Rješenje retka matrice. Matematika za čajnike Matrice i one glavne iznad njih. Operacija transpozicije matrice

Danska metodična pomoć pomoći će vam da naučite kako pobijediti díí s matricama: zbrajanje (oduzimanje) matrica, transponiranje matrica, množenje matrica, značaj pivot matrice. Sav materijal depozita je u jednostavnom i pristupačnom obliku, izrađen je na isti način, u takvom rangu, nespremna osoba može naučiti pisati matricama. Za samokontrolu i samoprovjeru možete besplatno koristiti matrični kalkulator >>>.

Pokušavam minimizirati teorijske potklauzule, ako možete objasniti "na prstima" te ne-znanstvene pojmove. Ljubitelji temeljne teorije, budite ljubazni, nemojte se baviti kritikom, naš je zadatak naučiti kako naučiti koristiti matrice.

Za površnu pripremu za temu (tko "pali") - intenzivni pdf-tečaj Matrix, vyznachnik tu dvoranu!

Matrica je pravokutna tablica, bilo da je elementi. U jakosti elementi možemo pogledati brojeve, to jest brojčane matrice. ELEMENT- Tse termin. Pojam treba zapamtiti, vina su često škrabana, ne koristim ovu viziju podebljanim slovima.

Oznaka: matrice zvuče velikim latiničnim slovima

stražnjica: Pogledajmo matricu dva po tri:

Ova matrica se sastoji od šest elementi:

Sve brojeve (elemente) u sredini matrice možete pronaći sami, tako da ne možete pronaći ništa o tome:

To je samo tablica (skup) brojeva!

Dakle, kod kuće smo nemojte preuređivati broj, koji nije naveden u obrazloženjima. Broj kože ima svoje mjesto truljenja i nemoguće ih je promiješati!

Gleda se matrica, ima dva reda:

i tri stupa:

STANDARD: ako govorimo o proširenju matrice, onda na klipu označite broj redaka, a zatim - broj stupaca. Malo po malo, razvrstavali su matricu "dva po tri" po kistovima.

Ako je broj redaka i stupaca matricezbígaêtsya, tada se matrica naziva kvadrat, na primjer: - matrica tri puta tri.

Kao u matrici jedan redak ili jedan red, takve se matrice također nazivaju vektori.

Matrice stvarno znamo iz škola, pogledajmo, na primjer, točku s koordinatama "iks" i "iplayer": . Zapravo, koordinate točke su zapisane u matrici jedan prema dva. Prije govora, os vam je primjer zašto redoslijed brojeva može biti značajan: i - to su dvije različite točke ravnine.

Sada idemo dalje bez problema na vjenčanje diy iz matrica:

1) Diya persha. Kvar minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Okrenimo se našoj matrici . Kao što ste se pjevajući sjećali, moja matrica ima previše negativnih brojeva. Još je nezgodnije s izgledom škrabača malih s matricom, pisanje minusa bez ruke, taj jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Okrivljujemo minus za inter-matrice, mijenjajući predznak elementa SKIN matrice:

Na nuli, kao što znate, znak se ne mijenja, nula - vino i nula u Africi.

Zvorotny stražnjica: . Pogledam snishodljivo.

Uvodimo minus u matricu, mijenjajući predznak elementa SKIN matrice:

Pa, os, bogato simpatično veyshlo. Ja, naygolovníshe, bit će LAKŠE pobijediti matricu. Zato što je tako matematički narodna prikmeta: što više minusa - to više ulizica i pardona.

2) Dia prijatelj. Množenje matrice brojem.

stražnjica:

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu s brojem, trebate koža pomnožite element matrice sa cijeli broj. Na ovom posebnom tipu- Troje.

Još jedna smeđa guzica:

– množenje matrice dribom

Na stražnjoj strani glave gledamo one koji su robiti NIJE OBAVEZNO:

Dodavanje više novca u matricu NIJE POTREBNO, prvo, lakše je presavijati dalje od matrice, na drugačiji način, lakše je ponovno provjeriti rješenje od strane vikladach (posebno, yakscho - Rezidualna rekvizicija).

Tim više, NIJE OBAVEZNO dilitnost elementa kože matrice za minus sím:

Tri statistike Matematika za glupane ili zašto drugo, sjećamo se toga decimalni razlomci s kojim svi drugi matematičari pokušavaju biti jedinstveni.

Jedna stvar bagan robiti u svojoj aplikaciji - dodajte minus u matricu:

I od yakbyja SVI elementi matrice su podijeljeni sa 7 bez ekscesa, Tada možete (i trebate!) Boulo b podílit.

stražnjica:

U kojem smjeru mogu POTREBNO pomnožiti sve elemente matrice s , tako da su svi brojevi matrice podijeljeni s 2 bez ekscesa.

Napomena: teoretski napredna matematika ne postoji školarac koji razumije "podíl". Umjesto izraza "nemoj dodavati ovome" uvijek možeš reći "pomnoži s više". Tobto podíl - tse okremia vpadok množina.

3) Dija treća. Transpozicija matrice.

