Un altul este un semn suficient al fundației extremumului. Creșterea și schimbarea funcțiilor pe intervale, extreme. Suficient semn de extremă

Punctul extremum al unei funcții este punctul din zona de desemnare a funcției, în care valoarea funcției este setată la valoarea minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme (minim și maxim) ale funcției.

Programare. Krapka X1 zonele de funcție atribuite f(X) se numește punct de funcționare maximă chiar dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valoarea funcției în punctele apropiate, răspândindu-se dreptaci și stângaci în ea (pentru a evita denivelările f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Programare. Krapka X2 zonele de funcție atribuite f(X) se numește punctul minim al funcției chiar dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valoarea funcției în punctele apropiate, dreptaciul și răul în mijlocul acesteia (acest f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). Tuturor li se pare că funcția poate fi la punct X2 minim.

Să punctăm X1 - punctul de functionare maxima f(X). Todi în intervalul până la X1 funcția crește Aceasta este similară cu funcțiile mai mari decât zero ( f "(X) > 0 ), iar în intervalul de după X1 funcția se schimbă, acum și funcții similare mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

De asemenea, este posibil ca punctul X2 - indicați la minimul funcției f(X). Todi în intervalul până la X2 funcția se schimbă, iar funcția similară este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția crește, iar funcția similară este mai mare decât zero ( f "(X) > 0). A cărui minte are același punct X2 Funcțiile Pokhіdna sunt egale cu zero sau nu.

teorema lui Fermat. Ce punct X0 - punctul de extremum al funcției f(X), atunci la al n-lea punct funcția este similară cu zero ( f "(X) = 0) sau nu.

Programare. Sunt numite puncte care au funcții similare egale cu zero sau nu puncte critice .

exemplu 1. Să ne uităm la funcție.

La punctul X= 0 X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea pe graficul funcției, există o creștere a întregii zone de numire, acesta este punctul X= 0 nu este o extremă a funcției.

În acest fel, gândiți-vă la cele care sunt demne de o funcție până la punctul de a ajunge la zero, sau nu sunt necesare, sau la mințile necesare ale unui extremum, sau nu suficiente, puteți îndrepta cioburi și alte aplicații ale funcțiilor, pentru unele dintre ei, mintea poate fi înșelată, sau altfel funcția unui extremum. Tom mama are nevoie de semne suficiente, care vă permite să judecați, chi є într-un punct critic specific de extremum și yaky în sine - chi minim.

Teoremă (primul este semn suficient al bazei extremului funcției). punct critic X0 f(X) astfel încât la trecerea prin acest punct, funcția schimbă semnul, în plus, dacă semnul se schimbă din „plus” în „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă se schimbă din „minus” în „plus”, atunci punct minim.

Cât de aproape este punctul X0 , stângaci și dreptaci în ea, dacă ia un semn, atunci înseamnă că funcția fie se schimbă, fie crește doar în vecinătatea punctului X0 . În ce direcție la punct X0 nu există extremum.

Otzhe, pentru a atribui puncte la extremul funcției, după cum este necesar :

1. Găsiți o funcție potrivită.
2. Setați egal cu zero și atribuiți puncte critice.
3. Hârtiile de gândire chi marchează punctele critice pe axa numerică și marchează semnele unei funcții similare scăzând intervalele. Dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă se schimbă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

fundul 2. Cunoașteți funcțiile extreme .

Soluţie. Cunoaștem următoarele funcții:

Este egal cu zero, pentru a cunoaște punctele critice:

.

Deci, dacă pentru orice valoare a lui "ix" bannerul nu este egal cu zero, atunci numărul este egal cu zero:

Eliminați un punct critic X= 3. Semnul opusului este semnificativ în intervalele delimitate de punctul:

în intervalul de inconsecvență minus până la 3 - semnul minus, astfel încât funcția să se schimbe,

în intervalul de la 3 la plus inconsecvențe - un semn plus, astfel încât funcția să crească.

Tobto, punct X= 3 - minim de puncte.

