Cunoașteți direct coordonatele proiecției ortogonale a unui punct. Proiecția unui punct pe o dreaptă Coordonatele unei proiecții a unui punct pe o dreaptă. Proiecția unui punct pe o dreaptă - teorie, aplicați acea soluție

Articolul Tsya care privește înțelegerea proiecției unui punct pe o linie dreaptă (toate). Mi damo yoma a fost numit pentru micuțul vikoristannya, ceea ce vă explic; Mod Vivchimo de a atribui coordonatele proiecției unui punct pe o linie dreaptă (pe un spațiu plat sau banal); Hai să-l încercăm.

În articolul „Proiectarea unui punct pe un plan, coordonate” ne-am întrebat dacă designul unei figuri trebuie înțeles prin conceptele de design perpendicular sau ortogonal.

Toate figurile geometrice sunt pliate în puncte; Prin urmare, pentru a putea proiecta o figură pe o linie dreaptă, este necesar să se țină cont de capacitatea de a proiecta un punct pe o dreaptă.

Numirea 1

Proiecția unui punct pe o dreaptă- tse sau punctul însuși, așa cum ar trebui să se afle pe linia dreaptă dată, sau baza perpendicularei coborâte din punctul de pe linia dreaptă dată.

Să ne uităm la cei mici de mai jos: punctul H 1 servește drept proiecție a punctului M 1 pe dreapta a, iar punctul M 2, care se află pe dreapta, este proiecția către sine.

Denumirea este mai corectă pentru vipadka la suprafață și în spațiul trivimer.

Pentru a lua proiecția punctului M 1 pe dreapta a pe plan, se trasează o dreaptă b, pentru a trece printr-un punct dat M 1 i este perpendicular pe dreapta a. În această ordine, punctul de intersecție al dreptelor a și b va fi proiecția punctului M 1 pe dreapta a.

Într-un spațiu trivial, proiecția unui punct pe o dreaptă va fi deservită de punctul transversal al dreptei a și de planul α, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a.

Valoarea coordonatelor proiecției unui punct pe o dreaptă

Să ne uităm la lanțurile din peisajele designului pe plat și în întinderea banală.

Dați-ne sarcina unui sistem de coordonate dreptunghiular O x y, punctul M1 (x1, y1) i dreapta a. Este necesar să se cunoască coordonatele proiecției punctului M1 pe dreapta a.

Să trecem prin punctul dat M 1 (x 1, y 1) dreapta b perpendiculară pe dreapta a. Punctul de întrerupere este marcat ca H1. Punctul H 1 va fi punctul de proiecție al punctului M 1 pe dreapta a.

Din descriere, este posibil să formulați un algoritm care vă permite să cunoașteți coordonatele proiecției punctului M 1 (x 1 y 1) pe dreapta a:

Linii drepte de pliere (cum nu este specificat). Pentru zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya principal rivnyan pe plat;

Înregistrați alinierea dreptei b (pentru a trece prin punctul M 1 și perpendicular pe dreapta a). Aici se va completa articolul despre alinierea dreptei, pentru a trece printr-un punct dat perpendicular pe dreapta dată;

Este evident că coordonatele proiecției sunt luate drept coordonatele punctului de cruce al dreptelor a și b. Și la aceasta se dovedește sistemul de egalități, depozite ca - egalizarea liniilor drepte a și b.

fundul 1

Pe planul O x y, punctul dat M 1 (1, 0) este dreapta a (alinierea mai mare - 3 x + y + 7 = 0). Este necesar să se precizeze coordonatele proiecției punctului M1 pe dreapta a.

Soluţie

Alinierea dată de linia directă, pe care, conform algoritmului, trecem la cea mai scurtă înregistrare a aliniamentului dreptei b. Linia b este perpendiculară pe dreapta a și, prin urmare, vectorul normal al dreptei a este vectorul direct al dreptei b. Atunci vectorul direct al liniilor b poate fi scris ca b → = (3, 1). Să notăm alinierea canonică a dreptei b, dar trebuie să stabilim și coordonatele punctului M 1 prin linia dreaptă b:

Taietura finală arată coordonatele punctului de încrucișare al liniilor drepte a și b. Sa trecem peste rivnian canonic direct b la zagalny її egal:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Să facem un sistem de egalizări din egalizările superioare ale dreptelor a și b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Ei bine, am luat coordonatele proiecției punctului M 1 (1, 0) pe dreapta 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Sugestie: (- 2 , - 1) .

Raportul va fi revizuit dacă este necesar să se indice coordonatele proiecției punct de referință pe drepte de coordonate și drepte paralele cu acestea.

Fie dreptele de coordonate date O x і O y, precum și punctul M 1 (x 1, y 1). Mi-am dat seama că proiecția unui punct dat pe o coordonată dreaptă O x de forma y = 0 va fi un punct cu coordonate (x 1, 0) . Deci proiecția punctului dat pe coordonata dreptei O y va fi coordonata 0 , y 1 .

