A veszteséges integrál kiszámításának eljárása hasonló a futó integrál általános működéséhez. A її leírásához bemutatjuk a helyes triviális terület megértését:

Kinevezés 9.1. A zárt S felülettel körülvett V triviális régiót szabályosnak nevezzük, mert:

1. legyen egyenes, tengellyel párhuzamosÓz, amely a régió belső pontján át van húzva, és két pontban keresztezi S-t;
2. a teljes V tartomány az Oxy síkra vetül egy szabályos kétvilágú D régióban;
3. Lehet-e 1) és 2).

Nézzük meg a megfelelő V területet, az alját és a tetejét z=χ(x,y) és z=ψ(x,y) felületekkel határozom, és az Oxu y síkra vetítve a megfelelő D terület, a középső. melynek határaiban x a-ról b-re változik, y=φ1(x) és y=φ2(x) görbék veszik körül (1. ábra). Legyen f(x, y, z) egy folytonos függvény a V tartományban.

Kinevezés 9.2. Az f(x, y, z) függvény V tartomány feletti háromszoros integráljának nevezzük a következő formában:

Trirazovy іntegra maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх megerősítés nélkül, bűzszilánkok jönnek elő, hasonlóan a yard-bölcs integrál eséséhez.

A veszteséges integrál számítása.

9.1. Tétel. A megfelelő V tartomány f(x, y, z) függvényének hármas integrálja megegyezik az ugyanazon a tartományon lévő háromszoros integrállal:

. (9.3)

Hoz.

Rozіb'ёmo terület V síkjai, párhuzamosak a koordinátasíkokkal, n szabályos területen. Todі z power 1 kiabálás

ahol az f(x,y,z) függvény háromszoros integrálja a tartományban.

Vikoristovuyuchi formula (9.2), az előremutató paritás egy pillantással átírható:

Az f (x, y, z) függvény folytonosságának megértése egyértelmű, ami az egyenlőségi egyenlet jobb oldalán álló integrálösszeg között van, és egyenlő a harmadik integrállal. Ezután átlépve a határig, amikor:

amit hozni kellett.

Tisztelet.

Az aluláram-integrál bukásához hasonlóan hozható, hogy az integrálási sorrend megváltoztatása nem változtatja meg a háromszoros integrál értékét.

csikk. A de V integrál kiszámítása egy háromszög alakú piramis, amelynek csúcsai a (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1) pontokban találhatók. Її vetület az Oxy síkra є tricutnik (0, 0), (1, 0) és (0, 1) csúcsokkal. Alulról a területet a z = 0, felülről pedig az x + y + z = 1 terület határolja. Térjünk át a hármas integrálra:

A kettős integrál előjeléért olyan szorzók róhatók fel, amelyek nem változtatható integrációban rejlenek:

Görbe vonalú koordinátarendszerek a triviális térben.

1. Hengeres koordinátarendszer.

A Р(ρ,φ,z) pont hengeres koordinátái – a pont Ohu síkbeli vetületének és az adott z pont applikátorának ρ, φ cepoláris koordinátái (2. ábra).

A hengeres koordinátákról a derékszögű koordinátákra való átmenet képlete a következőképpen állítható be:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Gömbös koordinátarendszer.

Szférikus koordinátáknál a pont térbeli helyzetét a ρ lineáris koordináta jelzi - a pont távolsága a derékszögű koordináta-rendszer csutkájától (vagy a gömbrendszer pólusaitól), φ - a pozitív közötti poláris él. pіvvіssyu Ox és a pont vetülete az Oxy síkra, és θ - a pozitív Oz és a kettős OP közötti kutom (3. ábra). Kivel

Adott a gömbi koordinátákról derékszögűre való átmenet képlete:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobi és yogo geometrikus zmist.

Nézzük meg azt a vad trendet, amely a metró integráljának változásait váltja fel. Nehai az Ohu sík területen D adott, L vonallal körülvéve. Tegyük fel, hogy х і у є egyértékű és megszakítás nélkül differenciáló függvényei új változó u és v függvényei:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Nézzük meg az Ouv derékszögű koordinátarendszert, azt a P(u, v) pontot, amely a D tartományból P(x, y) pontra mutat. Minden ilyen pont a D tartományt alkotja az Ouv sík közelében, Egy vonal vesz körül L?. Azt mondhatjuk, hogy a (9.6) képletek egy az egyhez egyezést hoznak létre a D és D régiók pontjai között. Mely egyenesekre u = const

v = const az Ouv síkon hasonló lesz az Ohu síkon lévő vonalakhoz.

Az Ouv síkban egy téglalap alakú ΔS maidant láthatunk, amelyet u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const egyenesek határolnak. Їy vіdpovidatimé görbe vonalú maidanchik ΔS az Ohu-lakás közelében (4. ábra). A Maidanchiks elemzési területeit ΔS és ΔS jelöléssel fogjuk jelölni. A ciomu esetében ΔS = Δu Δv. Ismerjük a ΔS területet. Jelentős, hogy a görbe vonalú chotyrikutnik csúcsai P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

A kis zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi differenciálművek cseréje. Todi

Amivel a chotirikutnik P1 P2 P3 P4 felvehető paralelogrammaként, és a terület hozzárendelhető az analitikai geometria képletéhez:

(9.7)

Kinevezés 9.3. A változatot a φ(x, y) és ψ(x, y) függvények funkcionális változatának vagy Jacobi-féleségének nevezzük.

