Zavdannya, какво разбираш интегрална жица.

Допустимо е функцията на елементите да бъде зададена и запишете сумата

както се нарича интеграл.

Въпрос: Под интеграла (o.i.) като функция и като избор

Обозначаване:

Числата се наричат ​​интегрирани (според Ríman) на .

T. isnuvannya: За вашия ум, шо.

Vіdpovіdno до назначаването на o.i. важно е, че интегралът може да бъде депозиран във формата

Vіdpovіdno до cl.17.1.1 и 17.1.2 и o. записваме формулите за площта на криволинейния трапец: , роботизирани сили

на:

Разбиране на субинтегралните, интегралните суми.

Основата на интеграла на underwire, така че междуинтегралната сума е очевидна за даденото, така че границата дава обем на цилиндрично тяло. Въпреки това, tse mirkuvannya не е suvorim. В по-високите курсове на закаляване е необходимо да се изведе и извика теоремата на базата на субвертикалния интеграл.

Теорема isnuvannya. Защото дали е функция, без прекъсване в затворена област, където мога да измеря a, има подинтеграл, така че има междуинтегрална сума с неограничено нарастване на броя на малките майданчици за ума, че кожата от тях се изтегля на петънце. Граница Tsya не може да бъде депозирана в начина на разбиване на региона, но от страна, а не в избора на точки.

Nadalí mi vzglyaditimemo без функция, без прекъсване в сферата на интеграцията.

От теоремата за основата можем, например, да разделим областта на малки правоъгълници с прави страни, успоредни на координатните оси (фиг. 230). Когато tsimu. Vibirayuchi potim на кожата малък ректум по точки, които можем да напишем, zgіdno z деноминации на субвертикалния интеграл

За да се обоснове, че основният интеграл може да бъде получен, като между сумата на ума, името на знака на vicorist също е знак на

Вираз се нарича елемент от квадрат в декартови координати и допълнителен квадрат от правоъгълник със страни, успоредни на координатните оси.

Важно е, че когато интегралната торба е сгъната, майданите, които граничат с междурегиона, не образуват правоъгълници. Въпреки това може да се докаже, че помилването за замяна на такива майданчици с квадрати между квадрати ще бъде намалено до нула.

Степента на подчинените интеграли

Доминирането на подинтеграла (този yogo visnovok) е аналогично на доминирането на еднократния пеещ интеграл.

1°. Адитивност. Каква е функцията f(х, г) интегрирани в региона ди като площ дза помощна крива Жнулевата зона е разделена на две връзки и не заглушава високите вътрешни точки на региона д 1 та д 2 , след това функцията f(х, г) интегрирани в участъците на кожата д 1 та д 2, освен това

2°. Линейна мощност . Какви функции f(х, г) че ж(х, г) интеграция в района д, а α і β - било то реч числа, тогава функцията [ α · f(х, г) + β · ж(х, г)] също е интегриран в региона д, освен това

3°. Какви функции f(х, г) че ж(х, г) интеграция в района д, тогава допълнителните функции на тези функции са интегрирани в д.

4°. Какви функции f(х, г) че ж(х, г) настъпателна интеграция в региона ди навсякъде в моята галерия f(х, г) ≤ ж(х, г), тогава

5°. Каква е функцията f(х, г) интегрирани в региона д, тези функции | f(х, г)| интегрирани в региона д, освен това

(Разбира се, с интеграция | f(х, г)| в дне показва интеграция f(х, г) в д.)

6°. Теорема за средната стойност. Каква обидна функция f(х, г) че ж(х, г) интеграция в района д, функция ж(х, г) е невидим (не е положителен) навсякъде в тази галерия, Мі м- точни горни и долни граници на функцията f(х, г) В зоната д, тогава има число μ което задоволява нервността м ≤ μ ≤ Ми така че формулата да е валидна

Zocrema, като функция f(х, г) е без прекъсване д, и областта д зв'язкова, значи в тази галерия има такава точка ( ξ , η ), Какво μ = f(ξ , η ), а формула (11) изглежда така

ДВИЖЕЩИ СЕ ИНТЕГРАЛИ

лекция 1

Устойчиви интеграли.Целта на подводния интеграл е силата. Повтарящи се интеграции. Връзки на долни интеграли към повтарящи се. Поставяне между интеграция. Изчисляване на основните интеграли на декартовата координатна система.

Подинтегралът е задълбочаване на разбирането на единичния интеграл в различни функции на две променливи. По този начин обратното на интегрирането ще присъства като плоска фигура.

