Процедурата за изчисляване на интеграла със загуби е подобна на общата работа на текущия интеграл. За нейното описание въвеждаме разбирането за правилната тривиална област:

Назначаване 9.1. Тривиалната област V, заобиколена от затворена повърхност S, се нарича правилна, защото:

1. бъди прав, успоредна на оста Oz, която е начертана през вътрешната точка на областта, пресичайки S в две точки;
2. цялата област V се проектира върху равнината Oxy в правилна област от два света D;
3. дали част от област V, видима в нея от равнина, успоредна на дали е от координатните равнини, може да има мощност 1) и 2).

Нека да разгледаме правилната област V, ще огранича долната и горната част с повърхности z=χ(x,y) и z=ψ(x,y) и проектирам върху равнината Oxu y, правилната област D, средата на които x ще се променя в границите от a до b, ще бъдат оградени от криви y=φ1(x) и y=φ2(x) (фиг. 1). Нека f(x, y, z) е непрекъсната функция в областта V.

Назначаване 9.2. Нарича се троен интеграл на функцията f(x, y, z) върху областта V във формата:

Trirazovy іntegrа maê tі zh vlastivostі, shcho и dvorazovy. Pererakhuyemo ги без потвърждение, парчета воня се извеждат подобно на падането на интеграла на двора.

Изчисляване на интеграла със загуби.

Теорема 9.1. Тройният интеграл на функцията f(x,y,z) на редовната област V е същият като тройния интеграл върху същата област:

. (9.3)

Привеждане.

Rozíb'ёmo област V равнини, успоредни на координатните равнини, на n правилни области. Todí z power 1 вика

където е трикратният интеграл на функцията f(x,y,z) в областта .

Vikoristovuyuchi формула (9.2), паритетът напред може да бъде пренаписан с един поглед:

Разбирането за непрекъснатостта на функцията f (x, y, z) е ясно, което е между интегралната сума, която стои от дясната страна на уравнението на равенството, и е равна на третия интеграл. След това, преминавайки към границата, когато, вземаме:

какво е било необходимо да се донесе.

уважение.

По подобен начин на падането на интеграла на скритото течение може да се докаже, че промяната на реда на интегриране не променя стойността на трикратния интеграл.

дупето. Изчисляване на интеграла de V е триъгълна пирамида с върхове в точките (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Проекцията й върху равнината Oxy е трикутник с върхове (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Отдолу областта граничи с областта z = 0, а отгоре – с площта x + y + z = 1. Да преминем към тройния интеграл:

Множителите, които не лежат в променливото интегриране, могат да бъдат обвинени за знака на двойния интеграл:

Криволинейни координатни системи в тривиалното пространство.

1. Цилиндрична координатна система.

Цилиндрични координати на точката Р(ρ,φ,z) – цеполярни координати ρ, φ на проекцията на точката върху равнината на Ohu и апликатора на дадената точка z (фиг. 2).

Формулите за преход от цилиндрични координати към декартови координати могат да бъдат зададени, както следва:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9,4)

1. Сферична координатна система.

За сферичните координати позицията на точката в пространството се обозначава с линейната координата ρ - разстоянието от точката до кочана на декартовата координатна система (или полюсите на сферичната система), φ - полярният ръб между положителното pіvvіssyu Ox и проекцията на точката върху равнината Oxy, и θ - kutom между положителния Oz и двойния OP (фиг. 3). С кого

Като се има предвид формулата за преход от сферични координати към декартови:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Якобиан и його геометричен змист.

Нека да разгледаме дивата тенденция за подмяна на промените в интеграла на метрото. Nehai в плоската област Ohu D е дадена, заобиколена от линия L. Да приемем, че х і у є са еднозначни и непрекъснато диференциращи се функции на нови променящи се u и v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9,6)

Нека разгледаме правоъгълната координатна система Ouv, точката P(u, v), която сочи P(x, y) от областта D. Всички такива точки образуват областта D близо до равнината Ouv, Заобиколен съм от линия L?. Може да се каже, че формулите (9.6) установяват взаимно еднозначно съответствие между точки от областите D и D. За кои прави u = const

v = const в равнината Ouv ще бъде подобна на линиите в равнината Ohu.

Можем да видим в равнината Ouv правоъгълен майдан ΔS, ограден с прави линии u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé криволинеен maidanchik ΔS близо до плоската Ohu (фиг. 4). Областите на анализ на Майданчиците ще бъдат означени като ΔS и ΔS. За ciomu ΔS = Δu Δv. Знаем площта ΔS. Показателно е, че върховете на криволинейния четирикутник P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Замяна на малки zbílshennya Δu і Δv vіdpovіdmi диференциали. Тоди

С кой четиририкутник P1 P2 P3 P4 може да се приеме като успоредник и площта да се зададе на формулата за аналитична геометрия:

(9.7)

Назначаване 9.3. Вариантът се нарича функционален вариант или якобиан на функциите φ(x, y) и ψ(x, y).

