Az alulintegrálnak van olyan ereje, mint az énekintegrálé. Lényegesen kevesebb, mint a főbbeknél:

1. Mik a funkciók
integráció a régióban
, akkor a beléjük való integráció a mennyiség és a különbség, ráadásul

2. Az előjelért a konstans szorzó tehető felelőssé alátét integrált:

3. Yakscho
integrált a régióba
, és ez a terület két olyan területre oszlik, amelyek nem fedik át egymást і
, akkor

.

4. Yakscho
і
integráció a régióban
, yakіy nyelven

, akkor

.

5. Mi van a környéken
funkció
elégedett a következetlenségekkel


de
і
 cselekmények dіysnі számok, akkor

,

de – a régió területe
.

Ezeknek a hatványoknak a bizonyítása analóg az egyszerű integrál második tételének bizonyításával.

A függőleges integrál számítása derékszögű derékszögű koordinátákban

Legyen szükséges a mögöttes integrál kiszámítása
, de terület - Téglalap alakú, amelyet szabálytalanságok jellemeznek ,.

Tegyük fel, hogy
megszakítás nélküli ugyanabban a téglalapban és megduzzad az új ismeretlen értékben, még akkor is, ha a test térfogatának integrálja a bázissal , tetején rojtos állattal
, oldalról - lapos
,
,
,
:

.

A másik oldalról a sing integrál segítségével kiszámítható egy ilyen szám:

,

de
- az a terület, ahol ezt a testet egy ponton átmenő síkkal keresztezzük és merőleges a tengelyre
. Görbe trapézzel keresztezett elemzésszilánkok
, körülvéve a fenevad függvénygrafikonnal
, de rögzített, és , akkor

.

Z tsikh triokh egyenlőségek vyplivaє, scho

.

Később az alsó integrál számítását a két énekintegrál számításaként számították ki; a "belső integrál" kiszámításakor (ívekkel írva) változhatatlannak lenni.

Tisztelet. Meg tudnád magyarázni, hogy a képlet többi része helyes mikor
, valamint egy pillantással, ha a funkció
változtassa meg a jelzett téglalap előjelét.

A képlet részének jogait iterált integrálnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

.

Az elhangzottak felett nyafogsz

.

A megmaradó egyenlőség azt jelenti, hogy az integráció eredménye az integráció sorrendjében essen.

A legmélyebb lejtő megtekintéséhez mutassuk be a standard terület megértését. A tengelynek közvetlenül adott szabványos (vagy helyes) területet olyan területnek nevezzük, amelyhez egyenesnek, a tengely középpontjával párhuzamosnak kell lennie, a terület közé nem több, két ponton alacsonyabbnak kell lennie. Egyébként úgy tűnik, magát a régiót felborítva, hogy a kordon csak egy szellő egyenes.

Elfogadható, hogy a régió körül van véve

amelyet a fenevad egy függvénygrafikonnal vesz körül
, alul - a függvény grafikonja
. Gyerünk R ( ,) - minimális téglalap, amelyben a régiót elhelyezik
.

Menj a területre
hogy megszakítás nélküli funkció van hozzárendelve
. Mutassunk be egy új funkciót:

,

hasonló az underwire integrál hatványaihoz

.

én később,

.

Oskіlki vіdrіzok
hogy lefedje a területet
akkor később,
nál nél


, de feküdj vіdrіzkom helyzetben, akkor
.

Fixtel tudunk írni:

.

Ekkor az integráció jobb oldalán lévő első és harmadik integrál nullát ad

.

Otzhe,

.

Miért szükséges a képletet használni a szabványos tengely területe feletti futó integrál kiszámításához?
az ismétlődő integrálra mutató hivatkozással:

.

Yakscho régió
є szabványos y egyenes tengely
következetlenségként jelenik meg ,

, hasonlóképpen azt is be lehet bizonyítani

.

Tisztelet. A régió számára
, szabványos y egyenes tengelyek
і
, lesznek viconok

Ennél a képletnél megváltozik az integrálási sorrend és a szublineáris integrál számításának órája.

Tisztelet. Amint az integráció területe megszűnik standard (helyes) lenni mindkét koordinátatengelyen, її oszd fel a szabványos területek összegére, és jelenítse meg az integrált ezen területek integrációinak összegeként.

csikk. Számítsa ki a futó integrált!
régiónként
, vonalakkal körülvéve:
,
,
.

