Дії peste matrice și їх vyzniki. Principalele operații pe matrice (pliere, înmulțire, transpunere) sunt aceeași putere. Operația de înmulțire a matricei

Matrici. Treceți peste matrice. Dominanța operațiunilor pe matrice. Vezi matricea.

Matrici poate fi o valoare importantă în matematica aplicată, care poate fi scrisă într-o formă simplă a unei părți semnificative modele matematice obiecte și procese. Termenul „matrice” a apărut în 1850. Anterior, matricele erau ghicite în China antică, mai târziu în matematicienii arabi.

Matrice A=Amn se numește ordinul m * n tabelul rectiliniu al numerelor.

Elemente de matrice aij, pentru care i=j se numesc diagonala i diagonala principală.

Pentru o matrice pătrată (m=n), diagonala capului este formată din elemente a 11 , a 22 ,..., a nn .

Matrici rivniste.

A=B doar ordinea matricelor Aі B cu toate acestea, că a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Treceți peste matrice.

1. Adunarea matricelor - operare element cu element

2. Vizualizarea matricilor - operare element cu element

3. Adăugarea unei matrice la un număr este o operație element cu element

4. Multiplu A*B matrice după regulă rând deasupra(numărul de coloane din matricea A poate fi egal cu numărul de rânduri din matricea B)

Amk * Bkn = Cmn de ce elementul piele h ij matrici Cmn se adună suma elementelor rândului i al matricei A și a celorlalte elemente ale coloanei j-a a matricei B, tobto.

Să arătăm pe exemplu operația de înmulțire a matricelor

5. Legături la picioare

m>1 celulă Data. A este o matrice pătrată (m=n) tobto. relevante pentru matrice pătrată

6. Transpunerea matricei A. O matrice transpusă este notată cu A T sau A

Rândurile și coloanele erau comemorate prin misiuni

fundul

Puterea operațiunilor pe matrice

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matrice Vidi

1. Dreptunghiular: mі n- numere destul de pozitive

2. Pătrat: m=n

3. Rând matrice: m=1. De exemplu, (1 3 5 7) - pentru multe sarcini practice, o astfel de matrice se numește vector

4. Matrix Stovpets: n=1. De exemplu

5. Matricea diagonală: m=nі a ij = 0, ca i≠j. De exemplu

6. Matrice singură: m=nі

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice Tricot: toate elementele de sub diagonala capului sunt egale cu 0.

9. Matricea simetrică: m=nі a ij = a ji(să stea elemente egale pe diagonalele capului simetrice) și, de asemenea A"=A

De exemplu,

10. Matricea oblică: m=nі a ij =-a ji(De aceea pe diagonalele principale simetrice sunt elemente protilene). De asemenea, pe diagonala capului stau zerouri (pentru că cu i=j poate a ii =-a ii)

am inteles A"=-A

11. Matricea hermitiana: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- complex - primit până la a ji, apoi. yakscho A=3+2i, apoi complex - obținut Ã=3-2i)

Atribuirea serviciului. Calculator matrice sarcini pentru apariția virusurilor matriceale, de exemplu, cum ar fi 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instruire. Pentru soluții online este necesară setarea variabilei matricei. Într-o altă etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunea matricelor. Operații permise: înmulțire (*), adunare (+), adunare (-), matrice inversă A^(-1), coborâre (A^2, B^3), matrice de transpunere (A^T).

Operații permise: înmulțire (*), adunare (+), adunare (-), matrice inversă A^(-1), coborâre (A^2, B^3), matrice de transpunere (A^T).
Pentru a vedea lista operațiunilor, utilizați pata de răchită cu comă (;). De exemplu, pentru vikonannya trei operațiuni:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
trebuie să-l scrii astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

O matrice este un tabel numeric dreptunghiular, care are m rânduri și n coloane, astfel încât matricea poate fi reprezentată schematic privind un dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) denumește matricea, toate elementele egale cu zero și setate la 0.
Matrice singură se numește matrice pătrată

Două matrice A și B sunt egale duhoarea yakscho de aceeași dimensiune și їх vіdpovіdnі elemente іvnі.
Matricea virală se numește matricea, care este egală cu zero (Δ = 0).

Semnificativ operații de bază pe matrici.

