Подинтегралът има сила, аналогична на силата на единичния интеграл. Значително по-малко от основните:

1. Какви са функциите
интеграция в региона
, тогава интегрирането в тях е сумата и разликата, освен това

2. Постоянният множител може да бъде обвинен за знака интегрална жица:

3. Якщо
интегрирани в региона
и тази област е разделена на две области, които не се припокриват і
, тогава

.

4. Якщо
і
интеграция в региона
, в yakіy

, тогава

.

5. Какво има в района
функция
доволен от несъответствията


де
і
действа díysnі числа, тогава

,

де – площ на обл
.

Доказателствата на тези степени са аналогични на доказателството на втората теорема за простия интеграл.

Изчисляване на вертикален интеграл в правоъгълни декартови координати

Нека е необходимо да се изчисли основният интеграл
, де област - Правоъгълна, която се характеризира с неравности ,.

Да приемем, че
е непрекъснат в същия правоъгълник и набъбва в новата неизвестна стойност, въпреки че интегралът от обема на тялото с основата , украсена със звяра отгоре
, от страни - п.с
,
,
,
:

.

От друга страна, такава цифра може да се изчисли с помощта на единичния интеграл:

,

де
- зоната на пресичане на това тяло с равнина, която минава през точка и перпендикулярна на оста
. Парчета от анализ, пресечени с криволинеен трапец
, заобиколен от звяра с функционална графика
, де фиксирани и , тогава

.

Z tsikh triokh равенства vyplivaє, scho

.

Оттук нататък изчисляването на основния интеграл беше изчисляването на двата единични интеграла; при изчисляване на "вътрешния интеграл" (написан в арки) да бъдат неизменни.

уважение.Можете ли да обясните, че останалата част от формулата е правилна, когато
, както и с един поглед, ако функцията
сменете знака на посочения правоъгълник.

Правата на частта от формулата се наричат ​​повторен интеграл и се означават, както следва:

.

По същия начин може да се покаже, че

.

Над казаното хленчиш

.

Оставащото равенство означава, че резултатът от интеграцията трябва да попада в реда на интеграцията.

За да разгледаме най-дълбокия наклон, нека въведем разбирането за стандартната зона. Стандартната (или правилната) област, директно дадена на оста, се нарича такава област, за която тя трябва да бъде права, успоредна на центъра на оста, разпръсната между зоната не повече, по-ниска в две точки. В противен случай изглежда, преобръщайки самия регион, че нейният кордон е само един бриз направо.

Приемливо е районът да е обграден

който е заобиколен от звяра с функционална графика
, отдолу - графика на функцията
. хайде R ( ,) - минимален правоъгълник, в който е положен регионът
.

Отидете в района
тази функция без прекъсване е присвоена
. Нека представим нова функция:

,

подобно на правомощията на интеграла на underwire

.

аз по-късно,

.

Oskіlki vіdrіzok
за покриване на района
тогава, по-късно,
при


, но легнете в позиция на vídrіzkom, тогава
.

С фиксирани можем да напишем:

.

Тогава сборът на първия и третия интеграл от дясната страна е нула

.

Отже,

.

Защо е необходимо да се използва формулата за изчисляване на текущия интеграл върху площта на стандартната ос
чрез връзка към повторения интеграл:

.

област Якшо
е стандартна y права ос
тя се проявява като несъответствия ,

, по подобен начин може да се докаже това

.

уважение.За региона
, стандартни y прави оси
і
, ще има викони

За тази формула има промяна в реда на интегриране и часа на изчисляване на подлинейния интеграл.

уважение.Веднага щом зоната на интегриране престане да бъде стандартна (правилна) по двете координатни оси, тя се разделя на сумата от стандартните области и представлява интеграла като сума от интеграциите в тези области.

дупето. Изчислете текущия интеграл
по региони
, заобиколен от линии:
,
,
.

Решение.

Tsya зона е стандартна ос на яко
, и аз
.

