Matriisiriviratkaisu. Teekannujen matematiikka Matriisit ja tärkeimmät niiden yläpuolella. Matriisitransponointitoiminto

Tanskalainen menetelmällinen apu auttaa sinua oppimaan voittamaan dії matriiseilla: matriisien lisääminen (poistaminen), matriisien transponointi, matriisien kertominen, pivot-matriisin merkitys. Kaikki kerrostuman materiaalit ovat yksinkertaisissa ja helposti saatavilla olevissa muodoissa, ne on valmistettu samalla tavalla, sellaisessa asemassa valmistautumaton henkilö voi oppia työskentelemään matriisien kanssa. Voit käyttää itsehallintaan ja itsevarmennukseen matriisilaskuria >>> ilman kustannuksia.

Yritän minimoida teoreettiset alalauseet, jos voit selittää "sormilla" nuo ei-tieteelliset termit. Maateorian ystävät, olkaa ystävällisiä, älkää antako kritiikkiä, meidän tehtävämme on oppia käyttämään matriiseja.

Pinnalliseen valmistautumiseen aiheeseen (kuka "polttaa") - intensiivinen pdf-kurssi Matrix, vyznachnik tuo sali!

Matriisi on suorakaiteen muotoinen pöytä, olipa se sitten elementtejä. Yakostissa elementtejä voimme katsoa lukuja, eli lukumatriiseja. ELEMENTTI- Tse termin. Termi on syytä muistaa, viinit ovat usein kirjoitettu, en vikoristav tätä visiota lihavoitu.

Nimitys: matriisit kuulostavat suurilla latinalaisilla kirjaimilla

Butt: Katsotaanpa kaksi kertaa kolme matriisia:

Tämä matriisi koostuu kuudesta elementtejä:

Kaikki matriisin keskellä olevat numerot (elementit) löytyvät itse, joten et löydä siitä mitään:

Se on vain numerotaulukko (joukko)!

Olemme siis kotona älä järjestä uudelleen numero, jota ei mainita selityksissä. Ihonumerolla on oma mätänemispaikkansa, eikä niitä voi sekoittaa!

Matriisia tarkastellaan, siinä on kaksi riviä:

ja kolme pilaria:

STANDARDI: jos puhumme matriisin laajentamisesta, niin tähkän päällä ilmoittaa rivien lukumäärä ja sitten - sarakkeiden lukumäärä. Vähitellen he lajittelivat "kaksi kolmella" -matriisin siveltimellä.

Jos matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärä on zbіgaєtsya, matriisi on ns. neliö-, esimerkiksi: - kolme kertaa kolme matriisi.

Kuten matriisissa yksi rivi tai yksi rivi, tällaisia ​​matriiseja kutsutaan myös vektorit.

Tunnemme todella koulujen matriisit, katsotaanpa esimerkiksi pistettä, jonka koordinaatit "iks" ja "iplayer": . Itse asiassa pisteen koordinaatit kirjoitetaan yksi kerrallaan matriisiin. Ennen puhetta akseli sinulle on esimerkki, miksi numerojärjestys voi olla merkittävä: i - tse kaksi eri tason pistettä.

Nyt jatketaan hääjuhlaa ilman ongelmia tee itse matriiseista:

1) Diya persha. Matriisin miinuksen vika (miinuksen tuominen matriisiin).

Siirrytään matriisiin . Kuten laulatte, matriisissani on liian monta negatiivista lukua. Vielä epäkäytännöllisempää on matriisin eri kirjoittajan ulkoasu, on kätevää kirjoittaa miinusmerkinnät, se näyttää vain rumalta suunnittelussa.

Syytämme miinusta intermatriiseista, muuttaen matriisin SKIN-elementin etumerkkiä:

Nollassa, kuten tiedät, merkki ei muutu, nolla - viini ja nolla Afrikassa.

Zvorotny-peppu: . Katson alentavasti.

Lisäämme matriisiin miinuksen, joka muuttaa matriisin SKIN-elementin etumerkkiä:

No, akseli, rikkaan sympaattinen veyshlo. Minä, naygolovnіshe, matriisin voittaminen on HELPPOA. Koska se on niin matemaattista ihmisten prikmeta: mitä enemmän miinuksia - sitä enemmän huijareita ja anteeksiantoa.

2) Dia ystävä. Matriisin kertominen luvulla.

Butt:

Se on yksinkertaista, sinun tarvitsee kertoa matriisi numerolla nahka- kerro matriisielementillä koko numero. klo tähän nimenomaiseen tyyppiin- Kolmikko.

Vielä yksi ruskea peppu:

– matriisin kertominen dribillä

Selässä katsomme niitä, jotka ovat robiteja EI VAADITTU:

Dribin lisääminen matriisiin EI TARVITA, ensinnäkin se on helpompi taittaa kauemmaksi matriisista, toisella tavalla, se yksinkertaistaa vikladachin (etenkin yakscho) liuoksen uudelleentarkistusta - Jäljellä oleva hankinta).

Tim lisää, EI VAADITTU matriisin ihoelementin tarkkuus miinus sim:llä:

Kolme tilastoa Matematiikkaa nukkeille tai miksi muuten, muistamme sen desimaalilukuja joiden kanssa kaikki muut matemaatikot yrittävät olla ainutlaatuisia.

Yksi asia bagan robiti sovelluksessasi - tse lisää miinus matriisiin:

Ja yakbystä KAIKKI matriisielementit jaettiin seitsemällä ilman ylimäärää, Sitten voit (ja sinun täytyy!) Boulo b podіlit.

Butt:

Mihin suuntaan voin TARPEEN kerro kaikki matriisin elementit luvulla, jolloin kaikki matriisin luvut jaetaan kahdella ilman ylimäärää.

Huomautus: teoriassa edistynyt matematiikka ei koulupoika ymmärrä "podіl". Ilmauksen "älä lisää tähän" sijasta voit aina sanoa "kerrota enemmän". Tobto podіl - tse okremia vpadok monikko.

3) Diya kolmas. Matriisitransponointi.

