Zavdannya, co rozumiesz fiszbiny integralne.

Dopuszczalne jest przypisanie funkcji elementów i zapisz kwotę

jak to się nazywa integralną.

P: Pod całką pojedyńczą (o.i.) jako funkcja i jako wybór

Przeznaczenie:

Liczby są nazywane zintegrowanymi (według Rіmana) na .

T. іsnuvannya: Dla twojego umysłu, sho.

Vіdpovіdno do czasu powołania o.i. istotne jest, że całka może być zdeponowana w postaci

Vіdpovіdno do cl.17.1.1 i 17.1.2 i inne. zapisujemy wzory na obszar trapezu krzywoliniowego: , siły robotów

na:

Rozumienie sum podcałkowych, całkowych.

Podstawa całki fiszbinowej, aby suma międzycałkowa dla danego była oczywista, ponieważ granica podaje objętość bryły cylindrycznej. Jednak tse mirkuvannya nie є suvorim. W wyższych stopniach twardnienia konieczne jest poruszenie i wywołanie twierdzenia na podstawie całki podpionowej.

Twierdzenie іsnuvannya. Bo czy to funkcja, bez przerwy w zamkniętym obszarze, gdzie mogę zmierzyć a, istnieje podcałka, tak że istnieje suma międzycałkowa z nieograniczonym wzrostem liczby małych majdanczyków dla umysłu, że skóra z nich jest wciągnięta w plamkę. Granica Tsya nie może być odkładana na drodze podziału regionu, ale na części, a nie na wyborze punktów.

Nadalі mi vzglyaditimemo bez funkcji, bez przerwy w sferze integracji.

Z twierdzenia o fundamencie możemy na przykład podzielić region na małe prostokąty o prostych bokach równoległych do osi współrzędnych (ryc. 230). Kiedy tsimu. Vibirayuchi potim na skórze mały odbyt punktami, które możemy napisać, zgіdno z nominałów całki subwertykalnej

W celu uzasadnienia, że ​​można uzyskać podstawową całkę, tak jak między sumą umysłu, nazwa znaku wikariusza jest również znakiem

Viraz nazywany jest elementem kwadratu we współrzędnych kartezjańskich oraz dodatkowym kwadratem prostokąta o bokach równoległych do osi współrzędnych.

Ważne jest, aby po złożeniu integralnej torby majdany przylegające do międzyregionu nie tworzyły prostokątów. Można jednak doprowadzić do tego, że ułaskawienie za zastępowanie takich majdanczyków kwadratami między kwadratami zostanie zredukowane do zera.

Potęga całek podrzędnych

Dominacja subintegry (tego Yogo visnovok) jest analogiczna do dominacji jednorazowo śpiewającej całki.

1°. Addytywność. Jaka jest funkcja? f(x, tak) zintegrowany w regionie D i jako obszar D dla krzywej pomocy G obszar zerowy jest podzielony na dwa ogniwa i nie tłumi wysokich punktów wewnętrznych regionu D 1 ta D 2, a następnie funkcja f(x, tak) zintegrowany z obszarami skóry D 1 ta D 2 , ponadto

2°. Moc liniowa . Jakie funkcje? f(x, tak) że g(x, tak) integracja w okolicy D, a α і β - czy to liczby mowy, to funkcja [ α · f(x, tak) + β · g(x, tak)] jest również zintegrowany w regionie D, co więcej

3°. Jakie funkcje? f(x, tak) że g(x, tak) integracja w okolicy D, to dodatkowe funkcje tych funkcji są integrowane w D.

4°. Jakie funkcje? f(x, tak) że g(x, tak) ofensywna integracja w regionie D i wszędzie w mojej galerii f(x, tak) ≤ g(x, tak), następnie

5°. Jaka jest funkcja? f(x, tak) zintegrowany w regionie D, te funkcje | f(x, tak)| zintegrowany w regionie D, co więcej

(Oczywiście z integracją | f(x, tak)| w D nie pokazuje integracji f(x, tak) w D.)

6°. Twierdzenie o wartości średniej. Co za obraźliwa funkcja f(x, tak) że g(x, tak) integracja w okolicy D, funkcja g(x, tak) jest niewidoczny (niedodatni) wszędzie w tej galerii, Mі m- dokładne górne i dolne granice funkcji f(x, tak) w regionie D, to jest liczba μ to łagodzi nerwowość m ≤ μ ≤ M i żeby formuła była poprawna

Zocrema jako funkcja f(x, tak) jest nieprzerwany w D i obszar D zv'yazkova, to w tej galerii jest taki punkt ( ξ , η ), Co μ = f(ξ , η ), a wzór (11) wygląda tak:

RUCHOME CAŁKI

wykład 1

Całki podtrzymane.Celem całki podprądowej jest moc. Wielokrotne integracje. Związki całek dolnych z powtórzonymi. Umieszczenie między integracją. Obliczanie całek leżących u podstaw kartezjańskiego układu współrzędnych.

Podcałka to pogłębienie rozumienia całki pojedynczej w różnych funkcjach dwóch zmiennych. W ten sposób integracja na odwrót będzie prezentować się jako płaska figura.

