Mga subgroup ng cyclic group. Mga paikot na grupo. Sumіzhni classi, teorama ni Lagrange

Ang pangkat O ay tinatawag na cyclic, dahil ang lahat ng mga elemento ay mga hakbang ng isa at parehong elemento. Ang elementong ito ay tinatawag na affirmative cyclic group O. Kung ang isang paikot na grupo ay malinaw na Abelian.

Ang isang paikot na grupo ay, halimbawa, isang pangkat ng mga integer para sa mga karagdagan. Ang Qiu group mi ay sinasagisag ng simbolo 2. ї tvirnoy є numero 1 (і navit number - 1). Ang paikot na grupo ay isa ring pangkat na binubuo lamang ng isang elemento (iisa).

Sa isang malaking grupo Tungkol sa mga tadyang ng anumang elemento g upang maging isang paikot na subgroup na may solidong g. Ang pagkakasunud-sunod ng mga subgroup, zrozumіlo, zbіgaєtsya na may pagkakasunud-sunod ng g elemento. Ang mga resulta ng teorama ni Lagrange (div. pahina 32) ay nagpapakita na ang pagkakasunud-sunod ng anumang elemento ng isang pangkat ay dapat na hatiin, ang pagkakasunud-sunod ng isang pangkat (nang may paggalang, na ang lahat ng mga elemento ng panghuling pangkat ay mga elemento ng huling pagkakasunud-sunod).

Upang iyon, para sa anumang elemento g ng panghuling pangkat, ang pagkakasunud-sunod ay maaaring pantay

Ang simpleng paggalang ay kadalasang mali.

Malinaw, dahil ang grupo ay paikot at її nagtatatag, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng elemento ay tama. Bumalik, bilang isang pangkat ng mga elemento ng volody sa pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay kabilang sa mga hakbang ng elementong ito ay iba, at sa hakbang na iyon ang buong grupo ng Pro.

Mi bachimo, sa ganoong ranggo, na ang isang paikot na grupo ay maaaring ina ng isang dekilka ng iba't ibang utvoryuyuchih (sarili, maging ilang elemento ng pagkakasunud-sunod є tvernoy).

Manager. Upang dalhin iyon ang isang pangkat ng simpleng pagkakasunud-sunod ay isang paikot na grupo.

Manager. Dalhin kung ano ang maaaring i-order ng isang cyclic group, pantay na aprubahan, de - number mga positibong numero, mas maliit at magkaparehong mas simple s .

Sa pagkakasunud-sunod, maging isang pangkat ng kіntsevіy, maaari kang magdagdag ng isang numero - ang hindi bababa sa makabuluhang multiple ng pagkakasunud-sunod ng lahat ng її elemento.

Manager. Upang dalhin, para sa anumang dulo ng grupo, ang numero upang hatiin ang pagkakasunud-sunod ng grupo.

Ito ay malinaw na sa isang paikot na grupo ang bilang ay tumataas sa pagkakasunud-sunod. Bumalik, vzagali tila, hindi totoo. Si Tim ay hindi mas kaunti, maaaring tumitigas, na nagpapakilala sa mga paikot na grupo sa klase ng mga huling grupo ng Abelian:

tapusin ang pangkat ng Abelian, kung saan ang bilang ay mas advanced sa pagkakasunud-sunod, є cyclic group.

Tama, huwag na lang

Mga order ng lahat ng vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї аbelії ї ї ї Tungkol sa order, і nehay - їх hindi bababa sa zagalne maramihang.

I-decompose natin ang bilang ng mga karagdagang hakbang ng iba't ibang prime number:

Hayaan ang Oskіlki number є, para sa layunin, ang pinakamaliit na common multiple ng mga numero (1), kabilang sa mga numerong gusto mong magkaroon ng isang numero na eksaktong naghahati sa ie. Hayaang ang bilang na є ang pagkakasunod-sunod ng elementong g. Ang parehong elemento ay nasa pagkakasunud-sunod (div. sequence 1) sa gilid 29).

