1 υπολογίστε τα όρια. Άλλο ένα θαυματουργό όριο. Αλγόριθμος υπολογισμού ορίων

Ακούγεται ένα άλλο όριο θαύματος, γράψτε με αυτήν τη μορφή:

\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(εξίσωση)

Ο αριθμός $e$, που εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά της ισότητας (1), είναι παράλογος. Μια προσέγγιση της τιμής αυτού του αριθμού είναι: $ e \ περίπου (2 (,) 718281828459045) $. Αν αντικαταστήσω το $t=\frac(1)(x)$, τότε ο τύπος (1) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\αρχή(εξίσωση) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(εξίσωση)

Όσο για το πρώτο θαυματουργό όριο, δεν έχει σημασία ποιο πρέπει να αντικαταστήσει την αλλαγή $x$ στον τύπο (1) ή να αντικαταστήσει την αλλαγή $t$ στον τύπο (2). Ο Golovne είναι μια βικοννάνα δύο μυαλών:

1. Το βήμα Substava (tobto viraz στα τόξα των τύπων (1) και (2)) μπορεί να ξεχωρίσει.
2. Η ένδειξη βήματος (είτε $x$ για τον τύπο (1) είτε $\frac(1)(t)$ για τον τύπο (2)) ενδέχεται να μην έχει ασυνέπεια.

Για να πούμε ότι μια άλλη θαυματουργή οριακή γραμμή είναι η ασημαντότητα του $1^\infty$. Λάβετε υπόψη ότι ο τύπος (1) δεν προσδιορίζεται, σχετικά με την ίδια ασυνέπεια ($+\infty$ ή $-\infty$) μπορεί να βρεθεί. Σε δερματικές διαταραχές, ισχύει ο τύπος (1). Για τον τύπο (2), το $t$ μπορεί να αλλάξει σε μηδέν ως κακό, i στα δεξιά.

Θα σας πω ότι είναι επίσης μια μικρή καφέ κληρονομιά από ένα άλλο θαυματουργό όριο. Εφαρμόστε ένα άλλο ραβδί ενός άλλου θαυματουργού ορίου, σαν μια κληρονομιά από το νέο, πιο δημοφιλές με το στυλ τυπικών τριαντάφυλλων και ρομπότ ελέγχου.

Πισινός #1

Υπολογίστε μεταξύ $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Είναι άμεσα σημαντικό ότι η βάση του βήματος (δηλαδή, $\frac(3x+1)(3x-5)$) δεν είναι η ίδια:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Ποιος έχει ένα βήμα (viraz $4x+7$) τέλειας ασυνέπειας, tobto. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Το βήμα της pragna είναι μόνο, ο δείκτης του βήματος είναι σε σημείο ασυνέπειας, tobto. Μπορούμε δικαίως να δούμε ότι το $1^\infty$ είναι ασήμαντο. Zastosuєmo τύπος για razkrittya cієї neznachennostі. Στη βάση του βήματος του τύπου, το παρακάτω είναι $1+\frac(1)(x)$ και στο παράδειγμα που προτείναμε, το βήμα του βήματος είναι το εξής: $\frac(3x+1) (3x-5)$. Σε αυτήν την πρώτη εργασία, εκχωρώ επίσημα την virase $\frac(3x+1)(3x-5)$ για να εξετάσει το $1+\frac(1)(x)$. Για το cob dodamo και δείτε ένα:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Slid vrahuvat, scho έτσι προσθέστε μοναξιά δεν είναι δυνατό. Σαν να προσθέσω τη μοναξιά στην αμηχανία μου, τότε είναι απαραίτητη και ορατή, για να μην αλλάξω το νόημα όλου του βιράζ. Για τη συνέχιση της λύσης, είναι ασφαλές αυτό

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) = frac(6)(3x-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, τότε:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ αριστερά(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$

Ας συνεχίσουμε "pidganyannya". Ο τύπος virazi $1+\frac(1)(x)$ στο βιβλίο αριθμών περιέχει το 1 και στο virazi $1+\frac(6)(3x-5)$ το βιβλίο αριθμών περιέχει $6$. Για να πάρουμε $1$ από τον αριθμό, ας ρίξουμε $6$ από το banner για τη βοήθεια του επιθετικού μετασχηματισμού:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