Adăugarea de matrici

Programare. Suma a două matrice A = | | a i k | | i B=||b i k || aceeași dimensiune se numește matricea C=||c i k || se liniștesc razmіrіv, elemente precum perebuvayut pentru formula c i k =a i k + b i k . Prezentat ca C=A+B.

Exemplul 6 . .
Operația de pliere a matricelor se extinde odată cu numărul de adăugiri. Evident, A+0=A.
Încă o dată, vă încurajăm să pliați mai mult decât o matrice de aceeași dimensiune; pentru matrice de expansiuni diferite nu este atribuită operația de adunare.

Matricea vederii

Programare. Comerț cu amănuntul B-A o matrice B și A de aceeași dimensiune se numește matrice C astfel încât A+C=B.

Reproducerea matricelor

Programare. Matrice suplimentară A=||a i k || numărul α se numește matricea C = | |

Programare. Dați două matrice A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), în plus, numărul de coloane din A este egal cu numărul de rânduri din B . Doboot-ul de la A la B este matricea C=||c i k ||, ale cărei elemente se află în spatele formulei .
Prezentat ca C=A·B.
Schematic, operația de înmulțire a matricelor poate fi reprezentată astfel:

și regula de calcul al elementului de creație:

Pidkremlimo chop o dată, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, dacă numărul pașilor primei dorivnika Kilkosti este celălalt, sub munca creativului, numărul de role laminate Puteți verifica rezultatul înmulțirii printr-un calculator special online.

Exemplul 7. Dată o matrice і . Cunoașteți matricele C = A B și D = B A.
Soluţie. Cu respect, se folosește A B, dar numărul de coloane A este egal cu numărul de rânduri B.

Cu respect, vipadku are A·B≠B·A , atunci. matrice dobutok anticomutativ.
Cunoaștem B A (multiplu posibil).

Exemplul 8 . Dată o matrice . Cunoașteți 3A 2 - 2A.
Soluţie.

.
; .
.
Acesta este un fapt semnificativ.
După cum se dovedește, adăugarea a două numere dublu zero nu este egală cu zero. Pentru matrici, situația poate fi sau nu similară, astfel încât producția de matrici diferite de zero poate apărea egală cu matricele nule.

Cu respect, elementele unei matrice nu pot fi mai mult decât un număr. Spuneți-ne că descrieți cărțile, cum să vă poziționați pe poliția dvs. de carte. Lăsați poliția să păstreze ordinea și toate cărțile să stea pe locurile de cântat. Tabelul, ca o descriere adecvată a bibliotecii dumneavoastră (de către poliție și următoarele cărți despre poliție), va fi, de asemenea, o matrice. Ale, o astfel de matrice nu va fi numerică. Al doilea exemplu. În locul numerelor stau diferite funcții, mâncate între ele de un fel de pârghie. Tabelul lui Otriman se mai numește și matrice. Cu alte cuvinte, Matrix, așa cum ar fi, este o masă dreptunghiulară, pliată asemănătoare elemente. Aici și mai departe vorbim despre matrici, pliate din numere.

Înlocuiți brațele rotunde pentru înregistrarea matricelor prin plasarea de brațe pătrate sau linii verticale drepte.

(2.1*)

Numirea 2. Ca un Virazi(1) m = n, apoi vorbește despre matrice pătrată, dar yakscho , apoi despre dreptunghiular.

Valoarea rămasă a lui m și n este împărțită în tipuri speciale de matrice:

Cea mai importantă caracteristică pătrat matrice є її vyznachnik sau determinant, Ce se formează din elementele matricei și este indicat

Este evident că D E = 1; .

Numirea 3. Yakscho , apoi matricea A numit nevirgină sau nu mai ales.

Numirea 4. Yakscho detA = 0, apoi matricea A numit virogenă sau mai ales.

Numirea 5. Două matrice A і B numit egal ea scrie A=B ca și cum duhoarea ar putea fi aceeași, diferențele și їх elementele viabile sunt egale,.

