Procedura obliczania całki stratnej jest podobna do ogólnej operacji całki ruchomej. Dla opisu її wprowadzamy rozumienie prawidłowego trywialnego obszaru:

Powołanie 9.1. Obszar trywialny V, otoczony zamkniętą powierzchnią S, nazywany jest regularnym, ponieważ:

1. być prostym, równolegle do osi Oz, który jest przeciągany przez wewnętrzny punkt regionu, przecinający S w dwóch punktach;
2. cały region V jest rzutowany na płaszczyznę Oxy w regularnym dwuświatowym regionie D;
3. czy część obszaru V, widoczna w nim przez płaszczyznę, równoległa do tego, czy pochodzi z płaszczyzn współrzędnych, może mieć potęgę 1) i 2).

Spójrzmy na prawidłowy obszar V, ograniczę dół i górę powierzchniami z=χ(x,y) i z=ψ(x,y) i rzutem na płaszczyznę Oxu y, prawidłowy obszar D, środek których x zmieni się w granicach od a do b, zostanie otoczone krzywymi y=φ1(x) i y=φ2(x) (rys. 1). Niech f(x,y,z) będzie funkcją ciągłą w dziedzinie V.

Powołanie 9.2. Nazywa się ją trzykrotną całką funkcji f(x,y,z) po obszarze V w postaci:

Trirazovy іntegrа maє tі zh vlastivostі, shcho w dvorazovy. Pererakhuyemo їх bez potwierdzenia, odłamki smrodu są wychowywane podobnie jak upadek całki jardowej.

Obliczanie całki stratnej.

Twierdzenie 9.1. Całka potrójna funkcji f(x,y,z) domeny regularnej V jest taka sama jak całka potrójna w tej samej dziedzinie:

. (9.3)

Przynoszący.

Płaszczyzny obszaru Rozіb'ёmo V, równoległe do płaszczyzn współrzędnych, na n regularnych obszarach. Todі z power 1 krzyczy

gdzie jest trzykrotną całką funkcji f(x,y,z) w dziedzinie .

Formuła Vikoristovuyuchi (9.2), parzystość w przód można przepisać na pierwszy rzut oka:

Zrozumienie ciągłości funkcji f (x, y, z) jest jasne, która znajduje się między sumą całkową, która znajduje się po prawej stronie równania równości, a równa trzeciej całce. Następnie przechodząc do granicy, gdy bierzemy:

co trzeba było przynieść.

Szacunek.

Podobnie jak w przypadku spadku całki podprądowej, można stwierdzić, że zmiana kolejności całkowania nie zmienia wartości całki trzykrotnej.

krupon. Obliczenie całki de V to trójkątna piramida z wierzchołkami w punktach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). Її rzut na płaszczyznę Oxy є tricutnik z wierzchołkami (0, 0), (1, 0) i (0, 1). Od dołu obszar graniczy z polem z = 0, a od góry – polem x + y + z = 1. Przejdźmy do całki potrójnej:

Za znak całki podwójnej można winić mnożniki, które nie leżą w całce zmiennej:

Krzywoliniowe układy współrzędnych w przestrzeni trywialnej.

1. Cylindryczny układ współrzędnych.

Współrzędne cylindryczne punktu Р(ρ,φ,z) – współrzędne cepolarne ρ, φ rzutu punktu na płaszczyznę Ohu i aplikatora danego punktu z (rys. 2).

Wzory przejścia od współrzędnych cylindrycznych do współrzędnych kartezjańskich można ustawić w następujący sposób:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sferyczny układ współrzędnych.

Dla współrzędnych sferycznych położenie punktu w przestrzeni wskazuje współrzędna liniowa ρ - odległość od punktu do kolby kartezjańskiego układu współrzędnych (lub biegunów układu sferycznego), φ - krawędź biegunowa między dodatnimi pіvvіssyu Ox i rzut punktu na płaszczyznę Oxy, a θ - kutom między dodatnim Oz a podwójnym OP (ryc. 3). Z kim

Biorąc pod uwagę wzór na przejście od współrzędnych sferycznych do kartezjańskich:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Geometryczny zmist jakobian i joga.

Przyjrzyjmy się dzikiemu trendowi zastępowania zmian w całce metra. Podano Nehai na płaskim obszarze Ohu D, otoczony linią L. Załóżmy, że х і у є są jednowartościowymi i nieprzerwanie różnicującymi funkcjami nowych zmieniających się u i v:

x = (u, v), y = (u, v). (9.6)

Spójrzmy na prostokątny układ współrzędnych Ouv, punkt P(u, v), który wskazuje P(x, y) z obszaru D. Wszystkie takie punkty tworzą obszar D w pobliżu płaszczyzny Ouv, Jestem otoczony linią L?. Można powiedzieć, że wzory (9.6) ustalają zależność jeden do jednego między punktami obszarów D i D. Dla których linii u = const,

v = const na płaszczyźnie Ouv będzie podobne do linii na płaszczyźnie Ohu.

Na płaszczyźnie Ouv widzimy prostokątny majdan ΔS, ograniczony liniami prostymi u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé curvilinear maidanchik ΔS w pobliżu mieszkania Ohu (ryc. 4). Obszary analizy Majdanczików będą oznaczane jako ΔS i ΔS. Dla ciomu ΔS = Δu Δv. Znamy obszar ΔS. Co istotne, wierzchołki krzywoliniowego chotyrikutnika P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = (u, v), y1 = (u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = (u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Wymiana małych różnic zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi. Todi

Za pomocą którego chotirikutnik P1 P2 P3 P4 można przyjąć jako równoległobok, a obszar można przypisać do wzoru na geometrię analityczną:

(9.7)

Powołanie 9.3. Wariant nazywa się wariantem funkcjonalnym lub jakobianem funkcji φ(x,y) i ψ(x,y).