Преминавайки към границата с равенство (9.7), отнемаме геометричното якобианско изместване:

така че модулът на Якоби е границата между областта на безкрайно малки квадрати S и S.

уважение. По подобен начин може да се припише разбирането на Якобиан и геометричното значение за n-световното пространство: че x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), тогава

(9.8)

С това модулът на Якоби дава граница между "obsyagiv" малки области на пространството x1, x2, ..., xn и u1, u2, ..., un.

Заместване на промени в множество интеграли.

Dolídzhuêmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvíynogo інтеграл.

Нека непрекъсната функция z = f(x,y) е дадена в областта D, същата стойност на функцията z = F(u, v) в областта D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Нека разгледаме интегралната сума

Деинтегралната сума вдясно се взема върху областта D. Преминавайки към границата, когато отнеме формулата за трансформиране на координатите в измиващия интеграл.

Пробвай интегралите. Изчисляване на обема на тялото.
Пробен интеграл в цилиндрични координати

Три дни в офиса на декана небето лежеше, в панталоните на дрехите на Питагор,
В ръцете на Фихтенголц има том тримави, че йогинът на бялата светлина е жив,
За да завържат третия интеграл и увиха трупа в матрицата,
А наместникът на молитвата е като нахабник след прочитане на теоремата на Бернули.

Загубените интеграции са тези, от които вече не можете да се страхувате =) Защото, ако прочетете целия текст, тогава е по-добре за всичко, което сте сбъркали теория и практика на "висшите" интеграли, както и зависими интеграли. И там, de podvіyny, наблизо и изгубен:

Всъщност, от какво има да се страхуваме? Интегралът е по-малък, интегралът е по-голям.

Нека да разгледаме записа:

- иконата на троичния интеграл;
- Подинтегрална функция за тройна промяна;
- Добуток диференциали.
- Област на интеграция.

Особено забележително за интеграция на галерия. Якщо в подчертан интегралСпечелени плоска фигура, тогава тук - разтегнато тяло , яка, нали знаеш на върха. В този ранг престъплението на интуитивно познатите вие ​​сте виновни да се ориентирате в основни повърхностии не забравяйте да спечелите най-простите кресла trivimir.

Деяците се смутиха, мъдри…. За съжаление статията не може да се нарече „полезни интеграли за манекени“ и е необходимо да знаете / запомните нещо. Але, нищо страшно - всички материали от публикации в най-достъпната форма ще бъдат усвоени в най-кратки срокове!

Какво означава да се изчисли изгубеният интеграл и какво е необходимо?

Изчислете загубения интеграл - това означава знайте KILO:

По най-простия начин, ако, третият интеграл е числено по-напреднал по отношение на тялото. И deisno, vіdpovіdno to интеграция, tvir един безкрайно малъкобемът на елементарната "цеглинка" на тялото. И третият интеграл е обединени всички ци безкрайно малки частиципо региони, след което излиза интегралната (общата) стойност на обема на тялото: .

Освен това третият интеграл е важен физически програми. Але за tse pіznіshe - във 2-ра част на урока, посвещение изчисляване на допълнителни загуби на интеграли, за която функцията на променливата е постоянна като константа и е непрекъсната в сферата. В тази статия можем да видим подробно значението на задължението, като моята субективна оценка се наблюдава 6-7 пъти по-често.

Как да решим изгубения интеграл?

Vídpovіd е логично viplivaє от предишния параграф. Необходимо е да се назначи заповед за байпас на тялотоотивам до повтаряме интегралите. След това последователно решете с три единични интеграла.

Yak bachite, цялата кухня е все повече и повече nagaduє основни интеграли, От tієyu vіdminnіstyu, scho в същото време ни е дадена dodatkova rozmіrnіst (приблизително привидно, височина). Само аз много от вас вече се досетихте как се нарушават загубите на интегралите.

Нека обобщим какво сме загубили:

дупе 1

Бъдете любезни, препишете с печат на хартия:

Давам съвет за следващото хранене. Чи знаеш Ти, кои са повърхностите, за да се изравни Чи? Chi zrozumіly ви неформален zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєV, yak и повърхност raztashovanі в пространството?

Веднага щом shilyatsya на вулгарния vіdpovіdі "more ní, nizh so", тогава obov'yazkovo opratsyut урок, в противен случай няма да стигнете по-далеч!

Решение: vicorist формула

За да schob z'yasuwati заповед за байпас на тялотоотивам до повтаряме интегралитенеобходимо е (всичко е гениално просто) да се разбере какво е било. И е страхотно да поставите фотьойли върху такава роза в богати случаи.