Cunoaștem valoarea funcției în punctul minim:

În această ordine se găsește punctul extremum al funcției: (3; 0), în plus, este punctul minim.

Teorema (celălalt este un semn suficient al bazei extremului funcției). punct critic X0 є punctul extremum al funcției f(X); f ""(X) ≠ 0); f ""(X) > 0 ), atunci punctul este maxim, iar invers este mai mic decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Nota 1. Ce este în esență X0 se întoarce la zero și primul, iar celălalt este mort, atunci în acest punct este imposibil să se judece manifestarea unui extremum pe baza unui alt semn suficient. Este necesar ca acest tip de dispoziție să fie accelerat de primul semn suficient al extremului funcției.

Respect 2. Un alt semn suficient al extremumului funcției nu este suficient și chiar dacă primul nu este bun la punctul staționar (nu există altă cale). De asemenea, este necesar ca acest tip de atitudine să fie accelerat de primul semn suficient al extremului funcției.

Natura locală a extremumurilor funcției

Este evident că extremul funcției poate avea un caracter local - valoarea celei mai mici și cele mai mici valori ale funcției este egală cu cele mai apropiate valori.

Să presupunem că te uiți la câștigurile tale la momentul nunții într-o zi. Dacă ați câștigat 45.000 de ruble din iarbă și 42.000 de ruble din trimestru și 39.000 de ruble din cele roșii, atunci câștigurile din iarbă sunt maximul funcției de câștig în ceea ce privește cele mai apropiate valori. Ale au câștigat 71.000 de ruble din galben, 75.000 de ruble din primăvară și 74.000 de ruble din căderea frunzelor, deci același venit - funcția venitului minim este egală cu cele mai apropiate valori. Puteți bachite cu ușurință, astfel încât valoarea medie maximă de primăvară-iarbă-cireș să fie mai mică decât minimul de toamnă de primăvară-zhovtnya-frunze.

Vorbind zagalneno, între timp, funcția poate fi mama unei stropi de extreme, în plus, se poate părea că minimul funcției este mai mare decât maximul. Deci, pentru funcția descrisă puțin mai mult, .

Deci nu este necesar să ne gândim că maximul și minimul funcției sunt, aparent, cele mai mari și mai mici valori din toate părțile care pot fi văzute. În punctul de maxim, funcția are cea mai mică valoare din intervalul acestor valori, dacă este posibil în toate punctele, să se ajungă la punctul apropiat de maxim, iar în punctul de minim - cea mai mică valoare din intervalul acestor valori, dacă este aproape de punctele de punctul minim.

Prin urmare, poate fi clarificat pentru a înțelege mai bine punctul extremului funcției și a numi punctele minimului punctele minimului local, iar punctele maximului - punctele maximului local.

Shukaemo funcții extreme simultan

exemplu 3.

Soluţie. Funcția este atribuită și fără întrerupere pe întreaga linie numerică. Її pokhіdna іsnuє și pe întreaga linie numerică. Tom intră la acest tip anume puncte critice є mai puțin ti, pentru iac, tobto. , vedete care . Puncte critice și împărțiți întreaga zonă a funcției atribuite în trei intervale de monotonitate: . Viberemo în pielea lor de un punct de control și cunoaștem semnul următorului la al doilea punct.

Pentru un interval, un punct de control poate fi: cunoscut. Luând un punct din interval, scădem și luând un punct din interval, putem. De asemenea, în intervalele i , și în intervalele . Zgіdno cu primul semn suficient al extremumului, în punctul nu există extremum (cioburile sunt mai bine să luați semnul în interval), iar în punctul în care funcția poate fi minimă (cioburile sunt mai puține la trecerea prin următorul punct , schimbând semnul din minus în plus). Cunoaștem valorile relevante ale funcției: , a . La interval, funcția se schimbă, vârfurile la acest interval, iar intervalele cresc, vârfurile la acel interval.

Pentru a clarifica viitoarele grafice, cunoaștem punctele liniei de yoga cu axele de coordonate. Când luăm egal , a cărui rădăcină i , atunci se găsesc două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției. Vikoristovuyuchi toate otrimani vіdomosti, programul budєmo (div. pe fundul cob).

