Gyűrűs és vektoros térmátrixok. Lineáris vektortér: kinevezés, felhatalmazás. Vektor vonaltér

6. előadás. Vektortér.

Alapvető táplálkozás.

1. Vektor lineáris tér.

2. Az alap a tér tágulása.

3. Tájolás a térben.

4. Egy bázis mögötti vektor telepítése.

5. Vektor koordináták.

1. Vektor lineáris tér.

Az anonimitás, amely tetszőleges természetű elemekből áll össze, amelyben lineáris műveleteket jeleznek: két elem összeadásával, hogy egy elemet számmal szorozva ún. nyitott terek, És їх elem - vektorok a і tér і, yak і vektormennyiségek a geometriában: . Vektorok az ilyen absztrakt kiterjedések általában nem képzelhetők el a legnagyobb geometriai vektorokkal. Az absztrakt terek elemei lehetnek függvények, számrendszerek, mátrixok stb., okreme esetben pedig változóvektorok. Ezért szokás elnevezni vektor nyílt terek .

vektor tér, például, számtalan számú, megjelölt nemáris vektor V1 , koplanáris vektorok nélkül V2 , személytelen vektor méretes (valós tér) V3 .

Ennél a bizonyos vipadkánál lehetőség van egy lépcsőfokot adni a vektor kiterjedésére.

Időpont 1. Anonim vektort hívnak vektor tér, Lineáris kombinációként, hogy vannak-e vektorok egy szorzóban, az is annak a szorzónak a vektora. Magukat a vektorokat nevezzük elemeket vektor tér.

Fontosabb mind az elméleti, mind az alkalmazott perspektívában, valamint a vektortér elvontabb (absztraktabb) megértésében.

Időpont 2. Bezlich R elemek, amelyekben bármely két elemhez és egy összeghez van hozzárendelve, bármely elemhez pedig a width=68"-ot hívják vektor(vagy lineáris) nyitott tér, mint elemek - vektorok, mint a vektorok összeadása és a vektorok számmal való szorzása, hogy kielégítse az érkező elméket ( axiómák) :

1) az összeadás kommutatív, tehát gif szélesség = "184" magasság = "25";

3) használjon egy ilyen elemet (nulla vektor), amely bármihez https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) tetszőleges számú vektor esetén egy ilyen λ szám egyenlő lehet;

6) bármilyen vektorra és bármilyen számra λ і µ tisztesség https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ becsületes ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

A vektorteret jelölő axiómák közül kiáltsuk fel a legegyszerűbbet bizonyíték :

1. A vektortérben egynél több nulla van - az elem nulla vektor.

2. Egy vektortérnek egyetlen vektora van.

3. Akár a bőr elem vykonuetsya kiegyensúlyozottság.

4. Bármely napszámhoz λ a nulla vektor i.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> egy vektort nevezünk, amely kielégíti a https://pandia.ru/ egyenlőséget text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno és személytelen minden geometriai vektor є lineáris (vektor) térben, tehát amelyek elemeihez hozzárendeljük a szorzót az összeadáshoz és a számmal való szorzáshoz, ami kielégíti az axiómák megfogalmazását.

2. Az alap a tér tágulása.

A vektortér Іstotnimi fogalmai az alap és a rozmіrnіst megértése.

Időpont egyeztetés. Az éneksorrendből vett lineárisan független vektorok gyűjteménye alapján milyen tér. Vektor. Raktári alap a térhez, ún alapján .

A személytelen vektorok alapja, a dolnыy egyenesen elosztva, egy kollineáris egyenes vektort használhat.

A repülőgép alapján Nevezzünk meg két nem kollineáris vektort ezen a síkon, ugyanabban a sorrendben.

Ha a bázisvektorok páronként merőlegesek (ortogonálisak), akkor a bázist hívjuk ortogonális, és ha q vektor lehet duplája, egyenlő eggyel, akkor a bázist hívjuk ortonormális .

Legnagyobb szám lineárisan független vektorokat nevezzük térben béke hogy a tér, azaz a tér tágulása az alapvektorok számával nő ebben a térben.

Otzhe, nyilván megdicsért a daginak:

1. Egyvilági tér V1 egy egyenes, és az alapot ebből képezzük egy kollineáris vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Nagy kiterjedés triviális kiterjedéssel V3 , melynek alapja abból alakul ki három nem egysíkú vektor_v.

Nekem úgy tűnik, hogy a bázisvektorok száma egy egyenesen, egy síkon, a valós térben azzal változik, amit a geometriában egyenes, sík, tér számának szoktak nevezni. Természetes, hogy ez kirívóbb büntetéshez vezet.

Időpont egyeztetés. Vektor tér R hívott n- békés, mint az új világban többé n lineárisan független vektorok és hozzá vannak rendelve R n. Szám n hívott béke tér.