Matriisin transponoimiseksi on tarpeen kirjoittaa rivejä transponoidun matriisin sarakkeisiin.

Butt:

Transponoi matriisi

Tässä on vain yksi rivi, ja säännön mukaan se on kirjoitettava sarakkeeseen:

on transponoitu matriisi.

Transponoitu matriisi osoitetaan yläindeksillä tai oikeakätisen ankeriaan vedolla.

Kannen takapuoli:

Transponoi matriisi

Takana kirjoitamme ensimmäisen rivin uudelleen ensimmäisessä vaiheessa:

Kirjoitetaan toinen rivi toiselle riville:

І, nareshti, kirjoita kolmas rivi uudelleen kolmannen keittimen kohdalle:

Valmis. Karkeasti vaikuttava transponointi tarkoittaa matriisin kiertämistä sivusuunnassa.

4) Diya neljäs. Summa (vähittäismyynti) matriisi.

Diya matriisien summa on hankala.
KAIKKI MATRIXIT EI VOI TAITTAA. Vynannya-taittomatriiseja (vіdnіmannya) varten on välttämätöntä, että petankkien haju on sama ROZMIROMILLE.

Jos esimerkiksi annetaan "kaksi kahdella" matriisi, voit lisätä sen vain "kaksi kahteen" matriisiin ja millä tahansa muulla tavalla!

Butt:

Taita matriisit і

Matriisien taittamiseksi on tarpeen taittaa niiden tarvittavat elementit:

Eri matriiseille sääntö on samanlainen, on välttämätöntä tietää ero eri elementtien välillä.

Butt:

Tunne matriisien ero ,

Ja kuinka voit tehdä tästä puskusta yksinkertaisemman, jotta et eksy? Älä epäröi lisätä miinuksia, joista lisäämme miinuksen matriisiin:

Huomaa: teoriassa ei ole olemassa sellaista asiaa kuin lukion matematiikan ymmärrys. Ilmauksen "mitä näet" sijasta voit aina sanoa "lisätä negatiivinen luku". Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok taitettuna.

5) Diya p'yata. Matriisien jäljentäminen.

Mitä matriiseja voidaan kertoa?

Jotta matriisi voidaan kertoa matriisilla tarpeen mukaan, niin, että matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin rivien lukumäärä.

Butt:
Voitko kertoa matriisin matriisilla?

Jälleen voit kertoa nämä matriisit.

Ja samasta matriisista, järjestä tehtävät uudelleen, niin kertominen on jo mahdotonta tällä tavalla!

Otzhe, vikonati monikko on mahdotonta:

Harvemmin tehtäviä huijataan huijauksesta, jos opiskelijaa rohkaistaan ​​kertomaan matriiseja, joiden kertominen on ilmeisen mahdotonta.

Dia osoittaa, että useat muuttujat voivat kertoa matriiseja і niin, і niin.
Esimerkiksi matriiseille i voidaan kertoa, joten kerroin minä

Laajennuksen mxn suorakulmainen matriisi on mxn lukujen summa, jotka on järjestetty suorakaiteen muotoiseen taulukkoon, jotta voidaan kostaa m ja n sarakkeen rivit. Kirjoitamme muistiin її nähdessämme

muuten, kun tarkastellaan A = (a i j) (i = ; j = ), numeroita a i j kutsutaan її elementeiksi; ensimmäinen indeksi osoittaa rivin numeroon, toinen - rivin numeroon. Samankokoisia A \u003d (a i j) ja B \u003d (b i j) kutsutaan yhtäläisiksi, koska alkiot ovat pareittain yhtä suuret, joten ne seisovat samoilla paikoilla, sitten A \u003d B, joten a i j \u003d b i j.

Yhdestä rivistä tai yhdestä sarakkeesta taitettua matriisia kutsutaan joko rivi- tai sarakevektoriksi. Varasto- ja rivivektoreita kutsutaan yksinkertaisesti vektoreiksi.

Matriisi, jossa on yksi luku, kartoitetaan tähän numeroon. A rozmіru mxn, kaikkia elementtejä, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla, kutsutaan nollaksi ja ne määritetään nollan kautta. Elementtejä, joilla on samat indeksit, kutsutaan pään diagonaalin elementeiksi. Jos rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin ratapölkyjen lukumäärä, niin m = n, niin matriisia kutsutaan neliöjärjestykseksi n. Neliömatriiseja, joissa on nolla tai useampia pään diagonaalin elementtejä, kutsutaan diagonaaleiksi ja ne kirjoitetaan seuraavasti:

.

Jos kaikkien elementtien a i i diagonaalisesti summa on 1, sitä kutsutaan yksittäiseksi ja merkitään kirjaimella E:

.

Neliömatriisia kutsutaan trikooksi, koska kaikki elementit, jotka ovat korkeammalla (tai alemmalla) kuin pään diagonaali, ovat nolla. Transpositiota kutsutaan sellaiseksi muunnokseksi, kun rivejä ja sarakkeita muutetaan paikoilla niiden numeroiden säästöissä. Se ilmaistaan ​​ylhäällä olevalla transponointikuvakkeella T.

Koska kohdassa (4.1) voimme järjestää rivit uudelleen sarakkeilla, niin otamme

,

ikään kuin A. Zokrem transponoi, kun vektori-stovptsya transponoidaan, rivi-vektori ja navpacki tulevat näkyviin.

Alikomponentti Ja lukua b kutsutaan matriisiksi, jonka alkiot tulevat A:n toisista alkioista luvun b kertomiseksi: b A = (b a i j).

Yhden ulottuvuuden summaa A = (a i j) ja B = (b i j) kutsutaan saman mittasuhteen C = (c i j) -arvoksi, jonka alkiot on asetettu kaavaan c i j = a i j + b i j .

Dobutok AB liittyy pääsyyn, joten sarakkeiden A määrä on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , määrättyyn järjestykseen AB, nimeltään C = (c i k), alkiot määrätään tällaiseen sääntöön:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Muuten näyttäisi siltä, ​​että luomisen AB elementti on annettu seuraavassa järjestyksessä: i:nnen rivin ja k:nnen sarakkeen elementti on i:nnen rivin A luovien elementtien kaunein summa. k:nnen sarakkeen B riippuvat elementit.

peppu 2.1. Tunne doboot AB i .