Pentru autoverificare cu rozrachunkah, puteți accelera calculator similar online .

fundul 4. Cunoașteți extremele funcției și induceți programul.

Domeniul de aplicare al funcției este întreaga linie numerică, cu excepția punctelor, tobto. .

Pentru o urmărire rapidă, puteți accelera faptul că funcția băii de aburi, cioburi . Prin urmare, programul este simetric față de axă Ai acea urmărire poate fi folosită numai pentru interval.

Știm că voi merge și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

Dar dacă funcția cunoaște diferența în acest punct, atunci nu poate fi un punct extremum.

Într-o asemenea manieră, funcția este setată maє două puncte critice: i . Vrahovoyuchi împerechere de funcții, perevirim pentru un alt semn suficient de extremum este doar un punct. Pentru cine cunoaștem un prieten voi muri і semn її semnificativ la: otrimaєmo. Deoarece i , atunci є punctul minim al funcției, la care .

Pentru a adăuga mai multe informații despre programul funcției, este necesar să urmăriți comportamentul la limitele zonei desemnate:

(aici simbolul indică exercițiul Xîn plus, dreptaci la zero X deveni copleșit de pozitiv; în mod similar înseamnă exercițiu X la zero furios, mai mult X devin copleșiți de negativ). Într-un asemenea rang, yakscho, atunci. Dali, știm

,

tobto. ca asta.

Punctul de întrerupere cu axele funcției grafice nu poate fi. Micuțul - pe fundul de cob.

Pentru autoverificare cu rozrachunkah, puteți accelera calculator similar online .

Prodovzhuєmo shukati funcții extreme simultan

Exemplul 8. Cunoașteți funcțiile extreme.

Soluţie. Cunoaștem domeniul de aplicare al funcției atribuite. Deci, dacă nervozitatea poate câștiga, atunci suntem obsedați.

Să cunoaștem primele funcții pokhіdnu.

duje Informații importante despre comportamentul funcției, dau naștere unor perioade de creștere și decădere. Їхнє perebuvannya є parte a procesului funcții de urmărire și grafică promptă. Până atunci, punctele extremum, în care există o schimbare de la creștere la declin sau de la o schimbare la creștere, li se acordă un respect deosebit atunci când valoarea celei mai mari și mai mici valori a funcției pe intervalul curent.

În acest articol, este nevoie de a defini, de a formula un semn suficient de creștere a acelei modificări a funcției pe un interval și un motiv suficient pentru un extremum, vom pune întreaga teorie la perfecțiune prin aplicarea acelei sarcini.

Navigare pe lateral.

Creșterea și modificarea funcției pe interval.

Funcția de creștere desemnată.

Funcția y=f(x) crește pe intervalul X, precum și pentru orice i nerіvnіst vykonuetsya. În caz contrar, se pare - valoarea mai mare a argumentului este mai mare decât valoarea funcției.

Funcția de dezintegrare desemnată.

Funcția y=f(x) se modifică cu intervalul X, ca pentru orice i nerіvnist . În caz contrar, aparent - valoarea mai mare a argumentului este dată de valoarea mai mică a funcției.

NOTĂ: pe măsură ce funcția este atribuită și fără întrerupere în intervalele de creștere sau decădere (a; b), atunci la x = a і x = b, atunci punctele qi sunt incluse în intervalul de creștere sau dezintegrare. Nu supraestimați scopul funcției de creștere și dezintegrare pentru intervalul X .

De exemplu, din puterile funcțiilor elementare de bază, știm că y=sinx este atribuit și este neîntrerupt de toate valorile efective ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe intervale, putem confirma creșterea funcției sinus pe interval.

Krapki extremum, funcții extremum.

Denumiți punctul punct maxim funcțiile y=f(x) , deci tot x din vecinătate este corect. Se numește valoarea funcției în punctul maxim functia maxima Vreau să spun.