με τέτοιο τρόπο,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Πατέρας, η βάση του βήματος, tobto. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, σχεδιασμένο να μοιάζει με $1+\frac(1)(x)$, το οποίο είναι απαραίτητο για τον τύπο. Τώρα μπορούμε να pochnemo pratsyuvati іz pokanik βήμα. Σεβαστείτε αυτό που έχει να πει η φόρμουλα, όπως ο σόουμαν του βήματος και ο πανό, ωστόσο:

Αργότερα, ο μαρκαδόρος του βήματος και το πανό πρέπει να φέρουν την ίδια μορφή. Για να λάβετε υπόψη το βήμα του viraz $\frac(3x-5)(6)$, απλώς πολλαπλασιάστε τον δείκτη του βήματος με ολόκληρο το κλάσμα. Φυσικά, για να αντισταθμιστεί ένας τέτοιος πολλαπλασιασμός, τυχαίνει να πολλαπλασιαστεί με ένα καλό ποσό, tobto. σε $frac(6)(3x-5)$. Πατέρα, σε παρακαλώ:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ ) infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x- 5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^( \ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κλάσμα $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, σε βήματα:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Πισινό #4

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Τα θραύσματα για $x>0$ μπορούν να είναι $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, στη συνέχεια:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ αριστερά(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Επεκτείνοντας τα κλάσματα $\frac(x+1)(x)$ στο άθροισμα των κλασμάτων $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\αριστερά (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) ) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Πισινό #5

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Θραύσματα $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ i $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, μπορούμε δικαίως να δούμε $1^\infty$. Λεπτομερείς εξηγήσεις δίνονται στον πισινό Νο. 2, αμέσως αναμεμειγμένοι με σύντομες λύσεις. Αφού αντικαταστήσουμε το $ t = x-2 $, παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\αριστερά|\αρχή(στοίχιση)&t=x-2 ;\;x=t+2\\t(0)\end(ευθυγραμμισμένο)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3,$$

Μπορείτε να λύσετε τον πισινό και επίσης, να αλλάξετε τον εφημεριστή: $t=\frac(1)(x-2)$. Κατανοώντας, θα είστε ο εαυτός σας:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\αριστερά|\αρχή(στοίχιση)&t=\frac( 1) (x-2); Χ; =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\δεξιά)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Πισινό #6

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Είναι προφανές γιατί $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ σπατάλησε $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0) = 1. $$

Με αυτή τη σειρά, στο έργο του ορίου, είναι δυνατό προς τα δεξιά με τη μη ασημαντότητα του μυαλού $1^\infty$, σαν να ήταν δυνατό ένα άλλο θαυματουργό όριο να βοηθήσει:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\δεξιά)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 ) )(7))\δεξιά)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty ) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^ ( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Ποιο είναι το όριο; Κατανόηση των ορίων

Ο καθένας χωρίς να φταίει εδώ στα βάθη της ψυχής θα καταλάβει ποιο είναι το όριο, αλλά μόνο αυτοί μπορούν να μυρίσουν «μεταξύ λειτουργιών» ή «μεταξύ διαδοχής», ευθύνη για εύκολη καταστροφή.

Μην τσακώνεσαι, δεν ξέρεις πια! Μετά από 3 ώρες ανάγνωσης του κάτω γραπτού, θα γίνεις εγγράμματος.

Είναι σημαντικό μια για πάντα να καταλάβετε τι να σκεφτείτε, αν μιλάτε για οριακές θέσεις, έννοιες, καταστάσεις και βζαγκάλι, αν πηγαίνετε στη ζωή στον όρο όριο.

Οι ηλικιωμένοι σκέφτονται διαισθητικά, αλλά εμείς καταλαβαίνουμε σε λίγα σημεία.

πισινό πρώτα

Ας μαντέψουμε τις σειρές από τα τραγούδια της ομάδας "Chayf": "... μην φέρνεις στην άκρη, μη φέρνεις στην άκρη ...".

πισινό άλλο

Χωρίς αμφιβολία, ξεχάστε τη φράση για την οριακή στάση του αντικειμένου στο διάστημα.

Εσείς οι ίδιοι μπορείτε εύκολα να προσομοιώσετε μια τέτοια κατάσταση με εύχρηστες ομιλίες.

Για παράδειγμα, ελαφρά θεραπεύστε πλαστικό μπολκαι ας її. Ο Βον γύρισε στο κάτω μέρος.

