Aflați coordonatele centrului masei unei drepte omogene. Cum se calculează centrul de greutate al unei figuri circumscrise plate cu ajutorul unei integrale cu sârmă? Ordinea vikonaniei unei rozrahunka tipice

Vom ghida fundul tintei spre centrul masei corpului prin metoda podіlu yoga pe marginea corpului, centrul masei celor din casa.

fundul 1. Desemnați coordonatele centrului de masă al unei plăci omogene (Fig. 9). Calculați sarcinile în milimetri bebe 9.

Soluţie: Arătăm axele de coordonate i . Rupem farfuria în bucăți, făcute cu trei tăieturi drepte. Pentru rectul dermic, sunt trasate diagonale, ale căror puncte transversale indică poziția centrului masei rectului dermic. În sistemul de coordonate adoptat, nu este ușor să calculați valorile coordonatelor și punctelor. Și pentru ea însăși:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Zonele corpului pielii sunt moderat îmbunătățite:

; ; .

Suprafața tuturor plăcilor este bună:

Pentru alocarea de coordonate centrului de masă al plăcii date, este necesar să virazi (21). Reprezentăm valoarea tuturor cantităților cunoscute acest om este egal, Luat

Vіdpovіdno până la otrimanih valoarea coordonatelor la centrul de masă al plăcii, puteți specifica un punct pe cel mic. După cum puteți vedea, centrul de masă (punctul geometric) al plăcii este situat în spatele limitelor.

Metoda de adunare. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom mod podіlu. Vіn poate zastosovuvatisya to tіl, yakі mаyut virіzi (gol). În plus, fără vir_zanoї o parte a poziției centrului masei corpului este vizibilă. Să ne uităm la, de exemplu, zastosuvannya o astfel de metodă.

fundul 2. Desemnați poziția centrului masei vagăi unei plăci rotunde cu o rază R, de є virіz cu o rază r (Fig. 10). Haide.

Soluţie: La fel ca Bachimo, din Fig.10 centrul de masă al plăcii se află pe axa de simetrie a plăcii, adică pe o linie dreaptă, cioburile sunt drepte, toată simetria. Astfel, pentru a atribui poziția centrului de masă al plăcii, este necesară atribuirea unei singure coordonate, dar celelalte coordonate vor fi desenate pe axa de simetrie și egale cu zero. Să arătăm axele de coordonate. Se acceptă că placa este formată din două corpuri - dintr-un nou țăruș (nu fără viriz) acel corp, ca nibi vikonane cu viriz. În sistemul de coordonate adoptat, coordonatele pentru desemnarea organelor sunt: ​​.Zone de organe sunt: ​​; . Suprafața totală a întregului corp este mai egală cu diferența dintre zonele primului și celuilalt corp și

Calculați valorile m,și este necesar să se potrivească formulele (4), (5) și (7). Drept urmare, luăm formule pentru coordonatele centrului masei plăcii subțiri :

Butt 4 (calculul coordonatelor la centrul masei unei rochii uniforme)

Aflați coordonatele centrului de masă al unei figuri omogene, înconjurat de drepte și .

După ce a inspirat figura, observăm că este în afara geometric și simetric ca o linie dreaptă. dreptaci. Apoi, în spatele puterilor fizice date, așezăm centrul de masă pe care vinurile se află pe axa de simetrie, astfel încât

Pentru a calcula, adunați momentul static și câștigați formulele (4) și (5):

;

Sugestie: C .

Aditivi ai integralelor a treia

Programele pentru integrări suplimentare sunt similare cu suplimentele sub-integralelor, dar numai pentru trivimeri.

Dacă doriți să câștigați una dintre puterile integralei triple (aproximativ aceeași valoare a funcției, care este și aceeași valoare a unuia), atunci mergeți formula de calcul a obligatiei de a fi corp spatios :

Să scriem formula pentru obyagu prin a treia integralăși integrală de pierdere calculabilă în coordonate cilindrice:

Vidpovid: (singur obligă).

Formula de calcul a masei unui obiect trivimer care împrumută volumul V, poate arata:

(13)

Iată volumul schіlnіst rozpodіlu masi.

fundul 6

Cunoașteți masa razei rece R cum spațiul este proporțional cu cubul din centru și pe peretele unic k.

