Spălați perpendicularitatea a două linii drepte în spațiu. Linii paralele, semne și minți ale liniilor paralele. Mergeți de la punct la linia dreaptă

KUT între bemol

Să aruncăm o privire la două sarcini de plan α 1 și α 2 în același mod:

Pid cutomîntre două apartamente, unul dintre kutіv cu două fețe, alcătuit din aceste apartamente, este de înțeles. Este evident că între vectorii normali și planurile 1 și 2 este egal cu una dintre denumirile diedrului sum. . Tom . pentru că і , apoi

fundul. Desemnați o tăietură între plate X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Spălați paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele între ele și numai la același, dacă sunt vectori normali și paraleli și, de asemenea .

De asemenea, două plane sunt paralele cu unul cu același și mai puțin cu același, dacă coeficienții pentru coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

Spălați perpendicularitatea planurilor.

Era clar că două plane sunt perpendiculare și la fel, dacă sunt vectori normali și perpendiculare, fie.

Într-o asemenea manieră,

aplica.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

VECTORNE RIVNYANNYA DIRECT.

NIVELARE PARAMETRICA DIRECT

Poziția liniei drepte în spațiu depinde complet de datele date, deoarece există її puncte fixe M 1 i vector , paralel cu dreapta.

Se numește vector, linie paralelă direct vectorul este drept.

Otzhe, salut direct l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1), care se află pe o dreaptă paralelă cu vectorul.

Să ne uităm la un anumit punct M(x, y, z) pe o linie dreaptă. De la cel mic se vede asta .

Vectori și kolіnearnі, deci există un astfel de număr t, sho , de multiplicator t puteți afla dacă este o valoare numerică în pârghie în poziția punctului M pe o linie dreaptă. Multiplicator t numit parametru. Atribuirea punctului rază-vector M 1 ta M evident prin i, otrimuemo. Acest egal este numit vector linii drepte. Acesta arată valoarea parametrului pentru piele t modificați raza-vector al punctului deac M, care se află pe o linie dreaptă.

Să notăm ordinea formei de coordonate. Cu respect, sho, și stele

Otrimani se numesc egali parametrice Drept.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yі z am pestricat M mișcă în linie dreaptă.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

Haide M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct care se află pe o dreaptă l, і - Її vector direct. O voi duce direct până la capăt M(x, y, z) ma uit la vector.

Era clar că vectorii și coliniari, la faptul că coordonatele lor respective pot fi proporționale,

– canonic linii drepte.

Respect 1. Cu respect, alinierea canonică a dreptei poate fi îndepărtată de la cele parametrice prin activarea parametrului t. Adevărat, de la parametrii egali este necesar sau .

fundul. Scrieți linii drepte aspect parametric.

Semnificativ , stele X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Apoi un vector direct de drepte de perpendiculare Bou, otzhe, m=0. Otzhe, egalizarea parametrică a privirii directe înainte

Inclusiv parametrul de egalizare t, Luați direct de la vedere

Prote și în același timp să notăm formal egalitățile canonice ale iacului direct . În această ordine, dacă există zero în bannerul uneia dintre fracții, atunci înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate dublă.

În mod similar, canonic este egal linia dreaptă este perpendiculară pe axele Bouі Ai sau paralel cu axa Oz.

aplica.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, REVERSIUNEA LINIEI YAK A DOUĂ AVIUNE

Prin piele drept în spațiul deschis pentru a trece o zonă impersonală. Fie că sunt două dintre ele, împletindu-se, ele semnifică în spațiu. Otzhe, dacă ar exista două bemoluri egale, care sunt privite împreună, sunt egale cu liniile drepte.

Vzagali fi ca doi plane paralele, stabilit de egali înflăcărați

desemnează o linie dreaptă. Qi egal sunt numite gelozie sălbatică Drept.

aplica.

Prompt direct, stabilit de colegi

Pentru a încuraja direct, este suficient să știți dacă există її puncte. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de încrucișare ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, un punct de încrucișare cu un plan xOy o luăm drept, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu sistem, știm ideea M 1 (1;2;0).

La fel, cu respect y= 0 xOz:

De la nivelurile superioare ale liniei drepte, puteți merge la nivelurile її canonice sau parametrice. Pentru care este necesar să știe un punct M 1 pe o linie dreaptă și un vector direct este o linie dreaptă.