Megoldás.

Tsya terület є szabványos jak schodo tengely
, Szóval én
.

Az integrált kiszámítjuk, figyelembe véve a szabványos tengely területét
.

.

Tisztelet. Hogyan kell kiszámítani az integrált, figyelembe véve a szabványos tengely területét
, ugyanazt az eredményt vesszük:

.

csikk. Számítsa ki a futó integrált!
régiónként
, vonalakkal körülvéve:
,
,
.

Megoldás. Reprezentatív módon a beilleszkedés régiója adott a kicsinek.

Tsya terület є szabványos schodo tengely
.

.

csikk. Módosítsa az integráció sorrendjét az ismételt integrációhoz:

Megoldás. Képzeljük el az integráció régióját.

Az interintegrációs vonalakból ismerjük azokat a vonalakat, amelyek az integráció területét behálózzák: ,
,
,
. Az integráció sorrendjének megváltoztatásához megtehetjük mint funkciók és ismerjük az átkelőhelyet:

,
,
.

Tehát az egyik intervallumon a függvény két elemző virázzal fejeződik ki, akkor az integrációs területet két területre kell osztani, és az adó ismételt integrálja két integráció összege.

.

1.1 A függőleges integrál meghatározása

1.2 A részintegrál dominanciája

A részintegrál (az a yogo visnovok) ereje analóg az egyszeri énekintegrál erejével.

1°. Adalékosság. Ha az f(x, y) függvény integrálva van a D tartományba, és ha a D tartomány a Г kiegészítő görbén túl a nulla terület két linkre oszlik, és nem lehetnek közös belső pontjai a D 1 és D 2 tartománynak, akkor a Az f(x, y) függvény ráadásul a D 1 és D 2 területek bőrébe integrálva van

2°. Lineáris teljesítmény. Hogyan integrálhatók az f(x, y) és g(x, y) függvények a D térben, mi? én? - legyen szó beszédszámokról, akkor a [? f (x, y) + ? g (x, y)] is beépül a D tartományba, ráadásul

3°. Ahogyan az f(x, y) és g(x, y) függvények a D tartományba vannak integrálva, úgy ezen függvények további függvényei is a D tartományba integrálódnak.

4°. Hogyan integrálhatók az f(x, y) és g(x, y) függvények a D tartományba, és keresztezhetők f(x, y)? g(x, y), akkor

5°. Mivel az f(x, y) függvényt a D tartomány integrálja, ezért az |f(x, y)| integrált a D régióba, sőt

(Nyilvánvalóan az | f (x, y) | D integrálása nem mutatja f (x, y) integrációját D-ben.)

6°. Az átlagérték tétel. Bár az f(x, y) és g(x, y) offenzív függvények integrálva vannak a D tartományban, a g(x, y) függvény mindenhol ebben a régióban láthatatlan (nem pozitív), M és m a pontos f( x, y) függvény felső és alsó korlátja a D tartományban, akkor van olyan szám, amely kielégíti m egyenetlenségét? ? ? M i hogy a képlet érvényes legyen

Sokrema, mivel az f(x, y) függvény folytonos D, és a D tartomány összefügg, akkor ebben a tartományban van egy ilyen pont (?, ?), Mi? = f(?, ?), és a képlet így néz ki

7°. Fontos geometriai erő. lakóterület D

Adjuk meg a T testet (2.1. ábra) a D terület alatti térnek a fenevadnak - egy megszakítás nélküli és láthatatlan függvény grafikonja) z \u003d f (x, y,) ahogyan a térhez van rendelve D, oldalról - hengeres felület, közvetlen є a D terület között, és párhuzamosak az Óz tengellyel. Az ilyen típusú testet hengeres testnek nevezzük.

1.3 A függőleges integrál geometriai értelmezése

1.4 A téglalap függőleges integráljának megértése

Legyen az R = téglalaphoz mindenhol elegendő f(x, y) függvény rendelve? (oszt. 1. ábra).