Vіdpovіdno akár rozmіrnostі nyílt tér podіlyayutsya kіntsevіі korlátlan. A kinevezéseken túli nulla terület nyitottságát nullával egyenlőnek tekintjük.

Tisztelet 1. A bőrtérben megadhatjuk, hogy hány bázisra van szükség, de ennek a térnek az összes bázisa ugyanannyi vektorból összeadódik.

Jegyzet 2. Nál nél n- egy békés vektortérhez az alapot hívják, függetlenül attól, hogy a rendezett sorrend van-e vagy sem n lineárisan független vektorok.

3. Tájolás a térben.

Mert a tér eligazításához meg kell határozni egy bizonyos alapot, és azt pozitívan kell hangoztatni .

Megmutatható, hogy a tér személytelen alapjai két osztályra oszlanak, két résztöbbségre oszlanak, nem fedik egymást.

a) minden bázis, amely egy résztöbbséghez (osztályhoz) tartozik, lehet azonban orientáció (azonos menü alapján);

b) bármely két bázis, amely hazugság élet p_dmnozhin (osztályok), mayut protilezhnu orientáció, ( különböző alapon).

Ha a két bázisosztály közül az egyik pozitív, a másik pedig negatív, akkor úgy tűnik, hogy a kiterjedés orientált .

A térben való tájékozódáskor gyakran egy bázist hívnak kormányozni, és інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> név szabály, Ha azonban a harmadik vektor őrzött, az első vektor legrövidebb fordulata a évellenes nyíl(1.8. ábra, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Rizs. 1.8. Jobb bázis (a) hogy bal bázis (b)

Csengessen pozitív alapon

A jobb (livy) alap hozzárendelhető a térhez, és a kiegészítő szabályhoz a „jobb” („bal”) csavar vagy csavarható.

A cim analógiájára bevezetjük a jobb és bal fogalmát hármas ikrek nem közösségi vektorok, amelyek a rendezettségből adódnak (1.8. ábra).

Ily módon egy vad trendben a nem tervezett vektorok két rendezett hármasa azonos orientációjú (ugyanolyan) lehet a térben. V3 ha a sértettség bűze helyes, vagy ha sértő, akkor balos, és ellenkező irányultságú (más), ha az egyik jobb, a másik bal.

Hasonlóan illeszkedik és van hely V2 (Négyzetek).

4. Egy bázis mögötti vektor telepítése.

Az egyszerűség kedvéért a tükrözés egy trivimir vektortér példáján látható R3 .

Gyerünk - dovіlny vektor tsgo térben.

VECTOR SPACE (lineáris kiterjedés), az algebra egyik alapvető megértése, a (szabad) vektorok összességének zagalnyuyuche megértése. A vektortérben a vektorok figyelembe veszik, hogy objektumok-e, ha összeadhatók és szorozhatók számokkal; szükség esetén úgy, hogy az algebrai műveletek főhatványai megegyezzenek az elemi geometria vektoraival. A pontos megjelölt számnál a K mező elemei helyettesítik őket. A K mező feletti vektorteret személytelen V-nek nevezzük a V-ből származó elemek összeadásával és a V-ből származó elemek szorzásával a K mező elemeivel. , ami a hatalom megszerzéséhez vezethet:

x + y \u003d y + x, hogy x, y z V-e, így a V egy Abel-csoportba hajtható;

λ(x + y) = λ χ + λy bármely λ z K і x, y z V esetén;

(λ + μ)х = λх + μх bármely λ, μ z K і x z V esetén;

(λ μ)х = λ(μх) bármely λ, μ z K i x z V esetén;

1x \u003d x bármely V-ből származó x esetén, itt az 1 a K mező egységét jelenti.

A vektortér є csonkjai: az összes vektor L 1 L 2 і L 3 szorzói az elemi geometriában, látszólag egyenesen, síkok і a térben a vektorok hajtogatásának és számmal való szorzásának kiemelkedő műveleteivel; K n koordináta vektortér, melynek elemei є minden sora (vektora) n a K mező elemeivel, és a műveleteket képletekkel adjuk meg

személytelen F(M, K) a rögzített M szorzóhoz rendelt összes függvénynél, és vegyen fel értékeket a To mezőben, a függvényekkel kapcsolatos legfontosabb műveletekkel:

Az e 1 ..., e n vektortér elemeit lineárisan függetlennek nevezzük a λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K egyenlőség miatt. Ellenkező irányban az e 1 , e 2 , ·· elemeket. ·> e n lineáris ugarnak nevezzük. Ha a V vektortérnek n + 1 eleme e 1 ,..., e n+1 lineárisan határozatlan és n lineárisan független elem, akkor V-t n-világú vektortérnek nevezzük, n pedig a V vektortér dimenzióját. Csakúgy, mint egy V vektorteret bármely természetes n létező n lineárisan független vektorhoz, úgy V-t is végtelen vektortérnek nevezzük. Például az L 1 , L 2 , L 3 і K n vektortér ugyanúgy 1-, 2-, 3- és n-mіrnі; ha M személytelen, akkor az F(M, K) vektortér nem korlátozott.