V: volum elementar ta .

Este demn de remarcat faptul că la calcularea integralei triple nu mai existau integrale, chipurile integralelor interne păreau a fi neputincioase în cazul schimbării integralelor exterioare.

Vidpovid: (masi singur).

Caracteristici mecanice pentru legare V(Momentele statice, momentele de inerție, coordonatele la centrul de masă) sunt calculate după formule, cum ar fi

pliat prin analogie cu formulele pentru corpuri cu două lumi.

Momente statice elementare și momente de inerție de-a lungul axelor de coordonate:

momente elementare de inerție de-a lungul planurilor de coordonate și punctelor de pe cobul de coordonate:

Dali, pentru a calcula caracteristicile mecanice ale întregului obyagu V,Este necesar să însumăm adăugările elementare ale caracteristicilor pentru toate părțile defalcării (se numără caracteristicile celei mai mari puteri de aditivitate), apoi să mergeți la limita în sumă, care era dincolo de minte, că toate părțile elementare ale defalcării se vor modifica (contractul în puncte). Cantitățile sunt descrise ca o integrare a unui addendum elementar de caracteristici mecanice, care sunt calculate, pentru obligatoriu V.

Ca urmare, vino formule de calcul a momentelor statice М și a momentelor de inerție I trivi- mer tіl :

Într-adevăr, ei au formulat formulele ca victorioși pe măsură ce sunt gata și îi conduc în sarcini virishuvaniy.

Aplica 7 (calculul caracteristicilor mecanice ale corpurilor tridimensionale)

Aflați momentul de inerție al unui cilindru uniform, a cărui înălțime hși raza bazei R, cum să axa, care zbіgaєtsya cu diametrul bazei.

Noi stim d pentru un punct parțial al cilindrului:

deplasați-vă la un punct cu coordonatele axei – lungimea perpendicularei trasate de la centrul punctului la ax . Să facem planul perpendicular pe axă, astfel încât punctul să se afle pe acest plan. Apoi fii drept, care traversează totul și se află pe acest plan, va fi perpendicular . Zokrema, linie dreaptă, care leagă un punct și un punct, va fi perpendiculară pe axă, iar dacă stai între aceste puncte, vei fi o shukana d. Calculați yoga pentru formula dată între două puncte.

3 Adunări de integrale subiacente

3.1 Introducere teoretică

Să aruncăm o privire la programe integrală cu sârmă la vârful sarcinilor geometrice joase și sarcinilor mecanicii.

3.1.1 Calculul suprafeței plăcii plate

Să ne uităm la o placă de material subțire D, extins în apartament Ohu. zonă S Plăcile tsієї pot fi găsite pentru ajutorul integralei de subcurent pentru formula:

3.1.2 Momente statice. Centru de masă plată

moment static M X axa shodo Bou punct material P(X;y) care se află lângă apartament Oxy si maє masu m, Se numește puncte dobutok massi pe ordonata її, tobto. M X = al meu. În mod similar, momentul static M y axa shodo Ai: ­ ­ ­ M y = mx. Momente statice plăci plate cu fantă de suprafață γ = γ (X y) se calculează folosind formulele:

După cum se vede din mecanică, coordonatele X c ,y c centrele de masă ale unui sistem de material plat sunt definite prin egalități:

de m- Sistemul Masa și M Xі M y- Momentele statice ale sistemului. Greutate plată m determinate de formula (1), momentele statice ale unei plăci plate pot fi calculate folosind formulele (3) și (4). Todi, zgіdno z formule (5), se ia viraz pentru coordonatele la centrul de masă al plăcii plate:

Tipic rozrahunok răzbuna două sarcini. Medicul de piele i se dă o farfurie plată D, înconjurat de linii, arătat pentru mintea sarcinii. G(X y) - jocul de suprafață al plăcii D. Pentru a cunoaște numărul de plăci: 1. S- pătrat; 2. m- Masu; 3. M y , M X- Momente statice pentru axe Oiі Oh evident; 4. , - Coordonatele centrului de masă.