Przechodząc do granicy z równością (9.7), usuwamy geometryczne przesunięcie Jakobianu:

więc moduł Jakobian jest granicą między obszarem nieskończenie małych kwadratów S i S.

Szacunek. Podobnej rangi można wyznaczyć rozumienie jakobianu i jego geometrycznego znaczenia dla przestrzeni n-światów: że x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), wtedy

(9.8)

Dzięki temu moduł jakobianu wyznacza granicę między „obsyagiv” małymi obszarami przestrzeni x1, x2, ..., xn i u1, u2, ..., un.

Zastępowanie zmian w wielu całkach.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Niech funkcja ciągła z = f(x,y) będzie podana w obszarze D, ta sama wartość funkcji z = F(u, v) w obszarze D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Spójrzmy na sumę całkowitą

Suma deintegracyjna po prawej jest przejmowana przez obszar D. Przejście do granicy, gdy odejmiemy wzór na przekształcenie współrzędnych w całce wymiatanej.

Wypróbuj całki. Obliczanie objętości ciała.
Całka próbna we współrzędnych cylindrycznych

Trzy dni w dziekanacie niebo leżało pod spodniami szat Pitagorasa,
W rękach Fikhtengolts jest tom trimavów, że jogin białego światła żyje,
Do nigdzie związali trzecią całkę i owinęli zwłoki w matrycy,
A zastępca modlitwy jest jak nahabnik po przeczytaniu twierdzenia Bernoulliego.

Utracone integracje to te, których nie możesz się już bać =) Bo jak przeczytasz cały tekst, to lepiej za wszystko, co się nie zgadza teoria i praktyka całek „nadrzędnych”, jak również całki zależne. A tam, de podvіyny, w pobliżu i zagubiony:

Rzeczywiście, czego można się bać? Całka jest mniejsza, całka jest większa.

Rzućmy okiem na zapis:

- ikona całki trójcy;
- Pidіntegralna funkcja potrójnej zmiany;
- dyferencjały Dobutok.
- Obszar integracji.

Na szczególną uwagę zasługują integracja z galerią. Yakscho w podkreślona całka wygrał płaska figura, to tutaj - rozrost ciała , tak, wiesz na szczycie. W tej randze zbrodnia instynktownego odgadnięcia jest winna zorientowania się w główne powierzchnie i pamiętaj, aby wygrać najprostsze fotele trivimir.

Deyakianie byli zawstydzeni, mądrzy…. Niestety artykułu nie można nazwać „całkami użytecznymi dla manekinów” i trzeba coś wiedzieć / zapamiętać. Ale nic strasznego - cały materiał publikacji w najbardziej przystępnej formie zostanie opanowany w jak najkrótszym czasie!

Co to znaczy obliczyć utraconą całkę i co to zajęło?

Oblicz utraconą całkę - środki tse znać KILO:

W najprostszy sposób, jeśli: trzecia całka jest liczebnie bardziej zaawansowana w stosunku do ciała. І deisno, vіdpovіdno to integracja, tvir jeden nieskończenie mały objętość elementarnej „ceglinki” ciała. A trzecia całka to zjednoczony wszystko qi nieskończenie małe cząsteczki według regionu, po którym wychodzi całkowita (całkowita) wartość objętości ciała: .

Ponadto ważna jest trzecia całka programy fizyczne. Ale o tse pіznіshe - w drugiej części lekcji, poświęcenie obliczanie dodatkowych strat całek, dla którego funkcja zmiennej jest stała jako stała i jest nieprzerwana w sferze. W tym artykule możemy szczegółowo zobaczyć znaczenie zobowiązania, gdyż moja subiektywna ocena jest obserwowana 6-7 razy częściej.

Jak rozwiązać zgubioną całkę?

Vіdpovіd jest logicznie viplivає z poprzedniego akapitu. Konieczne jest wyznaczenie rozkaz ominięcia ciała idę do powtarzamy całki. Następnie rozwiąż sukcesywnie trzema całkami pojedynczymi.

Yak bachite, cała kuchnia jest coraz bardziej nagaduє całki podstawowe, Z tієyu vіdminnіstyu, scho w tym samym czasie dostaliśmy dodatkova rozmіrnіst (z grubsza wyglądający, wzrost). Ja, pojedynczo, wielu z was już zgadło, jak naruszają straty całek.

Podsumujmy, co straciliśmy:

tyłek 1

Bądź miły, przepisz pieczęcią na papierze:

І udzielać porad dotyczących następnego posiłku. Chi znasz Ciebie, jakie są powierzchnie, aby wyrównać qi? Chi zrozumіly ty nieformalny zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, jaka na powierzchni raztashovanі w kosmosie?

Jak tylko shilyatsya do wulgarnego vіdpovіdі „more nі, nizh so”, to lekcja obov'yazkovo opratsyut, w przeciwnym razie nie zajdziesz dalej!

Rozwiązanie: formuła vicorist

Aby schob z'yasuwati rozkaz ominięcia ciała idę do powtarzamy całki trzeba (wszystko jest genialnie proste) zrozumieć, co to było. I fajnie jest postawić fotele na takiej róży w bogatych vipadkach.

