Lineaaristen viivojen järjestelmät. Vektorijärjestelmien alkeismuunnos. Askel askeleelta vektorijärjestelmien järjestelmä

Tapaaminen 5. Elementaariset muunnokset Lineaaristen kohdistusten järjestelmiä kutsutaan її eteneväksi muunnokseksi:

1) permutaatio, onko kaksi yhtäläistä paikkaa vai ei;

2) kerrotaan saman luvun molemmat osat;

3) lisäämällä molempiin osiin yhtä yhtä suuret osat toisesta yhtä suuresta, kerrottuna luvulla k;

(samaan aikaan joet muuttuvat pysyviksi).

Nolla on yhtä kuin kutsutaan yhtäläiseksi hyökkäävän mielen kanssa:

Lause 1. Ole kuin viimeinen alkeismuunnosten sekvenssi ja nollatasauksen sunnuntain muunnos kääntämään yksi lineaaristen yhtälöiden järjestelmä yhtä vahvaksi ja toinen lineaaristen yhtäläisten järjestelmä.

Tuominen. Vilkaisu 4. kappaleen auktoriteettiin tuodaksesi iholle lauseen okremon muunnoksesta.

1. Jos järjestelmän rivejä muutetaan, itse rivit eivät muutu, joten järjestelmä on yhtä vahva nimityksille.

2. Todistuksen ensimmäisen osan perusteella riittää, että tuodaan lujuus ensimmäiselle yhtälölle. Kerrotaan järjestelmä (1) luvulla , otetaan järjestelmä

(2)

Älä viitsi  järjestelmä (1) . Samat luvut täyttävät järjestelmän yhtäläisyydet (1). Koska oskіlki kaikki yhtäläiset järjestelmän (2) ensimmäinen zbіgayutsya järjestelmän (1) yhtäläisten kanssa, numerot täyttävät kaikki yhtäläiset. Numeron sirpaleet täyttävät järjestelmän ensimmäisen yhtälön (1), voivat olla ensimmäistä kertaa numeerinen yhtäläisyys:

Kerrotaan joogo luvulla K, Otamme oikean numeerisen yhtälön:

Että. asentaa, mitä  järjestelmä (2).

Takaisin, yakscho järjestelmän ratkaisu (2), sitten numerot tyydyttävät järjestelmän (2) viikset. Ensimmäisen järjestelmän (1) oskіlki zbіgayutsya järjestelmän (2) yhtäläisten kanssa, sitten numerot täyttävät kaikki yhtäläiset. Numeron sirpaleet täyttävät järjestelmän (2) ensimmäisen yhtälön, sitten numeerinen yhtälö (4) on voimassa. Kun loukkaukset on jaettu lukuihin, otamme pois numeerisen yhtälön (3) ja päätämme siitä  järjestelmän irrottaminen (1).

Zvіdsi tapaamisille 4 järjestelmä (1) on sama kuin järjestelmä (2).

3. Todistuksen ensimmäisen osan perusteella riittää, että saadaan lujuus ensimmäiselle ja toiselle yhtäläiselle järjestelmälle. Dodamo molempiin osiin ensimmäisen linjauksen järjestelmän K, ota järjestelmä

(5)

Älä viitsi järjestelmäratkaisu (1) . Samat luvut täyttävät järjestelmän yhtäläisyydet (1). Koska ensimmäisen järjestelmän (5) kaikkien yhtäläisten luvut yhdistetään järjestelmän (1) yhtäläisiin, niin luvut täyttävät kaikki yhtäläiset. Numeron sirpaleet täyttävät järjestelmän ensimmäisen ekvivalentin (1)

Lisätään termi kerrallaan ystävän ensimmäiseen yhtälöön, kerrottuna luvulla K otamme oikean numeerisen yhtälön.

§7. Linjajärjestelmät

Tasa-arvoiset järjestelmät. Lineaarisen suorajärjestelmän alkeismuunnos.

Älä viitsi Z- kenttä kompleksiluvut. Yhtä mieleen

de
, kutsutaan lineaariseksi yhtäläisiksi n nevidomimi
. Tilaussetti
,
kutsutaan päätöksiksi yhtä suuriksi (1), kuten .

järjestelmä m lineaarinen rivnyan z n järjestelmää kutsutaan yhtäläiseksi mielen kanssa:

- Lineaarisen kohdistusjärjestelmän kertoimet, - Ilmaiset jäsenet.