Ratkaisu. Toukokuu: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, sitten dobutok AB \u003d C іsnuє і elementit С yhtä suuret

Z 11 = 1 x 1 + 2 x 2 + 1 x 3 = 8, Z 21 = 3 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 = 5, Z 12 = 1 x 2 + 2 x 0 + 1 x 5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

ja tvir BA ei ole totta.

peppu 2.2. Taulukossa näkyy yksittäisten tuotteiden määrä, jotka viedään päivittäin meijerissä 1 ja 2 myymälöihin M 1, M 2 ja M 3, lisäksi yksittäisen tuotteen toimitus ihomeijeristä myymälään M 1 maksoi 50 den. yksi, kauppaan M 2 - 70 ja M 3 - 130 den. yksi. Pіdrakhuvat schodennі kuljetus vitrati parkitustehdas.

meijeri

Ratkaisu. Merkittävästi A matriisin kautta, joka on annettu meille ymmärrykseksi, ja kautta
B - matriisi, joka kuvaa myymälän yksittäisen tuotteen, tobto, toimituksen vaihtelua,

,

Todo matriisivitraatti kuljetetulla matimalla näytti:

Myös ensimmäinen lasimaalaustehdas on tällä hetkellä hinnoiteltu 4 750 groszia. yksi, toinen - 3680 den.

peppu 2.3. Ompeluliiketoiminta valmistaa talvitakkeja, puolikausitakkeja ja sadetakkeja. Vuosikymmenen suunniteltua vapautumista kuvaa vektori X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya kankaat chotirioh tyypit T1, T2, T3, T4. Taulukossa kudosten vitrati-normit (metreinä) ihon värinälle. Vektori С = (40, 35, 24, 16) ilmaisee ihotyypin kudoksen mittarin vaihtelua ja vektori P = (5, 3, 2, 2) - ihon kuljetetun metrin varianssia. ihotyyppinen kudos.

	Vitrata kankaat
talvitakki
Puolikauden takki

Lineaarialgebra

Matriisit

matriisi rozmіru m x n - tse suoraviivainen numerotaulukko, kostaa m riviä ja n stoptsіv. Lukuja, jotka muodostavat matriisin, kutsutaan matriisielementeiksi.

Matriisit on merkitty suurilla latinalaisilla kirjaimilla ja elementit - samoilla pienillä kirjaimilla, joissa on alalangallinen indeksointi.

Katsotaanpa esimerkiksi matriisia A, jonka mitat ovat 2 x 3:

Tässä matriisissa on kaksi riviä (m = 2) ja kolme riviä (n = 3). won koostuu kuudesta elementistä a ij de i - rivin numero, j - rivin numero. Tällä arvo on 1 - 2 ja yhden arvo on enintään kolme (tallennettu). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Kutsutaan matriiseja A ja B, jotka ovat samankokoisia (m x n). yhtä suuri, jotta haju on elementti kerrallaan zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij for , sitten. mille tahansa i:lle ja j:lle (voit kirjoittaa "i, j").

rivimatriisi- sama matriisi, joka on taitettu yhdestä rivistä, ja matriisi-leima- Tse matriisi, joka on taitettu yhdestä stovptsyasta.

Esimerkiksi, on rivimatriisi ja .

neliömatriisi n:nneksi kertaluvuksi - matriisi, riviin asti sarakkeiden lukumäärään asti ja n:ään asti.

Esimerkiksi eri järjestyksessä oleva neliömatriisi.

Diagonaalinen matriisielementit – kohdeelementit, joiden rivinumero on sama kuin sarakkeen numero (a ij, i = j). Qi-elementit tyydyttävät päädiagonaali matriiseja. Etuosan päädiagonaali koostuu elementeistä a 11 = 3 ja a 22 = 5.

Diagonaalinen matriisi- Tämä on neliömatriisi, jossa kaikki diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla. Esimerkiksi, - Kolmannen asteen diagonaalimatriisi. Jos näin on, kaikki diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin yksi, niin matriisia kutsutaan yksinäinen(Äänet on merkitty kirjaimella E). Esimerkiksi, - Kolmannen asteen yksin matriisi.

Matriisia kutsutaan nolla niin, että kaikki її elementit ovat yhtä suuria kuin nolla.

Neliömatriisia kutsutaan neulottu joten kaikki pään lävistäjän alapuolella (tai yläpuolella) olevat elementit ovat yhtä suuret kuin nolla. Esimerkiksi, - Kolmannen kertaluvun tricut matriisi.

Operaatiot matriiseilla

Seuraavat toiminnot voidaan suorittaa matriiseille:

1. Matriisin kertominen luvulla. Lisämatriisi luvulle l on matriisi B = lА, jonka alkiot ovat b ij = la ij mille tahansa i i j:lle.

Siis esimerkiksi yakscho .

2. Matriisien lisääminen. Kahden samankokoisen m x n matriisin A і summaa kutsutaan matriisiksi C \u003d A + B, jonka alkiot ovat ij \u003d a ij + b ij arvolle "i, j.

Esimerkiksi kuten sitten

.

Merkittävää on, että frontaalisen toiminnan kautta on mahdollista visuaalinen matriisi sama koko: ero A-B\u003d A + (-1) * Art.

3. Matriisien jäljentäminen. Lisämatriisia A laajennettu m x n laajennettuun matriisiin n x p kutsutaan sellaiseksi matriiksi C, jonka ihoelementti s ij täydentää matriisin A i:nnen rivin alkioiden summaa j:nnen näkyvillä elementeillä. matriisin sarake, tobto. .

Esimerkiksi kuten

, silloin matriisin luomisen laajennus on 2 x 3, ja varo äitiä:

Tällä tavalla matriisia A kutsutaan kavennetuksi matriisiksi.