Daj spokój D- Dejaka to obszar zamknięty, graniczący i f(x,y) - funkcja wystarczająca, wyznaczyła ją ta galeria. Załóżmy, że między regionami D są sumowane z ostatniej liczby krzywych, zadania rówieśników umysł tak=f(x) lub x=g( tak), de f(x) że g(tak) to nieprzerwane funkcje.

Region Rozib'ёmo D przyzwoita pozycja na n część. powierzchnia i-ї delyanki oznacza symbol D ja. Na skórze dilyantsi, dość klimat jest punktem Liczba Pi, i wypuść go w be-yak_y ustalając współrzędne ma układu kartezjańskiego ( x ja , y ja). Sklademo suma całkowita dla funkcji f(x,y) Przez region D, dla której wartość funkcji jest znana we wszystkich punktach Liczba Pi, mnożąc їх przez powierzchnię działek podwójnych Ds i I zakładamy, że wszystkie wyniki są usuwane:

Nazvemo średnica(G) obszary G największa odległość między punktami granicznymi regionu.

Całka funkcje f(x,y) w obszarze D nazywa się granicą, w jakim stopniu ciąg sum całkowitych (1.1) z nieograniczonym wzrostem liczby przerw n (u kogo?). Zapisz w ten sposób

Warto zauważyć, że podobno suma całkowa dla danej funkcji i danego obszaru całkowania ma wchodzić w drogę powiększenia obszaru D wybierz punkt Liczba Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse oznacza, że ​​między sumami vіdpovіdny іntegrаlny nie można leżeć między wyznaczonym chinnikіv. W porządku(lub, jak się wydaje, funkcja ogólna f(x,y) jest całkowany w dziedzinie D), wystarczy, że funkcja całkowa bool nieprzerwany przy integracji galerii zadań.

Przyjdź na funkcję! f(x,y) zintegrowany w regionie D. Odłamków między skumulowanymi sumami dla takich funkcji nie można kumulować metodą podziału obszaru integracji, podział można przeprowadzić za pomocą linii pionowych i poziomych. Todі więcej biznesmenów z regionu D matime prosto wyglądający, obszar takiego dorivnyu D ja=D x ja D ja ja. Dlatego różnicę powierzchni można zapisać jako ds=dxdy. Otzhe, w kartezjańskim układzie współrzędnych pod całkami możesz spisać na widok

Szacunek. Podobnie jak funkcja całkowa f(x,y)º1, wówczas podcałką obszaru regionu integracji jest:

Co znamienne, że podkreślone integracje mogą być tą samą potęgą, jak również pojedynczo zintegrowane. Ich czyny są znaczące.

Potęga całek podrzędnych.

1 0 .Moc liniowa. Całka sumy funkcji drugiej sumy całek:

za znak całki można winić stały mnożnik:

2 0 .Dodatkowa moc. Ponieważ obszar integracji D jest podzielony na dwie części, to podcałka jest pełniejsza niż suma integracji nad częścią skórną:

3 0 .Twierdzenie o średniej. Jaka jest funkcja? f( x,y)jest ciągła w obszarze D, to w galerii jest taki punkt(x, h) , Co:

Dalsze odżywianie po żywieniu: jak obliczane są podcałki? Yogo może być w przybliżeniu virahuvati, dzięki tej metodzie jest zepsuty skuteczne metody złożone sumy sum skumulowanych, które są następnie obliczane numerycznie z dodatkowym EOM. Przy analitycznym obliczeniu podcałek są one sprowadzane do dwóch całek pojedynczych.

Całki podwieszone do czajników

Ta lekcja wprowadza świetny temat całek wielokrotnych, z którego uczniowie wymyślą kolejny kurs. Przesuń to przez całki potrójne tapicerkę można zwalić nie wyżej, niżej różnica równa się do tego vіdrazu, spójrzmy na jedzenie: cóż, co to jest? Zvichayno, deakim będzie spójny i, szczerze mówiąc, trochę oczerniłem statystykami nazewnictwa - aby nauczyć się, jak virishuvati podvіynі іntegrali, jest to konieczne nowicjusz deyakі matki. Po pierwsze, jeśli zajmiesz się integracjami, to oczywiście będziesz musiał się zintegrować. Logika. Otzhe, do tworzenia aplikacji musisz wiedzieć całki nieznaczne to się liczy całki liniowe gorące bi na średnim poziomie. Dobrą nowością jest to, że dzięki potężnym siłom zintegrowali się z większym vipadkiv, aby zrobić to po prostu.

Kto jest twardy? Po prawej zrozumiałem. Tim, który przez pierwsze semestry pił dużo piwa. Jednak zwykli uczniowie mogą być przytłoczeni - na stronie znajdują się wszystkie materiały do ​​wypełnienia luk lub niezrozumiałych. Po prostu spędzasz więcej niż godzinę. Possilannya na tych, yakі zsunął vyvchiti lub powtórz, dodavatimutsya pіd hour statti.

Na lekcji wprowadzającej, krok po kroku, omówione zostaną następujące podstawowe momenty:

– Zrozumienie całki podprądowej

– Obszar integracji. Kolejność omijania regionu integracji. Jak zmienić kolejność obejścia?