A (9.7) egyenlőséggel a határhoz áthaladva eltávolítjuk a geometriai Jacobi-eltolódást:

tehát a Jacobi modul a végtelenül kicsi S és S négyzetek területe közötti határ.

Tisztelet. Hasonló módon hozzárendelhetjük a jakobiánus megértését és az n-világtér geometriai jelentését: hogy x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), akkor

(9.8)

Ezzel a Jacobi modulus határt ad az x1, x2, ..., xn és u1, u2, ..., un tér "obsyagiv" kis területei között.

Változások cseréje több integrálban.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Legyen adott egy z = f(x,y) folytonos függvény a D területen, a z = F(u, v) függvény azonos értéke a D, de területen

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Nézzük az integrál összeget

A jobb oldali deintegrál összegét átveszi a D tartomány. Átjutás a határhoz, ha kivesszük a koordináták transzformációjának képletét a söprő integrálban.

Próbáld ki az integrálokat. A test térfogatának kiszámítása.
Próbaintegrál hengeres koordinátákban

Három napig a dékáni hivatalban feküdt az ég, a Pіthagoras-köntös nadrágja előtt,
Fikhtengolts kezében egy kötet trimav van, hogy a fehér fény jógija él,
Megkötötték a harmadik integrált, és becsomagolták a holttestet a mátrixba,
Az imádság helyettese pedig olyan, mint egy nahabnik, miután elolvasta Bernoulli tételét.

Az elveszett integrációk azok, amelyektől már nem félhetsz =) Mert ha elolvasod az egész szöveget, akkor mindenre jobb lesz, amit rosszul csináltál a "felsőbbrendű" integrálok elmélete és gyakorlata, szintén függő integrálok. És ott, de podvіyny, a közelben és elveszett:

Valóban, mitől kell félni? Az integrál kisebb, az integrál nagyobb.

Nézzük a rekordot:

- a Szentháromság integrál ikonja;
- Pidіntegralna hármas váltás funkció;
- Dobutok differenciálmű.
- Integrációs terület.

Különösen figyelemre méltó a galéria integráció. Yakscho be aláhúzott integrál nyerte lapos alak, akkor itt - kiterjedésű test , jaka, tudod felül. Ebben a rangban a zsigerileg kitalált bűne vétkes abban, hogy tájékozódjon fő felületekés ne felejtse el megnyerni a legegyszerűbb trivimir foteleket.

A deyakiak zavarban voltak, bölcsek… Sajnos a cikk nem nevezhető „hasznos integráloknak a bábokhoz”, és valamit tudnia kell / emlékezni kell. Ale, semmi szörnyű - a publikációk minden anyagát határos hozzáférhető formában a legrövidebb időn belül elsajátítják!

Mit jelent az elveszett integrál kiszámítása, és mi kellett hozzá?

Számítsa ki az elveszett integrált - tse azt jelenti ismerem KILO-t:

A legegyszerűbb módon, ha a harmadik integrál numerikusan fejlettebb a testhez képest. І deisno, vіdpovidіdno to integráció, tvir one végtelenül kicsi a test elemi "ceglinkájának" térfogata. A harmadik integrál pedig az egyesült minden qi végtelenül kicsi részecskék régiónként, ami után kijön a test térfogatának integrál (összes) értéke: .

Ezenkívül fontos a harmadik integrál fizikai programok. Ale a tse pіznіshe-ről - a lecke 2. részében, odaadás integrálok járulékos veszteségének számítása, amelyre a változó függvénye állandó mint állandó és a gömbben megszakítás nélküli. Ebben a cikkben részletesen láthatjuk a kötelezettség értelmét, mivel szubjektív értékelésemet 6-7-szer gyakrabban figyelik meg.

Hogyan lehet megoldani az elveszett integrált?

A Vіdpovіd logikailag viplivає az előző pontból. Ki kell nevezni body bypass rendelés megyek megismételjük az integrálokat. Ezt követően oldjuk meg egymás után három egyes integrállal.

Jak bachite, az egész konyha egyre nagaduє mögöttes integrálok, A tієyu vіdminnіstyu, scho egyidejűleg kaptunk egy dodatkova rozmіrnіst (nagyjából látszólag, magasság). Én, külön-külön, sokan már sejtettük, hogyan sértik az integrálok veszteségei.

Foglaljuk össze, mit veszítettünk:

fenék 1

Légy kedves, írd át pecséttel a papírra:

І adjon tanácsot a következő étkezéshez. Chi tudja, milyen felületeken lehet egyenlővé tenni a qi-t? Chi zrozumіly akkor informális zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, jak і felszíni raztashovanі az űrben?

Amint shilyatsya a vulgáris vіdpovіdі „több nі, nizh úgy”, akkor obov'yazkovo opratsyut leckét, különben nem jutsz tovább!

Megoldás: vikorista képlet

Annak érdekében, hogy schob z'yasuwati body bypass rendelés megyek megismételjük az integrálokat szükséges (minden zseniálisan egyszerű), hogy megértsük, mi volt az. És nagyon jó egy ilyen rózsára foteleket tenni a gazdag vipadkákban.