Neliömatriisien kertolaskuoperaation perusteella operaatio linkit jaloissa. Neliömatriisin A positiivista puolta A m (m > 1) kutsutaan m lisämatriisiksi, joka on yhtä suuri kuin A, tobto.

Oletetaan, että matriisien yhteenlasku (korvaaminen) ja kertominen ei ole tarkoitettu kahdelle matriisille, vaan vain eniten laulamiseen, mikä miellyttää omassa laajuudessaan. Znakhodzhennya sumi chi rіznitі matriisien їх rozmіr obov'yazkovo voi olla sama. Matriisien luomista varten ensimmäisen sarakkeiden määrää voidaan lisätä toisen rivien määrällä (sellaisia ​​matriiseja kutsutaan ns. kiitos zhenimi).

Katsotaanpa tarkasteltavien operaatioiden potenssit, analogisesti lukujen operaatioiden potenssien kanssa.

1) Taittamisen kommutatiivinen (siirto)laki:

A + B = B + A

2) Assosiatiivinen (onnellinen) taittolaki:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributiivinen (hajautus) kertolaskulaki kuinka taittaa:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Assosiatiivinen (onnellinen) kertolasku:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

On tuettu, että matriisien kertolaskumuutoslaki ei muutu päinvastaiseen suuntaan, eli. AB ¹ BA. Lisäksi emäksestä AB ei välttämättä lausuta kantaa BA (matriisit eivät välttämättä ole hyväksyttäviä, eikä edes samoja todistuksia ole osoitettu, kuten indusoidun peräkärjen tapauksessa useat matriisit). Ale navіt yakscho loukkaa, tee se, haise karjunta raznі.

Hyvällä tavalla kommutatiivinen laki voi lisätä neliömatriisin A samaan järjestykseen olevaan matriisiin, lisäksi tämä summaa A (kertominen yhdellä matriisilla on tässä samanlainen kuin kertominen yhdellä, kun kerrotaan lukuja):

AE = EA = A

Totta,

Lisäämme vielä yhden matriisien monikertoimen lukujen kertolaskuihin. Nollaan voidaan lisätä useampia lukuja tai sitä pienempiä lukuja, jos haluat yhden niistä olevan nolla. On mahdotonta sanoa matriiseista, tobto. nollasta poikkeavia matriiseja voidaan lisätä nollamatriiseihin. Esimerkiksi,

Katsotaanpa operaatioita matriisien kanssa.

4. Matriisitransponointiє siirtymäoperaatio matriisista A laajennukseen m x n matriisiin A T laajennukseen n x m, samoissa riveissä ja sarakkeissa muistettiin välilyöntejä:

%.

Transponointitoiminnon teho:

1) Olemme valinneet seuraavan, jotta matriisi voidaan transponoida kahdeksi, siirrymme lähtömatriisiin: (AT) T = A.

2) Vakiokertoja voidaan syyttää transponointimerkistä: (lА) T = lА T .

3) Distributiivisesti kerrottujen lisämatriisien transponointi: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matriisit

Syötä ihonelimatriisille A numero |A| vyznachnik. Innodi jooga on merkitty kirjaimella D.

Tse on tärkeä vähäisten käytännön tehtävien lisäksi. Merkittävästi jooga laskentamenetelmän kautta.

Ensimmäisen kertaluvun matriisille її yksialkio |А| = D1 = a11.

Eri kertaluvun її matriisissa lukua kutsutaan merkitsijäksi, koska se lasketaan kaavan |А| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Kolmannen kertaluvun її matriisissa A lukua kutsutaan merkitsijäksi, koska se lasketaan kaavan jälkeen

Se edustaa algebran summaa, joka koostuu 6 lisäyksestä, joiden ihoon syötetään tasan yksi elementti ihoriviltä ja ihomatriisimatriisista. vyznachnikin kaavan muistamiseksi on tapana nopeuttaa niin kutsuttua temppujen sääntöä tai Sarrusin sääntöä (kuva 6.1).

Pienessä 6.1:ssä näytetään pahan suunnitelma, kuinka valita elementtejä lisäyksille plus-merkillä, - haju on perebuvayut pään diagonaalissa ja tasa-femoraalisten trikutnikkien yläosissa ja laita ne rinnakkain. Järjestelmä zlіva vikoristovuєtsya varten dodankіv zі merkki "miinus"; siinä pään diagonaalin sijainen on otettu ns. puolelle.

Korkeampien asteiden johtajat lasketaan rekursiivisella tavalla, tobto. neljännen kertaluvun seuraaja kolmannen kertaluvun seuraajan kautta, viidennen kertaluvun seuraaja neljännen kertaluvun seuraajan kautta jne. Menetelmän kuvaamiseksi on tarpeen esitellä matriisin tuon algebrallisen komplementtielementin mollin käsite (merkittävintä on, että itse menetelmä, jota tarkastellaan tarkemmin, sopii kolmanteen ja toiseen järjestykseen).

Pieni N:nnen kertaluvun M ij -elementtiä a ij matriisia kutsutaan (n-1) kertaluvun matriisin alkukirjaimeksi, joka on otettu matriisista A ja j:nnen sarakkeen i-rivin i sovituksesta.

N:nnen kertaluvun ihomatriisi on (n-1) kertaluvun n2 minor.

Algebralliset lisäykset N:nnen kertaluvun ij-elementtiä ij-matriisia kutsutaan yogo-molliksi, ja siinä on zі-merkki (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, joka on parin rivin ja sarakkeen numeroiden summa, і A ij \u003d -M ij, jota ei ole yhdistetty.

Esimerkiksi kuten , sitten ; jne.

Pääoman laskentatapa polygaє hyökkäyksessä: neliömatriisin merkitsijä on edistyneempi elementtien luomisen summa missä tahansa järjestyksessä (stovptsya) niiden lisäyksissä algebraan:

(asettelu mukaan i:nnet elementit rivit; );

(J:nnen sarakkeen elementtien asettelu;).

Esimerkiksi,

Merkittävää on, että alussa trikoomatriisin alkukuvio on edistyneempi kuin pään diagonaalin elementit.