Зад ума тялото е заобиколено от килком повърхности. Защо да започнете шик? Произнасям следващата поръчка diy:

На кочана може да се представи паралелен ортогоналенпроекция на тялото върху координатната равнина. Първият път казах как се казва прожекцията, хаха =)

Ако дизайнът трябва да се извърши в голям мащаб, тогава в Перш повърхности, yakí успоредно на оста на tsієї. Предполагам какви повърхности такива не отмъщавайте на буквите "ze". Изследваният мениджър има три:

- Rivnyannya задава координатната зона, как да премине през цялото;
- Rivnyannya задава координатната зона, как да премине през цялото;
- равностойна задача апартамент "плоска" правауспоредна на оста.

Shvidshe за всичко, shukana проекция е идващ trikutnik:

Вероятно не всички са имали остатъчно разбиране къде да отидат. Покажете, че всичко излиза от екрана на монитора и се залепва точно във вашия трансфер ( тобто. излез, чудиш се на 3-тия световен стол на звяра). Doslіdzhuvane простори на тялото се намират в тристенния "коридор" без кожа и неговата проекция върху областта на naimovіrnіshe е сенчест tricutnik.

Отдавам специално уважение на това, с което излизахме още извинение за проекциятаи предупреждението „неишвидше“, „найимовернише“ бяха случаи. Вдясно, в това, че не всички повърхности все още са анализирани и може да се окаже така, че дори от тях да се „открие“ част от трикутника. Като грунд задник, който питате сферацентрирана върху кочана от координати с радиус по-малък от единица, например сфера – нейната проекция върху равнината (колона ) Няма да повтарям засенчената зона „nakry“, а проекцията на тялото ще се нарича не трико (коло "zrízhe" youmu gostrí kuti).

От другата страна на сцената, това е z’yasovuêmo, чието тяло е заобиколено от звяра, по-ниско от дъното и vikonuemo простора на фотьойла. Обръщаме се към ума и се чудим на повърхността, сякаш повърхността я нямаше. Нивелирането задава самата координатна равнина, а нивелирането - параболичен цилиндър, превкусване по-гореплоски и преминават през цялото. В този ранг проекцията на тялото е диисно е трикутник.

Преди речта се появи тук свръхземнопомислете - в новата крушка не е задължително да включва дори равнини, парчета от повърхността, стърчащи по абсцисната ос и така тялото се затваря. Това означава, че в този конкретен момент нямаше да можем да кръстим проекцията - трикутникът „начертан” само след анализ на изравняването.

Точно е изобразен фрагмент от параболичен цилиндър:

След vikonannya фотьойл z заобикаляйки тялотоникакви проблеми!

На задната част на главата е важен редът, в който се пресича проекцията (с помощта на най-добрата ръка се ръководете от двусветни кресла). Tse срамежлив АБСОЛЮТНО ТАКА, yak i in долни интеграли! Отгатване лазерна показалкатова сканиране на равна площ. Изберете "традиционен" 1-ви байпасен метод:

Дали взема в ръцете очарователната запалка, учудва се на тривимирът на фотьойла и строго надолупросветете пациента. Промени за влизане в тялото през повърхността и излизане от него през повърхността. В този ред редът на заобикаляне на тялото:

Нека да преминем към повтарящи се интеграции:

1) Започнете следното от интеграла "Z". Използваме Формула на Нютон-Лайбниц:

Представете си резултата от интеграла "igame":

Какво стана? Всъщност решението се свеждаше до подинтеграл, а самото - до формула. обем на цилиндрична греда! По-добре знайте:

2)

Обърнете внимание на рационалната техника за решаване на 3-тия интеграл.

Vidpovid:

Изчислението може да бъде записано и „в един ред“:


Но по този начин внимавайте - ако спечелите на swidkost, ще заплашите с нещо друго, а ако имате важен задник, има повече шансове за помилване.

Забележка относно важното хранене:

Защо е необходимо да работите с кресло, така че главата на ума да не изисква тяхното vikonannia?

Можете да пиете chotirma с пътеки:

1) Начертайте проекцията на същото тяло. Най-добрият вариант е, че е възможно да vikonate две прилични кресла, не оплаквайте, ограбете обидени кресла. Препоръчвам ни напред.

2) Начертайте повече тяло. Подходящо, ако тялото е тромаво, тази очевидна проекция. Така например на избрания задник беше залепено тройно кресло. Тук обаче има минус - според 3D-изображението не е удобно да се определи редът на заобикаляне на проекцията и по този начин се радвам само на хора с добро ниво на обучение.

3) Покажи повече проекция. Tezh не е лошо, но за obov'yazkoví dodatkoví pisletoví komentari, nizh zamezhena регион от raznih storіn. За съжаление, третият вариант често е объркващ - ако е твърде късно, той е твърде голям, за да се справи с други трудности. И такива прилагат ми така разгледемом.