Za transponiranje matrice potrebno je upisati retke u stupce transponirane matrice.

stražnjica:

Transponirati matricu

Ovdje postoji samo jedan red i prema pravilu ga je potrebno zapisati u stupac:

je transponirana matrica.

Transponirana matrica označena je superskriptnim indeksom ili crtom desne jegulje.

Zaštitna stražnjica:

Transponirati matricu

Na poleđini prepisujemo prvi red na prvom koraku:

Prepišimo još jedan redak u drugi redak:

Í, nareshti, prepišite treći red na trećem stovpetu:

Spreman. Grubo naizgled, transponirati znači rotirati matricu u stranu.

4) Dija četvrta. Matrica zbroja (maloprodaje)..

Zbroj matrica diya je nezgodan.
NE MOGU SE SVE MATRICE SASVITI. Za vykonannya sklopive (vídnímannya) matrice, potrebno je da smrad kuglica bude isti ZA ROZMIROM.

Na primjer, ako je dana matrica "dva po dva", tada je možete dodati samo matrici "dva po dva" i na bilo koji drugi način!

stražnjica:

Presavijte matrice і

Za presavijanje matrica potrebno je saviti njihove potrebne elemente:

Za različite matrice, pravilo je slično, potrebno je znati razliku između različitih elemenata.

stražnjica:

Znati razliku matrica ,

I kako možete ovu guzicu učiniti jednostavnijom, da se ne izgubi? Ne ustručavajte se dodati minuse, za koje ćemo dodati minus u matricu:

Napomena: teoretski, ne postoji takva stvar kao što je srednjoškolsko razumijevanje matematike. Umjesto izraza "što god vidite" uvijek možete reći "zbrojiti negativan broj". Tobto vídnimannya - tse okremy vipadok presavijeni.

5) Diya p'yata. Reprodukcija matrica.

Koje se matrice mogu množiti?

Tako da se matrica može pomnožiti s matricom prema potrebi, tako da je broj stupaca u matrici jednak broju redaka u matrici.

stražnjica:
Možete li pomnožiti matricu s matricom?

Opet, možete pomnožiti ove matrice.

I iz te iste matrice presložiti misije, pa je na ovaj način množenje već nemoguće!

Otzhe, vikonati množinu je nemoguće:

Ne događa se tako često da se zadaci izigravaju smicalicama, ako se učenik potiče na množenje matrica, čije je množenje očito nemoguće.

Slajdovi pokazuju da niz varijabli može množiti matrice í tako, í tako.
Na primjer, za matrice, i se može pomnožiti, pa sam pomnožio

Pravokutna matrica mxn proširenja je zbroj mxn brojeva, raspoređenih u pravokutnu tablicu, kako bi se osvetili redovi od m i n stupaca. Zapisat ćemo je po viđenju

inače, kada se gleda A = (a i j) (i = ; j = ), brojevi a i j se nazivaju njeni elementi; prvi indeks pokazuje na broj retka, drugi - na broj retka. A \u003d (a i j) i B \u003d (b i j) iste veličine nazivamo jednakima, jer su elementi jednaki u parovima, pa stoje na istim mjestima, zatim A \u003d B, pa a i j \u003d b i j.

Matrica koja je presavijena iz jednog retka ili jednog stupca naziva se vektor retka ili stupca. Stow vektori i vektori reda jednostavno se nazivaju vektori.

Matrica koja ima jedan broj preslikava se na taj broj. A rozmíru mxn, svi elementi koji su jednaki nuli, nazivaju se nula i dodjeljuju se kroz 0. Elementi s istim indeksima nazivaju se elementi dijagonale glave. Ako je broj redaka jednak broju pragova, tada je m = n, tada se matrica naziva kvadratni red n. Kvadratne matrice koje imaju nula ili više elemenata dijagonale glave zovu se dijagonalne i pišu se na sljedeći način:

Ako svi elementi a i i dijagonalno zbroje 1, tada se to naziva jednostrukim i označava se slovom E:

Kvadratna matrica naziva se triko, jer su svi elementi koji stoje više (ili niže) od dijagonale glave jednaki nuli. Transpozicija se naziva takva transformacija, kada se redovi i stupci mijenjaju mjestima u uštedama svojih brojeva. Označeno je ikonom transpozicije T na vrhu.

Budući da u (4.1) možemo preurediti retke sa stupcima, tada uzimamo

kao da ga je transponirao A. Zokrem, prilikom transponiranja vektora-stovptsya pojavit će se vektor reda i navpacki.

Podkomponenta A broj b naziva se matrica, čiji elementi dolaze od drugih elemenata od A za množenje broja b: b A = (b a i j).

Zbroj A = (a i j) i B = (b i j) jedne dimenzije naziva se C = (c i j) iste dimenzije, čiji su elementi pridruženi formuli c i j = a i j + b i j .

Dobutok AB je povezan s ulazom, pa je broj stupaca A jednak broju redaka U.

Dobutkom AB, de A = (a i j) í B = (b j k), de i = , j = , k = , dodijeljen dodijeljenom redu AB, nazvanom C = (c i k), elementi su dodijeljeni takvom pravilu:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Inače bi se činilo da je elementu kreacije AB dodijeljen sljedeći redoslijed: element i-tog retka i k-tog stupca najljepši je zbroj kreativnih elemenata i-tog retka A na zavisni elementi k-tog stupca B.

kundak 2.1. Znajte doboot AB i .