Muotoillaan tuomareiden päävaltuudet.

1. Jos on rivi tai jos matriisi koostuu vain nollia, niin välimies on yhtä suuri kuin 0 (se noudattaa rozrahunkan menetelmää).

2. Jos kerrot matriisin jonkinlaisen rivin (stowptsya) kaikki elementit samalla luvulla, niin sama luku kerrotaan kokonaisluvulla).

Huomaa: merkitsijän etumerkistä voit syyttää itse rivin kuumaa kertojaa (matriisin merkkiä, jonka merkistä voit syyttää elementtien kuumaa kertojaa). Esimerkiksi, , .

3. Kun matriisi її transponoidaan, merkitsijä ei muutu: | A T | = | A | (Todistusta ei suoriteta).

4. Järjestettäessä matriisin kahden rivin (stowptsiv) välilyöntejä, välimies muuttaa prolegen etumerkkiä.

Tähkän arvon vahvistamiseksi on hyväksyttävää, että matriisin kaksi peräkkäistä riviä järjestetään uudelleen: i-th ja (i + 1)-th. Sillä rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matriisi minä heitän, ja uudelle matriisille (uudelleenjärjestetyillä riveillä) - (i + 1) - th (niy:ssä se on sama, joten se liikkuu elementti kerrallaan). Sitten kun toista merkkiä laajennetaan, iho täydentää algebrallista matimaa prolege-merkillä, joten (-1) ei pelkisty askeleiksi (i + j), vaan askeleiksi (i + 1 + j), ja toisessa kaavassa kaavoja ei lisätä. Tällä tavalla kädellisen merkki muutetaan protiiliksi.

Nyt on hyväksyttävää, että tuomioistuimia ei järjestetä uudelleen, vaan kaksi riviä lisää, esimerkiksi i-th ja (i + t)-th. Sellainen permutaatio on mahdollista myöhempänä i:nnen rivin siirtona t rivillä alaspäin ja (i + t):nnen rivin - (t-1) rivillä ylöspäin. Kenelle kädellisen etumerkki muuttuu (t + t - 1) = 2t - 1 monta kertaa, eli. paritonta monta kertaa. Otz, anna viiniköynnösten muuttaa loput.

Samanlainen peilaus voidaan vaihtaa stovptsiviin.

5. Jos matriisin on tarkoitus korvata kaksi identtistä riviä (stowptsya), seuraava on yhtä suuri kuin 0.

Totta, jos samat rivit (stovptsі) järjestetään uudelleen tehtävien avulla, niin samat nimitetyt ottavat pois itse matriisin. Toisella puolella, edessä yakistyu suonet, voit vaihtaa symbolia, tobto. D = -D D = 0.

6. Koska matriisin kahden rivin (stowptsіv) elementit ovat verrannollisia, numero yksi on yhtä suuri kuin 0.

Tämä teho perustuu kyseisen viinin etuvoimaan pääkertoimen kahleelle (jos matriisin suhteellisuuskertoimen kahleen viini on samat abo stovpts-rivit, ja sen seurauksena kerroin kerrotaan nollalla).

7. Matriisin minkä tahansa rivin (stowptsya) luovien elementtien summa saman matriisin seuraavan rivin (stowptsya) elementtien algebrallisella lisäyksellä on aina enemmän 0: i ¹ j:lle.

Tehon tuomiseksi riittää, että matriisin A j:s rivi korvataan i:nnellä rivillä. Lyhennetyssä matriisissa on kaksi yhtä suurta riviä, joten seuraava on yhtä suuri kuin 0. Toisella puolella se voidaan laskea j:nnen rivin elementeillä: .

8. Matriisin indeksi ei muutu, vain rivin elementteihin tai matriisiin, lisää seuraavan rivin elementit (stow) kerrottuna samalla luvulla.

Aivan, lisään i:nnen rivin elementtejä j:s elementti rivit kerrottuna l:llä. Uuden i:nnen rivin Todi-elementit tulevat näkyviin
(a ik + la jk , "k). Lasketaan uuden matriisiasettelun etumerkki i:nnen rivin elementtien jälkeen (on merkittävää, että її-elementtien algebralliset lisäykset eivät muutu, kun ne muuttuvat):

Otimme pois sen, että tämä kädellinen ei näytä ulkoisen matriisin kädelliseltä.

9. Merkittävät dobutku matriisit kalliimpia dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | A | * |U| (Todistusta ei suoriteta).

He katsoivat enemmän vyznachnikkien ja vikoristien auktoriteetteja saadakseen anteeksi laskelmansa. Zzvichay namagayutsya perevorit matriisi sellaiseen muotoon, shchob be-yaky stovpets tai rivi koston yaknabіlshe nolla. On helppo tietää seuraava välimies ensimmäisen tai toisen rivin asettelulle.

käänteinen matriisi

Matriisia A-1 kutsutaan palautuva suhteen mukaan neliömatriisiin A, vaikka matriisi kerrottaisiin matriisilla A, se on oikeakätinen, joten yksimatriisi tulee ulos: A -1 * A = A * A -1 = E.

Tästä seuraa, että käänteinen matriisi on neliömatriisi, joka on samaa luokkaa kuin matriisi A.

Voidaan nähdä, että pivot-matriisin ymmärtäminen on samanlainen kuin pivot-luvun ymmärtäminen (koko luku, kerrottuna annetulla luvulla antaa yhden: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Viikset numerot, crim nolla, voivat kääriä numerot.

Jotta saadaan selville teho, mikä on tuoton neliömatriisi, on tunnettava välimies. Jos matriisi on yhtä suuri kuin nolla, niin tällaista matriisia kutsutaan virogeeninen, tai erityisesti.

Välttämätön mieli riittää Seerumimatriisin perusta: seerumimatriisi on sama ja vain jos ei-virogeenistä matriisia ei käytetä.

Tuomme tarpeen. Olkoon matriisi siis käänteinen matriisi A -1. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Myöhemmin
|A| ¹0.

Tuomme riittävästi. Sen tuomiseksi esille on tarpeen yksinkertaisesti kuvata seerumimatriisin laskentamenetelmä, joka voidaan aina tehdä ei-neitsytmatriisille.

