Etsi homogeenisen suoran massan keskipisteen koordinaatit. Kuinka laskea litteän rajatun hahmon painopiste alalankaintegraalin avulla? Tyypillisen rozrahunkan vikonannyn järjestys

Ohjaamme kohteen takapuolen kehon massan keskelle podіlu joogan menetelmällä kehon rajalla, talossa olevien massan keskipisteessä.

peppu 1. Merkitse homogeenisen levyn massan keskipisteen koordinaatit (kuva 9). Laske tehtävät millimetreinä vauva 9.

Ratkaisu: Näytämme koordinaattiakselit i . Halkaisemme levyn paloiksi, jotka on tehty kolmella suoralla leikkauksella. Ihon peräsuolelle piirretään diagonaalit, joiden poikkipalkin pisteet osoittavat dermaalisen peräsuolen massan keskipisteen sijainnin. Hyväksytyssä koordinaattijärjestelmässä koordinaattien ja pisteiden arvojen laskeminen ei ole helppoa. Ja itselleen:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Ihovartalon alueet ovat kohtalaisesti parantuneet:

; ; .

Kaikkien levyjen pinta-ala on hyvä:

Koordinaattien osoittamiseksi annetun levyn massan keskipisteelle on virazi (21). Edustamme kaikkien tunnettujen suureiden arvoa tämä mies on tasa-arvoinen, otettu

Vіdpovіdno jopa otrimanih arvo koordinaatit keskelle massan levy, voit määrittää pisteen pieni. Kuten näet, levyn massan keskipiste (geometrinen piste) sijaitsee rajojen takana.

Lisäysmenetelmä. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom tavalla podіlu. Vіn voi zastosovuvatisya ja tіl, yakі mаyut virіzi (tyhjä). Lisäksi ilman vir_zanoїa osa kehon painopisteen sijainnista on näkyvissä. Katsotaanpa esimerkiksi zastosuvannya tällaista menetelmää.

peppu 2. Määritä pyöreän levyn, jonka säde on R, vagan massakeskipiste, de є virіz, jonka säde on r (kuva 10). Älä viitsi.

Ratkaisu: Kuten Bachimo, kuvasta 10 alkaen levyn massan keskipiste on levyn symmetria-akselilla, eli suoralla linjalla, sirpaleet ovat suoria, kaikki symmetria. Tällä tavalla aseman osoittamiseksi levyn massan keskipisteelle on tarpeen määrittää vain yksi koordinaatti, mutta muut koordinaatit piirretään symmetria-akselille ja ovat yhtä kuin nolla. Näytetään koordinaattiakselit. On hyväksyttyä, että lautanen taitetaan kahdeksi kappaleeksi - uudesta panoksesta (ilman viriziä) tuo runko, kuten nibi vikonane virizin kanssa. Hyväksytyssä koordinaattijärjestelmässä toimielinten nimeämisen koordinaatit ovat: .Elinten alueet ovat: ; . Koko kehon kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen kehon alueiden välinen ero, ja

Laske arvot m, ja kaavat (4), (5) ja (7) on sovitettava yhteen. Tämän seurauksena otamme kaavat koordinaateille ohuen levyn massan keskipisteeseen :

Butt 4 (koordinaattien laskeminen yhtenäisen mekon massan keskelle)

Etsi koordinaatit keskellä massa homogeeninen kuva, jota ympäröivät linjat ja .

Kuvan inspiroimisen jälkeen huomaamme, että se on geometrisesti ulkona ja symmetrinen kuin suora viiva. oikeakätinen. Sitten asetetaan annettujen fyysisten voimien taakse massakeskipiste, jonka mukaan viinit sijaitsevat symmetria-akselilla, niin että

Laskeaksesi laske staattinen momentti ja voita kaavat (4) ja (5):

;

Ehdotus: C.

Kolmannen integraalin lisäaineet

Lisäintegraatioiden ohjelmat ovat samanlaisia ​​kuin aliintegraalien täydennykset, mutta vain triviereille.