Изчисляваме интеграла, като вземаме предвид площта на стандартната ос
.

.

уважение.Как да изчислим интеграла, като вземем предвид площта на стандартната ос
, вземаме същия резултат:

.

дупето. Изчислете текущия интеграл
по региони
, заобиколен от линии:
,
,
.

Решение.Представително регионът на интеграция е даден на малкия.

Тази област е стандартна ос на шодо
.

.

дупето. Променете реда на интегриране за повторно интегриране:

Решение.Нека си представим региона на интеграция.

От междуинтеграционните линии познаваме линиите, които обхващат областта на интеграция: ,
,
,
. За да променим реда на интегриране, можем като функции в и знаем пресечната точка:

,
,
.

И така, на един от интервалите, функцията се изразява с две аналитични вирази, тогава зоната на интеграция трябва да бъде разделена на две области, а повтореният интеграл на данъка е сумата от две интеграции.

.

1.1 Определяне на вертикалния интеграл

1.2 Доминиране на субинтеграла

Силата на подинтеграла (този yogo visnovok) е аналогична на силата на еднократния интеграл.

1°. Адитивност. Ако функцията f(x, y) е интегрирана в областта D и ако област D отвъд допълнителната крива Г, нулевата област е разделена на две връзки и не може да има съединителни вътрешни точки на област D 1 и D 2, тогава освен това функцията f(x, y) е интегрирана в кожата от области D 1 и D 2

2°. Линейна мощност. Как функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрируеми в пространството D, а? аз? - било то реч числа, тогава функцията [? f (x, y) + ? g (x, y)] също е интегриран в домейна D, освен това

3°. Точно както функциите f(x, y) и g(x, y) са интегрирани в областта D, тогава допълнителните функции на тези функции са интегрирани в D.

4°. Как могат функциите f(x, y) и g(x, y) да бъдат интегрирани в областта D и да пресичат f(x, y)? g(x, y), тогава

5°. Тъй като функцията f(x, y) е интегрирана от областта D, то функцията |f(x, y)| интегриран в регион D, освен това

(Очевидно интегрирането на | f (x, y) | D не показва интегрирането на f (x, y) в D.)

6°. Теорема за средната стойност. Въпреки че офанзивните функции f(x, y) и g(x, y) са интегрирани в домейна D, функцията g(x, y) е невидима (неположителна) навсякъде в този регион, M и m са точните горни и долни граници на функцията f( x, y) в областта D, тогава има число?, което удовлетворява неравномерността на m? ? ? M i, така че формулата да е валидна

Така че, тъй като функцията f(x, y) е непрекъсната D и областта D е свързана, тогава в тази област има такава точка (?, ?), Какво? = f(?, ?) и формулата изглежда така

7°. Важна геометрична мощност. жилищна площ Г

Нека тялото T (фиг. 2.1) бъде дадено на пространството, под областта D, на звяра - графика на непрекъсната и невидима функция) z \u003d f (x, y,), тъй като е присвоено на пространството D, отстрани - цилиндрична повърхност, директна е между областта D и са успоредни на оста Oz. Тяло от този тип се нарича цилиндрично тяло.

1.3 Геометрична интерпретация на вертикалния интеграл

1.4 Разбиране на вертикалния интеграл на правоъгълник

Нека достатъчна функция f(x, y) е присвоена навсякъде на правоъгълника R = ? (раздел. Фиг. 1).

Розмарин сегмент a? х? b с n частични отсечки отвъд спомагателната точка a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Защо разделянето с помощта на прави линии, успоредни на осите Ox и Oy, разделя правоъгълника R на n · p частични правоъгълници R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Обозначен с разделението на правоъгълника R, той е значим със символа T. Ние го разделихме под термина "правоъгълник", за да разберем правоъгълника със страни, успоредни на координатните оси.

На кожата chastkovy правоъгълник Rkl, ние избираме пълна точка (?k,?l). Като поставим ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, това е значително чрез ?R kl от площта на правоъгълника R kl . Очевидно ?R kl = ?x k ?y l .