Sa ganoong ranggo, para sa sinuman sa grupong Pro ay gustong gumamit ng isang elemento sa pagkakasunud-sunod. Ang pag-vibrate para sa balat ay isang elemento, tingnan natin ang iyong mukha. Zgidno z firmzhennyam, dalhin sa gilid. 29-30; Oskіlki ang natitirang numero para sa isip ay mabuti, si Tim mismo ang nagdala na sa grupo ay may elemento sa pagkakasunud-sunod ng item.Otzhe, ang grupong ito ay isang cyclic group.

Halika na O - medyo paikot na grupo na may baluktot at H - deak її subgroup. Oskіlki be-anumang elemento ng subgroup H ay isang elemento ng grupong Pro, maaari mong tingnan ito, de d - maaari itong maging mas positibo o negatibong numero (vzagalі, pevne ay hindi maliwanag). Maaari nating tingnan ang impersonality ng lahat ng positibong numero, kung aling elemento ang nabibilang sa subgroup N. Oskilki ce impersonality ay hindi walang laman (bakit?), pagkatapos ay ang pinakamaliit na numero ay ipinapakita, kung ang elemento h subgroup H ay ang hakbang ng elemento. Sa katunayan, para sa kapakanan ng argumento, mayroong parehong numero d, na (ang numero ay maaaring negatibo). Hatiin (napakarami) ang numero d sa numero

Kaya, pagkatapos, dahil sa minimal na bilang ng mga sobra, ito ay nagkasala ng pag-abot sa zero. Sa ganoong paraan,

Inihayag mismo ni Tim na ang elemento ay isang solidong pangkat H, kaya ang pangkat H ay paikot. Otzhe, maging isang subgroup ng isang cyclic group ng isang cyclic group.

Manager. Dalhin ang numero sa index ng subgroup H at, pagkatapos, hatiin ang pagkakasunud-sunod ng grupo (tulad ng grupong O Kintsev).

Sa paggalang, para sa anumang dilnik, ang pagkakasunud-sunod ng huling paikot na pangkat Q sa pangkat na Pro ay isa at higit sa isang subgroup H sa pagkakasunud-sunod (at ang subgroup mismo ay

Maliwanag na ang endian cyclic group ay simple, na ang order ay isang prime number (o unity).

Mahalaga na kung ang isang salik (isang pangkat ng pareho, kung isang homomorphic na imahe) ng isang paikot na pangkat Q ay isang paikot na pangkat.

Upang patunayan ito, tandaan na ang grupong tvirnoi ay dapat maglingkod sa matalinong uri, na naghihiganti sa grupong tvirno Pro.

Zocrema, kung ang salik ng pangkat ng pangkat ng mga integer Z ay isang paikot na pangkat. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Dahil ang grupong Z ay Abelian, kung ang subgroup na Z ay isang normal na dilnik. Mula sa kabilang panig, mula sa punto ng view ng pagdadala ng higit pa, ang subgroup H ay isang paikot na grupo. Dahil ang salik ng pangkat sa likod ng mga walang kabuluhang subgroup ay alam natin, kung gayon maaari nating isaalang-alang ang subgroup H na hindi mahalaga. Hayaan ang numero na є nagbibigay-kasiyahan sa subgroup N. Maaari nating gawing positibo ang numero (bakit?) і, din, mas malaki sa isa.

Ang subgroup N. ay nabuo, malinaw naman, mula sa lahat ng mga numero na nahahati sa. Kaya naman ang dalawang numero ay nabibilang lamang sa isang sum class para sa subgroup H, kung ang pagkakaiba ay hinati ng , kung gayon kung ang baho ay maaaring katumbas ng module (div. Course, pahina 277). Sa ranggo na ito, ang mga kabuuan ng klase para sa subgroup H ay walang iba, tulad ng mga klase ng mga numero, upang maaari mong pantay-pantay ang bawat isa para sa module.

Sa madaling salita, ang kadahilanan ng pangkat ng pangkat Z para sa subgroup ng H ay ang pangkat (para sa mga karagdagan) ng mga klase ng mga numero na katumbas ng bawat isa para sa module . Itatalaga namin ang pangkat na ito sa pamamagitan ng klase ng Її na nag-aapruba ng є, na maghihiganti sa numero 1.

Lumilitaw kung ang paikot na pangkat ay isomorphic o ang pangkat Z (dahil hindi ito limitado), o isa sa mga pangkat (habang ang pagkakasunud-sunod ay balat).

