Podcałka ma moc analogiczną do mocy całki śpiewającej. Znacznie mniej niż główne:

1. Jakie są funkcje?
integracja w regionie
, to integracja w nich to ilość i różnica, zresztą

2. Za znak można winić stały mnożnik fiszbiny integralne:

3. Jakscho
zintegrowany w regionie
, a obszar ten jest podzielony na dwa obszary, które się nie pokrywają і
, następnie

.

4. Yakscho
і
integracja w regionie
, w yakіy

, następnie

.

5. Co znajduje się w okolicy?
funkcjonować
zadowolony z niespójności


de
і
czyny numery diysnі, następnie

,

de – obszar regionu
.

Dowody tych uprawnień są analogiczne do dowodu drugich twierdzeń dla całki prostej.

Obliczanie całki pionowej we współrzędnych prostokątnych kartezjańskich

Niech będzie konieczne obliczenie całki bazowej
, de area - prostokątny, który charakteryzuje się nieregularnościami ,.

Załóżmy, że
nieprzerwanie w tym samym prostokącie i nabuvay w nowej nieznanej wartości, mimo że całka objętości ciała z podstawą , z frędzlami z bestią na górze
, z boków - mieszkania
,
,
,
:

.

Z drugiej strony taką liczbę można obliczyć za pomocą całki pojedynczej:

,

de
- obszar przecięcia tego ciała płaszczyzną, która przechodzi przez punkt i prostopadłe do osi
. Odłamki analizy skrzyżowane z trapezem krzywoliniowym
, otoczony przez bestię z wykresem funkcji
, de naprawiono i , następnie

.

Z tsikh triokh równości vyplivaє, scho

.

Odtąd obliczenie całki bazowej było obliczeniem całki dwupojedynczej; przy obliczaniu „całki wewnętrznej” (zapisanej w łukach) być niezmiennym.

Szacunek. Czy możesz wyjaśnić, że reszta wzoru jest poprawna, kiedy?
, a także na pierwszy rzut oka, jeśli funkcja
zmienić znak wskazanego prostokąta.

Prawa części formuły nazywane są całką iterowaną i są oznaczone następująco:

.

Podobnie można wykazać, że

.

Powyżej tego, co zostało powiedziane, jęczysz

.

Pozostała równość oznacza, że ​​wynik integracji powinien mieścić się w porządku integracji.

Aby przyjrzeć się najgłębszemu zboczu, wprowadźmy rozumienie obszaru standardowego. Standardowy (lub poprawny) obszar podany bezpośrednio na oś nazywa się takim obszarem, dla którego powinien być prosty, równoległy do ​​środka osi, przedzielony między obszar nie więcej, niżej w dwóch punktach. W przeciwnym razie wydaje się, przewracając sam region, że її kordon to tylko jeden prosty wiatr.

Dopuszcza się, że region jest otoczony

który jest otoczony przez bestię z wykresem funkcji
, na dole wykres funkcji
. Chodź R ( ,) - minimalny prostokąt, w którym położony jest region
.

Idź do obszaru
przypisana jest nieprzerwana funkcja
. Wprowadźmy nową funkcję:

,

zbliżone do mocy integralnej fiszbiny

.

Ja później,

.

Oskіlki vіdrіzok
na pokrycie obszaru
potem, później,
w


, ale leżeć w pozycji vіdrіzkom, a następnie
.

Ze stałym możemy pisać:

.

Całki pierwsza i trzecia po prawej stronie całkowania sumują się do zera, więc

.

Otzhe,

.

Dlaczego konieczne jest stosowanie wzoru do obliczania całki ruchomej po obszarze osi standardowej?
poprzez link do powtórzonej całki:

.

Region Yakscho
є standardowa oś prosta y
pojawia się jako niespójność ,

podobnie można udowodnić, że

.

Szacunek. Dla regionu
, standardowe osie proste y
і
, będą vicons

Dla tego wzoru zmienia się kolejność całkowania i godzina obliczania całki podliniowej.

Szacunek. Gdy tylko obszar całkowania przestanie być standardowy (poprawny) na obu osiach współrzędnych, її rozbijamy na sumę standardowych obszarów i przedstawiamy całkę jako sumę integracji w tych obszarach.

krupon. Oblicz całkę ruchomą
Przez region
, otoczone liniami:
,
,
.

Rozwiązanie.

Obszar Tsya (standardowa oś schodo jaka)
, więc ja
.