Denumiți punctul punct minim funcțiile y=f(x) , deci tot x din vecinătate este corect. Se numește valoarea funcției în punctul minimului functie minima Vreau să spun.

Sub periferia punctului, înțelegeți intervalul , de - Termină un număr mic pozitiv.

Se numesc punctele de minim și maxim puncte extremum, iar valoarea funcției, care corespunde punctelor extreme, se numește funcția extremă.

Nu confundați funcțiile extreme cu cea mai mare cea mai mică valoare funcții.

Pe primul mic, cea mai mare valoare a funcției de pe vârf este atinsă în punctul de maxim și următorul maxim al funcției, iar pe celălalt mic, cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul x = b, dar nu în punctul maxim.

Suficient pentru a înțelege creșterea acestei funcții schimbate.

Pe baza unor minți suficiente (semn) ale creșterii acelei funcții modificate, există lacune ale creșterii acelei funcții modificate.

Axa formulei este un semn al creșterii și schimbării funcției pe interval:

• dacă o funcție similară y=f(x) este pozitivă pentru orice x din intervalul X, atunci funcția crește pe X;
• Dacă o funcție similară y=f(x) este negativă, indiferent dacă x este în intervalul X , atunci funcția se schimbă în X .

În această ordine, pentru a semnifica creșterea creșterii și schimbarea funcției, este necesar:

Să aruncăm o privire asupra exemplului de cunoaștere a creșterii intervenite și a schimbării funcției pentru explicarea algoritmului.

fundul.

Cunoașteți lacunele în creștere și schimbarea funcției.

Soluţie.

La prima recoltă este necesar cunoașteți domeniul de aplicare al funcției. La fundul virazului, la bannerman, se poate întoarce la zero, mai târziu,.

Să trecem la funcția familiară:

În scopul promіzhkіv zrostannya că zmenshennya funktsії pentru un semn suficient virіshuєmo nerіvієmі і pe zona de atribuire. Folosiți rapid metoda intervalului. Rădăcina unică a jurnalului este є x = 2 și znamennik se transformă la zero la x = 0. Punctele Qi împart aria intervalului atribuit, pentru alte funcții, ele iau semnul. Semnificativ puncte qi pe dreapta numerică. Plusurile și minusurile sunt intervale semnificative din punct de vedere mental, pentru care este pozitiv și negativ. Săgețile din partea de jos arată schematic creșterea sau modificarea funcției pe un interval dat.

Într-o asemenea manieră, і .

La punctul x=2 funcția este atribuită și neîntreruptă, la care trebuie adăugat її la intervalul de creștere și la intervalul de dezintegrare. La punctul x=0, funcția nu este atribuită, deci acest punct nu este inclus în intervalele care glumesc.

Desenăm un grafic al funcției pentru a obține rezultate din aceasta.

Sugestie:

Funcția crește la , schimbându-se pe intervalul (0; 2] .

Suficient cont de extremul funcției.

Pentru a cunoaște maximul și minimul funcției, puteți koristuvatisya dacă unul dintre cele trei este un semn al unui extremum, evident, deoarece funcția vă satisface mintea. Cele mai late și mai la îndemână sunt primele dintre ele.

Persha este suficientă pentru extremul lui Umov.

Fie diferențiată funcția y=f(x) în vecinătatea punctului, dar fără întrerupere în punctul însuși.

Cu alte cuvinte:

Algoritm de găsire a punctului până la extremă după primul semn al extremului funcției.

• Cunoaștem domeniul de aplicare al funcției atribuite.
• Cunoaștem funcțiile zonei alocate.
• În mod semnificativ, zerouri ale cadranului numeric, zerouri ale bannerului punctului corespunzător al zonei desemnate, în care nu există posibile puncte extreme, trecând prin punctele qi, este posibil să vă schimbați semnul).
• Punctele Qi împart zona desemnată pentru funcția de promyzhki, pentru unii este mai bine să ia semnul. Putem vedea semnele unui interval de piele similar (de exemplu, calcularea valorii unei funcții similare în orice punct al unui interval bine luat).
• Selectăm puncte, în care funcția este neîntreruptă și, trecând prin iac, schimbă semnul - stinch extremum points.