Totoo, sabihin sa akin - Gumagawa ako ng pangkat O. Kapansin-pansin, ang pagpapahayag ng pangkat 2 sa pangkat O, gayunpaman

Tingnan natin ang multiplicative group ng lahat ng dalawang hakbang ng dalawa (2Z, ), kung saan 2Z = (2 n | P e Z). Ang isang analogue ng pangkat ng additive my є ay ang additive group ng twin integers (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya grupo, okremi butts ng naturang є danі grupo.

Paghirang 1.8. Multiplicative na pangkat (G,) (Ang additive group (G, +)) ay tinatawag paikot kung paano ito idinaragdag mula sa magkakasunod na antas (ng lahat ng multiple) ng isang elemento a e G, tobto. G=(A p | p e Z) (vіdpovіdno, G - (pa | p e Z)). Pagtatalaga: (a), basahin: cyclic group na nabuo ng elemento a.

Tingnan natin ito.

1. Ang butt ng multiplicative non-scaling cyclic group ay maaaring isang grupo ng lahat ng cycle step ng isang fixed integer number isang f±1, won ang ipinahiwatig at r. sa ganoong paraan, at d - (a).
2. Ang butt ng multiplicative terminal cyclic group ay group C ugat n-ika hakbang mula sa nag-iisa. Hulaan mo ugat n-ika hakbang mula sa isa upang malaman

sa likod ng formula e k= cos---hisin^-, de dati = 0, 1, ..., P - 1. Slide- p p

talaga, З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Hulaan mo kumplikadong mga numero e sa, sa = 1, ..., P - 1, ay itinatanghal ng mga punto ng isang istaka, yak P pantay na bahagi.

3. Ang isang katangian na halimbawa ng isang additive non-scaling cyclic group ay isang additive group ng integers Z na nabuo sa pamamagitan ng numero 1, iyon ay. Z = (1). Sa geometrically, lumilitaw ito sa paningin ng buong mga punto ng numerical line. Sa katunayan, ito ay kung paano inilalarawan ang multiplicative group mismo 2 7 - = (2) a z \u003d (a), decile number isang f±1 (div. Fig. 1.3). Ang kalidad ng mga larawan ay tinalakay sa talata 1.6.
4. Vibero sa isang malaking multiplicative group G aktibong elemento a. Pagkatapos ang lahat ng mga cycle ng mga hakbang ng elemento ay nakakatugon sa cyclic subgroup (a) = (isang p p e Z)G.
5. Maaaring ipakita na ang additive na pangkat ng mga rational number na Q ay hindi mismo cyclic, ngunit kung ang dalawang elemento ay nasa cyclic subgroup o hindi.

A. Pinatunayan namin na ang additive group Q ay hindi cyclic. Tanggapin hindi katanggap-tanggap: hayaan ang Q = (-). Pangunahing target na numero b,

huwag ibahagi t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, pagkatapos ay pangngalan-

b t/ (t J

є tsile number gs 0 kaya sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

mga bituin t:- dіyshli sobrang talas.

B. Sabihin na nating dalawa pa mga rational na numero -

h „ /1

i - overlap cyclic subgroup (-), de tє hanapin- d t/

mas mababa sa isang malaking multiple ng mga numero bі d. Tama, huwag na lang m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, pagkatapos ay i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Teorama 1.3. Ang pagkakasunud-sunod ng cyclic group ay pareho sa pagkakasunud-sunod ng parent element ng grupo, tobto.|(a)| = | isang |.

Nagdadala. 1. Halika na | = ">. Alam namin na ang lahat ng natural na hakbang ng elemento a magkaiba. Hindi katanggap-tanggap: halika ak = a t 0 kay Todi t - dati - natural na numeroі a t ~ to = e. Ale tse superechit from that scho | a = ° °. Sa ganitong paraan, lahat ng natural na hakbang ng elemento a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst group (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | isang |.

2. Halika na | isang | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Mula sa pagtatalaga ng cyclic group, ang pagsasama (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). I-on natin ito. Karagdagang elemento ng cyclic group (a) maaaring tumingin a t, de ti Z. Pagbabahagi ng mga schnapps nang labis: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, pagkatapos isang t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, isang 2,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., Sa ganitong pagkakasunud-sunod, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., isang "-isa).