4) Придвижвайте се без фотьойл. Необходимо е всеки да представи тялото на мисълта и да коментира писмено формата/формата. Добре е да отидете за най-простите до chi zavdan, de vikonannya както фотьойлът е важен. Но все пак е по-добре, ако искате да използвате схематични малки, фрагменти от решение за „цел“ могат да бъдат отхвърлени.

Елате орган за независима помощ:

дупе 2

С помощта на интеграла на загубите изчислете обема на тялото, заобиколено от повърхности

При към този конкретен типзоната на интеграция се дава по-важно от нередностите, а цената е по-кратка - без никакви нередности задава 1-ви октант, включително координатните равнини, и неравностите - напівспир, как да отмъстим за кочана от координати (обратен)+ самата зона. „Вертикалната“ равнина е разпръсната от параболоидна парабола и на бажана на фотьойла е необходимо да се индуцират глухарчета. За кого е необходимо да се знае допълнителната референтна точка, по-просто казано, върха на параболата. (Можем да видим смисъла и rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Нека продължим да разбираме:

дупе 3

Изчислете с помощта на интеграла на загубите обема на тялото, заобиколено от обозначени повърхности. Фотьойл Vikonati.

Решение: формулата "viconati на фотьойла" ни дава пълна свобода, бира, по-добра за всичко, прехвърляйки vikonanny на просторен фотьойл. Проекцията обаче също не може да се навие, това не е най-лесното нещо, което можете да направите тук.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї по-ранни тактики повърхности, сякаш успоредно на оста на приложението. Изравняването на такива повърхности не трябва да се отмъщава чрез ясна промяна на „Z“:

- Rivnyannya задава координатната равнина да преминава през цялото ( як на апартамента е присвоен на "същото име" е равно);
- равностойна задача апартамент, да премине през "същата линия" "плоска" правауспоредна на оста.

Тялото, което се шегува, е обградено от плоско дъно и параболичен цилиндързвяр:

Нека съставим процедура за заобикаляне на тялото, с която „иксови“ и „игрокови“ между интеграцията, предполагам, че е по-добре да пеете зад креслата от два света:

По този начин:

1)

Когато се интегрира зад "iplayer" - "ix" се счита за константа, тогава константата трябва да бъде обвинявана за знака на интеграла.

3)

Vidpovid:

Така че, без да забравяме малко, zdebіlshogo otmany резултатът от малко (и navit shkіdlivo) zvíryati z trivimirnym фотьойли, oskolki z голямо ymovіrnіstyu vinikne илюзия задължава, За yaku I rozpov_shche в урока Обемна обвивка за тяло. Така че, оценявайки тялото на изгледания лидер, имах особен късмет, че в новия има повече от 4 „кубчета“.

Офанзивен зад за независима визия:

дупе 4

Изчислете с помощта на интеграла на загубите обема на тялото, заобиколено от обозначени повърхности. Работата на фотьойла на това тяло и неговата проекция върху равнината.

Зразок, проектиран като задача за урок.

Не е рядкост, ако vikonnanny на стола trivimir е по-трудно:

дупе 5

С помощта на интеграла със загуби, за да се знае обемът на тялото, даден от повърхностите, които го заобикалят.

Решение: проекцията тук е тромава, но над реда на байпаса трябва да помислите Как да изберете 1-ви метод, тогава фигурата ще трябва да бъде разделена на 2 части, което неизбежно ще застраши изчисляването на суми двеТроични интеграли. За някой с по-богата перспектива има друг път. Може да се види и визуализира от проекцията на това тяло върху фотьойла:

Ще попитам отново за точността на такива снимки, въртя ги директно от собствените си ръкописи.

Избираме по-жизнеспособен ред за заобикаляне на фигурата:

Сега вдясно зад тялото. Отдолу е заобиколен от равнина, от звяра - от равнина, така че да минава през цялата ордината. И всичко би било нищо, но останалата част от равнината е твърде стръмна и не е толкова лесно да се придвижите в района. Изборът тук е незавиден: или роботът за бижута е в малък мащаб (защото беше тънък, за да стане тънък), или фотьойлът е висок около 20 сантиметра (това и тези, които могат да се поберат).

Але и третият, спокойно руски метод за решаване на проблема е да вкарате =) и плосък отстрани, плосък към дъното и плосък към звяра.

„Вертикалната“ интеринтеграция очевидно е така:

Нека изчислим обема на тялото, като не забравяме, че заобиколихме проекцията по по-малък разширен начин:

1)

Vidpovid:

Както си спомняте, предлагането в zavdannya на тялото не е скъпо за сто долара, често заобиколено от апартамент отдолу. Но това не е правило, така че трябва да сте готови - можете да прекарате деня, de tilo roztashovani pidапартамент. Така, например, ако погледнете апартамента в избрания zamіst, тогава тялото ще бъде симетрично представено в долното пространство и ще бъде заобиколено от апартамент отдолу и от апартамент до звяра!