Otzhe, tule | A | ¹ 0. Transponoi matriisi A. Ihoelementille А Т tule(Keskinäisesti, liittoutuneena):.

Tiedämme vastaanotetun matriisin ja tulosteen todellisuuden. Ottaa mukaan . Tässä järjestyksessä matriisi on diagonaalinen. її-pään diagonaalissa on lähtömatriisin merkit, ja elementtien rivit ovat nollia:

Samalla tavalla voit näyttää sen.

Jos jaat matriisin kaikki elementit |A|:ksi, poistat yhden matriisin E.

Sellainen arvosana , sitten. .

Tuomme pivot-matriisin yhtenäisyyden. Oletetaan, että A:n käänteinen päämatriisi, oletusarvo on A -1 . Merkittävästi її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Yhtenäisyys toi.

Myös pivot-matriisin laskenta-algoritmi koostuu seuraavista vaiheista:

1. Tunne matriisin | A | . Yakscho |A| = 0, silloin matriisi A on virogeeni, eikä käänteistä matriisia voida tietää. Yakscho |A| ¹ 0, siirry sitten askelvirkkaukseen.

2. Kannustaa AT-matriisin transponointia.

3. Tunne transponoidun matriisin algebralliset komplementaariset elementit ja indusoi annettu matriisi.

4. Laske kierretty matriisi jakamalla vastaanotettu matriisi |A|:iin.

5. Voit kääntää pivot-matriisin laskennan oikeellisuuden oikealla tavalla pisteeseen: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Tiedämme temppujen säännön takana olevan matriisin numero yksi:

Ohitetaan uudelleenkirjoitus.

Voit tuoda valtaan seuraavat matriisit:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A - 1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Matrix sijoitus

Pieni k-s tilaus m x n -matriisiin nimeämään k:nnen kertaluvun neliömatriisin etumerkki, koska se on otettu matriisista A, jotta voidaan täsmäyttää, onko rivejä ja sarakkeita.

On tärkeää huomata, että alaikäisen järjestys ei paina pienempää, tobtoa. k £ min (m; n). Esimerkiksi matriiseista A 5x3 on mahdollista poistaa ensimmäisen, muun ja kolmannen kertaluvun neliömatriisit (pieniä kertalukuja on mahdollista laajentaa).

sijoitus matriisin nimi järjestyksen löytäminen nollien muodossa matriisin alamerkityksissä (osoita range A tai r(A)).

Vau

1) matriisin sijoitus on valittu pienimmästä s її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 ja sitten, jos matriisi on nolla (kaikki matriisin alkiot yhtä suuret kuin nolla), niin. r(A) = 0 A = 0;

3) n:nnen kertaluvun neliömatriisille r(A) = n ja sitten, jos matriisi A on ei-virogeeninen, niin. r(A) = n | | ¹0.

Itse asiassa kenelle riittää laskea useampi kuin yksi tällainen alaikäinen (se, joka otettiin pois kolmannen sarakkeen ylösnousemuksesta (koska reshtissä tulee olemaan nolla kolmas sarake ja se haju lisätään nollaan ).

Trikoosäännön takana = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Kaikkien kolmannen asteen alaikäisten sirpaleet ovat nolla, r(А) £ 2. Sirpaleilla on nollasta poikkeava, eri kertaluokkaa oleva molli, esim.

On selvää, että vikoristani hyväksymme (katso eri alaikäisiä) ei sovi korkeampaan arvoon taitettuihin moodiin suuren työn ansiosta. Ääni merkki matriisin arvon voittavista muutoksen teoista, kuten he kutsuvat perus:

yksi). V_dkidannya nolla riviä (stovpts_v).

2). Kaikkien rivin tai matriisin elementtien toisto luvulla, nollaa laskematta.

3). Matriisin rivien järjestyksen muuttaminen (stovptsiv).

neljä). Lisäys yhden rivin (stovptsya) ihoelementtiin seuraavan rivin samoista elementeistä (stovptsya), kerrottuna numerolla.

5). Transponoi.

Koska matriisi A on otettu matriiseista B alkeismuunnoksilla, näitä matriiseja kutsutaan vastaava merkitsen A~B.

Lause. Matriisin alkeismuunnokset eivät muuta järjestystä.

Lauseen todistus ilmenee matriisin dominanssista. Itse asiassa näiden muunnosten aikana neliömatriisit joko tallennetaan tai kerrotaan luvulla, joka ei ole nolla. Sodan kautta ulkomatriisin alaikäisten etunollien suurin järjestys jää itsestään, eli. її sijoitus ei muutu.

Alkeismuunnosten avuksi matriisi tuodaan ns. porrastettuun ilmeeseen (muokattu askelmatriisi), sitten. Oletetaan, että vastaavassa matriisissa pään diagonaalin alla oli vain nolla elementtiä ja pään diagonaalissa oli nollasta poikkeavia elementtejä:

Askeltaajuusmatriisin järjestys on yhtä suuri kuin r, ristisovituksen sirpaleet siitä pysähtyvät, alkaen (r + 1):nnestä ja kaukaa, voit ottaa r:nnen kertaluvun kolmivaluuttamatriisin, skalaari on sama kuin nolla, kertaluku, ei nolla):

peppu. Etsi matriisin arvo

yksi). Jos 11 \u003d 0 (kuten meidän tapauksessamme), niin järjestämällä rivit ja stovptsіv on saavutettavissa, että 11 ¹ 0. Tässä muistetaan matriisin 1. ja 2. rivi:

2). Onko nyt 11? 0. Elementaariset muunnokset Dob'єmosja, shchob shta elementіv ensimmäisessä stovptsi doіvnyuvali nolla. Toisella rivillä on 21 = 0. Kolmannella rivillä on 31 = -4. Nyyhkyn (-4) seisoen 0, lisää kolmanteen riviin ensimmäinen rivi, kertolasku 2:lla (tobto: (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Vastaavasti lisätään neljänteen riviin ensimmäinen rivi (kertoukset yhdellä, sitten (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Vähennysmatriisissa a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, voit järjestää rivit uudelleen). Varmistetaan, että diagonaalit toisen puolen alapuolella olivat nolla. Lisää riville 3. ja 4. rivi, kerrot -3:lla ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

neljä). Lyhennetyssä matriisissa kaksi jäljellä olevaa riviä on nolla, ja їх voidaan jättää pois:

Poistettiin askelmatriisi, joka on taitettu kahteen riviin. Myös r(A) = 2.

