Pese kahden suoran kohtisuora avaruudessa. Rinnakkaiset viivat, merkit ja yhdensuuntaisten viivojen mielet. Kävele pisteestä suoralle viivalle

KUT asuntojen välillä

Tarkastellaan kahta tason α 1 ja α 2 tehtävää samalla tavalla:

Pid cutom kahden asunnon välissä yksi näistä asunnoista koostuva kaksipuolinen kutіv on ymmärrettävä. On selvää, että normaalivektorien ja tasojen 1 ja 2 välinen leikkaus on enemmän . Tom . Koska і , sitten

peppu. Määritä tasojen väliin leikkaus x+2y-3z+4=0 ja 2 x+3y+z+8=0.

Pese kahden tason yhdensuuntaisuus.

Kaksi tasoa α 1 ja α 2 ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa ja vain samansuuntaisia, jos ne ovat normaalivektoreita ja yhdensuuntaisia, ja myös .

Lisäksi kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia yhden kanssa samaan ja vähemmän samaan, jos vastaavien koordinaattien kertoimet ovat verrannollisia:

tai

Pese tasojen kohtisuorat.

Oli selvää, että kaksi tasoa ovat kohtisuorassa ja samat, jos ne ovat normaalivektoreita ja kohtisuorassa, joko.

Sillä tavalla,

Käytä.

SUORAAN AVARUUSSA.

VECTORNE RIVNYANNYA SUORAAN.

PARAMETRINEN VALOITUS SUOR

Suoran sijainti avaruudessa on täysin riippuvainen annetuista tiedoista, koska kiinteitä pisteitä on її M 1 i vektori , yhdensuuntainen suoran kanssa.

Vektoria, yhdensuuntaista suoraa, kutsutaan suoraan vektori on suora.

Otzhe, hei suoraan l kulkea pisteen läpi M 1 (x 1 , y 1 , z 1), joka on vektorin suuntaisella suoralla.

Katsotaanpa tiettyä kohtaa M(x, y, z) suoralla linjalla. Pienestä sen näkee .

Vektorit ja kolіnearnі, joten on olemassa sellainen määrä t, sho , de kerroin t voit poimia, onko se numeerinen arvo kesanto pisteen sijainnista M suoralla linjalla. Kerroin t kutsutaan parametriksi. Sädevektoripisteen määrittäminen M 1 ta M ilmeisesti i:n kautta, otrimuemo. Tse equal kutsutaan vektori suoria viivoja. Se näyttää parametrin arvon iholle t muuttaa deac-pisteen sädevektoria M, jotka sijaitsevat suoralla linjalla.

Kirjataan ylös koordinaattilomakkeen järjestys. Kunnioittavasti sho, ja tähdet

Otrimani yhtäläisiä kutsutaan parametrinen suoraan.

Kun muutat parametria t koordinaatit muuttuvat x, yі z täplitin M liikkua suorassa linjassa.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

Älä viitsi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - piste, joka sijaitsee suoralla linjalla l, і - Її suora vektori. Otan asian suoraan koko asiaan M(x, y, z) katson vektoria.

Oli selvää, että vektorit ja kollineaarit, jotta niiden vastaavat koordinaatit voivat olla verrannollisia,

– kanoninen suoria viivoja.

Kunnioitus 1. Kunnioittavasti suoran kanoninen kohdistus voidaan ottaa pois parametrisista kytkemällä parametri päälle t. Totta, parametrisista yhtäläisistä se on välttämätöntä tai .

peppu. Kirjoita suoria viivoja parametrinen ulkoasu.

Merkittävästi , tähdet x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Muistio 2. Olkoon suora kohtisuorassa yhteen koordinaattiakseliin, esimerkiksi akseliin Härkä. Sitten suora vektori kohtisuorien viivojen Härkä, otzhe, m=0. Otzhe, suoran katselun parametrinen tasaus

Sisältää tasausparametrin t, Ota pois suoraan näkyvistä

Prote ja samalla kirjoitetaan muodollisesti muistiin suoran jakin kanoniset yhtäläisyydet . Tässä järjestyksessä, jos yhden murtoluvun bannerissa on nolla, se tarkoittaa, että suora on kohtisuorassa kaksoiskoordinaattiakseliin nähden.

Samoin kanoninen on yhtä suuri suora on kohtisuorassa akseleihin nähden Härkäі Auts tai yhdensuuntainen akselin kanssa Oz.