Riješenje. Svibanj: A rozmíru 2x3, rozmíru 3x3, zatim dobutok AB \u003d C ísnuê í elementi S jednaki

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

a tvir BA nije istina.

stražnjica 2.2. U tabeli je naveden broj pojedinačnih proizvoda koji se dnevno preuzimaju u mljekarama 1 i 2 u trgovine M 1, M 2 i M 3, štoviše, dostava pojedinog proizvoda od mljekare kože do trgovine M 1 koštala je 50 den. jedan, do dućana M 2 - 70, a M 3 - 130 den. jedan. Pídrakhuvat schodenní transport vitrati štavionica.

mliječni proizvodi

Riješenje. Značajno kroz Matricu, koja nam je dana na razumijevanje, i kroz
B - matrica koja karakterizira varijabilnost isporuke jednog proizvoda trgovine, tobto,

Todo matrix vitrate na prevezenoj matimi izgledao je:

Također, prva tvornica vitraja trenutno ima cijenu od 4750 groša. jedan, drugi - 3680 den.

stražnjica 2.3. Šivaći obrt priprema zimske kapute, demi-sezonske kapute i kabanice. Planirano izdanje za jedno desetljeće karakterizira vektor X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya tkanine chotirioh vrste T1, T2, T3, T4. U tablici su norme vitrati tkiva (metri) za vibr. Vektor C = (40, 35, 24, 16) označava varijabilnost metra tkiva tipa kože, a vektor P = (5, 3, 2, 2) - varijancu transportiranog metra tkiva od dermalni tip.

	Vitrata tkanine

zimski kaput
Demi-sezonski kaput

Linearna algebra

Matrice

matrica rozmíru m x n - tse pravocrtna tablica brojeva, za osvetu m redova i n stoptsív. Brojevi koji čine matricu nazivaju se elementi matrice.

Prihvaćeno je da se matrice označavaju velikim latiničnim slovima, a elementi - istim, malim slovima s oznakom ispod žice.

Na primjer, pogledajmo matricu A dimenzija 2 x 3:

Ova matrica ima dva reda (m = 2) i tri reda (n = 3), tj. won se sastoji od šest elemenata a ij de i - broj reda, j - broj reda. Kod toga je vrijednost 1 prema 2, a vrijednost jedan do tri (bilježi se). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Matrice A i B iste veličine (m x n) nazivaju se jednak, tako da je smrad element po element zbígayutsya, tobto. a ij = b ij za , tada. za bilo koje i i j (možete napisati "i, j").

matrica reda- ista matrica koja je presavijena iz jednog reda, i matrica-žig- Tse matrica koja je presavijena iz jednog stovptsya.

Na primjer, je redna matrica, a .

kvadratna matrica do n-tog reda - matrica, do retka do broja stupaca i do n.

Na primjer, kvadratna matrica različitog reda.

Dijagonalno elementi matrice – ciljni elementi, kod kojih je broj reda jednak broju stupca (a ij, i = j). Qi elementi zadovoljavaju glavna dijagonala matrice. Na prednjem kundku glavnu dijagonalu čine elementi a 11 = 3 i a 22 = 5.

Dijagonalna matrica- Ovo je kvadratna matrica u kojoj su svi nedijagonalni elementi jednaki nuli. Na primjer, - Dijagonalna matrica trećeg reda. Ako je tako, svi dijagonalni elementi su jednaki jedan, tada se poziva matrica usamljen(Zvukovi su označeni slovom E). Na primjer, - Sama matrica trećeg reda.

Matrica se zove nula tako da su svi njeni elementi jednaki nuli.

Kvadratna matrica se zove pleteni pa su svi elementi ispod (ili iznad) dijagonale glave jednaki nuli. Na primjer, - Tricut matrica trećeg reda.

Operacije na matricama

Na matricama se mogu izvesti sljedeće operacije:

1. Množenje matrice brojem. Dodatna matrica za broj l je matrica B = lA, čiji su elementi b ij = la ij za bilo koje i i j.

Na primjer, yakscho, dakle .

2. Zbrajanje matrica. Zbroj dviju matrica A í iste veličine m x n naziva se matrica C \u003d A + B, čiji su elementi ij \u003d a ij + b ij za "i, j.

Na primjer, poput zatim

Značajno je da se kroz frontalnu operaciju može vizualna matrica ista veličina: razlika A-B\u003d A + (-1) * Čl.

3. Reprodukcija matrica. Dodatna matrica A proširena m x n na proširenu matricu n x p naziva se takva matrica C, čiji element kože s ij dopunjuje zbroj elemenata i-tog retka matrice A na vidljivim elementima j-tog reda. stupac matrice, tobto. .

Na primjer, poput

, tada će ekspanzija stvaranja matrice biti 2 x 3, i pripazite na majku:

Na taj način se matrica A naziva sužena matrica.

Na temelju operacije množenja za kvadratne matrice, operacija karike na nogama. Pozitivna stepenica A m (m > 1) kvadratne matrice A naziva se dodatnih m matrica jednakih A, tobto.