Лесно е да превключите, за да видите същия резултат:

(Не забравяйте, че е необходимо да заобиколите строго надолу!)

В допълнение, "влюбен" в апартамента може да се появи отпред не отдясно, най-простият задник: чувал, скрит повече от апартамента - с изчисляването на йогийското задължение не е нужно да гледате отпред.

Виждаме всички тези изгледи, но засега задачата за независима визия е подобна:

дупе 6

С помощта на интеграла със загуби, за да знаете за тялото, заобиколено от повърхности

Накратко, решението е да илюстрираме урока.

Нека да преминем към друг параграф с не по-малко популярни материали:

Пробен интеграл в цилиндрични координати

Цилиндрични координати - ce, всъщност, полярни координатив космоса.
В цилиндрична координатна система положението на точка в пространството се определя от полярните координати на точката - проекцията на точката върху равнината и апликацията на самата точка.

Преходът от тривимерната декартова система към цилиндричната координатна система се осъществява по следните формули:

Сто и петдесет от нашите трансформации изглеждат така:

Аз, очевидно, по прост начин, който лесно се вижда в тази статия:

Golovne, не забравяйте за допълнителния множител "er" и правилно подредете полярност между интеграцияпри заобикаляне на проекцията:

дупе 7

Решение: dotrimuєmosya от същия ред diy: ние гледаме напред към равните, в някои дни „Z“ се променя Тук има само едно. проекция цилиндрична повърхностна площ е "със същото име" коло .

Квадрати обграждат тялото на shukane от дъното и звяра („закачат“ йога от цилиндъра) и са проектирани в цвета:

На черно кресло тривимир. Основната трудност се крие в площта на повърхността, сякаш цилиндърът е усукан под „наклонения“ капак, след което да отидете елипси. Нека изясним това пренаписване аналитично: за което пренаписваме равнината на функционалния изглед и изчисляваме стойността на функцията („височина“) в точките, които питаме, сякаш лежи върху интерпроекцията:

Изглежда, че знаете точките на фотьойла и внимателно (и не така, като мен =))заднуемо техния ред:

Проекцията на тялото върху равнината е дължината, а дължината на аргумента за скоростта на прехода към цилиндрична координатна система:

Знаем подравняването на повърхността при цилиндрични координати:

Сега следвайте процедурата за заобикаляне на тялото.

Нека да погледнем задната част на главата от проекцията. Как да определите реда на байпас? Точно така изчисляване на подинтеграли в полярни координати. Тук виното е елементарно:

"Вертикалната" интеринтеграция също е очевидна - тя влиза в тялото през равнината и излиза от него през равнината:

Нека да преминем към повтарящи се интеграции:

За който множител "er" веднага се поставя в "собствения" интеграл.

Vinik yak zavzhd е по-лесен за пробиване през клонките:

1)

Вземаме резултата от обидния интеграл:

И тук не се забравя, че fi е важно като константа. Але це до часа на пеенето:

Vidpovid:

Подобна задача за независима визия:

дупе 8

Изчислете с помощта на интеграла на загубите обема на тялото, заобиколено от повърхности. Vikonati фотьойл на това тяло и неговата проекция на площада.

Zrazok фин дизайн като урок.

За да сте сигурни, че в съзнанието на проблемите на същата дума не се говори за прехода към цилиндрична координатна система и човекът няма да бъде известен да се бори с важни интеграли в декартови координати. ... Или може би няма да бъде - дори ако това е третият, спокойно руски начин за решаване на проблемите.

Всичко просто започва! ...в добрия смисъл: =)

дупе 9

С помощта на интеграла със загуби, за да знаете за тялото, заобиколено от повърхности

Скромно и с наслада.

Решение: цяло крайна повърхності елиптичен параболоид. Читатели, които с уважение са запознати с материалите на статията Основни повърхности на пространството, вече представени, сякаш гледат тялото, но на практика сгънатите vipads често капан, така че ще направя доклад за аналитичния свят.

Познати са линиите на гърба, с които са тонирани повърхностите. Изграждаме и изграждаме следната система:

От 1-во равенство можем да се видим по отношение на условията:

В резултат на това се отнемат два корена:

Представете си, че знаете значението на това дали системата е равна:
звездите крещят
Otzhe, root vídpovіdaє една точка - кочанът на координатите. Естествено - дори върховете на върховете на върховете се издигат.

Сега нека си представим друг корен - същият за това дали системата е равна:

Каква е геометричната замяна на резултата? "На височините" (близо до самолета) параболоидът и конусът са оцветени по дължината кола- единичен радиус с център в точката.