Rozmaring szegmens a? x? b n részszakasszal az a = x 0 segédponton túl< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Miért osztja fel az Ox és Oy tengellyel párhuzamos egyenesek segítségével az R téglalapot n · p részleges téglalapokra R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Az R téglalap felosztásával jelölve, a T szimbólum jelentőséggel bír. A "téglalap" kifejezés alatt felosztást adtunk, hogy megértsük azt a téglalapot, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

A skin chastkovy Rkl téglalapon egy teljes pontot választunk (?k,?l). Ha ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, akkor az R kl téglalap területének ?R kl-n keresztül szignifikáns. Nyilvánvaló, hogy ?R kl = ?x k ?y l .

Az f(x, y) függvény integrálösszegének nevezzük, amely egy R téglalap adott T eloszlását és egy T eloszlás részleges téglalapjain adott köztes pontok (? k, l) megválasztását adja.

Az átlót az R kl téglalap átmérőjének nevezzük. Egy szimbólum? Az összes elterjedt rectometszet átmérője közül a legnagyobb az R kl .

Az I számot az (1) integrálösszegek határának nevezzük? > 0, hogyan lehet bármilyen pozitív szám? mondhatsz így dátum?, Miben?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Én |< ?.

Az f(x, y) függvényt integráltnak nevezzük (Riemann szerint) az R téglalapon, mert az at? függvény I integrál összegei között van egy végső határ? >0.

A kijelölt I határt az R téglalap az f(x, y) függvény részintegráljának nevezi, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük:

Tisztelet. Tehát csakúgy, mint egy egyszeri sing integrálnál, megállapítható, hogy az f(x, y) függvény integrálva van az R téglalapon, és ezen a téglalapon van körülírva.

Ez lehetőséget ad arra, hogy távolabbra nézzünk az f(x, y) függvények határától.

Az alárendelt integrálok hatalma.

Az alulintegrálok közvetítő nélküli hatalmainak egy része kiabál a jelentéséből, megértve az integrálösszegek erejét, de ő maga:

1. Mi a függvény f(x, y) integrálva D, akkor kf(x, y) tezh ez be van építve ebbe a galusiba, sőt (24.4)

2. Mi van a környéken D integrációs funkciók f(x, y)і g(x, y), akkor ezek a funkciók integrálva vannak ebbe a galériába f(x, y) ± g(x, y), én at

3. Hogyan integrálódjunk a régióba D funkciókat f(x, y)і g(x, y) nerіvnіst f(x, y)≤g(x, y), akkor

(24.6)

Adjunk több erőt az alulintegrálhoz:

4. Yakscho terület D két régióra osztva D 1 ta D 2 izzó belső pontok és funkció nélkül f(x, y) megszakítás nélkül a régióban D, akkor

(24.7) Hoz . Integrált összeg régiónként D egy pillantással láthatod:

a régió felosztása Dúgy végezzük, hogy között D 1 ta D 2 a csata részei között épül fel. A verejtéket átengedni a határnak, miközben elvonja az egyenlőséget (24,7).

5. Az integráció idején be D funkciókat f(x, y) ez a funkció be van építve a galusba | f(x, y) |, és maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Hoz.

csillagok segítségért a határátkelőn idegesség megszállottja esetén (24,8)

6. de SD– a régió területe D. A bizonyítást, amelyik állítást levesszük, az integrál összeget helyettesítve f(x, y)≡ 0.

7. Még mindig integrált a régióba D funkció f(x, y) kielégíti az idegességet

m ≤ f(x, y) ≤ M,

akkor (24.9)

Hoz.

A bizonyítást a nyilvánvaló egyenetlenségektől való határátmenet végzi

Következmény.

Hogyan lehet uralni az idegesség minden részét (24,9) tovább D, veheti az úgynevezett középérték tételt:

Zokrema, a megszakítás nélküli működés elméjéért f ban ben D van egy ilyen pont a régióban ( x 0, y 0), yakіy nyelven f(x 0, y 0) = μ , akkor

-

Az átlagérték tétel másik megfogalmazása.

Geometriai zmist alsó integrál.

Lássuk a testet V, részleges felülettel körülvéve, mit kérnek az egyenlők z = f(x, y), kivetítés D tsієї felület síkonként HU a függőlegesektől leválasztott táblás hengeres felület, amely a felületek közötti pontokat a vetületeikkel köti össze.

z = f(x, y)

V

y P i D 2. ábra.

