Aflați cea mai importantă funcție a numărului. Cele mai și mai puțin importante funcții ale puținelor schimbări din regiune. Funcții ale multor schimbări

Numirea 1.11 Să fie setată funcția a două schimbătoare z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (X 0 ;y 0 ) - punctul intern al zonei D .

Yakscho in D є un astfel de cartier UM 0 pete M 0 , care pentru toate punctele

apoi o pată M 0 se numește punctul maxim local. Și sensul z(M 0 ) - maxim local.

Și ca pentru toate punctele

apoi o pată M 0 se numește punctul minimului local al funcției z(x,y) . Și sensul z(M 0 ) - Minimum local.

Maximul local și minimul local se numesc extreme locale ale funcției z(x,y) . Pe fig. 1.4 explicat zmist geometric maxim local: M 0 - arata spre maxim, spre ceea ce este la suprafata z = z(x, y) punct clar C 0 pentru a sti mai bine din orice alt motiv C (Care are localitatea maximă).

Cu respect, există puncte pe suprafață (de exemplu, La ), dacă știi mai multe C 0 , puncte ale qi (de exemplu, La ) nu є „judiciar” cu punct C 0 .

Zocrema, punct La confirmă înțelegerea maximului global:

În mod similar, minimul global este determinat:

Cunoașterea maximelor și minimelor globale va fi discutată în paragraful 1.10.

Teorema 1.3 (extremul necesar).

Lasă funcția să fie setată z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (X 0 ;y 0 D - Punct extremum local.

Ce ai z" X і z" y , apoi

Confirmarea geometrică este „evident”. Ce urmeaza C 0 pe (Fig. 1.4) pentru a desena o zonă dotic plată, trece „în mod natural” pe orizontală, adică sub capotă 0° la axa Oh i la axa OU .

Același lucru este valabil și pentru o schimbare geometrică a rudelor private (Fig. 1.3):

ce trebuia să aducă.

Numirea 1.12.

Ce urmeaza M 0 gândiți (1.41), atunci se numește punctul staționar al funcției z (x, y) .

Teorema 1.4 (minte suficientă pentru extremum).

Lasa-ma sa intreb z = z (x, y), (x, y) D , deoarece pot exista evenimente private de o ordine diferită în vecinătatea punctului M 0 (X 0 ,y 0 ) D . Și de ce M 0 - Punct staționar Să calculăm:

Demonstrarea teoremei Vicoriste prin acele (formula lui Taylor a funcției unui număr de variabile și teoria formelor pătratice), care nu este luată în considerare de niciun ajutor.

fundul 1.13.

Treci la extrem:

1. Cunoaștem punctele staționare care rup sistemul (1.41):

așa că am găsit niște puncte staționare. 2.

după teorema 1.4, punctele au un minim. Și de ce

conform teoremei 1.4 la punctul

Maxim. Și de ce

§10 Valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției a două variabile într-o zonă închisă

Teorema 1.5 Să mergem lângă o regiune închisă D funcția este setată z = z(x, y) , care pot fi fără întrerupere călătorii private de prim ordin. Cordon G regiuni D є shmatkovo neted (adică pliat din curbe sau linii drepte shmatkіv „neted pe dotik”). Todi în regiune D funcţie z(x,y) ajunge la cel mai mare al tău M si cel putin m valoare.

Fără confirmare.

Puteți propaga următorul plan de mustrare M і m . 1. Vom fi scaune, putem vedea toate părțile cordonului regiunii D și cunoaștem toate punctele „kutovі” ale cordonului. 2. Cunoaștem punctele staționare din mijloc D . 3. Sunt cunoscute punctele staţionare ale pielii din cordoane. 4. Calculați în toate punctele staționare și de vârf, apoi alegeți cel mai mult M si cel putin m sens.

Cazul 1.14 Aflați mai multe M si cel putin m valoarea functiei z = 4x2-2xy+y2-8x lângă zona închisă D , circumscris: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Să mutam zona D (Fig. 1.5) pe plat Ohu .