Cuvinte prea bogate, privit mai frumos la kіlka, a aplicat punctele semnificative la extrem și la extremele funcției pentru ajutorul primului minte suficient extremul funcției.

fundul.

Cunoașteți funcțiile extreme.

Soluţie.

Zona de funcție este impersonală numerele zilei, Krim x = 2 .

Știm că voi merge:

Zerurile numărătorului є puncte x = -1 і x = 5 znamennik se transformă la zero la x = 2 . Număr semnificativ de puncte pe axa numerică

Sunt vizibile semnele unui interval de piele similar, cu care se calculează valoarea unui interval de piele similar, de exemplu, în punctele x=-2, x=0, x=3 și x=6.

De asemenea, pe interval este pozitiv (pe micuț se pune un semn plus deasupra intervalului cim). În mod similar

Punem un minus peste alt interval, un minus peste un al treilea interval, un plus peste un sfert.

Pierdut pentru a alege puncte, pentru care funcția este neîntreruptă și її pokhіdna schimba semnul. Tse i є puncte extreme.

La punctul x=-1 funcția este neîntreruptă și schimbă treptat semnul de la plus la minus, apoi, după primul semn până la extrem, x=-1 este punctul la maxim, al doilea este maximul funcției .

La punctul x=5 funcția este neîntreruptă și va schimba semnul minusului într-un plus, apoi, x=-1 este punctul minimului, ceea ce înseamnă minimul funcției .

Ilustrații grafice.

Sugestie:

RESPECT INVERS: primul semn este suficient pentru extremum, nu afectează funcția diferențială a punctului în sine.

fundul.

Găsiți puncte extreme și funcții extreme .

Soluţie.

Sfera de aplicare a funcției este toate numerele reale impersonale. Funcția în sine poate fi scrisă în vizualizarea:

Cunoaștem următoarele funcții:

La punctul x=0 nu este posibil, fragmentele valorilor interselor unilaterale nu pot ajunge la zero atunci când argumentul este exagerat:

La aceeași oră, funcția de ieșire este neîntreruptă în punctul x=0 (div. split urmarirea functiei pentru continuitate):

Cunoaștem semnificația argumentului, sub care merită să trecem la zero:

Semnificativ toate punctele de pe linia numerică și semn semnificativ mai mic pe intervalele de piele. Pentru care este posibil să se calculeze valoarea relativei în anumite puncte ale intervalului de piele, de exemplu, cu x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

În această ordine, după primul semn al extremului, punctele minimului , indică maximul є .

Calculul funcţiilor minime

Calcularea maximelor funcției

Ilustrații grafice.

Sugestie:

.

Un alt semn al extremului funcției.

Ca un bachete, pentru un semn al unui extremum al unei funcții, va necesita unul similar, cel puțin într-o ordine diferită în puncte.

Primul semn suficient al extremumului se formulează cu ameliorarea schimbării semnului primei ore bune a trecerii prin punctul critic. Despre un alt semn al extremumului, vezi mai jos în § 6.4.

Teorema (primul semn al extremului) : YakschoX 0 - Punctul critic al funcțieiy=f(X) iar în vecinătatea reală a punctuluiX 0 , trecând prin ea zlіva spre dreapta, pokhіdna schimba semnul la prelungire, apoiX 0 є punctul extremum. Mai mult, deoarece semnul opusului este schimbat de la „+” la „-”, atunciX 0 este punctul maxim șif(X 0 ) este maximul funcției și este similar cu schimbarea semnului de la „-” la „+”, apoiX 0 este punctul minim șif(X 0 ) - Functie minima.

Arată extrem de purtat local(Misceviy) caracterul și susceptibilitatea unei mici periferii a punctului critic.

Punctele de extremă și punctele de expansiune împart aria funcției atribuite intervalului de monotonitate.

Exemplul 6.3. De exemplu 6.1. știam punctele critice X 1 =0 і X 2 =2.

