Lineáris vonalrendszerek. Vektorrendszerek elemi transzformációja. Lépésről lépésre vektorrendszerek rendszere

Időpont 5. Elemi átalakulások A lineáris igazítási rendszereket її haladó transzformációknak nevezzük:

1) permutáció, hogy két egyenlő hely-e vagy sem;

2) azonos szám mindkét részét megszorozzuk;

3) az egyik mindkét részéhez hozzáadva a második egyenlő egyenlő részeket, megszorozva a számmal k;

(egyidejűleg a folyók állandósulnak).

Nulla egyenlő egyenlőnek nevezik a támadó elmével:

1. tétel. Legyen olyan, mint az elemi transzformációk utolsó sorozata és a nulla kiegyenlítés vasárnapjának transzformációja, hogy egy lineáris egyenlőségrendszert egyformán erős és egy másik lineáris egyenlőségrendszert fordítsunk le.

Hoz. Egy pillantással a 4. bekezdés tekintélyére, hogy bőrre vigyük a tételt az okremo átalakítására.

1. A rendszer rendfokozatainak permutációja esetén maguk a rendfokozatok nem változnak, így a rendszer egyformán erős a kinevezéseknél.

2. A bizonyítás első részének értelmében elegendő a szilárdságot hozni az első egyenlőnek. Az (1) rendszert megszorozva a számmal, megkapjuk a rendszert

(2)

Na gyere  rendszer (1) . Ugyanazok a számok elégítik ki a rendszer (1) egyenlőségét. Mivel az oskіlki minden egyenlő a rendszer (2) az első zbіgayutsya az egyenlő a rendszer (1), akkor a számok kielégítik az összes egyenlő. A számszilánkok teljesítik a rendszer első egyenlőségét (1), lehet, hogy először a számszerű egyenlőség:

A yogót megszorozni egy számmal K, Vegyük a helyes numerikus egyenlőséget:

Hogy. telepíteni, mi  rendszer (2).

Vissza, Yakscho a (2) rendszer megoldása, akkor a számok kielégítik a (2) rendszer bajuszát. Az oskіlki a rendszer (1) minden egyenlőjét az első zbіgayutsya a (2) rendszer egyenlőivel, majd a számok minden egyenlőt kielégítenek. A számszilánkok kielégítik a (2) rendszer első egyenlőségét, majd a (4) számbeli egyenlőség érvényes. Miután a sértéseket számra osztottuk, kivesszük a (3) számszerű egyenlőséget, és arra következtetünk  a rendszer szétválasztása (1).

Zvіdsi a találkozókhoz 4 rendszer (1) egyenlő a (2) rendszerrel.

3. A bizonyítás első részének értelmében elegendő szilárdságot hozni az első és a másik egyenlő rendszerhez. Dodamo a rendszer első összehangolásának mindkét részére K, vegye a rendszert

(5)

Na gyere rendszermegoldás (1) . Ugyanazok a számok elégítik ki a rendszer (1) egyenlőségét. Mivel az első (5) rendszer minden egyenlőjének számai összeadódnak az (1) rendszer egyenlőivel, akkor a számok minden egyenlőt kielégítenek. A számszilánkok kielégítik a rendszer első egyenértékűségét (1)

Tagról tagra adva az első egyenlőséghez egy baráthoz, szorozva a számmal K vesszük a helyes számszerű egyenlőséget.

§7. Vonalrendszerek

Egyenlő rendszerek. A lineáris egyenesek rendszerének elemi transzformációja.

Na gyere W- terület komplex számok. Egyenlő az elmével

de
, lineáris egyenlőnek nevezzük n nevidomimi
. Rendelési készlet
,
az úgynevezett döntések egyenlőek (1), mint például.

rendszer m lineáris rivnyan z n a rendszert egyenlőnek nevezzük az elmével:

- A lineáris igazítási rendszer együtthatói, - Ingyenes tagok.

Téglalap alakú asztal

,

a világ mátrixának nevezik
. Bemutatjuk a jelölést: - én- A mátrix egy sora,
- k-Ty tűzhely mátrix. Mátrix DE több jelent
vagy
.