Recimo, da zbrajanje (zamjena) i množenje matrica nije namijenjeno za dvije matice, nego samo za pjevanje najviše, što godi, u svojoj mjeri. Za znakhodzhennya sumi chi ríznití matrice njihove rozmír obov'yazkovo mogu biti iste. Za izradu matrica, broj stupaca u prvoj može se povećati za broj redaka u drugoj (takve matrice se nazivaju pleasezhenimi).

Pogledajmo moći promatranih operacija, analogno moćima operacija nad brojevima.

1) Komutativni (pomakni) zakon savijanja:

A + B = B + A

2) Zakon asocijativnog (sretnog) savijanja:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributivni (rasprostranjeni) zakon množenja kako presavijati:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Asocijativni (sretni) zakon množenja:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Podržava se da se zakon pomaka množenja za matrice ne mijenja u suprotnom smjeru, tj. AB ¹ BA. Štoviše, iz baze AB nije obavezna baza BA (matrice mogu biti neprihvatljive, čak se i ne dodjeljuju isti dodaci, kao u slučaju induciranog sučelja, množina matrica). Ale navít yakscho učiniti uvredu, učiniti to, smrad urlik razní.

U dobrom smislu, komutativni zakon može dodati kvadratnu matricu A jednoj matrici istog reda, štoviše, to daje A (množenje s jednom matricom ovdje je slično množenju s jedan pri množenju brojeva):

AE = EA = A

Pravi,

Množenjima brojeva dodajemo još jednu množinu matrica. Nuli se može dodati više brojeva ili manje od toga ako želite da jedan od njih bude jednak nuli. Nemoguće je reći o matricama, tobto. dodatne ne-nul matrice mogu se dodati nultim matricama. Na primjer,

Pogledajmo operacije na matricama.

4. Transpozicija matriceê operacija prijelaza s matrice A na ekspanziju m x n na matricu A T na ekspanziju n x m, u istim redovima i stupcima obilježeni su razmacima:

Snaga operacije transpozicije:

1) Odabrali smo sljedeće, tako da se matrica može transponirati u dvije, obratit ćemo se izlaznoj matrici: (AT) T = A.

2) Za predznak transpozicije može se okriviti konstantni množitelj: (lA) T = lA T .

3) Transpozicija distributivno umnoženih dodatnih matrica: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matrice

Za kvadratnu matricu A unesite broj |A| vyznachnik. Innodi joga se označava slovom D.

Tse ê važno na vrhu niskih praktičnih zadataka. Značajno yoga kroz metodu proračuna.

Za matricu prvog reda jedini element |A| = D1 = a11.

Za matricu različitog reda ji, broj se naziva označitelj, jer se izračunava nakon formule |A| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Za matricu A trećeg reda ji broj se naziva označitelj, jer se izračunava nakon formule

Predstavlja zbroj algebre koji se sastoji od 6 sabiranja, u čiji skin ulazi točno jedan element iz reda skina i matrice skin matrice. Za pamćenje formule suca, uobičajeno je ubrzati takozvano pravilo trikova ili Sarrusovo pravilo (slika 6.1).

Na malom 6.1 prikazana je shema zla, kako odabrati elemente za dodatke s znakom plus, - smrad se perebuvayut na dijagonali glave i na vrhovima jednakih femoralnih trikutnika i stavlja ih paralelno. Shema zlíva vikoristovuêtsya za dodankív zí znak "minus"; na njoj je zamjenik dijagonale glave uzet tzv.

Voditelji viših redova izračunavaju se na rekurzivan način, tobto. nasljednik četvrtog reda preko nasljednika trećeg reda, nasljednik petog reda preko nasljednika četvrtog reda itd. Za opis metode potrebno je uvesti pojam minora tog algebarskog komplementarnog elementa matrice (najznačajnije je da je sama metoda, o kojoj ćemo dalje govoriti, prikladna za treći i drugi red).

Minor M ij element a ij matrica n-tog reda naziva se primordijalna matrica (n-1)-tog reda, preuzeta iz matrice A i podudaranja i retka i j-tog stupca.

Matrica kože n-tog reda je n2 minor u (n-1)-tom redu.

Algebarski dodaci Matrica ij elementa ij n-tog reda naziva se yogo minor, uzimajući predznak zí (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaê, scho A ij \u003d M ij, što je zbroj brojeva u retku i stupcu para, í A ij \u003d -M ij, koji nije uparen.

Na primjer, poput , onda ; i tako dalje.

Metoda izračuna glavnice polegaê u ofenzivi: označitelj kvadratne matrice je napredniji zbroj kreacija elemenata bilo kojim redoslijedom (stovptsya) na njihovim dodacima algebre:

(izgled prema i-ti elementi redovi; );

(Izgled elemenata j-tog stupca;).

Na primjer,

Značajno je da je u početku iskonski uzorak triko matrice napredniji od elemenata dijagonale glave.

Formulirajmo glavne ovlasti magistrata.

1. Ako postoji red ili ako je matrica sastavljena samo od nula, tada je arbitar jednak 0 (slijedi metodu rozrahunka).

2. Ako pomnožite sve elemente neke vrste retka (stowptsya) matrice s istim brojem, tada se isti broj množi s cijelim brojem).