Jos haluat voittaa yhden kolmoisintegraalin potenssien (noin saman funktion arvon, joka on myös ykkösen sama arvo), mene kaava velvollisuuden laskemiseksi tilava runko :

Kirjoita obyagu-kaava muistiin kolmas integraali ja laskettavissa oleva häviöintegraali sylinterimäisinä koordinaatteina:

Vidpovid: (yksin velvoittaa).

Kaava tilavuuden V lainaavan trivimeeriobjektin massan laskemiseksi, saattaa näyttää:

(13)

Tässä on määrä schіlnіst rozpodіlu masi.

Peppu 6

Tunne viileän säteen massa R kuinka tila on verrannollinen keskellä olevaan kuutioon ja yksittäisessä seinässä k.

V: alkeistilavuus ta .

On syytä huomata, että kolminkertaista integraalia laskettaessa integraaleja ei enää ollut, sisäisten integraalien sirut näyttivät olevan kesannoissa ulompien integraalien muutoksen tapauksessa.

Vidpovid: (yksittäinen).

Sidonnan mekaaniset ominaisuudet V(Staattiset momentit, hitausmomentit, massakeskipisteen koordinaatit) lasketaan kaavojen mukaan, esim.

taitettu analogisesti kahden maailman kappaleiden kaavojen kanssa.

Elementaariset staattiset momentit ja hitausmomentit koordinaattiakseleilla:

alkeelliset hitausmomentit koordinaattitasoilla ja pisteet koordinaattien tähkällä:

Dali, laskea koko obyagun mekaaniset ominaisuudet V,On tarpeen tehdä yhteenveto ominaisuuksien alkeelliset lisäykset erittelyn kaikille osille (suurimman summausvoiman ominaisuudet lasketaan) ja sitten mennä summan rajaan, joka oli mielen ulkopuolella, että kaikki jaottelun perusosat muuttuvat (sopistuvat pisteiksi). Määrät kuvataan mekaanisten ominaisuuksien peruslisäyksen integraationa, joka lasketaan pakollisille V.

Tuloksena tule kaavat staattisten momenttien М ja hitausmomenttien I trivimer tіl laskemiseksi :

Todellakin, he muotoilivat kaavat kuin voittajat, kun ne ovat valmiita, ja johdattivat heidät virishuvaniy-tehtäviin.

Käytä 7 (kolmiulotteisten kappaleiden mekaanisten ominaisuuksien laskenta)

Etsi tasaisen sylinterin hitausmomentti, jonka korkeus h ja pohjan säde R, miten akseli, joka zbіgaєtsya kanssa halkaisija pohja.

Me tiedämme d sylinterin osittaiselle kärjelle:

siirry pisteeseen, jonka koordinaatit ovat akselin suhteen – pisteen keskustasta akselille vedetyn kohtisuoran pituus . Tehdään tasosta kohtisuorassa akseliin nähden niin, että piste on tällä tasolla. Ole sitten suora, joka ylittää kaiken ja sijaitsee tällä tasolla, se on kohtisuorassa . Zokrema, suora viiva, joka yhdistää pisteen ja pisteen, on kohtisuorassa akseliin nähden, ja jos seisot näiden pisteiden välissä, olet shukana d. Laske jooga annetulle kaavalle kahden pisteen väliltä.

3 Taustalla olevien integraalien lisäys

3.1 Teoreettinen johdanto

Katsotaanpa ohjelmia aluslangan kiinteä osa matalien geometristen tehtävien ja mekaniikan tehtävien huipulle.