A sorok következő átalakulása a mátrixban DE eleminek nevezzük:
) a nulla sor kikapcsolása; ) bármely sor összes elemének szorzása egy számmal
; ) kiegészítés bármely másik sor bármely sorához, szorozva ezzel
. A mátrixoszlopok hasonló transzformációi DE a mátrix elemi transzformációinak nevezzük DE.

A mátrix bármely sorának első nem nulla eleme (jobbra még fontosabb). DE e sor vezető elemének nevezzük.

Időpont egyeztetés. mátrix
lépésnek nevezik, mintha így lettek volna felszentelve:

1) a mátrix nulla sorai (mint a bűz) alacsonyabbak, mint a nem nulla sorok;

2) yakscho
mátrix egy sorának elemeit vezetjük, akkor

Legyen olyan, mint egy nem nulla mátrix És közönséges elemi transzformációk esetén redukálható lépcsős mátrixra.

csikk. Indukálható mátrix
lépésmátrixhoz:
~
~
.

Rendszeregyütthatókkal hajtogatott mátrix a lineáris vonalakat (2) a rendszer főmátrixának nevezzük. Mátrix
, Otrimant a szabad tagok felvételével a rendszer kiterjesztett mátrixának nevezzük.

A halmaz rendezéseit a lineáris igazítások rendszerének (2) megoldásainak, valamint a rendszer skin lineáris igazításának döntéseinek nevezzük.

A lineáris igazítások rendszerét koherensnek nevezik, mert csak egy megoldás lehet, és nem őrültség, mert nem lehet megoldani.

A lineáris igazítások rendszerét éneklésnek nevezzük, mert csak egy megoldás létezik, az egyik nincs megjelölve, mert több megoldás létezik.

A lineáris igazítások rendszerének közelgő átalakulását eleminek nevezzük:

) a rendszerből való kizárás egyenlő az elmével;

) mindkét rész többszöröse, függetlenül attól, hogy egyenlő-e
,
;

) hozzáadva ahhoz, hogy van-e más egyenlő, megszorozva ,-vel.

Két lineáris vonalrendszer n az ismeretleneket egyformán erősnek nevezik, mert a bűz nem koherens, de sok döntésüket meghozzák.

Tétel. Például egy lineáris igazítási rendszert elvettek a ), ), ) típusú többi elemi transzformációtól, ugyanolyan erős, mint a vizuális.

A lineáris igazítások rendszerének felülvizsgálata az ismeretlen figyelmen kívül hagyásának módszerével (Gauss módszerrel).

Engedd el a rendszert m lineáris rivnyan z n unwidomimi:

Mint egy rendszer (1), amely megbosszulja az elmét

akkor a rendszer nem koherens.

Tegyük fel, hogy az (1) rendszer nem egyenlő a (2) formával. Változtassa meg az (1) rendszer együtthatóját x 1 eleinte egyenlő
(mintha nem így lenne, akkor egyenlő helyek átrendezésével nem lehet mit elérni, tehát nem minden együttható x 1 egyenlő nullával). Zastosuyemo az elemi transzformációk lándzsáit haladó lineáris vonalak rendszeréhez (1):

, Dodamo egy másik szintre;

Először egyenlő, szorozva
, Dodamo a harmadik szintre és így tovább;

Először egyenlő, szorozva
dodamo a rendszer többi részére.

Ennek eredményeként a lineáris igazítások rendszerét (a lineáris igazítások rendszerére a legrövidebb SLN-t adtuk meg) eltávolítjuk a rendszer erősségével (1). Megtudhatja, hogy a másik rendszerben egyenlő a számmal én, én 2, ne állj bosszút az ismeretlenen x 2. Na gyere kúgy a legkevésbé természetes szám, ami ismeretlen x k Egyenlő számban akarok bosszút állni magamon én, én 2. Todi otrimana rendszer rivnyan maє vyglyad:

A (3) rendszer egyenlő az (1) rendszerrel. Zastosuєmo most az alrendszerhez
lineáris igazítási rendszerek (3) mikroszkópia, amelyeket SLN-re (1) értékeltünk. És eddig. Ennek a folyamatnak az eredményeként a két eredmény közül legfeljebb az egyik megérkezik.