De exemplu, matrice și egal, deoarece duhoarea este mai aproape de lume, iar elementul de piele al unei matrice este mai aproape de elementul similar al altei matrice. Iar axa matricei i nu poate fi numită egală, deși determinanții ambelor matrici sunt egali, iar matricele sunt aceleași, dar nu toate elementele care stau pe aceleași puncte de egalitate. Matricele sunt diferite, astfel încât o lume diferită este posibilă. Prima matrice este 2x3, iar cealaltă 3x2. Deși numărul de elemente este același - 6 și elementele în sine sunt aceleași 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale miroase să stea în locuri diferite în apropierea matricei pielii. Și axa matricei este în avans, zgіdno z vznachennyam 5.

Numirea 6. Cum se fixează șprotul matricei A și acesta este numărul rândurilor sale, aceleași elemente care stau pe retina denumirilor coloanelor și rândurilor pentru a stabili o matrice pătrată n- ordinul, precursorul acesteia numit minor k- ordinea matricei A.

fundul. Scrieți trei minore într-o ordine diferită a matricei

În acest subiect vor fi luate în considerare astfel de operații, cum ar fi adăugarea acelei matrice de intrare, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea unei matrice. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya pe partea ts_y, luate din subiectele din față.

Plierea acelei matrice vizuale.

Suma matricelor $A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\ ori n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1 ,n) $.

Introduceți o denumire similară pentru diferite matrice:

Diferența dintre matricele $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n )$.

Explicație înainte de post $i=\overline(1,m)$: show\hook

Intrarea „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ se schimbă de la 1 la m. De exemplu, notația $i=\overline(1,5)$ se referă la cele pe care parametrul $i$ ia valoarea 1, 2, 3, 4, 5.

Vă rugăm să acordați atenție faptului că operațiunile de adăugare și exercitare sunt destinate doar matricelor de aceeași dimensiune. Vzagali, adăugarea și vіdnіmannya matrici - operațiuni, clare intuitiv, mai puturos, de fapt, este mai puțină însumare sau elemente mai evidente.

fundul #1

Sunt date trei matrice:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Chi poți cunoaște matricea $A+F$? Cunoașteți matricele $C$ și $D$, adică $C=A+B$ și $D=A-B$.

Matricea $A$ pentru a mătura 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, extinderea matricei $A$ este de $2\x ori 3$), iar matricea $F$ pentru a mătura 2 rânduri și 2 rânduri. Expansiunile matricelor $A$ și $F$ nu scapă, așa că le putem aduna. operația $A+F$ pentru aceste matrice nu este atribuită.

Lăsați matricele $A$ și $B$ să fie extinse, deci. datele matricei ar trebui să fie egale cu numărul de rânduri și stovptsiv, va fi necesară operația de adăugare a acestora.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Cunoaștem matricea $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Matricea suplimentară $A_(m\times n)=(a_(ij))$ pentru numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Aparent mai simplu, înmulțiți matricea cu numărul - înseamnă înmulțiți elementul de piele al matricei date cu numărul întreg.

fundul #2

Dată o matrice: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Cunoașteți matrice $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3cdot(-1) și 3cdot(-2) și 3cdot 7 \ 3cdot 4 și 3cdot 9 și 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(matrice)\right). $$

Notația $-A$ este o notație scurtă pentru $-1\cdot A$. Deci, pentru a cunoaște $-A$, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). În esență, înseamnă că semnul tuturor elementelor din matricea $A$ este schimbat în prelungire:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dobutok două matrici.

Scopul acestor operațiuni este greoi și, la prima vedere, nerezonabil. Îți voi spune în spatele capului o întâlnire mai serioasă, apoi vom raporta ce înseamnă și cum să rezolvim.

Submulțimea matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ pe matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru un element skin $c_(ij)$ elementele i-a rânduri ale matricei $A$ pe elementele j-a coloană a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Înmulțirea matricelor lui Pokrokov este luată din cap. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci este necesar să facem recul, astfel încât numărul de coloane din matricea $A$ să fie egal cu numărul de rânduri din matricea $B$ ( astfel de matrici sunt adesea numite pleasezhenimi). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea are 5 rânduri și 4 rânduri), nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 rânduri), numărul de rânduri din matricea $A $ nu este egal cu numărul de rânduri din matricea $ F $, asta este. $4\neq 9$. Și înmulțirea matricei $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$ este posibilă, dar numărul de coloane din matricea $A$ este mai mare decât numărul de rânduri din matricea $B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ va fi matricea $C_(5\times 9)$, care va acoperi 5 rânduri și 9 coloane:

fundul #3

Dată o matrice: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ sfârșit (matrice) \right)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right ) $. Cunoașteți matricea $C = A\cdot B$.