Desigur, ceea ce este adevărat în aceste puncte este funcția y=2x 3 -6x 2 +1 poate extremum. Imaginați-vă în її pokhіdnu
sens X, luat zliva și dreptaci la punct X 1 =0 a doza lângă periferie, de exemplu, x=-1і x = 1. Luat. Oskіlki pokhіdna schimba semnul de la „+” la „-”, apoi X 1 =0 - indicați maximul și maximul funcției
. Acum luăm două valori x = 1 i x = 3 din vecinătatea unui alt punct critic X 2 =2 . S-a demonstrat deja că
, A
. Oskіlki pokhіdna schimba semnul de la „-” la „+”, apoi X 2 =2 - Punctul minim. Și cel puțin funcții
.

Pentru a cunoaște cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției fără întrerupere a vântului
este necesar să se calculeze valorile її ​​la toate punctele critice și kintsyah vіrіzka, care să alegeți cel mai mult și cel mai puțin.

6.3. Semne de umflare și contracție a graficului funcției. Puncte de îndoire

Graficul funcției diferențiate se numeșteopuklimla interval, ca vinurile de roztashovaniya mai jos pentru a fi fost dotichnu dvs. la acel interval;aplecați-vă (cufundați-vă)yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї pe interval.

6.3.1. Semne necesare și suficiente de umflare și contracție a graficii

a) Semne obligatorii

Care este programul funcțiilory=f(X) tumora pe interval(A, b) , atunci prietenul este bun
la ce interval; ca programintimidare pe(A, b) , apoi
pe(A, b) .

P funcția de orar st y=f(X) tumora (A, b) (Fig.6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh umflat zlіva strâmbă la dreapta, її kut se schimbă prost (
), în același timp, coeficientul final al punctului se schimbă, ceea ce înseamnă că prima dată se schimbă
pe (A, b) . Ale, însă, este asemănătoare cu prima, deoarece este similară cu funcția recesivă, dar poate fi negativă, tobto
pe (A, b) .

Care este programul funcțiilor intimidare pe (A, b) , Că, mirkuyuchi în mod similar, Bachimo, că atunci când se forjează o curbă vzdovzh dotic (Fig. 6.3b) a tăiat o creștere dotichnoi bolnavă (
); Și chiar dacă pare o funcție în creștere, poate fi pozitivă, deci
pe (A, b) .

b ) Semne suficiente

Ca pentru funcțiey=f(X) toate punctele vor avea același interval
, apoi graficul funcțieiintimidare la ce interval, dar cum
, apoitumora .

„Regula Doshu” : Pentru a vă aminti vreun semn al unui alt pokhіdnoї pov'yazuvati z umflat și care din arcul curbat al graficului, se recomandă să vă amintiți: plus apă în lunare strâmbe, „minus apă” - în lunare bombate (Fig. 6.4).

Grafica Krapka funcție neîntreruptă, în care umflătura se schimbă în umflătura chi navpak, se numeștepunct de îndoire .

Teoremă (suficientă pentru semnul punctului de inflexiune).

Yakscho la punct funcţie
dvіchі a diferențiat că prietenul este similar în punctul său cu zero sau nu și chiar și atunci când trece prin punctul prieten bun
schimba semnul, apoi punctul є punct de inflexiune. Coordonatele punctului de îndoire
.

Punctele, pentru un prieten, este posibil să se transforme la zero sau nu, se numesc puncte critice de alt fel.

Exemplul 6.4. Cunoașteți punctele de inflexiune și semnificați intervalele de umflare și indentare ale curbei
(Curba Gaus).

R soluţie.Știm pershu acel prieten pokhіdnі:
,. Un prieten este bun pentru tine . Egal cu zero și virishima otrimane egal
, de
de asemenea
, stele
,
- Puncte critice de alt fel. Inversarea schimbarii semnului unei alte ore bune pentru trecerea punctului critic
. Yakscho
de exemplu,
, apoi
, dar
de exemplu,
, apoi
Tobto prieten schimba semnul. Otzhe,
- abscisa punctului de îndoire, coordonate її
. Prin funcții de paritate
, pestrițat
, punct simetric
, tezh va fi un punct de inflexiune.