1. Elvesszük az SLU-t, ami egyenlő az elmével (2). És itt az SLE (1) inkonzisztens.

2. Az elemi transzformációk, az SLN-hez való sztázis (1), nem vezetnek olyan rendszerhez, amely megbosszulja a látszatot (2). At tsomu vipadku SLP (1) elemi transzformációkkal
mutass az elmével egyenlő rendszerre:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

A lineáris igazítások rendszerét a (4) alakban lépcsőzetesnek nevezzük. Itt két esés is lehet.

a) r= n akkor a rendszer (4) úgy nézhet ki

(5)

Az (5) rendszernek csak egy megoldása van. Az (1) rendszer ismét csak megoldható.

B) r< n. Kinek az esze nincs otthon
a (4) rendszerben fej nem dominánsnak, egyébként ebben a rendszerben nem dominánsnak - szabad (hat első számú n- r). Nadamo jó néhány számérték nem szükséges, még az SLU (4) matime is ugyanúgy néz ki, mint a rendszer (5). Ebből a címek egyértelműek. Ebben a rangban a rendszer feloldható, tehát koherens. Oskіlki vіlnim nevidomim elég számszerű értéket adott W, akkor a (4) rendszer definiálatlan. Az (1) rendszer ismét meghatározatlan. Viraziv az SLN-ben (4) smut nevidomі keresztül vіlnі nevidomі, otrimaemo rendszer, amelyet a rendszer legvadabb megoldásainak neveznek (1).

csikk. Oldja fel a lineáris igazítási rendszert a módszerrel G aussa

Felírjuk a lineáris igazítási rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi sortranszformációk segítségével felhozzuk egy lépcsős mátrixba:

~

~
~
~

~ . A mátrix elhagyásával egy lineáris igazítási rendszert találhatunk:
A Tsya rendszer megegyezik a külső rendszerrel. Mint az ismeretlen feje
vіlnі nevіdomі. Egyébként az ismeretlen feje csak a vad ismeretlenen keresztül van:

Elvettük az SLN teljes megoldását. Engedj el

(5, 0, -5, 0, 1) egy privát megoldás az SLP-hez.

Feladat az önálló látásért

1. Az egyenlő rendszer globális megoldásának és még egy megoldásának megismerése az ismeretlen kikapcsolásának módszerével:

1)
2)

4)
6)

2. Tudja különböző értékeket paraméter a A folyórendszer globális megoldása:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§nyolc. Vektor terek

Vektor tér koncepció. A legegyszerűbb hatalom.

Na gyere V ≠ Ø, ( F, +,∙) – mező. A mező elemeit skalároknak nevezzük.

Erjesztés φ : F× V –> V szorzás elemeinek szorzó műveletének nevezzük V a mezőről származó skalárokon F. Szignifikánsan φ (λ,a) keresztül λа twir elem a skalárhoz λ .

Időpont egyeztetés. Bezlich V adott algebrai műveletből úgy, hogy elemeket adunk a szorzóba V hogy több elem V a mezőről származó skalárokon F az F mező feletti vektortérnek nevezzük, ami a következő axiómákat jelenti:

csikk. Na gyere F terület, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a én F (én=)). Többszörös bőr elem F n hívott n-egyszerű aritmetikai vektor. Mutassuk be az összeadás műveletét n-béke vektorok és szorzás n-világvektor skalár z mezőnként F. Na gyere
. csináljuk =( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1, λ a 2 , … , λ a n). Bezlich F n ahol a műveletek bevezetése a vektortér, és az ún n-Egyszerű aritmetikai vektortér a mező felett F.

Na gyere V- vektor tér a mező fölött F, ,
. Vannak ilyen jellemzők:

1)
;

3)
;

4)
;

A szívósság igazolása 3.

Z féltékenység a gyors csoport törvénye miatt ( V,+) talán
.

Lineáris ugar, vektorrendszerek függetlensége.

Na gyere V- Vector tér a mező felett F,

. A vektort vektorrendszer lineáris kombinációjának nevezzük
. A vektorrendszer összes lineáris kombinációjának anonimitását nevezzük lineáris héj tsієyu rendszer vektorіv i poznaєєєєєyu.

Időpont egyeztetés. A vektorrendszert lineáris parlagonának nevezzük, mivel ilyen skalárokat használnak
nem mindegyik egyenlő nullával, szóval

Mennyire győzedelmeskedik az (1) ekvivalencia, vagy annál kevesebb, ha λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, a vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük.

csikk. Chi z'yasuvati chi є vektorrendszer = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) tér R 3 lineáris parlagon vagy független.