Когато "чашата" на параболоида съдържа "фунията" на конуса, успокоявамкрайната повърхност трябва да бъде пресечена с пунктирана линия (зад лозата това е далечна гледка към нас, както се вижда от този ъгъл):

Проекцията на тялото върху равнината колос център на кочана от координати с радиус 1, който не посмях да изобразя чрез очевидността на този факт (защитно писмо коментар robimo!). Преди речта, на двата предни стола на стола, проекциите могат да бъдат победени, няма нищо против.

При преминаване към цилиндрични координати стандартните формули могат да бъдат написани с най-прост вид и за да се заобиколи проекцията на ежедневните проблеми:

Знаем подравняването на повърхността на цилиндричната координатна система:

Тъй като проблемът разглежда горната част на конуса, тогава може да се види:

"Скануемо тяло" отдолу нагоре. Сменете светлината, за да влезете преди новата елиптичен параболоиди излиза през крайната повърхност. В този ред, "вертикалният" ред на заобикаляне на тялото:

Втора дясна техника:

Vidpovid:

Не е рядкост, ако тялото е помолено да не го заобикаля с повърхности, но без никакви нередности:

дупе 10

Геометрична змистогромно количество нередности, както се твърди, обясних от същата доказателствена статия. Основните повърхности на пространството.

Tse zavdannya искат и скриват параметъра, но позволяват точното кресло, което вдъхновява важен външен вид на тялото. Мислете като vikonati pobudova. Накратко, решението е да го докажеш - като урок.

... добре, какво, цаца ли е? Мисля да завърша урока, но тогава предполагам какво искаш повече =)

дупе 11

За помощта на интеграла на загубите изчислете обема на даденото тяло:
, De - По-положително число.

Решение: неравности задайте колоната с центъра на кочана от координати на радиуса и неравностите - "Вътрешност" на кръгъл цилиндър с цялата симетрия на радиуса. В този ред тялото, сякаш шепне, е заобиколено от кръгъл цилиндър отстрани и сферични сегменти, симетрични на повърхността отгоре и отдолу.

Като основна единица на света, ние вземаме креслото:

По-точно, йога трябва да се нарича малко бебе, парчетата на пропорцията по оста няма да бъдат по-добри. Проте, в името на справедливостта, за ума, не беше необходимо да повдигаме нищо и такава илюстрация изглеждаше напълно достатъчна.

За да покажете уважение, че тук не е задължително zyasovuvati височина, на такъв цилиндър, висящ от гърба на „шапката“ - просто вземете компас в ръцете си и маркирайте колоната с центъра на кочана на координатите с радиус от 2 cm, тогава точките на напречната греда с цилиндъра ще се появят сами.

1. Цилиндричните координати са набор от полярни координати в равнината xy и от значимия декартов апликатор z (фиг. 3).

Нека M(x, y, z) е достатъчна точка в пространството xyz, P е проекцията на точката M върху равнината xy. Точката M е уникално зададена от тройка числа - полярните координати на точката P, z - апликацията на точката M. Формулите, които ги наричат ​​декартови, могат да изглеждат

Якобианска ферментация (8)

дупе 2.

Изчислете интеграла

de T - зона, заобиколена от повърхности

Решение. Предаваме интеграла към сферични координати с помощта на формули (9). Същата област на интеграция може да бъде зададена с нередности

А това означава

дупе 3Познайте обема на тялото, ресни:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - сфера с радиус R \u003d v8 с център в точка O (000),

Горната част на конуса z2 = x2 + y2 с цялата симетрия на Oz и върха в точка O (фиг. 2.20).

Знаем линията на напречната греда на сферата на конуса:

І парчета за ума z? 0, тогава

Окръжност R=2, която лежи близо до равнината z=2.

Точно така (2.28)

de зона u, граничеща със звяра

(част от сфера),

(Част от конус);

площта U се проектира върху площта на зоната Оху D - радиус 2.

Също така, за да преминете постепенно в интеграла към цилиндричните координати, победните формули (2.36):

Между промените, r е значимо според разстоянието D v извън колоната R=2 с център в точка O, по същия начин: 0?c?2p, 0?r?2. По този начин областта U в цилиндрични координати е маркирана с напредващи неравности:

Ние уважаваме това

Zavantage от Depositfiles

Потенциален интеграл.

Контролирайте храната.

Последователен интеграл, йога на силата.

Замяна на промени в третия интеграл. Изчисляване на интеграла със загуби в цилиндрични координати.

Изчисляване на интеграла със загуби в сферични координати.

Хайде функция u= f(x,y,z), назначени за затворената зона Vпространство Р 3 . Район Розибьемо Vприличен ранг на нелементарни затворени зони V 1 , … ,V н, що V 1 , …,  V ночевидно. Значително д- най-големият от диаметрите на регионите V 1 , … ,V н. В областта на кожата V кизберете добра точка П к (х к ,г к ,z к) и складиране интегрална сумафункции f(х, г,z)

С =

Назначаване.Пробен интегралтип функция f(х, г,z) по регион Vнаречен междуинтегрална сума
yakscho vin isnuє.