Puncte Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordon G regiuni D constă din trei părți:

2. Cunoaștem punctele staționare din mijlocul regiunii D :

3. Puncte staţionare pe cordoane l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Se numără șase valori:

Din omiterea a șase valori, alegeți cel mai mult și cel mai puțin.

Teorema 1.5 Să mergem lângă o regiune închisă D funcția este setată z = z(x, y) , care pot fi fără întrerupere călătorii private de prim ordin. Cordon G regiuni D є shmatkovo neted (adică pliat din curbe sau linii drepte shmatkіv „neted pe dotik”). Todi în regiune D funcţie z (X y) ajunge la cel mai mare al tău M si cel putin m valoare.

Fără confirmare.

Puteți propaga următorul plan de mustrare M і m .
1. Vom fi scaune, putem vedea toate părțile cordonului regiunii D și cunoaștem toate punctele „kutovі” ale cordonului.
2. Cunoaștem punctele staționare din mijloc D .
3. Sunt cunoscute punctele staţionare ale pielii din cordoane.
4. Calculați în toate punctele staționare și de vârf, apoi alegeți cel mai mult M si cel putin m sens.

Cazul 1.14 Aflați mai multe M si cel putin m valoarea functiei z = 4x2-2xy+y2-8x lângă zona închisă D , circumscris: X = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Să mutam zona D (Fig. 1.5) pe plat Ohu .

Puncte Kutovі: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordon G regiuni D constă din trei părți:

2. Cunoaștem punctele staționare din mijlocul regiunii D :

3. Puncte staţionare pe cordoane l 1 , l 2 , l 3 :

4. Se numără șase valori:

aplica

exemplu 1.

Această funcție este atribuită tuturor valorilor în schimbare X і y , crim cob de coordonate, de znamennik se transformă la zero.

Membru bogat x2+y2 usudi neîntrerupt și, prin urmare, i rădăcina pătrată neîntreruptă a unei funcții neîntrerupte.

Drib va ​​fi neîntrerupt peste tot, Crimeea punct, de banner la zero. Această funcție, care este analizată, este neîntreruptă pe întregul plan de coordonate Ohu , inclusiv cobul de coordonate.

fundul 2.

Urmați funcția pentru siguranță z=tg (X y) . Tangenta valorilor si fara intrerupere pentru toti sensuri finale argument, valoare crim, egal cu numărul nepereche de mărime π /2 , apoi. inclusiv puncte, de

Cu fixat cutanat "k" Ecuația (1.11) semnifică o hiperbolă. Prin urmare, funcția є funcție neîntreruptă X și y inclusiv punctele care se află pe curbe (1.11).

exemplu 3.

Cunoașteți funcțiile private în aer liber u=z-xy , z > 0 .

fundul 4.

Arată care este funcția

mulțumit de asemănarea:

– această egalitate este valabilă pentru toate punctele M(x; y; z) punct de cremă M 0 (a; b; c) .

Să ne uităm la funcția z=f(x, y) a două variabile independente și să instalăm substituția geometrică a variabilelor private z" x = f" x (X y) і z" y = f" y (X y) .

a cărui minte este egală z=f (X y) є nivelarea suprafeței (Fig. 1.3). Ținut plat y = const . La pererizі tsієї suprafețe superficiale z=f (X y) vide deyka line l 1 peretina, vzdovzh care se schimbă mai puțin decât dimensiunea X і z .

Călătorie privată z" x (її deplasarea geometrică fără un mijloc vyplyaє z cunoscut de noi sens geometric al unei funcții similare a unei variabile) este numeric superioară tangentei kuta α bolnăvicios, prin extensie la ax Oh , shodo L1 la curbă l 1 , scho să meargă aproape de suprafață z=f (X y) apartament y = const la punct M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

La retină și la suprafață z=f (X y) apartament X = const linie largă peretina l 2 , vzdovzh care se schimbă mai puțin de magnitudine la і z . Todi distracție privată z" y superior numeric tangentei kuta β nahilu prin extensie la axa OU , shodo L2 la linia specificată l 2 peretina în puncte M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Exemplul 5.