Az elme mögött a testet kilkom felületek veszik körül. Miért kezdje el az elegánsat? Kimondom a következő rendelési diy-t:

A csutkán elképzelhető párhuzamos merőleges a test vetítése a koordinátasíkra. Amikor először mondtam, mi a neve a vetítésnek, lol =)

Ha a tervezést nagy léptékben kell végrehajtani, akkor Persh-ben felületek, yakі párhuzamos a tsієї tengellyel. Gondolom milyen felületek ilyenek ne állj bosszút a "ze" betűkért. A vizsgált vezetőnek három:

- Rivnyannya beállítja a koordinátaterületet, hogyan kell áthaladni az egészen;
- Rivnyannya beállítja a koordinátaterületet, hogyan kell áthaladni az egészen;
- egyenlő feladat lakás "lapos" egyenes a tengellyel párhuzamos.

Shvidshe mindenért, shukana vetítés jön trikutnik:

Valószínűleg nem mindenki tudta, hová menjen. Mutassa meg, hogy minden kijön a monitor képernyőjéről, és közvetlenül az átvitelben ragad ( tobto. gyere ki, rácsodálkozz a 3. világi fenevadszékre). A test doslіdzhuvane kiterjedése a nem bőrös triéderes "folyosón" található, és annak a naimovіrnіshe є árnyékolt tricutnik területére való vetülete.

Külön tisztelem azt, amit lógtunk több mentség a vetítésreés a „neishvidshe”, „nayimovirnishe” figyelmeztetés vipadkovy volt. Jobb oldalon annyiban, hogy még nem minden felületet elemeztek, és lehet, hogy még azokból is „felfedezik” a tricutnik egy részét. Mint egy alapozó csikk, amit kérsz szféra középpontjában az egynél kisebb sugarú koordináták, például egy gömb – її vetítés a síkon (oszlop ) Nem ismétlem meg a „nakry” árnyékolt területet, és a test kivetülését nem trikónak nevezzük (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

A színpad másik oldaláról z’yasovuєmo, chim a testet a fenevad veszi körül, alulról lejjebb és vikonuemo a fotel kiterjedése. Az elménk felé fordulunk, és rácsodálkozunk a felszínre, mintha a felszín eltűnt volna. A szintezés magát a koordinátasíkot állítja be, a szintezés pedig - parabola henger, újrakóstolás felett lapos és áthalad az egészen. Ebben a rangban a test vetülete diisno є trikutnik.

Beszéd előtt itt jelent meg földöntúli Gondolj bele - az új izzóba nem obov’yazkovo egyenletes síkokat, felületszilánkokat beépíteni, kilógni az abszcissza tengelyéből, és így bezárul a test. Ez azt jelenti, hogy ebben a pillanatban nem tudtunk volna vetítést készíteni - a tricutnik csak az egyenlítés elemzése után "rajzolt".

Egy parabola henger töredéke pontosan látható:

A vikonannya fotel után z megkerülve a testet nincs probléma!

A fej hátsó részén fontos a vetület áthaladásának sorrendje (a legjobb kéz segítségével kétvilági fotelek vezetnek). Tse félénk TELJESEN ÍGY, jak i be alsó integrálok! Találgatás lézer mutató hogy lapos terület pásztázása. Válassza a "hagyományos" 1. bypass módszert:

Dali kezébe veszi a bájos öngyújtót, és rácsodálkozik a fotel trivimirére és szigorúan lefelé felvilágosítani a beteget. Változások a felületen keresztül belépnek a testbe, és a felületen keresztül távoznak onnan. Ebben a sorrendben a test megkerülésének sorrendje:

Térjünk át az ismételt integrációkra:

1) Kezdje a következőket a "Z" integráltól. Vikoristovuemo Newton-Leibniz képlet:

Képzeld el az "igame" integrál eredményét:

Mi történt? Ami azt illeti, a megoldást egy részintegrálra redukáltuk, magát pedig egy képletre. hengeres gerenda térfogata! Tudatosabbak:

2)

Adjon tiszteletet a 3. integrál megoldásának racionális technikájának!

Vidpovid:

A számítás leírható és „egy sorban”:


De ily módon légy óvatos – ha nyersz a swidkostnál, mással fenyegetsz, ha pedig fontos feneked van, több esély van a kegyelemre.

Megjegyzés a fontos táplálkozásról:

Miért kell karosszéket dolgozni, hogy az elme feje ne követelje vikonanniájukat?

A chotirmát ösvényekkel ihatja:

1) Rajzold meg ugyanannak a testnek a vetületét! A legjobb megoldás az, hogy lehet két tisztességes fotelt vikonálni, nem siránkozni, kirabolni a sértett foteleket. Továbbra is ajánlom.

2) Rajzolj több testet. Alkalmas, ha a test ügyetlen, ez a nyilvánvaló vetület. Így például egy háromsoros fotel ragadt a kiválasztott popsihoz. Viszont itt van a mínusz - a 3D-s kép szerint nem praktikus a vetítés megkerülésének sorrendjét meghatározni, és így csak a jó képzettségűeknek örülök.

3) Mutasson több vetítést. Tezh nem rossz, de körülbelül obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, nizh zamezhena régió raznih storіnból. Sajnos a harmadik lehetőség gyakran zavaró – ha már késő, akkor túl nagy ahhoz, hogy más nehézségekkel is megbirkózzon. І takі alkalmazni mi so razglyademom.