Obliczamy całkę, biorąc pod uwagę obszar osi standardowej
.

.

Szacunek. Jak obliczyć całkę, biorąc pod uwagę obszar osi standardowej?
, otrzymujemy ten sam wynik:

.

krupon. Oblicz całkę ruchomą
Przez region
, otoczone liniami:
,
,
.

Rozwiązanie. Reprezentacyjnie region integracji jest przyznany maluchowi.

Obszar Tsya (standardowa oś schodo)
.

.

krupon. Zmień kolejność integracji dla powtórnej integracji:

Rozwiązanie. Wyobraźmy sobie region integracji.

Z linii interintegracyjnych znamy linie, które zamykają obszar integracji: ,
,
,
. Aby zmienić kolejność integracji, możemy jako funkcje w i znamy punkt przecięcia:

,
,
.

Tak więc na jednym z przedziałów funkcja jest wyrażony przez dwie analityczne virasy, wówczas obszar integracji musi zostać podzielony na dwa obszary, a powtórzona całka podatku jest sumą dwóch integracji.

.

1.1 Wyznaczanie całki pionowej

1.2 Dominacja podcałki

Dominacja subintegry (tego Yogo visnovok) jest analogiczna do dominacji jednorazowo śpiewającej całki.

1°. Addytywność. Jeżeli funkcja f(x, y) jest całkowana w dziedzinie D i dziedzina D poza dodatkową krzywą G, to obszar zerowy dzieli się na dwa ogniwa, a w dziedzinie D nie ma wspólnych punktów wewnętrznych 1 i D 2, to funkcja f(x, y) jest całkowana w poszyciu z obszarów D 1 i D 2, ponadto

2°. Moc liniowa. Jak funkcje f(x,y) i g(x,y) są całkowane w przestrzeni D, co? i? - czy to liczby mowy, to funkcja [? f (x, y) + ? g (x, y)] jest również zintegrowany w dziedzinie D, ponadto

3°. Ponieważ funkcje f(x,y) i g(x,y) są całkowalne w dziedzinie D, to dodatkowe funkcje tych funkcji są całkowalne w D.

4°. W jaki sposób funkcje f(x,y) i g(x,y) mogą być zintegrowane w dziedzinie D i krzyżować się z f(x,y)? g(x, y), to

5°. Ponieważ funkcja f(x,y) jest całkowana przez dziedzinę D, to th funkcja |f(x,y)| zintegrowana w regionie D, ponadto

(Oczywiście całkowanie | f (x, y) | D nie pokazuje całkowania f (x, y) w D.)

6°. Twierdzenie o wartości średniej. Chociaż ofensywne funkcje f(x,y) i g(x,y) są zintegrowane w dziedzinie D, funkcja g(x,y) jest niewidoczna (niedodatnia) wszędzie w tym okręgu, M i m są dokładne górna i dolna granica funkcji f(x,y) w obszarze D, to jest liczba?, która spełnia nierówność m? ? ? M i aby formuła była poprawna

Sokrema, skoro funkcja f(x,y) jest ciągła D, a dziedzina D jest spójna, to w tej dziedzinie jest taki punkt (?, ?), Co? = f(?, ?), a wzór wygląda tak:

7°. Ważna moc geometryczna. powierzchnia mieszkalna D

Niech ciało T (ryc. 2.1) zostanie przekazane do przestrzeni, poniżej obszaru D, bestii - wykres nieprzerwanej i niewidocznej funkcji) z \u003d f (x, y), jak jest przypisany do przestrzeni D, z boków - powierzchnia cylindryczna, bezpośrednia є między obszarem D i równoległa do osi Oz. Ciało tego typu nazywa się ciałem cylindrycznym.

1.3 Interpretacja geometryczna całki pionowej

1.4 Zrozumienie całki pionowej prostokąta

Niech wystarczająca funkcja f(x,y) będzie wszędzie przypisana do prostokąta R = ? (dział Rys. 1).

Rozmaryn segment a? x? b o n częściowych odcinków poza punktem pomocniczym a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Dlaczego dzielenie za pomocą linii prostych równoległych do osi Ox і Oy jest dzieleniem prostokąta R na n · p prostokątów częściowych R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). We wskazaniu podziału prostokąta R oznacza go symbol T. Pod pojęciem „prostokąt” nadaliśmy podział, który oznacza prostokąt o bokach równoległych do osi współrzędnych.