Po tym, jak dobrze rozumiesz całą Azję, możesz przejść do artykułu Jak obliczyć niedoszacowaną całkę? Zastosuj rozwiązanie. Ponadto istnieje szersze zadanie obliczanie całki ruchomej we współrzędnych biegunowych ten typowy dodatek o znaczenie dla środka ciężkości płaskiej figury opisanej.

Zacznijmy od bezczelnego jedzenia - co to jest?

Zrozumienie całki podprądowej

Całka podwariantna osoby nieświadomej jest zapisana w następujący sposób:

Rzućmy okiem na terminy i definicje:
- Ikona całki pionowej;
- Obszar integracji (figura płaska);
- Funkcja całkowa dwóch zmiennych, często prosta;
- Odznaki różnic.

Co to znaczy obliczyć niedoszacowaną całkę?

Oblicz całkę bazową - średnie tse znać KILO. Najprostsza liczba:

І vkray bazhano dobrze zna Yogo =)

Wynik (liczba) może być ujemny. A zero można łatwo wprowadzić. Zwłaszcza zupinivsya na daną chwilę, uczniowie oskolki chimalo byli niespokojni, jeśli wyjdziesz „coś innego cudownego”.

Bagato, który pamięta, że ​​„wspaniale” całka wartości- numer Teża. Tak właśnie jest tutaj. Integra z fiszbinami ma snuє i vіdminny geometryczny zmist, Ale o tse pіznіshe, usumu svіy hour.

Jak obliczyć niedoszacowaną całkę?

Aby obliczyć całkę bazową, konieczne jest wywołanie jej do następujących: powtarzamy całki. Zrobiti to możliwe dwie drogi. Największe rozszerzenie metody ofensywnej:

Zastępca dostaw żywności jest niezbędny do ustanowienia między integracją. Co więcej, oznaki żywieniowe integralnej części zewnętrznej są same - tse liczby, a podprzewody znaków żywieniowych integralnej wewnętrznej są Funkcje odnієї zminnoї , scho do depozytu w formie "iks".

Weź gwiazdy między integracją? Smród ma leżeć w v_d tsgogo, jak na umysł głowy danego obszaru. Obszar to wspaniała płaska figura, z którą wielokrotnie sklejałeś się, na przykład, gdy ponumerowane obszary figur płaskich lub obliczanie objętości owijania ciała. Nezabar wiesz, jak poprawnie postawić granice integracji.

Następnie, gdy zdecydowano o przejściu do powtarzanych całek, następujące obliczenia są przeprowadzane bez pośrednictwa: najpierw bierze się całkę wewnętrzną, a następnie zewnętrzną. Jeden po drugim. Nazwa Zvіdsi - całki iteracyjne.

Z grubsza wydaje się, że zadaniem jest policzyć do obliczenia dwóch całek śpiewających. Jak to wszystko nie jest takie spójne i przerażające, a jak wpadłeś na „pojedynczą” całkę pojedyńczą, czego potrzebujesz, aby oddzielić od dwóch całek?!

Inny sposób przejścia do iterowanych całek jest prostszy:

Co się zmieniło? Zmieniła się kolejność całkowania: teraz całka wewnętrzna jest brana za „ix”, a zewnętrzna za „iplayer”. Między integracją, oznaczone gwiazdkami - być innym! Jedna po drugiej gwiazdy całki zewnętrznej - tse liczby, a leżące u podstaw gwiazdy całki wewnętrznej to funkcje toczenia, scho kłamać w formie „igrok”.

Która bi mi nie wybrała drogi przejścia do wielokrotnych integracji, szczątkowy dźwięk obov'yazkovo viide, który sam w sobie:

Proszę, pamiętaj o znaczeniu władzy, ponieważ możliwe jest vikoristovuvati, zokrema, w celu ponownej weryfikacji rozwiązania.

Algorytm rozwiązywania podcałki:

Systematyzujemy informacje: w jakiej kolejności należy patrzeć na zadanie?

1) Niezbędna jest wiskonacja krzesła. Bez fotela zadaniem jest się nie stłuc. Mówiąc dokładniej, nie wygrasz, ale będzie to podobne do gry w szachy. Na fotelu przedstaw obszar jako płaską figurę. W większości przypadków postać jest prosta i otoczona liniami, parabolami, hiperbolami itp. Właściwe, że shvidku tekhnіku pobudovі koslene można opanować na lekcjach Wykresy i podstawowe potęgi funkcji elementarnych, geometryczna transformacja grafiki. Otzhe, pierwszy etap to vikonati fotela.

2) Skonfiguruj między integracjami i przejdź do wielokrotnych integracji.

3) Weź wewnętrzną całkę

4) Weź bieżącą całkę i odejmij różnicę (liczbę).

Obszar integracji. Kolejność omijania regionu integracji.
Jak zmienić kolejność obejścia?

W tym akapicie możemy zobaczyć najważniejsze jedzenie - jak przejść do powtórnych integracji i poprawnie rozmieścić między integracjami. Jak zostało powiedziane więcej, możesz to zrobić tak:

Lubię to:

W praktyce przyswajanie najbardziej niezręcznych zadań nastręcza najwięcej trudności, a uczniowie często gubią się w procesie integracji. Spójrzmy na konkretny przykład:

tyłek 1

Rozwiązanie: Zwizualizujmy obszar integracji na fotelu:

Płaska figura Zvichayna i nic specjalnego.

