Матрицын спектр. Матрицын спектр "Матриц спектр" номонд

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.2

UDC 517.984.3: 519.177 LBC 22.161

ЗАСВАРЫН БАЙГУУЛЛАГЫН МАЙЗЫН БАЙГУУЛЛАГЫН МАтрицын СПЕКТРУМ

Сергей Викторович Козлуков

Воронезский улсын их сургууль [имэйлээр хамгаалагдсан]

vul. Их сургууль, 1, 394000 м. Воронеж, Оросын Холбооны Улс

Хийсвэр. Ижил төстэй операторуудын аргын тусламжтайгаар бусад (график) чиглэлтэй ойролцоо графикуудын нийлбэр матрицын спектрийн хүчийг боловсруулсан болно. Ийм матрицын хамгийн их утгын тооцоог өгсөн болно.

Түлхүүр үгс: ижил төстэй операторуудын арга, график спектр, спектрийн нутагшуулалт, Жорданы хэвийн хэлбэр, төсөөллийг шахаж буй шугаман бус тэгшитгэл.

1. Оршил ба үндсэн үр дүн

Ами өргөтгөсөн N x N матрицыг M тэг, N2 - M нэгээр нугалж авч үзье. Digraph руу sum_zhnost_ Amm v_dpod_daє матриц шиг, deyakih M z M2 ирмэгийн зайн N орой дээр гогцоонууд нь otrimanomu ын povynogo график. Графикийн хүчин чадалд чухал ач холбогдолтой үйлдлүүд нь нийлбэрийн матрицын спектртэй холбоотой байдаг. Жишээлбэл, хэмжүүр дэх вирусын тэлэлтийн салангид загварыг тайлбарласан бөгөөд хэмжүүрийн графикийн нийлбэр матрицын спектрийн радиус дээр үүнийг 1 харьцаагаар 1/T0 босго утгуудаар харуулав. /t = 5/y зангилааны халдварын эрчим ба зангилааны халдварын эрчим, халдварын нийлбэр. 1 / T0 босгон дахь 1 / t байрлал нь халдварын шинж чанарыг (эндемик эсвэл эпидемийн) тодорхойлдог. График ба її zastosuvannya-ийн спектрийн онолыг монографид авч үзсэн болно.

Шинжилсэн оюун ухааны матрицуудын хүч чадлын талаар та юу хэлж чадах вэ?

AMm матрицыг нэг дор оруулах боломжтой

de - матриц, N x N нэгжээр нугалж, яг maє нэгж

нам гүм газар, de in Amm зогсож тэг.

Матрицын a) спектрийг хялбархан тооцдог.

a(t) = (0, M).

Жижиг M спектрийн матрицуудыг тунгаар хэмжихэд Амм нь "ойрхон" байх болно. Ижил төстэй операторуудын аргыг (div.: ) ашиглах нь "хамгийн тохиромжтой" объектыг бүдгэрүүлэхийн тулд ийм зүйлийн спектрийн хүчийг олж харах боломжийг олгодог алгебрийн элементийг олж мэдэх, энэ нь хэт их анхаарал татсан хүмүүст изоспектр юм. Энэ нь бүтцийг тооцоолоход илүү тохиромжтой байж болох тул нийтлэлд доромжилсон теоремыг авчирсан болно.

Теорем 1. М< М2, тогда спектр матрицы Амм можно представить в виде объединения а (Амм) = а! и а2 непересекающихся одноэлементного множества а! = = {Л!} и множества а2, удовлетворяющих условиям:

ai C (ce R; | c - N |< 4VМ Ü2 С |ц е C; |ц| < 4у/М

2. Нотолгоо

Урд хэлбэрээ өөрчлөх

Нотолгоо нь Аммтай адил матрицын сэдэл дээр суурилдаг боловч хүч нь "илүү энгийн" юм. Банах алгебр С дахь шугаман бус тэгшилгээний шийдлүүдийг энгийн давталтын аргаар (жишээ нь хуваах) гаргадаг. L!, L2 матрицуудын ижил төстэй байдлыг урвуу матрицын суурь ба LS = IL2 гэсэн утгаар ойлгодог. Ижил төстэй матрицууд нь изоспектр (тэдгээрийн спектрийг сонгосон). Урагш өөрчлөлтийг хийцгээе.

Лемма 1. 1 секундын матриц

Матрицтай төстэй

Нарийвчилбал, үндсэн ортогональ матриц i нь sho = ЫLI-!.

авчирч байна. Чөлөөт утга 0 v_dpov_daє N – 1 бие даасан чадлын вектор /! = (1, -1, 0, ..., 0), ..., -! = (0,..., 0,1, -1) ба матрицын N чөлөөт утгыг = (1,..., 1) чадлын вектороор өгнө. Грам-Шмидтийн ортогоналчлалыг тогтоосны дараа бид H]_,..., : ортонормаль системийг хасна.

= (1,..., 1)

2)(М -1 1) ■1)М

2)(М -1 1) ■1)М

2) (М -1 1) y / (" -1 ■1) М

^(М -2 -2)(М -М 1) ■1)М

Ийм байдлаар Lmm харааны матриц ижил төстэй байна матрицууд A-B, de B Матрицын ортогональ байдал өгөгдсөн ба чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Матрицын хуваагдал ба үр дүн

Матриц s Ma^^C-ийг X блок харагдацад бичиж болно

х11 - тоо, Х12 - мөр, Х21 - багана, Х22 - орон зайн дөрвөлжин блок N - 1. Ийм блок матрицууд өөрсдөө алгебрийг хангадаг, изоморфоос гаднах ба їх нь С x СМ- орон зайны элементүүдээр натурал зэрэглэлээр үржүүлж болно. 1, изоморф Сm :

/ XtX1 + X12 ^ 2 \ \ X21X1 + X22X2)

Алслагдсан үүрэнд изоморф объектууд бие биенээ сольж болохуйц харагддаг.

Ижил төстэй операторуудын аргыг ашиглан схемийг өвлөн авах нь L - B-тэй төстэй илүү "энгийн" матрицыг E + GH ижил төстэй хувиргах матрицтай L - ZX, de E e C - нэг матриц, Z, G: C ^ C - шугам -

Шийдвэрийн явцад сонгогдсон Ma ^ ^ C алгебр дээр ажилладаг оператор байхгүй, үүнээс гадна З нь проектор (З2 = З),

LGH - (GH) L \u003d X - ZX түвшинг хангадаг. Лемма 2. З ба Р операторуудын араас томьёо

(Xt 0 \ ^0 X22),

Хичээл 1. Блок-диагональ матрицын спектр L - JX = ^^ 0Xn x) є

її диагональ блокуудын спектрийг нэгтгэх:

a(A - JX) = (N - xn] U a(X22).