Za umysłem ciało otoczone jest powierzchniami kilkom. Dlaczego warto zacząć szykować? Wymawiam następne zamówienie diy:

Na kolbie można sobie wyobrazić równoległa ortogonalna rzut ciała na płaszczyznę współrzędnych. Po raz pierwszy powiedziałem, jak nazywa się projekcja, lol =)

Jeśli projekt ma być realizowany z rozmachem, to w Persh powierzchnie, jaka równolegle do osi tsієї. Domyślam się jakie powierzchnie takie nie mścij się za litery „ze”. Badany menedżer ma trzy:

- Rivnyannya ustala obszar współrzędnych, jak przejść przez całość;
- Rivnyannya ustala obszar współrzędnych, jak przejść przez całość;
- równe zadanie mieszkanie "płaski" prosty równolegle do osi.

Shvidshe za wszystko, projekcja shukana є nadchodzący trikutnik:

Możliwe, że nie wszyscy mieli szczątkową wiedzę na temat tego, dokąd się udać. Pokaż, że wszystko wychodzi z ekranu monitora i pozostaje w Twoim transferze ( Tobto. wyjdź, zachwycasz się krzesłem bestii z trzeciego świata). Doslіdzhuvane przestrzenie ciała znajdują się w nieoskórowanym trójściennym „korytarzu” i jego projekcji na obszar zacienionego tricutnika naimovіrnіshe є.

Szczególnie szanuję to, co spędzaliśmy razem więcej wymówek dotyczących projekcji a ostrzeżenie „neishvidshe”, „nayimovirnishe” to vipadkovy. Po prawej, w tym, że nie wszystkie powierzchnie zostały jeszcze przeanalizowane, a może być tak, że nawet z nich „odkryje” część tricutnika. Pytasz jak podkładka po tyłku kula wyśrodkowany na kolbie współrzędnych o promieniu mniejszym niż jeden, na przykład kula – її rzut na płaszczyznę (kolumna ) Nie powtórzę zacieniowanego obszaru „nakry”, a projekcja ciała będzie nazywana nie trykotem (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Z drugiej strony sceny to z'yasovuєmo, chim ciało jest otoczone przez bestię, niżej od dołu i vikonuemo przestrzeń fotela. Zwracamy się do umysłu i podziwiamy powierzchnię, tak jakby powierzchnia zniknęła. Poziomowanie ustawia samą płaszczyznę współrzędnych, a poziomowanie — cylinder paraboliczny, degustacja nad płaskie i przechodzą przez całość. W tej randze rzut ciała to diisno є trikutnik.

Przed przemówieniem pojawił się tutaj nieziemski pomyśl - w nowej żarówce obov'yazkovo nie obejmuje nawet płaszczyzn, odłamków powierzchni, wystających osi odciętych, a więc ciało się zamyka. Oznacza to, że w tym momencie nie bylibyśmy w stanie ochrzcić rzutu - tricutnika „narysowanego” dopiero po analizie wyrównania.

Fragment walca parabolicznego jest dokładnie przedstawiony:

Po fotelu vikonannya s omijając ciało bez problemów!

Z tyłu głowy istotna jest kolejność przechodzenia projekcji (przy pomocy najlepszej ręki kieruj się dwuświatowymi fotelami). Tse nieśmiały ABSOLUTNIE TAK, jak ja w całki dolne! Zgadywanie wskaźnik laserowy to skanowanie płaskiego obszaru. Wybierz „tradycyjną” pierwszą metodę obejścia:

Dali bierze w ręce uroczą zapalniczkę, zachwyca się trivimirem fotela i ściśle z górki oświecić pacjenta. Zmiany, aby wejść do ciała przez powierzchnię i wyjść z niego przez powierzchnię. W tej kolejności kolejność omijania ciała:

Przejdźmy do wielokrotnych integracji:

1) Rozpocznij następujące czynności od całki „Z”. Vikoristovuemo Wzór Newtona-Leibniza:

Wyobraź sobie wynik całki „igame”:

Co się stało? Właściwie rozwiązanie zostało zredukowane do podcałki, a samo do formuły. objętość belki cylindrycznej! Więcej dobrze wiedzieć:

2)

Szanuj racjonalną technikę rozwiązywania trzeciej całki.

Vidpovid:

Obliczenie można zapisać i „w jednym wierszu”:


Ale w ten sposób uważaj - jeśli wygrasz w swidkost, grozisz stratą czasu, a jeśli masz ważny tyłek, są większe szanse na ułaskawienie.

Uwaga na temat ważnego odżywiania:

Dlaczego konieczna jest praca na fotelu, aby głowa umysłu nie wymagała ich vikonanni?

Możesz pić chotirmę ścieżkami:

1) Narysuj rzut tego samego ciała. Najlepszą opcją jest to, że można zepsuć dwa porządne fotele, nie lamentować, obrabowane fotele obrabować. Polecam nas do przodu.

2) Narysuj więcej ciała. Odpowiednia, jeśli ciało jest niezdarne, ta oczywista projekcja. Czyli np. trzyrzędowy fotel utknął w wybranym tyłku. Jednak tutaj jest minus - zgodnie z obrazem 3D nie jest wygodne określenie kolejności omijania projekcji, a w ten sposób cieszę się tylko dla osób z dobrym poziomem wyszkolenia.

3) Pokaż więcej projekcji. Tezh nieźle, ale o obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, nizh zamezhena region z raznih storіn. Niestety trzecia opcja jest często myląca - jeśli jest już za późno, jest zbyt duża, aby poradzić sobie z innymi trudnościami. І takі zastosuj mi tak razglyademom.