Tse ymmärrystä, scho zagalnyu є kaikki mahdolliset toiminnot, yakі viroblyayutsya matriiseilla. Matemaattinen matriisi - elementtitaulukko. Tietoja sellaisesta taulukosta, de m rowkіv ta n stoptsіv, näyttää siltä, ​​että matriisi voi olla rozmirnіst m päällä n.

Matriisin kirkas ilme:

varten ratkaisumatriisi on tarpeen ymmärtää, mikä on matriisi, ja tietää tärkeimmät parametrit. Matriisin pääelementit:

• Pään diagonaali, joka koostuu elementeistä a 11, a 22 ..... a mn.
• Sivudiagonaali, joka koostuu elementeistä a 1n, a 2n-1 .....a m1.

Matriisin päätyypit:

• Neliö - tällainen matriisi, de rivien määrä = sarakkeiden lukumäärä ( m = n).
• Nolla - kaikki matriisin elementit = 0.
• Transponoitu matriisi - matriisi klo, yak bula otrimana ulkoisesta matriisista A vaihda pylväiden rivit polulla.
• Yksin - kaikki pään diagonaalin elementit = 1, viiva = 0.
• Käänteinen matriisi on matriisi, joka kerrotaan käänteismatriisilla, tuloksena saadaan yksi matriisi.

Matriisi voi olla symmetrinen sekä pää- että sivudiagonaaleihin nähden. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-ln = a mn-1 silloin matriisi on symmetrinen päädiagonaalia pitkin. Enemmän kuin neliömatriisit voivat olla symmetrisiä.

Menetelmät rozvyazannya matriisien.

Mayzhe kaikki matriisimuunnosmenetelmä makaa kuuluisalla її vyznachnikilla n järjestyksessä ja enemmän niistä tehdä hankalia. Toisen ja kolmannen luokan kädellisen tuntemiseksi on muita, järkevämpiä tapoja.

Znakhodzhennya vyznachnikі toisessa järjestyksessä.

Matriisin laskemista varten MUTTA Toisessa järjestyksessä elementtien luomiseksi pään lävistäjään on lisättävä lisäelementtejä sivudiagonaaliin:

Kolmannen asteen tietämyksen menetelmät.

Alla on säännöt 3. järjestyksen tuntemisesta.

Trikutnik-sääntöä on yksinkertaistettu, kuten yksi kirsikkamatriisimenetelmät, voidaan esittää seuraavasti:

Toisin sanoen elementtien vastaanotto ensimmäiseltä välittäjältä, ikään kuin ne olisivat suoria, otetaan merkillä "+"; juuri niin, toiselle virkailijalle - tärkeimmät luomukset otetaan merkillä "-", joten tällaiselle skeemalle:

klo matriisien ratkaiseminen Sarrus-säännöllä, oikeakätinen, allekirjoittajan suuntaan, lisää ensimmäiset 2 saraketta ja luo tärkeimmät elementit pään diagonaaliin ja diagonaaleihin, kuten i:nnen yhdensuuntaisuuden tapaan, ota 3 "+"-merkillä; mutta luo kaksi sivudiagonaalien ja diagonaalien elementtiä, kuten rinnakkaiset, merkillä "-":

Razkladannya vyznachnik määräjärjestyksessä stovptsyu pіd tunti vіrіshennya matriiseja.

vyznachnik on parempi summa vyznachnikin rivin elementtien luomuksista niiden algebran lisäyksillä. Soita ja valitse kyseinen rivi/keitinlevyt tavalla, joka on nolla. Rivi tai rivi, jonka mukaan asettelu suoritetaan, merkitään nuoleksi.

Kädellisen tuominen trikootyyliin kirsikkamatriisien tunnissa.

klo ratkaisumatriisi Avulla saattamalla kädellinen trikoo-ilmeen, toimi näin: yksinkertaisimpien laulurivien yli tehtyjen muunnosten avulla kädellisestä tulee trikoo-ilme ja sama merkitys, ilmeisesti kädellisen voimalla, dobutku-elementtejä , kuin seisoisi pään päällä vinottain.

Laplacen lause matriisien täydellisyydestä.

Laplacen lauseen takana olevat matriisit näkevät, että itse lause on tunnettava ilman keskitietä. Laplacen lause: Tule Δ - tse vyznachnik n järjestyksessä. Vibiraemo uudessa be-yakіssa k rowkiv (abo stovptsiv), mielelle k≤ n - 1. Tällaisella ajalla on paljon töitä k järjestyksessä, mitä kostaa valitulle k rivit (stowptsyah) niiden algebrallisilla lisäyksillä vyznachnikiin.

Virishennya matriisi.

Jakso for seerumimatriisin liuos:

1. Ymmärrä, että neliömatriisi on annettu. Kielteisten mielipiteiden aikoina käy selväksi, että sylkimatriisi ei voi olla.
2. Algebran lisäysten laskeminen.
3. Luomme liittoutuneen (vastavuoroisesti, come) matriisin C.
4. Käänteisen matriisin lisääminen ja lisäykset algebraan: kaikki annetun matriisin elementit C dilimo tähkämatriisissa. Osasummamatriisi on satunnaisesti määritelty pivot-matriisi.
5. Tarkistamme vikonan-robotin: kerromme pochatkov-matriisin ja jätämme matriisin pois, tuloksena voi olla yksi matriisi.

Virishennya-järjestelmämatriisit.

varten ratkaisut matriisijärjestelmiin Yleisin menetelmä on Gaussin menetelmä.