Be-yaku destul de drept, paralel cu axa abscisă, poți să o spui greșit gelos sălbatic B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B și drept, paralel cu axa y - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Apoi proiecțiile punctului M 1 (x 1, y 1) pe linia dreaptă y \u003d - C B i x \u003d - CA devin puncte cu coordonatele x 1, - C B i - CA A, y 1.

fundul 2

Luați coordonatele proiecției punctului M 1 (7, - 5) pe dreapta de coordonate O y , precum și pe dreapta paralelă cu dreapta O y 2 y - 3 = 0 .

Soluţie

Să scriem coordonatele proiecției punctului dat pe dreapta O y: (0 - 5) .

Să notăm alinierea dreptei 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Devine clar că proiecția punctului dat pe dreapta y = 3 2 cu matricea de coordonate 7 3 2 .

Sugestie:(0 , - 5) și 7 , 3 2 .

Fie spațiul trivial să aibă un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z , punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) și dreapta a . Cunoaștem coordonatele proiecției punctului M1 pe dreapta a.

Vom lăsa planul α să treacă prin punctul M1 i perpendicular pe dreapta a. Proiecția unui punct dat pe o dreaptă a devine un punct pe o dreaptă a și un plan α. Pe baza acesteia, introducem un algoritm pentru valoarea coordonatelor proiecției punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe dreapta a:

Notăm alinierea dreptei a (deoarece nu este specificată). Pentru a înțelege această sarcină, este necesar să vă familiarizați cu acest articol despre alinierea liniilor drepte în spațiu;

Putem stoca planeitatea?

Cunoaștem coordonatele proiecției punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe dreapta a - vor fi coordonatele punctului liniei transversale a dreptei α și planul lui α (pentru ajutor - articolul „Coordonatele punctului liniei transversale a liniei drepte a planului”).

fundul 3

Dat un sistem de coordonate în unghi drept O x y z , i în nіy - punctul М 1 (0, 1, - 1) i dreapta a . Dreptei a corespunde aliniamentului canonic: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Să se determine coordonatele proiecției punctului M1 pe dreapta a.

Soluţie

Algoritmul Vykoristovuёmo vkazyvshee. Rivnyannya linie dreaptă, primul pas este omis de algoritm. Să notăm alinierea zonei α. Pentru care coordonatele vectorului normal al zonei sunt semnificative. Din aliniamentele canonice date ale dreptei a, putem vedea coordonatele vectorului direct al dreptei: (3, - 4, 1), care va fi vectorul normal al zonei α, perpendicular pe dreapta. A. Todi n → = (3, - 4, 1) este vectorul normal al ariei α. În această ordine, planul α matime arăta egal:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Acum cunoaștem coordonatele punctului de cruce al dreptei și ale planului α, pentru care există două moduri:

1. Sarcinile alinierii canonice vă permit să luați alinierea a două plane, care se suprapun, care reprezintă linia dreaptă a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Pentru a cunoaște punctele liniei transversale a dreptei 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 și planurile 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

La la acest tip anume vikoristovuєmo metoda lui Cramer, dar puteți zasosuvat dacă este ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ = z = ∆ 0 - 78 = 0

În acest fel, proiecția unui punct dat pe o dreaptă a este un punct cu coordonatele (1, 2, 0)

1. Pe baza sarcinilor aliniamentelor canonice, este ușor să scrieți alinierea parametrică a liniei drepte în spațiu:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Să ne imaginăm la nivelul planului, care poate fi văzut ca 3 x - 4 y + z + 5 = 0 în loc de x , y і z їх expresie prin parametrul:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Să calculăm coordonatele punctului de cruce al dreptei a și ale planului α din spatele aliniamentelor parametrice ale dreptei a la λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Astfel, proiecția unui punct dat pe o dreaptă a are coordonatele (1, 2, 0)

Sugestie: (1 , 2 , 0)

Este semnificativ faptul că proiecțiile punctului M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pe dreptele de coordonate O x , O y і O z vor fi puncte cu coordonate (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) și (0 , 0 , z 1) sunt valide.

Cum ți-ai amintit de iertare din text, fii amabil, vezi-o și apasă Ctrl + Enter

ajuta pe altcineva calculator online poți cunoaște proiecția unui punct pe o dreaptă. Sperăm să raportăm o soluție cu explicații. Pentru a calcula proiecția unui punct pe o dreaptă, setați distanța (2- arată ca o dreaptă în plan, 3- arată ca o dreaptă în spațiu), introduceți coordonatele punctului respectiv. element de aliniere în casetă și apăsați butonul „Verishity”.

×

Avans

Ștergeți toate camerele?