4) Poruszaj się bez fotela. Konieczne jest, aby każda osoba przedstawiła treść myśli i skomentowała formę / format na piśmie. Dobrze jest wybrać najprostsze tіl chi zavdan, de vikonanya oba fotele są ważne. Ale mimo wszystko lepiej, jeśli chcesz użyć szkicowych maluchów, odłamki „celowego” rozwiązania można odrzucić.

Przyjdź ciało po niezależną pomoc:

tyłek 2

Aby skorzystać z całki straty, oblicz objętość ciała otoczonego powierzchniami

Na do tego konkretnego typu obszar integracji ważniejszy jest przez nieprawidłowości, a cena jest krótsza - bez żadnych nieprawidłowości ustala 1-szy oktant, w tym współrzędne i nierówności - napіvspіr, jak pomścić kolbę współrzędnych (odwrócić)+ sam obszar. Płaszczyzna „pionowa” jest rozłożona parabolą paraboliczną, a na fotelu bazhan konieczne jest wywołanie mniszka lekarskiego. Dla kogo konieczne jest poznanie dodatkowego punktu odniesienia, prościej, wierzchołka paraboli. (Możemy zobaczyć znaczenie i rozrakhovuyemo vіdpovіdne „z”).

Rozumiemy dalej:

tyłek 3

Oblicz za pomocą całki straty objętość ciała otoczonego wyznaczonymi powierzchniami. Fotel Vikonati.

Rozwiązanie: formuła „viconati fotela” daje nam absolutną swobodę, ale lepiej do wszystkiego, przenosząc vikonanię obszernego fotela. Jednak projekcji też nie da się zwinąć, nie jest to najłatwiejsza rzecz do zrobienia.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї wcześniejsze taktyki powierzchnie, jakby równolegle do osi aplikacji. Wyrównania takich powierzchni nie należy pomścić wyraźną zmianą „Z”:

- Rivnyannya ustawia współrzędne płaszczyzny, aby przejść przez całość ( jak na mieszkaniu jest przypisany do „tego samego imienia” równa się);
- równe zadanie mieszkanie, aby przejść przez „tę samą linię” "płaski" prosty równolegle do osi.

Żartujące ciało jest otoczone płaskim dnem i cylinder paraboliczny bestia:

Ułóżmy procedurę omijania ciała, z którą integracja „iksovі” i „igrokovі”, jak sądzę, lepiej śpiewać za fotelami dwóch światów:

W ten sposób:

1)

Gdy całkowanie za „iplayerem” - „ix” jest uważane za stałą, należy winić stałą za znak całki.

3)

Vidpovid:

Tak więc, nie zapominając trochę, zdebіlshogo otmany wynik małego (i navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym fotelami, oskolki z wielkich ymovіrnіstyu vinikne iluzja zobowiązuje, O yaku I rozpov_shche na lekcji Objętość ciała wrap. Oceniając więc ciało wypatrzonego lidera, miałem szczególne szczęście, że w nowej jest więcej niż 4 „kostki”.

Ofensywny tyłek dla niezależnej wizji:

tyłek 4

Oblicz za pomocą całki straty objętość ciała otoczonego wyznaczonymi powierzchniami. Praca fotela tego ciała i jego rzut na płaszczyznę.

Zrazok zaprojektowany jako zadanie na lekcję.

Nie jest rzadkością, jeśli vikonnanny krzesła trivimir jest trudniejsze:

tyłek 5

Za pomocą całki stratnej, aby poznać objętość ciała podaną przez otaczające je powierzchnie.

Rozwiązanie: projekcja tutaj jest niezdarna, ale nad kolejnością obejścia musisz pomyśleć Jak wybrać pierwszą metodę, wówczas figura będzie musiała zostać podzielona na 2 części, co nieuchronnie zagrozi obliczeniu sumi dwa Całki trójdzielne. Dla kogoś o bogatszej perspektywie istnieje inna ścieżka. Można to zobaczyć i zwizualizować po projekcji tego ciała na fotelu:

Jeszcze raz poproszę o prawdziwość takich zdjęć, wiruję je bezpośrednio z własnych rękopisów.

Wybieramy bardziej opłacalne zamówienie na ominięcie figury:

Teraz na prawo za ciałem. Od dołu otacza go teren płaski, od bestii teren płaski, tak aby przechodził przez całą rzędną. I wszystko byłoby niczym, ale reszta mieszkania jest zbyt stroma i nie jest łatwo poruszać się po okolicy. Wybór tutaj jest nie do pozazdroszczenia: albo robot jubilerski jest na małą skalę (bo był cienki, żeby był cienki), albo fotel ma około 20 centymetrów wysokości (to i te, które się mieszczą).

Ale i trzecia, spokojnie rosyjska metoda rozwiązania problemu to punktowanie =) i bemol z boku, bemol na dole i bemol do bestii.

Interintegracja „pionowa” wygląda oczywiście tak:

Obliczmy objętość ciała, nie zapominając, że obeszliśmy projekcję w mniej rozbudowany sposób:

1)

Vidpovid:

Jak pamiętasz, proponowanie w zavdannya ciała nie jest drogie za sto dolców, często otoczone mieszkaniem poniżej. Ale to nie jest reguła, więc musisz być gotowy - możesz spędzić dzień, de tilo roztashovani pid mieszkanie. Na przykład, jeśli spojrzysz na mieszkanie w wybranym zamіst, ciało będzie symetrycznie reprezentowane w niższej przestrzeni i będzie otoczone mieszkaniem od dołu i mieszkaniem bestii!

Łatwo jest się przełączyć, aby zobaczyć ten sam wynik:

(Pamiętaj, że trzeba się poruszać ściśle z górki!)