Teraz zobaczę dla ciebie narzędzie do pielęgnacji skóry - kij do kopania, wskaźnik laserowy. Zadanie polega na zeskanowaniu kropki skóry zacienionego obszaru:

Promuj laser, aby przejść obszar integracji ściśle z górki, musisz dokończyć zamówienie niżej płaskie figury. Promin, aby wejść do regionu przez całą odciętą, jak pytają równych i wyjść z regionu przez parabolę (czerwona strzałka). Aby oświecić cały region, potrzebujesz ostro zły na prawo narysuj vkazіvka vzdovzh osі vіd od 0 do 1 (zielona strzałka).

Otzhe, co się stało:
„Іgrek” zmienia się z 0 na ;
„ix” zmienia się z 0 na 1.

W przypadku zadań mówi się, że powyższe jest pisane w przypadku niespójności:

Nazwij dane niezgodności z pominięciem galerii integracji Lub tylko kolejność integracji

Po uporządkowaniu kolejności obejścia możemy przejść od całki podprądowej do całek iterowanych:

Połowa zadania została wykonana. Teraz trzeba przejść do całek iterowanych w inny sposób. Dla kogo powinieneś znać kluczowe funkcje. Kto zna inny akapit lekcji? Objętość ciała wrap to będzie łatwiejsze. Patrząc na funkcje definiujące obszar . Jest to jeszcze prostsze, przejdź do funkcji powrotu, co oznacza powiedzenie „iksi” do „igreek”. Pojedyncza funkcja, de є ja „iks” i „iplayer”, є.

Yakscho to ponadto:
funkcja odwrócenia ustawia prawą stronę paraboli;
Funkcja odwrócenia ustawia lewy róg paraboli.

Nierzadko obwinia się sumniv, oś, na przykład za funkcję podpisu lewej lub prawej paraboli? Podsumowując różnice jest jeszcze prostsze: weź punkt paraboliczny np. (z prawej igły) i ustaw współrzędne w linii prostej np. tej samej linii:

Odebrano poprawną równość, odtąd funkcję przypisuje się prawej ręce paraboli, ale nie lewej.

Więcej niż to pogłos tsyu(myśli na czarno) spędzić wieczór? po tym, jak przeszedłeś do funkcji powrotu. Na godzinę nic nie pożyczę, ale na wybrzeżu zaśpiewam ułaskawienie!

Region integracji omija się w inny sposób:

Teraz możemy przyciąć wskaźnik laserowy levoruch Zobacz integrację galerii. Obszar przejścia lasera Promin ostro zły na prawo. Na do tego konkretnego typu wejdziesz do regionu przez igłę paraboliczną i wyjdziesz z regionu po linii prostej, zgodnie z równaniami (czerwona strzałka). Aby zeskanować cały obszar laserem, konieczne jest wykonanie osi vzdovzh ściśle z górki wprowadź 0 do 1 (zielona strzałka).

W ten sposób:
„iks” zmienia się z maksymalnie 1;
„Іgrek” zmienia się z 0 na 1.

Procedura omijania obszaru obok rejestracji jako nieprawidłowości:

Następnie przejście do wielokrotnych integracji wygląda następująco:

Vidpovid można napisać tak:

Po raz kolejny domyślam się, że wynik rezydualny nie może być obliczony w zależności od kolejności, w jakiej omijane były regiony (ustalono do tego uprawnienia). Jednak wciąż jest to dalekie od ostatecznego rezultatu, teraz naszym zadaniem nie jest już właściwe umiejscowienie interintegracji.

tyłek 2

Sub-integra Danii z regionem integracji. Przejdź do powtarzających się integracji i rozwijaj między integracjami na dwa sposoby.

To przykład samodzielnego rozwiązania. Umiejętnie obudź krzesło wybierz prostą linię na objeździe(gwiazdy i gdzie świecić wskaźnikiem laserowym). Świetny projekt Zrazok jak lekcja.

Bardzo typowe zadania trochy są pomarszczone w innej formule:

tyłek 3

Zainicjuj obszar integracji

Rozwiązanie: Umysłowi podano pierwszy sposób na ominięcie regionu. Decyzje zaczynają się od nowa od godz. Tutaj region nie leży na srebrnym talerzu z ponurym oblyamіvkoyem, ale zachęca do nie stwarzania specjalnych trudności. Z tyłu dłoni „knіmaєmo” działa z interintegracji: , . Funkcja arbitralnie ustawia linię prostą, ale co ustawia funkcja? Zmieńmy її troch:
- w pobliżu środka na kolbie współrzędnych promienia 2. Funkcja w ustawia górną linię (nie zapomnij, jeśli ją zsumujesz, to zawsze możesz ustawić punkt leżący na górnej lub dolnej linii).

Zastanawiamy się między całką zewnętrzną: „ix” zmienia się z -2 na 0.

Fotele Vikonaemo:

Aby być precyzyjnym, wskazałem strzałkami pierwszy sposób na ominięcie regionu, który z kolei mówi iteracyjne całki umysłu: .