Kinakailangang dalhin na ang lahat ng mga elemento ay pinarami (a 0, a, isang 2,..., at "-1) naiiba. Tinatanggap na hindi katanggap-tanggap: hayaan ang 0 i P, ale a" = a). Parehong alak - e ta 0 j - i - dіyshli super-sharpness z umovoy | isang | = P. Nakumpleto na ang theorem.

Mga subgroup ng cyclic group

May darating na theorem na tumutukoy sa pagkakaroon ng isang subgroup ng cyclic groups.

Teorama 1.4. Ang isang subgroup ng isang cyclic group ay cyclic. Yakscho G = (a)uH - hindi nag-iisang subgroup ng pangkat G, moH = (at e) de p - ang pinakamaliit na natural na numero, gaya ng p e N.

Nagdadala. Halika G = (a) na H- subgroup ng isang grupo G. Parang subgroup H single, tapos H =(f) – paikot na pangkat. Halika na H- hindi nag-iisang subgroup. Makabuluhang sa pamamagitan ng P hindi bababa sa natural na numero, kaya ang panulat, at ipaalam sa amin iyon H \u003d (a p). Pagsasama ( isang p) h H malinaw naman. I-on natin ito. Halika na h e H. Oskilki G = (a), pagkatapos ito ay isang tunay na palabas dati, e ano ngayon h = a hanggang. Share tayo dati sa P sobra sobra: dati = nq+ g, de 0 p. g F 0, pagkatapos ay kunin h = a hanggang = a pa p h a g, mga bituin a r \u003d a ~ p hN e N. Dumating sa napakahusay na may kaunting display P. Gayundin, r = 0 i sa - nq. Zvіdsi h = a k = a p h e a") Sa ranggo na ito, H h ( a n), mamaya, H = (a e). Nakumpleto na ang theorem.

Mga elemento ng magulang ng cyclic group

Anong mga elemento ang maaaring magbunga ng cyclic group? Mayroong dalawang theorems na sumusuporta sa dalawang theorems na ito.

Teorama 1.5. Hayaang bigyan ang isang paikot na pangkat G = (a) ng hindi nabawasang pagkakasunod-sunod. Todi (a) - (a sa) pagkatapos, at pagkatapos lamang, kung hanggang sa - ± 1.

Nagdadala. Halika na G = (a),|a| = ° ° i (a) = (Ak). Todі іsnuє tіla kіlkіst P, e ano ngayon a = isang kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d e, at oskolki | a = pagkatapos kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. Mas halata ang seryosong pagtigas.

Teorama 1.6. Bigyan natin ang isang paikot na pangkat G = (a) sa ayos na m. gcd(/s, t) = 1.

Nagdadala.(=>) Halika (a) = (a dati), ipaalam sa amin na ang GCD(/s, t) - 1. Makabuluhang mga SNDC, t) – d. Oskilki a e (a) - (a hanggang), pagkatapos a = isang kp kasama ang kasalukuyang kabuuan P. Para sa eksaktong pagkakasunud-sunod ng mga elemento, ang mga bituin ay umaawit, scho (1 - kp) : t, tobto. isa - kp = mt para sa isang tunay na integer t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, mga bituin d = 1 at GCD(/s, t)= 1.

(Tara na NID (k, t) = 1. Alamin natin kung ano (a) = (Ak). Pansinin (a dati) h (a) ay halata. Bumalik, isip GCD No., t) = 1 sumusunod na numero і at v, ganyan ki + mv= 1. Koristuyuchis tim sho | isang | - t, katanggap-tanggap a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Otzhe, (a) = (a hanggang). Nakumpleto na ang theorem.

Hulaan mo Pag-andar ng Euler Ang f(t) ay kumakatawan sa bilang ng mga natural na numero, na hindi nagbabago sa natural na bilang t at kapwa simple t. Parang obsessive consequence.

Bunga. Paikot na pangkat (a) utos t maє f(t) ng iba't ibang elemento, na nabuo.