Ponadto „zakochany” w mieszkaniu może pojawić się z przodu nie po prawej, najprostszy tyłek: worek, schowany bardziej niż mieszkanie – przy wyliczeniu obowiązku jogicznego nie trzeba patrzeć przed siebie.

Widzimy wszystkie te poglądy, ale na razie zadanie niezależnej wizji jest podobne:

tyłek 6

O pomoc całki stratnej, poznanie ciała otoczonego powierzchniami

Krótko mówiąc, rozwiązaniem jest zilustrowanie lekcji.

Przejdźmy do kolejnego akapitu z nie mniej popularnymi materiałami:

Całka próbna we współrzędnych cylindrycznych

Współrzędne cylindryczne - w rzeczywistości ce, współrzędne biegunowe w kosmosie.
W cylindrycznym układzie współrzędnych położenie punktu w przestrzeni jest określone przez współrzędne biegunowe punktu - rzut punktu na płaszczyznę i aplikację samego punktu.

Przejście z trywimeru kartezjańskiego do cylindrycznego układu współrzędnych odbywa się za pomocą następujących wzorów:

Sto pięćdziesiąt naszych przemian wygląda tak:

Ja podobno w prosty sposób, co łatwo widać w tym artykule:

Golovne, nie zapomnij o dodatkowym mnożniku „er” i poprawnie ułóż polaryzacja między integracją przy pominięciu projekcji:

tyłek 7

Rozwiązanie: dotrimuєmosya tej samej kolejności diy: patrzymy w przyszłość na równe, w niektóre dni zmienia się „Z” Jest tylko jeden tutaj. występ powierzchnia cylindryczna na obszarze є „o tej samej nazwie” kolor .

Kwadraty otaczają ciało shukane od dołu i bestię („zawiesić” jogę z cylindra) i są zaprojektowane w kolorze:

Na czarnym fotelu trivimir. Główna trudność polega na powierzchni, tak jakby cylinder był skręcony pod „skośną” maską, po czym należy przejść elipsy. Wyjaśnijmy to przepisanie analitycznie: dla którego przepisujemy płaszczyznę widoku funkcjonalnego i obliczamy wartość funkcji („wysokość”) w punktach, o które pytamy, tak jakby leżeć na interprojekcjach:

Wygląda na to, że znasz punkty na fotelu i dokładnie (a nie tak, jak ja =)) zadnuєmo їх linia:

Rzut ciała na płaszczyznę to długość, a długość argumentu za szybkością przejścia do cylindrycznego układu współrzędnych:

Znamy wyrównanie powierzchni we współrzędnych cylindrycznych:

Teraz postępuj zgodnie z procedurą omijania ciała.

Rzućmy okiem na tył głowy z projekcji. Jak ustalić kolejność obejścia? Dokładnie tak obliczanie podcałek we współrzędnych biegunowych. Tutaj wino jest podstawowe:

Interintegracja „pionowa” jest również oczywista – wchodzi do ciała przez płaszczyznę i wychodzi z niego przez płaszczyznę:

Przejdźmy do wielokrotnych integracji:

Dla którego mnożnik „er” jest natychmiast wstawiany do całki „własnej”.

Vinik yak zavzhd łatwiej przebić się przez gałązki:

1)

Bierzemy wynik całki ofensywnej:

I tutaj nie zapomina się, że fi jest ważne jako stała. Ale tse do godziny śpiewu:

Vidpovid:

Podobne zadanie dla niezależnej wizji:

tyłek 8

Oblicz za pomocą całki straty objętość ciała otoczonego powierzchniami. Fotel Vikonati tego ciała i jego rzut na kwadrat.

Świetny projekt Zrazok jak lekcja.

Dla pewności, że w umysłach problemów tego samego słowa nie mówi się o przejściu do cylindrycznego układu współrzędnych, a osoba nie będzie znana z walki z ważnymi całkami we współrzędnych kartezjańskich. ... A może nie będzie - nawet jeśli to trzeci, spokojnie rosyjski sposób rozwiązywania problemów.

Wszystko dopiero się zaczyna! …w dobrym tego słowa znaczeniu: =)

tyłek 9

O pomoc całki stratnej, poznanie ciała otoczonego powierzchniami

Skromnie i ze smakiem.

Rozwiązanie: cały skończona powierzchniaі paraboloida eliptyczna. Czytelnicy, którzy z szacunkiem zapoznali się z materiałami artykułu Główne powierzchnie przestrzeni, już przedstawione, jakby patrząc na ciało, ale w praktyce złożone vipadie często pułapki, więc prowadzę reportaż ze świata analitycznego.

Znamy linie na plecach, którymi zabarwione są powierzchnie. Budujemy i budujemy następujący system:

Od pierwszego równego możemy zobaczyć się w kategoriach:

W rezultacie odebrane zostają dwa korzenie:

Wyobraź sobie, że znasz znaczenie tego, czy system jest równy:
gwiazdy krzyczą
Otzhe, root vіdpovіdaє pojedynczy punkt - kolba współrzędnych. Naturalnie – nawet szczyty blatów podbiegają do góry.

Teraz wyobraźmy sobie inny pierwiastek - taki sam dla tego, czy system jest równy:

Jaka jest geometryczna zamiana wyniku? "Na wysokościach" (w pobliżu płaszczyzny) paraboloida i stożek są zabarwione wzdłuż Cola- pojedynczy promień wyśrodkowany w punkcie.