авчирч байна. GH \u003d (r11 (^) r12 (v)) томъёоны хувьд P dіє гэж үзье.

\G21(^) Г 22))

LGH - (GH) L \u003d (-N YX)

GC-ийн хувьд ижил түвшнийг тохируулсан

- - "= - (-gі%) 0 .

nal блокууд Khts i X22, энэ нь хүлээн зөвшөөрөгдөх юм

Дараа нь J нь X ~ (^31 ^12) e MatrNC-д хоёр диаго-оос бусад бүх зүйлийг тэглэж болно.

Г Л Н V-^21 0) ■

Одоо бид L-B ба L-JX матрицуудын ижил төстэй байдлыг бичнэ.

(L - V) (E + GC) = (E + GC) (L - JX), X e MatrNC. (нэг)

Лемма 3

X \u003d VGH + B-(GH) (3 (B (E + GH))), X e MatrNC. (2)

авчирч байна. Тахир гар, жигд байдлыг (1) нэг дор өөрчлөх боломжтой

X = VGH + B - (GH) JX. (3)

X viconano (3) гэж үзье. Тоди, враховючи паритет J((ГХ)JX) = 0, хасах паритет

JX \u003d LV + J (VGH) \u003d 3 (V (E + GH)). (дөрөв)

Энэ вирусыг арагш нь илгээж (3), аваад (2). Үүний нэгэн адил zastosovuyuchi хүртэл тэгш байдлын аль аль нь хэсэг (2) оператор J болон vrakhovuchi, schcho J((ГХ)3(В(Е + ГХ)))) = 0, энэ нь боломжтой (3).

Голын баруун хэсгийн ойролцоох Вираз (2) чухал ач холбогдолтой

F (X) \u003d VGH + B- (GH) (3 (B (E + GH)))).

Одоо дуулах сэтгэлгээний хувьд F: Ia^mS ^ Ia^mS-ийн шугаман бус хувиргалт нь төв нь тэг (tobto F (P) C P) байх P C Ia^mS хувирамтгай хувь хүн бус дажгүй байж болохыг харуулах болно. нөгөө талаас шахаж байна.

Ia^mC ||-д дэд үржвэрийн нормыг авч үзье ■|| (энэ нь сандралыг хангадаг хэм хэмжээ юм ||^L2|).< ||Д1||||Д2|| при всех А\, Л2 € € Matr мС). Нам нужно найти такой радиус г >0, sho s ||X||, ||Y ||< г выполнялись бы неравенства ||Ф(Х)|| < г и ||Ф(Х) - Ф(У)|| < дЦХ - У||, д € (0,1). Обозначим в = ||В||, у = 8ПР||Х || = ! ||ГХ ||. Лемма 4. Пусть ув < 4, тогда шар

P = (X € Ia^mC; | | X | |< Го} ,

0 <Г° =-^-< 4в,

сэтгэлийг хангадаг F (P) Z P. Баталгаа. Илэрхий зөрчил

||F(X)||< вУ2|Х||2 + 2ву|Х|| + в. Значит, если г удовлетворяет неравенству

vv2g2 + (2vv - 1)g + v< 0, (5)

дараа нь ||Ф(Х)||< г при всех ||Х|| < г. Если ув < то дискриминант А = 1 - 4ув соответствующего уравнения положителен и его корни вещественны. Из знаков коэффициентов возникшего многочлена видно, что оба корня положительны. Следовательно, наименьший положительный г, удовлетворяющий неравенству (5), есть наименьший корень соответствующего уравнения:

1 - 2 uv - V! - 4v

враховучи ув< 4, имеем г° < 4в.

Үүнтэй адилаар Лемагийн эхлэл сэргээгддэг. Лемма 5< тогда Ф - сжимающее отображение:

||F(X) - F(U)||< дЦХ - У||, Х,У € П,

d \u003d (1 + 2y °) uv< (1 + 8ув)ув < 4.

авчирч байна.

||F(X) - F(U)|| = ||BG(X - Y) + (GH)(VDH + B) - (GU)(BDU + B)\\<

< ву\\Х - У|| + ву2||Х -У||||Х + У|| < < ву|Х - У|| + 2гсву2||Х - У||.

Энд vikoristano атаархал

(GH)Z(BGH) - (GU)Z(BDU) = 1 [G(X - Y)Z(BG(X + Y)) + G(X + Y)Z(BG(X - Y))]

Zvіdsi i z Баначийн теорем viplivaє lem-ийн зөрчилгүй цэгийн тухай. Лемма 6

P = (X e Ma ^ C; | | X | |< Гд}

үүнээс гадна, нэг уусмал X ° тэнцүү (2), энэ нь дарааллын хил хязгаар юм (Fk (0); e M), de Fk \u003d F Fk-1 - найрлага. Дүгнэлт 2. L - B матриц нь L - ZX блок-диагональ матрицтай төстэй.

Хэнд ялах вэ гэж бодоорой.

a (L -B) \u003d (X - w? 1) i a (-X2 ° 2),

x°n e M, |x?1|< Го < 4в, а (-^2°2) С (ц е С; |ж| < го < 4р}.

авчирч байна. L - B матриц нь диагональ L - ZX ° -тай төстэй бөгөөд тэдгээрийн спектрийг авдаг. L - ZX матрицын спектр нь диагональ блокуудын спектрүүдийн хослол юм. Нормативын дэд үржвэр дээр үндэслэн маш их зөрчилтэй байдаг

spr(X°) = max |A|< ||Х°|| < гд.

Нэмж дурдахад, x^-ийн утга нь ярианы дарааллын хил хязгаартай адил хэллэг юм.

Нарешти, гол теоремыг тасалдалгүйгээр батлах хүртэл эргүүлье.