Megoldás. Legyen λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – rendszermegoldás. Otzhe, a vektorrendszer lineárisan független.

A lineáris tévedés dominanciája és a vektorrendszer függetlensége.

1. A vektorrendszer, amely egy nulla vektort akar megbosszulni, lineárisan parlagon van.

2. Egy vektorrendszer egy lineáris parlagon kívüli alrendszer megbosszulására, egy lineáris parlagon alapuló alrendszer.

3. Vektorok rendszere, de
є lineárisan parlagon még és csak egyszer, ha a rendszer egy vektorát, egyetlen vektort akarjuk, є előrefelé álló vektorok lineáris kombinációját.

4. Mivel egy vektorrendszer lineárisan független, hanem vektorrendszer
lineárisan parlagon, akkor a vektor meg lehet nézni a vektorok lineáris kombinációját és azonos rangig.

Hoz. Ha a vektorrendszer lineárisan parlagon van, akkor
nem mindegyik egyenlő nullával, szóval

Vektor ekvivalenciában (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, majd s (2) \u003d\u003e Látjuk, hogy a vektorrendszer lineárisan parlagon van, szilánkok λ 1 , λ 2 , … , λ m nem mindegyik egyenlő a nullával. Azért jöttek, hogy megtöröljék az elméjüket. Z (1) => de
.

A vektor ugyanúgy jelenjen meg, ahogyan te látod: Teendő vektoregyenlőséggel
a vektorrendszer lineáris függetlenségén keresztül azt láthatjuk
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Adjunk adatokat két vektorrendszernek és
, m>k. Ha a vektorrendszer vektora a vektorrendszer lineáris kombinációjaként kombinálható, akkor a vektorrendszer lineárisan parlagon van.

A vektorrendszer alapja, rangja.

Kіntseva vektorrendszer a térben V a mező fölött F értelmesen keresztül S.

Időpont egyeztetés. Be-yaka a vektorrendszer lineárisan független alrendszere S vektorrendszer alapjának nevezzük S yakscho be-yaky vektorrendszer S megnézheti a vektorrendszer lineáris kombinációját.

csikk. Keresse meg a vektorrendszer alapját! = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. A vektorok rendszere, lineárisan független, oskіlki, vіdpovіdno to dominion 5 a vektorok rendszerét eltávolították a vektorok rendszeréből további segítség alapok elektromechanotronika: a kezdetitovábbi segítség Alapítvány villamosmérnök"; ...

Az elemi transzformációk előtt láthatjuk:

1) Összeadás az egyik egyenlő rész mindkét részének a másik egyenlő részéhez, megszorozva ugyanazzal a számmal, amely nem egyenlő nullával.

2) A küldetések egyenlőinek permutációja.

3).

A KRONECKER TÉTELE – CAPELLI

(Umova rendszerintegritás)

(Leopold Kronecker (1823-1891) német matematikus)

Tétel: Ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor a rendszer fel van osztva (egy megoldást kérhet).

Nyilvánvalóan az (1) rendszer így írható:

x 1 + x 2 + … + x n

Hoz.

1) Ha megszületik a döntés, akkor a szabad tagok oszlopa az A mátrix oszlopainak lineáris kombinációja, amelyet szintén hozzáadunk a mátrixhoz, azaz. átmenet А®А* nem változtat a rangon.

2) Yakshcho RgA = RgA * , a tse azt jelenti, hogy a bűz lehet ugyanabban az alapmollban. Stovpets vіlnyh termіnі - a stovptsіv alap minor lineáris kombinációja, tі helyes jelölés, magasabbra mutatott.

csikk. Számítsa ki a lineáris igazítási rendszer konzisztenciáját:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

A rendszer őrült.

csikk. Határozza meg a lineáris igazítások rendszerének összegét!

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Alvó rendszer. Megoldás: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 GAUSS-MÓDSZER

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) német matematikus)

A mátrix-módszer és a Cramer-módszer alapján a Gauss-módszer nagyszámú igazításból és ismeretlenből lineáris igazítási rendszerré alakítható. A módszer lényege a nem otthoni betegek utólagos bevonásán alapul.