Kiedy „kielich” paraboloidy zawiera „lejek” stożka, zaspokoić końcową powierzchnię należy przekreślić linią przerywaną (za pnączami widok z daleka, widziany pod tym kątem):

Rzut ciała na samolot kolor ze środkiem na kolbie współrzędnych o promieniu 1, których nie odważyłem się przedstawić przez oczywistość tego faktu (komentarz listu ochronnego robimo!). Przed przemową, na dwóch frontowych krzesłach na krześle, projekcje można było pobić, jaka by nie przeszkadzało.

Przy przejściu do współrzędnych cylindrycznych można użyć standardowych wzorów, aby w najprostszy sposób zapisać nierówności i ominąć rzutowanie codziennych problemów:

Znamy wyrównanie powierzchni cylindrycznego układu współrzędnych:

Skoro problem dotyczy górnej części stożka, to widać:

"Ciało Scanuemo" od dołu pod górę. Zmień światło, aby wejść przed nowym przejściem paraboloida eliptyczna i wyjdź przez powierzchnię końcową. W tej kolejności „pionowa” kolejność omijania ciała:

Druga właściwa technika:

Vidpovid:

Nierzadko zdarza się, że ciało proszone jest o nie otaczanie go powierzchniami, ale bez żadnych nierówności:

tyłek 10

Geometryczny zmist ogrom nieprawidłowości, wyjaśniłem podobno z tego samego dowodzącego artykułu. Główne powierzchnie przestrzeni.

Tse zavdannya chce i przechowuje parametr, ale pozwala na dokładny fotel, który inspiruje ważny wygląd ciała. Myśl jak vikonati pobudova. Krótko mówiąc, rozwiązaniem jest to udowodnić - jak lekcja.

... no cóż, to jest szprot? Zastanawiam się nad ukończeniem lekcji, ale zgaduję, czego chcesz więcej =)

tyłek 11

Za pomocą całki stratnej oblicz objętość danego ciała:
, De - bardziej dodatnia liczba.

Rozwiązanie: nierówności ustawić kolumnę środkiem na kolbie współrzędnych do promienia, a nierówności - „Wewnętrzność” okrągłego cylindra z całą symetrią promienia. W tej kolejności ciało, jakby szeptane, otoczone jest z boku okrągłym cylindrem oraz kulistymi segmentami symetrycznymi do powierzchni u góry iu dołu.

Biorąc za podstawową jednostkę świata, bierzemy fotel:

Mówiąc dokładniej, jogę należy nazwać małym dzieckiem, a odłamki proporcji wzdłuż osi nie będą już lepsze. Prote, ze względu na sprawiedliwość, dla umysłu, nie trzeba było niczego podnosić, a taka ilustracja wydawała się całkiem wystarczająca.

Aby okazać szacunek, że tutaj nie ma wysokości obov'yazkovo z'yasovuvati, na takim cylindrze zwisającym z tyłu „czapki” - wystarczy podnieść kompas i zaznaczyć kolumnę środkiem na kolbie współrzędnych o promieniu 2 cm, wtedy punkty poprzeczki z cylindrem pojawią się same.

1. Współrzędne cylindryczne są zbiorem współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie xy iz istotnego aplikatora kartezjańskiego z (rys. 3).

Niech M(x,y,z) będzie wystarczającym punktem w przestrzeni xyz, P jest rzutem punktu M na płaszczyznę xy. Punkt M jest jednoznacznie przypisany przez trójcę liczb - współrzędne biegunowe punktu P, z - aplikację punktu M. Formuły, które nazywają je kartezjańskimi, mogą wyglądać

Fermentacja Jakobian (8)

tyłek 2.

Oblicz całkę

de T - obszar otoczony powierzchniami

Rozwiązanie. Całkę przekazujemy do współrzędnych sferycznych za pomocą wzorów (9). Ten sam obszar integracji można ustawić z nieprawidłowościami

I to oznacza, że

tyłek 3 Poznaj objętość ciała, z frędzlami:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - kula o promieniu R \u003d v8 ze środkiem w punkcie O (000),

Górna część stożka z2 = x2 + y2 z całą symetrią Oz i wierzchołkiem w punkcie O (ryc. 2.20).

Znamy linię poprzeczki kuli stożka:

І odłamki dla umysłu z? 0, to

Okrąg R=2, leżący w pobliżu płaszczyzny z=2.

Zgadza się (2.28)

Obszar, w którym graniczysz z bestią?

(część kuli),

(Część stożka);

obszar U jest rzutowany na obszar Ohu obszar D - promień 2.

Ponadto, aby przejść przyrostowo w całce do współrzędnych cylindrycznych, zwycięskie wzory (2.36):

Pomiędzy zmianami r jest istotne zgodnie z odległością D v poza kolumną R=2 ze środkiem w punkcie O, tym samym: 0?c?2p, 0?r?2. W ten sposób obszar U we współrzędnych cylindrycznych oznaczony jest postępującymi nieregularnościami:

Szanujemy to

Zavantage z plików depozytowych

Całka potencjalna.

Kontroluj jedzenie.

Całka konsekwentna, joga mocy.

Zastąpienie zmian w trzeciej całce. Obliczanie całki stratnej we współrzędnych cylindrycznych.

Obliczanie całki stratnej we współrzędnych sferycznych.