Ordinul de mărime este semnificativ pentru extinderea matricei $C$. Dacă matricea $A$ este $3\x 4$ și $B$ este $4\x 2$, atunci matricea $C$ este $3\x 2$:

Apoi, ca urmare a adunării matricelor $A$ și $B$, luăm alternativ matricea $C$, care este compusă din trei rânduri și două coloane: $ C = \ left ( \ begin (array) ( cc) c_ (11) și c_ ( 12) \c_(21) și c_(22) \c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. În ceea ce privește semnificația elementelor, puteți să vă uitați la subiectul din față: "Matrici. Vezi matricea. Termeni de bază", pe cob, este explicat sensul elementelor matricei. Meta noastră este să cunoaștem valorile tuturor elementelor din matricea $C$.

Să ne uităm la elementul $c_(11)$. Pentru a lua elementul $c_(11)$, este necesar să se cunoască suma creațiilor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

Pentru a cunoaște elementul $c_(11)$, este necesar să înmulțim elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele secunde ale primei coloane a matricei $B$, apoi. primul element este primul, celălalt este celălalt, al treilea este al treilea, al patrulea este al patrulea. Se preconizează retragerea rezultatelor:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Continuăm soluția și știm $c_(12)$. Pentru care se întâmplă să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ și al celuilalt rând al matricei $B$:

Similar cu partea din față, poate:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Se găsesc toate elementele primului rând al matricei $C$. Să trecem la alt rând, care începe elementul $c_(21)$. Pentru a ști acest lucru, înmulțiți elementele unui alt rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Elementul de avans $c_(22)$ este cunoscut prin înmulțirea elementelor unui alt rând al matricei $A$ cu elementele de al doilea rând ale altui rând al matricei $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Pentru a cunoaște $c_(31)$ înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

În primul rând, valoarea elementului $c_(32)$ trebuie înmulțită cu elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu celelalte elemente ale altei coloane a matricei $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Toate elementele matricei $C$ sunt găsite, nu este suficient să scrieți că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Abo, voi mai scrie din nou:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Înainte de vorbire, de multe ori nu are sens să raportăm semnificația elementului de piele la rezultatul matricei. Pentru matrici, al căror număr este mic, le puteți găsi astfel:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 și 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) și 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$

Vă rugăm să rețineți că înmulțirea matricelor este necomutativă. Tse înseamnă că în sălbăticie vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Doar pentru anumite tipuri de matrice, cum să denumim permutațional(în caz contrar navetă), egal $A cdot B = B cdot A $. Însăși necomutativitatea înmulțirii, este necesar să arătăm cum înmulțim prin înmulțirea acelui chi și a unei alte matrice: în dreapta, chi este rău. De exemplu, expresia „înmulțiți partea ofensătoare a parității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ este dreptaci” înseamnă că este necesar să luați următoarea paritate: $(3E-F)\punct A= Y\cdot A$.

Matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elemente, adică $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Aparent mai simplu, pentru a lua matricea transpusă $A^T$ este necesar ca matricea exterioară $A$ să înlocuiască coloanele cu rânduri duble urmând acest principiu: primul rând - deveni primul rând; buv another row - stați un alt rând; fi al treilea rând - deveni al treilea pas și așa mai departe. De exemplu, cunoaștem matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:

În mod clar, deoarece matricea de ieșire este mică $3\times 5$, matricea transpusă este $5\times 3$.

Caracteristicile reale ale operațiilor pe matrice.

Aici se arată că $ alpha $, $ beta $ sunt numere zecimale și $ A $, $ B $, $ C $ sunt matrici. Pentru primele autorități chotirioh, după ce au indicat numele, reshta poate fi numită prin analogie cu prima chotirma.

În acest articol, putem alege cum se efectuează operația de adunare pe matrici de aceeași ordine, operația de înmulțire a unei matrici cu un număr și operația de înmulțire a matricelor în aceeași ordine, axiomatic, putem pune puterea lui operațiuni și, de asemenea, discutați prioritatea operațiilor pe matrice. În paralel cu teoria, ghidăm soluțiile de raport ale aplicațiilor, în care se efectuează operații pe matrice.

