Циклийн бүлгүүдийн дэд бүлгүүд. Циклийн бүлгүүд. Sumіzhni classi, Лагранжийн теорем

Бүх элементүүд нь нэг элементийн үе шатууд тул O бүлгийг цикл гэж нэрлэдэг.Энэ элементийг батлах мөчлөгийн бүлэг О гэж нэрлэдэг. Цикл бүлэг нь тодорхой Абелийн шинжтэй эсэх.

Цикл бүлэг нь жишээлбэл, нэмэх бүхэл тоонуудын бүлэг юм. Qiu бүлгийн mi нь 2. ї tvirnoy є тоо 1 (і navit тоо - 1) гэсэн тэмдгээр илэрхийлэгдэнэ. Цикл бүлэг нь зөвхөн нэг элементээс (ганц) бүрддэг бүлэг юм.

Том бүлэгт Аливаа элементийн хавирганы тухай g хатуу g-тэй циклийн дэд бүлэг болох. g элементийн дарааллаар дэд бүлгүүдийн дараалал, zrozumіlo, zbіgaєtsya. Лагранжийн теоремын үр дүн (хуваа. 32-р хуудас) нь бүлгийн аль ч элементийн дарааллыг, бүлгийн дарааллыг (эцсийн бүлгийн бүх элементүүд нь эцсийн эрэмбийн элементүүд гэдгийг хүндэтгэн) хуваах ёстойг харуулж байна.

Үүний тулд эцсийн бүлгийн ямар ч g элементийн дараалал тэнцүү байж болно

Энгийн хүндлэл нь ихэвчлэн буруу байдаг.

Мэдээжийн хэрэг, бүлэг нь цикл бөгөөд її тогтоодог тул элементийн дараалал зөв байна. Буцаж, дарааллаар нь нэг бүлэг volody элементүүдийн, дараа нь энэ элементийн алхмууд нь өөр өөр байдаг ба тэр алхам нь бүхэлд нь Pro бүлэг.

Ми бачимо, ийм зэрэглэлд, мөчлөгийн бүлэг нь өөр өөр utvoryuyuchih нь dekilka эх болно (өөрөө, захиалга є tvernoy зарим элемент байх).

Менежер. Энгийн дарааллын бүлэг нь мөчлөгийн бүлэг юм.

Менежер. Циклийн бүлэг юу захиалж болно, жигд батлах, де - дугаарыг авчир эерэг тоонууд, жижиг бөгөөд харилцан энгийн s .

Бүх элементийн дарааллын хамгийн бага ач холбогдол бүхий үржвэрийг - дарааллаар нь kіntsevіy бүлэг байж болно, та тоог нэмж болно.

Менежер. Бүлгийн төгсгөлд ямар ч байсан бүлгийн дарааллыг хуваах тоог авчрах.

Циклийн бүлэгт тоо дарааллаар нэмэгдэж байгаа нь илт байна. Буцах, vzagali бололтой, үнэн биш. Тим нь бага биш, хатуурч байж болох бөгөөд энэ нь эцсийн Абелийн бүлгийн ангиллын мөчлөгийн бүлгүүдийг тодорхойлдог.

төгсгөл Абелийн бүлэг, аль тоо нь дарааллаар илүү дэвшилтэт, є циклийн бүлэг.

Тийм ээ, тэгье

Бүх vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї аbelії ї ї ї Захиалга, і nehay тухай - їх наад зах нь zagalne олон.

Өөр өөр анхны тоонуудын нэмэлт алхмуудын тоог задалъя:

Oskіlki тоо Ө байг, зорилгын хувьд, тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр (1) тоонуудын дунд яг өөрөөр хэлбэл хуваах нэг тоотой байхыг хүсч байна. Ө тоог g элементийн дараалал гэж үзье. Ижил элемент нь 29-р тал дээр дараалалтай байна (1-р хуваах дараалал).

Ийм зэрэглэлд Pro іsnuє бүлгийн нэг элементийг дарааллаар нь ашиглахыг хүссэн хэн бүхэнд зориулагдсан. Арьсанд зориулсан чичиргээ нь ийм элементүүдийн нэг бөгөөд таны царайг харцгаая. Zgidno z firmzhennyam, хажуу тийш нь авчрах. 29-30; Oskіlki оюун ухаанд зориулсан тоо үлдсэн нь сайн, Тим өөрөө бүлэгт зүйлийн дарааллаар элемент байдаг гэж авчирсан.Otzhe, энэ бүлэг нь мөчлөгийн бүлэг юм.