Teraz konieczna jest zmiana kolejności omijania regionu, dla którego przejdziemy do funkcji toczenia (tzn. „iksi” do „іgreki”):

Nie tak dawno przestawiliśmy funkcję do poziomu stawki, powiedzmy „iks”:
W rezultacie wymagane są dwie kluczowe funkcje:
- Podpisanie odpowiedniego pivkolo;
- Znacząca lewa pіvkolo.
Wiem to samo, jakbym obwiniał sumniv, weź punkt kołka i powiedz de left i de right.

Zmień kolejność omijania obszaru:

Zgidno w inny sposób, laser promin wejść do regionu levoruch przez lwa pivkolo i idź praworęczny przez linię prostą (czerwona strzałka). O tej samej godzinie wstawianie lasera być przeprowadzone na osi rzędnych pod górę wprowadź od 0 do 2 (zielona strzałka).

W tej kolejności rozkaz ominięcia terenu:

Zagal można napisać wskazówka:

tyłek 4

To przykład samodzielnego rozwiązania. Tyłek nie jest już składany, ale szanuj procedurę omijania kilku zadań w inny sposób! Po co pracować w takiej vipadce? Po pierwsze, obwinianie trudności krzeseł, odłamki krzesła sprawiają, że harmonogram funkcji krwotocznej nagle mnie nasuwa. Polecam następne zamówienie: po pierwsze, przyjmujemy funkcję „podstawową” (mówimy „gravets” przez „iks”). Podamy Ci harmonogram funkcji „ekstremalnej” (zawsze możesz sobie pozwolić, jeśli chcesz krapkowo). Podobnie możemy użyć większej prostej funkcji liniowej: możemy „wyrywać” i prowadzić linię prostą.

Analizujemy luki interintegracyjne: wchodzimy do obszaru środkowego przez i i wychodzimy przez . Kiedy zrobisz wszystko dobrze, możesz przejść do gładkości „greckiej” od -1 do 0. Ponieważ wyznaczyłeś obszar integracji na krześle, zmień kolejność poruszania się po magazynie o szczególnych trudnościach. Zrazok zaprojektował rozwiązanie na lekcję.

Podobny tyłek omówię nieco później.

Navіt yakscho wszystko dobrze zrozumiałeś, bądź miły, nie spiesz się, idź prosto aż do obliczenia całki kroczącej. Kolejność objazdów jest bogata i ważne jest, aby dostać się do niektórych głów, co więcej, jeszcze nie spojrzałem na wszystko!

W przednich czotyroh obszar integracji był postrzegany jako całość w 1., 2., 3. i 4. ćwiartce współrzędnych. Po co tak czekać? Nie, oczywiście.

tyłek 5

Zmień kolejność integracji

Rozwiązanie: To jak krzesło, przy którym wykres funkcji jest właściwie sześcienną parabolą, po prostu nie będzie „leżeć na boku”:

Kolejność omijania regionu, który instruuje iterowane całki , oznaczony strzałkami. Należy uczcić, że w trakcie wikonania krzesła namalowano jeszcze jedną zarysowaną postać (leworuch na osi rzędnych). Dlatego powinniśmy szanować integrację regionu – dla regionu można wybaczyć niewłaściwą liczbę.

Przejdźmy do funkcji powrotu:
- potrzebujemy prawej głowy paraboli;

Zmieńmy kolejność omijania regionu. Jak pamiętasz, przy innym sposobie ominięcia okolicy konieczne jest zeskanowanie okolicy przełącznikiem laserowym po prawej stronie. Ale tutaj posterіgaєtsya cіkava rіch:

Jak naprawić w podobnych sytuacjach? W takich przypadkach podziel obszar integracji na dwie części i dla części skórnej zsumuj swoją wielokrotną integrację:

1) Jeśli „grawitacja” zmieni się z -1 na 0 (zielona strzałka), należy wejść w obszar przez sześcienną parabolę i wyjść po linii prostej (czerwona strzałka). Dlatego kolejność ominięcia terenu będzie następująca:

2) Jeśli „grawitacja” zmieni się z 0 na 1 (brązowa strzałka), natychmiast wejdź do obszaru przez igłę paraboliczną i wyjdź przez tę bardzo prostą linię (karmazynowa strzałka). Następnie kolejność ominięcia obszaru będzie następująca:

Powtórzyłem całki powtórzone:

Śpiew i całki wielokrotne mają pewną moc addytywność tak, aby można je było złożyć, które w określony sposób i dalej rosnąć:
- A oś i nasz spacer po regionie inaczej, patrząc na sumę dwóch całek.

Vidpovid napisz tak:

Jaka kolejność obchodzenia jest najbardziej oczywista? Zvichayno ten, którego list jest podany w umyśle zadania - policzysz dwa razy mniej!

tyłek 6

Zmień kolejność integracji

To przykład samodzielnego rozwiązania. Na nowym znajduje się pivkol, którego analizę podobno zrecenzowano w Załączniku 3. Rozwiązanie zostało napisane jak lekcja.