се нарича интегрална сума на функцията f(x, y), която дава дадено разпределение T на правоъгълник R и даден избор на междинни точки (? k, l) върху частични правоъгълници на разпределение T.

Диагоналът се нарича диаметър на правоъгълника R kl . Символ? Значително най-големият от диаметрите на всички често срещани rectocuts R kl.

Числото I се нарича граница на интегралните суми (1) при? > 0, как може да е положително число? можеш ли да кажеш така дата?, Какво при?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - аз |< ?.

Функцията f(x, y) се нарича интегрирана (според Риман) върху правоъгълника R, тъй като има крайна граница между I интегрални суми на функцията at? >0.

Означената граница I се нарича субинтеграл на функцията f(x, y) от правоъгълника R и се обозначава с един от следните символи:

уважение. И така, точно както за еднократен интеграл, се установява, че функцията f(x, y) е интегрирана върху правоъгълника R и е описана върху този правоъгълник.

Това дава възможност да се погледне по-далече от границата на функциите f(x, y).

Степен на подчинените интеграли.

Част от мощностите на подинтегралите без посредник крещи от значението на разбирането на тази мощност на интегралните суми, но самата тя:

1. Каква е функцията f(x, y)интегриран в д, тогава kf(x, y)теж е интегриран в този галус, освен това (24.4)

2. Какво има в района динтеграционни функции f(x, y)і g(x, y), тогава тези функции са интегрирани в тази галерия f(x, y) ± g(x, y), аз при

3. Как да се интегрираме в региона дфункции f(x, y)і g(x, y)нервност f(x, y)≤g(x, y), тогава

(24.6)

Нека добавим още мощност към подинтеграла:

4. Местност Якшо дразделени на два района д 1 та д 2 без светещи вътрешни точки и функция f(x, y)без прекъсване в региона д, тогава

(24.7) Привеждане . Интегрална сума по региони дможете да видите с един поглед:

де разделяне на региона дизвършено по такъв начин, че между д 1 та д 2 се изгражда между частите на битката. Прекарване на пот до границата, като отнема равенството (24.7).

5. В момента на интегриране на дфункции f(x, y)тази функция е интегрирана в моя галус | f(x, y) |, и maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Привеждане.

звезди за помощ на граничния пункт в случай на обсебена нервност (24.8)

6. де S D– площ на обл Д.Доказателството за кое твърдение се отнема, като се замества интегралната сума f(x, y)≡ 0.

7. Все още интегриран в региона дфункция f(x, y)утолява нервността

m ≤ f(x, y) ≤ M,

тогава (24.9)

Привеждане.

Доказателството се извършва чрез граничен преход от очевидни неравности

Последица.

Как да покорим всички части на нервността (24.9) на д, можете да вземете така наречената теорема за средната стойност:

Зокрема, за ума на непрестанната функция fв дима такава точка в района ( x 0, y 0), в yakіy f(x 0, y 0) = μ , тогава

-

Друга формулировка на теоремата за средната стойност.

Геометрична змистдолен интеграл.

Да видим тялото V, заобиколен от частична повърхност, това, което се задава от равни z = f(x, y),проекция д tsієї повърхност на равнина хутаблична цилиндрична повърхност, отсечена от вертикалните, която свързва точките между повърхностите с техните проекции.

z = f(x, y)

V

г П и ДФиг.2.

Shukatimemo обема на тялото като между сумата от обемите на цилиндрите, основите на които са частите Δ Siрегиони д, и по височини - vídrіzki zavdovka f(Пи), де точки Пилъжа Δ Si. Преминаване до границата с, otrimaemo, scho

(24.11)

това е под влиянието на интеграла на така наречения цилиндър, заобиколен от звяра на повърхността z = f(x, y), а отдолу – площта д.

Изчисляване на подчертания интеграл по пътя на йога връзката към втория.

