívül a különbség számmal való osztásához elegendő elosztani az egész számmal, amely megváltozik, és egy barát első privát megtekintésétől látható.

27. tétel. Mi a természetes szám a osztható legyen c természetes számmal, akkor bármely természetes számra b tvir ab megosztás a p. Bármilyen magánélet esetén mit vesznek el a kreativitás terjesztésekor ab a z számra , egy közlegény dobutka a a Val vel, i szám b: (a × b): c - (a: c) × b.

Hoz. szóval jak a részre kell osztani Val vel, akkor van egy x természetes szám mint= x, csillagok a = cx. Miután megsokszorozta a féltékenység sértő részeit azzal b, vett ab = (cx) b. Oskіlki többes szám asszociatívan tehát (cx) b = c(x b). Zvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. A tétel egy szám számmal való felosztásának szabályaként megfogalmazható: a számot elosztjuk egy számmal, a számot elosztjuk az egyik szorzóval, és kivonjuk az eredményt, megszorozzuk a másik szorzót.

A csutkát értő matematikus számára a podil van hozzárendelve a fordulat műveleteként, a vad tekintetnél nem ad hangot, de folyamatosan koristuyutsya, kezdve a podil ismeretek első óráitól. Tanuld meg jó okkal hibáztatni, hogy a számítások során megindokolta a szorzásokat és a győztes összefüggéseket. Például 48-at osztott 16-tal, a tanulók ezt mondják: „A 48-at 16-tal osztani azt jelenti, hogy ismerjük ezt a számot, ha 16-tal megszorozzuk, 48-at kapunk; ez a szám 3 lesz, szilánkok 16 × 3 = 48. Továbbá 48: 16 = 3.

jobb

1. Mit hozzon:

a) csak töredéke a természetes számoknak a b ha igen, akkor csak egy van;

b) mint a számok a b feliratkozni hі a > b akkor (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Mit lehet megerősíteni, hogy minden adat helyes:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850:170 = 850:10:17.

Mi a szabály, hogy súlyosbítja ezeket a vipadkіv? Fogalmazd meg a jógát és hozd el.

3. Yakі power podіlu є elméleti alapja
vikonanna az elkövetkező napokban, iskolásoknak prédikált cob osztályok:

Hogyan mondhatja azt anélkül, hogy az aljától függ, hogy az ilyen szavak jelentése ugyanaz:

a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;

b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;

Chi vіrnі іvnostі:

a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);

c) (40-28): 4 = 10-7?

4. Ismertesse a vírus értékének kiszámításának lehetséges módjait!
ész:

a) (a+ időszámításunk előtt; b) a:b: Val vel; ban ben) ( a × b): s .

Javasolt módszerek és szemléltesse konkrét fenéken.

5. Ismerje meg a kifejezés jelentését racionális módon; saját
dії pakolás:

a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. A következő lépéseket és az alsót kerekítse dupla számra:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.

7. Ne verd magad a kanapé alatt, keresd meg a legracionálisabbat
privát módon; válassza ki az alapozás módját:

a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;

6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.

34. előadás

1. Ismeretlen számok névtelen száma. A hatalom a sokféle tsilih nevid'emnyh számokat.

2. A természetes számsorok és a végső szorzó elemeinek megértése. Ordinális és kіlkіsnі természetes számok.

A szakterület szuverenitásáig

1. Lineáris (vektor) tér a mező felett. alkalmaz. Az űr alatt a legegyszerűbb hatalom. Lineáris és független vektorok.

2. Alap és béke vektor tér. A vektorrendszer koordinátamátrixa. Átmenet egyik alapról a másikra. A vektortér izomorfizmusa.

3. A komplex számok mezőjének algebrai lezárása.

4. Egész számokból álló gyűrű. Egész számok rendezése. Tételek a "legnagyobb" és a "legkisebb" számról.

5. Csoportosíts, alkalmazz csoportot. A legegyszerűbb erőcsoportok. Alcsoportok. Csoportok homomorfizmusa és izomorfizmusa.

6. A hamis számok fő ereje. Bocsásd meg a számokat. Személytelen prímszámok végtelensége. A készletszám kanonikus elrendezése az az egyediség.

7. A Kronecker-Capelli tétel (a rendszer integritásának kritériuma lineáris folyók).

8. Az utak főbb jellemzői. Povna, amelyet a v_drahuvan modulo rendszer indukál. Kіltse kiltse v_drahuvan a modulhoz. Euler-tétel és Fermat.