I od razu, obіtsyane zavdannya, jeśli lista zadań jest innym sposobem na ominięcie regionu:

tyłek 7

Zmień kolejność integracji

Rozwiązanie: Jeśli procedura omijania zadań w inny sposób, przed budzeniem fotela, należy przejść do funkcji „przełożonych”. U kogo tyłek jest dwóch pacjentów do transformacji: ja.
Dzięki funkcji liniowej wszystko jest proste:

Wykres funkcji to parabola z roszczeniem do kanoniczności.

Virazimo „iplayer” do „ix”:

Bierzemy dwie szpilki paraboli: ja. Yaku z nich vibrati? Najprostszą rzeczą jest zobaczyć wikonat fotela. Jeśli zapomniałeś o materiale geometrii analitycznej o paraboli, to krapkovo może być znieważona:

Jeszcze raz szanuję fakt, że na tym fotelu posypały się płaskie figury i ważne, żeby wybrać figurę! Przy wyborze figur, które żartują, pomogą ci między całkowaniem pozostałych całek:
, w którym momencie nie zapomnij, co ustawia funkcja odwrócenia wszystko parabola.

Strzałki, które wskazują objazd figur, dokładnie wskazują granice integracji integracji .

Dosit shvidko uczysz się przeprowadzać taką analizę w swoim umyśle i znasz potrzebę obszaru integracji.

Jeśli figura zostanie znaleziona, końcowa część rozwiązania jest jeszcze prostsza, zmieniamy kolejność omijania obszaru:

Funkcje powrotu są już znane, a niezbędna procedura ominięcia obszaru:

Sugestia:

Ostatni przykład akapitu do samodzielnego opracowania:

tyłek 8

Zmień kolejność integracji

Zewnętrznie rozwiązanie jest podobne do lekcji.

Zacznijmy od przyjrzenia się procesowi obliczania całki podwariantowej i poznania jej ze złożonością geometryczną.

Podcałka jest liczbowo większa od powierzchni figury płaskiej (regiony integracji). Najprostsza forma podcałki, jeśli funkcją dwóch zmiennych jest: .

Możemy spojrzeć na tył głowy na niesławny wygląd. Jednocześnie ruszasz się, wszystko jest naprawdę proste! Oblicz powierzchnię figur płaskich, otoczony liniami. Do śpiewania ważne jest, abyś miał vіdrіzku. Obszary na rysunkach są numerycznie bardziej zaawansowane:

Obrazujemy obszar na fotelu:

Wybierz pierwszy sposób na ominięcie obszaru:

W ten sposób:

І kiedyś ważna sztuczka techniczna: można wpisać całki powtarzane. Przede wszystkim całka wewnętrzna, potem całka zewnętrzna. Zdecydowanie polecam duński sposób na te czajniki.

1) Oblicz całkę wewnętrzną, z którą przeprowadza się całkowanie dla zmiany „gravet”:

Całka nieistotna oto najprostsza i dalej zwycięska banalna formuła Newtona-Leibnitza, z tą samą różnicą, że między integracjami nie są liczby, ale funkcje. Tył głowy został umieszczony w górnej granicy „igrok” (funkcja pierwotna), a następnie dolnej granicy

2) Wynik, odejmując od pierwszego punktu, należy dodać do aktualnej całki:

Większy kompaktowy zapis całego rozwiązania wygląda tak:

Formuła Otrimana - jest to dokładnie działająca formuła obliczania powierzchni płaskiej figury za pomocą „ekstremalnej” całki śpiewu! Podziwiaj lekcję Obliczanie powierzchni za pomocą całki znakującej, Tam jest na croci skóry!

Tobto, zadanie obliczenia powierzchni za pomocą całki fiszbinowej niewiele osób to obchodzi za pomoc całki śpiewu! W rzeczywistości jest tak samo!

Oczywiście nie jest to wina żadnych trudności! Rzucę okiem na małe tyłki, odłamki was, w rzeczywistości niejednokrotnie sklejone z tymi zadaniami.

tyłek 9

Za pomocą całki fiszbin obliczyć powierzchnię płaskiej sylwetki otoczonej liniami,

Rozwiązanie: Obrazujemy obszar na fotelu:

Powierzchnia figury jest obliczana za pomocą całki podpionowej dla wzoru:

Wybierz następne zamówienie, aby ominąć obszar:

Tu i dalej nie zastanawiam się nad tym, jak rozejrzeć się po regionie, odłamki w pierwszym akapicie zostały wykazane jeszcze wyraźniej.

W ten sposób:

Jak już zaznaczyłem, obywatelom łatwiej jest szybciej obliczyć całki powtarzane, co dodam do metody:

1) Wiersz za tyłem formuł Newtona-Leibniza jest analizowany za pomocą całki wewnętrznej:

2) Wynik, odejmując pierwszy krok, zastępuje istniejącą całkę:

Punkt 2 - w rzeczywistości odpychanie obszaru pozycji płaskiej za pomocą całki śpiewającej.

Sugestia:

Oś jest tak zła i naїvne zavdannya.

Cicavi tyłek dla niezależnej wiśni:

tyłek 10

Za pomocą całki fiszbin obliczyć powierzchnię płaskiej sylwetki otoczonej liniami,

Rzut oka na ostateczne rozwiązanie projektowe na lekcję.