Теоремын баталгаа 1. Баталгаажуулахын тулд дэд үржвэрийн нормыг сонгох нь хангалтгүй байв. Диагональ хэлбэрээр авчирсан I матриц нь ортогональ, ТТ эсвэл I-1-ээр үржүүлсэн нь изометрик гэдгийг анхаарах нь зүйтэй. Отже, ||Б|| = CV mi | |. Нээлттэй орон зайн Frobenius нормыг хараарай

||-||^, томъёогоор тодорхойлогддог ||X= ^^^x^^, X = (x^) e Ma^^yC. Вон бол дэд үржвэр юм. Vmi-г дангаар нь z M нэмдэг

ß = \\ in \\F = \\Bmn \\f =

Хүндэтгэсэн атаархал бас илт

(0 Xi2\ V-^21 0)

Якчо у/м< , то выполняются условия леммы, причем г° < 4\/~М. Это значит,

юу a(Amm) = a! та а2, де а! = (L C M, |LX - N|!}< 4v/M, а2 С {ц € С; |ц| < 4v/M}, а! П а2 = 0. Теорема доказана.

Ашигласан материал

1. Баскаков, A. G. Шугаман операторуудын гармоник шинжилгээ / А. Г.Баскаков. - Воронеж: Воронежийн үзэмж. барьж байна un-tu, 1987. - 165 х.

2. Баскаков, A. G. Хагарах бус операторын коэффициент бүхий шаталсан дифференциал операторыг хуваах / A. G. Баскаков // Үндсэн ба хэрэглээний математик. - 2002. - T. 8, No 1. - C. 1-16.

3. Цветкович, Д.М. Графикийн спектр: онол ба хэрэглээ (3-р хувилбар) / Д.М.Цветкович, М.Дооб, Х.Сакс. - N.Y.: Wiley, 1998. - 368 х.

4. Бодит амьдрал дахь эпидемиологийн хөгжил: хувийн үнэ цэнийн үзэл бодол / Y. Ван, Д. Чакрабарти, К. Ван, С. Фалутсос // Найдвартай тархсан системийн 22 дахь олон улсын симпозиум, 10-р сарын 10-ны өдөр. 2003. Процесс. - 2003. - P. 25-34.

1. Баскаков А.Г. Шугаман операторуудын зохицолын шинжилгээ. Воронеж, Воронежийн улсын их сургуулийн хэвлэл, 1987. 165 х.

2. Баскаков А.Г. Хязгааргүй операторын коэффициент бүхий түгшүүртэй дифференциал операторыг хуваах. Фундаментална и прикладна математика, 2002, боть. 8, үгүй. 1, х. 1-16.

3. Cvetkovic D.M., Doob M., Sachs H. Spectra of Graphs: Theory and Applications (3-р хувилбар). N.Y., Wiley, 1998. 368 х.

4. Ван Ю., Чакрабарти Д., Ван С., Фалутсос C. Бодит сүлжээн дэх тахал тархалт: Eigenvalue Viewpoint. Найдвартай тархсан системийн 22 дахь олон улсын симпозиум, 10-р сарын 2003. Процесс, 2003, х. 25-34.

БАРАГ БҮРЭН Графикийн зэргэлдээх матрицын спектрийн тухай

Сергей Викторович Козлуков

Воронеж улсын их сургууль [имэйлээр хамгаалагдсан]

Их сургуулийн гудамж, 1, 394000, Воронеж, ОХУ

хийсвэр. AMn нь N x N матриц N2 - M нэгж ба M тэг байг. Зөөлөн матриц болгон авч үзвэл AMn нь N орой дээрх гогцоотой бүрэн диграфтай тохирч, N2 ирмэгээс зарим M-ийг хассан. Зарим

Тооллогын чухал эрх мэдэл нь спектрээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Ван болон бусад хүмүүсийн өгзөгний хувьд. сүлжээнд вирусын тархалтын салангид хугацааны загварыг санал болгосон. Миний загварт вирус эдгэрэх болон халдварын түвшин босго хэмжээнээс доогуур эсвэл түүнээс дээш байхаас хамаарч үхэх эсвэл удаан үргэлжлэх болно. Ван болон Ин. Гурав дахь эгнээ нь сүлжээний графикийн матрицын зэргэлдээх спектрийн радиус, өөрөөр хэлбэл гэж би хэлж чадна. йогийн тулааны үнэ цэнийн хамгийн дээд гадаад үнэ цэнэ. Цветкович нар спектрийн графикийн онолын талаар илүү тааламжтай тайлбар, цаашдын судалгааг хийжээ. .

Энэ материал нь ийм матрицын спектрийн шинж чанарыг шинжилдэг. AMN матрицыг AMn = Jn - BMN, de Jn є N x N хэлбэрээр илэрхийлж болно. JN-ийн спектрийг хялбархан томъёолж болно: JN = NJ, тэгэхээр L(L - N) нь JN-ийн хамгийн бага устгах олон гишүүнт бөгөөд Jn спектрийн суурь нь a(JN) = (0,N) юм.

Жижиг нөхөрлөлийн хувьд AMN-ийн хувийн үнэ цэнэ нь JN-тэй "ойрхон" байх болно. Энэ аргын хувьд ижил төстэй операторууд ялалт байгуулдаг, учир нь тэдгээр нь алгебрийн аль нэг элементийг харааны хувьд ижил төстэй байдлаар таних нэг зорилготой (ганц ялгаа нь чухал эсэхээс үл хамааран) нэг "хялбар" боловсруулах боломжийг олгодог. "бүтэц. Энэ аргын тусламжтайгаар дараах теорем батлагдсан болно.

Теорем. М< N2, then the spectrum of AMN can be represented as a disjoint union a (AMN) = a1 U a2 of a singletone a1 = {Л1} and the set a2, satisfying the following conditions:

CTi (c e R; | c - N |< iVM a2 С |ц e C; |ц| < А^М}.

Түлхүүр үгс: ижил төстэй операторын арга, график спектр, хувийн утгыг нутагшуулах, Жорданы хэвийн хэлбэр, шугаман бус тэгшитгэл, агшилтын онол.

Sukupnіst її хүчирхэг утгууд.Див. бас Онцлог баялаг нэр томъёоматрицууд.

• - Дворядни цогцолбор Гермитийн матрицууд Эд хөрөнгийн тодорхойлолтод зориулж В.Паули танилцуулав. механик агшин зуурын төсөөлөл. электроны момент...

  Физик нэвтэрхий толь бичиг

• - r тоо нь өгөгдсөн матрицаас зарим мөр, эгнээнд авсан нэг rx r -матрицыг, тэгийн үзэмжийг, хэмжээсийн бүх матрицын тэмдэглэгээг хүлээн авах ...

  Физик нэвтэрхий толь бичиг

• - язгууртны цогцолбор постгермитийн коэффициентийн матрицууд. Ээрэх механикийн тодорхойлолтод зориулж Гэгээн Паулын танилцуулга. электроны момент ба соронзон момент...