Coordonatele punctului M 1 este luată din centrul sistemului de egalizare, având apăsată una dintre coordonate la o valoare suficientă. Pentru problema unui vector direct, cu respect, vectorul trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali. і . La asta pentru vectorul direct l poti sa iei vector witwear vectori normali:

fundul. Conduce direct înainte la aspectul canonic.

Să găsim un punct care se află pe o linie dreaptă. Pentru care alegem doar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și împărțiți sistemul de egalizare:

Vectorii normali ai planurilor, care definesc o linie dreaptă, determină coordonatele. Prin urmare, vectorul direct va fi direct

. Otzhe, l: .

KUT MIZH DREPT

Kutomîntre linii drepte în spațiu vom numi dacă unul dintre kutiv-urile sumare, a făcut două linii drepte, trasate printr-un anumit punct în paralel, dăm.

Lăsați spațiul să stabilească două linii drepte:

Este evident că kut între їх linii drepte poate fi luat ca kut între їх vectori direcți i . Deci yak, atunci pentru formula pentru cosinusul kuta între vectori luăm

Partiția V*. Ecuația liniilor drepte și a platelor în apropierea spațiului deschis.

§ 70. Gândiţi-vă la paralelismul şi perpendicularitatea a două drepte.

Linii drepte cu vectori direcți A і b :

a) paralel la fel și mai puțin la fel, dacă vectorii A і b coliniar;

b) perpendiculară pe aceeași și mai puțin pe aceeași, dacă vectorii A і b perpendicular, atunci dacă A b = 0.

Este necesar să se țină cont de înțelegerea necesară și suficientă a paralelismului și perpendicularității a două drepte, date de egalități canonice.

Pentru asta, drept

mingile sunt paralele, necesare și suficiente, pentru ca mintea să câștige

Aveți un vipadku, ca unele numere b 1 , b 2 , b 3 revine la zero, atunci este vinovat să revină la zero celălalt număr A 1 , A 2 , A 3 .

Pentru perpendicularitatea liniilor drepte, este necesar și suficient, astfel încât mintea

A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 = 0. (2)

Sarcina 1.Între perechile de linii drepte care avansează, pariurile sunt paralele sau perpendiculare pe liniile drepte:

a) Vectori direcţi A = (2; 4; -13) și b = (3; 5; 2) evident că nu este coliniar. Otzhe, nu direct paralel. Să revedem perpendicularitatea minții

A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Dreaptă perpendiculară.

b) Vectorul direct al celeilalte drepte poate fi coordonat b = (3; 2; 4). Pentru un vector direct, pot lua mai întâi un complement vectorial de vectori normali
n 1 = (2; -3; 0) și n 2 \u003d (4; -2; -2) avioane, cum să setați qiu drept:

Umov (1) câștigă, cioburi 6/3 = 4/2 = 8/4. Direct paralel.

c) Vector direct al primei drepte maє coordonate A = (2; 3; 1). Este ușor să aduceți o altă linie dreaptă la un aspect canonic.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vectori A і b nu paralel. Duhoarea nu este perpendiculară, cioburile

A 1 b 1 + A 2 b 2 + A 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Datele sunt drepte, nu paralele și nu perpendiculare.

Sarcina 2. Cunoașteți alinierea dreptei pentru a trece prin punctul M 0 (2; -3; 4) perpendicular pe dreapta

Articolul Tsya despre liniile paralele și despre liniile paralele. Desemnarea liniilor paralele pe plan și în apropierea spațiului deschis este dată în spate, se introduce denumirea și se aplică ilustrații grafice ale liniilor paralele. Au dat semne și au înțeles paralelismul liniilor drepte. Visnovka prezintă soluții de sarcini caracteristice pentru demonstrarea paralelismului liniilor, precum și atribuirea unor astfel de egalități ale unei linii drepte a unui sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și într-un spațiu trivial.

Navigare pe lateral.

Poduri principale paralele directe.

Programare.

Se numesc două linii drepte pe plan paralel de ce nu puți puncte fierbinți.

Programare.

Două linii drepte în spațiul trivi-lumesc sunt numite paralel ca mirosul de a sta întins într-un singur apartament și de a nu dormi pe puncte de dormit.

Respectați faptul că avertismentul „că duhoarea se află în același plan” la liniile paralele desemnate în spațiul deschis este și mai important. Să explicăm acest moment: doi sunt drepti într-un spațiu banal-lumesc, astfel încât să nu aibă puncte de dormit și să nu se afle în același plan, nu paralel, ci încrucișat.