W Prikladakh 9-10 znacznie ważniejsze jest wygranie pierwszego sposobu na ominięcie regionu, wypicie większej ilości czytania, przed przemówieniem można zmienić kolejność omijania i obliczyć obszar w inny sposób. Jeśli nie przebaczysz, wtedy naturalnie zobaczysz swój własny znaczący obszar.

1.1 Wyznaczanie całki pionowej

1.2 Dominacja podcałki

Dominacja subintegry (tego Yogo visnovok) jest analogiczna do dominacji jednorazowo śpiewającej całki.

1°. Addytywność. Jeżeli funkcja f(x,y) jest całkowana w dziedzinie D i obszar D poza dodatkową krzywą Г obszar zero jest podzielony na dwa ogniwa i nie może mieć wspólnych punktów wewnętrznych z dziedziny D 1 i D 2, to funkcja f(x,y) jest całkowana w skórze z obszarów D 1 i D 2, ponadto

2°. Moc liniowa. Jak funkcje f(x,y) i g(x,y) są całkowane w przestrzeni D, co? i? - czy to liczby mowy, to funkcja [? f (x, y) + ? g (x, y)] jest również zintegrowany w dziedzinie D, ponadto

3°. Ponieważ funkcje f(x,y) i g(x,y) są całkowalne w dziedzinie D, to dodatkowe funkcje tych funkcji są całkowalne w D.

4°. W jaki sposób funkcje f(x,y) i g(x,y) mogą być zintegrowane w dziedzinie D i krzyżować się z f(x,y)? g(x, y), to

5°. Ponieważ funkcja f(x,y) jest całkowana przez dziedzinę D, to th funkcja |f(x,y)| zintegrowana w regionie D, ponadto

(Oczywiście całkowanie | f (x, y) | D nie pokazuje całkowania f (x, y) w D.)

6°. Twierdzenie o wartości średniej. Chociaż ofensywne funkcje f(x,y) i g(x,y) są zintegrowane w dziedzinie D, funkcja g(x,y) jest niewidoczna (niedodatnia) wszędzie w tym obszarze, M i m są dokładne górna i dolna granica funkcji f(x,y) w obszarze D, to jest liczba?, która spełnia nierówność m? ? ? M i aby formuła była poprawna

Sokrema, skoro funkcja f(x,y) jest ciągła D, a dziedzina D jest spójna, to w tej dziedzinie jest taki punkt (?, ?), Co? = f(?, ?), a wzór wygląda tak:

7°. Ważna moc geometryczna. powierzchnia mieszkalna D

Niech ciało T (ryc. 2.1) zostanie przekazane do przestrzeni, poniżej obszaru D, bestii - wykres nieprzerwanej i niewidocznej funkcji) z \u003d f (x, y), jak jest przypisany do przestrzeni D, z boków - powierzchnia cylindryczna, bezpośrednia є między obszarem D i równoległa do osi Oz. Ciało tego typu nazywa się ciałem cylindrycznym.

1.3 Interpretacja geometryczna całki pionowej

1.4 Zrozumienie całki pionowej prostokąta

Niech wystarczająca funkcja f(x,y) będzie wszędzie przypisana do prostokąta R = ? (dział Rys. 1).

Rozmaryn segment a? x? b o n częściowych odcinków poza punktem pomocniczym a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya za pomocą linii prostych, osie równoległe Ox і Oy dzieli prostokąt R na n · p prostokąty częściowe R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Wskazywany przez podział prostokąta R, jest on znaczący przez symbol T. Pod pojęciem „prostokąt” nadaliśmy mu podział, aby zrozumieć prostokąt o bokach równoległych do osi współrzędnych.

Na skórze chastkovy prostokąt Rkl wybieramy pełny punkt (?k,?l). Po wstawieniu ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, jest ono znaczące przez ?R kl powierzchni prostokąta R kl . Oczywiście ?R kl = ?x k ?yl.

nazywana jest sumą całkową funkcji f(x,y), która daje dany rozkład T prostokąta R i dany wybór punktów pośrednich (? k, l) na prostokątach cząstkowych rozkładu T.

Przekątna nazywana jest średnicą prostokąta R kl . Symbol? Znacząco największa ze średnic wszystkich powszechnych rektorytów R kl .

Liczba I nazywana jest granicą sum całkowitych (1) w? > 0, jak to może być dowolna liczba dodatnia? czy możesz tak powiedzieć? data?, Co na?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ja |< ?.

Funkcję f(x,y) nazywamy całkowaną (według Riemanna) na prostokącie R, ponieważ istnieje granica końcowa między I sumami całkowitymi funkcji w? >0.

Wyznaczoną granicę I nazywamy podcałką funkcji f(x,y) przez prostokąt R i oznaczamy jednym z następujących symboli:

Szacunek. Tak więc, tak jak w przypadku całki jednorazowej, ustalono, że funkcja f(x,y) jest całkowana na prostokącie R i jest na nim zapisana.

Daje to możliwość patrzenia dalej od granicy funkcji f(x,y).

Podcałka ma moc analogiczną do mocy całki śpiewającej. Znacznie mniej niż główne:

1. Jakie są funkcje?
integracja w regionie
, to integracja w nich to ilość i różnica, zresztą

2. Za znak całki podwariantowej można winić stały mnożnik:

3. Jakscho
zintegrowany w regionie
, a obszar ten jest podzielony na dwa obszary, które się nie pokrywają і
, następnie

.