9. A porіvnyan elméletének kiegészítése a vysnovkához a hamisság jele. Zvernennya zvichaynogo töredék a tizedikre és az utolsó jógó időszak kinevezése.

10. Egy effektív együtthatós polinom explicit gyökének sikeressége. A valós számok mezőjében történt gazdag kifejezésekkel.

11. Lineáris igazítás egy változtatással (rozvyaznosti kritériuma, rozvyazannya módjai).

12. Lineáris igazítások egyenlő rendszerei. A későbbi kizárás módja nem ismert.

13. Kiltse. Alkalmazzon gerincet. A kіlets legegyszerűbb ereje. Pidkiltse. A gyűrű homomorfizmusai és izomorfizmusai. Terület. Példa az öntözésre. A legegyszerűbb hatalom. A racionális számok mezőjének minimálissága.

14. Természetes számok (a természetes számok axiomatikus elméletének alapjai). Tételek a "legnagyobb" és a "legkisebb" természetes számról.

15. Gazdag szegmensek a területen. Tétel a podіl іz többletről. Két gazdag tag legnagyobb együttműködő dilnikje, a tudás ezen módjának ereje.

16. Bináris blues. Javaslat az egyenértékűségre. Egyenértékűségi osztályok, faktorszorzó.

17. Matematikai indukció természetes és egész számokhoz.

18. Kölcsönösen prímszámok dominanciája. A számok legkisebb jelentőségű többszöröse, ennek a megismerési módnak az ereje.

19. Komplex számok mezője, numerikus mezők. Geometriai megjelenés trigonometrikus formaösszetett szám.

20. A tétel a podіl іz többletről egész számokra. A számok legnagyobb gyűjteménye, ennek a megismerési módnak az ereje.

21. A vektortér lineáris operátorai. Kernel és egy lineáris operátor képe. Lineáris operátorok algebrája vektortérben. Lineáris operátor teljesítményértékei és teljesítményvektorai.

22. A lakás athéni átalakítása, uralmuk a zavdannya módja. A sík és її alcsoportok athéni transzformációinak egy csoportja.

23. Bagatokutniki. Bagatokutnik tér. Az értelem és egység tétele.

24. A bagatokutnikiv egyenértékűsége és egyenletessége.

25. Lobacsevszkij geometriája. Lobacsevszkij geometriai axiómarendszerének nem-szuperitása.

26. A párhuzamosság fogalma Lobacsevszkij geometriájában. Az egyenes Lobacsevszkij terület kölcsönös bővítése.

27. Képletek ruhіv. A terület romjainak osztályozása. Dodatki a rozvyazannya feladatokhoz.

28. Két lakás, egyenes lakás, két egyenes terület közeli lakás kölcsönös bővítése (elemző bemutatásban).

29. Projektív transzformáció. Az értelem és egység tétele. Projektív transzformációk képletei.

30. Skalár, nem vektor zmіshane létrehozása vektorok, їх kiegészítések a feladatok fejlesztéséhez.

31. A trivimetrikus euklideszi tér és a її zmistovna nem-szuperitás Weyl-féle axiómarendszere.

32. A terület ruhija és az erő jóga. Lakás romcsoport. Az alapozás és a mozgásegység tétele.

33. A її modell projektív síkja. Projektív átalakulás, hatalom. Tervezési változtatások csoportja.

34. A lakáshoz való hasonlóság reformálása, uralmuk. A síkhoz hasonló transzformációk csoportja és її alcsoportok.

35. Sima felületek. A felület első négyzetes formája a zastosuvannya.

36. Párhuzamosan kivetítve az erő jógáját. Lapos és tágas figurák képei párhuzamos vetítésben.

37. Sima vonalak. A térgörbe görbülete azonos.

38. Elips, hiperbola és parabola mint véges parabola. Kanonikus egyenlőség.

39. Az ellipszis, a hiperbola és a parabola irányító ereje. Poláris igazítás.

40. Az egyenes egyes pontjainak hatására annak a számításnak a ereje. Harmonikus megosztott gőzpontok. Povniy chotirikutnik és az erő jóga. Kiegészítés a rozvyazannya feladatokhoz a pobudován.

41. Pascal és Brianchon tételei. Pólusok és sarkok.

Jó étel matematikai elemzés