Să punem câteva exemple de linii paralele. Marginile protilezhnі ale foii zoshita se află pe linii drepte paralele. Drept, în spatele căruia platul peretelui cabinei traversează platul stelei și straturile de bază, care sunt paralele. De asemenea, puteți vedea cum liniile drepte paralele sunt pe picior de egalitate.

Pentru definirea liniilor paralele se folosește simbolul „”. Deoarece a și b drepte sunt paralele, puteți scrie scurt a b.

Arătați respect: deoarece liniile drepte a și b sunt paralele, puteți spune că linia a este paralelă cu linia b și puteți spune că linia b este paralelă cu linia a.

Sunet ferm, parcă ar juca rolul important al unor drepte paralele pe plan: printr-un punct care nu se află pe linia dată, treceți o dreaptă, paralelă cu dreapta dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor planometriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru un spațiu dintr-un spațiu este valabilă următoarea teoremă: prin faptul că un punct din spațiu, care nu se află pe o dreaptă dată, trece printr-o dreaptă, paralelă cu cea dată. Teorema Tsya poate fi adusă cu ușurință în ajutorul introducerii axiomelor dreptelor paralele (її puteți cunoaște dovada dvs. din manualul de geometrie clasa 10-11, care este indicat în articolul din lista de referințe).

Paralelismul liniilor drepte - semne ale acelei minți paralelism.

Semnul liniilor paralele Există suficientă inteligență pentru paralelismul liniilor drepte, astfel încât o astfel de mentalitate, care garantează paralelismul liniilor drepte. Cu alte cuvinte, vykonannya tsієї gândește suficient pentru a constata faptul că există linii paralele.

De asemenea, este necesar să se stabilească mințile necesare și suficiente ale paralelismului liniilor drepte pe plan și în spațiul trivial.

Este de înțeles să schimbați expresia „că este necesar un paralelism mental suficient al liniilor drepte”.

Cu un paralelism mental suficient al liniilor drepte, am rezolvat deja. Și ce e? minte necesară paralelismul dreptelor? În spatele numelui „necesar” s-a înțeles că mintea vikonnannya tsієї este necesară pentru paralelismul liniilor. Cu alte cuvinte, dacă paralelismul liniilor nu este necesar, atunci liniile nu sunt paralele. Într-o asemenea manieră, necesar ca suficient paralelism mental al liniilor drepte- Tse mintea, vykonannya așa cum este necesar, deci este suficient pentru paralelismul liniilor drepte. Adică, dintr-o parte există un semn de paralelism al liniilor drepte, din cealaltă parte - integritate, de parcă se văd linii paralele.

Primul pas este formularea paralelismului necesar al liniilor drepte, suficient pentru ca mintea să ghicească un pic de semne suplimentare.

Linie dreapta- Tse este drept, ca și cum am traversa pielea în două linii drepte.

La retragere, două sichny utvoryuyuyutsya drepte sunt nearse. Pentru formularul necesar și suficient paralelismul minții de linii drepte ia soarta așa-numitelor cu capul în jos culcat, culcatі kuti unilateral. Arată-le pe fotoliu.

Teorema.

Ca două linii drepte pe planul de intersecție al sichny, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient, astfel încât tăieturile să fie încrucișate, să se așeze, să fie egale sau cele două laturi egale, sau suma unu- tăieturile laterale au fost de 180 de grade.

Să arătăm o ilustrare grafică a paralelismului mental necesar și suficient al liniilor drepte pe un plan.

Puteți găsi dovezi ale paralelismului liniilor drepte de la asistenții de geometrie pentru 7-9 clase.

Este important să crezi că poți învinge și într-un spațiu banal - un smut, astfel încât două linii drepte să se afle în același plan.

Să mai introducem câteva teoreme, care sunt adesea contestate pentru a demonstra paralelismul dreptelor.

Teorema.

Dacă două linii de pe plan sunt paralele cu a treia linie, atunci duhoarea este paralelă. Dovada că semnele sunt evidente din axiomele dreptelor paralele.

Este analog cu paralelismul minții al liniilor drepte în spațiul trivial.

Teorema.

Ca două linii drepte în spațiu paralel cu a treia linie dreaptă, toate mirosurile sunt paralele. Dovada că semnele se văd la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrăm sunetul teoremei.

Mai introducem o teoremă, care ne permite să aducem paralelismul dreptelor pe plan.

Teorema.

Ca două drepte pe un plan perpendicular pe a treia dreaptă, ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Ca două linii drepte într-o întindere banală, perpendiculară pe un plan, duhoarea este paralelă.