Перспективна зона д, ограден с линии x=a, x=b(а< b ), de φ 1 ( х) и φ 2 ( х) без прекъсване на [ а, б]. След това бъде права, успоредна на координатната ос прии преминават през вътрешната точка на района д, пресичайки кордона на района в две точки: н 1 та н 2 (фиг. 1). Нека наречем тази област правилнов на-

приправилна ос О при. По същия начин е

y=φ 2 (х) има област, която е точно на права линия

н 2 оси О х. Регион, правилно в директен-

Níі двете координатни оси, ние ще

дпросто го наречете правилно. Например,

Правилната зона е показана на фиг.1.

y=φ 1 (х) н 1

O a b x

Хайде функция f(x, y)без прекъсване в региона д. Погледни Вираз

, (24.12)

ранг dvorazovym интегралтип функция f(x, y)по региони д. Нека изчислим вътрешния интеграл (стоящ на ръцете) чрез промяна при, въпреки хпостийним. В резултат на това виждаме непрекъсната функцияизглед х:

Функцията Otrimanu е интегрируема за хмежду апреди b. В резултат на това вземаме номера

Ние представяме важната сила на интеграла по ярда.

Теорема 1. област Якшо д, правилно право напред при, разделен на две зони д 1 та д 2 прави, успоредна осПрофесионалист припо ос О х, тогава интегралът dvorazovy над региона дповече суми от същите интеграли по региони д 1 та д 2:

Привеждане.

а) Продължете направо x = cпрекъсвания дна д 1 та д 2, право напред при. Тоди

+

+

б) Продължете направо y=hпрекъсвания дотдясно направо прирегиони д 1 та д 2 (фиг. 2). Значително през М 1 (а 1 , ч) че М 2 (b 1 , ч) точки от напречната линия на правата линия y=hот кордона Лрегиони д.

гРегион д 1, заобиколен от непрекъснати линии

y=φ 2 (х) 1) y=φ 1 (х);

д 2 2) крива НО 1 М 1 М 2 При, равно на това, което записваме

ч М 1 М 2 y=φ 1 *(х), де φ 1 *(х) = φ 2 (х) при a ≤ x ≤ a 1 та

А 1 д 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(х) = чпри а 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) прави х = а, x = b.

Регион д 2, оградени с линии y=φ 1 *(х),

A y= φ 2 (х),а 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (х) Можем да докажем на вътрешния интеграл теоремата за

пробиване на интеграцията:

О а а 1 b 1 b

+

Нека дадем друг s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Оскилки φ 1 *(х) = φ 2 (х) при a ≤ x ≤ a 1 та b 1 ≤ x ≤ b, Първият и третият отнемат интегралите и се изравняват на нула. Отже,

I D = , тогава .

Основната мощност на подинтеграла

Силата на подинтеграла (този yogo visnovok) е аналогична на силата на еднократния интеграл.

1°. Адитивност. Каква е функцията f(х, г) интегрирани в региона ди като площ дза помощна крива Жнулевата зона е разделена на две връзки и не заглушава високите вътрешни точки на региона д 1 та д 2 , след това функцията f(х, г) интегрирани в участъците на кожата д 1 та д 2, освен това

2°. Линейна мощност. Какви функции f(х, г) че ж(х, г) интеграция в района д, а α і β - било то реч числа, тогава функцията [ α · f(х, г) + β · ж(х, г)] също е интегриран в региона д, освен това

3°. Какви функции f(х, г) че ж(х, г) интеграция в района д, тогава допълнителните функции на тези функции са интегрирани в д.

4°. Какви функции f(х, г) че ж(х, г) настъпателна интеграция в региона ди навсякъде в моята галерия f(х, г) ≤ ж(х, г), тогава

5°. Каква е функцията f(х, г) интегрирани в региона д, тези функции | f(х, г)| интегрирани в региона д, освен това

(Разбира се, с интеграция | f(х, г)| в дне показва интеграция f(х, г) в д.)