Suorakaiteen muotoinen pöytä

,

kutsutaan maailman matriisiksi
. Otetaan käyttöön merkintä: - i-Matriisin rivi,
- k-Tyy liesi matriisi. Matriisi MUTTA enemmän merkitsee
tai
.

Matriisin rivien tuleva muunnos MUTTA kutsutaan alkeisarvoiksi:
) nollarivin kytkeminen pois päältä; ) minkä tahansa rivin kaikkien elementtien kertominen numerolla
; ) lisäys minkä tahansa muun rivin mille tahansa riville kerrottuna
. Matriisisarakkeiden samanlaiset muunnokset MUTTA kutsutaan matriisin alkeismuunnoksiksi MUTTA.

Matriisin minkä tahansa rivin ensimmäinen nollasta poikkeava elementti (tärkeämpää oikealla). MUTTA kutsutaan tämän rivin johtavaksi elementiksi.

Nimittäminen. matriisi
sitä kutsutaan askeleeksi, ikään kuin ne olisi pyhitetty näin:

1) matriisin nollarivit (kuten haju) ovat pienempiä kuin nollasta poikkeavat rivit;

2) yakscho
sitten johtaa matriisin rivin elementtejä

Ole kuin nollasta poikkeava matriisi Ja tavallisten alkeismuunnosten tapauksessa se voidaan pelkistää porrasmatriisiksi.

peppu. Indusoituva matriisi
askelmatriisiin:
~
~
.

Matriisi taitettu järjestelmäkertoimilla lineaarisia viivoja (2) kutsutaan järjestelmän päämatriisiksi. Matriisi
, Otrimania kutsutaan vapaiden jäsenten mukaan järjestelmän laajennetuksi matriisiksi.

Joukon järjestyksiä kutsutaan lineaaristen kohdistusten järjestelmän ratkaisuiksi (2), samoin kuin järjestelmän skin lineaarisen kohdistuksen päätöksiksi.

Lineaaristen kohdistusten järjestelmää kutsutaan koherentiksi, koska se voi olla vain yksi ratkaisu, eikä se ole hullua, koska sitä ei voida ratkaista.

Lineaaristen kohdistusten järjestelmää kutsutaan laulamiseksi, koska ratkaisuja on vain yksi, jota ei ole merkitty, koska ratkaisuja on enemmän kuin yksi.

Lineaaristen kohdistusten järjestelmän tulevaa muutosta kutsutaan alkeelliseksi:

) poissulkeminen järjestelmästä yhtäläinen mielen kanssa;

) molempien osien kerrannaisina, onko se yhtä suuri kuin
,
;

) lisäämällä siihen, onko muita yhtä suuria, kerrottuna ,.

Kaksi lineaarista järjestelmää n Tuntemattomia kutsutaan yhtä vahvoiksi, koska haju ei ole yhtenäinen, mutta monet heidän päätöksestään tehdään.

Lause. Esimerkiksi yksi lineaaristen kohdistusten järjestelmä otettiin pois muista alkeismuunnosten tyypistä ), ), ), se on yhtä vahva kuin visuaalinen.

Lineaaristen kohdistusten järjestelmän tarkistaminen tuntemattoman huomioimatta jättämisen menetelmällä (Gaussin menetelmällä).

Anna järjestelmän mennä m lineaarinen rivnyan z n unwidomimi:

Kuten järjestelmä (1) mielen kostamiseksi

silloin järjestelmä ei ole yhtenäinen.

Oletetaan, että järjestelmä (1) ei ole yhtä suuri kuin muoto (2). Anna järjestelmän (1) muuttaa kerrointa x 1 aluksi yhtä suuri
(ikään kuin se ei olisi niin, niin samanarvoisia paikkoja uudelleenjärjestämällä ei ole mahdollista saavuttaa mitä, joten kaikki kertoimet eivät x 1 on nolla). Zastosuyemo lineaaristen viivojen (1) järjestelmään, joka etenee alkeismuunnosten lansetteja:

, Dodamo toiselle tasolle;

Ensimmäinen yhtä suuri, kerrottuna
, Dodamo kolmannelle tasolle ja niin edelleen;

Ensimmäinen yhtä suuri, kerrottuna
dodamo muuhun järjestelmään.