Este foarte respectat faptul că tot ceea ce s-a spus mai jos este redus la matrici, prin elemente precum є dіysnі (sau numere complexe).

Navigare pe lateral.

Operația de pliere a două matrice.

Operație desemnată de pliere a două matrice.

Operația de adăugare a fost atribuită NUMAI PENTRU MATRICE ALE UNUI ORDIN. Cu alte cuvinte, este imposibil să cunoaștem suma matricelor de dimensionalitate diferită și este imposibil să vorbim despre plierea matricei de dimensionalitate variantă. Deci nu poți vorbi despre suma matricei și număr sau despre suma matricei și orice alt element.

Programare.

Suma a două matrice i - matricea ale cărei elemente sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B, tobto.

Astfel, rezultatul operației de pliere a două matrice este o matrice de același ordin.

Puterea operațiunii de pliere a matricelor.

Ce fel de putere poate opera de pliere matrice? Pe lanț, este ușor să obțineți răspunsuri, în funcție de suma a două matrice de un ordin dat și de ghicirea puterii operației de pliere a numerelor reale (abo complexe).

Pentru matricele A, B și C de același ordin, puterea de asociativitate este caracteristică adunării A + (B + C) = (A + B) + C.
Pentru matricele de ordinul întâi, există un element neutru după adăugare, care este o matrice zero. Deci puterea lui A+O=A este justă.
Pentru o matrice A nenulă de ordin dat, matricea (-A) cu suma sa este o matrice zero: A + (-A) = O .
Pentru matricele A i de acest ordin, puterea de comutativitate a plierii A + B = B + A este adevărată.

Mai târziu, matricele impersonale de un ordin dat dau naștere unui grup Abel aditiv (grup Abelian ca operația de algebră de pliere).

Adăugarea de matrici - soluție de aplicații.

Să aruncăm o privire la exemplul unei matrice pliate.

fundul.

Aflați suma matricelor i .

Soluţie.

Ordinele matricelor A și B sunt mărite și mărite cu 4 cu 2, deci putem efectua operația de adăugare a unei matrice i ca urmare, luăm matricea de ordinul 4 cu 2. Este necesar să proiectați operația de pliere a două matrice, adăugând mai mult element cu element:

fundul.

Aflați suma a două matrici і elementele sunt numere complexe.

Soluţie.

Ordinele Oskіlki de matrice sunt egale, putem vikonat dodavannya.

fundul.

Vikoite dodavannya trei matrici .

Soluţie.

Stivuim matricea A z B, apoi vom elimina matricea, dodamo Z:

Îndepărtați matricea zero.

Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr.

Operație desemnată de înmulțire a unei matrice cu un număr.

Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este atribuită PENTRU O MATRICE DE ORICE ORDINE.

Programare.

Adunarea unei matrice și a unui număr zecimal (sau complex).- întreaga matrice, ale cărei elemente par a fi înmulțite cu elementele corespunzătoare ale matricei de ieșire cu numărul , adică .

În această ordine, rezultatul înmulțirii unei matrice cu un număr є este o matrice de același ordin.

Puterea operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

Din puterea operației de înmulțire a unei matrice cu un număr, este posibil ca înmulțirea unei matrice zero cu un număr zero să dea o matrice zero, iar adăugarea unui număr suplimentar și a unei matrice zero să fie o matrice zero.

Înmulțirea unei matrice cu un număr - aplică acel vers.

Să aruncăm o privire la operația de înmulțire a unei matrice cu un număr pe capturi.

fundul.

Găsiți numărul suplimentar 2 și matrice .

Soluţie.

Pentru a înmulți matricea cu un număr, trebuie să înmulțiți elementul cu numărul întreg:

fundul.

Aflați înmulțirea matricei cu numărul.

Soluţie.

Înmulțim elementul de piele al matricei date cu numărul întreg:

Operația de înmulțire a două matrici.

Operație dedicată de înmulțire a două matrici.

Operația de înmulțire a două matrice A și B este aplicabilă doar pentru cădere, dacă numărul de coloane din matricea A este egal cu numărul de rânduri din matricea B.