Ce fel de kutvoruє іz vіssyu Oh dotichna la linia:

la punct M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo înlocuire geometrică a unui înlocuitor privat pentru un înlocuitor X (pe repede la ):

Exemplul 6.

Zgidno (1.31):

Exemplul 7.

Vvayayuchi, scho egal

defini implicit o funcție

stiu z" x , z" y .

Din acest motiv (1.37) avem nevoie de dovezi.

Exemplul 8.

Treci la extrem:

1. Cunoaștem punctele staționare care rup sistemul (1.41):

așa că am găsit niște puncte staționare.
2.

după teorema 1.4, punctele au un minim.

Și de ce

4. Se numără șase valori:

Din omiterea a șase valori, alegeți cel mai mult și cel mai puțin.

Lista literaturii:

ü Belko I. V., Kuzmich K.K. Mare matematică pentru economiști semestrul I: Curs expres. - M.: Cunoștințe noi, 2002. - 140 p.

ü Gusak A. A. Analiza matematicăși alinierea diferenţială. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Vishcha matematică. Ghid de rubrici pentru studenți în 2 volume. - Mn., 1998. - 544 p. (1 vol.), 448 p. (2 tone).

ü Kremer N. Sh., Putko B.A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematică pentru economiști: un manual pentru universități / Ed. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. eu. că în. Vishcha matematică. Curs Zagalniy: Pidruchnik / Zag. ed. S. A. Samal. - Mn.: Vish. şcoală, 2000. - 351 p.

Mai mult și mai puțin sens

Funcția, care este înconjurată într-o zonă închisă, atinge valoarea sa cea mai mare și cea mai mică, fie în punctele staționare, fie în punctele care se află pe zona limită.

Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției, este necesar:

1. Găsiți puncte staționare care se află în mijlocul acestei regiuni și calculați valorile funcției pentru ele.

2. Cunoașteți cea mai mare (mai puțină) valoare a funcției interregiunii.

3. Egalizați toate valorile negative ale funcției: cele mai mari (mai puține) și vor fi cele mai mari (mai mici) valori ale funcției pentru această galerie.

fundul 2. Aflați cea mai mare (mai mică) valoare a funcției: y .

Soluţie.

punctul este staționar; .

2 . Granița zonei închise este inelul, de.

Funcția inter-regiune devine funcția unei schimbări: , de . Cunoaștem cele mai și cele mai puțin importante funcții.

Pentru x = 0; (0,-3) și (0,3) sunt puncte critice.

Calculați valoarea funcției de pe capetele coroanei

3 . Porivnyuyuchi mizh însuși otrimuemo,

În punctele A și B.

În punctele C și D.

exemplu 3. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în zona închisă, având în vedere denivelarea:

Soluţie. Zona є trikutnik, vom înconjura axele coordonatelor і cu o linie dreaptă x + y = 1.

1. Cunoaștem puncte staționare din mijlocul regiunii:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Punctul staționar nu aparține acestei zone, deci valoarea lui z în el nu este calculată.

2 .Doslіdzhuєmo funcție pe cordon. Cioburile graniței sunt formate din trei dіlyanki, descrise de trei egali diferiți, funcția doslіdzhuєmo a pielii dіlantsі okremo:

A) div 0A: y=0- egal 0A, atunci ; de la egal este clar că funcţia creşte cu 0A de la 0 la 1. Media .

b) pe distanța 0B: x = 0 - distanța 0B, atunci; -6y + 1 = 0; - Punct critic.

în) la direct x + y = 1: y = 1-x, atunci luăm funcția

Se calculează valoarea funcției z în punctul B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi numere otrimuemo, scho

La dreapta AB.

La punctul B.