Хайде д- Деяка е затворена, оградена зона и f(x,y) - достатъчна функция, отбелязана е от тази галерия. Да приемем, че между регионите дсе сумират от последния брой криви, задачи от връстнициум г=f(х) или х=g( г), де f(х) че ж(г) са непрекъснати функции.

Район Розибьемо дприличен ранг на нчаст. ■ площ аз-ї delyanki се означава със символа D s i. На кожата дилянци, доста вайб е точка Пи,и го пуснете в be-yak_y фиксиране на декартовата система maє координати ( x i,y i). Складемо интегрална сумаза функцията f(x,y) по регион Д,за която стойността на функцията е известна във всички точки Пи, умножавайки ги по площта на двойните парцели Ds азИ предполагаме, че всички резултати са отнети:

Nazvemo диам(Ж) области Жнай-голямото разстояние между граничните точки на района.

Интеграл функции f(x,y) в областта D се нарича граница, до каква степен последователността от интегрални суми (1.1) с неограничено увеличаване на броя на прекъсванията n (при кого). Запишете така

Струва си да се отбележи, че очевидно интегралната сума за дадена функция и дадена област на интеграция трябва да попречи на разширяването на областта дизберете точка Пи. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse означава, че между vіdpovіdny іntegrаlny суми не е възможно да лежи между назначените chinnikіv. По ред(или, както изглежда, обща функция f(x,y) е интегрирана в областта D), достатъчно е интегралната функция на bool непрекъснатопри интегрирането на галерията със задачи.

Хайде функция f(x,y) интегрирани в региона д. Парчетата между кумулативните суми за такива функции не могат да се натрупват чрез метода на разделяне на зоната на интеграция, разделянето може да се извърши с помощта на вертикални и хоризонтални линии. Тоди повече бизнесмени от региона д matime прав нарязан изглеждащ, областта на такъв dorivnyu D s i=D x iд y i. Следователно диференциалът на площта може да бъде написан като ds=dxdy. Отже, в декартовата координатна система под интегралитеможете да запишете при вида

уважение. Подобно на интегралната функция f(x,y)º1, тогава под-интегралът на областта на региона на интеграция е:

Важно е, че подчертаните интеграции могат да бъдат с една и съща мощност, както и самостоятелно интегрирани. Делата им са значими.

Степен на подчинените интеграли.

1 0 .Линейна мощност. Интеграл от сумата на функциите на другата сума от интегралите:

и постоянният множител може да бъде обвинен за знака на интеграла:

2 0 .Адитивна мощност. Тъй като областта на интегриране D е разделена на две части, тогава субинтегралът е по-пълен от сумата на интеграциите върху кожната част:

3 0 .Средната теорема. Каква е функциятае( x,y)е непрекъсната в област D, тогава има такава точка в галерията(x, h) , Какво:

Допълнително след хранене: как се изчисляват субинтегралите? Його може да се вирахувати приблизително, с този метод се разбива ефективни методисгънати суми от кумулативни суми, които след това се изчисляват числено с допълнителен EOM. С аналитично изчисляване на субинтегралите те се редуцират до два единични интеграла.

Окачени интеграли за чайници

Този урок представя страхотната тема за множествените интеграли, от която учениците ще изведат друг курс. Премести това чрез тройни интегралиможете да залякате тапицера не по-високо, по-ниско диференциални равникъм това vídrazu, нека да разгледаме храната: добре, какво е това? Zvichayno, deakim ще бъде последователен и, честно казано, малко клеветих със статистика за именуване - за да научите как да virishuvati podvіynі інтеграли, е необходима майка deyakі новак. Първо, ако се занимавате с интеграции, тогава очевидно ще трябва да се интегрирате. Логика. Otzhe, за разработването на приложения, трябва да знаете незначителни интегралитова се брои линейни интегралигорещ би на средно ниво. Добра новост е във факта, че чрез мощни сили те са се интегрирали в по-големи vipadkiv, за да го направят просто.

Кой се затруднява? Разбрах вдясно. Тим, който пи много бира през първите семестри. Нормалните студенти обаче могат да бъдат претоварени - на сайта има всички материали за попълване на пропуски или неразбираеми. Просто се случва да прекарате повече от час. Possilannya на тези, yakí slid vyvchiti или повторете, dodavatimutsya pіd час statti.

Във въвеждащия урок, стъпка по стъпка, ще бъдат обсъдени следните основни моменти:

– Разбиране на подводния интеграл

– Област на интеграция. Редът за заобикаляне на региона на интеграция. Как да променя реда на байпас?