Gaus-menetelmä on tavallinen tapa johtaa algebran lineaariset kohdistusjärjestelmät (SLAE) ja voittaa kentät siinä tosiasiassa, että muutokset kytketään päälle peräkkäin, joten lisäelementtimuutoksille tasausjärjestelmä tuodaan vastaavaan järjestelmään. kolmivaluutta, sen jälkeen, jälkeen (numeron takana) tiedä järjestelmän skin-elementti.

Gausin menetelmäє yleisin ja paras työkalu matriisien ratkaisemiseen. Aivan kuten järjestelmässä on persoonaton ratkaisu tai järjestelmä ei ole yhteenveto, niin Cramerin sääntöä ja matriisimenetelmää on mahdotonta rikkoa.

Gaussin siirtomenetelmä on myös suora (pienennetään laajennettu matriisi porrastettuun ilmeeseen, jolloin nollat ​​poistetaan pään diagonaalin alta) ja käänteinen (nollat ​​poistetaan laajennetun matriisin pään diagonaalin yläpuolelta) kävely. Suora suuntaus on Gaussin menetelmä, käänteinen - Gauss-Jordan menetelmä. Gauss-Jordan-menetelmä on samanlainen kuin Gaussin menetelmä, lukuun ottamatta muutosten järjestystä.

Tapaaminen 1. Matriisi A maailmallem n kutsutaan suorakaiteen muotoista taulukkoa, jossa on m riviä ja n saraketta, jotka lasketaan yhteen numeroilla tai muilla matemaattisilla muuttujilla (matriisielementtien arvoilla), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, tai

Tapaaminen 2. Kaksi matriisia
і
kutsutaan samankokoisiksi yhtä suuri, jotka on lajiteltu elementtikohtaisesti, eli. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Lisämatriiseja varten on helppo kirjoittaa muistiin taloudellisten talletusten tositteet, esimerkiksi resurssien jakautumistaulukot talouden deakkojen mukaan.

Tapaaminen 3. Siten matriisin rivien määrä on ​​zbіgaєtsya alkaen її stovptsіv, joten. m = n, niin matriisia kutsutaan neliön järjestysn, ja eri valossa suoraviivainen.

Tapaaminen 4. Siirtyminen matriisista A matriisiin A t, jossa rivit ja sarakkeet muistettiin tallennusjärjestyksen paikoilla, niitä kutsutaan ns. osaksi kansallista lainsäädäntöä matriiseja.

Katso matriisi: neliö (koko 33) -
,

suoraviivainen (koko 25) -
,

diagonaali -
, yksittäinen -
, nolla -
,

matriisirivi -
, matrix-stoppets -.

Tapaaminen 5. N-kertaisen neliömatriisin alkioita, joilla on samat indeksit, kutsutaan pään diagonaalin elementeiksi, eli. ce-elementit:
.

Tapaaminen 6. N-kertaisen neliömatriisin alkioita kutsutaan sivudiagonaalin elementeiksi, koska niiden indeksit ovat n + 1, eli. Elementit: .

1.2. Operaatiot matriiseilla.

1 0 . sumoyu kaksi matriisia
і
samaa kokoa kutsutaan matriisiksi С = (з ij), jonka alkiot ovat yhtä kuin ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

Taittomatriisien toiminnan teho.

Be-yakahille matriisit A,B,C yksi rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (kommutatiivisuus),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (assosiatiivisuus).

2 0 . Tvorom matriiseja
numeroa kohti  kutsutaan matriisiksi
samankokoinen kuin i on matriisi A, lisäksi b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Matriisin luvulla kertomisen teho.

(А) = ()А (kertojan assosiatiivisuus);

(А+В) = А+В (satunnaisesti taittuvien matriisien moninkertaisuuden jakautuminen);

(+)А = А+А (satunnaisesti taittuvien lukujen kertolasku).

Tapaaminen 7. Matriisien lineaarinen yhdistelmä
і
samaa kokoa kutsutaan muodossa A + B, de  ja  - riittävät luvut.

3 0 . Dobutcom A  Matriisit A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk kutsutaan matriisiksi 3 expіrum mk siten, että elementti z ij on matriisin A і j:nnen sarakkeen luovien elementtien summa. matriisista B, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB:tä käytetään vain siinä tapauksessa, koska matriisin A sarakkeiden lukumäärä vaihtelee matriisin rivien lukumäärän mukaan.

Kertomatriisien operaation teho:

(АВ)С = А(ВС) (assosiatiivisuus);

(А+В)С = АС+ВС (satunnaisesti taittuvien matriisien jakautuminen);

А(В+С) = АВ+АС (satunnaisesti taittuvien matriisien jakautuminen);

АВВА (ei kommutatiivista).

Tapaaminen 8. Matriiseja A ja B, joille AB = BA, kutsutaan commutingiksi tai työmatkaksi.

Neliömatriisin toisto riippumatta siitä, missä järjestyksessä eri yksittäisellä matriisilla on, ei muuta matriisia.

Tapaaminen 9. Elementaariset muunnokset matriiseja kutsutaan tällaisiksi operaatioiksi:

Kahden rivin (stovptsiv) korvaaminen tehtävillä.

Rivin ihoelementin (stovptsya) jäljentäminen numerolla, joka ei ole nolla.

Lisäys yhden rivin elementteihin (stowptsya) seuraavan rivin toisen rivin elementteihin (stowptsya).

Tapaaminen 10. Matriisi, otrimana matriiseista Ja alkeismuunnosten avuksi kutsutaan vastaava(allekirjoitettu BA).

peppu 1.1. Tunne matriisien 2A-3B lineaarinen yhdistelmä, esim

,
.

,
,

.

peppu 1.2. Tunne doboot-matriisi
, Kuten

.

Ratkaisu: ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä muutetaan toisen matriisin rivien lukumäärästä, sitten käytetään lisämatriisia. Tämän seurauksena otamme uuden matriisin
, de

Tämän seurauksena otamme
.

Luento 2. Nimitetyt. vyznachnikin laskenta toisessa, kolmannessa järjestyksessä. Nimitettyjen valtanjärjestyksessä.