  Математик нэвтэрхий толь бичиг

• - spіvvіdnoshennyam-тай холбоотой Усны дарааллын Аі квадрат матрицууд = S-1AS, de S - ижил эрэмбийн матриц нь ямар нэгэн байдлаар вирусгүй байдаг. P. m., ижил зэрэглэлийн нэг i, ижил vyznachnik нэг p, ижил шинж чанартай нэг i.

  Математик нэвтэрхий толь бичиг

• - Raven's Progressive Matrices - Английн сэтгэл судлаач Ж.Рэвэн 1938 онд боловсруулсан тестийн батерей. Шинжлэх ухааны роботууд дээр суурилсан оюун ухаантай тэнцэх оношлогооны хувьд аналоги байдлаар.

  Сэтгэл судлалын толь бичиг

• - Үхлийн радиус - .Нимгэн хуудас материал байрлуулсан гүн нягт матрицын гадна ирмэгийн радиус.

  Металлургийн нэр томьёоны тайлбар толь

• - Англи хэл. дэвшилтэт матрицууд, Raven; шинэ. Progressionsrnatrix von Raven...

  Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

• - диагональ матрицын элементүүдийн нийлбэр.
• - пивот матрицын тоон утгатай zastosovetsya алгоритм. Шугаман системийг шийдвэрлэх асуудлын нэгэн адил тоон дарааллын аргуудыг шууд ба давталттайгаар ашигладаг ...

  Математик нэвтэрхий толь бичиг

• - div. Мутацийн zsuvu хүрээ "...

  Эмнэлгийн гайхалтай толь бичиг

• - "... Цахим диафрагм нь PZZ-матрицын бүтцийн элемент бөгөөд гэрэлтүүлгийн түвшний дагуу уринш дахь шилэн чийдэнг автоматаар тохируулах боломжийг олгодог.

  Албан ёсны нэр томъёо

• - "... Электрон хаалт нь PZZ-матрицын бүтцийн элемент бөгөөд энэ нь цахилгаан цэнэгийн хуримтлалын хугацааг өөрчлөх боломжийг баталгаажуулдаг.

  Албан ёсны нэр томъёо

• - n дарааллын A і B квадрат матрицууд, spіvvіdnoshennyam B = P-1AP-тай холбоотой, де R - ижил дарааллын матриц нь ямар нэг байдлаар онцгой биш юм ...

  Агуу Радианскийн нэвтэрхий толь бичиг

• - матрицын минорууд дахь тэг хэлбэрийн хамгийн том дараалал.

  Их нэвтэрхий толь бичиг

• - упо / ри-ма / триці, упо / рив-ма / триц, од. упо/р-ма/триця, упо/ра-матри/ци,...

  Добре. Окремо. Зураасаар. Словник-довидник

• - ...

  Зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг-довидник

"СПЕКТРИЙН МАтриц" номонд

Эхний матрицын хүмүүсийн хувьд амьдралын зохистой: Аз жаргал ба Энх тайвны матриц

зохиолч Анжелит

Эхний матрицын хүмүүсийн хувьд амьдралын зохистой: Аз жаргал ба тайван байдлын матриц Эхний матриц - аз жаргал ба тайван байдлын матриц нь бидний өдөр тутмын амьдралдаа биширдэг өөрийн гэсэн ололт амжилтаар дүүрэн байдаг, тэдгээрт санаа зовох хэрэггүй, бид хэрхэн хийхийг хүсч байна яв. Нэг удаа, хэрэв миний машин дотор байсан бол

Өөр матрицын хүмүүсийн хувьд амьдралын зохистой: Матриц тэвчээр ба Нагромаження

Сайхан амьдралын томъёо номноос. Амьдралын матрицад туслахын тулд таны эелдэг байдлыг хэрхэн дэмжих вэ зохиолч Анжелит

Өөр матрицын хүмүүст амьдрах зохистой: Матрицын тэвчээр ба хуримтлал Өөр нэг матриц - Матрицын тэвчээр ба хуримтлал нь бидэнд сайхан амьдрах чадварыг өгдөг. Эхлээд харахад өөр матрицын амьдрал нь хүн бүрийн хувьд илүү чухал, доогуур юм шиг санагддаг

Гурав дахь матрицын хүмүүсийн хувьд амьдралын зохистой байдал:

Сайхан амьдралын томъёо номноос. Амьдралын матрицад туслахын тулд таны эелдэг байдлыг хэрхэн дэмжих вэ зохиолч Анжелит

Гурав дахь матриц - Тэмцэл ба эрч хүчтэй байдлын матриц нь өөрийн давуу талтай, ялангуяа амьдралын түвшинд хүрсэн үед нийцдэг. Гурав дахь матрицын энерги хүртэл биднийг дээшлэх боломжийг олгодог

Дөрөв дэх матрицын хүмүүсийн хувьд амьдралын зохистой: Амжилт ба Ялалтын матрицууд

Сайхан амьдралын томъёо номноос. Амьдралын матрицад туслахын тулд таны эелдэг байдлыг хэрхэн дэмжих вэ зохиолч Анжелит

Дөрөв дэх матриц - Амжилт ба Ялалтын матриц нь онцгой ач тустай тул баян хүмүүст илүү тохиромжтой. Амжилтанд хүрэх хамгийн тохиромжтой арга, йог

зохиолч Анжелит

Эхний матрицын шинж тэмдэг - Аз жаргал ба Энх тайвны матриц

Өөр матрицын шинж тэмдэг - Матрицын тэвчээр ба хуримтлал

Карматерапия номноос. Өнгөрсөн амьдралын баяр зохиолч Анжелит

Өөр матрицын шинж тэмдгүүд - Тэвчээр ба хуримтлалын матрицууд Өөр матрицын шинж тэмдгүүдийн талаар мэдээлэх цаг болжээ. Би өмнө нь хүснэгтэд гурван удаа тэмдэглэсэн шиг матрицуудын "магадлал-асуудалгүй" гэж бооцоо тавихын тулд та нартай юу хийх ёстойг би таамаглах болно. Үүний тулд бидэнд юу хэрэгтэй байна