След това, тъй като разбирате цяла Азия ДОБРЕ, можете да отидете на статията Как да изчислим подценения интеграл? Нанесете разтвор. Освен това има по-широка задача на изчисляване на текущия интеграл в полярни координатитази типична добавка за значение за центъра на тежестта на плоска описана фигура.

Да започнем с нахалната храна - какво е това?

Разбиране на интеграла на подводния ток

Подвариантният интеграл на невежия човек се записва по следния начин:

Нека да разгледаме термините и определенията:
- Иконата на вертикалния интеграл;
- Зона на интеграция (плоска фигура);
- Интегрална функция на две променливи, често е проста;
- Значки на диференциали.

Какво означава да се изчисли подценения интеграл?

Изчислете основния интеграл - това означава знайте KILO. Най-простото число:

І vkray bazhano знам правилно yogo =)

Резултатът (числото) може да бъде отрицателен. И лесно може да се въведе нула. Специално zupinivsya за даден момент, oskolki chimalo студенти бяха неспокойни, ако излезете "нещо друго прекрасно."

Багато, който помни това "превъзходно" стойностен интеграл- Теж номер. Тук просто е така. Интегралният интеграл има isnuê i vіdminny геометричен змист, Але за това pіznіshe, usumu svіy час.

Как да изчислим подценения интеграл?

За да се изчисли основният интеграл, е необходимо да се извика до следното повтаряме интегралите. Zrobiti tse е възможно два начина. Най-голямото разширение на офанзивния метод:

Заместник снабдяването с храна е необходимо да се създаде между интеграцията. Освен това хранителните признаци на външния интеграл са сами - це числа, а подпроводниците на хранителните признаци на вътрешния интеграл са функции odnієї zminnoї , scho да депозирате под формата на "iks".

Вземете звездите между интеграцията?Вонята е да лежи във v_d tsgogo, като за ума на главата на дадения район. Областта е прекрасна плоска фигура, с която многократно сте се слепвали, например, когато номерирани области на плоски фигуриили изчисляване на обема на обвиването на тялото. Nezabar знаете как правилно да поставите границите на интеграцията.

След това, когато се реши преходът към повторните интеграли, се извършва следното изчисление без посредник: първо се взема вътрешният интеграл, а след това външният. Едно след друго. Име на Zvídsi - итеративни интеграли.

Грубо казано, задачата е да се преброи до изчислението на два пеещи интеграла. Как всичко не е толкова кохерентно и страшно и как се натъкнахте на „единичния“ пеещ интеграл, какво ви трябва, за да бъдете отделени от два интеграла ?!

Друг начин за преминаване към итерирани интеграли е по-прост:

Какво се промени? Редът на интегриране се промени: сега вътрешният интеграл се взема за "ix", а външният - за "iplayer". Между интеграцията, отбелязана със звезди - Бъди различен!Една по една звездите на външния интеграл - це числа, а подлежащите звезди на вътрешния интеграл са функции за обръщане, scho да лъже под формата на "igrok".

Кой би ми не е избрал начина на преход към многократни интеграции, остатъчен звук на обов'язково viide самото това:

Моля те, помнете важността на властта, тъй като е възможно да се използва, zokrema, за повторна проверка на решението.

Алгоритъм за решаване на подинтеграла:

Систематизираме информацията: в какъв ред трябва да разгледате задачата?

1) Необходимо е да се висконира стола. Без фотьойл задачата е да не се счупи. По-точно, няма да спечелите, но ще бъде подобно на игра в чекове. На фотьойла изобразете зоната като плоска фигура. През повечето време фигурата е проста и заобиколена от линии, параболи, хиперболи и др. Компетентен, че shvidku tekhníku pobudoví koslene може да бъде усвоен в уроците Графики и основни степени на елементарни функции, геометрична трансформация на графики. Otzhe, първият етап е vikonati на фотьойла.

2) Настройте между интеграциите и отидете на повтарящи се интеграции.

3) Вземете вътрешния интеграл

4) Вземете текущия интеграл и извадете разликата (числото).

Област на интеграция. Редът за заобикаляне на региона на интеграция.
Как да променя реда на байпас?

В този параграф можем да видим най-важната храна - как да преминем към повторни интеграции и правилно да поставим между интеграциите. Както беше казано повече, можете да го направите по следния начин:

Харесва ми:

На практика усвояването на най-неудобните задачи води до най-много трудности и учениците често се губят в процеса на интегриране. Нека да разгледаме конкретен пример:

дупе 1

Решение:Нека визуализираме зоната на интеграция на фотьойла:

Zvichayna плоска фигура и нищо особено.