Tämän seurauksena poistamme lineaaristen kohdistusten järjestelmän (annoimme lyhimmän SLN:n lineaaristen kohdistusten järjestelmälle), joka on yhtä suuri kuin järjestelmän vahvuus (1). Saatat huomata, että toisessa järjestelmässä se on yhtä suuri kuin luku i, i 2, älä kosta tuntemattomalle x 2. Älä viitsi k niin vähiten luonnollinen luku, mikä on tuntematonta x k Haluan kostaa itseni yhtä suurella määrällä i, i 2. Todi otrimana järjestelmä rivnyan maє vyglyad:

Järjestelmä (3) on yhtä suuri kuin järjestelmä (1). Zastosuєmo nyt alajärjestelmään
lineaaristen kohdistusten järjestelmät (3) mikroskopia, jotka laskettiin SLN:ksi (1). Ja toistaiseksi. Tämän prosessin tuloksena saadaan enintään toinen kahdesta tuloksesta.

1. Otamme pois SLU:n, joka on yhtä kuin mieli (2). Ja tässä SLE (1) on epäjohdonmukainen.

2. Elementaariset muunnokset, staasi SLN:hen (1), eivät johda järjestelmään, joka kostaa ulkonäön (2). At tsomu vipadku SLP (1) alkeismuunnoksilla
osoita mielen kanssa yhtäläistä järjestelmää:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

Lineaaristen kohdistusten järjestelmää (4) kutsutaan porrastukseksi. Täällä voi kaatua kaksi kertaa.

a) r= n silloin järjestelmä (4) saattaa näyttää

(5)

Järjestelmällä (5) on vain yksi ratkaisu. Jälleen järjestelmä (1) voidaan ratkaista vain.

B) r< n. Kenen mielellä ei ole kotia
järjestelmässä (4) niitä kutsutaan pää ei-dominantteiksi, muuten ei-dominantiksi tässä järjestelmässä - vapaa (kuusi numero yksi n- r). Nadamon lukuisia lukuarvoja ei tarvita, vaikka SLU (4) matime näyttää samalta kuin järjestelmä (5). Sen perusteella otsikot ovat yksiselitteisiä. Tällä tasolla järjestelmä voidaan ratkaista, joten se on yhtenäinen. Oskіlki vіlnim nevidomim antoi melkoisen numeerisen arvon Z, niin järjestelmä (4) on määrittelemätön. Jälleen järjestelmä (1) on määrittelemätön. Viraziv in SLN (4) smut nevidomі kautta vіlnі nevidomі, otrimaemo järjestelmä, jota kutsutaan järjestelmän villeimmiksi ratkaisuiksi (1).

peppu. Irrota lineaaristen kohdistusten järjestelmä menetelmällä G aussa

Kirjoitamme lineaaristen tasausjärjestelmän laajennettu matriisi ja tuodaan se alkeisrivimuunnosten avulla porrastettuun matriisiin:

~

~
~
~

~ . Jättämällä matriisin pois, voimme löytää lineaarisen kohdistusjärjestelmän:
Tsya-järjestelmä on sama kuin ulkoinen järjestelmä. Kuin tuntemattoman pää
vіlnі nevіdomі. Muuten, tuntemattoman pää on vain villin tuntemattoman läpi:

Otimme pois SLN:n täyden ratkaisun. Anna minun mennä

(5, 0, -5, 0, 1) on yksityinen ratkaisu SLP:lle.

Tehtävä itsenäiseen näkemykseen

1. Ymmärtääksesi globaalin ratkaisun ja vielä yhden yhtäläisjärjestelmän ratkaisun tuntemattoman sammutusmenetelmällä:

1)
2)

4)
6)

2. Tietää erilaisia ​​arvoja parametri a jokijärjestelmän globaali ratkaisu:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§kahdeksan. Vektorivälit

Vektoritilakonsepti. Yksinkertaisin teho.