Käytä.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, JAKILINJA KAHDEN KONEEN KÄÄNNÖS

Ihon läpi suoraan avoimessa tilassa kulkeaksesi persoonaton alue. Olipa ne kaksi, toisiinsa kietoutuen, ne merkitsevät avaruudessa. Otzhe, jos olisi kaksi tällaista asuntoa, joita tarkastellaan yhdessä, ne ovat yhtä suuria kuin suoria viivoja.

Vzagali olla kuin kaksi yhdensuuntaiset tasot, asettaneet innokkaat yhtäläiset

määritä suora viiva. Qi yhtäläisiä kutsutaan villi kateus suoraan.

Käytä.

Suoraviivainen, ikäisensä asettama

Suoraan kannustamiseen riittää, kun tietää, onko pisteitä її. Helpoin tapa on valita suoran risteyspisteet koordinaattitasojen kanssa. Esimerkiksi poikkipiste tason kanssa xOy otamme sen suoraan, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu järjestelmä, tiedämme asian M 1 (1;2;0).

Samoin kunnioittavasti y= 0 xOz:

Suoran viivan ylemmistä tasoista voit siirtyä її kanoniselle tai parametriselle tasolle. Kenelle on välttämätöntä tietää jokin kohta M 1 suoralla ja suora vektori on suora.

Pistekoordinaatit M 1 on otettu tasausjärjestelmän keskeltä, kun yksi koordinaateista on painettu riittävään arvoon. Kysymykseen suorasta vektorista, vektorin on oltava kohtisuorassa molempiin normaalivektoriin nähden. і . Siihen suoralle vektorille l Voitko ottaa vektori witwear normaalit vektorit:

peppu. Johda suoraan eteenpäin kaanonin ilmeeseen.

Etsitään piste, joka on suoralla linjalla. Jolle valitsemme vain yhden koordinaateista, esim. y= 0 ja jaa tasausjärjestelmä:

Tasojen normaalivektorit, jotka määrittävät suoran, määrittävät koordinaatit. Siksi suora vektori on suora

. Otzhe, l: .

KUT MIZH SUORAAN

Kutom avaruudessa olevien suorien välissä kutsumme sitä, onko jokin kahdesta tietyn pisteen rinnakkain vedetystä suorasta koostuvista yhteenvetokutivista annettu.

Aseta tila kaksi suoraa viivaa:

On selvää, että kut їх suorien viivojen välillä voidaan katsoa kut:ksi їх suorien vektorien i välillä. Joten jak, sitten vektorien välisen kosinin kutan kaavalle otamme

Osio V *. Suoran ja tasaisen tilan yhtälö.

§ 70. Ajattele kahden suoran yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoraa.

Suorat viivat suorilla vektoreilla a і b :

a) samansuuntaiset ja vähemmän samat, jos vektorit a і b kollineaarinen;

b) kohtisuorassa samaan ja vähemmän samaan, jos vektorit a і b kohtisuorassa, niin jos a b = 0.

On tarpeen ottaa huomioon välttämätön ja riittävä käsitys kahden suoran yhdensuuntaisuudesta ja kohtisuorasta kanonisten yhtälöiden antamasta.

Sitä varten suoraan

petankki on yhdensuuntainen, välttämätön ja riittävä, jotta mieli voittaa

Pidä vipadku, kuten jotkut numerot b 1 , b 2 , b 3 palaa nollaan, silloin on syyllistä palauttaa toinen luku nollaan a 1 , a 2 , a 3 .

Suorien viivojen kohtisuoraan on välttämätöntä ja riittävää, jotta mieli

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Tehtävä 1. Etenevien suorien parien välillä vedot ovat yhdensuuntaisia tai kohtisuorassa suorien viivojen kanssa:

a) Suorat vektorit a = (2; 4; -13) ja b = (3; 5; 2) ei ilmeisesti ole kollineaarinen. Otz, ei suoraan rinnakkain. Tarkastellaanpa mielen kohtisuoraa

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Suora kohtisuora.

b) Toisen suoran suora vektori voidaan koordinoida b = (3; 2; 4). Suoralle vektorille voin ensin ottaa normaalien vektoreiden vektorikomplementin
n 1 = (2; -3; 0) ja n 2 \u003d (4; -2; -2) tasoa, kuinka qiu asetetaan suoraan:

Umov (1) voittaa, sirpaleet 6/3 = 4/2 = 8/4. Suoraan rinnakkain.

c) Ensimmäisen suoran suora vektori ma-koordinaatit a = (2; 3; 1). On helppo tuoda toinen suora viiva kanoniseen ilmeeseen.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektorit a і b ei rinnakkain. Haju ei ole kohtisuorassa, sirpaleita

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Tiedot ovat suoria, eivät yhdensuuntaisia eivätkä kohtisuorassa.