Shukatimemo a test térfogatát a hengerek térfogatainak összege között, amelyek alapja a Δ részek Si régiók D, és magasság szerint - vіdrіzki zavdovka f(Pi), de pontok Pi hazugság Δ Si. Áthaladva a határon, otrimaemo, scho

(24.11)

amely az úgynevezett henger integráljának hatása alatt áll, körülötte a fenevad a felszínen z = f(x, y), alatta pedig - a terület D.

Az aláhúzott integrál kiszámítása a jógahivatkozás útvonala alapján a másodikhoz.

Perspektivikus terület D, vonalak határolják x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( x) és φ 2 ( x) szünet nélkül a [ a, b]. Ezután legyen egyenes, párhuzamos a koordinátatengellyel nál nélés áthalad a terület belső pontján D, két ponton keresztezi a régió kordonját: N 1 ta N 2 (1. ábra). Nevezzük ezt a területet helyes be-

nál nél helyes tengely O nál nél. Hasonlóan az is

y=φ 2 (x) van egy terület, amely egyenes vonalban van

N 2 tengely O x. Régió, helyesen közvetlenül-

Nії mindkét koordinátatengelyt megtesszük

D csak hívd jól. Például,

A megfelelő terület az 1. ábrán látható.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Hajrá funkció f(x, y) megszakítás nélkül a régióban D. Nézd meg Virazt

, (24.12)

rang dvorazovym integrál funkció típusa f(x, y) régiónként D. Számítsuk ki változtatással a belső integrált (karoknál állva). nál nél, annak ellenére x postiynim. Ennek eredményeként látjuk megszakítás nélküli funkció Kilátás x:

Az Otrimanu funkció integrálható x közte a előtt b. Ennek eredményeként a számot vesszük

Hozzuk a yard-bölcs integrál fontos erejét.

1. tétel. Yakscho régió D, egyenesen előre nál nél, két területre osztva D 1 ta D 2 egyenes, párhuzamos tengely Pro nál nél O tengely felett x, majd a dvorazovy integrál a régió felett D ugyanazon integrálok több összege régiónként D 1 ta D 2:

Hoz.

a) Menj egyenesen előre x = c szünetek D a D 1 ta D 2, egyenesen előre nál nél. Todi

+

+

b) Menj egyenesen előre y=h szünetek D a jobb oldalon egyenesen előre nál nél régiók D 1 ta D 2 (2. ábra). Jelentősen át M 1 (a 1 , h) azt M 2 (b 1 , h) pontjai az egyenes keresztvonalának y=h a kordontól L régiók D.

y Vidék D 1 megszakítás nélküli vonalakkal körülvéve

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) görbe DE 1 M 1 M 2 Nál nél, egyenlő azzal, amit felírunk

hM 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(x) = φ 2 (x) nál nél a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(x) = h nál nél a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) egyenes x = a, x = b.

Vidék D 2 vonallal körülvéve y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (x),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Bizonyíthatjuk a belső integrálnak a kb. tételt

az integráció áttörése:

O a a 1 b 1 b

+

Adjunk még egy s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumit:

+ + .

Oskilki φ 1 *(x) = φ 2 (x) nál nél a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Az első és a harmadik elveszi az integrálokat és nullára kiegyenlíti. Otzhe,

I D = , akkor .

A részintegrál fő hatványa

A részintegrál (az a yogo visnovok) ereje analóg az egyszeri énekintegrál erejével.

1°. Adalékosság. Mi a funkciója f(x, y) integrálva a régióba Dés mint terület D segítség görbe G a nulla terület két láncszemre van osztva, és nem tompítja a régió magas belső pontjait D 1 ta D 2 , majd a függvény f(x, y) a bőrfelületekbe integrálva D 1 ta D 2 ráadásul

2°. Lineáris teljesítmény. Milyen funkciókat f(x, y) azt g(x, y) integrációja a térségben D, a α і β - legyen szó beszédszámokról, akkor a függvény [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] is integrált a régióba D, ráadásul

3°. Milyen funkciókat f(x, y) azt g(x, y) integrációja a térségben D, akkor e funkciók további funkciói beépülnek D.

4°. Milyen funkciókat f(x, y) azt g(x, y) offenzív integráció a régióban Dés mindenhol a galériámban f(x, y) ≤ g(x, y), akkor

5°. Mi a funkciója f(x, y) integrálva a régióba D, azok a funkció | f(x, y)| integrált a régióba D, ráadásul

(Természetesen integrációval | f(x, y)| ban ben D nem mutat integrációt f(x, y) ban ben D.)