Vessünk egy pillantást a lineáris igazítási rendszerre:

Osszuk el az 1. sértő részeit 11 ¹ 0-val, majd:

1) szorozzuk meg egy 21-gyel, amit egy másik egyenlőből látok

2) szorozzuk meg egy 31-gyel, amit a harmadik egyenlőből látok

, de d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

csikk. Mutassa be a lineáris egyenesek rendszerét Gauss-módszerrel!

, Csillagok elfogadhatók: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

csikk. Ellenőrizze a rendszert Gauss módszerrel.

Bővítsük ki a rendszermátrixot.

Ebben a rangban a külső rendszer a következőképpen jeleníthető meg:

, Csillagok elfogadhatók: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana ehhez a rendszerhez a Cramer módszerrel és a mátrix módszerrel.

A független látásért:

Javaslat: (1, 2, 3, 4).

3. TÉMAKÖR. A VEKTOR ALGEBRI ELEMEI

ALAPKIJELÖLÉS

Időpont egyeztetés. Vektor egyeneseknek nevezzük (néhány pont rendezett). Mielőtt vector_v_vіdnosti is nulla vektor, a csutka az ilyen zbіgayutsya.

Időpont egyeztetés. Dovzhina (modul) a vektort a csutka és a vektor vége között hívjuk.

Időpont egyeztetés. A vektorokat ún kollineáris mint az egyik vagy a párhuzamos vonalakon terjedő bűz. A nullvektor kollineáris bármely vektorhoz.

Időpont egyeztetés. A vektorokat ún egysíkú mint egy igazi lakás, mint egy párhuzamos bűz.

A kolineáris vektorok mindig egysíkúak, de nem minden koplanáris vektor kollineáris.

Időpont egyeztetés. A vektorokat ún egyenlő mintha kollineárisak lennének, de kiegyenesítettek és ugyanazok a modulok lehetnek.

Be-yaki vektorok és hozhat a kiadós cob, tobto. indukálni vektorok és vidpovidno egyenlő adatokat, és hogy egy forró cob. A vektoregyenlőség megjelöléséből nyilvánvaló, hogy lehet-e egy vektor személytelen vektor, egyenlő veled.

Időpont egyeztetés. Vonalműveletek vektorok feletti összeadást és számmal való szorzást nevezzük.

Sumoyu vector_v є vektor -

Tvir - , amelynél kolіnearen .

Irányvektor іz vektor ( ), tehát a > 0.

A vektor protivolezhnoy direktívák a vektor (?), így a< 0.

A VEKTORIV EREJE

1) + = + - kommutativitás.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asszociativitás

6) (a + b) = a + b - disztributivitás

7) a(+) = a + a

Időpont egyeztetés.

1) Alap a teret úgy hívjuk, mintha 3 nem egysíkú vektor lenne ugyanabban a sorrendben.

2) Alap a síkon 2 nem-kollineáris vektort nevezünk, ugyanabban a sorrendben.

3)Alap egy egyenesen nem-nulla vektornak nevezzük.

Két lineáris igazítási rendszer egy halmazban x 1 ..., x n

Ekvivalensnek nevezzük őket, mert elkerüljük a személytelen döntéseiket (ezért kerüljük a szorzásokat és a K n-t,). A Tse azt jelenti, sho: vagy bűz egyszerre є üres részhalmazok (tehát a támadó rendszerek (I) és (II) rendezetlenek), vagy bűz egyszerre nem üres, i (tehát az I. rendszer bőroldata є a II rendszer oldatai і bőroldat a II. rendszer є az I. rendszer megoldásai).

Készlet 3.2.1.

Gaus módszer

A Gaus által javasolt algoritmus terve meglehetősen egyszerű:

1. zastosovuvat a lineáris igazítások rendszerébe szekvenciálisan, hogy ne változtassuk meg a személytelen megoldást (ilyen módon a vizuális rendszer személytelen megoldását vesszük), és menjünk az ekvivalens rendszerre, amely lehet "egyszerű kinézetű" (ez a a lépésforma neve);
2. a rendszer "egyszerű elméje" számára (lépcsős mátrixszal) írja le a személytelen megoldást, amelyet a vizuális rendszer személytelen megoldására használnak.

Lényeges, hogy a közeli "fan-chen" módszert már az ókori kínai matematikában is alkalmazták.