Tehtävä 2. Tunne suoran kohdistus kulkemaan pisteen M 0 (2; -3; 4) läpi, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan

Tsya artikkeli yhdensuuntaisista viivoista ja yhdensuuntaisista viivoista. Tasossa ja avoimen tilan lähellä olevien yhdensuuntaisten viivojen merkintä annetaan takapuolelle, merkintä esitellään ja rinnakkaisten viivojen graafisia kuvia käytetään. He antoivat merkkejä ja ymmärsivät suorien viivojen yhdensuuntaisuuden. Visnovka näyttää tyypillisten tehtävien ratkaisuja suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi sekä suorakaiteen muotoisen koordinaatiston suoran tällaisten yhtäläisten määrityksiä tasossa ja triviaalassa.

Navigointi sivulla.

Rinnakkaiset suorat pääsillat.

Nimittäminen.

Kaksi suoraa tasossa kutsutaan rinnakkain miksi et haise kuumia paikkoja.

Nimittäminen.

Kaksi suoraa viivaa trivi-maailmallisessa avaruudessa kutsutaan rinnakkain kuin haju siitä, että makaa yhdessä asunnossa ja ei nuku makuupisteissä.

Kunnioita, että varoitus "että haju on samassa tasossa" osoitetuilla yhdensuuntaisilla viivoilla avoimessa tilassa on vielä tärkeämpi. Selittäkäämme tämä hetki: kaksi ovat suorassa trivi-maailmallisessa tilassa, niin että niillä ei ole nukkumispisteitä eivätkä ne ole samassa tasossa, eivät rinnakkain, vaan ristikkäin.

Laitetaanpa esimerkkejä yhdensuuntaisista viivoista. Zoshita-levyn protilezhnі reunat sijaitsevat yhdensuuntaisilla suorilla linjoilla. Suora, jonka takana kopin seinän tasapinta risteää yhdensuuntaisten sauman ja aluskatteiden tasaisen kanssa. Voit myös nähdä, kuinka yhdensuuntaiset suorat ovat tasa-arvoisia.

Yhdensuuntaisten viivojen määrittämiseen käytetään symbolia "". Koska suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voit kirjoittaa lyhyen a b.

Osoita kunnioitusta: koska suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voit sanoa, että suora a on yhdensuuntainen suoran b kanssa, ja voit sanoa, että suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Vankka tiukka, ikään kuin jollakin tasolla olevien yhdensuuntaisten viivojen tärkeä rooli: kulje pisteen läpi, joka ei ole annetulla viivalla, yksi suora, yhdensuuntainen annetun suoran kanssa. Tämä väite hyväksytään tosiasiaksi (ei voida todistaa planometrian aksioomien perusteella), ja sitä kutsutaan rinnakkaisten suorien aksioomaksi.

Avaruudessa olevalle avaruudelle pätee seuraava lause: kulkeeko avaruuden piste, joka ei ole tietyllä suoralla, yhden suoran läpi, joka on yhdensuuntainen annetun kanssa. Tsya-lause voidaan helposti tuoda avuksi rinnakkaisten suorien aksioomien käyttöönotossa (її voit tietää todisteesi geometrian 10-11 luokan käsikirjasta, joka on mainittu artikkelissa lähdeluettelossa).

Suorien viivojen rinnakkaisuus - merkkejä mielen rinnakkaisuudesta.

Merkki yhdensuuntaisista viivoistaÄlykkyyttä suorien viivojen yhdensuuntaisuudelle riittää, jotta sellainen ajattelutapa, joka takaa suorien viivojen yhdensuuntaisuuden. Toisin sanoen, vykonannya tsієї ajatella tarpeeksi varmistaakseen rinnakkaisten viivojen tosiasian.

Myös suorien viivojen yhdensuuntaisuuden tasossa ja triviaalisessa tilassa on määritettävä tarpeelliset ja riittävät mielet.

On ymmärrettävää muuttaa lausetta "että suorien viivojen riittävä henkinen yhdensuuntaisuus on välttämätön".