Ale є є τέτοια οριακή θέση pohili, πέρα ​​από τα σύνορα αυτών, είναι απλώς μια πτώση.

Λοιπόν, ξέρω το στρατόπεδο στα σύνορα στον συγκεκριμένο τύπο- Γίνε πιο συγκεκριμένος. Είναι σημαντικό να σκεφτόμαστε.

Είναι δυνατόν να προτείνουμε μια πλούσια εφαρμογή του όρου σύνορο: μεταξύ ανθρώπινων δυνατοτήτων, μεταξύ υλικής αξίας, λοιπόν.

Λοιπόν, με τους παράνομους, είμαστε τόσο ενθουσιασμένοι σήμερα)))

Αλλά ταυτόχρονα, πρέπει να κληθούμε μεταξύ ακολουθιών και μεταξύ συναρτήσεων στα μαθηματικά.

Μεταξύ αριθμητικών ακολουθιών στα μαθηματικά

Όριο (αριθμητική ακολουθία) - ένα από τα κύρια πράγματα που πρέπει να κατανοήσετε μαθηματική ανάλυση. Εκατοντάδες και εκατοντάδες θεωρήματα βασίζονται στην κατανόηση της οριακής μετάβασης, που σηματοδοτούν τη σύγχρονη επιστήμη.

Δείτε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα για ακρίβεια.

Επιτρέπεται να υπάρχει μια ανεξάντλητη ακολουθία αριθμών, το δέρμα της οποίας έχει το μισό μέγεθος της πρόσοψης, ξεκινώντας από ένα: 1, ½, ¼, ...

Άρα ο άξονας μεταξύ της αριθμητικής ακολουθίας (καθώς δεν είναι αλήθεια) είναι, ωστόσο, πιο συγκεκριμένος.

Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας, το δέρμα πλησίασε τη σημασία της ακολουθίας, δεν ήταν κοντά στον αριθμό του τραγουδιού.

Δεν έχει σημασία αν μαντέψετε ότι θα είναι μηδέν.

Σπουδαίος!

Αν μιλάμε για τη βάση του ορίου (οριακή τιμή), δεν σημαίνει ότι οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας έχει μεγαλύτερη αξία από την οριακή τιμή. Vіn μπορεί να pragnet μόνο στο νέο.

Από τον πισινό μας κατάλαβα περισσότερα. Το Skіlki brazіv mi δεν διαίρεσε ένα προς δύο, ποτέ δεν παίρνω το μηδέν. Αν ο αριθμός των δύο είναι μικρότερος από μπροστά, αλλά όχι μηδέν!

Συναρτήσεις διεπαφής στα μαθηματικά

Στη μαθηματική ανάλυση, το πιο τρελό, το πιο σημαντικό είναι η κατανόηση μεταξύ των συναρτήσεων.

Χωρίς να εμβαθύνουμε στη θεωρία, ας πούμε αυτό: η οριακή τιμή μιας συνάρτησης, η οποία μπορεί πάντα να βρίσκεται στην περιοχή της τιμής της ίδιας της συνάρτησης.

Όταν αλλάξει το όρισμα, η συνάρτηση θα δέχεται οποιαδήποτε τιμή ή μπορεί να μην γίνει καθόλου αποδεκτή.

Για παράδειγμα, υπερβολή 1/xδεν έχουν τιμή μηδέν στο ίδιο σημείο, αλλά δεν είναι μηδενική στο σωστό σημείο Χστην ασυγχώρητη.

Αριθμομηχανή μεταξύ

Η μέθοδός μας δεν μπορεί να σας δώσει κάποιες θεωρητικές γνώσεις, για τις οποίες υπάρχουν απρόσωπα λογικά βιβλία.

Ale mi proponuєmo επιταχύνεις ηλεκτρονική αριθμομηχανήμεταξύ, για τη βοήθεια κάποιου μπορείτε να εξισώσετε την απόφασή σας με τη σωστή γνώμη.

Συνολικά, η αριθμομηχανή μοιάζει με μια μερική λύση μεταξύ του κανόνα του zastosovuyuchi πιο συχνά του Lopital με διαφορετική διαφοροποίηση του αριθμητή και του banner χωρίς διακοπή στο σημείο ή στην άλλη πλευρά της συνάρτησης.