Teorema (prima este suficientă pentru extremul lui Umov). Lăsați funcția să fie neîntreruptă la punct, dar dacă ora trece prin punct, semnul se schimbă. Todi - punct extremum: maxim, ceea ce înseamnă că semnul se schimbă de la „+” la „-”, și la minim, care înseamnă „-” la „+”.

Aducând. Hai cu eu pentru.

Pentru teorema lui Lagrange , de .Todі yakshcho, atunci; la asta , otzhe, , sau . In regula, atunci; la asta , otzhe, sau .

Otzhe a adus, scho în orice punct din apropiere, tobto. este punctul maxim al funcției.

Demonstrarea teoremei punctului minim se realizează într-un mod similar. Teorema terminată.

De îndată ce ora trece prin punct, nu schimbă semnul, atunci punctul nu este extremum.

Teorema (un prieten este suficient pentru extremul lui Umov). Fie punctul să aibă o funcție similară, care este diferențiatoare, 0 (), iar cealaltă este similară cu punctul zero () și este neîntreruptă în vecinătatea activă a punctului. Todi - punct extremum; în care punct este minimul și în ce punct este maximul.

Algoritm pentru recunoașterea funcției extreme după primul motiv suficient pentru a rezolva extremul.

1. Cunoașteți trucul.

2. Desemnați punctele critice ale funcției.

3. Urmați semnul stângaci și dreptaci în punctul critic al pielii și creșterea visnovoi despre manifestarea extremelor.

4. Cunoașteți valorile extreme ale funcției.

Algoritm pentru recunoașterea funcției extreme cu ajutorul unui alt motiv suficient pentru a elimina extremul.

1. Cunoașteți trucul.

2. Cunoaște-ți prietenul pokhіdnu.

3. Cunoașteți aceste puncte, u yakikh.

4. În aceste puncte, atribuiți un semn.

5. Zrobiti vysnovok despre natura extremums.

6. Cunoașteți valorile extreme ale funcției.

fundul. Uita-te la . Noi stim . Daly, la i pentru . Dolіdzhuєmo puncte critice pentru ajutorul primului extremum mental suficient. Poate, ce pentru eu la , eu la . La punctele i este mai bine să le schimbați semnul: la „+” la „-” și la „-” la „+”. Tse înseamnă că funcția punct are un maxim, iar punctul are un minim; . Pentru egalizare, trebuie să ajungem la punctul critic după ajutorul unei alte minți și extremum suficiente. Să știm că un prieten va muri. May: , iar tse înseamnă că punctul are o funcție maximă, iar punctul are o funcție minimă.

Înțelegerea asimptoticii graficului unei funcții. Asimptotice orizontale, slabe și verticale. aplica.

Programare. p align="justify"> Asimptota graficului funcției se numește linie dreaptă, ceea ce vă permite să vă deplasați de la punctul la centrul dreptei la zero atunci când punctul graficului nu este departe de cob de coordonate.

Distingeți asimptotele verticale (Fig. 6.6 a), orizontale (Fig. 6.6 b) și balansoare (Fig. 6.6 c).

Pe fig. 6.6a este prezentat asimptotă verticală.

În figura 6.6b - asimptotă orizontală.

Pe fig. 6,6 V - asimptotă.

Teorema 1. La punctele asimptotelor verticale (de exemplu, ) funcția cunoaște diferența, între linii și direcția cu mâna dreaptă a punctelor sunt:

Teorema 2. Să fie numită funcția pentru a termina marele și a stabili granițele finale

І .

Apoi este drept, o asimptotă ponosită a graficului funcției.

Teorema 3. Lăsați funcția să fie numită pentru dosit grozav și nu între funcții. Atunci linia dreaptă este asimptota orizontală a graficului funcției.

Asimptotă orizontală є o numim asimptotă proastă, dacă . La asta, deși în linie dreaptă curba are o asimptotă orizontală, atunci în acea linie dreaptă nu există ghinion și ghinion.

fundul. Cunoașteți asimptoticele graficului funcției.