Älä viitsi V ≠ Ø, ( F, +,∙) – kenttä. Kentän elementtejä kutsutaan skalaareiksi.

Käyminen φ : F× V –> V kutsutaan kertomisen elementtien kertolaskuoperaatioksi V skalaarilla kentältä F. Merkittävästi φ (λ,a) kautta λа twir-elementti a skalaariin λ .

Nimittäminen. Bezlich V annetusta algebrallisesta operaatiosta lisäämällä elementtejä kertoimeen V että useita elementtejä V skalaarilla kentältä F kutsutaan vektoriavaruudeksi kentän F yli, mikä tarkoittaa seuraavia aksioomia:

peppu. Älä viitsi F ala, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Monipuolinen nahkaelementti F n nimeltään n-yksinkertainen aritmeettinen vektori. Esitellään lisäämisen toiminta n-rauhavektorit ja kertolasku n-maailman vektori skalaari-z-kenttää kohden F. Älä viitsi
. Tehdään se =( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1, λ a 2 , … , λ a n). Bezlich F n jossa operaatioiden johdanto on vektoriavaruus, ja sitä kutsutaan n-yksinkertainen aritmeettinen vektoriavaruus kentän päällä F.

Älä viitsi V- vektoriavaruus kentän yli F, ,
. On sellaisia ​​​​ominaisuuksia:

1)
;

3)
;

4)
;

Todiste sitkeydestä 3.

Z kateuden paastoryhmän lain takia ( V,+) ehkä
.

Lineaarinen kesanto, vektorijärjestelmien riippumattomuus.

Älä viitsi V- Vektoritila kentän päällä F,

. Vektoria kutsutaan vektorijärjestelmän lineaariseksi yhdistelmäksi
. Kaikkia vektorijärjestelmän lineaarisia yhdistelmiä kutsutaan anonyymiksi lineaarinen kuori tsієyu-järjestelmä vektorіv i poznaєєєєєєyu.

Nimittäminen. Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaariseksi kesantoksi, koska tällaisia ​​skalaareja käytetään
kaikki eivät ole nollia, joten

Kuinka ekvivalenssi (1) on voittoisa joko tai vähemmän, jos λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi.

peppu. Chi z'yasuvati chi on vektorijärjestelmä = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) tila R3 lineaarinen kesanto tai riippumaton.

Ratkaisu. Olkoon λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – järjestelmäratkaisu. Otzhe, vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

Lineaarisen virheen dominanssi ja vektorijärjestelmän riippumattomuus.

1. Vektorijärjestelmä, joka haluaa kostaa yhden nollavektorin, on lineaarisesti kesanto.

2. Vektorijärjestelmä kostaa lineaarisen kesannon alijärjestelmä, lineaarinen kesanto.

3. Vektorijärjestelmä, de
є lineaarisesti kesanto jopa ja vain kerran, jos haluat yhden vektorin järjestelmästä, yhden vektorin, є lineaarisen yhdistelmän eteenpäin suuntautuvia vektoreita.

4. Vektorijärjestelmänä on lineaarisesti riippumaton, mutta vektorijärjestelmä
lineaarisesti kesanto, sitten vektori voit tarkastella vektoreiden lineaarista yhdistelmää samaan järjestykseen asti.

Tuominen. Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto, niin
kaikki eivät ole nollia, joten

Vektoriekvivalenssissa (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, sitten s (2) \u003d\u003e Näemme, että vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto, sirpaleita λ 1 , λ 2 , … , λ m eivät kaikki ole nollaa. He tulivat pyyhkimään mielensä. Z (1) => de
.

Esitetään vektori samalla tavalla kuin näet sen: Tehtävä vektorin tasa-arvolla
vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden kautta voimme nähdä sen
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Anna tiedot kahdelle vektorijärjestelmälle ja
, m>k. Jos vektorijärjestelmän vektori voidaan yhdistää vektorijärjestelmän lineaariseksi yhdistelmäksi, niin vektorijärjestelmä on lineaarisesti kesanto.

Vektorijärjestelmän perusta, järjestys.

Kіntseva vektorijärjestelmä avaruudessa V kentän yli F mielekkäästi läpi S.