Гурав дахь матрицын шинж тэмдэг - Тэмцэл ба гэгээрлийн матрицууд

Карматерапия номноос. Өнгөрсөн амьдралын баяр зохиолч Анжелит

Гурав дахь матрицын шинж тэмдэг - Тэмцлийн матриц

Карматерапия номноос. Өнгөрсөн амьдралын баяр зохиолч Анжелит

Дөрөв дэх матрицын шинж тэмдэг - Амжилт ба Ялалтын матрицууд

Эхний матрицын хөтөлбөрүүд - Аз жаргал ба Энх тайвны матрицууд

зохиолч Анжелит

Эхний матрицын хөтөлбөрүүд - аз жаргалын матриц болон анхны матрицын тайван Чухал ач холбогдол бүхий хөтөлбөрүүд, бид эрх мэдлийн хүчийг тааж, шинж тэмдгүүдийг obov'yazkovo хэрэгтэй. Бүх хүмүүс өөр өөр байдгаас үл хамааран эдгээр нь дуулах ертөнцөд бидний бүх хүч чадлын шинж тэмдэг юм. Энэ бүгд сайн,

Өөр матрицын програмууд - дуусгавар ба хуримтлалын матрицууд

Таны pіdsvіdomosti-ийн гоо үзэсгэлэн номноос. Амжилт, эерэгээр өөрийгөө програмчил зохиолч Анжелит

Өөр матрицын хөтөлбөрүүд - Тэвчээр ба хуримтлалын матрицууд Та бид хоёр амьдралаа сайжруулах дуртай олон эерэг чанаруудынхаа өшөөг авахын тулд өөр матриц болгон дахин дахин сольсон. Мэдээжийн хэрэг, бид матрицын энергийг зөв хэрэглэж байгаа мэт.Мөн гол эерэг

Гурав дахь матрицын хөтөлбөр - Тэмцэл ба эрч хүчний матриц

Таны pіdsvіdomosti-ийн гоо үзэсгэлэн номноос. Амжилт, эерэгээр өөрийгөө програмчил зохиолч Анжелит

Гурав дахь матриц нь эерэг хөтөлбөрүүдэд эерэг дэмжлэг үзүүлдэг олон тооны эерэг чанаруудаар дүүрэн байдаг. Та бид хоёрыг оруулахын тулд цөөхөн хэдтэй нь тохиролцож байна

Эхний матрицын хүний ​​онцлог шинж чанарууд - Аз жаргал ба Энх тайвны матриц

Таны pіdsvіdomosti-ийн гоо үзэсгэлэн номноос. Амжилт, эерэгээр өөрийгөө програмчил зохиолч Анжелит

Анхны матрицын хүний ​​онцлог - Аз жаргалын матриц, энэ төрлийн тайван хүн хамгийн хүүхэд шиг аашилдаг. Бид ямар ч нөхцөл байдалд хэт их тайвширч, гүн гүнзгий, гэмгүй тайван байдлыг персоматрик хүний ​​зан авираар харуулж чадна. Тэгээд бай

Өөр матрицын хүний ​​онцлог шинж чанарууд - Матрицын тэвчээр ба хуримтлал

Таны pіdsvіdomosti-ийн гоо үзэсгэлэн номноос. Амжилт, эерэгээр өөрийгөө програмчил зохиолч Анжелит

Өөр матрицын хүний ​​онцлог - Матриц Тэвчээр ба Нагромаження Өөр нэг матриц хүн тэвчээртэй, стриман мэт сонсогддог бөгөөд энэ нь заримдаа өөрийгөө тусгаарлах мэт харагддаг. Але таныг шинэхэнд хэр найдвартай, тантай хэрхэн ярихыг зөвшөөрч, бие биетэйгээ ярилцаж болохыг харуулахыг шаарддаг.

Гурав дахь матрицын хүний ​​онцлог шинж чанарууд - Тэмцэл ба эрч хүчтэй байдлын матриц

Таны pіdsvіdomosti-ийн гоо үзэсгэлэн номноос. Амжилт, эерэгээр өөрийгөө програмчил зохиолч Анжелит

Гурав дахь матрицын хүний ​​онцлог шинж чанарууд - Матрицын тэмцэл ба оруулга Гурав дахь матрицын хүн бол дүрийнхээ төлөө тэмцэгч юм. Иогийн зан үйл нь дарсыг амьдралаар хамгаалдаг зарчмаар хамгаалагддаг. Зарчмуудыг ёс суртахууны өндөр чанартайгаар хүндэтгэдэг бөгөөд үүний төлөө хичээдэг

Дөрөв дэх матрицын хүний ​​онцлог шинж чанарууд - Амжилт ба Ялалтын матриц

Таны pіdsvіdomosti-ийн гоо үзэсгэлэн номноос. Амжилт, эерэгээр өөрийгөө програмчил зохиолч Анжелит

Дөрөв дэх матрицын хүний ​​онцлог - Амжилтын матриц ба Перемоги Чотирёохматрикна, хүн бүрэн сэтгэл хангалуун байдаг, учир нь түүний амьдралд тэр бүх зүйлд хүрч, зан чанараараа хүч чадлыг олж авдаг. Тохиромжтой сэтгэлийн байдалд ийм хүний ​​бүх амьдрал ариун, адже болж хувирдаг

Вичи

Аливээ А- Сүүлийн шугаман орон зайд ажилладаг оператор Э. p align="justify"> Операторын спектр (тооцох дуу чимээ) нь бүх боломжит утгуудын хувийн бус утга юм.

Операторын спектрийн дунд та хүч чадлын хувьд ижил биш хэсгүүдийг харж болно. Голуудын нэг ангиллын спектрє иймэрхүү:

Тасралтгүй спектр

Тасралтгүй спектр - физик хэмжигдэхүүний утгын бүх спектр, салангид спектрийн утгаараа хэмжигдэхүүний утгын утгыг системийн арьсны чийгийн төлөвт хуваарилдаг бөгөөд системд хязгааргүй бага өөрчлөлт гарах болно. физик үнэ цэнийн хязгааргүй бага өөрчлөлтөд хүргэдэг. Физик хэмжигдэхүүн хэрхэн ажиллах вэ: координат, импульс, энерги, тойрог замын импульс гэх мэт. Ψ Үүнийг салангид спектртэй магнитудын чадлын функцүүдийн ард цувралаар байрлуулж болно, мөн тасалдалгүй спектртэй магнитудын чадлын функцүүдийн систем дээр интеграл хэлбэрээр байрлуулж болно.

Див. бас

• Алгебрийн спектр

Уран зохиол

• Математикийн эниклопедиа. - М .: "Радянскийн нэвтэрхий толь бичиг", 1984. - T. 5 Slu - Ya. - 1248 х.