4. Yakscho
і
integracja w regionie
, w yakіy

, następnie

.

5. Co znajduje się w okolicy?
funkcjonować
zadowolony z niespójności


de
і
czyny numery diysnі, następnie

,

de – obszar regionu
.

Dowody tych uprawnień są analogiczne do dowodu drugich twierdzeń dla całki prostej.

Obliczanie całki pionowej we współrzędnych prostokątnych kartezjańskich

Niech będzie konieczne obliczenie całki bazowej
, de area - prostokątny, który charakteryzuje się nieregularnościami ,.

Załóżmy, że
jest nieprzerwany w tym samym prostokącie i pęcznieje w nowej nieznanej wartości, mimo że całka objętości ciała z podstawą , z frędzlami z bestią na górze
, z boków - mieszkania
,
,
,
:

.

Z drugiej strony taką liczbę można obliczyć za pomocą całki pojedynczej:

,

de
- obszar przecięcia tego ciała płaszczyzną, która przechodzi przez punkt i prostopadłe do osi
. Odłamki analizy skrzyżowane z trapezem krzywoliniowym
, otoczony przez bestię z wykresem funkcji
, de naprawiono i , następnie

.

Z tsikh triokh równości vyplivaє, scho

.

Odtąd obliczenie całki bazowej było obliczeniem całki dwupojedynczej; przy obliczaniu „całki wewnętrznej” (zapisanej w łukach) być niezmiennym.

Szacunek. Czy możesz wyjaśnić, że reszta wzoru jest poprawna, kiedy?
, a także na pierwszy rzut oka, jeśli funkcja
zmienić znak wskazanego prostokąta.

Prawa części formuły nazywane są całką iterowaną i są oznaczone następująco:

.

Podobnie można wykazać, że

.

Powyżej tego, co zostało powiedziane, jęczysz

.

Pozostała równość oznacza, że ​​wynik integracji powinien mieścić się w porządku integracji.

Aby przyjrzeć się najgłębszemu zboczu, wprowadźmy rozumienie obszaru standardowego. Standardowy (lub poprawny) obszar podany bezpośrednio na oś nazywa się takim obszarem, dla którego powinien być prosty, równoległy do ​​środka osi, przedzielony między obszar nie więcej, niżej w dwóch punktach. W przeciwnym razie wydaje się, przewracając sam region, że її kordon to tylko jeden prosty wiatr.

Dopuszcza się, że region jest otoczony

który jest otoczony przez bestię z wykresem funkcji
, na dole wykres funkcji
. Chodź R ( ,) - minimalny prostokąt, w którym położony jest region
.

Idź do obszaru
przypisana jest nieprzerwana funkcja
. Wprowadźmy nową funkcję:

,

zbliżone do mocy integralnej fiszbiny

.

Ja później,

.

Oskіlki vіdrіzok
na pokrycie obszaru
potem, później,
w


, ale leżeć w pozycji vіdrіzkom, a następnie
.

Ze stałym możemy pisać:

.

Całki pierwsza i trzecia po prawej stronie całkowania sumują się do zera, więc

.

Otzhe,

.

Dlaczego konieczne jest stosowanie wzoru do obliczania całki ruchomej po obszarze osi standardowej?
poprzez link do powtórzonej całki:

.

Region Yakscho
є standardowa oś prosta y
pojawia się jako niespójność ,

podobnie można udowodnić, że

.

Szacunek. Dla regionu
, standardowe osie proste y
і
, będą vicons

Dla tego wzoru zmienia się kolejność całkowania i godzina obliczania całki podliniowej.

Szacunek. Gdy tylko obszar całkowania przestanie być standardowy (poprawny) na obu osiach współrzędnych, podziel na sumę obszarów standardowych i reprezentuje całkę jako sumę integracji w tych obszarach.

krupon. Oblicz całkę ruchomą
Przez region
, otoczone liniami:
,
,
.

Rozwiązanie.

Obszar Tsya (standardowa oś schodo jaka)
, więc ja
.

Obliczamy całkę, biorąc pod uwagę obszar osi standardowej
.

.

Szacunek. Jak obliczyć całkę, biorąc pod uwagę obszar osi standardowej?
, otrzymujemy ten sam wynik:

.

krupon. Oblicz całkę ruchomą
Przez region
, otoczone liniami:
,
,
.

Rozwiązanie. Reprezentacyjnie region integracji jest przyznany maluchowi.

Obszar Tsya (standardowa oś schodo)
.

.

krupon. Zmień kolejność integracji dla powtórnej integracji:

Rozwiązanie. Wyobraźmy sobie region integracji.

Z linii interintegracyjnych znamy linie, które zamykają obszar integracji: ,
,
,
. Aby zmienić kolejność integracji, możemy jako funkcje w i znamy punkt przecięcia:

,
,
.

Tak więc na jednym z przedziałów funkcja jest wyrażony przez dwie analityczne virasy, wówczas obszar integracji musi zostać podzielony na dwa obszary, a powtórzona całka podatku jest sumą dwóch integracji.

.