Nimittäminen. Be-yaka vektorijärjestelmän lineaarisesti riippumaton alijärjestelmä S kutsutaan vektorijärjestelmän perustaksi S yakscho be-yaky -vektorijärjestelmä S voit tarkastella vektorijärjestelmän lineaarista yhdistelmää.

peppu. Etsi vektorijärjestelmän kanta = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Vektorijärjestelmä, lineaarisesti riippumaton, oskіlki, vіdpovіdno to dominion 5 vektorijärjestelmä poistettiin vektorijärjestelmästä lisäapua perusasiat sähkömekanotroniikka: alkukirjainlisäapua perusta Sähkötekniikka"; ...

Ennen alkeismuunnoksia voidaan nähdä:

1) Lisäys molempiin osiin toisen yhtä suuresta osasta, kerrottuna samalla luvulla, joka ei ole nolla.

2) Tehtävien yhtäläisten permutaatio.

3).

KRONEKKERIN LAUSE - CAPELLI

(Umova-järjestelmän eheys)

(Leopold Kronecker (1823–1891) saksalainen matemaatikko)

Lause: Järjestelmä jaetaan (voi haluta yhden ratkaisun) joko tai vähemmän, jos järjestelmän matriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo.

Ilmeisesti järjestelmä (1) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x 1 + x 2 + … + x n

Tuominen.

1) Jos päätös on tehty, niin vapaiden jäsenten sarake on matriisin A sarakkeiden lineaarinen yhdistelmä, joka myös lisätään matriisiin, eli. siirtyminen А®А* ei muuta sijoitusta.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse tarkoittaa, että haju voi olla samassa perusmollissa. Stovpets vіlnyh termіnі - lineaarinen yhdistelmä stovptsіv base molli, tі oikea merkintä, huomautti korkeammalle.

peppu. Laske lineaarisen kohdistusjärjestelmän johdonmukaisuus:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

Järjestelmä on hullu.

peppu. Määritä lineaaristen kohdistusten järjestelmän summa.

A =; = 2 + 12 = 14 1 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Unijärjestelmä. Ratkaisu: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 GAUSS-MENETELMÄ

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) saksalainen matemaatikko)

Matriisimenetelmän ja Cramer-menetelmän perusteella Gaussin menetelmä voidaan muuntaa lineaaristen kohdistusten järjestelmiksi suuresta määrästä linjauksia ja tuntemattomia. Menetelmän ydin perustuu muiden kuin kotimaisten potilaiden myöhempään sisällyttämiseen.

Katsotaanpa lineaaristen kohdistusten järjestelmää:

Jaetaan ykkösen loukkaavat osat 11 ¹ 0:lla, sitten:

1) kerro luvulla 21, jonka näen toisesta yhtäläisestä

2) kerrotaan luvulla 31, jonka näen kolmannesta yhtä suuresta

, de d1j = a1j/a11j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

peppu. Selvitä lineaaristen viivojen järjestelmä Gaussin menetelmällä.

, Tähdet hyväksytään: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

peppu. Tarkista järjestelmä Gaussin menetelmällä.

Laajennamme järjestelmämatriisia.

Tässä luokassa ulkoinen järjestelmä voidaan esittää seuraavasti:

, Tähdet ovat hyväksyttäviä: z = 3; y = 2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana tälle järjestelmälle Cramer-menetelmällä ja matriisimenetelmällä.

Itsenäinen visio:

Ehdotus: (1, 2, 3, 4).

AIHE 3. VEKTORIN ALGEBRIN ELEMENTIT

PERUSMERKINTÄ

Nimittäminen. Vektori kutsutaan suoriksi (pari pistettä on järjestetty). Ennen vector_v_vіdnosti myös nolla vektori, tähkä tällaisen zbіgayutsya.

Nimittäminen. Dovzhina (moduuli) vektoria kutsutaan tähkän ja vektorin pään väliin.

Nimittäminen. Vektoreita kutsutaan kollineaarinen kuin haju, joka leviää yhdelle tai yhdensuuntaiselle viivolle. Nollavektori on kollineaarinen minkä tahansa vektorin kanssa.

Nimittäminen. Vektoreita kutsutaan koplanaarinen kuin oikea asunto, kuin rinnakkaishaju.