4) Kerüljön karosszék nélkül. Mindenkinek be kell mutatnia a gondolat törzsét, és írásban kommentálnia kell a formát/formátumot. Jó a legegyszerűbbekhez menni, tіl chi zavdan, de vikonannya mind a fotel fontos. De mindazonáltal jobb, ha vázlatos kicsiket akarsz használni, a „cél” megoldás szilánkjai elutasíthatók.

Jöjjön a szervezet független segítségért:

fenék 2

A veszteségi integrál segítségével számítsa ki a test térfogatát felületekkel körülvéve

Nál nél ehhez a bizonyos típushoz az integráció területét inkább a szabálytalanságok adják, és az ár rövidebb - minden szabálytalanság nélkül beállítja az 1. oktánst, beleértve a koordinátasíkokat és az egyenetlenséget - napіvspіr, hogyan kell megbosszulni a koordináták csutkáját (fordított)+ maga a terület. A „függőleges” síkot egy paraboloid parabola teríti ki, a fotelbazán pedig pitypangot kell kelteni. Akinek ismernie kell a további referenciapontot, egyszerűbben a parabola tetejét. (Látjuk a jelentését és rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Továbbra is értsük:

fenék 3

Számítsa ki a veszteségintegrál segítségével a test térfogatát, amelyet a kijelölt felületek vesznek körül! Vikonati fotel.

Megoldás: a "fotel vikonáti" formulája deák szabadságot ad nekünk, ale, mindenre jobb, átadva egy tágas fotel vikonányát. Azonban a vetítést sem lehet feltekerni, itt nem a legegyszerűbb.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї korábbi taktika felületek, mintha párhuzamos lenne az alkalmazás tengelyével. Az ilyen felületek kiegyenlítését nem szabad megbosszulni a „Z” egyértelmű megváltoztatásával:

- Rivnyannya úgy állítja be a koordinátasíkot, hogy áthaladjon az egészen ( jak a lakásban az "ugyanaz a név" egyenlő);
- egyenlő feladat lakás, átmenni ugyanazon a vonalon "lapos" egyenes a tengellyel párhuzamos.

A tréfálkozó testet lapos fenék veszi körül és parabola henger vadállat:

Állítsunk össze egy eljárást a test megkerülésére, amivel az „iksovі” és az „igrokovі” az integráció között, azt hiszem, jobb a kétvilági fotelek mögött énekelni:

Ebben az értelemben:

1)

Ha az "iplayer" mögé integrálunk - az "ix"-t konstansnak tekintjük, akkor az integrált előjelért az állandót kell okolni.

3)

Vidpovid:

Szóval, anélkül, hogy egy kicsit megfeledkeznénk, zdebіlshogo otmany eredménye a kis (és navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym fotelek, oskolki z nagy ymovіrnіstyu vinikne illúzió kötelez, Mintegy yaku I rozpov_shche a leckében Volumen testpakolás. Így a kinézett vezető testét megbecsülve kifejezetten szerencsém volt, hogy az újban több mint 4 „kocka” van.

Támadó fenék egy független látásmódhoz:

fenék 4

Számítsa ki a veszteségintegrál segítségével a test térfogatát, amelyet a kijelölt felületek vesznek körül! E test karosszékének munkája és vetülete a síkra.

Zrazok egy órai feladatnak tervezett.

Nem ritka, ha a trivimir szék vikonnannyéja nehezebb:

fenék 5

A veszteséges integrál segítségével ismerni a test térfogatát, amelyet az őt körülvevő felületek adnak.

Megoldás: a vetítés itt ügyetlen, de a kitérő sorrendje fölött gondolkodni kell, hogyan válasszuk ki az 1. módszert, akkor az ábrát 2 részre kell osztani, ami elkerülhetetlenül veszélyezteti a sumi kiszámítását két Háromság integrálok. Aki gazdagabb perspektívával rendelkezik, annak van egy másik útja. Ennek a testnek a karosszékre való vetületéből látható és megjeleníthető:

Még egyszer megkérdezem az ilyen képek pontosságát, közvetlenül a saját kézirataimból forgatom őket.

Az ábra megkerüléséhez életképesebb sorrendet választunk:

Most jobbra a test mögött. Alulról sík terület veszi körül, a fenevadtól - sík terület, hogy áthaladjon az egész ordinátán. És minden nem lenne semmi, de a lakás többi része túl meredek, és nem olyan könnyű bejárni a környéket. A választás itt irigylésre méltó: vagy az ékszerrobot kis méretben van (mert vékony volt, hogy vékony legyen), vagy a fotel kb 20 centi magas (az és amibe belefér).

Ale és a harmadik, nyugodtan orosz módszer a probléma megoldására a pontozás =) és egy lapos az oldalára, egy lapos az aljára és egy lapos a fenevadra.

A "függőleges" interintegráció nyilvánvalóan a következő:

Számítsuk ki a test térfogatát, ne felejtsük el, hogy a vetületet kisebb kiterjesztéssel kerültük meg:

1)

Vidpovid:

Amint emlékszel, a test zavdannya-jában történő proponálás nem drága száz dollárért, gyakran egy lakás veszi körül alatta. De ez nem szabály, ezért készen kell állnia – eltöltheti a napot, de tilo roztashovani pid lakás. Így például, ha megnézed a lakást a kiválasztott zamіstban, akkor a test szimmetrikusan jelenik meg az alsó térben, és alulról egy lakás veszi körül, a fenevadnak pedig egy lakás!