Το πρώτο θαυματουργό όριο ονομάζεται τέτοια ισοδυναμία:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση)

Έτσι, εάν το $ \ άλφα \ έως (0) $ μπορεί να είναι $ \ sin \ άλφα \ έως (0) $, τότε φαίνεται ότι το πρώτο θαύμα του ορίου μεταξύ των καμπυλών δεν είναι ευδιάκριτο με τη μορφή $ \ frac (0) (0) $. Φαινομενικά, στον τύπο (1) η αντικατάσταση του μεταβαλλόμενου $ \ άλφα $ κάτω από το πρόσημο του ημιτόνου і στο πανό μπορεί να αναστατωθεί, είτε είναι μια έκφραση, - δύο μυαλά βυθίστηκαν στην άβυσσο:

1. Vyslovlyuvannya κάτω από το σύμβολο του ημιτονοειδούς και στο σημάδι του τυπικού μία ώρα για να πηδήξετε μηδέν, tobto. є ασημαντότητα της μορφής $\frac(0)(0)$.
2. Το Virazi κάτω από το σύμβολο του ημιτονοειδούς και το τυπικό σημάδι τρέχουν.

Συχνά υπάρχουν επίσης ίχνη από το πρώτο θαυματουργό όριο:

\αρχή(εξίσωση) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση) \begin(εξίσωση) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end (εξίσωση)

Στην τρίτη όψη γράφονται έντεκα πισινό. Πισινό Νο. 1 αντιστοιχίες στην απόδειξη των τύπων (2) - (4). Εφαρμόστε τα Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4 και Νο. 5 για να απαντήσετε στην απόφαση με τα σχόλια της έκθεσης. Εφαρμόστε το Νο. 6-10 στην απόφαση πρακτικά χωρίς σχόλια, αλλά η αναφορά της εξήγησης δόθηκε στα μπροστινά άκρα. Όταν κερδίζετε, υπάρχουν ορισμένοι τριγωνομετρικοί τύποι, τους οποίους μπορείτε να γνωρίζετε.

Σέβομαι ότι η παρουσία τριγωνομετρικών συναρτήσεων ταυτόχρονα με τη μη ασημαντότητα του $\frac(0)(0)$ δεν σημαίνει ακόμα την εμμονή του πρώτου θαυματουργού ορίου. Μερικές φορές μπορείτε να ολοκληρώσετε απλούς τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς, για παράδειγμα, ντίβες.

Πισινός #1

Φέρτε τι $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

α) Εφόσον $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$, τότε:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skіlki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, έπειτα:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

β) Θα αντικαταστήσω $ \ άλφα = \ sin (y) $. Αν $\sin(0)=0$, τότε σκεφτείτε $\alpha\to(0)$ ίσως $y\to(0)$. Επιπλέον, іsnuє γύρω στο μηδέν, στο ίδιο $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, σε αυτό:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ολοκληρώθηκε.

γ) Επιτρέψτε μου να αλλάξω $ άλφα = tg (y) $. Εάν $\tg(0)=0$, τότε σκεφτείτε ότι τα $\alpha\to(0)$ και τα $y\to(0)$ είναι ισοδύναμα. Επιπλέον, ξεκινώντας γύρω από το μηδέν, με τέτοιο τρόπο $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, στη συνέχεια, βασιζόμενοι στα αποτελέσματα του σημείου α), μπορούμε:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ολοκληρώθηκε.

Οι Rivnosti α), β), γ) είναι συχνά νικητές κατά σειρά από το πρώτο θαυματουργό όριο.

Πισινό #2

Υπολογίστε μεταξύ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Κλίμακες $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, άρα. Εάν ο αριθμητής και το banner του κλάσματος πάνε αμέσως στο μηδέν, τότε μπορεί να είναι σωστό με τη μη σημασία της μορφής $\frac(0)(0)$, τότε. βικονάνο. Επιπλέον, είναι σαφές ότι το virazi κάτω από το σύμβολο του sine i στο πανό τρέχουν (tobto vikonana i):

Otzhe, προσβεβλημένος μυαλό, μεταφέρθηκε στο στάχυ της πλευράς, vikonan. On tsimu vyplivaє, scho zastosovna formula, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 $.

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.