Przyjdź na funkcję! ty= f(x,y,z) przypisane do obszaru zamkniętego V przestrzeń R 3 . Region Rozib'ёmo V przyzwoita pozycja na n podstawowe obszary zamknięte V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n oczywiście. Znacznie d- największa ze średnic regionów V 1 , … ,V n. W okolicy skóry V k wybierz dobry punkt P k (x k tak k ,z k) i magazynowanie suma całkowita Funkcje f(x, tak,z)

S =

Wizyta, umówione spotkanie.Całka próbna rodzaj funkcji f(x, tak,z) Przez region V zwana sumą międzycałkową
yakscho vin isnuє.

w taki sposób,

(1)

Szacunek. Suma całkowa S depozyt w drodze rozbicia regionu V wybierz punkt P k (k=1, …, n). Jeśli jednak istnieje granica, to nie będzie ona przeszkadzać w rozbiciu regionu V wybierz punkt P k. Jeśli porównamy oznaczenie podwariantu i całki przyrostowe, to łatwo zastosować w nich tę samą analogię.

Dostateczne rozumowanie dla całki stratnej. Całka próbna (13) jest używana jako funkcja f(x, tak,z) jest oprawiony w V jestem nieprzerwany w V, za koroną końcowej liczby grudkowato-gładkich powierzchni, gnijących w V.

Akty władzy całki ceramicznej.

1) Jakscho W- Stała liczbowa, to

3) Addytywność według regionu. Region Yakscho V podzielone na regiony V 1 і V 2 , to

4) Dopasuj ciało! V dorivnyuє

(2 )

Obliczanie całki stratnej we współrzędnych kartezjańskich.

Daj spokój D projekcja ciała V na mieszkaniu xOy, powierzchnia z=φ 1 (x,tak),z=φ 2 (x, tak) otaczają ciało V poniżej bestia jest jasna. Tse znaczy co

V = {(x, tak, z): (x, tak)D , φ 1 (x,tak)≤ z ≤ φ 2 (x,tak)}.

Takie ciało nazywa się z- Cylindryczny. Całka próbna (1) z-cylindryczny korpus V obliczone przez przejście do powtórzonej całki, która jest sumowana z typu zawiasowego całki:

(3 )

W tej powtórzonej całce szkieletu obliczana jest wewnętrzna całka pojedyncza zmiany z, w którym x, tak vvazhayutsya nieuchronne. Policzmy dolna całka widok wybranej funkcji według regionu D.

Yakscho V x- cylindryczny lub y- cylindryczny korpus, a następnie skorygować do wzoru

Dla pierwszej formuły D  projekcja ciała V do płaszczyzny współrzędnych yOz, a w drugim - w samolocie xOz

stosować. 1) Oblicz sumę ciała V, otoczony powierzchniami z = 0, x 2 + tak 2 = 4, z = x 2 + tak 2 .

Rozwiązanie. Policzmy na pomoc całki straty za formułą (2)

Przejdźmy do powtórzonej całki po wzorze (3).

Daj spokój D- kolor x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , tak ) = 0, φ 2 (x , tak )= x 2 +y 2. Todi zgodnie ze wzorem (3) jest brany

Aby obliczyć tę całkę, przechodzimy do współrzędnych biegunowych. Kiedy tsimu kolo D przekształcić się w bez twarzy

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V otoczony powierzchniami z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Oblicz

Kwadraty z=y , z=-y otaczać ciało od dołu i do bestii, płasko x= 0 , x= 2 okrąż ciało z tyłu i z przodu, a płaską y= 1 prawa ręka V-z- cylindryczny korpus, projekcja jogi D na mieszkaniu hejє prostokąt OABC. Odłóżmy to φ 1 (x , tak ) = -y

Przetworzenie całki pionowej w postaci współrzędnych prostokątnych do współrzędnych biegunowych
, w połączeniu ze współrzędnymi prostokątnymi
,
, postępuj zgodnie ze wzorem

Jaki jest obszar integracji?
otoczony dwiema giełdami
,
(
), które wychodzą z kijów, te dwa są krzywe
і
, to całka bazowa jest obliczana ze wzoru

.

tyłek 1.3. Oblicz pole figury otoczonej następującymi liniami:
,
,
,
.

Rozwiązanie. Do obliczania powierzchni regionu
przyspieszone formułą:
.

Wyobrażalny obszar (rys. 1.5). Dla kogo konwertujemy krzywe: , , , . Przejdźmy do współrzędnych biegunowych: , . . W biegunowym układzie współrzędnych obszar być opisane przez równe:

.

1.2. Całki potencjalne

Potęgi główne całek trzecich są analogiczne do potęgi całek dolnych.

We współrzędnych kartezjańskich całkę trzecią należy zapisać w następujący sposób:

.

Yakscho
, to trzecia całka po regionie liczbowo większa objętość ciała :

.

Obliczanie całki stratnej

Niech obszar integracji jest otoczony od dołu i od bestii wyraźnie jednoznacznymi nieprzerwanymi powierzchniami
,
ponadto rzut terenu do płaszczyzny współrzędnych
єpłaski obszar
(Rysunek 1.6).

To samo ze stałymi wartościami ważne aplikacje punkt obszaru zmiana na granicach. Todi otrimuemo: . Co zresztą projekcja oznaczają nieprawidłowości , , de - jednoznaczny nieprzerwane funkcje na , następnie

.

tyłek 1.4. Oblicz
, de - solidne, otoczone mieszkaniami:

	, , , ( , , ). Rozwiązanie. Obszarem integracji jest piramida (ryc. 1.7). Projekcja powierzchni trikutnik , liniami prostymi , , (Rys. 1.8). Na Aplikacja kropka usatysfakcjonować nerwowość do tego .
	Organizowanie interintegracji dla tricoutnika , zajęty

Całka próbna we współrzędnych cylindrycznych

Podczas przełączania na współrzędne kartezjańskie
na współrzędne cylindryczne
(ryc. 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, co więcej

	, ,, trzecia całka jest konwertowana na: tyłek 1.5. Oblicz objętość ciała otoczonego powierzchniami: , , . Rozwiązanie. Objętość ciała, o czym żartować dorivnyuє .
	Obszary integracji są częścią cylindra otoczonego płaskim dnem. , ale bestia jest płaska (Rysunek 1.10). Projekcja powierzchni kolo wyśrodkowany na kolbie współrzędnych i o jednym promieniu. Przejdźmy do współrzędnych cylindrycznych. , , . Na Aplikacja kropka , łagodzi nerwowość lub we współrzędnych cylindrycznych:

Region
, otoczony krzywą
, czekam na zobaczenie, w przeciwnym razie
w tsimu polar kut
. Niech wyniki

.