Könnyű átváltani, hogy ugyanazt az eredményt láthassa:

(Ne feledje, hogy körbe kell járni szigorúan lefelé!)

Ráadásul a lakásba "szerelmes" nem a jobb oldalon jelenhet meg előtte, a legegyszerűbb fenék: egy zsák, többet rejtegetve, mint a lakás - a jógakötelezettség számításával nem kell előre nézni.

Mindezeket a nézeteket láthatjuk, de egyelőre hasonló a feladat az önálló vízióra:

fenék 6

A veszteséges integrál segítségére, a felületekkel körülvett test megismerésére

Röviden, a megoldás a lecke illusztrálása.

Térjünk át egy másik bekezdésre nem kevésbé népszerű anyagokkal:

Próbaintegrál hengeres koordinátákban

Hengeres koordináták - ce, valójában poláris koordinátákűrben.
A hengeres koordinátarendszerben egy pont helyzetét a térben a pont poláris koordinátái határozzák meg - a pont síkra való vetülete és magának a pontnak az applikációja.

A trivimer derékszögű rendszerből a hengeres koordinátarendszerbe a következő képletekkel lehet áttérni:

Százötven átalakulásunk így néz ki:

Én, úgy tűnik, egyszerű módon, ami könnyen látható ebben a cikkben:

Golovne, ne feledkezzünk meg a kiegészítő „er” szorzóról, és rendezzük el helyesen az integráció közötti polaritás a vetítés megkerülésekor:

fenék 7

Megoldás: azonos rendű dotrimuєmosya diy: előre tekintünk az egyenlőre, néhány napon belül megváltozik a „Z” Itt csak egy van. kivetítés hengeres felület a területen є "azonos nevű" colo .

Négyzetek körülveszik a shukane testet alulról és a fenevadat ("lógasd le" a jógát a hengerről), és a colóban vannak kialakítva:

Fekete trivimir karosszéken. A fő nehézség a felületben rejlik, mintha a henger megcsavarna a „ferde” motorháztető alatt, ami után menni kell ellipszis. Tisztázzuk ezt az átírást analitikusan: amihez átírjuk a funkcionális nézet síkját és kiszámítjuk a függvény értékét („magasság”) azokban a pontokban, amelyeket kérdezünk, mintha az interprojekción feküdnénk:

Úgy tűnik, jól ismeri a fotel pontjait (és nem úgy, mint én =)) zadnuєmo їх sor:

A test síkra vetítése a hossza és a hossza a hengeres koordinátarendszerre való átmenet sebességére vonatkozó argumentum:

Ismerjük a felület igazítását hengeres koordinátákon:

Most kövesse a test megkerülésének eljárását.

Nézzük meg a fej hátsó részét a vetítésből. Hogyan határozható meg az áthidalás sorrendje? Pontosan úgy részintegrálok számítása polárkoordinátákban. Itt a bor elemi:

A "függőleges" interintegráció is nyilvánvaló - a síkon keresztül belép a testbe, és a síkon keresztül kilép belőle:

Térjünk át az ismételt integrációkra:

Amelyik szorzónál az "er" azonnal a "saját" integrálba kerül.

A Vinik yak zavzhd könnyebben áttöri a gallyakat:

1)

Az offenzív integrál eredményét vesszük:

És itt nem szabad elfelejteni, hogy a fi fontos állandó. Ale tse az énekóráig:

Vidpovid:

Hasonló feladat önálló látásmódhoz:

fenék 8

Számítsa ki a veszteségintegrál segítségével a felületekkel körülvett test térfogatát! Vikonati karosszék ebből a testből és vetülete a téren.

Zrazok finom design, mint egy lecke.

Az biztos, hogy ugyanazon szó problémáinak fejében nem mondják el a hengeres koordinátarendszerre való átmenetet, és az emberről nem fog tudni, hogy fontos derékszögű koordinátákkal küszködik. ... Vagy talán nem is lesz – még ha ez a harmadik, nyugodtan orosz problémamegoldás módja.

Csak kezdődik minden! …jó értelemben: =)

fenék 9

A veszteséges integrál segítségére, a felületekkel körülvett test megismerésére

Szerényen és élvezettel.

Megoldás: egész véges felületі elliptikus paraboloid. Olvasók, akik tisztelettel ismerik a cikk anyagait A tér fő felületei, már bemutatott, mintha a testet nézné, de a gyakorlatban az összehajtogatott vipadok gyakran csapdába esnek, ezért készítek egy riportot az elemző világról.

Ismerjük a hátul lévő vonalakat, amelyekkel a felületek színeződnek. Az alábbi rendszert építjük és építjük:

Az 1. egyenlőtől fogva láthatjuk egymást:

Ennek eredményeként két gyökeret vesznek el:

Képzeld el, hogy tudod, hogy a rendszer egyenlő-e:
sikoltoznak a csillagok
Otzhe, gyökér vіdpovіdaє egyetlen pont - a koordináták csutkája. Természetesen - még a felsők tetejének teteje is felszalad.

Most képzeljünk el egy másik gyökeret - ugyanazt, ha a rendszer egyenlő:

Mi az eredmény geometriai helyettesítése? "A magasságon" (a sík közelében) a paraboloid és a kúp színezett kóla- egyetlen sugár a pont közepén.