Πισινό #3

Γνωρίστε $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Κλίμακες $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε $\frac(0 ) (0) $, τότε. βικονάνο. Prote virazi υπό το ζώδιο του ημιτονοειδούς και τυπικού δεν ξεφεύγουν. Εδώ είναι απαραίτητο να δώσετε ένα viraz στον bannerman με την απαραίτητη μορφή. Είναι απαραίτητο για εμάς, εάν ο σημαιοφόρος έχει ένα roztashuvavsya $9x$ - τότε θα γίνετε αληθινοί. Στην πραγματικότητα, δεν λαμβάνουμε πολλαπλασιαστή $9$ από τον bannerman, κάτι που δεν είναι τόσο εύκολο να εισαχθεί - απλώς πολλαπλασιάστε το viraz από το bannerman επί $9. Φυσικά, για να αντισταθμίσετε τον πολλαπλασιασμό των 9$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με 9$ και να διαιρέσετε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Τώρα, στο πανό, που κάτω από το σημάδι του ημιτονοειδούς, σκόρπισαν. Πλύνετε το μυαλό σας για το inter $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonanі. Επίσης, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Και tse σημαίνει ότι:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Πισινό #4

Γνωρίστε $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, τότε μπορούμε σωστά να δούμε ότι $ \frac( 0)(0)$. Ωστόσο, η μορφή του πρώτου θαυματουργού ορίου έχει σπάσει. Το σμίλη, που εκδικείται το $\sin(5x)$, σημαίνει την παρουσία του πανό $5x$. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι ευκολότερο να διαιρέσετε τον αριθμό με $5x$, - και να πολλαπλασιάσετε με $5x$. Επιπλέον, είναι πιθανό ότι η πράξη είναι παρόμοια με αυτή με το πρότυπο, πολλαπλασιάζοντας το και διαιρώντας το $\tg(8x)$ με το $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Εάν η σταθερά $\frac(5)(8)$ είναι γρήγορη στο $x$ i, τότε λαμβάνουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Σεβαστείτε ότι το $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ είναι κάτι παραπάνω από χαρούμενο για την πρώτη χώρα των θαυμάτων. Για $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, ο στάσιμος τύπος είναι:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Πισινό #5

Γνωρίστε $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Skіlki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (μάντεψε ότι $\cos(0)=1$) και $ \ lim_(x\to(0))x^2=0$; Ωστόσο, για να zastosuvat το πρώτο θαυματουργό όριο, σύρετε το συνημίτονο στο βιβλίο αριθμών, μεταβαίνοντας σε ημίτονο (έτσι ώστε να zastosuvat τον τύπο) ή εφαπτομένες (έτσι θα zastosuvat τον τύπο). Το Zrobiti tse μπορεί να είναι τέτοιοι μετασχηματισμοί:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Ας στραφούμε στο όριο:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Το κλάσμα $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ είναι ήδη κοντά σε αυτή τη μορφή, η οποία είναι απαραίτητη για το πρώτο θαυματουργό όριο. Τα trochs διορθώνονται με το κλάσμα $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pіdganyayuchi її pіd pershu θαυματουργό όριο (fuck, scho virazi στο αριθμητικό βιβλίο και pіd ημίτονο λόγω zbіgtisya):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Ας στραφούμε στο όριο:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25,$$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Πισινό #6

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Κλίμακες $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi ίσως ακριβώς από τη μη σημασία του $\frac(0)(0)$. Rozkriёmo її για τη βοήθεια του πρώτου θαυματουργού ορίου. Για το οποίο περνάμε από συνημίτονα σε ημίτονο. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, τότε:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Μετάβαση στην εργασία μεταξύ στους κόλπους, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\αριστερά(\ ) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_( x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Πισινό #7

Υπολογίστε μεταξύ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ για $\alpha\neq\ beta $.

Λεπτομερείς εξηγήσεις δόθηκαν νωρίτερα, εδώ είναι απλά σημαντικό ότι το $\frac(0)(0)$ είναι και πάλι ασήμαντο. Ας περάσουμε από συνημίτονα σε ημίτονο, νικηφόρος τύπος

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Εμφανίζεται ο τύπος vicorist, είναι απαραίτητο:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta ) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac ) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left( x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0 )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ άλφα^2) (2) $.