Lineáris igazítási rendszerek elemi transzformációja (mátrixsor)

3.4.1 megnevezés (az 1. típusú elemi átalakítás). A rendszer i-edik szintjéig hozzáadódik a k-edik szint, megszorozva a számmal (előjel: (i) "=(i) + c(k); akkor csak egy i-edik szint (i ) helyébe egy új szint lép (i) "=(i)+c(k)). Új i-e equal nézhet ki (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k vagy röviden,

Vagyis az új i-edik kerületben a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Megnevezés 3.4.2 (2. elemi átalakítási típus). i -е і k -е esetén az egyenlőket a rangok megváltoztatják, a többi egyenlőt nem változtatják meg (jelek: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Tisztelet 3.4.3. Az érthetőség kedvéért, konkrét számításokhoz hozzáadhat 3. típusú elemi transzformációkat: az i-edik számítást megszorozzuk egy nem nulla számmal , (i)" = c (i) .

3.4.4. javaslat. Ahogy az I. rendszer típusát a II. rendszernek átadtam az 1. és 2. típusú elemi transzformációk végső számának segítségével, úgy a II. rendszer alakjában az I. rendszerhez, valamint az 1. és 2. rendszer elemi transzformációihoz fordulhatunk. 2. típus.

Hoz.

Tisztelet 3.4.5. A szilárdság igaz és beletartozik a 3. típusú elemi transzformáció elemi transzformációiba. Yakscho i (i)"=c(i) , akkor ta(i)=c-1(i)" .

Tétel 3.4.6.Az utolsó számú 1. vagy 2. típusú elemi transzformáció utolsó állomása után a csutkával egyenértékű lineáris igazítási rendszer jön fel a lineáris igazítások rendszeréhez.

Hoz. Fontos egy pillantást vetni az I. rendszerről a II. rendszerre való átmenetre egy elemi transzformáció hozzáadásához és a befogadás megoldásának gazdagításához (a szilánkok a II. rendszer hozott javaslatán keresztül fordíthatók az I. rendszerre és arra , befogadás, kiegyensúlyozottságot kell hozni).

Időpont 1. A lineáris igazítások rendszerét mind (1) , de , mező ún egy m lineáris vonal rendszere n nevidomimiből a mező felett, - Együtthatók a rendszer nem állandó tagjaira, , , - a rendszer szabad tagjaira (1).

Időpont 2. Rendelve n-ka (), de, hívott a lineáris vonalak rendszerének tetejére(1), még a bőrön lévő változás cseréjekor is az (1) rendszer a megfelelő számbeállításra módosul.

Időpont 3. álmos yakscho hiába szeretne egy döntést hozni. Ellenkező esetben az (1) rendszer meghívásra kerül őrült.

Időpont 4. A lineáris igazítások rendszerét (1) ún éneklés csak egy megoldás lehet. Ellenkező esetben az (1) rendszer meghívásra kerül kijelöletlen.

Lineáris vonalak rendszere

(є határozat) (nincs döntés)

álmos őrült

(egy döntés) (nem egy döntés)

pevna ismeretlen

Időpont 5. A mező feletti lineáris vonalak rendszere R hívott homogén yakscho minden її vіlnі kifejezés egyenlő nullával. Ellenkező esetben a rendszer ún heterogén.

Nézzük a lineáris egyenesek rendszerét (1). Ugyanezt a homogén rendszert homogén rendszernek nevezzük, társult rendszerből (1). Homogén SLN először, oskolki lehet dönteni.

A bőr SLN-hez egy pillantással két mátrixot lehet bevezetni - a fő mátrixot meghosszabbítják.

Időpont 6. A lineáris igazítások rendszerének fő mátrixa(1) a mátrixot hívják, olyan együtthatókból áll, amelyeknek nincs támadó típusa: .

Időpont 7. A lineáris igazítások rendszerének kiterjesztett mátrixa(1) a mátrixot meghívjuk, a mátrixból lecsonkolva egy hozzá csatlakozó útvonal szabad tagok halmaza: .