Kolineaariset vektorit ovat aina koplanaarisia, mutta kaikki koplanaariset vektorit eivät ole kollineaarisia.

Nimittäminen. Vektoreita kutsutaan yhtä suuri ikään kuin ne olisivat kollineaarisia, mutta ne ovat suoristettuja ja voivat olla samoja moduuleja.

Be-yaki vektorit ja voi tuoda runsas cob, tobto. saada aikaan vektoreita ja vidpovidno yhtäläisiä tietoja ja tehdä kuuma tähkä. Vektoriyhtälön nimeämisestä on selvää, että voiko vektori olla persoonaton vektori, joka on yhtä suuri kuin sinä.

Nimittäminen. Linjatoiminnot Yli vektoreita kutsutaan yhteen- ja kertolaskuksi luvulla.

Sumoyu vector_v є vektori -

Tvir - , jossa kolіnearen .

Suuntavektori іz vektori ( ), joten a > 0.

Vektori protivolezhnoy direktiivit vektorilla (?), niin että a< 0.

VEKTORIN VOIMA

1) + = + - kommutatiivisuus.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – assosiatiivisuus

6) (a + b) = a + b - distributiivisuus

7) a(+) = a + a

Nimittäminen.

1) Perusta avaruutta kutsutaan ikään kuin 3 ei-koplanaarista vektoria otettuna samassa järjestyksessä.

2) Perusta tasaisella vektorilla kutsutaan 2 ei-kollineaarista vektoria, jotka on otettu samassa järjestyksessä.

3)Perusta suoralla viivalla kutsutaan nollasta poikkeavaksi vektoriksi.

Kaksi lineaarista linjausjärjestelmää yhdessä sarjassa x 1 ..., x n

Niitä kutsutaan ekvivalenteiksi, koska niiden persoonattomia päätöksiä vältetään (täten kertomuksia ja K n vältetään,). Tse tarkoittaa, sho: tai haisee kerralla є tyhjät osat (joten hyökkäävät järjestelmät (I) ja (II) ovat epäselviä), tai haisee kerralla ei tyhjä, i (siis järjestelmän I iholiuos є järjestelmän II liuokset і iholiuos System II є järjestelmän I ratkaisut).

Varasto 3.2.1.

Gausin menetelmä

Gausin ehdottaman algoritmin suunnitelma on melko yksinkertainen:

1. zastosovuvat lineaaristen kohdistusten järjestelmään peräkkäin, jotta persoonaton ratkaisu ei muutu (tällä tavalla otamme visuaalisen järjestelmän persoonattoman ratkaisun) ja siirrymme vastaavaan järjestelmään, joka voi olla "yksinkertaisen näköinen" (tämä on vaihelomakkeen nimi);
2. järjestelmän "yksinkertaiselle mielelle" (porrasmatriisilla) kuvaile persoonaton ratkaisu, jota käytetään visuaalisen järjestelmän persoonattomaan ratkaisuun.

Merkittävää on, että läheinen menetelmä "fan-chen" oli käytössä jo muinaisessa kiinalaisessa matematiikassa.

Lineaaristen kohdistusten järjestelmien perusmuunnos (matriisirivi)

Nimitys 3.4.1 (ensimmäisen tyypin perusmuunnos). Kun järjestelmän i. tasolle asti, k. taso lisätään kerrottuna luvulla (merkitty: (i) "=(i) + c(k); sitten vain yksi i. taso (i ) korvataan uudella tasolla (i) "=(i)+c(k)). Uusi i-e equal saattaa näyttää (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k tai lyhyesti

Eli uudessa i-piirissä a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Nimitys 3.4.2 (perusmuunnostyyppi 2). Kun i -е і k -е yhtäläiset muuttuvat asteikolla, muut yhtä suuret eivät muutu (merkit: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Kunnioitus 3.4.3. Selvyyden vuoksi erityisiä laskelmia varten voit lisätä 3. tyypin alkeismuunnoksia: i. laskutoimitus kerrotaan nollasta poikkeavalla luvulla , (i)" = c (i) .