Πισινό #8

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (μάντεψε $\sin(0)=\tg(0)=0$) και $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μη σημασία της μορφής $\frac(0)(0)$ στα δεξιά. Στο Rozkriemo її αρέσει αυτό:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Πισινό #9

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Κλίμακες $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, τότε $ \ frac (0) (0) $ δεν υπάρχει. Πριν από αυτό, καθώς πηγαίνετε στο άνοιγμα її, αλλάξτε χειροκίνητα την αλλαγή σε μια τέτοια κατάταξη, έτσι ώστε η νέα αλλαγή να μηδενιστεί (αποκαλύψτε ότι οι τύποι αλλάζουν $\alpha\σε 0$). Είναι πιο εύκολο να εισαγάγετε την αλλαγή $t=x-3$. Ωστόσο, για τη διευκόλυνση των μακρινών μετασχηματισμών (μπορείτε πάντα να θυμάστε την ώρα της απόφασης παρακάτω), μπορείτε να αλλάξετε αυτήν την αλλαγή: $t=\frac(x-3)(2)$. Θα ορίσω ότι σας προσέβαλα αντικαθιστώντας το zastosovnі στη συγκεκριμένη περίπτωση, απλώς για να επιτρέψω σε έναν φίλο να τον αντικαταστήσει λιγότερο με κλάσματα. $x\to(3)$ και μετά $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\αριστερά|\frac (0)(0)\δεξιά| =\αριστερά|\αρχή(ευθυγραμμισμένη)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(στοιχισμένη)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ προς(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Πισινό #10

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2)\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Ίσως μπορώ να ανανεώσω από τα δεξιά $\frac(0)(0)$. Πριν από αυτό, καθώς πηγαίνετε στο άνοιγμα її, αλλάξτε χειροκίνητα την αλλαγή σε μια τέτοια κατάταξη, έτσι ώστε η νέα αλλαγή να μηδενιστεί (σεβαστείτε ότι οι τύποι αλλάζουν $\alpha\to(0)$). Ο ευκολότερος τρόπος είναι να εισάγετε την αλλαγή $t=\frac(\pi)(2)-x$. $x\to\frac(\pi)(2)$ και μετά $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\αριστερά|\αρχή(στοιχισμένη)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(στοιχισμένη)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) ( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to ( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac(1)(2)$.

Απόθεμα #11

Βρείτε μεταξύ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2)\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Δεν θα μπορέσουμε να ξεπεράσουμε το πρώτο θαυματουργό όριο σε αυτό το vipadk. Για να δώσουμε σεβασμό: όπως στο πρώτο, έτσι και στο άλλο όριο υπάρχουν μόνο τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτού του αριθμού. Τις περισσότερες φορές σε τέτοιους γλουτούς μπορεί κανείς να πει στο prostit viraz, roztashovane κάτω από το σημάδι του ορίου. Με τη βοήθεια μιας εικασθείσας συγχώρεσης, αυτή η ταχύτητα του κακού spіvmulnіnіnіnіnіnіnіnіnіє znikає. Έχω μόνο μια μέθοδο: να δείξω ότι η παρουσία τριγωνομετρικών συναρτήσεων κάτω από το πρόσημο του ορίου δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το πρώτο θαυματουργό όριο έχει κολλήσει.

Skіlki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (μάντεψε $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (μάντεψε ότι $\cos\frac(\pi)(2)=0$), τότε μπορούμε από ασημαντότητα $ frac (0) (0) $. Ωστόσο, το tse zovsіm δεν σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να κερδίσουμε το πρώτο θαυματουργό όριο. Για να αποκαλύψετε την ασημαντότητα, πείτε την αλήθεια για το $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Ανάλογη μέθοδος λύσης Reshnik Demidovich (Νο. 475). Όσον αφορά το άλλο όριο, αυτά όπως στα μπροστινά άκρα των οποίων χώρισα, μπορεί να μην δούμε $\frac(0)(0)$. Γιατί κατηγορεί; Είναι επειδή $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Vikoristovuєmo tsі σημαίνει με τη μέθοδο μετασχηματισμού του virazіv στον αριθμό και στο bannerman. Το meta των ενεργειών μας: γράψτε το άθροισμα στο βιβλίο αριθμών και το πανό μπροστά από τη δημιουργία. Πριν από την ομιλία, συχνά στα όρια παρόμοιου είδους, η αντικατάσταση της αλλαγής γελούσε, με ένα τέτοιο τριαντάφυλλο, έτσι ώστε η νέα αλλαγή να ισιώνεται στο μηδέν (διαιρ., για παράδειγμα, πισινό Νο. 9 ή Νο. 10 στην άλλη πλευρά). Ωστόσο, αυτό το πισινό δεν έχει νόημα να αντικαταστήσει τον αισθητήρα, καθώς το να θέλεις να αλλάξεις το $t=x-\frac(2\pi)(3)$ για το bazhanya είναι αδέξιο.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\ sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+ \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi )(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\\ =\lim_(x\ to\frac (2\pi)(3)\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi) (3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3)) (2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\ frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\ pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\ cdot\αριστερά( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Yak bachite, δεν είχαμε την ευκαιρία να ζήσουμε το θαυματουργό όριο του Persh. Zvichayno, για το bazhannya tse μπορείς να ληστέψεις (σημείωση διάσπασης παρακάτω), αλλά δεν μπορείς να το καταναλώσεις.