Одоо нааш ир O - мушгирсан нэг циклтэй бүлэг ба H - deak її дэд бүлэг. Oskіlki H дэд бүлгийн элемент нь Pro бүлгийн элемент эсэх, та үүнийг харж болно, de d - энэ нь илүү эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно (vzagali, sevne хоёрдмол утгатай). Бид бүх эерэг тоон хувийн бус байдлыг харж болно, аль элемент нь дэд бүлэгт хамаарах N. Oskilki ce impersonality хоосон биш (яагаад?), Дараа нь хамгийн бага тоог харуулсан h дэд бүлэг H элементийн алхам эсэх. Үнэн хэрэгтээ, маргаан үүсгэхийн тулд ижил тооны d байдаг бөгөөд энэ нь (тоо нь сөрөг байж болно). d тоог (хэт их) тоонд хуваа

Тэгэхээр хамгийн бага илүүдэлтэй учраас тэгт хүрсэн гэмтэй. Ийм байдлаар,

Тим өөрөө энэ элемент нь хатуу бүлэг H, тиймээс H бүлэг нь мөчлөгтэй гэдгийг тодруулсан. Отже, циклийн бүлгийн циклийн бүлгийн дэд бүлэг байх.

Менежер. Энэ тоог H дэд бүлгийн индекс рүү авчирч, дараа нь бүлгийн дарааллыг хуваана (О Кинцев бүлэг гэх мэт).

Хүндэтгэсэн, ямар ч dilnik хувьд, Pro бүлэгт хамгийн сүүлийн мөчлөгийн бүлгийн Q дараалал нь дарааллаар нь нэг ба нэгээс олон H дэд бүлэг (мөн дэд бүлэг нь өөрөө юм.

Эндиан циклийн бүлэг нь энгийн бөгөөд дараалал нь анхны тоо (эсвэл нэгдэл) байх нь тодорхой байна.

Циклийн Q бүлгийн хүчин зүйл (ижил бүлэг, гомоморф дүрс) нь мөчлөгт бүлэг мөн эсэх нь чухал юм.

Үүнийг батлахын тулд tvirnoi групп нь Pro tvirno группын өшөөг авдаг ухаалаг ангид үйлчлэх ёстой гэдгийг санаарай.

Zocrema, Z бүхэл тоонуудын бүлгийн бүлгийн хүчин зүйл нь цикл бүлэг мөн эсэх. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Z бүлэг нь Абелийн байдаг тул Z дэд бүлэг нь ердийн dilnik мөн эсэх. Нөгөө талаас илүү ихийг авчрах талаас нь харвал H дэд бүлэг нь мөчлөгт бүлэг юм. Өчүүхэн дэд бүлгүүдийн ард байгаа бүлгийн хүчин зүйл нь бидэнд мэдэгдэж байгаа тул бид H дэд бүлгийг ач холбогдолгүй гэж үзэж болно. N дэд бүлгийг хангасан є тоо байг. Бид эерэг тоог (яагаад?) і, мөн нэгээс их болгож чадна.

N. дэд бүлэг нь тодорхой хуваагдсан бүх тооноос бүрддэг. Тийм ч учраас хоёр тоо нь H дэд бүлгийн хувьд зөвхөн нэг нийлбэр ангилалд хамаарах хэвээр байгаа бөгөөд хэрэв ялгаа нь -д хуваагдвал, хэрэв өмхий модультай тэнцүү байх боломжтой бол (хуваа. Курс, хуудас 277). Энэ зэрэглэлд H дэд бүлгийн ангийн нийлбэр нь тоонуудын ангиудаас өөр юу ч биш бөгөөд ингэснээр та модулийн хувьд бие биенээ тэнцүүлэх боломжтой болно.

Өөрөөр хэлбэл, H дэд бүлгийн Z бүлгийн хүчин зүйл нь модулийн хувьд өөр хоорондоо тэнцүү тоонуудын ангиллын бүлэг (нэмэлт) юм. Бид энэ бүлгийг Її батлах є ангиар дамжуулан томилох ба энэ нь 1-ийн өшөөг авах болно.

Энэ нь мөчлөгийн бүлэг нь изоморф эсвэл Z бүлэг (хязгаарлагдаагүй тул), эсвэл бүлгүүдийн аль нэг нь (захиалгыг арьсаар бүрхсэн) байх нь харагдаж байна.