Napomena: za predznak označitelja možete okriviti vrući množitelj samog reda (za predznak matrice, za čiji znak možete okriviti vrući množitelj elemenata). Na primjer, , .

3. Kada se matrica ji transponira, označitelj se ne mijenja: | A T | = | A | (Dokaz se neće provoditi).

4. Prilikom preslagivanja razmaka u dva retka (stowptsiv) matrice, arbitar mijenja predznak prolege.

Kako bi se potvrdila vrijednost klipa, prihvatljivo je da se dva uzastopna retka matrice preurede: i-ti i (i + 1)-ti. Za rozrahunka vyznachnika vyhídnoj matricu ja bacam, a za novu matricu (s preuređenim redovima) - za (i + 1) - th (kao što je u niy isto, pa se pomiče element po element). Zatim, kada se drugi predznak proširi, koža nadopunjuje algebarsku matimu prolegiranim predznakom, pa će se (-1) svesti ne na korake (i + j), već na korake (i + 1 + j), a u drugoj formuli formule se neće dodavati. Na taj se način znak primata mijenja u protil.

Sada je prihvatljivo da se ne preuređuju tereni, nego još dva reda, na primjer, i-ti i (i + t)-ti. Takva permutacija je moguća kao naknadni pomak i-tog reda za t redaka prema dolje, a (i + t)-tog reda - za (t-1) redaka prema gore. Kome se predznak primata promijeni (t + t - 1) = 2t - 1 broj puta, tj. nesparen broj puta. Otzhe, neka vinova loza promijeni ostalo.

Slično zrcaljenje može se promijeniti za stovptsiv.

5. Ako matrica treba zamijeniti dva identična retka (stowptsya), sljedeći je jednak 0.

Istina, ako se isti redovi (stovptsí) preuređuju po misijama, tada će sama matrica biti oduzeta od strane istih imenovanih osoba. S druge strane, iza prednjih yakistyu vena, možete promijeniti simbol, tobto. D = -D D = 0.

6. Budući da su elementi dva retka (stowptsív) matrice proporcionalni, tada je broj jedan jednak 0.

Ova snaga se temelji na naprijednoj snazi tog vina za okov glave množitelja (nakon vina za okov koeficijenta proporcije u matrici će biti isti redovi abosta, a kao rezultat toga koeficijent pomnožit će se s nulom).

7. Zbroj kreativnih elemenata bilo kojeg retka (stowptsya) matrice na algebarskom zbrajanju elemenata sljedećeg retka (stowptsya) iste matrice uvijek je veći od 0: za i ¹ j.

Da bismo doveli snagu, dovoljno je j-ti red u matrici A zamijeniti i-tim redom. U skraćenoj matrici bit će dva jednaka retka, pa je sljedeći jednak 0. S druge strane, može se izračunati pomoću elemenata j-tog retka: .

8. Indeks matrice se ne mijenja, samo elementima retka ili matrici dodajte elemente sljedećeg retka (stow), pomnožene s istim brojem.

Dobro, dopustite mi da dodam elemente i-tog reda j-ti element redaka pomnoženo s l. Vidjet će se svi elementi novog i-tog reda
(a ik + la jk, "k). Izračunajmo predznak novog rasporeda matrice nakon elemenata i-tog retka (značajno je da se algebarski dodaci njenih elemenata ne mijenjaju kada se mijenjaju):

Oduzeli smo da ovaj primat ne izgleda kao primat vanjske matrice.

9. Značajne dobutku matrice skuplje dobutku njihove vyznachnív: | AB | = | A | * |U| (Dokaz se neće provoditi).

Oni su gledali na više autoriteta vyznachnikov i vicorista radi oprosta njihovog proračuna. Zzvichay namagayutsya perevorit matricu na takav oblik, shchob biti-yaky stovpets ili red osvete yaknabílshe nula. Lako je znati sljedećeg arbitra za polaganje prvog ili drugog reda.

matrica preokreta

Matrica A-1 se zove reverzibilan prema omjeru prema kvadratnoj matrici A, čak i ako se matrica pomnoži s matricom A, ona je desnokretna, pa izlazi jednostruka matrica: A -1 * A = A * A -1 = E.

Slijedi da je obrnuta matrica kvadratna matrica istog reda kao i matrica A.

Može se vidjeti da je razumijevanje pivot matrice slično razumijevanju pivot broja (cijeli broj, kada se pomnoži s danim brojem daje jedan: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Brkovi brojevi, crim zero, mogu omotati brojeve.

Da bi se saznala snaga, kolika je kvadratna matrica prinosa, potrebno je poznavati arbitra. Ako je matrica jednaka nuli, tada se takva matrica naziva virogena, ili posebno.

Neophodno dovoljno pameti Osnova serumske matrice: serumska matrica je ista i samo ako se ne koristi nevirogena matrica.

Mi ćemo donijeti potrebu. Neka je tada matrica obrnuta matrica A -1. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Kasnije,
|A| ¹0.

Mi donosimo dovoljno. Da bismo ga doveli, potrebno je jednostavno opisati metodu izračuna serumske matrice, što se uvijek može učiniti za nedjevičansku matricu.