Închipuit de mici, teoreme yakі vіdpovіdat zim.

Toate formulările teoremei, semnele și suficiente minți necesare se potrivesc miraculos pentru a demonstra paralelismul liniilor drepte prin metode de geometrie. Deci, pentru a aduce paralelismul a două sarcini de linii drepte, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu cea de-a treia linie dreaptă, sau să se arate alinierea tăierilor, să se întindă etc. Sarcini similare anonime sunt încălcate în timpul primei ore de lecții de geometrie la o școală secundară necunoscută. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că în vipad-urile bogate este ușor de utilizat metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul liniilor pe plan sau față de spațiul trivial. Formulăm înțelegerea suficientă necesară a paralelismului liniilor, ca sarcină pentru un sistem de coordonate dreptunghiulare.

Paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

La acest paragraf sunt formulate statisticile necesar și suficient pentru a înțelege paralelismul dreptelorîntr-un sistem de coordonate rectiliniu, este îngrozit sub formă de rіvnyan, care semnifică tsі linii drepte și, de asemenea, vom induce rapoarte despre distribuția sarcinilor caracteristice.

Să ne amintim paralelismul a două drepte pe planul sistemului de coordonate dreptunghiular Oxy . La baza yoga dovedesc a minți desemnarea vectorului direct al linieiі vectorul normal al dreptei pe plat.

Teorema.

Pentru paralelismul a două drepte neincidente pe plan, este necesar și suficient ca vectorii direcți ai acestor drepte să fie coliniari, sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul direct al unei linii de perpendiculare pe normală. vector al celeilalte linii.

Evident, paralelismul mental a două drepte pe plan poate fi redus la (vectori direcți de drepte sau vectori normali de drepte) sau la (vector direct al unei linii a vectorului normal al celeilalte drepte). În această ordine, ca i - vectori direcți ai liniilor a і b și і - vectorii normali ai dreptelor a și b sunt corecti, atunci este necesar ca paralelismul mental suficient al dreptelor a și b să se scrie ca , sau , sau de t este un număr real. Coordonatele liniilor drepte și (sau) vectorii normali ai liniilor drepte a și b au propriul lor domeniu de coordonate în spatele liniilor date ale dreptelor.

Zokrema, ca o linie dreaptă a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan linie dreapta minte , și linia dreaptă b - atunci vectorii normali ai liniilor drepte tsikh pot fi coordonate і vіdpovіdno, iar paralelismul lui Um al liniilor a і b va fi scris ca .

Yakshcho direcționează un vіdpovіdaє alinierea liniilor drepte cu un coeficient de tăiere minte , și linia b - , atunci vectorii normali ai acestor linii pot avea coordonatele i , iar paralelismul mental al acestor linii va fi văzut . De asemenea, deși liniile de pe planul unui sistem de coordonate dreptunghiulare sunt paralele și pot fi setate egale cu liniile cu coeficienții de vârf, atunci coeficienții de vârf ai liniilor vor fi egali. În primul rând: deși liniile drepte, care nu se îndoaie, pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi stabilite prin linii drepte cu coeficienți de margine egali, atunci astfel de drepte sunt paralele.

Ca și linia dreaptă a și dreapta b într-un sistem de coordonate drepte alinierea canonică a liniilor drepte pe plat minte і , sau alinierea parametrică a unei drepte pe un plan minte і evident, vectorii direcți ai acestor drepte pot fi coordonate i , iar paralelismul mental al dreptelor a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la o serie de aplicații.

fundul.

Chi linii paralele і?

Soluţie.

Să rescriem alinierea liniilor drepte la înfăşurări la vederea unei linii drepte sălbatice: . Acum puteți vedea că scho este un vector normal de linii drepte , iar vectorul normal este o linie dreaptă. Vectorii Qi nu sunt coliniari, deoarece nu există așa ceva numărul de dată t , pentru care egalitatea este corectă ( ). Prin urmare, nu este necesar să depășim necesitatea acelui paralelism mental suficient al liniilor drepte pe plan, sarcinile liniilor drepte nu sunt paralele cu acesta.

Sugestie:

Nu, nu direct paralel.

fundul.

Sunt drepte și paralele?

Soluţie.

Navigabil canonic egal drept la egal drept din coeficient de tăiere: . Este clar că egalizarea liniilor drepte și aceeași (pentru diferite sarcini, liniile drepte vor fi evitate) și coeficienții kutovі de egali direcți, de asemenea, liniile drepte sunt paralele.