Test pentru cunoștințele de autocontrol.

unu . Funcția extremum – ce

a) її pokhіdnі primul ordin

b) її egal

c) orar її

d) її maxime și minime

2. Se poate ajunge la extremul funcției cât mai multe:

a) numai în punctele care se află în mijlocul zonei desemnate, caz în care valorile private de ordinul întâi sunt mai mari decât zero

b) numai în punctele care se află în mijlocul zonei desemnate, caz în care valorile private de ordinul întâi sunt mai mici decât zero

c) numai în punctele care se află în mijlocul zonei desemnate, caz în care valorile private de ordinul întâi nu sunt egale cu zero

d) numai în punctele care se află în mijlocul zonei desemnate, caz în care asemănările private de ordinul întâi sunt egale cu zero

3. O funcție care este neîntreruptă într-o zonă închisă, atingând cele mai mari și cele mai mici valori:

a) în punctele staţionare

b) fie în puncte staţionare, fie în puncte care se află pe interregiune

c) în punctele care se află pe interregiune

d) în toate punctele

4. Puncte staționare pentru funcția câte variabile se numesc puncte:

a) pentru unii u

b) unele dintre ele au diferențe private de ordinul întâi mai mari decât zero

c) pentru unele dintre ele, modificările private de ordinul întâi sunt egale cu zero

d) pentru unele dintre ele, comportamentele private de ordinul întâi sunt mai mici decât zero

Fie ca funcția y = f (x) să fie întreruptă de vânt. Aparent, o astfel de funcție ajunge la maxim. acea angajare. valoare. Această funcție poate fi luată în punctul interior al ferestrei, sau la limita ferestrei, tobto. la = a sau = b. Ca un punct pentru a urmări mijlocul punctelor critice ale unei anumite funcții.

Luăm regula valorii celei mai mari și mai mici valori a funcției la:

1) determinați punctele critice ale funcției pe intervalul (a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valoarea funcției kintsyah vіdrіzka, tobto. în punctele x=a și x=b;

4) media valorilor calculate ale funcției este de a alege cel mai mult și cel mai puțin.

Respect:

1. Dacă funcția y = f (x) are mai mult de un punct critic per vdrіzku și a câștigat є punctul de maxim (minim), atunci în acest moment funcția câștigă cea mai mare (minima) valoare.

2. Deoarece funcția y=f(x) nu are puncte critice, înseamnă că funcția crește și scade monoton pentru cea nouă. De asemenea, funcția își ia valoarea maximă (M) la un capăt al cursei și cea mai mică (m) la celălalt.

60. Numere complexe. Formula de Moivre.
număr complex Nume viraz mind z = x + iy, de x și y - dіysnі numere, și eu - așa numit. singurătate evidentă. Dacă x=0, atunci numărul 0+iy=iy se clasează. hai sa o aratam dupa numar; chiar dacă y=0, numărul x+i0=x este mapat la numărul curent x, dar înseamnă că R impersonal al tuturor funcțiilor. numere yavl. sub multiplicitatea impersonalului Z usikh numere complexe, apoi. . Număr x nume partea zecimală z, . Două numere complexe і se numesc egale (z1=z2) pare și o singură dată, dacă părți egale și părți egale sunt egale: x1=x2, y1=y2. Zocrema, numărul complex Z=x+iy este egal cu zero și atunci dacă x=y=0. Conceptele de „mai mare” și „mai puțin” pentru numerele complexe nu sunt introduse. Două numere complexe z \u003d x + iy і, care sunt considerate numai prin semnul părții explicite, se numesc obținute.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Dacă un număr complex z = x + iy poate fi reprezentat printr-un punct M(x,y) al planului Oxy astfel încât x=Re z, y=Im z. În primul rând, punctul de piele M(x;y) al planului de coordonate poate fi folosit ca imagine a numărului complex z = x + iy. Zona în care sunt afișate numerele complexe se numește zonă complexă, deoarece el trebuie să mintă numerele reale z = x + 0i = x. Toate ordonatele se numesc vârfuri explicite, la faptul că pe ea se află numerele complexe aparente z = 0 + iy. Numărul complex Z=x+iy poate fi inserat în spatele vectorului rază auxiliar r=OM=(x,y). Lungimea vectorului r, care reprezintă numărul complex z, se numește modulul acestui număr și se notează cu | z | sau r. Rozmir kuta mizh poklade. Direct pe axa reală, vectorul r, care reprezintă un număr complex, se numește argumentul numărului complex, notat cu Arg z sau . Argumentul număr complex Z = 0 nu este atribuit. Argumentul unui număr complex - valoarea este bogat semnificativă și se măsoară cu precizie până la dodanku, de arg z - valoarea principală a argumentului, pusă în spațiu (), apoi. - (Uneori, ca valoare principală a argumentului, luați valoarea care ar trebui să conțină decalajul (0; )).