6°. Az átlagérték tétel. Milyen sértő funkció f(x, y) azt g(x, y) integrációja a térségben D, funkció g(x, y) ebben a galériában mindenhol láthatatlan (nem pozitív), Mі m- a függvény pontos felső és alsó határa f(x, y) a területen D, akkor van egy szám μ ami kielégíti az idegességet m ≤ μ ≤ Més hogy a képlet érvényes legyen

MOZGÓ INTEGRÁLOK

előadás 1

Tartós integrálok.Az áram alatti integrál célja a hatalom. Ismételt integrációk. Alsó integrálok hivatkozásai ismétlődőkre. Elhelyezés az integráció között. A derékszögű koordinátarendszer mögöttes integráljainak számítása.

A részintegrál a sing integrál megértésének elmélyítése két változó különböző funkcióiban. Ily módon az integráció fordítottja lapos alakként lesz jelen.

Na gyere D- Dejaka zárt, határos terület, ill f(x,y) - elegendő funkció, ezt a galéria jelölte ki. Tegyük fel, hogy a régiók között D az elme egyenlői által megadott görbék végső számából összegeződnek y=f(x) vagy x=g( y), de f(x) azt g(y) megszakítás nélküli funkciók.

Rozib'ёmo régió D tisztességes beosztásban n rész. terület én A -ї delyanki jelentése a D szimbólummal történik s i. A bőrön dilyantsi, elég vibrálás egy pont pi,és engedd ki be-yak_y-ban, rögzítve a derékszögű rendszer maє koordinátáit ( x i, y i). Sklademo integrál összeg a funkcióhoz f(x,y) régiónként D, amelyre a függvény értéke minden pontban ismert Pi, їх-t megszorozva a kettős parcellák területével Ds énÉs feltételezzük, hogy az összes eredményt elveszik:

Nazvemo átm(G) területeken G a régió határpontjai közötti legnagyobb távolság.

Integrál függvények f(x,y) a D területen határnak nevezzük, mennyiben az integrálösszegek sorozatát (1.1) a szünetek számának korlátlan növekedésével n (akinél). Írd le így

Drágán, scho, vzagali látszólag, a teljes összeg funkciókat állít beés az adott integrációs terület D ta kiválasztani a pontot Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse azt jelenti, hogy a vіdpovіdny іntegrаlny összegek között nem lehet a kijelölt chinnikіv között feküdni. Rendben(vagy ahogy látszik, általános funkció f(x,y) a D tartományba van integrálva, elegendő, ha a bool integrál függvénye megszakítatlan a feladatgaléria integrációjában.

Hajrá funkció f(x,y) integrálva a régióba D. Az ilyen funkciók kumulatív összegei közötti szilánkok nem halmozhatók fel az integrációs terület felosztásával, a felosztás elvégezhető függőleges és vízszintes vonalak segítségével. Todі több üzletember a régióban D matime egyenes vágású, egy ilyen dorivnyu területe D s i=D x i D y i. Ezért a területi különbséget így írhatjuk fel ds=dxdy. Otzhe, a derékszögű koordinátarendszerben az integrálok alatt a látványnál leírhatod

Tisztelet. Mint az f integrand függvény(x,y)º1, akkor az integrációs régió területének alulintegrálja:

Lényeges, hogy az aláhúzott integrációk lehetnek azonos erejűek és külön-külön is integráltak. A tetteik jelentősek.

Az alárendelt integrálok hatalma.

1 0 .Lineáris teljesítmény. Az integrálok másik összege függvényösszegének integrálja:

és a konstans szorzó tehető az integrál előjeléért:

2 0 .Additív erő. Mivel a D integráció területe két részre oszlik, így a szubintegrál teljesebb, mint a bőrrész integrációinak összege:

3 0 .Az átlagtétel. Mi a funkciója f( x,y)folytonos a D régióban, akkor van egy ilyen pont a galériában(x, h) , mit:

További táplálkozás utáni: hogyan számítják ki a részintegrálokat? A jógó megközelítőleg virahuvati lehet, ezzel a módszerrel megtörik hatékony módszerek kumulatív összegek hajtogatott összegei, amelyeket aztán további EOM-vel számszerűen kiszámítanak. A részintegrálok analitikus számításával két sing-integrálra redukálódnak.