по такъв начин,

(1)

уважение.Интегрална сума Сдепозит в начина на разбиване на региона V изберете точка П к (к=1, …, н). Въпреки това, ако има граница, тя няма да пречи на разпадането на региона Vизберете точка П к. Ако сравните обозначението на подварианта и инкременталните интеграли, тогава е лесно да използвате същата аналогия в тях.

Достатъчно разсъждение за интеграла със загуби.Пробен интеграл (13) се използва като функция f(х, г,z) е ограден Vаз съм без прекъсване V, зад короната на крайния брой бучки-гладки повърхности, гниещи при V.

Актове на властта на интеграла на грънчарството.

1) Якщо У- Значи числова константа

3) Адитивност по региони. област Якшо V разделени на региони V 1 і V 2, тогава

4) Прилягащо тяло V dorivnyuє

(2 )

Изчисляване на интеграла със загуби в декартови координати.

Хайде д проекция на тялото Vна плоското xOy, повърхност z=φ 1 (х,г),z=φ 2 (х, г) обграждат тялото Vдолу този звяр е ясен. Tse означава какво

V = {(х, г, z): (х, г)д , φ 1 (х,г)≤ z ≤ φ 2 (х,г)}.

Такова тяло се нарича z- Цилиндрична. Пробен интеграл (1) z- цилиндрично тяло Vизчислен чрез прехода към повторения интеграл, който се добавя от шарнирния тип на интеграла:

(3 )

В този повтарящ се интеграл на гръбнака се изчислява вътрешният интеграл на промяната z, при което х, г vvazhayutsya неизбежно. Да преброим долен интегралпреглед на избраната функция по региони д.

Якщо V х-цилиндрична или д-цилиндрично тяло, след което коригирайте формулата

За първата формула д  проекция на тялото Vкъм координатната равнина yOz, а в другата - в самолета xOz

Приложи. 1) Изчислете общото тяло V, заобиколен от повърхности z = 0, х 2 + г 2 = 4, z = х 2 + г 2 .

Решение. Нека разчитаме за помощта на интеграла на загубите зад формулата (2)

Нека да преминем към повтарящия се интеграл след формула (3).

Хайде д- коло х 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (х , г ) = 0, φ 2 (х , г )= х 2 +y 2. Тоди по формулата (3) се взема

За да изчислим този интеграл, преминаваме към полярни координати. Когато tsimu kolo дтрансформира в безличен

д r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Тило V заобиколен от повърхности z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Изчислете

Квадрати z=y , z=-yда обгради тялото отдолу и до звяра, плоско x= 0 , x= 2 обгръщат тялото отзад и отпред, и плоските y= 1 дясна ръка V-z-цилиндрично тяло, йога проекция дна плоското хейе правоъгълник OABC. Нека го оставим φ 1 (х , г ) = -y

Преработка на вертикалния интеграл под формата на правоъгълни координати до полярни координати
, свързани с правоъгълни координати
,
, следвайте формулата

Каква е зоната на интеграция
заобиколен от две борси
,
(
), които излизат от полюсите, тези двата са криви
і
, тогава основният интеграл се изчислява с помощта на формулата

.

дупе 1.3.Изчислете площта на фигурата, оградена от тези линии:
,
,
,
.

Решение.За изчисляване на площта на района
ускорено по формулата:
.

Въобразима площ (фиг. 1.5). За кого конвертираме криви: , , , . Да преминем към полярните координати: , . . В полярната координатна система областта се описва с равни:

.

1.2. Потенциални интеграли

Главните степени на третите интеграли са аналогични на степените на долните интеграли.

В декартови координати третият интеграл трябва да бъде записан, както следва:

.

Якщо
, след това третият интеграл върху областта числено по-голям обем на тялото :

.

Изчисляване на интеграла със загуби

Нека зоната на интеграция той е заобиколен отдолу и към звяра от ясно недвусмислени непрекъснати повърхности
,
, освен това проекцията на площта към координатната равнина
е равна площ
(Фигура 1.6).

Същото с фиксираните стойности валидни приложения областна точка промяна по границите. Todi otrimuemo: . Какво, освен това, проекция означават нередности , , де - недвусмислено непрекъснати функциина , тогава

.