Ποια θα είναι η λύση στο πρώτο θαύμα του θαυματουργού ορίου; εμφάνιση απόκρυψη

Με τη νίκη του πρώτου θαυματουργού ορίου, είναι απαραίτητο:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi ) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) δεξιά ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Λύση μεταξύ λειτουργιών online. Γνωρίστε την οριακή τιμή της συνάρτησης και τη συναρτησιακή ακολουθία στο σημείο, υπολογίστε διαχωριστική γραμμήτην τιμή της συνάρτησης στην ασυνέπεια. μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή μιας σειράς αριθμών και πολλά άλλα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική μας υπηρεσία. Μας επιτρέπεται να γνωρίζουμε τα όρια των λειτουργιών online γρήγορα και χωρίς έλεος. Μπαίνεις εσύ ο ίδιος αλλαγή λειτουργιώνκαι μεταξύ, στο σημείο να είμαστε ρεαλιστές, η υπηρεσία μας θα πραγματοποιήσει όλους τους υπολογισμούς για εσάς, ελπίζουμε ότι αυτή η απλή δήλωση. Και για διαδικτυακή γνώσημπορείτε να μπείτε γιακ αριθμητική σειρά, και αναλυτικές συναρτήσεις, οι οποίες μπορούν να αντικαταστήσουν τις σταθερές με κυριολεκτικό τρόπο. Με αυτόν τον τρόπο, η διαλειτουργικότητα του mistiming και των σταθερών βρέθηκαν ως σταθερά επιχειρήματα στο viraz. Η υπηρεσία μας παραβιάζει είτε είναι αναδιπλούμενη είτε όχι. στο διαδίκτυο, αρκεί να υποδείξετε τη συνάρτηση και το σημείο στο οποίο είναι απαραίτητο να υπολογιστεί οριακή τιμή της συνάρτησης. Virakhovuyuchi interi online, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικές μεθόδους και τους κανόνες του virishhenya τους, με τους οποίους αφαιρείται το αποτέλεσμα λύσεις μεταξύ onlineστο www.site, που θα οδηγήσει σε μια επιτυχημένη vikonannya zavdannya - δεν θα ξεχάσετε ποτέ τη συγγνώμη και τα τυπογραφικά λάθη σας. Διαφορετικά, μπορείτε να μας εμπιστευτείτε πραγματικά και να κερδίσετε το αποτέλεσμά μας από το ρομπότ σας, χωρίς να ξοδεύετε πολύ χρόνο για ανεξάρτητους υπολογισμούς διαλειτουργιών. Επιτρέπουμε την εισαγωγή τέτοιων οριακών τιμών, ως ασυνέπεια. Είναι απαραίτητο να εισαχθεί ο τελικός όρος της αριθμητικής ακολουθίας www.siteυπολογίστε την τιμή interi onlineσυν ή πλην ασυνέπεια.

Ένα από τα κύρια σημεία κατανόησης της μαθηματικής ανάλυσης είναι όριο λειτουργίαςі μεταξύ των ακολουθιώνστο σημείο της ασυνέπειας, είναι σημαντικό να θυμάστε σωστά να γράφετε μεταξύ. Με την υπηρεσία μας, δεν υπάρχει απόθεμα καθημερινών δυσκολιών. Γίνεται μια απόφαση στο διαδίκτυοτέντωμα για λίγα δευτερόλεπτα, ακριβές και αληθινό. Η ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης ξεκινά με διέλευση των συνόρων, μεταξύ vikoristovuyutsya πρακτικά σε όλους τους κλάδους ανώτερα μαθηματικάΓια όρια λύσεων στο διαδίκτυο Yakim, matematikam.ru.