Ehdotus 3.4.4. Aivan kuten järjestelmän tyyppi I siirtyi järjestelmään II 1. ja 2. tyypin alkeismuunnosten lopullisen määrän avulla, niin järjestelmän II muodossa voit kääntyä järjestelmään I sekä 1. ja 2. tyypin alkeismuunnoksiin. 2. tyyppi.

Tuominen.

Kunnioitus 3.4.5. Kiinteys on totta ja sisältyy 3. tyypin alkeismuunnoksen alkeismuunnoksiin. Yakscho i (i)"=c(i) , sitten ta (i) = c -1 (i)".

Lause 3.4.6.Viimeisen 1. tai 2. tyypin alkeismuunnosten lukumäärän viimeisen pysähdyksen jälkeen tähkää vastaava lineaarinen kohdistusjärjestelmä tulee lineaarien kohdistusjärjestelmään.

Tuominen. On tärkeää tarkastella siirtymistä järjestelmästä I järjestelmään II yhden alkeismuunnoksen lisäämiseksi ja sisällyttämisen ratkaisun tuomiseksi rikkauksiin (järjestelmän II tuodun ehdotuksen sirpaleet voidaan kääntää järjestelmään I ja siihen , osallisuus, saatava tasapuolisuus).

Tapaaminen 1. Lineaaristen kohdistusten järjestelmää mind (1) , de , kenttä kutsutaan m lineaarisen viivan järjestelmä n nevidomimista kentän yli, - Kertoimet järjestelmän ulkopuolisille jäsenille, , , - järjestelmän vapaille jäsenille (1).

Tapaaminen 2. Tilattu n-ka (), de, soitti lineaaristen viivojen järjestelmän huipulle(1), jopa vaihdettaessa muutos ihoon, järjestelmä (1) muutetaan oikeaan numeeriseen kohdistukseen.

Tapaaminen 3. unelias yakscho turha voi haluta tehdä yhden päätöksen. Muussa tapauksessa järjestelmä (1) kutsutaan hullu.

Tapaaminen 4. Lineaaristen kohdistusten järjestelmää (1) kutsutaan laulaen ratkaisu voi olla vain yksi. Muussa tapauksessa järjestelmä (1) kutsutaan nimittämätön.

Lineaaristen viivojen järjestelmä

(є päätös) (ei päätöstä)

uninen hullu

(yksi päätös) (ei yksi päätös)

pevna on tuntematon

Tapaaminen 5. Lineaaristen viivojen järjestelmä kentän päällä R nimeltään homogeeninen yakscho kaikki її vіlnі termit ovat nolla. Muuten järjestelmä kutsutaan heterogeeninen.

Katsotaanpa lineaaristen viivojen järjestelmää (1). Tätä samaa mielessä olevaa homogeenista järjestelmää kutsutaan homogeeniseksi järjestelmäksi, liittyvät järjestelmästä (1). Homogeeninen SLN ensimmäistä kertaa, oskolki voidaan päättää.

Ihon SLN:lle voidaan ottaa käyttöön kaksi matriisia yhdellä silmäyksellä - päämatriisi on pidennetty.

Tapaaminen 6. Lineaaristen kohdistusten järjestelmän päämatriisi(1) matriisia kutsutaan, se koostuu kertoimista, joilla ei ole loukkaavaa tyyppiä: .

Tapaaminen 7. Lineaaristen kohdistusten järjestelmän laajennettu matriisi(1) matriisia kutsutaan, katkaistu matriisista polulla, joka liittyy siihen joukon vapaita jäseniä: .

Tapaaminen 8.Lineaaristen kohdistusten järjestelmän alkeismuunnokset kutsutaan seuraavasti: 1) kerrotaan saman yhtäläisjärjestelmän molemmat osat skalaarilla; 2) lisätään järjestelmän yhden tason molempiin osiin toisen tason toiset osat kerrottuna elementillä; 3) mielen täydentäminen tai yhtäläiseksi osoittaminen.

Tapaaminen 9. Kaksi lineaarista järjestelmää kentän päällä R millä nimellä muutosta kutsutaan yhtä vahva, koska heidän persoonattomia päätöksiään vältetään.

Lause 1 . Aivan kuten yksi lineaaristen yhtälöiden järjestelmä otettiin pois toiselta alkeismuunnosten avulla, tällaiset järjestelmät ovat yhtä vahvoja.