3.3 Ordinea vykonannya tipic rozrahunku

Atunci când efectuați o sarcină de piele, este necesar să: 1. Îndepărtați scaunul dintr-o zonă dată. Alegeți un sistem de coordonate, pentru care se vor calcula subintegrale. 2. Înregistrați zona sistemului vizual de nereguli în sistemul de coordonate ales. 3. Calculați aria S ta masu m plăci urmând formulele (1) și (2). 4. Calculați momentele statice M y , M X formulele (3) și (4). 5. Calculați coordonatele masei centrale folosind formulele (6). Aplicați centrul masei pe fotoliu. Dăm vina pe controlul vizual (yakish) de a elimina rezultatele. Numerele numerice pot fi luate din trioul de numere.

3.4 Aplicați un halat tipic

Sarcina 1. farfurie Dînconjurat de linii: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y≥ 0) Grosimea suprafeței γ 0 = 3. Soluţie. Zona specificată în problemă este înconjurată de o parabolă y = 4 – X 2, axele de coordonate i se află la primul sfert (Fig. 1). Sarcina este modificată în sistemul de coordonate carteziene. Această zonă poate fi descrisă printr-un sistem de nereguli:

Orez. unu

zonă S plăcile sunt mai stabile (1): Deoarece placa este uniformă, m = γ 0 S= 3 = 16. În spatele formulelor (3), (4) cunoaștem momentele statice ale plăcii: Coordonatele centrului mas sunt date prin formula (6): Sugestie: S ≈ 5,33; m = 16; M X = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Sarcina 2. farfurie Dînconjurat de linii: X 2 + la 2 = 4; X = 0, la = X (X ≥ 0, la≥ 0). Grosimea suprafeței γ (X y) = la. Soluţie. Placa este înconjurată de un țăruș și linii drepte care trec prin cobul de coordonate (Fig. 2). Prin urmare, pentru finalizarea sarcinii, este necesar să transcrieți manual sistemul de coordonate polare. polar kut φ schimbare de la π/4 la π/2. Promin, trecând de la stâlp prin placă, „intră” înaintea lui la ρ = 0 și „intră” în miză, egal cu: X 2 + la 2 = 4 <=>p = 2.

Orez. 2

Din nou, o zonă dată poate fi scrisă cu un sistem de nereguli: Aria plăcii este cunoscută din formula (1): Masa plăcii este cunoscută prin formula (2), substituind γ (X y) = y = ρ păcat φ :
Pentru calcularea momentelor statice ale plăcii, putem folosi formulele (3) și (4):
Coordonatele centrului de masă sunt luate din formulele (6): Sugestie: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M X = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Proiectarea sunetului

Stelele pot avea o reprezentare a tuturor vikonan rozrahunka, fotolii frumos vikonan. Numerele numerice pot fi luate din trioul de numere.

– calculul pentru centrul de greutate este plat silueta franjuri . Cititorul bogat înțelege intuitiv care este centrul de greutate, recomand repetarea materialului uneia dintre lecții geometrie analitică de am rezolvat zavdannya despre centrul de greutate al trikutnikului iar într-o formă accesibilă descifrând termenul fizic.

La sarcini independente și de control, pentru perfecțiune, de regulă, cel mai simplu vipadok este propagat - apartamentul este înconjurat omogen o figură, pentru a posta o putere fizică postiynoї - sticlă, derev'yana, pewter'yana chavunni іgry, copilăria tare este subțire. Dali pentru umovchannyam mova pіde tіlki despre astfel de cifre =)

Prima regulă este cel mai simplu fund: chiar dacă figura este plată centru de simetrie, apoi vin є centrul de greutate tsієї figura. De exemplu, centrul unei plăci rotunde uniforme. Este logic și conștient de viață - masa unei astfel de figuri este „distribuită în mod corect pe toate părțile”, precum centrul. Crede - nu vreau.

Cu toate acestea, în realitate, este puțin probabil să dai lemn dulce baton eliptic de ciocolată Tom va trebui să se ocupe de un instrument serios de bucătărie:

Coordonatele centrului de greutate al unei figuri circumscrise plate uniforme sunt acoperite de formulele avansate:

, sau:

, de - suprafața regiunii (cifre); dar haideti pe scurt:

, de

Integrala se numește mental integral „ixovim”, iar integrală este integrală „igrom”.