3.1.1 Tasapinnan laskenta

Katsotaanpa ohutta materiaalilevyä D, laajennettu asunnossa Oho. alueella S tsієї levyt löytyvät kaavan alivirtaintegraalin avuksi:

3.1.2 Staattiset hetket. Tasainen massakeskus

staattinen hetki M x shodo-akseli Härkä aineellinen kohta P(x;y), jotka sijaitsevat lähellä asuntoa Oxy ja maє masu m, Sitä kutsutaan dobutok massiivipisteiksi її-ordinaatalla, tobto. M x = minun. Samoin staattinen hetki M y shodo-akseli Auts: ­ ­ ­ M y = mx. Staattisia hetkiä tasaiset levyt pinta-uralla γ = γ (x, y) lasketaan kaavoilla:

Kuten mekaniikasta nähdään, koordinaatit x c ,y c litteän materiaalijärjestelmän massakeskipisteet määritellään yhtälöillä:

de m- Masa järjestelmä ja M xі M y- Järjestelmän staattiset hetket. Tasaisen levyn paino m kaavalla (1) määritettynä tasaisen levyn staattiset momentit voidaan laskea kaavoilla (3) ja (4). Todi, zgіdno z -kaavat (5), otetaan viraz tasaisen levyn massan keskipisteen koordinaatteina:

Tyypillinen rozrahunok kostaa kaksi tehtävää. Iholääkärille annetaan litteä levy D, jota ympäröivät viivat, näytetään tehtävän mielen mukaisesti. G(x,y) - levyn pintavälys D. Levyjen lukumäärän selvittäminen: 1. S- Neliö; 2. m- Masu; 3. M y , M x- Staattiset momentit kirveille Oyі vai niin ilmeisesti; 4. , - Massakeskipisteen koordinaatit.

3.3 Järjestys vykonannya tyypillinen rozrahunku

Ihotehtävää suoritettaessa on välttämätöntä: 1. Poistaa tuoli tietystä alueesta. Valitse koordinaattijärjestelmä, jonka osaintegraalit lasketaan. 2. Tallenna visuaalisen järjestelmän epäsäännöllisyyksien alue valittuun koordinaattijärjestelmään. 3. Laske pinta-ala S ta masu m kaavojen (1) ja (2) mukaisesti. 4. Laske staattiset momentit M y , M x kaavat (3) ja (4). 5. Laske kaavojen (6) avulla keskimassan koordinaatit. Levitä massan keskiosa nojatuoliin. Syytämme visuaalista (jakkilaista) hallintaa tulosten viemisestä. Numeeriset luvut voidaan ottaa pois numerokolmiosta.

3.4 Käytä tyypillistä kaapua

Tehtävä 1. lautanen D rivien ympäröimänä: y = 4 – x 2 ; X = 0; y = 0 (x ≥ 0; y≥ 0) Pinnan paksuus γ 0 = 3. Ratkaisu. Tehtävässä määritettyä aluetta ympäröi paraabeli y = 4 – x 2, koordinaattiakselit i sijaitsevat ensimmäisellä neljänneksellä (kuva 1). Tehtävä on modifioitu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Tätä aluetta voidaan kuvata epäsäännöllisyyksien järjestelmällä:

Riisi. yksi

alueella S levyt ovat vakaampia (1): Koska levy on tasainen, m = γ 0 S= 3 = 16. Kaavojen (3), (4) takana tunnemme levyn staattiset momentit: Keskipisteen mas:n koordinaatit saadaan kaavalla (6): Ehdotus: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Tehtävä 2. lautanen D rivien ympäröimänä: X 2 + klo 2 = 4; X = 0, klo = X (X ≥ 0, klo≥ 0). Pinnan paksuus γ (x,y) = klo. Ratkaisu. Levyä ympäröi pylväs ja suorat viivat, jotka kulkevat koordinaattien tähkän läpi (kuva 2). Siksi tehtävän suorittamiseksi on välttämätöntä kirjoittaa polaarinen koordinaattijärjestelmä manuaalisesti. polar kut φ muuttaa arvosta π/4 arvoon π/2. Promin, joka kulkee napasta levyn läpi, "syötä" ennen sitä, kun ρ = 0 ja "mennä" panokseen, yhtä suuri kuin: X 2 + klo 2 = 4 <=>p = 2.