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичигт ижил "Операторын спектр" -ийг гайхшруулаарай:

Төгсгөлийн вектор орон зайд шугаман хувиргалтын матрицын хувийн бус хүчийг ойлгох шавхагдашгүй чиг хандлагыг онцлон тэмдэглэв. Хэрэв M нь ийм n X n матриц бол її зөв байна. нийлмэл тоонуудын утгууд, зарим нь ur pіє має ... ... Физик нэвтэрхий толь бичиг

операторын спектр- Operatoriaus spektras statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. оператор спектр vok. Operatorspektrum, n rus. Операторын спектр, m pranc. Spectre d'un operateur, m … Физикийн нэр томъёо

- (математик) λ тоонуудын цуглуулга бөгөөд Т λЕ оператор (de Т нь шугаман оператороор өгөгдсөн, Е нь нэг оператор) эргэх операторын эргэн тойронд хаанаас ч олох боломжгүй. Ойлгох S. o. є zagalnennya sukupnostі ойлголт. Агуу Радианскийн нэвтэрхий толь бичиг

Spectrum: Smist 1 Математик, физик 2 Сансрын судалгаа 3 Бараа бүтээгдэхүүн, бүтээгдэхүүн ... Wikipedia

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай байж болно, div. Спектр (утга). Спектр (лат. Spectrum "bachennya") физикийн хувьд физик хэмжигдэхүүний үнэ цэнэ (дууны энерги, давтамж, масс). Ийм ... ... Википедиагийн график илрэл

Ийм операторын хувьд тоо хуримтлуулах оператор нь хаа сайгүй ижил obmezhenny vorota байж болохгүй. Энд A нь Баначийн X цогцолборын шугаман оператор, I нь X-тэй ижил оператор юм. Хэрэв X-д ямар нэгэн хаалт байгаа бол түүн рүү залгана уу ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

- ( Т t) фазын орон зайтай Xі инвариант арга нь zsuvu (Uif)(x) = f дахь нэгдмэл (изометрийн) операторуудын дэд бүлэгт (эсвэл бүлэгт) багтах янз бүрийн спектрийн инвариант ба спектрийн чадлын нийтлэг нэр юм. (Ttx)v…… Математик нэвтэрхий толь бичиг

асран хамгаалагчийн хүрээ- Хамгаалагчийн оршин тогтнох чадвартай операторын спектр дээр суурилсан биет системд өгч болох хамгаалагчийн хувийн бус үнэ цэнэ. Анхаарна уу. Стэн, ямар Deak чанд ижил утгатай хадгалж болно, ... Политехникийн нэр томъёоны тайлбар толь

Шилэн шилний призмээр дамжин өнгөрсний дараа Sonyachne гэрэл.

Номууд

• Гибрид металл-диэлектрик бүтэц, Погарский Сергий. Энэхүү монографи нь хавтгай ба эзэлхүүний хэлбэрийг бий болгох эрлийз металл-диэлектрик бүтцийн электродинамик хүчийг онолын болон туршилтаар судлахад зориулагдсан болно.

Шугаман операторын бүх боломжит утгуудын үл мэдэгдэх байдал йогийн спектр гэж нэрлэдэг.

Шугаман операторын спектр нь шинж чанартай баялаг нэр томъёоны үндэс болгон унах.

17° . Нарийн төвөгтэй вектор орон зайд В арьс ширний шугамын оператор ГЭХДЭЭДараа нь нэг хүчирхэг вектор i-г ашиглахыг хүсч болно В мэдэгдэж байгаа, хүлээн зөвшөөрөгдсөн, нэг хэмжээст ГЭХДЭЭдэд орон зай

◀ Үүний үнэн зөв нь “алгебрийн үндсэн теорем”-оос тодорхой харагдаж байна.

Мөн нийлмэл орон зайн хувьд () = 0 байна Вмагадгүй бүр nүндэс, тэдгээрийн үржвэрийн тохируулгатай: λ 1 , λ 2 , …, λ n .

-тай. Нөгөө талаас

18° . λ 1 + λ 2 + … + λ n = а 11 + а 11 + … + а nn = tr А= Sp А.

Англи шинэ.

◀ Хэмжээ а 11 + а 11 + … + а nn дараагийн матриц гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ, Ale учир нь Онцлог олон гишүүнт суурь i Sp-ийг сонгоход оршдоггүй Асуурь руу бүү ор дараагийн шугамын оператор руу залгана.

19° . Аливаа шугаман операторын хувьд ГЭХДЭЭнээлттэй байдлын ярианы орон зайд n>2 үндсэн нэг ертөнц эсвэл хоёр ертөнцийн инвариант дэд орон зай.

◀ Хэрэв () = 0 Хэрэв бид нэг ярианы үндэс λ 0 байвал оператор ГЭХДЭЭхүчирхэг i вектор байж болох тул нэг хэмжээст өөрчлөгддөггүй ГЭХДЭЭдэд орон зай

Хэрэв () = 0 бол ярианы үндэс байхгүй бол нийлмэл язгуур  =  +  би. Виришюючи чодо цгого λ систем Аз = z, бид нарийн төвөгтэй шийдлийг мэднэ z = x + iy. Тобто.

А(x + iy) = ( + би)(x + iy) = (x – цагт) + би(x + y).

Үүнтэй адил тэгш байдлын баруун, зүүн хэсгийн яриа болон тодорхой хэсгийг хасна.
. Энэ нь ойлгомжтой ℒ( x, y) є дэд орон зай, операторын инвариант сонголт ГЭХДЭЭ.

Одоо би шугаман операторын спектрийн талаар өөр хоёр мэдэгдлийг хэлье.

20° . Якшо λ 1 , λ 2 , … , λ n– операторын хүчинтэй утгууд ГЭХДЭЭ, тэдгээрийн үржвэрийн тэгшитгэлтэй ба е(т) тэгвэл нэлээд баялаг нэр томъёо е(λ 1), е(λ 2), …, е(λ n ) – операторын бүх хүчинтэй утгууд е(ГЭХДЭЭ), ба олон талт байдал е(λ би) өөрөө i олон талт λ і (Vlasnі векторууд өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөггүй).

Өөрөө авчир.

21° . Якчо Өө = λ 0 X i deA  0, тэгвэл ГЭХДЭЭ-1 ба түүнээс дээш
.

◀ Өө = λ 0 X. Диемо оператор ГЭХДЭЭ –1 . ГЭХДЭЭ –1 Сүх = λ 0 ГЭХДЭЭ –1  =ГЭХДЭЭ –1 x.