дупе 1.4.Изчисли
, де - масивни, заобиколени от апартаменти:

	, , , ( , , ). Решение.Областта на интеграция е пирамидата (фиг. 1.7). Площна проекция е трикутник , по прави линии , , (фиг. 1.8). При Апликация точка задоволяване на нервността към това .
	Подреждане на интеграция за трикутник , взета

Пробен интеграл в цилиндрични координати

При преминаване към декартови координати
към цилиндрични координати
(фиг. 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, освен това

	, ,, третият интеграл се преобразува в: дупе 1.5.Изчислете обема на тялото, оградено от повърхности: , , . Решение.Обем на тялото, какво да се шегуваме dorivnyuє .
	Областите на интегриране са част от цилиндър, заобиколен от плоско дъно. , но звярът е плосък (Фигура 1.10). Площна проекция є коло центриран върху кочана от координати и с един радиус. Да преминем към цилиндричните координати. , , . При Апликация точка , утолява нервността или в цилиндрични координати:

Регион
, заобиколен от крива
, чакам да видя, иначе
при циму полярен кут
. Май резултатите

.

2. Елементи на теорията на полето

Нека познаем предварително как да изчисляваме криволинейни и повърхностни интеграли.

Изчисляване на криволинейния интеграл върху координатите на функциите, присвоени на кривите , се свежда до изчисляването на първия интеграл във формата

колко криво дадени параметрично
показващ кочана на кривата , а
- нейните крайни точки.

Изчисляване на повърхностния интеграл като функция
, отбелязано върху двустранната повърхност , добавете към изчислението на подценения интеграл, например ум

,

като повърхността , присвоени на равни
, уникално проектирани върху самолета
към региона
. Тук - разрез между един нормален вектор на повърхността и всичко
:

.

Консумирани от умовете на главата страна на повърхността се определя от избора на знака на формулата (2.3).

Назначаване 2.1. векторно поле
се нарича векторна функция на точката
веднага от зоната, която й е възложена:

векторно поле
характеризиращ се със скаларна стойност - разминаване:

Назначаване 2.2. поток векторно поле
през повърхността се нарича повърхностен интеграл:

,

де - един нормален вектор към избраната страна на повърхността , а
- скаларен doboot vector_v і .

Назначаване 2.3. тираж векторно поле

На затворена крива наречен криволинеен интеграл

,

де
.

Формула на Остроградски-Гаус задайте връзка между потока на векторното поле през затворена повърхност и дивергенцията на полето:

де - Отгоре, заобиколен от затворен контур , а - Единичен нормален вектор към повърхността. Директно нормално, може да има ползи от директен байпас на контура .

дупе 2.1.Изчислете повърхностния интеграл

,

де - Zovnishnya част на конуса
(
), което се вижда от самолета
(Фигура 2.1).

Решение.на върха уникален дизайн в района
апартаменти
, а интегралът се изчислява по формула (2.2).

Единичен нормален вектор към повърхността знаем от формула (2.3): . Тук за нормалното се избира знакът плюс, парчетата се изрязват във въздуха това нормално - глупав аз, otzhe, може да бъде отрицателен. Връховуючи шо , на повърхността приемливо

Регион
є коло
. Следователно в останалия интеграл преминаваме към полярни координати, за които
,
:

дупе 2.2.Намерете дивергенцията и извивката на векторно поле
.

Решение.За формула (2.4) приемаме

Роторът на векторното поле е известен от формула (2.5)

дупе 2.3.Знайте стойността на векторното поле
през част от района :
, roztashovanu на първия октанти
).

	Решение.Силата на формулата (2.6) . Ние представляваме част от района : , разташован на първи октант. Подравняването на дадената зона при ветрозащитните прегради може да изглежда (Фигура 2.3). Нормалният вектор към равнината може да координира: , единичен нормален вектор
	. . , , звезди , отже,

де
- площна проекция на
(Фигура 2.4).

Пример 2.4.Изчислете потока на векторно поле през затворена повърхност , заселено с ж.к
тази част на конуса
(
) (фиг. 2.2).

Решение.Ускорено по формулата на Остроградски-Гаус (2.8)

.

Знаем дивергенцията на векторното поле формула (2.4):

де
- obsyag конус, yakim провежда иtegruvannya. Ускорете с домашната формула за изчисляване на обема на конуса
(- радиус на основата на конуса, - Височина на Його). За нашия ум можем да вземем
. Остатъчен

.

дупе 2.5.Изчислете циркулацията на векторното поле
по контура , покрита отгоре с ператин
і
(
). Проверете резултата, като използвате формулата на Стокс.

Решение. Peretina zaznachenih повърхност е colo
,
(Фигура 2.1). Директно заобикаляйки вибрирането, звукът на онези, които са заобиколени от него, зоната остава със зло. Нека запишем параметричното подравняване на контура :

звезди

освен това параметърът промяна в преди
. Зад формулата (2.7) от уравненията (2.1) и (2.10) вземаме

.

Нека сега формулираме формулата на Стокс (2.9). Якова повърхност , опъната по контура , можете да вземете част от района
. Директно нормално
до tsієї surfy zgodzhuêtsya z байпас на директна верига . Роторът на векторното поле на изчисленията в приложение 2.2:
. Така че тиражът на шукана

де
- площ на района
.
- близо до радиуса
, звезди