Сега ще ви видя инструмент за грижа за кожата - копачка, лазерна показалка. Задачата е да сканирате точката на кожата на защрихованата област:

Проминирайте лазера, за да премине зоната на интеграция строго надолу, тогава трябва да завършите поръчката си нисъкплоски фигури. Проминете, за да влезете в региона през цялата абциса, като ви питат равни и да излезете от региона през парабола (червена стрелка). За да просветите целия регион, трябва рязко ядосан надясноначертайте vkazіvka vzdovzh osі víd 0 до 1 (зелена стрелка).

Отже, какво стана:
"Ігрек" се променя от 0 на ;
"ix" се променя от 0 на 1.

За задачите се казва, че горното е написано в случай на несъответствия:

Назовете данните за несъответствие заобикаляйки галерията на интеграциятаили просто ред на интегриране

След като сортираме реда на байпаса, можем да преминем от интеграла на подводния ток към повторените интеграли:

Половината от задачата е изпълнена. Сега е необходимо да се премине към итерирани интеграли по различен начин. За кого трябва да знаете основните функции. Който е запознат с друг параграф от урока Обемна обвивка за тялотака ще е по-лесно. Разглеждане на функциите, които определят областта . Още по-просто е, след това отидете на функциите за връщане, което означава да кажете "iksi" чрез "igreeks". Единична функция, де є аз "iks" и "iplayer", є.

Yakscho, тогава, освен това:
функцията за обръщане задава дясната страна на параболата;
Функцията за обръщане задава левия ъгъл на параболата.

Не е необичайно да обвиняваме sumniv, оста, например, функцията за подписване отляво или отдясно на параболата? Обобщаването на разликите е още по-просто: вземете например параболична точка (от дясната игла) и задайте координатите в права линия, например същата линия:

Правилното равенство се премахва, оттук нататък функцията се приписва на дясната страна на параболата, но не и на лявата.

Повече от това tsyu реверберация(мисли за черно) прекарайте вечертаслед това, тъй като сте преминали към функциите за връщане. Няма да взема нищо назаем за час, но ще изпея прошка на брега!

Регионът на интеграция се заобикаля по друг начин:

Сега можем да изрежем лазерната показалка леворучпреглед на интеграцията на галерията. Промин лазерна зона рязко ядосан надясно. При към този конкретен типвлезте в региона през параболичната игла и излезте от региона през права линия, както е зададено от равните (червена стрелка). За сканиране на цялата област с лазер е необходимо да се извърши въздовжна ос строго надолувъведете 0 до 1 (зелена стрелка).

По този начин:
"iks" се променя от до 1;
"Ігрек" се променя от 0 на 1.

Процедурата за заобикаляне на зоната до записа като нередности:

След това преходът към повторни интеграции е както следва:

Vidpovidможе да се напише така:

Още веднъж ще предположа, че остатъчният резултат не може да бъде изчислен в зависимост от избрания ред на заобикаляне на регионите (за това се установява равенство). Но все още е далеч от крайния резултат, сега нашата задача вече не е да поставим правилно интеринтеграцията.

дупе 2

Подинтеграл на Дания с региона на интеграция. Отидете на повтарящи се интеграции и разширявайте между интеграциите по два начина.

Това е пример за независимо решение. Компетентно събудете стола вземете права линия по отклонението(звезди и къде да светят с лазерна показалка). Zrazok фин дизайн като урок.

Повечето типични задачи trochs се свиват в различна формула:

дупе 3

Индуцирайте зоната на интеграция

Решение:За ума беше даден първият начин за заобикаляне на региона. Решенията започват отново от стола. Тук регионът не лежи на сребърен поднос с blaky oblyamіvkoy, но за да ви насърчи да не създавате специални трудности. На гърба на ръката "knіmaєmo" функции от интеграция: , . Функцията произволно задава права линия, но какво задава функцията? Нека да я променим troch:
- близо до центъра на кочана на координати с радиус 2. Функцията w задава горната линия (не забравяйте, че ако я обобщите, винаги можете да зададете точка, която лежи на горната или долната линия).

Чудим се между външния интеграл: "ix" се променя от -2 на 0.

Кресла Vikonaemo:

За да бъда точен, аз посочих със стрелки първия начин за заобикаляне на региона, който от своя страна казва на итеративните интеграли на ума: .