Otzhe, hajde | A | ¹ 0. Transponirajte matricu A. Za element kože A T doći(Međusobno, saveznički):.

Znamo realnost primljene matrice i izlaza. Oduzeti . U ovom redoslijedu, matrica je dijagonalna. Na njezinoj dijagonali glave nalaze se predznaci izlazne matrice, a linije elemenata su nule:

Slično, možete pokazati da .

Ako sve elemente matrice podijelite na |A|, tada ćete oduzeti jednu matricu E.

Takav rang , onda. .

Donosimo jedinstvo stožerne matrice. Recimo, glavna obrnuta matrica za A, zadana je A -1 . Značajno ji X. Todi A * H = E.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Jedinstvo donijelo.

Također, algoritam za izračunavanje pivot matrice sastoji se od sljedećih koraka:

1. Upoznajte arbitra matrice | A | . Yakscho |A| = 0, tada je matrica A virogen, a reverzna matrica se ne može znati. Yakscho |A| ¹ 0, a zatim prijeđite na koračno heklanje.

2. Poticati transpoziciju AT matrice.

3. Poznavati algebarske komplementarne elemente transponirane matrice i inducirati zadanu matricu.

4. Izračunajte omotanu matricu dijeljenjem primljene matrice na |A|.

5. Ispravnost izračuna pivot matrice možete preokrenuti na ispravan način do točke: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Upoznajmo broj jedan u matrici koja stoji iza pravila trikova:

Preskočimo prepisivanje.

Sljedeće matrice možete dovesti na snagu:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Rang matrice

Manji k-ti red na matricu dimenzija m x n, za imenovanje označitelja kvadratne matrice k-tog reda, budući da je uzet iz matrice A kako bi se utvrdilo ima li redaka i stupaca.

Važno je napomenuti da redoslijed manjeg ne nadmašuje onaj manji, tobto. k £ min (m; n). Na primjer, iz matrica A 5x3 moguće je ukloniti kvadratne podmatrice prvog, drugog i trećeg reda (moguće je proširiti manje redove).

rang ime matrice pronalaženje reda u obliku nula u minorima matrice (označuju rang A, ili r(A)).

Vau

1) rang matrice je odabran od najmanjeg s nje razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 i tada, ako je matrica nula (svi elementi matrice jednaki nuli), tada. r(A) = 0 A = 0;

3) za kvadratnu matricu n-tog reda je r(A) = n i tada, ako je matrica A nevirogena, tada. r(A) = n | | ¹0.

Zapravo, za koga je dovoljno izračunati više od jednog takvog minora (onog koji je oduzet od uskrsnuća trećeg stupca (jer će u reshtu biti nulti treći stupac, a tome će se dodati smrad). na nulu).

Iza pravila trikoa = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Krhotine svih minora trećeg reda su nula, r(A) £ 2. Krhotine imaju minor različit od nule različitog reda, na primjer,

Očito je da vikoristani od strane nas prihvaća (pogled na razne manje) nije pogodan za viši rang u složenijim tendencijama kroz veliki rad. Zvučni znak ranga matrice pobjednička djela preobrazbe, kako oni nazivaju elementarni:

jedan). V_dkidannya nula redaka (stovpts_v).

2). Reprodukcija svih elemenata retka ili matrice brojem, ne računajući nulu.

3). Promjena redoslijeda redaka (stovptsiv) matrice.

četiri). Dodatak elementu kože jednog reda (stovptsya) elemenata drugog reda (stovptsya), pomnožen brojem.

5). Transponirati.

Kako je matrica A preuzeta iz matrica B elementarnim transformacijama, te se matrice nazivaju ekvivalent označavam A~B.

Teorema. Elementarne transformacije matrice ne mijenjaju rang.

Dokaz teorema je vidljiv iz dominacije matrice. Doista, u slučaju ovih transformacija, kvadratne matrice se ili spremaju ili množe s brojem koji nije jednak nuli. Kroz rat se ostavlja najveći poredak vodećih nula minora vanjske matrice, tj. njen rang nije promijenjen.

Uz pomoć elementarnih transformacija, matrica se dovodi do takozvanog stupnjevitog izgleda (prerađeno na matrica koraka), zatim. Pretpostavlja se da je ekvivalentna matrica ispod dijagonale glave imala samo nula elemenata, a dijagonala glave imala elemente različite od nule:

Rang matrice frekvencije koraka jednak je r, oscilatori unakrsnih vrijednosti iz njega, počevši od (r + 1) i daleko, moguće je uzeti r-ti red. trovalutna matrica, arbitar, koji će biti u obliku nule, oscilatori će biti različitog od nule reda, a ne jednaki nuli):

kundak. Odredite rang matrice

jedan). Ako je 11 \u003d 0 (kao u našem slučaju), tada se preuređivanjem redaka i stovptsív postiže da je 11 ¹ 0. Ovdje se sjećamo 1. i 2. retka matrice:

2). Je li sada 11? 0. Elementarne transformacije Dob'êmosja, shchob shta elementív na prvom stovptsi doívnyuvali nulu. Drugi red ima 21 = 0. Treći red ima 31 = -4. Sob (-4) stoji 0, dodavanje trećem redu prvog reda, množenja s 2 (tobto s (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Slično, četvrtom retku dodajte prvi red (množenja s jedan, zatim s (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). U subtraktivnoj matrici a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, onda možete ponovno preurediti retke). Uvjerimo se da su dijagonale ispod druge strane bile nula. Za th do 3. i 4. reda dodajte još jedan redak, množenja s -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

četiri). U skraćenoj matrici, dva preostala retka su nula i mogu se ispustiti:

Uklonjena je matrica koraka, koja je presavijena u dva reda. Također, r(A) = 2.