Para sa ibinigay na geometric na katumpakan ng Theorem 1.5, kinakatawan namin ang cyclic group G = (a) utos t mga puntos ng taya A 0, A b ..., A t _ b hatiin ito sa t pantay na bahagi. elemento isang to ibinigay na mga pangkat na nagpapakita ng mga puntos At bago bubuo ng ilan at ilan lamang, kung, sunud-sunod, puntos A 0, Ak, A 2k atbp., darating tayo sa point A]. Alamin natin ang lahat dati sa t= 10 isa-isahin na lang natin ang vipadkіv (Fig. 1.5). Bilang resulta, kinukuha namin dati =1,3, 7, 9. Para sa isang paikot na grupo (a) Ang ibig sabihin ng tse na (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). likod: alam dati, kapwa simple na may parehong numero t, maaari mong magiliw na vikreslyuvat vodpovidnu "maliit na bituin", matatag na nalalaman na mas maaga kang hihigop ng chi pizno sa punto ng balat, higit pa (a) \u003d ( a sa).

Halika na G– pangkatin ang elementong iyon a G. Ang pagkakasunud-sunod ng elementong a (ipinahiwatig ng ׀а׀) ay tinatawag na pinakamaliit na natural na bilang nN, Ano

a n = a . . . . a =1.

Kung ang naturang numero ay hindi kilala, kung gayon tila iyon a- Isang elemento ng hindi pantay na pagkakasunud-sunod.

Lemma 6.2. Yakscho a k= 1 , pagkatapos k hatiin ayon sa pagkakasunud-sunod ng elemento a.

appointment. Halika na G- grupong iyon a G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є subgroup ng pangkat G, dahil ito ay tinatawag na cyclic subgroup na nabuo ng elemento a (ipinahiwatig ng H =< а >).

Lemma 6.3. Paikot na subgroup H, na nabuo ng elemento a utos n, є tapusin ang pagkakasunod-sunod ng pangkat n, saka

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Lemma 6.4. Halika na a- Isang elemento ng hindi pantay na pagkakasunud-sunod. Parehong cyclic subgroup H = <a> - hindi balat at maging-anumang elemento s H mag-sign up sa tanawin a k , datiZ, saka, sa iisang ranggo.

Tinatawag ang grupo paikot nanalo ang yakscho ng zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh subgroups.

puwit 1. Additive na pangkat Z sa lahat ng integer ay isang walang katapusang cyclic group na nabuo ng elemento 1.

puwit 2. Mga impersonal na ugat n-ika-hakbang mula sa 1st cyclic group order n.

Teorama 6.2. Kung ang isang subgroup ng isang cyclic group ay cyclic.

Teorama 6.3. Kung ang isang infinitely cyclic group ay isomorphic sa isang additive na grupo ng mga integer Z. Kung ito man ay isang kіntseva cyclic system n isomorphic sa pangkat ng lahat ng mga ugat n-ika-hakbang mula sa 1.

Normal na subgroup. salik ng pangkat.

Lemma 6.5. Halika na H- Subgroup ng isang grupo G, sa batayan ng lahat ng left sum class nang sabay-sabay є i right sum_ classes. Todi

aH=Ha, a G.

appointment. Subgroup H groupie G tinatawag na normal sa G(ipinahiwatig HG), dahil ang lahat at kaliwa summіzhnі classi ay tama, kaya

aH=Ha, aG.

Teorama 6.4. Halika na H
G, G/N– walang mukha sa lahat ng sumama na klase ng grupo G ayon sa subgroup H. Paano magparami G/N pagpaparami ng operasyon

(aH)(bH) = (ab)H,

pagkatapos G/N nagiging grupo, dahil ang salik ay tinatawag na pangkat ng grupo G ayon sa subgroup H.

Pangkat homomorphism

appointment. Halika na G 1 i G 2 - pangkat. Todi pagbuburo f: G 1
G 2 ay tinatawag na homomorphism G 1 in G 2, tulad ng

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G 1 .

Lemma 6.6. Halika na f– pangkat homomorphism G 1 sa grupo G 2. Todi:

1) f(1) - solong grupo G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - subgroup ng isang grupo G 2 ;

appointment. Halika na f– pangkat homomorphism G 1 sa grupo G 2. Todi bezlich

kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

ay tinatawag na kernel ng homomorphism f .

Teorama 6.5. keh f
G.

Teorama 6.6. Maging isang normal na subgroup ng isang grupo Gє ang core ng anumang homomorphism.