Сега трябва да промените реда на заобикаляне на региона, за който ще преминем към функциите за завъртане (можем да видим „iksi“ през „ігреки“):

Неотдавна пренаредихме функцията до нивото на залога, да кажем „iks“:
В резултат на това са необходими две основни функции:
- Подписване на дясното пивколо;
- Значително левово пивколо.
Знам същото, сякаш обвинявам sumniv, вземете точка на залог и кажете, де ляво, де дясно.

Променете реда на заобикаляне на зоната:

Згидно с друг обход, лазерна проминка влизамкъм региона леворучпрез лъва pivkolo i върви с дясната ръкапрез права линия (червена стрелка). В същия час лазерно въвежданесе извършва по оста на ординатите нагоревъведете 0 до 2 (зелена стрелка).

В този ред редът за заобикаляне на зоната:

Zagal може да се напише съвет:

дупе 4

Това е пример за независимо решение. Задникът вече не е сгъваем, но уважавайте процедурата за заобикаляне на няколко задачи по различен начин! Защо да работите в такива случаи? Първо, обвинявайки трудностите на столовете, парчетата на стола карат графика на хеморагичната функция изведнъж да внушавам мен самия. Препоръчвам следващата поръчка dіy: първо, ние вземаме „основната“ функция (казваме „gravets“ чрез „iks“). Ние ще ви дадем график за „екстремната“ функция (винаги можете да се отдадете, ако искате крапково). По подобен начин можем да използваме по-голяма проста линейна функция: можем да „погребаме“ и да проведем права линия.

Ние анализираме пропуските между интеграцията: влизаме в средния регион през i и излизаме през . Когато направите всичко правилно, можете да преминете към „гръцката“ гладкост от -1 до 0. Тъй като сте посочили зоната на интеграция на стола, променете реда на заобикаляне на склада с определени трудности. Zrazok проектирано решение за урок.

Подобен задник ще сортирам малко по-късно.

Navіt yakscho разбрахте всичко добре, бъдете любезни, не бързайте, продължете направо до изчисляването на текущия интеграл. Редът на обхода е богат и е важно да вземете ръцете си върху някои от главите, това е повече, още не съм разгледал всичко!

В предните задници, зоната на интеграция се виждаше като цяло в 1-ва, 2-ра, 3-та и 4-та координатна четвърт. Защо да чакаме така? Не, очевидно.

дупе 5

Променете реда на интегриране

Решение:Това е като стол, с който графиката на функцията всъщност е кубична парабола, просто няма да „лежи отстрани“:

Редът на заобикаляне на региона, който инструктира итерираните интеграли , отбелязани със стрелки. Трябва да се отбележи, че в хода на vikonnanny на стола е боядисана още една очертана фигура (леворуч в оста на ординатите). Затова трябва да уважаваме интеграцията на региона - за региона можете да простите грешната цифра.

Нека да преминем към функциите за връщане:
- имаме нужда от дясната глава на парабола;

Нека променим реда на заобикаляне на региона. Както си спомняте, при друг начин за заобикаляне на зоната е необходимо да сканирате зоната с лазерен превключвател вдясно. Ale тук posterіgaєtsya cíkava rích:

Как да поправите в подобни ситуации? В такива случаи разделете зоната на интегриране на две части и за частта на кожата добавете повторното си интегриране:

1) Ако „гравитацията“ се променя от -1 на 0 (зелена стрелка), тогава, моля, влезте в региона през кубична парабола и излезте през права линия (червена стрелка). Следователно редът за заобикаляне на района ще бъде следният:

2) Ако „гравитацията“ се промени от 0 на 1 (кафява стрелка), тогава незабавно влезте в зоната през параболичната игла и излезте през тази много права линия (червена стрелка). Тогава редът за заобикаляне на зоната ще бъде както следва:

Повторих повторени интеграли:

Пеенето и множеството интеграли имат определена сила адитивносттака че да могат да бъдат сгънати, които по даден начин и следващи да растат:
- И оста и нашата разходка из района по различен начин, като се погледне сумата от два интеграла.

Vidpovidнапиши така:

Какъв ред на заобикаляне е най-очевиден? Звичайно тази, която буква е дадена в ума на задача - два пъти по-малко ще броиш!

дупе 6

Променете реда на интегриране

Това е пример за независимо решение. В новия има пивкол, чийто анализ беше прегледан в Приложение 3. Решението беше съставено като урок.

И веднага, obіtsyane zavdannya, ако списък със задачи е друг начин за заобикаляне на региона:

дупе 7

Променете реда на интегриране

Решение:Ако процедурата за заобикаляне на задачи по различен начин, преди стола за събуждане, е необходимо да отидете на „превъзходните“ функции. При кого задника има двама пациенти за трансформация: i.
С линейна функция всичко е просто:

Графиката на функцията е парабола с претенция за каноничност.