Үнэн, надад хэлээч - Би O бүлгийг хийдэг. Анхааралтай нь, О бүлэгт 2-р бүлгийн илэрхийлэл, гэхдээ

Хоёр (2Z, ) бүх хоёр алхамын үржүүлэх бүлгийг харцгаая, энд 2Z = (2 n | П e Z). my є нэмэлтийн бүлгийн аналог нь ихэр бүхэл тоонуудын нэмэлт бүлэг (2Z, +), 2Z = (2n | х e Z). Damo zagalne vyznachennya бүлгүүд, ийм є danі бүлгүүдийн okremi өгзөг.

Цаг товлох 1.8. Үржүүлэх бүлэг (Г,) (Нэмэлт бүлэг (G, +)) гэж нэрлэдэг мөчлөгийнЭнэ нь нэг элементийн дараалсан түвшингээс (бүх үржвэрийн) хэрхэн нэмэгддэг a e G, tobto. G=(A p | х e Z) (vіdpovіdno, G - (па | х e Z)). Тэмдэглэл: (a), уншина уу: a элементээр үүсгэгдсэн мөчлөгийн бүлэг.

Үүнийг харцгаая.

1. Үржүүлгийн масштабгүй циклийн бүлгийн өгзөг нь тогтмол бүхэл тооны мөчлөгийн бүх алхамуудын бүлэг байж болно. a f±1, воныг зааж өгсөн болон r.ийм байдлаар, ба d - (a).
2. Үржүүлгийн төгсгөлийн циклийн бүлгийн өгзөг нь С бүлэг юм үндэс n-thганцаараа алхам. Юу гээч үндэс n-thмэдэхийн тулд нэг алхам

томъёоны ард э к= cos---hisin^-, de өмнө = 0, 1, ..., P - 1. Слайд- х х

үнэхээр З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Юу гэж таах вэ? нийлмэл тоо e to, to = 1, ..., П - 1, нэг гадасны цэгээр дүрслэгдсэн байна, сарлаг Птэнцүү хэсгүүд.

3. Нэмэлт масштабгүй циклийн бүлгийн онцлог жишээ бол 1-ийн тоогоор үүсгэгдсэн Z бүхэл тоонуудын нэмэлт бүлэг юм. Z = (1). Геометрийн хувьд энэ нь тоон шугамын бүх цэгүүдийг харахад гарч ирдэг. Үнэн хэрэгтээ, үржүүлгийн бүлгийг өөрөө ингэж дүрсэлсэн байдаг 2 7 - = (2) a z \u003d (a),аравтын тоо a f±1 (хуваа. Зураг 1.3). Зургийн чанарыг 1.6-р зүйлд авч үзнэ.
4. Том үржүүлэх бүлэгт Vibero Гидэвхтэй элемент а.Дараа нь элементийн үе шатуудын бүх мөчлөг нь циклийн дэд бүлгийг (a) = хангана. (a p p e Z) Г.
5. Рационал тоонуудын нэмэлт бүлэг Q нь өөрөө цикл биш, харин мөчлөгийн дэд бүлэгт хоёр элемент оршдог эсэхээс үл хамааран харуулж болно.

A. Нэмэлт Q бүлэг нь цикл биш гэдгийг бид баталж байна. Зөвшөөрөгдөх боломжгүй: Q = байг (-). Үндсэн зорилтот тоо б,

бүү хуваалц т. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, дараа нь нэр үг-

б т/ (тЖ

є tsile дугаар gs 0 so sho - \u003d n 0 -. Але тоди m = n 0 кб,

одод т:- хэт тод байдал.

B. Энэ хоёрыг дахиад хэлье рационал тоо -

h „ /1

i - давхцах мөчлөгийн дэд бүлэг (-), de тє олох- d t/

том үржвэрээс бага бі г.Тийм ээ, тэгье м-би

, a 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, дараа нь i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Теорем 1.3. Циклийн бүлгийн дараалал нь бүлгийн эх элемент болох tobto-ийн дараалалтай ижил байна.|(а)| = | a |.

авчирч байна. 1. Алив | = ">. Элементийн бүх байгалийн алхамууд гэдгийг бид мэднэ аөөр. Зөвшөөрөгдөх боломжгүй: нааш ир ak = a tТоди руу 0 т - өмнө - натурал тооі a t ~ to = e.Тэр шогоос Але цэ суперэчит | a = ° °.Ийм байдлаар элементийн бүх байгалийн алхамууд а raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst бүлэг (а). Отже, | (а)| = ° ° = | a |.