Időpont 8.A lineáris igazítások rendszerének elemi transzformációi a következőképpen nevezzük: 1) ugyanannak az egyenlő rendszernek mindkét részét megszorozzuk skalárral; 2) a rendszer egyik szintjének mindkét részéhez hozzáadjuk a másik szint második részeit, szorozva egy elemmel; 3) az elme kiegészítése vagy azzal egyenértékű bizonyítása.

Időpont 9. Két lineáris vonalrendszer a mező felett R hogy hívják a változást ugyanolyan erős, mivel elkerülik a személytelen döntéseiket.

1. tétel . Ahogy az egyik lineáris egyenlőségrendszert elvették a másiktól az elemi transzformációk segítségével, az ilyen rendszerek is ugyanolyan erősek.

A manuális elemi transzformációkat nem lineáris igazítási rendszerre, hanem kiterjesztett mátrixra hozzák fel.

Időpont 10. Adjunk meg egy mátrixot az R mező elemeivel. Elemi átalakulások a mátrixokat így hívják:

1) a mátrix bármely sorának minden elemének szorzása aО Р # -vel;

2) a mátrix bármely sorának minden elemét megszorozzuk aО Р #-vel, és hozzáadjuk a következő sor többi elemét;

3) a helyek permutációja a mátrix két sorával;

4) a nulla sor hozzáadása vagy feloldása.

8. SLU megoldás: m az ismeretlenek utólagos kizárásának módszere (Gauss-módszer).

Vessünk egy pillantást a lineáris igazítások rendszereinek szétkapcsolásának egyik fő módszerére, amely az ún. az ismeretlen utólagos felvételének módszerével, mi más, Gauss módszer. Vessen egy pillantást a rendszerre (1) m lineáris rivnyan z n nevidomimi a mező fölött R:(1) .

Az (1) rendszer az egyik együtthatót akarja, ha nem jó 0 . Іnakshe (1) - az egyenlők rendszere () nevіdomimi - tse szuperechit elmékből. Emlékezzünk az egyenlőségekre hónaponként, így az első kiegyenlítésnél nem jó az együttható 0 . Ebben a rangban lehet vvazhati, sho. Szorozzuk meg az első sértő részeit egyenlővel, és adjuk hozzá a másik, harmadik, ... második részéhez, m egyenlő. A rendszerszemléletet vesszük: , de s- a legkisebb szám, tehát az egyik együtthatót akarom, ha nem is egészséges 0 . Az egyenlőségeket hónaponként emlékezünk meg, hogy a másik sorban legyen együttható a költség megváltoztatásakor 0 , akkor. sejthetjük mit. Szorozzuk meg a másik egyenlő sértő részeit, és adjuk hozzá a harmadik egyenlő részéhez, ..., m egyenlő. Folytatva ezt a folyamatot, figyelembe vesszük a rendszert:

A lineáris egyenlőségrendszer, a jak, az 1. tétel szerint egyenlő az (1) rendszerrel. . A rendszert lineáris igazítások lépcsőzetes rendszerének nevezzük. Két lehetőség van: 1) Nem jó, ha az egyik elemet akarjuk 0 . Ugyan például. Ugyanúgy, mint a lineáris igazítások rendszerével, hasonló az elméhez, hogy ez lehetetlen. A Tse azt jelenti, hogy a rendszernek nincs megoldása, ezért az (1) rendszernek nem lehet megoldása (néha az (1) inkonzisztens rendszer).

2) Gyerünk, ...,. Todi az elemi transzformáció segítségével Z) elvesszük a rendszert - a rendszert r lineáris rivnyan z n ismeretlen. Bármilyen változás esetén az együtthatókhoz hívják őket fejváltás(tse), їх összesen r. Інші ( n-r) változtassa meg a neveket ingyenes.

Két lehetőség van: 1) Yakshcho r=n, majd - a rendszer a trikó megjelenés. Ehhez az utolsó egyenlőtől változást, az utolsótól változást, az első egyenlőtől változást ismerünk. Ezenkívül csak egy megoldás létezik a lineáris igazítások rendszerére, és a lineáris igazítási rendszerre (1) is (időnként az (1) rendszer van hozzárendelve).

2) Gyerünk r . És itt a fő változások átfordulnak az aljasságokon, és megnyerik a lineáris vonalrendszer (1) döntő megoldását. Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut a lineáris vonalak rendszerének (1) különböző privát megoldásai (az (1) rendszer ebben az esetben nem látható).