Virazimo "iplayer" през "ix":

Взимаме два щифта на параболата: i. Yaku от тях vibrati? Най-простото нещо е да видите виконата на креслото. Ако сте забравили материала на аналитичната геометрия за парабола, тогава цялата една обида може да бъде направена на krapkovo:

Още веднъж уважавам, че на този фотьойл имаше пръски от плоски фигури и е важно да изберете фигура! При избора на фигури, които се шегуват, те ще ви помогнат между интегрирането на другите интеграли:
, в който момент не забравяйте какво задава функцията за обръщане всичкопарабола.

Стрелките, които показват отклонението на фигурите, точно показват границите на интегрирането на интеграциите .

Dosit shvidko се научите да извършвате такъв анализ в ума си и да знаете необходимостта от област на интеграция.

Ако фигурата бъде намерена, последната част от решението е още по-проста, променяме реда на заобикаляне на областта:

Вече са известни функциите за връщане и необходимата процедура за заобикаляне на зоната:

Внушение:

Последният пример на параграф за самостоятелно развитие:

дупе 8

Променете реда на интегриране

Външно решението е, че е подобно на урока.

Нека започнем, като разгледаме процеса на изчисляване на подвариантния интеграл и го запознаем с геометричната сложност.

Подинтегралът числено превъзхожда площта на плоска фигура (региони на интеграция). Най-простата форма на подинтеграла, ако функцията на две променливи е: .

Можем да погледнем задната част на главата при позорния поглед. В същото време се движите, всичко е наистина просто! Изчислете площта на плоски фигури, заобиколен от линии. За пеенето е важно да имате vídrízku. Площите на фигурите са числено по-напреднали:

Ние изобразяваме зоната на фотьойла:

Изберете първия начин за заобикаляне на района:

По този начин:

I веднъж важен технически трик: могат да се въвеждат повтарящи се интеграли. Първо вътрешният интеграл, след това външният интеграл. Горещо препоръчвам датския начин за тези чайници.

1) Изчислете вътрешния интеграл, с който се извършва интегриране за промяната "гравет":

Интеграл без значимостето най-простата и по-победоносна баналната формула на Нютон-Лайбниц със същата разлика, че между интеграциите не са числа, а функции. Задната част на главата беше поставена в горната граница на "igrok" (първоначалната функция), след това в долната граница

2) Резултатът, изваден от първата точка, трябва да се добави към текущия интеграл:

По-голям компактен запис на цялото решение изглежда така:

Формула на Отриман - това е точно работеща формула за изчисляване на площта на плоска фигура с помощта на "екстремния" пеещ интеграл! Чудете се на урока Изчисляване на площта с помощта на единичния интеграл, Ето го на кожата croci!

Тобто, задачата за изчисляване на площта за помощта на интеграла на телта на малко хора им пуказа помощта на пеещия интеграл!Всъщност е едно и също!

Ясно е, че не е виновен за никакви трудности! Ще разгледам малките дупета, парченцата от вас, всъщност повече от веднъж залепени заедно с тези задачи.

дупе 9

За помощта на интеграла на телта изчислете площта на плоската фигура, оградена с линии,

Решение:Ние изобразяваме зоната на фотьойла:

Площта на фигурата се изчислява с помощта на подвертикалния интеграл по формулата:

Изберете следващата поръчка за заобикаляне на зоната:

Тук и по-нататък не се спирам на това как да огледам региона, фрагментите в първия параграф бяха изведени още по-ясно.

По този начин:

Както вече посочих, за гражданите е по-лесно да изчисляват по-бързо повтарящите се интеграли, които ще добавя към метода:

1) Ред зад гърба на формулите на Нютон-Лайбниц се анализират с вътрешния интеграл:

2) Резултатът, като се извади първия крок, се замества със съществуващия интеграл:

Точка 2 - всъщност отблъскване на площта на плоската позиция с помощта на пеещия интеграл.

Внушение:

Оста е толкова лоша и наивна завданя.

Cicavi дупе за независима череша:

дупе 10

За помощта на интеграла на телта изчислете площта на плоската фигура, оградена с линии,

Поглед към крайно дизайнерско решение за урок.

В Prikladakh 9-10 е значително по-важно да спечелите първия начин за заобикаляне на региона, пийте повече четене, преди реч можете да промените реда на заобикаляне и да изчислите площта по друг начин. Ако не простите, тогава, естествено, ще видите собствената си значителна област.