Tse razumijevanje, scho zagalnyu ê sve moguće operacije, yakí viroblyayutsya s matricama. Matematička matrica – tablica elemenata. O takvoj tablici, de m rowkív ta n stoptsív, čini se da matrica može biti rozmirníst m na n.

Svijetli izgled matrice:

Za matrica rješenja potrebno je razumjeti što je matrica i znati glavne parametre. Glavni elementi matrice:

Dijagonala glave, koja se sastoji od elemenata a 11, a 22 ..... a mn.
Bočna dijagonala, koja se sastoji od elemenata a 1n, a 2n-1 …..a m1.

Glavne vrste matrica:

Kvadrat - takva matrica, de broj redaka = broj stupaca ( m=n).
Nula - svi elementi matrice = 0.
Transponirana matrica – matrica Na, yak bula otrimana iz vanjske matrice A s stazom, zamijenite redove na stupovima.
Sam - svi elementi glave dijagonala = 1, linija = 0.
Obrnuta matrica je matrica, kada se pomnoži obrnutom matricom, kao rezultat daje jednu matricu.

Matrica može biti simetrična i na glavu i na bočne dijagonale. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1 tada je matrica simetrična duž glavne dijagonale. Više od kvadratnih matrica može biti simetrično.

Metode rozvyazannya matrica.

Mayzhe sve metoda matrične transformacije ležati na poznatom njezinu vyznachniku n reda i više od njih učiniti glomazan. Za upoznavanje primata 2. i 3. reda postoje i drugi, racionalniji načini.

Znakhodzhennya vyznachnikí u 2. redu.

Za izračun matrice ALI 2. red, potrebno je za izradu elemenata u dijagonali glave dodati dodatne elemente u bočnoj dijagonali:

Metode znanja 3. reda.

Dolje su pravila za znanje 3. reda.

Pravilo trikutnik je pojednostavljeno, poput jednog cherry matrix metode, može se predstaviti na sljedeći način:

Drugim riječima, prijem elemenata od prvog suca, kao da su ravni, uzima se sa znakom "+"; samo tako, za 2. službenika - najvažnije kreacije se uzimaju sa znakom "-", dakle za takvu shemu:

Na rješavanje matrica po Sarrusovom pravilu, desno, u smjeru potpisnika, dodajte prva 2 stupca i izradite najvažnije elemente na dijagonali glave i na dijagonalama, poput i-te paralele, uzmite 3 sa znakom "+"; ali stvorite dva elementa bočnih dijagonala i dijagonala, poput paralela, sa znakom "-":

Razkladannya vyznachnik prema broju stovptsyu píd sat víríshennya matrice.

Značajnik je bolji zbroj sastava elemenata niza značajnika na njihovim dodacima algebre. Poziv da odaberete taj red / stovpets, na način da je nula. Redak ili red prema kojem se izvodi raspored bit će označen kao strelica.

Dovođenje primata u triko pogled na sat trešnjinih matrica.

Na matrica rješenja Uz pomoć dovođenja primata u triko izgled, vježbajte ovako: uz pomoć najjednostavnijih transformacija preko nizova pjevanja, primat postaje triko izgled i isto značenje, očito prema moći primata, dobutku elemenata. , kao da stojite na dijagonali glave.

Laplaceov teorem za savršenstvo matrica.

Gledajući matrice iza Laplaceovog teorema, potrebno je poznavati sam teorem bez sredine. Laplaceov teorem: Hajde Δ - tse vyznachnik n redoslijed. Vibiraemo u novom be-yakí k rowkiv (abo stovptsiv), za um k≤ n - 1. Takvo vrijeme ima zbroj radova k th reda, što da osveti odabrane k redaka (stowptsyah), na njihovim algebarskim dodacima u vyznachnik.

Virishennya matrica.

Redoslijed za otopina serumskog matriksa:

Shvatite da je dana kvadratna matrica. U vremenima negativnog mišljenja postaje jasno da matrica sline ne može biti.
Računanje dodataka algebri.
Mi stvaramo savezničku (recipročno, dolaze) matricu C.
Dodavanje reverzne matrice s dodacima algebri: svi elementi zadane matrice C dilimo na matricu klipa. Matrica podzbroja bit će nasumično definirana stožerna matrica.
Provjeravamo vikonan robota: množimo matricu poštanskog broja i matricu matrice, rezultat može biti jedna matrica.

Matrice Virishennya sustava.

Za rješenja za matrične sustave Najčešća metoda je Gaussova metoda.