Riittävällä suorien viivojen henkisellä yhdensuuntaisuudella olemme jo selvittäneet. Ja mikä se on? tarpeellinen mieli suorien viivojen yhdensuuntaisuus? Nimen "välttämätön" takaa ymmärrettiin, että vikonnannya tsієї mieli on välttämätön linjojen yhdensuuntaisuudelle. Toisin sanoen, jos suorien yhdensuuntaisuus ei ole välttämätöntä, suorat eivät ole yhdensuuntaisia. sellaisella tavalla, välttämätöntä, että suorien viivojen henkinen yhdensuuntaisuus riittää- Tse mielessä, vykonannya kuin se on tarpeen, joten se riittää yhdensuuntaisuuden suorien viivojen. Eli toiselta puolelta on merkki suorien viivojen yhdensuuntaisuudesta, toiselta puolelta - eheys, ikään kuin rinnakkaiset viivat voidaan nähdä.

Ensimmäinen askel on muotoilla suorien viivojen välttämätön yhdensuuntaisuus, joka riittää mielelle, jotta se voi arvata hieman lisämerkkejä.

Suora viiva- Tse on suora, ikään kuin ylittäisimme ihon kahdessa suorassa linjassa.

Kun jäät eläkkeelle, kaksi suoraa sichny utvoryyuyutsya vіsіm palamatta. Kaavamaiselle välttämättömälle ja riittävälle mielelle suorien viivojen yhdensuuntaisuus ottaa kohtalon ns ylösalaisin makuuasennossa, makuuasennossaі yksipuolinen kuti. Näytä ne nojatuolissa.

Lause.

Koska kaksi suoraa viivaa sichnyn leikkaustasolla, niin niiden yhdensuuntaisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, jotta leikkaukset menivät ristiin, ne olivat, ne olivat yhtä suuret tai molemmat sivut olivat yhtä suuret, tai yhden- sivuleikkaukset olivat 180 astetta.

Esitetään graafinen esitys suorien viivojen välttämättömästä ja riittävästä mielen yhdensuuntaisuudesta tasossa.

Todisteita suorien viivojen rinnakkaisuudesta löytyy geometrian assistenteilta 7-9 luokalle.

On tärkeää, että luulet voittavasi voiton ja triviaalissa tilassa - sumu, niin että kaksi suoraa on samassa tasossa.

Esitetään vielä muutama lause, jotka usein kyseenalaistetaan suorien yhdensuuntaisuuden todistamisessa.

Lause.

Jos kaksi viivaa tasossa ovat yhdensuuntaisia kolmannen viivan kanssa, haju on yhdensuuntainen. Todiste siitä, että merkit ovat ilmeisiä yhdensuuntaisten suorien aksioomista.

Se on analoginen mielen suorien viivojen rinnakkaisuudelle triviaalisessa tilassa.

Lause.

Kuten kaksi suoraa tilassa, joka on yhdensuuntainen kolmannen suoran kanssa, kaikki hajut ovat yhdensuuntaisia. Todiste siitä, että merkkejä nähdään geometrian tunneilla 10. luokalla.

Havainnollistetaan lauseen kuuluvuus.

Esittelemme vielä yhden lauseen, jonka avulla voimme tuoda suorien yhdensuuntaisuuden tasoon.

Lause.

Kuten kaksi suoraa tasossa, joka on kohtisuorassa kolmanteen suoraan nähden, ne ovat yhdensuuntaisia.

Samanlainen lause on olemassa avaruuden viivoille.

Lause.

Kuten kaksi suoraa viivaa triviaalissa laajuudessa, kohtisuorassa yhtä tasoa vastaan, haju on yhdensuuntainen.

Kuvittelevasti pienokaiset, yakі vіdpovіdat zim lauseet.

Kaikki lauseen muotoilut, merkit ja tarvittavat riittävät mielet sopivat ihmeellisesti todistamaan suorien yhdensuuntaisuuden geometrian menetelmin. Joten kahden suorien viivojen tehtävän yhdensuuntaisuuden tuomiseksi on tarpeen osoittaa, että ne ovat yhdensuuntaisia kolmannen suoran kanssa, tai näyttää leikkausten kohdistus, makaa ja niin edelleen. Anonyymejä vastaavia tehtäviä rikotaan geometrian oppituntien ensimmäisen tunnin aikana tuntemattomassa lukiossa. On kuitenkin huomattava, että rikkaissa vipadeissa on helppo käyttää koordinaattimenetelmää suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseen tasossa tai triviaalassa. Muotoilemme suorakaiteen koordinaattijärjestelmän tehtäväksi tarvittavan riittävän ymmärryksen suorien yhdensuuntaisuudesta.