Riisi. 2

Jälleen tietty alue voidaan kirjoittaa epäsäännöllisyyksien järjestelmällä: Levyn pinta-ala tunnetaan kaavasta (1): Levyn massa tunnetaan kaavalla (2), korvaamalla γ (x,y) = y = ρ synti φ :
Levyn staattisten momenttien laskemiseen voimme käyttää kaavoja (3) ja (4):
Massakeskipisteen koordinaatit on otettu kaavoista (6): Ehdotus: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Äänen suunnittelu

Tähdet voivat olla edustus kaikista vikonan rozrahunka, siististi vikonan nojatuoleja. Numeeriset luvut voidaan ottaa pois numerokolmiosta.

– painopisteen laskenta on tasainen hapsuinen hahmo . Rikas lukija ymmärtää intuitiivisesti, mikä on painopiste, suosittelen toistamaan yhden oppitunnin materiaalia analyyttinen geometria minä ratkaisin zavdannya trikutnikin painopisteestä ja saatavilla olevassa muodossa fyysisen termin tulkitsemiseksi.

Itsenäisissä ja ohjaustehtävissä täydellisyyden vuoksi levitetään yleensä yksinkertaisinta vipadokia - asunto on ympäröity homogeeninen figuuri, jotta lähettää postiynoї fyysinen vahvuus - lasi, derev'yana, pewter'yana chavunnі іgry, kova lapsellisuus on ohutta. Dali for umovchannyam mova pіde tіlki sellaisista luvuista =)

Ensimmäinen sääntö on yksinkertaisin pusku: vaikka hahmo on litteä symmetriakeskus, sitten vin є painopisteen tsієї kuva. Esimerkiksi pyöreän yhtenäisen levyn keskikohta. Se on loogista ja elämäntietoista - tällaisen hahmon massa on "kohtaisesti jakautunut kaikille puolille" kuten keskusta. Usko - en halua.

Todellisuudessa et kuitenkaan todennäköisesti anna lakritsia elliptinen suklaapatukka Tomin on käsiteltävä vakava keittiötyökalu:

Tasaisen tasaisen rajatun kuvion painopisteen koordinaatit katetaan etenevien kaavojen avulla:

, tai:

, de - alueen pinta-ala (luvut); mutta kerrotaanpa lyhyesti:

, de

Integraalia kutsutaan mentaalisesti "ixovim" integraaliksi ja integraaliksi "igrom" integraaliksi.

Vastaanotto-viimeistely : tasainen uurteinen heterogeeninen kuviot, joiden leveys saadaan funktiolla, taittokaavat:
, de - Masa-figuurit;Tasaisen vahvuuden aikoina haju annetaan anteeksi uusien kaavojen käyttöönotolle.

Kaavoissa, vlasne, kaikki uutuus ja päättyy, reshta - kaikki sinun vminnyasi virishuvati subvincial integraalit, puhetta myöten, toivotaan heti ihmeellistä kykyä harjoitella ja kehittää tekniikkaansa. Ja perusteellisuudella, kuten näyttää, ei ole eroa =)

Suuren annoksen paraabelien heittäminen:

peppu 1

Etsi tasaisen litteän hahmon vagan keskustan koordinaatit, jota ympäröivät viivat.

Ratkaisu: rivit tässä ovat alkeellisia: aseta koko abskissa ja yhtä suuri - paraabeli, jotta sinun on helppo saada apua grafiikan geometrinen muunnos:

– paraabeli, Työnnettiin 2 yksikköä vasemmalle ja 1 yksikkö alas.

Ompelen koko nojatuolin valmiilla pisteellä hahmon epämääräisen keskipisteeseen:

Hallitse ystävää: mitä hahmolla on kaikki symmetria, silloin tämän kuvion painopiste on väistämättä sen akselilla.

Figuurimme on symmetrinen shodon suhteen suoraan joten tiedämme jo pisteen "em" koordinaatin "ix".