1.1 Определяне на вертикалния интеграл

1.2 Доминиране на субинтеграла

Доминирането на подинтеграла (този yogo visnovok) е аналогично на доминирането на еднократния пеещ интеграл.

1°. Адитивност. Ако функцията f(x, y) е интегрирана в областта D и ако област D отвъд допълнителната крива Г, нулевата област е разделена на две връзки и не може да има съединителни вътрешни точки на област D 1 и D 2, тогава освен това функцията f(x, y) е интегрирана в кожата от области D 1 и D 2

2°. Линейна мощност. Как функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в пространството D, а? аз? - било то реч числа, тогава функцията [? f (x, y) + ? g (x, y)] също е интегриран в домейна D, освен това

3°. Тъй като функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в областта D, тогава допълнителните функции на тези функции са интегрируеми в D.

4°. Как могат функциите f(x, y) и g(x, y) да бъдат интегрирани в областта D и да пресичат f(x, y)? g(x, y), тогава

5°. Тъй като функцията f(x, y) е интегрирана от областта D, то функцията |f(x, y)| интегриран в регион D, освен това

(Очевидно интегрирането на | f (x, y) | D не показва интегрирането на f (x, y) в D.)

6°. Теорема за средната стойност. Въпреки че офанзивните функции f(x, y) и g(x, y) са интегрирани в домейна D, функцията g(x, y) е невидима (неположителна) навсякъде в този регион, M и m са точните горни и долни граници на функцията f( x, y) в областта D, тогава има число?, което удовлетворява неравномерността на m? ? ? M i, така че формулата да е валидна

Така че, тъй като функцията f(x, y) е непрекъсната D и областта D е свързана, тогава в тази област има такава точка (?, ?), Какво? = f(?, ?) и формулата изглежда така

7°. Важна геометрична мощност. жилищна площ Г

Нека тялото T (фиг. 2.1) бъде дадено на пространството, под областта D, на звяра - графика на непрекъсната и невидима функция) z \u003d f (x, y,), тъй като е присвоено на пространството D, отстрани - цилиндрична повърхност, директна е между областта D и са успоредни на оста Oz. Тяло от този тип се нарича цилиндрично тяло.

1.3 Геометрична интерпретация на вертикалния интеграл

1.4 Разбиране на вертикалния интеграл на правоъгълник

Нека достатъчна функция f(x, y) е присвоена навсякъде на правоъгълника R = ? (раздел. Фиг. 1).

Розмарин сегмент a? х? b с n частични отсечки отвъд спомагателната точка a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya за помощта на прави линии, успоредни оси Ox і Oy разделя правоъгълника R на n · p частични правоъгълници R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Обозначен с разделението на правоъгълника R, той е значим със символа T. Ние го разделихме под термина "правоъгълник", за да разберем правоъгълника със страни, успоредни на координатните оси.

На кожата chastkovy правоъгълник Rkl, ние избираме пълна точка (?k,?l). Като поставим ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, това е значително чрез ?R kl от площта на правоъгълника R kl . Очевидно ?R kl = ?x k ?y l .

се нарича интегрална сума на функцията f(x, y), която дава дадено разпределение T на правоъгълник R и даден избор на междинни точки (? k, l) върху частични правоъгълници на разпределение T.

Диагоналът се нарича диаметър на правоъгълника R kl . Символ? Значително най-големият от диаметрите на всички често срещани rectocuts R kl.

Числото I се нарича граница на интегралните суми (1) при? > 0, как може да е положително число? можеш ли да кажеш така дата?, Какво при?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - аз |< ?.

Функцията f(x, y) се нарича интегрирана (според Риман) върху правоъгълника R, тъй като има крайна граница между I интегрални суми на функцията at? >0.

Означената граница I се нарича подинтеграл на функцията f(x, y) от правоъгълника R и се обозначава с един от следните символи:

уважение. И така, точно както за еднократен интеграл, се установява, че функцията f(x, y) е интегрирана върху правоъгълника R и е описана върху този правоъгълник.

Това дава възможност да се погледне по-далече от границата на функциите f(x, y).

Подинтегралът има сила, аналогична на силата на единичния интеграл. Значително по-малко от основните:

1. Какви са функциите
интеграция в региона
, тогава интегрирането в тях е сумата и разликата, освен това

2. Постоянният множител може да бъде обвинен за знака на подвариантния интеграл:

3. Якщо
интегрирани в региона
и тази област е разделена на две области, които не се припокриват і
, тогава

.