Soluţie. La punctul, funcția nu este atribuită, știm între funcțiile stângaci și dreptaci la punctul:

; .

De asemenea, este o asimptotă verticală.

Schema principală pentru urmărirea funcțiilor și încurajarea programelor acestora. fundul.

Schema generală a funcției de urmărire acel prompt її grafic.

1. Cunoașteți zona țintă.

2. Urmăriți funcția pentru paritate - neparitate.

3. Cunoașteți asimptoticele verticale ale punctului de expansiune (cum ar fi є).

4. Urmăriți comportamentul funcției în inconsecvență; cunoașteți asimptotele orizontale și bolnăvicioase (cum ar fi є).

5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați punctele dreptei graficului cu axele de coordonate i, deoarece este necesar pentru o diagramă schematică, pentru a cunoaște punctele suplimentare.

7. Apelați schematic programul.

Schema detaliata funcții de urmărire care încurajează grafica .

1. Cunoașteți zona de destinație .

A. Yakshcho є znamennik, vin este vinovat de zratatisya în 0.

b. Sub-rădăcina rădăcinii etapei pereche poate fi nenegativă (mai mare sau egală cu zero).

c. Viraza sublogaritmică poate fi pozitivă.

2. Urmați funcția pentru paritate - neparitate.

A. Yakscho , atunci funcția este asociată.

b. Yakshcho , atunci funcția este neîmperecheată.

c. Yakshcho nu vikonano nu, nu , atunci este funcția vederii globale.

3. Cunoașteți asimptoticele verticale ale punctului de expansiune (cum ar fi є).

A. Asimptota verticală poate fi mai puțin pronunțată pe inter-regiunile funcției atribuite.

b. Yakscho (sau ), atunci asimptota graficului este verticală.

4. Urmăriți comportamentul funcției în inconsecvență; cunoașteți asimptotele orizontale și bolnăvicioase (cum ar fi є).

A. Yakscho, atunci asimptota graficului este orizontală.

b. Yakshcho i atunci linia dreaptă este o asimptotă fragilă a graficului.

c. În ceea ce privește limitele, desemnate în paragrafele a, b, este posibil doar cu pragnennin unilaterală la inconsecvență (sau ), atunci asimptoticele vor fi luate unilateral: stânga dacă și dreapta dacă.

5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.

A. Cunoașteți pokhidnu.

b. Cunoașteți punctele critice (ti points, de chi de nemaє).

c. Pe axa numerică, desemnați zona desemnată și її punctele critice.

d. Pe pielea conținutului intervalelor numerice, marcați semnul următorului.

e. Conform semnelor cercetărilor similare ale visnovoks despre manifestarea extremelor la aceste tipuri.

f. Cunoașteți valorile extreme.

g. În funcție de semnele creșterii în marș a mustăților despre creșterea și schimbarea.

6. Cunoașteți punctele dreptei graficului cu axele de coordonate i, deoarece este necesar pentru o diagramă schematică, pentru a cunoaște punctele suplimentare.

A. Schob pentru a cunoaște punctele liniei graficului de la vіssyu, este necesar să se separe linia. Punctele , de zero , vor fi punctele liniei graficului z vyssyu .

b. Punctul liniei graficului poate fi văzut de sus. Vaughn іsnuє, este mai puțin ca un punct pentru a intra în zona funcției desemnate.

8. Apelați schematic programul.

A. Induce sistemul de coordonate și asimptotele.

b. Indicați punctele extreme.

c. Specificați punctele de întrerupere ale graficului cu axele de coordonate.

d. Induceți schematic graficul în așa fel încât, trecând prin punctele desemnate și apropiindu-se de asimptote.

fundul. Urmăriți funcția și induceți schematic graficul її.

2. - funcția unei minți sălbatice.

3. Oskіlki i , apoi linii drepte є asimptote verticale; puncte і є punctate. , când nu intrați în zona funcției atribuite