On myös tärkeää huomioida, että siirtymien painopiste on lähempänä abskissa-akselia pystysuoraa pitkin, kivet ovat siellä massiivinen hahmo.

Joten ehkä kaikki eivät ole vielä ymmärtäneet, millainen vagan keskipiste on: ole ystävällinen, nosta sormesi ylämäkeen ja laita piste uuteen varjostettuun "jalkaan". Teoriassa hahmo ei ole syyllinen kaatumiseen.

Kuvion painopisteen koordinaatit tunnetaan kaavoista de .

Alueen ohitusjärjestys (luvut) on ilmeinen tässä:

Kunnioittaminen! Sen määrää toteuttamiskelpoisin ohitusjärjestys yhden kerran- Olen vikoristovuemo jooga kaikille integroitu!

1) Takana lasken kuvioiden pinta-alan. Integraalin ilmeisen yksinkertaisuuden ansiosta ratkaisu voidaan järjestää tiiviisti, sotkuiseksi, jotta ei eksy laskelmiin:

Ihailemme nojatuolia ja teeskentelemme olevamme aukiolla. Viyshlo bіlya tee se.

2) Painopisteen x-koordinaatti on jo löydetty "graafisella menetelmällä", joten voit viitata symmetriaan ja siirtyä seuraavaan pisteeseen. Ei kuitenkaan vieläkään ole rajaa työskennellä tuollaisella - on hienoa ajatella, että on hyvä idea hylätä kaava "voita kaava".

Kunnioita, että täällä on mahdollista käsitellä viininvärisiä laskelmia - toisinaan ei ole pakollista viedä murto-osia kaksoisstandardiin ja kiusata laskinta.

Tällä tavalla:
, Mitä ja tarvitsee ottaa.

3) Tiedämme painopisteen ordinaatin. Lasketaan kreikkalainen integraali:

Ja akseli täällä ilman laskinta olisi ollut vaikea. Kommentoin jokaiseen muutokseen, että rikkaiden jäsenten moninaisuuden seurauksena jäseniä on 9, lisäksi jäsenet ovat heidän kanssaan samanlaisia. Samanlaisia ​​dodanki rokotin suun kautta (miten kuulostaa robitilta sellaisissa vipadoissa) ja kirjoitat välittömästi pussin summan.

Tuloksena:
joka muistuttaa yhä enemmän totuutta.

Viimeisessä vaiheessa se on merkitty nojatuolin täplään. Mielelle ei tarvinnut tehdä nojatuolia, mutta suuremmissa määrin haluan kuvata hahmoa, vaikka en haluaisi. Natomist on mieletön plussa - tuloksen visuaalinen ja tehokas uudelleentarkistus.

Vidpovid:

Tule kaksi erillistä ratkaisua.

peppu 2

Etsi tasaisen litteän hahmon vagan keskustan koordinaatit, jota ympäröivät viivat

Ennen puhetta, kuten näet, ikäänkuin paraabelia rypistetään ja pisteitä käännetään, jossa kaikki kaatuu, niin täällä voit todella pärjätä ilman nojatuolia.

І taitettava:

peppu 3

Etsi tasaisen litteän hahmon vagan keskipiste, jota ympäröivät viivat

Budjetin jälkeisen aikataulun vaikeina aikoina vivchit (toista) parabolinen oppitunti ja/tai pusku nro 11 statti Ripustettavat integraalit teekannuille.

Srazkovі zrazki ratkaisu kuin oppitunti.

Lisäksi sivussa olevasta arkistosta löytyy kymmenkunta samanlaista sovellusta Valmiita ratkaisuja matematiikkaasi.

No, en voi muuta kuin miellyttää rakastajia edistynyt matematiikka, Kuinka usein minua pyydetään selvittämään tärkeitä tehtäviä:

peppu 4

Etsi tasaisen litteän hahmon vagan keskipiste, jota ympäröivät viivat. Tuo її painopiste on kuvattu nojatuolissa.