Na skórze chastkovy prostokąt Rkl wybieramy pełny punkt (?k,?l). Po wstawieniu ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, jest ono znaczące przez ?R kl powierzchni prostokąta R kl . Oczywiście ?R kl = ?x k ?yl.

nazywana jest sumą całkową funkcji f(x,y), która daje dany rozkład T prostokąta R i dany wybór punktów pośrednich (? k, l) na prostokątach cząstkowych rozkładu T.

Przekątna nazywana jest średnicą prostokąta R kl . Symbol? Znacząco największa ze średnic wszystkich powszechnych rektorytów R kl .

Liczba I nazywana jest granicą sum całkowitych (1) w? > 0, jak to może być dowolna liczba dodatnia? czy możesz tak powiedzieć? data?, Co na?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ja |< ?.

Funkcję f(x,y) nazywamy całkowaną (według Riemanna) na prostokącie R, ponieważ istnieje granica skończona między I sumami całkowitymi funkcji w? >0.

Wyznaczoną granicę I nazywamy podcałką funkcji f(x,y) przez prostokąt R i oznaczamy jednym z następujących symboli:

Szacunek. Tak więc, tak jak w przypadku całki jednorazowej, ustalono, że funkcja f(x,y) jest całkowana na prostokącie R i jest na nim zapisana.

Daje to możliwość patrzenia dalej od granicy funkcji f(x,y).

Potęga całek podrzędnych.

Część potęgi podcałków bez środka wyłania się ze znaczenia, którego rozumienie tej potęgi sum całkowych, ale samej siebie:

1. Jaka jest funkcja? f(x, y) Zintegrowany z D, następnie kf(x, y) tezh jest zintegrowany w tym galusi, ponadto (24,4)

2. Co znajduje się w okolicy? D funkcje integracyjne f(x, y)і g(x, y), wtedy te funkcje są zintegrowane z tą galerią f(x, y) ± g(x, y), ja w

3. Jak integrować się w regionie? D Funkcje f(x, y)і g(x, y) nerіvnіst f(x, y)≤g(x, y), następnie

(24.6)

Dodajmy więcej mocy do niecałkowitej:

4. Obszar Yakscho D podzielony na dwa regiony D 1 ta D 2 bez świecących wewnętrznych kropek i funkcji; f(x, y) nieprzerwanie w regionie D, następnie

(24.7) Przynoszący . Suma całkowita według regionu D na pierwszy rzut oka widać:

podział regionu D przeprowadzone w taki sposób, aby między D 1 ta D 2 jest budowany pomiędzy częściami bitwy. Oddawanie potu na granicę, przy jednoczesnym odbieraniu równości (24,7).

5. W momencie integracji dnia D Funkcje f(x, y) ta funkcja jest zintegrowana w moim Galus | f(x, y) | i maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Przynoszący.

gwiazdki za pomoc na przejściu granicznym w przypadku opętanego zdenerwowania (24,8)

6. de S D– obszar regionu D. Dowód, którego twierdzenie jest usuwane, podstawiając sumę całkowitą f(x, y)≡ 0.

7. Nadal zintegrowany w regionie D funkcjonować f(x, y) zaspokaja nerwowość

m ≤ f(x, y) ≤ M,

następnie (24.9)

Przynoszący.

Dowód jest przeprowadzany przez przejście graniczne od oczywistej nierówności

Konsekwencja.

Jak ujarzmić wszystkie części nerwowości (24,9) na D, możesz przyjąć tak zwane twierdzenie o wartości średniej:

Zokrema, dla umysłu nieprzerwanej funkcji f w D jest taki punkt w regionie ( x 0, y 0), w yakіy f(x 0, y 0) = μ , następnie

-

Kolejne sformułowanie twierdzenia o wartości średniej.

Geometryczny zmist całka dolna.

Zobaczmy ciało V, otoczone częściową powierzchnią, o co pyta równa się z = f(x, y), występ D tsієї powierzchnia na płaszczyznę tak tabelaryczna powierzchnia cylindryczna, odcięta od pionowych, która łączy punkty między powierzchniami z ich rzutami.

z = f(x, y)

V

tak P i D Rys.2.