Închide Clear

Instrucțiuni pentru introducerea datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (se aplică: 487, 5, -7623 subțire), numere zecimale (de exemplu, 67, 102,54 subțire) sau fracții. Fracția trebuie să fie tastata la vederea a / b, de a i b (b> 0) tsіlі sau zeci de numere. Aplicați 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 subțire.

Proiecția unui punct pe o dreaptă - teorie, aplicați acea soluție

Să ne uităm la sarcina la cele două lumi și trei lumi.

1. Să se acorde un punct spațiului cu două lumi M 0 (X 0 , y 0) eu drept L:

Algoritm pentru proiecția unui punct pe o dreaptă L a te răzbuna așa:

• prompt direct L 1 pentru a trece prin punct M 0 i perpendicular pe dreapta L,
• cunoașteți intervalul liniilor drepte Lі L 1 (punctul M 1)

Linie dreaptă pentru a trece prin punct M 0 (X 0 , y 0) poate arăta astfel:

Vіdkrієmo se înclină

(5)

Să ne asumăm valoarea Xі y la 4):

de X 1 =mt"+X", y 1 =pt"+y".

Exemplul 1. Cunoașteți proiecția unui punct M 0 (1, 3) drept

Tobto. m=4, p=5. Din alinierea dreptei (6) este clar că va trece prin punct M" (X", y")=(2, −3)(care este ușor de schimbat - înlocuirea valorii (6) ia identitatea 0=0), atunci. X"=2, y"=-3. Să ne asumăm valoarea m, p, x 0 , y 0 ,X y" la 5"):

2. Să se acorde un punct spațiului trivi-lumesc M 0 (X 0 , y 0 , z 0) eu drept L:

Semnificația proiecției unui punct pe o dreaptă L a te răzbuna așa:

• încurajează apartamentul α , a trece prin punct M 0 i perpendicular pe dreapta L,
• cunoașteți zona retinei α eu drept L(pata M 1)

Planeitatea planului pentru a trece prin punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0) poate arăta astfel:

Vіdkrієmo se înclină

Să ne asumăm valoarea Xі y aproximativ 9):

Proiectarea unui punct pe o linie dreaptă este ușor de făcut, iar pentru ultimele operații, proximitatea zero este calculată ca proiecție a unui punct pe o linie dreaptă cu puncte. Să aruncăm o privire asupra acestui număr de aspecte ale sarcinii comune.

Lasă-l drept

eu picăt. Important, vectorul liniilor drepte w poate fi destul de lung. Linia dreaptă trece prin punctul , unde parametrul t este egal cu zero, iar vectorul w poate fi drept. Este necesar să se cunoască proiecția unui punct pe o dreaptă. Există o singură soluție. Vom induce un vector dintr-un punct al unei drepte la un punct și un vector rigid scalar computabil și un vector al unei drepte w. Pe fig. 4.5.1 arătând vectorul direct al liniilor w, punct dat. Dacă împărțim această extensie scalară în lungimea vectorului w, eliminăm lungimea proiecției vectorului pe o dreaptă.

Orez. 4.5.1. Proiecția unui punct pe o dreaptă

Dacă împărțim extensia scalară la pătratul lungimii vectorului w, atunci luăm lungimea proiecției vectorului pe linia dreaptă în unități de lungime a vectorului w, deci luăm parametrul t pentru proiecția punctului pe linie dreaptă.

Astfel, parametrul de proiecție al unui punct pe o dreaptă și raza-vector al proiecției; calcula cu formule

(4.5.3)

Dacă lungimea vectorului w este egală cu 1, atunci (4.5.2) nu este necesară scăderea din punct până la proiecția pe curba din panta superioară se calculează ca lungime a vectorului. Puteți calcula distanța de la punct la proiecția її pe o linie dreaptă, nu calculând proiecția punctului, ci accelerând formula

Okremі cade.

Proiecția unui punct pe curbele analitice poate fi cunoscută și fără cunoașterea metodelor numerice. De exemplu, pentru a cunoaște proiecția punctului pe tăietura finală, este necesar să transpuneți punctul care este proiectat în sistemul de coordonate al tăieturii de capăt, să proiectați punctul pe planul tăieturii finale și să cunoașteți parametrul proiecției bidimensionale a punctului dat.

Zagalny vpadok.

Să fie necesar să se cunoască toate proiecțiile unui punct pe o dreaptă curbă.

(4.5.5)

Scopul este de a ne răzbuna pe o valoare necunoscută - parametrul t. După cum sa spus deja, finalizarea căreia sarcină a fost împărțită în două etape. În prima etapă, semnificăm aproximarea zero a parametrilor în proiecțiile punctului de pe curbă, iar în cealaltă etapă, cunoaștem valorile exacte ale parametrilor din curbă, care atribuie proiecțiile punctului dat. pe curba spre linia z