Ratkaisu: umova tsієї zadachi vzhe kategorisesti vmagaє vykonannya nojatuoli Aje vimoga ei nastіlki і muodollisesti! - Tsyu-hahmo zdatna paljastaa mielessäsi henkilön keskitason koulutustasolta:

Suora roz_kaє kolo kahdessa osassa ja lisäsuoja (Div. lineaariset epäsäännöllisyydet) Huomautan niille, että voin itsekin mennä pieneen varjostusshmatochokiin.

Figuuri on symmetrinen ja visuaalisesti suora (kuvattu katkoviivalla), painopiste on syyllinen makaamiseen tällä viivalla. On selvää, että joogo-koordinaatit ovat samat moduulin takana. Ohje, joka käytännössä ottaa anteeksi!

Nyt se on saastainen uutuus =) Horisontissa matalan vastaanoton integraali juurikutomakoneista, jonka kuulemma otettiin sovelluksesta nro 4 oppitunnille Tehokkaat menetelmät integraatioiden ratkaisemiseen. Ja kuka tietää mitä muuta siellä on maalattu. Se annettaisiin läsnäolon kautta cola On selvää, että kaikki ei ole niin yksinkertaista. Rivnyannyan suora viiva muuttuu yhdellä silmäyksellä ja integraatio ei ehkä ole totta (jos fanaatikot haluavat trigonometriset integraalit arvioida). Klo zvyazku z tsim yleensä zupinitsya on suorakulmaiset koordinaatit.

Kuvan ohitusjärjestys:

1) Laske kuvion pinta-ala:

Ensimmäinen rationaalisen otoksen integraali p_dvedennyam p_d differentiaalin merkki:

Ja toisessa integraalissa suoritamme tavallisen vaihdon:

Lasketaanpa uusi interintegraatio:

2) Tiedämme.

Tässä 2. integraalissa on uusi käänne menetelmä. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt on ozbroєnnya qі optimaalinen (mielessäni) hyväksyä tyypillisten integraalien kehitys.

Vaikean ja triviaalin jälkeen laske uudelleen petollinen katse nojatuoliin (muista, että pisteet Emme vieläkään tiedä! ) ja otrimuemo tiettyyn moraaliseen tyytyväisyyteen ottaen huomioon löydetyn arvon.

3) Vykhodyachi z suoritti aikaisemman analyysin, menetti sovinnon, scho.

merkintä:

Edustettava kohta tuolilla. Vіdpovidno kaavamieleen, kirjoitamme її jäännösarvoksi todiste:

Samanlainen tehtävä itsenäiselle visiolle:

peppu 5

Etsi tasaisen litteän hahmon vagan keskipiste, jota ympäröivät viivat. Vikonati nojatuoli.

Olemme kiinnostuneita siitä, että siinä hahmo annetaan tehdä pieniä muistoja, ja jos on jonkin verran aikaa anteeksiantamiseen, niin korkeaa tulitasoa "ei kuluteta" alueella. Mitä, bezperechno, hyvää ohjausratkaisun kannalta.

Srazkovy zrazok suunniteltu oppitunniksi.

Іnodi buvaє dotsіlnim siirtyminen napakoordinaatteihin alemmilla integraaleilla. Katso kuva. Shukav-shukav kotona pitkä perse Jos et tiedä, näytän sinulle ratkaisun osoitetun oppitunnin 1. demotehtävään:


Arvaa mitä siinä perseessä menimme polaarikoordinaatit, selitti alueen ohitusmenettelyn ja virahuvali її alueella

Selvitetään kuvien painopiste. Kaava on sama: . Arvo näkyy suoraan nojatuolista, ja "ix"-koordinaatin voi siirtää hieman lähemmäs y-akselia, siellä sirpaleita siroilee massiivinen osa olutta.

Integraaleissa voimme käyttää siirtymiseen vakiokaavoja:

Ymovirno, parempi kaikkeen, he eivät olleet armollisia.