6°. Теорема за средната стойност. Каква обидна функция f(х, г) че ж(х, г) интеграция в района д, функция ж(х, г) е невидим (не е положителен) навсякъде в тази галерия, Мі м- точни горни и долни граници на функцията f(х, г) в региона д, тогава има число μ което задоволява нервността м ≤ μ ≤ Ми така че формулата да е валидна

ДВИЖЕЩИ СЕ ИНТЕГРАЛИ

лекция 1

Устойчиви интеграли.Целта на подводния интеграл е силата. Повтарящи се интеграции. Връзки на долни интеграли към повтарящи се. Поставяне между интеграция. Изчисляване на основните интеграли на декартовата координатна система.

Подинтегралът е задълбочаване на разбирането на интеграла в различни функции на две променливи. По този начин обратното на интегрирането ще присъства като плоска фигура.

Хайде д- Деяка е затворена, оградена зона и f(x,y) - достатъчна функция, отбелязана е от тази галерия. Да приемем, че между регионите дсе сумират от крайния брой криви, дадени от равните на ума г=f(х) или х=g( г), де f(х) че ж(г) са непрекъснати функции.

Район Розибьемо дприличен ранг на нчаст. ■ площ аз-ї delyanki се означава със символа D s i. На кожата дилянци, доста вайб е точка Пи,и го пуснете в be-yak_y фиксиране на декартовата система maє координати ( x i,y i). Складемо интегрална сумаза функцията f(x,y) по регион Д,за която стойността на функцията е известна във всички точки Пи, умножавайки ги по площта на двойните парцели Ds азИ предполагаме, че всички резултати са отнети:

Nazvemo диам(Ж) области Жнай-голямото разстояние между граничните точки на района.

Интеграл функции f(x,y) в областта D се нарича граница, до каква степен последователността от интегрални суми (1.1) с неограничено увеличаване на броя на прекъсванията n (при кого). Запишете така

Скъпо, scho, vzagali привидно, интегралната сума за задайте функциии дадената област на интеграция дизберете точка Пи. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse означава, че между vіdpovіdіkh іntegrаlny суми не е възможно да лежи между назначените chinnikіv. По ред(или, както изглежда, обща функция f(x,y) е интегрирана в областта D), достатъчно е интегралната функция на bool непрекъснатопри интегрирането на галерията със задачи.

Хайде функция f(x,y) интегрирани в региона д. Парчетата между кумулативните суми за такива функции не могат да се натрупват чрез метода на разделяне на зоната на интеграция, разделянето може да се извърши с помощта на вертикални и хоризонтални линии. Тоди повече бизнесмени от региона д matime прав нарязан изглеждащ, областта на такъв dorivnyu D s i=D x iд y i. Следователно диференциалът на площта може да бъде написан като ds=dxdy. Отже, в декартовата координатна система под интегралитеможете да запишете при вида

уважение. Подобно на интегралната функция f(x,y)º1, тогава под-интегралът на областта на региона на интеграция е:

Важно е, че подчертаните интеграции могат да бъдат с една и съща мощност, както и самостоятелно интегрирани. Делата им са значими.

Степен на подчинените интеграли.

1 0 .Линейна мощност. Интеграл от сумата на функциите на другата сума от интегралите:

и постоянният множител може да бъде обвинен за знака на интеграла:

2 0 .Адитивна мощност. Тъй като областта на интегриране D е разделена на две части, тогава субинтегралът е по-пълен от сумата на интеграциите върху кожната част:

3 0 .Средната теорема. Каква е функциятае( x,y)е непрекъсната в област D, тогава има такава точка в галерията(x, h) , Какво:

Допълнително след хранене: как се изчисляват субинтегралите? Його може да се вирахувати приблизително, с този метод се разбива ефективни методисгънати суми от кумулативни суми, които след това се изчисляват числено с допълнителен EOM. С аналитично изчисляване на субинтегралите те се редуцират до два единични интеграла.