Manuaalisia alkeismuunnoksia ei tuoda lineaaristen kohdistusten järjestelmään, vaan laajennettuun matriisiin.

Tapaaminen 10. Annetaan matriisi, jossa on elementtejä kentästä R. Elementaariset muunnokset matriiseja kutsutaan näin:

1) minkä tahansa matriisin rivin kaikkien elementtien kertominen aО Р # :lla;

2) kerrotaan minkä tahansa matriisin rivin kaikki alkiot aО Р #:lla ja lisätään seuraavan rivin muut elementit;

3) paikkojen permutaatio kahdella matriisin rivillä;

4) nollarivin lisääminen tai vapauttaminen.

8. SLU-ratkaisu: m menetelmä tuntemattomien myöhempään poissulkemiseen (Gaussin menetelmä).

Katsotaanpa yhtä tärkeimmistä lineaaristen kohdistusten järjestelmien irrotusmenetelmistä, jota kutsutaan ns. menetelmällä, johon myöhemmin sisällytetään tuntematon, mitä muuta, Gaussin menetelmä. Katso järjestelmää (1) m lineaarinen rivnyan z n nevidomimi kentän yli R:(1) .

Järjestelmä (1) haluaa yhden kertoimista, ellei hyvä 0 . Іnakshe (1) - yhtäläisten järjestelmä () nevіdomimi - tse superechit mielissä. Muistamme yhtäläisyydet kuukausittain, joten kerroin ensimmäisessä tasauksessa ei ole hyvä 0 . Tässä arvossa voit vvazhati, sho. Kerro ensimmäisen loukkaavat osat yhtä suureksi ja lisää toisen, kolmannen, ..., m th yhtä suuri. Otamme järjestelmän mielen: , de s- Pienin luku, joten haluan yhden kertoimista, ellei terve 0 . Muistamme yhtäläisyydet kuukausittain niin, että toisella rivillä on kerroin kulua muuttaessa 0 , sitten. voimme arvata mitä. Kerrotaan toisen loukkaavat osat yhtä suureksi ja lisätään kolmannen yhtä suureen osaan, ..., m th yhtä suuri. Jatkamme tätä prosessia, otamme järjestelmän huomioon:

Lineaaristen yhtälöiden järjestelmä, jak, Lauseen 1 mukaan on yhtä suuri kuin järjestelmä (1) . Järjestelmää kutsutaan porrastetuksi lineaaristen kohdistusten järjestelmäksi. On kaksi mahdollisuutta: 1) Haluaa jotakin elementeistä ei ole hyvä 0 . Tule vaikkapa. Sama lineaaristen kohdistusten järjestelmän kanssa, se on samanlaista kuin mielen, että se on mahdotonta. Tse tarkoittaa, että järjestelmällä ei ole ratkaisua, ja siksi järjestelmällä (1) ei voi olla ratkaisua (joskus (1) on epäjohdonmukainen järjestelmä).

2) Tule, ...,. Todi alkeismuunnoksen Z) avulla otamme pois järjestelmän - järjestelmän r lineaarinen rivnyan z n tuntematon. Kaikissa muutoksissa niitä kutsutaan kertoimille pään vaihto(tse), їх yhteensä r. Інші ( n-r) vaihtaa nimiä vapaa.

On kaksi vaihtoehtoa: 1) Yakshcho r = n, sitten - järjestelmä trikoo näyttää. Tälle, viimeisestä yhtäläisestä, tiedämme muutoksen, viimeisestä - muutoksen, ensimmäisestä yhtäläisestä - muutoksen. Lisäksi on olemassa vain yksi ratkaisu lineaaristen kohdistusten järjestelmälle ja myös lineaaristen kohdistusten järjestelmälle (1) (joskus järjestelmä (1) on osoitettu).

2) Tule r . Ja tässä tärkeimmät muutokset kääntyvät ilkeiden läpi ja voittavat lineaarisen suorajärjestelmän (1) ratkaisevan ratkaisun. Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut erilaisia ​​yksityisiä ratkaisuja lineaaristen linjojen (1) järjestelmästä (järjestelmä (1) ei ole näkyvissä tässä tapauksessa).