Бүлэг 8. Суурийг өөрчлөх үед дахин боловсруулах

§нэг. Матриц ба шилжилтийн оператор

Шугаман орон зайд ирээрэй Вдаалгаврын үндэс ( д 1 , д 2 , д 3 , …, д n) болон өөр үндэслэл ( е 1 , е 2 , е 3 , …, е n). Векторуудыг байрлуулах е ксуурийн ард ( д би }:
, дараа нь.
.

Лекц 7. Операторын спектр. Сул дорой амьдрал. рефлекс чадвар

7.1. Операторын спектр

7.2. Сул дорой амьдрал. рефлекс чадвар

Операторын спектрийн тухай ойлголтыг, өөрөөр хэлбэл матрицын чөлөөт тоонуудын үржүүлэгчийн тухай ойлголтыг танилцуулъя.

Томилгоо 7.1.Аливээ А : X ® Xоператор бөгөөд Банах өргөн цар хүрээтэй Xталбайн дээгүүр C. Krapka лÎ C гэж нэрлэдэг операторын тогтмол цэг А, операторын хувьд ( л I – А) – 1 үндсэн X. Нэргүй тогтмол цэгүүдийг зааж өгсөн болно r (А) гэж нэрлэдэг Операторын шийдэгчийн хувиршгүй байдал А.

Томилгоо 7.2.Цогцолбор тоо лтогтмол биш , гэж нэрлэдэг спектр. Нэргүй спектрийн цэгүүд с (А) оператор Адуудсан Операторын спектр А. ийм байдлаар, с (А) = C \ r (А).

-д томилогдсон r (А) функц ( л I – А) – 1-ийг операторын шийдвэрлэх чадвар гэнэ Амөн илэрхийлнэ Р(л; А). Функц болон операторуудын утгыг солилцдог.

Теорем 7.1.Шийдвэрлэх чадвартай хувь хүнгүй r (А) оператор Анээлттэй. Чиг үүрэг Р(л; А) нь операторын үнэ цэнэтэй аналитик функц юм r (А).

авчирч байна.Аливээ л- Тогтмол цэг r (А) тэр м- Be-yake цогцолбор тоо ийм | м | < || Р(л; А) || - нэг. Юуг харуулъя л + м Î r (А). Цэ гэдэг нь нүүр царайгүй гэсэн үг r (А) Vіdkryto. Үнэн,

(л + м) I – А = м I + (л I – А) = (л I – А) [I + м Р(л; А)]. (1)

Теорем 2.3-ын дагуу мтэгш байдлын (1) баруун талд байрлах оператор нь буцах оператороор хүрээлэгдсэн байж болно

Өөрийн хөрөнгө (2) функцийг харуулж байна Р(л; А) арьсны цэгийн ойролцоо л Î r (А) улсын эгнээнд тавигдсан, tobto. Р(л; А) нь асаалттай оператор аналитик функц юм r (А). Теорем дууссан.

Теорем 7.2.Хэт том операторын спектр Ає C дахь хоосон бус авсаархан үржүүлэгч.

авчирч байна.Юуг харуулъя с (А) Ì { лО С: | л | £ || А||). Якчо | л | > || А||, дараа нь теорем 2.2-оос оператор ( л I – А) = л (I – А /л) араатан би

(л I – А) – 1 = л – 1 (I – А /л) – 1 =.

Отже,

|| Р(л; А) || £(3)

төлөө | л | > || А ||.

Тиймээс шийдвэр гаргах чадвартай хүн шиг r (А) дуудлага, с (А) нь C хэл дээрх битүү олонлог тул олонлог нь авсаархан байна. Юуг харуулъя с (А) ¹ Æ. Үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй гэж хэлье. Тоди r (А) = C. Дахин хэлэхэд теорем 7.1 хүртэл, Р(л; А) нь функцийн утга учир функц нь бүхэлдээ аналитик шинж чанартай байдаг.Тиймээс энэ нь хувийн бусаар хязгаарлагддаг. Д = {лО С: | л| £2 || А||). Zgіdno z nerіvnіstyu (3), эргэн тойрон хүрээлэгдэхгүй, хувийн дүр төрхийг харуулахгүй. Д. Аав аа, || Р(л; А) || £ вбүгдэд нь лО C. Түүнээс гадна (3) -аас бид || гэдгийг харж байна Р(л; А) || ® 0 нь | л| ® ¥. Ийм зэрэглэлд, хэнд ч x Î Xболон арьс е Î X"функц j (л) = е (Р(л; А) x) є tsіla аналитик функц, fringed болон сарлагийн pragne зөрчил дээр тэг хүртэл. Лиувиллийн теоремын хувьд бид үүнийг таамаглаж байна j (л) = бүгдэд нь 0 x Î Xболон бүгд е Î X"Хан-Банахийн теоремын 4.1-ийн үр дагавараас бид үүнийг харж байна Р(л; А) = 0 ямар ч байсан лÎ C. I = (л I – А) Р(л; А) = 0. Теоремыг батлах Superechnost.

Теорем 7.3.Үүсмэл операторын спектр А" : X" ® X" zbіgaєtsya іz операторын спектр А : X ® X. Үүний крем Р(л; А") = Р(л; А)" тоонуудын хувьд л Î r (А) = r (А").

авчирч байна.Бат бөх байдлын үнэ цэнэ нь хүлээн авсан операторын чанарын шударга үнэлгээ юм (хэсэг 6.1). Теорем дууссан.

Эргэлтийн операторын тухай Баначийн теоремыг эргэн харахад л I – А Im-тэй тэнцүү байна ( л I – А) = Xби Кер ( л I – А) = (0). Тоо лє операторын спектрийн цэг А yakscho эдгээр оюун ухааны аль нэгийг ашиглахыг хүсч устгасан. Оюун санаа нь эвдэрсэн мэт нүдэн дээр уналт, спектрийн ийм төрлийн цэг харагдаж байна.

1. Тоо лдуудсан А операторын өгөгдсөн утгууд, Кер шиг ( л I – А) ¹ (0), тэгвэл энэ нь тэг биш вектор байна xтиймэрхүү А x = л x. Ийм векторыг нэрлэдэг А операторын вектороор, энэ нь утгын хүчийг харуулдаг л. Утгын хувийн бус хүчийг гэж нэрлэдэг цэгийн спектр.