Acceptare-finisare : pentru brăzdat plat eterogen cifre, a căror lățime este dată de funcția, formule de pliere:
, de - figuri Masa;în vremuri de putere uniformă, mirosul va fi iertat la introducerea mai multor formule.

Pe formule, vlasne, toate noutățile și capete, reshta - toate vminnya ta virishuvati integrale subvinciale, până la punctul de vedere, de îndată se spera la o capacitate miraculoasă de a lucra și a-și perfecționa tehnica. Și minuțiozitatea, după cum se pare, nu există nicio diferență =)

Aruncarea unei mari porțiuni de parabole:

fundul 1

Găsiți coordonatele centrului vagăi unei figuri plate uniforme, înconjurate de linii.

Soluţie: liniile aici sunt elementare: setați întreaga abscisă și egalați - o parabolă, astfel încât să vă fie ușor să obțineți ajutor transformarea geometrică a graficii:

– parabolă, Am împins 2 unități la stânga și 1 unitate în jos.

Cusez întregul fotoliu cu un punct gata în centrul capriciei figurii:

Conduceți un prieten: ce are figura toată simetria, atunci centrul de greutate al acestei figuri este obligat să se afle pe axa ei.

Figura noastră este simetrică față de shodo Drept deci știm deja coordonata „ix” a punctului „em”.

De asemenea, este important de respectat faptul că centrul de greutate al deplasărilor este mai aproape de axa absciselor de-a lungul verticalei, oscilatorii există o cifră masivă.

Deci, poate, nu toată lumea și-a dat seama încă cum este centrul vagăi: fiți amabili, ridicați degetul în sus și puneți un punct pe noul „picior” umbrit. Teoretic, figura nu este vinovată de cădere.

Coordonatele centrului de greutate al figurii sunt cunoscute prin formule de .

Ordinea de ocolire a zonei (cifrele) este evidentă aici:

Respect! Este determinată de cea mai viabilă ordine de ocolire o singura data- I vikoristovuemo yoga pentru toți integrat!

1) Pe spate, calculez aria figurilor. Prin simplitatea evidentă a integralei, soluția poate fi aranjată compact, smut, pentru a nu se pierde în calcule:

Ne minunăm de fotoliu și ne prefacem că suntem pe pătrat. Viyshlo bіlya fă-o.

2) Coordonata x a centrului de greutate a fost deja găsită prin „metoda grafică”, astfel încât să vă puteți referi la simetrie și să treceți la următorul punct. Cu toate acestea, încă nu este un rajah să lucrezi așa - este grozav să te gândești că este o idee bună să respingi formula „câștigă formula”.

Respectați faptul că aici este posibil să vă ocupați de calcule de culoarea vinului - uneori nu este obligatoriu să aduceți fracțiile la un standard dublu și să chinuiți un calculator.

În acest mod:
, Ce și trebuie să luați.

3) Cunoaștem ordonata centrului de greutate. Să calculăm integrala grecească:

Și axa de aici fără un calculator ar fi fost grea. Voi comenta despre fiecare schimbare că, ca urmare a multiplicității de membri bogat divizați, există 9 membri, în plus, diaconii sunt asemănători cu ei. Dodanki similar am vaccinat pe cale orală (cum să sune ca un robit la astfel de vipadka)și notând imediat suma pungii.

Ca urmare:
care se aseamănă din ce în ce mai mult cu adevărul.

În etapa finală, este marcat pe patul fotoliului. Pentru minte, nu a fost necesar să fac un fotoliu, dar în număr mai mare, vreau să înfățișez o figură, chiar dacă nu vreau. Natomist este un plus nebunesc - reverificare vizuală și eficientă a rezultatului.

Vidpovid:

Vin două capturi ale unei soluții independente.

fundul 2

Găsiți coordonatele centrului vagăi unei figuri plate uniforme, înconjurate de linii

Înainte de discurs, după cum vezi, ca o parabolă este ciufulită și punctele sunt întoarse, în care totul este răsturnat, atunci aici te poți lipsi cu adevărat de un fotoliu.