Amikor a paraboloid "csészéje" tartalmazza a kúp "tölcsérét", megnyugtatni a végső felületet szaggatott vonallal át kell húzni (a szőlő mögött távoli kilátás nyílik ránk, ebből a szögből nézve):

A test vetülete a síkon colo a középponttal az 1 sugarú koordináták csutkáján, amit nem mertem ábrázolni ennek a ténynek a nyilvánvalóságán keresztül (védőlevél megjegyzés robimo!). A beszéd előtt a széken lévő két elülső széknél a kivetítéseket meg lehetett verni, nem baj.

A hengeres koordinátákra való áttéréskor a szabványos képletek a legegyszerűbb megjelenéssel és a mindennapi problémák vetületének megkerülése érdekében írhatók:

Ismerjük a hengeres koordinátarendszer felületi igazítását:

Mivel a probléma a kúp felső részét nézi, akkor látható:

"Scanuemo body" alulról felfelé. Változtassa meg a lámpát, hogy belépjen az új átmenet előtt elliptikus paraboloidés kilép a végfelületen keresztül. Ebben a sorrendben a test megkerülésének „függőleges” sorrendje:

Második helyes technika:

Vidpovid:

Nem ritka, ha arra kérik a testet, hogy ne vegye körbe felületekkel, de minden szabálytalanság nélkül:

fenék 10

Geometriai zmist kiterjedt szabálytalanságok, állítólag ugyanabból a bizonyító cikkből magyaráztam. A tér fő felületei.

Tse zavdannya akarja, és rejtse el a paramétert, de lehetővé teszi a pontos fotelt, amely inspirálja a test fontos megjelenését. Gondolj úgy, mint egy vikonati pobudova. Röviden: a megoldás a bizonyítás – mint egy lecke.

... nos, mi van, ez egy spratt? Azon gondolkodom, hogy befejezem a leckét, de aztán kitalálom, mit szeretnél még =)

fenék 11

A veszteséges integrál segítségével számítsuk ki az adott test térfogatát:
, De - Pozitívabb szám.

Megoldás: egyenetlenség állítsa be az oszlopot a koordináták középpontjával a sugárra és az egyenetlenségre - Egy körhenger "belsősége" a sugár teljes szimmetriájával. Ebben a sorrendben a testet, mintha suttogna, oldalról körhenger veszi körül, felül és alul pedig a felületre szimmetrikus gömbszegmensek.

A világ alapegységének tekintve a fotelt vesszük:

Pontosabban a jógát kisbabának kell nevezni, az arányszilánkok a tengely mentén nem leszek jobbak. Prote, az igazságosság, az elme kedvéért, nem kellett semmit felemelni, és egy ilyen szemléltetés teljesen elegendőnek tűnt.

Tisztelet kifejezésére, hogy itt nem obov'yazkovo z'yasovuvati magasságú, egy ilyen hengeren, amely a „kalap” hátuljáról lóg, csak vegyen egy iránytűt a kezébe, és jelölje meg az oszlopot a középponttal a koordináták csutkáján. 2 cm sugarú, akkor a keresztrúd hengeres pontjai maguktól megjelennek.

1. A hengeres koordináták poláris koordináták halmaza az xy síkban és a z szignifikáns derékszögű applikátorból (3. ábra).

Legyen M(x, y, z) elégséges pont az xyz térben, P az M pont xy síkra való vetülete. Az M pontot egyedileg hozzárendeli a számok háromsága – a P pont polárkoordinátái, z – az M pont alkalmazása.

Jacobi erjesztés (8)

fenék 2.

Számítsa ki az integrált

de T - felületekkel körülvett terület

Megoldás. Az integrált a (9) képletekkel adjuk át a gömbkoordinátáknak. Ugyanaz az integrációs terület szabálytalanságokkal állítható be

És az azt jelenti

fenék 3 Ismerje meg a test térfogatát, rojtos:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - R \u003d v8 sugarú gömb, amelynek középpontja az O (000) pontban van,

A kúp felső része z2 = x2 + y2 Oz teljes szimmetriájával és az O pont csúcsával (2.20. ábra).

Ismerjük a kúp gömb keresztlécének vonalát:

І szilánkok az elmének z? 0, akkor

R=2 kör, amely a z=2 sík közelében fekszik.

Így van (2.28)

de a fenevad által határolt terület u

(egy gömb része),

(Kúp része);

Az U terület az Ohu terület D területére vetítve - 2 sugarú.

Továbbá, hogy az integrálban növekményesen átadjuk a hengeres koordinátákat, a (2.36) győzelmi képleteket:

A változtatások között r szignifikáns az R=2 oszlopon kívüli D v távolságnak megfelelően, a középponttal az O pontban, azonos jelzővel: 0?c?2p, 0?r?2. Ily módon a hengeres koordinátákban lévő U tartományt előrehaladó szabálytalanságok jelölik:

Ezt tiszteletben tartjuk

Zavantage a Depositfiles-től

Potenciális integrál.

Irányítsd az ételt.

Következetes integrál, az erő jóga.

Változások helyettesítése a harmadik integrálban. A veszteséges integrál számítása hengeres koordinátákban.

A veszteséges integrál számítása gömbkoordinátákban.