2. Алив | a | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Циклийн бүлгийн тэмдэглэгээнээс (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a) орно. Үүнийг асаацгаая. Циклийн бүлгийн нэмэлт элемент (а)харж болно а т,де ти Z. Шнапсыг хэтрүүлэн хуваалцах: m-nq + r, de 0 p. Оскилки a n = e,тэгээд а т = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(а 0, а, а 2,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., Энэ дарааллаар, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" - нэг).

Бүх элементүүдийг үржүүлсэн байх шаардлагатай (a 0, a, а 2,..., ба "-1) ялгаатай. Зөвшөөрөгдөхгүй хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй: 0 i П, ale a" = a).Адил дарс - д ta 0 j - i - dіyshli супер хурц z umovoy | a | = П.Теорем дууссан.

Циклийн бүлгүүдийн дэд бүлгүүд

Циклийн бүлгүүдийн дэд бүлэг байгаа эсэхийг тодорхойлсон теорем ирж байна.

Теорем 1.4. Циклийн бүлгийн дэд бүлэг нь цикл юм. Yakscho G = (a) uH - G бүлгийн дан бус дэд бүлэг, moH = (бад) de p - p e N гэх мэт хамгийн бага натурал тоо.

авчирч байна.Алив G = (a) тэр Х- бүлгийн дэд бүлэг Г.Дэд бүлэг шиг Хтэгвэл ганц бие H =(е) - мөчлөгийн бүлэг. Аливээ Х- ганцаараа биш дэд бүлэг. Чухал ач холбогдолтой Пхамгийн бага натурал тоо, тэгэхээр үзэг,мөн үүнийг бидэнд мэдэгдээрэй H \u003d (a p).Оруулсан ( a p) h Хойлгомжтой. Үүнийг асаацгаая. Аливээ h e H.Оскилки G = (a),тэгвэл жинхэнэ шоу болно өмнө,Тэгээд юу гэж h = a to.Хуваалцъя өмнөдээр Пхэтэрхий их байна: өмнө = nq+ g, de 0 p. g Ф 0, дараа нь авна уу h = a хүртэл = a pa p h a g, одод a r \u003d a ~ p hN e N.Хамгийн бага дэлгэцээр гайхалтай байдалд хүрсэн П.Мөн r = 0 i to - nq.Звидси h = a k = a p h e a"). Энэ зэрэглэлд, Х h ( а n), дараа нь, H = (а e). Теорем дууссан.

Циклийн бүлгийн эцэг эхийн элементүүд

Циклийн бүлгийг ямар элементүүд үүсгэж болох вэ? Энэ хоёр теоремыг дэмжих хоёр теорем бий.

Теорем 1.5. G = (a) мөчлөгт бүлгийг бууруулаагүй дарааллаар өгье. Тоди (а) - (аруу) дараа нь, зөвхөн дараа нь, хэрэв хүртэл бол - ± 1.

авчирч байна.Аливээ G = (a),|а| = ° ° i (a) = (Ак). Todі іsnuє tіla kіlkіst П,Тэгээд юу гэж a = a kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d э,болон oskolki | a =тэгээд кп - 1 = 0. Алетоди kp = 1 ич-± 1. Ноцтой хатуурал нь илүү тод харагдаж байна.

Теорем 1.6. m дараалалд G = (a) циклийн бүлгийг өгье. gcd(/s, т) = 1.

авчирч байна.(=>) Алив (a) = (өмнө), GCD(/s, т) - 1. Чухал ач холбогдол бүхий SNDC, t) – d.Оскилки ад (а) - (а хүртэл),тэгээд a = a kpодоогийн бүхлээр П.Элементүүдийн яг дарааллын хувьд одод дуулдаг, scho (1 - kp) : т, tobto. нэг - кп = мтбодит бүхэл тооны хувьд t. Ale todi 1 = (kp + mt) : г,од d = 1 і GCD(/s, т)= 1.

(NID явцгаая (k, t) = 1. Юу болохыг мэдэцгээе (а) = (Ак).Анхаар (өмнө нь) h (a) тодорхой байна. Буцаад GCD дугаарыг санаарай. t) = 1 дараах тоо іба v, ийм ки + mv= 1. Користуйчис тим шо | a | - т,хүлээн зөвшөөрөх боломжтой a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Отже, (a) = (a to). Теорем дууссан.

Юу гээч Эйлер функц f(t) нь натурал тоонуудын тоог илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь натурал тоог өөрчилдөггүй тмөн харилцан энгийн т.Хүссэн үр дагавар мэт сонсогдож байна.