Viivojen rinnakkaisuus suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Tässä kohdassa laaditaan tilastot tarpeellista ja riittävää suorien viivojen yhdensuuntaisuuden ymmärtämiseksi suoraviivaisessa koordinaattijärjestelmässä se on kesannolla rіvnyan-muodossa, joka merkitsee tsі suoria viivoja, ja teemme myös raportteja tyypillisten tehtävien jakautumisesta.

Muistetaan kahden suoran yhdensuuntaisuus suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Oxy tasossa. Pohjalla jooga todistaa valehtelevan suoran vektorin nimeäminenі suoran normaalivektori asunnossa.

Lause.

Kahden ei-insitovan suoran yhdensuuntaisuudelle tasossa on välttämätöntä ja riittävää, että näiden suorien suorat vektorit ovat kollineaarisia tai näiden suorien normaalivektorit ovat kollineaarisia tai yhden kohtisuoran suoran vektori normaaliin nähden. toisen suoran vektori.

On selvää, että kahden tason suoran mentaalinen yhdensuuntaisuus voidaan pelkistää (suorat viivojen vektorit tai viivojen normaalivektorit) tai (toisen suoran normaalivektorin yhden suoran vektorin suora vektori). Tässä järjestyksessä, kuten i - suorat vektorit viivojen a і b ja і - suorien a ja b normaalivektorit ovat oikein, silloin on välttämätöntä, että suorien a ja b riittävä mentaalinen yhdensuuntaisuus kirjoitetaan , tai , tai de t on reaaliluku. Suorien a ja b suorien koordinaatteilla ja (tai) normaalivektoreilla on oma koordinaattialue annettujen suorien viivojen takana.

Zokrema, kuten suora a Oxy-suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa suora viiva mieleen , ja suora b - silloin tsikh-suorien normaalivektorit voivat olla koordinaatteja і vіdpovіdno, ja Um:n suorien a і b yhdensuuntaisuus kirjoitetaan muodossa .

Yakshcho ohjaa vіdpovіdaє suorien viivojen kohdistaminen leikkauskertoimella mieli , ja suora b - , niin näiden suorien normaalivektoreilla voi olla koordinaatit i , ja näiden suorien mentaalinen yhdensuuntaisuus näkyy . Lisäksi vaikka suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän tasossa olevat suorat ovat yhdensuuntaisia ja ne voidaan asettaa yhtäläisiksi kärkikertoimien suorien kanssa, viivojen huippukertoimet ovat yhtä suuret. Ensinnäkin: vaikka suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa tasossa olevat suorat, jotka eivät taipu, voidaan asettaa suorilla, joilla on samat reunakertoimet, niin tällaiset suorat ovat yhdensuuntaisia.

Kuten suora a ja suora b suorassa koordinaattijärjestelmässä suorien viivojen kanoninen kohdistus tasaiselle pinnalle mieleen і , tai suoran parametrinen kohdistus tasossa mieleen і ilmeisesti näiden suorien suorat vektorit voivat olla koordinaatteja i , ja suorien a ja b mentaalinen yhdensuuntaisuus kirjoitetaan muodossa .

Katsotaanpa useita sovelluksia.

peppu.

Chi yhdensuuntaiset viivat і?

Ratkaisu.

Kirjoitetaan uudelleen suorien viivojen kohdistaminen käämeissä villiä suoraa näkeessä: . Nyt voit nähdä, että scho on normaali suorien viivojen vektori , ja normaalivektori on suora. Qi-vektorit eivät ole kollineaarisia, koska sellaisia ei ole olemassa päivämäärän numero t , jolle yhtäläisyys on oikea ( ). Sen vuoksi ei ole tarpeen ylittää tarvetta tuolle tasolle suorien viivojen riittävälle mentaalisuudelle yhdensuuntaisuudelle, suorien suorien tehtävät eivät ole yhdensuuntaisia tämän kanssa.

Ehdotus:

Ei, ei suoraan rinnakkain.

peppu.

Ovatko ne suorat ja yhdensuuntaiset?

Ratkaisu.

Navigoitavissa kanonisesti tasavertainen suoraan yhtä suureen suoraan leikkauskertoimesta: . On selvää, että suorien viivojen tasaus ja sama (eri tehtäviin suoria viivoja vältetään) ja suorien yhtäläisten kutovі kertoimet, myös vihіdnі suorat ovat yhdensuuntaiset.