Gaussova metoda je standardni način derivacije sustava linearnih poravnanja algebre (SLAE) i vin polygaê u kojem se, redom, uključuju promjene, pa se za dodatne elementarne promjene sustav poravnanja dovodi na ekvivalent (iza broj) poznaju element kože sustava.

Gausova metodaê najuniverzalniji i najbolji alat za rješavanje matrica. Kao što sustav ima bezlično rješenje ili je sustav nesumaran, tada je nemoguće prekršiti Cramerovo pravilo i matričnu metodu.

Gaussova metoda prijenosa također je izravna (svođenje proširene matrice na stepenasti izgled, tako da se nule uklanjaju ispod dijagonale glave) i obrnuta (nule se uklanjaju iznad dijagonale glave proširene matrice) šetnja. Izravni smjer je Gaussova metoda, obrnuti - Gauss-Jordanova metoda. Gauss-Jordanova metoda slična je Gaussovoj metodi, osim po redoslijedu promjena.

Imenovanje 1. Matrix A svijetum n poziva se pravokutna tablica s m redaka i n stupaca, koja se zbraja s brojevima ili drugim matematičkim varijablama (rangovima elemenata matrice), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, ili

Imenovanje 2. Dvije matrice
і
nazivaju se iste veličine jednak, koji su sortirani element po element, tj. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Za dodatne matrice lako je zapisati akte gospodarskih depozita, npr. tablice raspodjele resursa prema djelima gospodarstva.

Imenovanje 3. Dakle, broj redaka u matrici jezbígaêtsya od njezinih stovptsív, dakle. m = n, tada se matrica poziva kvadratni poredakn, i u drugačijem svjetlu pravolinijski.

Imenovanje 4. Prijelaz s matrice A na matricu A t, u kojoj su redovi i stupci obilježeni mjestima iz redoslijeda spremanja, nazivaju se transpozicija matrice.

Pogledajte matricu: kvadrat (veličina 33) -
,

pravocrtno (veličina 25) -
,

dijagonala -
, samac -
, nula -
,

matrica-red -
, matrix-stowpets -.

Imenovanje 5. Elemente kvadratne matrice reda n s istim indeksima nazivamo elementima dijagonale glave, tj. ce elementi:
.

Imenovanje 6. Elemente kvadratne matrice reda n nazivamo elementima bočne dijagonale, jer su im indeksi n + 1, tj. Elementi: .

1.2. Operacije na matricama.

1 0 . sumoyu dvije matrice
і
iste veličine naziva se matrica S = (z ij), čiji su elementi jednaki ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

Snaga operacije savijanja matrica.

Za be-yakah matrice A,B,C jedna rozíru vykonuyutsya rivností:

1) A + B = B + A (komutativnost),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (asocijativnost).

2 0 . Tvorom matrice
po broju  nazvana matrica
iste dimenzije kao i je matrica A, štoviše b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Snaga operacije množenja matrice brojem.

(A) = ()A (asocijativnost množitelja);

(A+V) = A+V (distributivnost višestrukosti slučajno sklopivih matrica);

(+)A = A+A (distributivnost množenja nasumično sklopivih brojeva).

Imenovanje 7. Linearna kombinacija matrica
і
ista veličina se naziva u obliku A + B, de  i  - dovoljni brojevi.

3 0 . Dobutcom A  Matrice A í vídpovídno razmírív mn í nk naziva se matrica 3 expírum mk, takva da je element z ij zbroj kreativnih elemenata u i-tom retku matrice A í j-tom stupcu matrice B, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB koristi se, samo u tom slučaju, jer broj stupaca matrice A varira s brojem redaka matrice.

Snaga operacije množenja matrica:

(AV)S = A(VS) (asocijativnost);

(A+V)S = AS+VS (distributivnost slučajno sklopivih matrica);

A(V+S) = AV+AS (distributivnost slučajno sklopivih matrica);

AVVA (nije komutativno).

Termin 8. Matrice A i B, za koje je AB = BA, nazivaju se commuting ili commuting.

Reprodukcija kvadratne matrice, bez obzira na redoslijed na drugoj pojedinačnoj matrici, ne mijenja matricu.

Imenovanje 9. Elementarne transformacije matrice se nazivaju takve operacije:

Zamjena dva reda (stovptsiv) s misijama.

Reprodukcija elementa kože reda (stovptsya) brojem, koji nije jednak nuli.

Dodavanje elementima jednog retka (stowptsya) elemenata drugog retka sljedećeg retka (stowptsya).

Imenovanje 10. Matrica, otrimana od matrica I za pomoć elementarnih transformacija zove se ekvivalent(potpisano BA).

kundak 1.1. Znati linearnu kombinaciju matrica 2A-3B, npr

,
.

,
,

kundak 1.2. Upoznajte doboot matricu
, Kao

Rješenje: broj stupaca u prvoj matrici se mijenja u odnosu na broj redaka u drugoj matrici, a zatim se koristi dodatna matrica. Kao rezultat toga, uzimamo novu matricu
, de

Kao rezultat toga, uzimamo
.

Predavanje 2. Imenovani. Izračun vyznachniki u drugom, trećem redu. Moć imenovanih osobanredoslijed.