Shukatimemo objętość ciała jak między sumą objętości cylindrów, których podstawą są części Δ Si regiony D, a na wysokości - vіdrіzki zavdovka f(Liczba Pi), punkty de Liczba Pi kłamstwo Si. Przejście do granicy z, otrimaemo, scho

(24.11)

czyli pod wpływem całki tzw. walca, otoczonego bestią na powierzchni z = f(x, y), a poniżej - obszar D.

Obliczenie całki podkreślonej przez ścieżkę jogi do drugiej.

Obszar perspektywy D, graniczy z liniami x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( X) i φ 2 ( X) bez przerwy na [ a, b]. Następnie bądź prosto, równolegle do osi współrzędnych w i przejść przez wewnętrzny punkt obszaru D, przekraczając kordon regionu w dwóch punktach: N 1 ta N 2 (rys. 1). Nazwijmy ten obszar prawidłowy w-

w prawidłowa oś O w. Podobnie jest

y=φ 2 (x) jest obszar, który jest w linii prostej

N 2 osie O X. Region, poprawny bezpośrednio

Nie obie osie współrzędnych, będziemy

D po prostu nazwij to dobrze. Na przykład,

Prawidłowy obszar pokazano na rys.1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Przyjdź na funkcję! f(x, y) nieprzerwanie w regionie D. Spójrz na Viraz

, (24.12)

ranga całka dvorazovym rodzaj funkcji f(x, y) Przez region D. Obliczmy całkę wewnętrzną (stojąc przy ramionach) zmieniając w, mimo X postynim. W rezultacie widzimy nieprzerwana funkcja pogląd X:

Funkcja Otrimanu jest integrowalna dla X pomiędzy a zanim b. W rezultacie bierzemy liczbę

Wnosimy ważną moc całki jardowej.

Twierdzenie 1. Region Yakscho D, popraw na wprost w, podzielony na dwa obszary D 1 ta D 2 proste, oś równoległa Zawodowiec w na osi O X, a następnie całka dvorazovy nad regionem D więcej sum tych samych całek według regionów D 1 ta D 2:

Przynoszący.

a) Idź prosto x = c przerwy D na D 1 ta D 2, prosto w. Todi

+

+

b) Idź prosto y=h przerwy D na prawo prosto w regiony D 1 ta D 2 (rys. 2). Znacząco przez M 1 (a 1 , h) że M 2 (b 1 , h) punkty przecięcia linii prostej y=h od kordonu L regiony D.

tak Region D 1 otoczony nieprzerwanymi liniami

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) krzywa ALE 1 M 1 M 2 Na, równe temu, co zapisujemy

hM 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) w a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Nocleg ze śniadaniem 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h w a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) prosto x = a, x = b.

Region D 2 otoczone liniami y=φ 1 *(x),

A tak= φ 2 (X),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Możemy udowodnić całce wewnętrznej twierdzenie o

przebicie się przez integrację:

O a 1 b 1 b

+

Podajmy kolejnemu otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) w a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Pierwsza i trzecia usuwają całki i wyrównują do zera. Otzhe,

I D = , następnie .

Główna siła podcałki

Dominacja subintegry (tego Yogo visnovok) jest analogiczna do dominacji jednorazowo śpiewającej całki.

1°. Addytywność. Jaka jest funkcja? f(x, tak) zintegrowany w regionie D i jako obszar D dla krzywej pomocy G obszar zerowy jest podzielony na dwa ogniwa i nie tłumi wysokich punktów wewnętrznych regionu D 1 ta D 2, a następnie funkcja f(x, tak) zintegrowany z obszarami skóry D 1 ta D 2 , ponadto

2°. Moc liniowa. Jakie funkcje? f(x, tak) że g(x, tak) integracja w okolicy D, a α і β - czy to liczby mowy, to funkcja [ α · f(x, tak) + β · g(x, tak)] jest również zintegrowany w regionie D, co więcej

3°. Jakie funkcje? f(x, tak) że g(x, tak) integracja w okolicy D, to dodatkowe funkcje tych funkcji są integrowane w D.

4°. Jakie funkcje? f(x, tak) że g(x, tak) ofensywna integracja w regionie D i wszędzie w mojej galerii f(x, tak) ≤ g(x, tak), następnie

5°. Jaka jest funkcja? f(x, tak) zintegrowany w regionie D, te funkcje | f(x, tak)| zintegrowany w regionie D, co więcej

(Oczywiście z integracją | f(x, tak)| w D nie pokazuje integracji f(x, tak) w D.)