Kiltsya

appointment. Walang laman ang mukha dati tinawag kіltsem, na parang dalawang binary na operasyon ang itinalaga sa bago, dahil ang mga ito ay tinatawag na mga karagdagan at pagpaparami at nagbibigay-kasiyahan sa mga sumusulong na isipan:

dati- Ang grupo ni Abel para sa karagdagang operasyon;

pangmaramihang nag-uugnay;

vikonuyutsya batas ng distributivity

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

puwit 1. Bezlich Qі R- Kiltsya.

Kіltse ang tawag commutative, gusto

xy=yx, x,yK.

puwit 2. (Porivnyannia). Halika na m- nakapirming natural na numero, aі b- Dovіlnі tsіlі numero. Parehong numero a tumugma sa bilang b sa likod ng modyul m bilang tingian a – b mahahati sa m(nakasulat: ab(mod m)).

Rating na katumbas ng setting ng equivalence sa impersonal Z, ano ang nasisira Z sa klase, yakі tumawag sa mga klase ng vіdrahuvan para sa module m at magpahiwatig Z m. Bezlich Z mє commutative ring na may pagkakaisa.

mga patlang

appointment. Ang field ay tinatawag na walang laman, impersonal R, Upang maghiganti hindi sa 2 elemento, na may dalawang binary na operasyon na natitiklop at nagpaparami nang ganito:

puwit 1. Bezlich Qі R walang limitasyong mga patlang.

puwit 2. Bezlich Z r- Kіntseve field.

Dalawang elemento aі b mga patlang R Ang vіdminnі vіd 0 ay tinatawag na mga diler ng zero, tulad ng ab = 0.

Lemma 6.7. Ang field ay walang bilang ng mga zero.

Hayaang ang g ay isang karagdagang elemento ng pangkat na G. Todi, na tinatanggap ang pinakamababang subgroup
, na nabuo ng isang elemento
.

appointment. Minimum na subgroup
, na nabuo ng isang elemento g ng pangkat G, ay tinatawag paikot na subgroup pangkat G.

appointment. Tulad ng buong pangkat G ay ipinanganak mula sa isang elemento, iyon ay.
, pagkatapos ito ay tinatawag na paikot na pangkat.

Halika na elemento ng multiplicative group G, ang parehong minimal na subgroup, na nabuo ng elementong ito, ay nabuo mula sa elementong nasa isip

Tingnan natin ang hakbang ng elemento , pagkatapos. mga elemento

Dalawang posibilidad:

1. Usі hakbang elemento g raznі, tobto.

, pagkatapos ay narito upang sabihin na ang elemento g ay hindi maaaring bawasan sa pagkakasunud-sunod.

2. Є zbіgi hakbang, tobto. , ale
.

І dito ang elementong g ay ang huling pagkakasunud-sunod.

Tama, sabihin sa akin, halimbawa,
і
todi,
, pagkatapos. magtatag ng mga positibong hakbang
elemento
, katumbas ng isang elemento.

Hayaan ang d - ang hindi bababa sa positibong tagapagpahiwatig ng antas ng elemento , para sa
. Pagkatapos ay tila na ang elemento
Maaaring huling order, katumbas d.

Visnovok. Magkaroon ng uri ng pangkat G ng huling pagkakasunud-sunod (
) lahat ng mga elemento ay nasa huling pagkakasunud-sunod.

Hayaang ang g ay isang elemento ng multiplicative na pangkat G, o isang multiplicative na subgroup
ay idinagdag mula sa lahat ng iba't ibang hakbang ng g elemento. Otzhe, ang bilang ng mga elemento sa subgroup
zbigaєtsya na may pagkakasunud-sunod ng elemento tobto.

bilang ng mga elemento sa isang pangkat
itama ang pagkakasunud-sunod ng elemento ,

Mula sa kabilang panig, maaaring ang parehong katigasan.

Katatagan. Umorder anuman ang elemento
sa pagkakasunud-sunod ng pinakamababang subgroup na nabuo ng elementong ito
.

Nagdadala. 1.Yakscho - Elemento ng huling pagkakasunud-sunod , pagkatapos

2. Yakscho - Isang elemento ng hindi naaayon sa pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay walang dalhin.

Yakscho elemento maaaring mag-order , pagkatapos, para sa layunin, ang lahat ng mga elemento

iba at maging isang hakbang zbіgaєtsya sa isa sa mga elementong ito.