Scrierea numărului z ca z=x+iy se numește forma algebrică a unui număr complex.

Dії peste numere complexe

Addendum. Suma a două numere complexe z1=x1+iy1 și z2=x2+iy2 este un număr complex care este egal: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Adunarea numerelor complexe poate modifica și modifica puterea: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vіdnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya yak dіya, zvorotne dodavannya. Diferența dintre numerele complexe z1 și z2 se numește astfel de număr complex z încât, adăugându-se la z2, dă numărul z1, adică. z = z1-z2, deci z + z2 = z1. La fel ca z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, este ușor să scoateți z din această atribuire: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). plural. Complementul numerelor complexe z1=x1+iy1 și z2=x2+iy2 este un număr complex care este egal cu z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, i vyplyaє: . Ca și numărul de atribuiri pentru forma trigonometrică: .

Când numerele complexe sunt înmulțite, modulele lor sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate. Formula De Moivre(precum și є n multiplicatori și pute la fel): .

Până la sfârșitul anului 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Livrați nava spațială pe Marte cu un suport electronic care poartă numele tuturor participanților înregistrați la expediție.

Înregistrarea participanților la vot. Luați-vă biletul spre Marte pentru binecuvântări.

Dă like acestei postări, după ce ți-ai rezolvat problema, sau pur și simplu fiind demn de tine, împărtășește-ți puterea cu prietenii tăi în rețelele de socializare.

Trebuie să copiați și să inserați una dintre aceste opțiuni de cod în codul paginii dvs. web, între etichete і sau imediat după etichetă . În spatele primei versiuni de MathJax, este preferată o parte mai mică și mai puțin lipicioasă. O altă opțiune Natomist selectează automat și face upgrade la cea mai recentă versiune de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți alt cod, părțile vor deveni mai interesate, astfel încât nu va trebui să urmăriți constant actualizările MathJax.

Activați MathJax în cel mai simplu mod în Blogger sau WordPress: adăugați un widget în panoul de plată al site-ului, destinațiile pentru inserarea codului JavaScript terță parte, copiați prima sau altă opțiune în codul de implicare prezentat mai sus și redimensionați widgetul mai aproape de partea de sus a șablonului (înainte de vorbire, nu avem nevoie de noua „limbă”), scripturile de script MathJax sunt invocate asincron). De la mine toți. Acum verificați sintaxa MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice pe paginile web ale site-ului dvs.

Chergovy înainte de New Rock... vremea este geroasă, acele snizhinki pe shibtsі... Totul m-a determinat să scriu din nou despre... fractali și despre cei care știu despre Wolfram Alpha. Іz thogo drive є tsіkava stattya, în yakіy є fese ale structurilor fractale bidimensionale. Imediat, lumea poate vedea colțuri pliate de fractali banali.

Un fractal poate fi manifestat vizual (descris), ca o figură geometrică sau un corp (care se profilează în aer, care este, de asemenea, impersonal, la acest tip anume, punct impersonal), detaliile care fac o astfel de formă, precum figura în sine. Tobto tse structură auto-similară, privind detaliile ca și cum ar fi mărite, imită însăși forma care este fără mărire. În mod similar, într-o figură geometrică izbitoare vizual (nu un fractal), cu mai multe detalii minore, ca și cum se poate face o formă simplă, figura este mai mică. De exemplu, când termini cea mai mare parte mare a elipsei, arată ca un copac drept. Nu este cazul fractalilor: pentru orice fel de îmbunătățire, vom repeta aceeași formă de pliere, ca și cum ar fi îmbunătățirile pielii, repetați din nou și din nou.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractali și mister în numele științei: formă formală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită în măsura întregului, va fi văzută ca un întreg, sau exact, sau, eventual, cu o ușoară deformare.