Hajrá funkció u= f(x,y,z) zárt területhez rendelt V tér R 3. Rozib'ёmo régió V tisztességes beosztásban n elemi zárt területek V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n nyilvánvalóan. Szignifikánsan d- a régiók átmérői közül a legnagyobb V 1 , … ,V n. A bőr területén V k válassz egy jó pontot P k (x k ,y k ,z k) és raktározás integrál összeg funkciókat f(x, y,z)

S =

Időpont egyeztetés.Próba integrál funkció típusa f(x, y,z) régiónként Vúgynevezett interintegrál összeget
yakscho vin isnuє.

ilyen módon,

(1)

Tisztelet. Integrált összeg S betét a régió feldarabolása útján V ta kiválasztani a pontot P k (k=1, …, n). Ha azonban van határ, akkor az nem akadályozza a régió feldarabolását V ta kiválasztani a pontot P k. Ha összehasonlítjuk az alváltozat jelölését és a növekményes integrálokat, akkor könnyen lehet ugyanazt a hasonlatot használni bennük.

Elegendő érvelés a veszteséges integrálhoz. A (13) próbaintegrált függvényként használjuk f(x, y,z) be van karikázva V megszakítás nélkül benne vagyok V, a koronája mögött a végső számú csomós-sima felületek, rothadó at V.

A fazekas integrál hatalmi aktusai.

1) Yakscho W- Akkor numerikus állandó

3) Adalékosság régiónként. Yakscho régió V régiókra osztva V 1 і V 2, akkor

4) Fitt test V dorivnyuє

(2 )

A veszteséges integrál számítása derékszögű koordinátákkal.

Na gyere D testvetítés V a lakáson xOy, felület z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) veszi körül a testet V alatta a fenevad világos. Tse mit jelent

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Az ilyen testet úgy hívják z- Hengeres. próbaintegrál (1) z- hengeres test V az ismétlődő integrálra való átmenetből számítva, amelyet az integrál csuklós típusából adunk össze:

(3 )

Ebben az ismételt gerincintegrálban a változás belső énekintegrálját számítjuk ki z, ahol x, y vvazhayutsya küszöbön áll. Számoljunk alsó integrál a kiválasztott funkció régiónkénti nézete D.

Yakscho V x- hengeres ill y- hengeres test, majd korrigálja a képletet

Az első képlethez D  testvetítés V a koordinátasíkra yOz, a másikban pedig - a gépen xOz

alkalmaz. 1) Számítsa ki a teljes testet! V, felületekkel körülvéve z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Megoldás. Számoljunk a (2) képlet mögötti veszteségintegrál segítségével!

Térjünk át a (3) képlet után ismételt integrálra.

Na gyere D- colo x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Todi követve a (3) képletet veszik

Ennek az integrálnak a kiszámításához áttérünk a poláris koordinátákra. Amikor tsimu kolo Dátalakulni arctalanná

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V felületekkel körülvéve z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Számítsa ki

Négyzetek z=y , z=-y hogy a testet alulról és a fenevadig körbevegye, lapos x= 0 , x= 2 körülöleli a testet hátul és elöl, valamint a lapos részt y= 1 jobb kéz V-z- hengeres test, jógavetítés D a lakáson nehéz bárkaє téglalap OABC. Tegyük le φ 1 (x , y ) = -y

A függőleges integrál átdolgozása derékszögű koordináták formájában poláris koordinátákra
, derékszögű koordinátákkal összekapcsolva
,
, kövesse a képletet

Mi az integráció területe
két csere veszi körül
,
(
), amelyek kimennek a pólusokból, az a kettő görbe
і
, akkor az alapul szolgáló integrált a képlet segítségével számítjuk ki

.

fenék 1.3. Számítsa ki az alábbi vonalakkal körülvett ábra területét:
,
,
,
.

Megoldás. A régió területének kiszámításához
képlettel gyorsítva:
.

Elképzelhető terület (1.5. ábra). Kinek konvertáljuk a görbéket: , , , . Térjünk át a poláris koordinátákra: , . . A poláris koordináta-rendszerben a terület egyenlők írják le:

.

1.2. Potenciális integrálok

A harmadik integrálok főhatványai hasonlóak az alsó integrálok hatványaihoz.

Derékszögű koordinátákban a harmadik integrált a következőképpen kell felírni:

.

Yakscho
, majd a harmadik integrál a régió felett számszerűen nagyobb a test térfogata :

.

A veszteséges integrál számítása

Legyen az integráció területe alulról és a fenevadig egyértelműen egyértelmű, megszakítás nélküli felületek veszik körül
,
, sőt a terület vetülete a koordinátasíkra
є sík terület
(1.6. ábra).

Ugyanez a fix értékekkel érvényes pályázatok területi pont változás a határokon. Todi otrimuemo: . Mi ráadásul kivetítés szabálytalanságokat jeleznek , , de - egyértelmű zavartalan funkciókat a , akkor

.

fenék 1.4. Kiszámítja
, de - tömör, lakásokkal körülvéve:

	, , , ( , , ). Megoldás. Az integráció területe a piramis (1.7. ábra). Területi vetítés є trikutnik , egyenes vonalakkal , , (1.8. ábra). Nál nél Applikált pont kielégíteni az idegességet ahhoz .
	A tricoutnik interintegrációjának megszervezése , vett

Próbaintegrál hengeres koordinátákban

Ha derékszögű koordinátákra váltunk
hengeres koordinátákra
(1.9. ábra), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, ráadásul

	, ,, a harmadik integrált a következőre konvertáljuk: fenék 1.5. Számítsa ki a felületekkel körülvett test térfogatát: , , . Megoldás. A test térfogata, mit lehet viccelődni dorivnyuє .
	Az integrációs területek egy henger részét képezik, amelyet lapos fenék veszi körül. , de a fenevad lapos (1.10. ábra). Területi vetítés є kolo középpontjában a koordináták csutkája áll és egyetlen sugárral. Térjünk át a hengeres koordinátákra. , , . Nál nél Applikált pont , kielégíti az idegességet vagy hengeres koordinátákkal:

Vidék
, amelyet egy görbe veszi körül
, várom, különben
at tsimu sarki kut
. Május az eredmények

.