2. Тоо лдуудсан операторын тасалдалгүй спектрийн цэг А, Кер шиг ( л I – А) = (0), Im ( л I – А) ¹ X, .

3. Тоо лдуудсан операторын илүүдэл спектрийн цэг А, Кер шиг ( л I – А) = (0) ба .

Ийм байдлаар цогц хавтгай бүхэлдээ огтлолцдоггүй хоёр хос үржүүлэгчид хуваагдана: уусмалгүй, цэгтэй төстэй, тасалдалгүй, илүүдэл спектр.

Хүндэтгэл 7.1.Бодит тооны талбар дээрх янз бүрийн орон зай дахь операторын спектрийг ойлгоход ижил төстэй процедурыг ашиглаж болно. Гэсэн хэдий ч ямар нэг байдлаар спектр хоосон мэт санагдаж магадгүй юм.

Жишээ 7.1.Аливээ X=C nі А : X ® X- Шугаман оператор, матрицын даалгавар М. Оператор л I – АХэрэв матриц нь вирусгүй бол энэ нь яг адилхан, бүр бага адил юм л Э – М, дараа нь. r (л) = det ( л Э – М) ¹ 0. Иймд операторын спектр Ашинж чанартай баялаг нэр томъёоны язгуураас үүссэн r (л). Цикх үндэсээс эхлээд операторын өөрийн үнэ цэнэ хүртэл арьс А, і, дахин, төгсгөлийн орон зай дахь операторын бүх спектр нь тасархай, тасалдаагүй ба илүүдэл спектрүүд хоосон байна.

Жишээ 7.2.Аливээ X = C , А x(т) = т x(т). Якчо А x = л x, дараа нь. т x(т) = л x(т), дараа нь ( т – л) x(т) º 0, од x(т) º 0. Иймээс оператор Атодорхой утгууд байхгүй бөгөөд цэгийн хүрээ хоосон байна. Якчо лП , дараа нь функц 1/ ( л – т) ямар ч функцийн хувьд i дээр тасалдалгүй байна y Î Cфункц x(т) = y(т) / (л – т) тасалдалгүйгээр, є шийдвэр тэнцүү ( л I – А) x = y. Тиймээс, сахлын толбо л, |0, 1]-ийн арын байрлалд байрладаг, є операторын тогтмол цэгүүд А. Одоо ирээрэй л- Vіdrіzka цэг. Якчо y(т) = (л – т) x(т), де x Î C, дараа нь y(л) = 0. Функцийн хувьд y 0 (т) º 1 r (y, y 0) ³ 1. Tse гэдэг нь операторын дүрс л I – А, ийм функцуудаас юу бүрддэг вэ y, maє sovnіshnі оноо би, дараа нь, үгүй C. Түүнчлэн, vіdrіzka дахь бүх цэгүүд нь илүүдэл спектрийн толбо юм.

Жишээ 7.3. X = Лп, £1 Р < + ¥, и А x(т) = т x(т). 7.2 програмын нэгэн адил оператор гэж үздэг Аямар ч тодорхой утга байхгүй лП , тэгвэл лє тогтмол утгууд. Бүх толбо нь тасралтгүй спектрийн цэгүүдээр бүрхэгдсэн болохыг харуулж байна. Deaky-д зориулсан Якшко yтэнцүү
(л I – А) x = yтэгвэл шийдвэр гаргана x(т) = y(т) / (л – т). At y 0 (т) º 1 x(т) = 1/ (л – т) би орон зайд тохирохгүй байна Лп 0 фунт стерлинг л£ 1. Дахин хэлэхэд функц yБитгий худлаа ярь би ( л I – А) 0 фунт стерлинг л£ 1 ба бүх маргааныг спектрийн утгуудаас нэмдэг. Имийн дүр төрх ( л I – А) сансар огторгуйн хаа сайгүй Лп. Ямар функцтэй вэ y(т) = 0 цэгийн ойролцоо лн, дараа нь функцийн арга замд є вон x(т) = y(т) / (л – т), юу хэвтэх вэ Лп. Ямар ч функцийн хувьд y Î Лпфункцийг дуудъя

Тоди | y – у н|| ® 0 нь n® ¥ Лебегийн интегралын абсолют тасралтгүй байдлаас. Функцүүд у нИмийн дүрд хэвтэх ( л I – А), би, otzhe, . Энэ дарааллаар сахлын цэгүүд нь тасалдалгүй спектрийн цэгүүдтэй холбогддог.

Жишээ 7.4.Аливээ X = лп, £1 Р£ + ¥, мөн оператор Атомъёогоор даалгавар А x = (x 2 , x 3, ¼) (zsuvu оператор). Oskіlki || А|| = 1, операторын спектр Арадиусын цэг дээр хэвтэж 1. Якщо А x = л x, дараа нь x = (x 1 , л x 1 , л 2 x 1, ¼). At Р < + ¥ построенная последовательность принадлежит лптэгээд хэрэв | л | < 1. Если Р= + ¥, дараалал нь худал гэж өдөөгдөж байна л¥ , би тоди, хэрэв | л| £ 1. Энэ дарааллаар, хамт Р= + ¥ операторын спектр Ає ганц бие Д = {л : | л| £ 1), үүнээс гадна спектрийн бүх цэгүүд хүчинтэй утга юм. At Р < + ¥ все внутренние точки круга Д- Операторын өөрийн үнэт зүйлс А i спектрийг хаах замаар с (А) = Д(Ө операторын спектр бүгд ижил тоо). Юуг харуулъя Р < + ¥ точки л, шо гадас дээр хэвтэж | л| = 1 нь тасалдалгүй спектрийн бүх цэгүүд, өөрөөр хэлбэл Im-ийн дүрсийг харуулж болно. л I – А) хаа сайгүй лп. Теорем 6.2-ын үр дүн 6.3-тай төстэй бөгөөд үүнд Кер ( л I – А") = (0). Операторын хувьд Абоолт А"сансарт л q, de 1 / х + 1 / q = 1 цагт 1< Р < + ¥ и q= + ¥ цагт Р= 1, би харж чадна А" у = (0, у 1 , у 2, ¼). Якчо А" у = л у deyakoї дарааллын хувьд у = (у 1 , у 2 , ¼), дараа нь 0 = л у 1 , у 1 = л у 2 , ¼ i, дараа нь, у= 0. Дараа нь Кер ( л I – А") = (0), i 1 фунт стерлинг Р < + ¥ окружность | л| = 1 нь тасалдаагүй спектрийн цэг хүртэл нэмэгддэг.