2. Elementy teorii pola

Zgadnijmy wcześniej, jak obliczyć całki krzywoliniowe i powierzchniowe.

Obliczanie całki krzywoliniowej po współrzędnych funkcji przypisanych do krzywych , sprowadzić do obliczenia całki pierwszej w postaci

jak krzywy? podane parametrycznie
pokazując kolbę krzywej , a
- Її punkty końcowe.

Obliczanie całki powierzchniowej jako funkcji
, zaznaczony na dwustronnej powierzchni , dodaj do obliczenia niedoszacowanej całki, na przykład umysł

,

jak powierzchnia , przypisane do równych
, wyjątkowo rzutowany na samolot
do regionu
. Tutaj - cięcie między pojedynczym wektorem normalnym na powierzchnię i wszystkie
:

.

Pochłonięty przez umysły głowy po stronie powierzchni zależy od wyboru znaku ze wzoru (2.3).

Powołanie 2.1. pole wektorowe
nazywana jest funkcją wektorową punktu
od razu z obszaru її przypisanego:

pole wektorowe
charakteryzuje się wartością skalarną - rozbieżność:

Powołanie 2.2. pływ pole wektorowe
przez powierzchnię nazywa się całką powierzchniową:

,

de - pojedynczy wektor normalny do wybranej strony powierzchni , a
- skalarny doboot vector_v і .

Powołanie 2.3. krążenie pole wektorowe

na zamknięta krzywa zwana całką krzywoliniową

,

de
.

Formuła Ostrogradskiego-Gaussa ustawić połączenie między przepływem pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię i rozbieżność pola:

de - Powyżej otoczony zamkniętą pętlą , a - Pojedynczy wektor normalny do powierzchni. Bezpośrednio normalne, mogą być korzyści z bezpośredniego obejścia konturu .

tyłek 2.1. Oblicz całkę powierzchniową

,

de - Zovnishnya część stożka
(
), który widzi samolot
(Rysunek 2.1).

Rozwiązanie. na szczycie wyjątkowo zaprojektowany w okolicy
mieszkania
, a całkę oblicza się według wzoru (2.2).

Pojedynczy wektor normalny do powierzchni wiemy ze wzoru (2.3): . Tutaj, dla normy, zaznaczony jest znak plus, odłamki są cięte w powietrzu to normalne - głupie ja, otzhe, może być ujemna. Wrakhovuyuchi sho , na powierzchni do przyjęcia

Region
kolo
. Dlatego w pozostałej całce przechodzimy do współrzędnych biegunowych, dla których
,
:

tyłek 2.2. Znajdź rozbieżność i rotację pola wektorowego
.

Rozwiązanie. Dla wzoru (2.4) bierzemy

Wirnik pola wektorowego znany jest ze wzoru (2.5)

tyłek 2.3. Poznaj wartość pola wektorowego
przez część terenu :
, roztashovanu w pierwszym oktantі
).

	Rozwiązanie. Siła wzoru (2.6) . Reprezentujemy część terenu : , raztashovanu w pierwszym oktancie. Wyrównanie danego obszaru przy wiatrochronach może wyglądać (Rysunek 2.3). Wektor normalny do płaszczyzny może koordynować: , pojedynczy wektor normalny
	. . , , gwiazdy , otzhe,

de
- rzut powierzchni na
(Rysunek 2.4).

Przykład 2.4. Oblicz strumień pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię , osiedlony przez mieszkanie
ta część stożka
(
) (rys. 2.2).

Rozwiązanie. Przyspieszony przez formułę Ostrogradskiego-Gaussa (2.8)

.

Znamy rozbieżność pola wektorowego wzór (2.4):

de
- stożek obsyag, yakim przeprowadził іtegruvannya. Przyspiesz z formułą domową do obliczania objętości stożka
(- promień podstawy stożka, - Wysokość Yogo). Dla naszego umysłu możemy wziąć
. Pozostały

.

tyłek 2.5. Oblicz krążenie pola wektorowego
wzdłuż konturu , pokryty peratyną na wierzchu
і
(
). Sprawdź wynik za pomocą formuły Stokesa.

Rozwiązanie. Peretina zaznachenih powierzchnia є colo
,
(Rysunek 2.1). Bezpośrednio omijając wibrację, dźwięk otaczających go schobów, teren został pozostawiony przez zło. Zapiszmy parametryczne wyrównanie konturu :

gwiazdy

ponadto parametr zmiana w zanim
. Za wzorem (2.7) z równań (2.1) i (2.10) bierzemy

.

Podajmy teraz wzór Stokesa (2.9). Jaka powierzchnia , rozciągnięty na konturze , możesz zająć część terenu
. Bezpośrednio normalne
do tsієї surfy zgodzhuєtsya z obejście obwodu bezpośredniego . Wirnik wektorowego pola obliczeń w aplikacji 2.2:
. Więc krążenie shukana

de
- obszar regionu
.
- w pobliżu promienia
, gwiazdy