2. A térelmélet elemei

Találjuk ki előre, hogyan számítsuk ki a görbe vonalú és felületi integrálokat.

A görbékhez rendelt függvények koordinátái feletti görbe vonalú integrál számítása , le kell redukálni az alakban szereplő első integrál kiszámítására

milyen görbe paraméteresen megadva
mutatja a görbe csutkáját , a
- Її végpontok.

A felületi integrál számítása függvényként
, a kétoldalas felületen jelölve , adja össze az alulbecsült integrált, például elme

,

mint a felszín , egyenlőkhöz rendelve
, egyedileg a síkra vetítve
a régióba
. Itt - vágás egyetlen normálvektor között a felszínre és minden
:

.

A felszín fejoldalának elméje fogyasztja a (2.3) képlet előjelének megválasztása határozza meg.

Kinevezés 2.1. vektor mező
pont vektorfüggvényének nevezzük
azonnal a її kijelölt területről:

vektor mező
skaláris értékkel jellemezve - eltérés:

Kinevezés 2.2. folyam vektor mező
a felületen keresztül felületi integrálnak nevezzük:

,

de - egyetlen normálvektor a felület kiválasztott oldalára , a
- skaláris doboot vektor_v і .

Kinevezés 2.3. keringés vektor mező

tovább zárt görbe görbevonalú integrálnak nevezzük

,

de
.

Ostrogradsky-Gauss képlet állítson be kapcsolatot a vektormező áramlása között zárt felületen keresztül és a terület divergenciája:

de - Fent, zárt hurokkal körülvéve , a - Egyetlen normálvektor a felülethez. Közvetlenül normális, előnyökkel járhat a kontúr közvetlen megkerülése .

fenék 2.1. Számítsa ki a felületi integrált!

,

de - Zovnishnya része a kúp
(
), amelyet a repülőgép lát
(2.1. ábra).

Megoldás. felül egyedi tervezésű a területen
lakások
, és az integrált a (2.2) képlet alapján számítjuk ki.

Egyetlen normálvektor a felülethez a (2.3) képletből tudjuk: . Itt a normálnál a pluszjel van kiválasztva, a szilánkokat levágják levegőben hogy normális - hülye én, otzhe, negatív lehet. Vrakhovuyuchi sho , a felszínen elfogadható

Vidék
є kolo
. Ezért a maradék integrálban poláris koordinátákra térünk át, amelyekre
,
:

fenék 2.2. Keresse meg egy vektormező divergenciáját és görbületét
.

Megoldás. A (2.4) képlethez vesszük

A vektormező forgórésze a (2.5) képletből ismert.

fenék 2.3. Ismerje meg a vektormező értékét
a terület egy részén keresztül :
, roztashovanu az első oktantі
).

	Megoldás. A (2.6) képlet ereje . A terület egy részét képviseljük : , raztashovanu az első oktánsnál. A szélfogóknál az adott terület beosztása kinézhet (2.3. ábra). A sík normálvektora koordinálhatja: , egyetlen normálvektor
	. . , , csillagok , otzhe,

de
- területi vetítés a
(2.4. ábra).

2.4. példa. Számítsa ki egy vektormező fluxusát zárt felületen keresztül! , lakással rendezve
a kúpnak az a része
(
) (2.2. ábra).

Megoldás. Az Ostrogradsky-Gauss formulával (2.8) gyorsítva

.

Ismerjük a vektormező divergenciáját (2.4) képlet:

de
- obsyag kúp, yakim végzett іtegruvannya. Gyorsítsa fel az otthoni képletet a kúp térfogatának kiszámításához
(- a kúp alapjának sugara, - Yogo magasság). Az elménk számára el tudjuk fogadni
. Maradó

.

fenék 2.5. Számítsa ki a vektormező cirkulációját!
a kontúr mentén , felül peratinnal borítva
і
(
). Ellenőrizze az eredményt a Stokes-képlet segítségével.

Megoldás. Peretina zaznachenih felület є colo
,
(2.1. ábra). Közvetlenül megkerülve a vibrációt, hangot az általa körülvett schobok, a környéken maradt a gonosz. Írjuk fel a kontúr paraméteres igazítását :

csillagok

sőt a paraméter változtass be előtt
. A (2.7) képlet mögé a (2.1) és (2.10) egyenletekből vesszük

.

Adjuk meg most a Stokes-képletet (2.9). Jak felület , a kontúron feszítve , a terület egy részét elfoglalhatja
. Közvetlenül normális
tsієї surfy zgodzhuєtsya z közvetlen áramkör bypass . A számítások th vektormezőjének rotorja a 2.2 alkalmazásban:
. Szóval shukana keringés

de
- a régió területe
.
- a sugár közelében
, csillagok