Totoo, hayaan ang bongga na hakbang
, pagkatapos. - sapat na numero at huwag pumunta
. Parehong numero makikita sa isang sulyap
, de
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuuu power level ng g element,

Zokrema, yakshcho.

puwit. Halika na
- Ang abelian na pangkat ng mga integer ay additive. Ang Group G ay nabuo mula sa isang minimal na subgroup, na nabuo ng isa sa mga elemento 1 o –1:

otzhe,
- Bezkіnechna tsiklіchna grupo.

Mga paikot na grupo ng huling pagkakasunud-sunod

Tulad ng isang halimbawa ng isang paikot na grupo ng huling pagkakasunud-sunod, ito ay malinaw isang grupo ng pagbabalot ng tamang n-kutnik shodo yogo sa gitna
.

Mga elemento ng pangkat

є iikot ang n-kutnik laban sa arrow ng godinnikov sa kuti.

Mga elemento ng pangkat
є

at mula sa geometrical mirroring ito ay malinaw na

pangkat
sa paghihiganti sa mga elemento, tobto.
, ngunit ang kasiya-siyang elemento ng grupo
є , pagkatapos.

Halika na
todi (div. fig. 1)

kanin. isa – pangkat - isang wrapper ng tamang trikutnik ABC shodo sa gitna O.

Algebraic operation  sa isang pangkat - Ang huling pambalot laban sa arrow ng taon, sa kut, maramihan , pagkatapos.

Zvorotny elemento
- pambalot sa likod ng arrow ng taon sa kut 1, tobto.

Talahanayan Kechi

Ang pagtatasa ng mga pangkat ng kіntsevyh ay malamang na gagamitin nang maaga para sa karagdagang mga talahanayan ng Keli, pati na rin para sa pagpapakilala ng "talahanayan ng pagpaparami".

Hayaang maghiganti ang pangkat G sa mga elemento n.

Sa aking opinyon, ang talahanayan Keli є parisukat na matris mayroong n row at n row.

Sa skin row at skin layer, isa o higit sa isang elemento ng grupo.

elemento table Kelі, scho na tumayo sa retina ng i-th row at j-th column, sa resulta ng pagpapatakbo ng "multiplication" ng i-th element na may j-th na elemento ng grupo.

puwit. Hayaang maghiganti ang pangkat G ng tatlong elemento (g1, g2, g3). Operasyon sa pangkat na "pagpaparami". Sa puntong ito, ang talahanayan ng Keli ay maaaring magmukhang:

Paggalang. Sa skin row at skin column ng table Keli, lahat ng elemento ng grupo ay matatagpuan at walang baho. Table Keli upang palitan ang lahat ng impormasyon tungkol sa grupo. Ano ang masasabi mo sa kapangyarihan ng grupong ito?

1. Ang tanging elemento ng pangkat na ito ay g1.

2. Abelian ang grupo dahil ang talahanayan ay simetriko kasama ang pangunahing dayagonal.

3. Para sa elemento ng balat ng grupo, kinakailangan na

para sa g 1 balutin є elemento g 1 para sa g 2 elemento g 3 .

Tara na para sa mga grupo Mga cell table.

Para sa kahalagahan ng mahalagang elemento sa elemento, halimbawa, , kinakailangan para sa isang hilera, para sa isang partikular na elemento alam stovpets paghihiganti elemento . elemento vidpovіdny ibinigay sa stovptsyu i є vorotnym sa elemento , dahil
.

Tulad ng talahanayan ng Keli ay simetriko tulad ng dayagonal ng ulo, ang ibig sabihin ng tse ay iyon

- Tobto. ang operasyon ng nasuri na pangkat ay commutative. Para sa kapakanan ng argumento, ang talahanayan ng Keli ay simetriko kahit na ang head diagonal ay nangangahulugan na ang operasyon sa commutative, iyon ay.
,

isang grupo - Abelova.

Maaari mong makita ang buong pangkat ng mga pagbabagong-anyo ng simetrya ng tamang n - cosin na idinagdag sa operasyon ang pambalot ng karagdagang operasyon ng isang maluwang na pagliko sa paligid ng mga palakol ng mahusay na proporsyon.