Programare.

Reporniți matricea A în ordinea matricei În ordine- o astfel de matrice de ordinul al 3-lea, elementul piele este cea mai valoroasă sumă a elementelor din rândul i al matricei pe elementele similare ale coloanei j a matricei B, apoi,

Astfel, rezultatul operației de înmulțire a unei matrice în ordine cu o matrice este o matrice în ordine.

Reproducerea unei matrice de către o matrice - soluție de aplicații.

Să aruncăm o privire la înmulțirea matricelor pe fund, după care vom trece la inversarea puterilor operației de înmulțire a matricelor.

fundul.

Găsiți toate elementele matricei C, cum să procedați pentru înmulțirea matricelor і .

Soluţie.

Ordinea matricei A este mărită cu p = 3 cu n = 2, ordinea matricei este mărită cu n = 2 cu q = 4, iar ordinea matricei va fi p = 3 cu q = 4 . Accelerând cu formula

În mod consecvent, luăm valoarea lui i în 1 la 3 (scale p=3) pentru pielea j în 1 la 4 (scale q=4), și n=2 în cazul nostru, atunci

Astfel, toate elementele matricei Z și ale matricei sunt calculate, la înmulțirea a două matrice date, pot arăta .

fundul.

Digitalizați matricea multiplicatoare .

Soluţie.

Ordinele matricelor exterioare ne permit să efectuăm operația de înmulțire. Ca rezultat, putem lua o matrice de ordinul 2 cu 3.

fundul.

Dată o matrice . Găsiți matrici suplimentare A și B, precum și matrice B și A.

Soluţie.

Dacă ordinea matricei este 3 cu 1, iar matricea este 1 cu 3, atunci A⋅B este de ordinul 3 cu 3, iar matricea suplimentară B și A este de ordinul 1 cu 1.

Iac bachite, . Aceasta este una dintre puterile operației de înmulțire a matricelor.

Puterea operației de multiplicare a matricelor.

Dacă matricele A, B și C sunt de aceeași ordine, atunci următoarele sunt adevărate puterea operaţiei de multiplicare a matricelor.

Următoarea este valoarea care, pentru diferite ordine, adăugarea unei matrice zero la matricea A dă o matrice zero. Dobutok A oferă și o matrice zero, astfel încât ordinele de mărime să permită operația de înmulțire a matricelor.

Matricele mijlocii pătrate se numesc astfel matrici de permutare, Operația de înmulțire este comutativă, deci . Capul matricelor de permutare este o pereche de matrici simple, fie că este o altă matrice de același ordin, deci este corect.

Prioritatea operațiunilor pe matrice.

Operațiile de înmulțire a unei matrice cu un număr și de înmulțire a unei matrice cu o matrice au prioritate egală. Chiar în acea oră a operației, prioritatea este mai mare, operația mai mică este plierea a două matrice. În această ordine, înmulțirea matricei este numărată cu numărul acelei înmulțiri a matricelor, iar apoi se efectuează adăugarea matricelor. Cu toate acestea, ordinea operațiilor peste matrice poate fi atribuită în mod explicit pentru un arc suplimentar.

De asemenea, prioritatea operațiilor pe matrice este similară cu prioritatea atribuită operațiilor de adunare și înmulțire a numerelor reale.

fundul.

Dată o matrice . Aflați din matricele date atribuite lui dії .

Soluţie.

Începem prin înmulțirea matricei A cu matricea B:

Acum înmulțim o singură matrice de alt ordin E cu două:

Adăugăm două matrice scăzute:

Operația de înmulțire a matricei eliminate cu matricea A a fost pierdută:

Vă rugăm să rețineți că operațiile care privesc matrice de același ordin A și B nu sunt necesare. Diferența dintre două matrici este în esență suma matricei A și a matricelor, înmulțită în față cu minus unu: .

Operația de construire a unei matrici pătrate în lumea naturală nu este autosuficientă în sine, ci cioburi de înmulțiri succesive de matrici.

Să aducem o geantă.

Trei operații sunt atribuite matricilor impersonale: adăugarea matricelor de același ordin, înmulțirea unei matrice cu un număr și înmulțirea matricelor de același ordin. Operația de adăugare pe matrici impersonale de ordin dat generează un grup Abel.