6°. Twierdzenie o wartości średniej. Co za obraźliwa funkcja f(x, tak) że g(x, tak) integracja w okolicy D, funkcja g(x, tak) jest niewidoczny (niedodatni) wszędzie w tej galerii, Mі m- dokładne górne i dolne granice funkcji f(x, tak) w regionie D, to jest liczba μ to łagodzi nerwowość m ≤ μ ≤ M i żeby formuła była poprawna

RUCHOME CAŁKI

wykład 1

Całki podtrzymane.Celem całki podprądowej jest moc. Wielokrotne integracje. Związki całek dolnych z powtórzonymi. Umieszczenie między integracją. Obliczanie całek leżących u podstaw kartezjańskiego układu współrzędnych.

Subcałka to pogłębienie rozumienia całki w różnych funkcjach dwóch zmiennych. W ten sposób, na odwrót, integracja będzie prezentować się jako płaska figura.

Daj spokój D- Dejaka to obszar zamknięty, graniczący i f(x,y) - funkcja wystarczająca, wyznaczyła ją ta galeria. Załóżmy, że między regionami D są sumowane z końcowej liczby krzywych, podanej przez równy umysł tak=f(x) lub x=g( tak), de f(x) że g(tak) to nieprzerwane funkcje.

Region Rozib'ёmo D przyzwoita pozycja na n część. powierzchnia i-ї delyanki oznacza symbol D ja. Na skórze dilyantsi, dość klimat jest punktem Liczba Pi, I wyjdźmy stamtąd w dowolnej fiksacji kartezjańskiego układu współrzędnych ( x ja , y ja). Sklademo suma całkowita dla funkcji f(x,y) Przez region D, dla której wartość funkcji jest znana we wszystkich punktach Liczba Pi, mnożąc їх przez powierzchnię działek podwójnych Ds i I zakładamy, że wszystkie wyniki są usuwane:

Nazvemo średnica(G) obszary G największa odległość między punktami granicznymi regionu.

Całka funkcje f(x,y) w obszarze D nazywa się granicą, w jakim stopniu ciąg sum całkowitych (1.1) z nieograniczonym wzrostem liczby przerw n (u kogo?). Zapisz w ten sposób

Drogie, wygląda na scho, vzagali, suma całkowita dla ustawić funkcje i dany obszar integracji D wybierz punkt Liczba Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse oznacza, że ​​między sumami vіdpovіdіkh іntegrаlny nie można leżeć między wyznaczonym chinnikіv. W porządku(lub, jak się wydaje, funkcja ogólna f(x,y) jest całkowany w dziedzinie D), wystarczy, że funkcja całkowa bool nieprzerwany przy integracji galerii zadań.

Przyjdź na funkcję! f(x,y) zintegrowany w regionie D. Odłamków między skumulowanymi sumami dla takich funkcji nie można kumulować metodą podziału obszaru integracji, podział można przeprowadzić za pomocą linii pionowych i poziomych. Todі więcej biznesmenów z regionu D matime prosto wyglądający, obszar takiego dorivnuє D ja=D x ja D ja ja. Dlatego różnicę powierzchni można zapisać jako ds=dxdy. Otzhe, w kartezjańskim układzie współrzędnych pod całkami możesz spisać na widok

Szacunek. Podobnie jak funkcja całkowa f(x,y)º1, wówczas podcałką obszaru regionu integracji jest:

Co znamienne, że podkreślone integracje mogą być tą samą potęgą, jak również pojedynczo zintegrowane. Ich czyny są znaczące.

Potęga całek podrzędnych.

1 0 .Moc liniowa. Całka sumy funkcji drugiej sumy całek:

za znak całki można winić stały mnożnik:

2 0 .Dodatkowa moc. Ponieważ obszar integracji D jest podzielony na dwie części, to podcałka jest pełniejsza niż suma integracji nad częścią skórną:

3 0 .Twierdzenie o średniej. Jaka jest funkcja? f( x,y)jest ciągła w obszarze D, to w galerii jest taki punkt(x, h) , Co:

Dalsze odżywianie po żywieniu: jak obliczane są podcałki? Yogo może być w przybliżeniu virahuvati, dzięki tej metodzie jest zepsuty skuteczne metody złożone sumy sum skumulowanych, które są następnie obliczane numerycznie z dodatkowym EOM. Przy analitycznym obliczeniu podcałek są one sprowadzane do dwóch całek pojedynczych.