4. Якщо
і
интеграция в региона
, в yakіy

, тогава

.

5. Какво има в района
функция
доволен от несъответствията


де
і
действа díysnі числа, тогава

,

де – площ на обл
.

Доказателствата на тези степени са аналогични на доказателството на втората теорема за простия интеграл.

Изчисляване на вертикален интеграл в правоъгълни декартови координати

Нека е необходимо да се изчисли основният интеграл
, де област - Правоъгълна, която се характеризира с неравности ,.

Да приемем, че
е непрекъснат в същия правоъгълник и набъбва в новата неизвестна стойност, въпреки че интегралът от обема на тялото с основата , украсена със звяра отгоре
, от страни - п.с
,
,
,
:

.

От друга страна, такава цифра може да се изчисли с помощта на единичния интеграл:

,

де
- зоната на пресичане на това тяло с равнина, която минава през точка и перпендикулярна на оста
. Парчета от анализ, пресечени с криволинеен трапец
, заобиколен от звяра с функционална графика
, де фиксирани и , тогава

.

Z tsikh triokh равенства vyplivaє, scho

.

Оттук нататък изчисляването на основния интеграл беше изчисляването на двата единични интеграла; при изчисляване на "вътрешния интеграл" (написан в арки) да бъдат неизменни.

уважение.Можете ли да обясните, че останалата част от формулата е правилна, когато
, както и с един поглед, ако функцията
сменете знака на посочения правоъгълник.

Правата на частта от формулата се наричат ​​повторен интеграл и се означават, както следва:

.

По същия начин може да се покаже, че

.

Над казаното хленчиш

.

Оставащото равенство означава, че резултатът от интеграцията трябва да попада в реда на интеграцията.

За да разгледаме най-дълбокия наклон, нека въведем разбирането за стандартната зона. Стандартната (или правилната) област, директно дадена на оста, се нарича такава област, за която тя трябва да бъде права, успоредна на центъра на оста, разпръсната между зоната не повече, по-ниска в две точки. В противен случай изглежда, преобръщайки самия регион, че нейният кордон е само един бриз направо.

Приемливо е районът да е обграден

който е заобиколен от звяра с функционална графика
, отдолу - графика на функцията
. хайде R ( ,) - минимален правоъгълник, в който е положен регионът
.

Отидете в района
тази функция без прекъсване е присвоена
. Нека представим нова функция:

,

подобно на правомощията на интеграла на underwire

.

аз по-късно,

.

Oskіlki vіdrіzok
за покриване на района
тогава, по-късно,
при


, но легнете в позиция на vídrіzkom, тогава
.

С фиксирани можем да напишем:

.

Тогава сборът на първия и третия интеграл от дясната страна на интегрирането е нула

.

Отже,

.

Защо е необходимо да се използва формулата за изчисляване на текущия интеграл върху площта на стандартната ос
чрез връзка към повторения интеграл:

.

област Якшо
е стандартна y права ос
тя се проявява като несъответствия ,

, по подобен начин може да се докаже това

.

уважение.За региона
, стандартни y прави оси
і
, ще има викони

За тази формула има промяна в реда на интегриране и часа на изчисляване на подлинейния интеграл.

уважение.Веднага щом зоната на интегриране престане да бъде стандартна (правилна) по двете координатни оси, тя се разделя на сумата от стандартните области и представлява интеграла като сума от интеграциите в тези области.

дупето. Изчислете текущия интеграл
по региони
, заобиколен от линии:
,
,
.

Решение.

Tsya зона е стандартна ос на яко
, и аз
.

Изчисляваме интеграла, като вземаме предвид площта на стандартната ос
.

.

уважение.Как да изчислим интеграла, като вземем предвид площта на стандартната ос
, вземаме същия резултат:

.

дупето. Изчислете текущия интеграл
по региони
, заобиколен от линии:
,
,
.

Решение.Представително регионът на интеграция е даден на малкия.

Тази област е стандартна ос на шодо
.

.

дупето. Променете реда на интегриране за повторно интегриране:

Решение.Нека си представим региона на интеграция.

От междуинтеграционните линии познаваме линиите, които обхващат областта на интеграция: ,
,
,
. За да променим реда на интегриране, можем като функции в и знаем пресечните точки:

,
,
.

И така, на един от интервалите, функцията се изразява с две аналитични вирази, тогава зоната на интеграция трябва да бъде разделена на две области, а повтореният интеграл на данъка е сумата от две интеграции.

.