І pliere:

fundul 3

Găsiți centrul vagăi unei figuri plate uniforme, înconjurate de linii

În perioadele de dificultate din programul post-buget, vivchit (repetare) lectie parabolica si/sau fundul nr 11 statti Integrale suspendate pentru ceainice.

Srazkovі zrazki soluție ca o lecție.

În plus, vreo duzină de aplicații similare pot fi găsite în arhivele din lateral Soluții gata pentru matematica ta.

Ei bine, nu pot să nu le mulțumesc îndrăgostiților matematică avansată, Cât de des să-mi cereți să rezolv sarcinile importante:

fundul 4

Găsiți centrul vagăi unei figuri plate uniforme, înconjurate de linii. Figura acelui centru de greutate її este reprezentată pe fotoliu.

Soluţie: umova tsієї zadachi vzhe categoric vmagaє vykonannya fotoliu Aje vimoga nu nastіlki і formal! - Tsyu figura zdatna pentru a dezvălui în minte o persoană de la nivelul mediu de pregătire:

Roz_kaє kolo drept pe 2 părți și protecție suplimentară (Div. neregularități liniare) Le subliniez celor că pot să mă ocup de un mic shmatochok de umbrire.

Figura este simetrică și dreaptă vizual (înfățișată printr-o linie punctată), centrul de greutate este de vină pentru că se află pe această linie. І este evident că coordonatele yogo sunt egale în spatele modulului. Un ghid care se îndreaptă practic pe grațiere!

Acum este o noutate murdară =) La orizont, o integrală cu recepție scăzută de la rădăcină, pe care se pare că am luat-o din Aplicația nr. 4 la lecție Metode eficiente de rezolvare a integrărilor. Și cine știe ce mai este pictat acolo. Ar fi dat, prin prezență cola Evident, nu totul este atât de simplu. Linia dreaptă Rivnyannya se transformă dintr-o privire și integrarea poate să nu fie adevărată (dacă fanaticii doresc integrale trigonometrice a evalua). La legătura cu zim, zupinitatea este mai frecventă pe coordonatele carteziene.

Ordinea de ocolire a figurii:

1) Calculați aria figurii:

Prima integrală a luării raționale p_dvedennyam p_d semnul diferenţialului:

Și într-o altă integrală, vom efectua o înlocuire standard:

Să numărăm noua inter-integrare:

2) Știm.

Aici la a 2-a integrală există o nouă răsucire metodă. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt pe ozbroєnnya qі optim (in mintea mea) accepta dezvoltarea integralelor tipice.

După dificil și banal, calculează din nou privirea bestială asupra fotoliului (amintiți-vă că punctele Încă nu știm! ) și otrimuєmo la un anumit grad de satisfacție morală având în vedere valoarea găsită.

3) Vyhodyachi z a efectuat o analiză mai devreme, a pierdut reconcilierea, scho.

Notă:

Punct reprezentabil pe scaun. Vіdpovіdno la mintea formularului, vom nota її ca reziduală dovada:

Sarcină similară pentru o viziune independentă:

fundul 5

Găsiți centrul vagăi unei figuri plate uniforme, înconjurate de linii. Fotoliu Vikonati.

Ne interesează faptul că în ea figura este dată pentru a face mici amintiri, iar dacă este ceva timp pentru iertare, atunci nivelul ridicat al focului va fi „nu cheltuit” în regiune. Ce, bezperechno, bun din punct de vedere al soluției de control.

Srazkovy zrazok conceput ca o lecție.

Іnodi buvaє dotsіlnim trecerea la coordonatele polare la integralele inferioare. Vezi figura. Shukav-shukav acasă fundul departe Dacă nu știți, vă voi arăta soluția pentru prima sarcină demonstrativă a lecției atribuite:


Ghici la ce ne-am dus coordonate polare, a explicat procedura de ocolire a zonei și zona virahuvali її

Să știm centrul de greutate al figurilor. Schema este aceeași: . Valoarea este vizibilă direct din fotoliu, iar coordonata „ix” poate fi deplasată puțin mai aproape de axa y, cioburile de acolo sunt împrăștiate de o parte masivă a berii.

În integrale, putem folosi formulele standard pentru tranziție:

Ymovirno, mai bine pentru toate, n-au avut milă.