A K mező feletti V és U vektorteret izomorfnak nevezzük, így φ : V -> U kölcsönösen egyedi, így φ(x+y) = φ(x) + φ(y) vagy x, y z V esetén és φ (λx) = λ φ(x) bármely λ z K i x z V esetén. Az izomorf vektorterek algebrailag megkülönböztethetetlenek. A véges vektorterek osztályozását az izomorfizmusig a sokféleségük adja: hogy van-e n-dimenziós vektortér a Do mező felett, az izomorf a Do n koordináta vektortérrel. Csodáld meg Hilbert ugyanazt a kiterjedését, a Lineáris algebra.

Legyen R - mező. A, b, ... elemek н R megnevezzük skalárok.

Időpont 1. osztály V elégséges természetű objektumok (elemek), , , ... nevezzük vektortér a Р mező felett, és az V. osztály elemeit hívjuk vektorok bár V zárt, de a „+” művelet a P-ből származó skalárokkal való szorzás művelete (vagyis bármely нV + н V; "aÎ R aÎV), és vykonuyutsya szóval ne feledje:

A 1: Algebra - Abeli ​​csoport;

A 2: arra, hogy a, bÎР, ÎV-e vagy sem, a(b)=(ab)-releváns asszociációs törvény;

A 3: bármire a, bÎP, bármire ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: tetszőleges a z P-re, tetszőleges s V-re nyerünk a(+)=a+a(megnövekedett eloszlási törvények);

A 5: V győztes-e vagy sem 1 = , de 1 - a P mező egysége - az egységerő hatványa.

A P mező elemeit skalároknak, a V szorzó elemeit pedig vektoroknak nevezzük.

Tisztelet. Egy vektor skalárral való szorzása nem bináris művelet a V szorzón, hanem a skálázás PV®V.

Vessünk egy pillantást a vektorterekre.

példa 1. Nulla (nulla-világ) vektor kiterjedése - kiterjedés V 0 =() -, amely egy nulla-vektorból áll.

Bármire aОР a=. Nézzük meg újra a vektortér axiómáinak érvényességét.

Tisztelettel: a nulldimenziós tér az R mező felett. Így a nulldimenziós tér a mező felett racionális számokén a mező felett napszámok vvazhayutsya raznimi, hoch összeadódik egyetlen nulla-vektorból.

fenék 2. A P mező maga egy vektortér a P mező felett. Legyen V=P. Nézzük meg újra a vektortér axiómáinak érvényességét. Mivel P egy mező, akkor P egy additív csoport, és A1 nyer. Visszatekintve a zdіysnennostі a R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Az A 3 és A 4 axiómák nyernek, mivel R disztributív és szabadon szorozható. A szilánkok az R mezőben egyetlen elem 1, az egységesség hatványa A 5 . Ebben a sorrendben a P mező egy vektortér a P mező felett.

3. példa. Aritmetikai n-dimenziós vektortér.

Legyen R - mező. Jelentősen személytelen V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Vezessük be a V szorzón a vektorok összeadását és a vektor skalárral való szorzását a következő szabályok szerint:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , a n) + milliárd) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elemek és szorzók V nevezzük n-világ vektorok. Két n-világú vektort egyenlőnek nevezünk, mivel kétdimenziós összetevőik (koordinátáik) egyenlőek. Megmutatható, hogy V egy vektortér a P mező felett. Mivel ismert a vektor skalárral való összehajtásának és a vektornak a skalárral való szorzásának művelete, V ezeknek a műveleteknek a zárt választása. Mivel a V-ből származó elemek hozzáadása a P mező elemeinek hozzáadására redukálódik, és P egy additív Abel-csoport, akkor і V egy additív Abel-csoport. Ráadásul =, de 0 az Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n) mező nullája. Ebben a rangban az A1 nyer. A V elem P elemmel való szorzásának skálázásait a P mező elemeinek szorzatára redukáljuk, majd:

A 2 nyer a P-n lévő szorzó asszociativitása miatt;

A 3 és A 4 összefűződik a P-n való hajtogatások eloszlási szorzatával;

És 5 nyer, mert 1 P egy semleges elem, amely R-vel szorozható.

Időpont 2. Az (1) és (2) képletekkel meghatározott műveletekkel rendelkező személytelen V = P n aritmetikai n-dimenziós vektortérnek nevezzük a Р mező felett.

Nézzük meg azt a sorrendet, amelyet a cselekvés elemei alkotnak egyszerű mező GF(q) (a^, a......a p). Az ilyen sorozatot ún l-by

következetesség a mező fölött GF)