Үр дагавар.Циклийн бүлэг (а)захиалга т maє f(t) янз бүрийн элементүүдийн, ямар үүсгэгдсэн.

Теорем 1.5-ын өгөгдсөн геометрийн нарийвчлалын хувьд бид мөчлөгийн бүлгийг төлөөлдөг G = (а)захиалга тгадасны оноо A 0, A b ..., A t _ bгэж хуваана ттэнцүү хэсгүүд. элемент a toоноог харуулсан бүлгүүд Тэгээд өмнө ньХэрэв дараалан А 0 цэгүүд байвал заримыг, зөвхөн заримыг нь үүсгэнэ. Ак, А 2кгэх мэтээр бид А] цэгт хүрнэ. Бүгдийг мэдэцгээе өмнөцагт т= 10 зүгээр л vipadkіv-ийг тоолж үзье (Зураг 1.5). Үүний үр дүнд бид авдаг өмнө =1,3, 7, 9. Циклийн бүлгийн хувьд (а) tse гэдэг нь (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9) гэсэн үг юм. буцаж: мэднэ өмнө,ижил тоогоор харилцан энгийн т,та эелдэгээр vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", баттай мэдэж, эрт чи пизно арьсны цэг дээр SIP, илүү (a) = ( аруу).

Аливээ Г- тэр элементийг бүлэглэх а Г. a элементийн дарааллыг (׀а׀-ээр тэмдэглэсэн) хамгийн бага натурал тоо гэнэ nН, юу

а n = а . . . . а =1.

Ийм тоо мэдэгдэхгүй бол тэгж л байх шиг а- Тогтворгүй дарааллын элемент.

Лемма 6.2.Якчо а к= 1, тэгвэл кэлементийн дарааллаар хуваана а.

Уулзалт.Аливээ Г- тэр бүлэг а Г. Тоди безлич

H = (ak ׀ k }

є G бүлгийн дэд бүлэг, учир нь үүнийг a элементээр үүсгэгдсэн циклийн дэд бүлэг гэж нэрлэдэг (H =-ээр тэмдэглэсэн).< а >).

Лемма 6.3.Циклийн дэд бүлэг Х, элементээр үүсгэгдсэн азахиалга n, є эцсийн бүлгийн захиалга n, үүнээс гадна

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Лемма 6.4.Аливээ а- Тогтворгүй дарааллын элемент. Ижил мөчлөгийн дэд бүлэг Х = <а> - арьсгүй ба-ямар ч элемент s Ххараад бүртгүүлнэ үү а к , өмнөЗ, үүнээс гадна, нэг зэрэглэлд.

Бүлгийг дуудаж байна мөчлөгийн yakscho ялалт zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh дэд бүлгүүд.

өгзөг 1. Нэмэлт бүлэг Збүх бүхэл тоо нь 1-р элементээр үүсгэгдсэн хязгааргүй мөчлөгт бүлэг юм.

өгзөг 2.Хувийн бус үндэс n-1-р мөчлөгийн бүлгийн дарааллаас дах алхам n.

Теорем 6.2.Циклийн бүлгийн дэд бүлэг нь мөчлөгтэй эсэх.

Теорем 6.3.Төгсгөлгүй мөчлөгт бүлэг нь бүхэл тоонуудын нэмэлт бүлэгт изоморф байх эсэх З. Энэ нь kіntseva мөчлөгийн систем эсэх nбүх язгуурын бүлэгт изоморф n- 1-р алхам.

Ердийн дэд бүлэг. бүлгийн хүчин зүйл.

Лемма 6.5.Аливээ Х- Бүлгийн дэд бүлэг Г, үндсэн дээр бүх зүүн нийлбэр анги нэгэн зэрэг є i баруун нийлбэр_ ангиуд. Тоди

aH=Ha, а Г.

Уулзалт.Дэд бүлэг Хбүлгийн хүн Гонд хэвийн гэж нэрлэдэг Г(заав ХГ), учир нь бүх болон зүүн summіzhnі classi зөв, тийм болохоор

aH=Ha, аГ.

Теорем 6.4. Аливээ Х
Г, Г/Н– бүлгийн бүх хураангуй ангиудын нүүр царайгүй Гдэд бүлгээр Х. Хэрхэн үржүүлэх вэ Г/Нүржүүлэх үйлдэл

(aH)(bH) = (ab)H,

тэгээд Г/Нхүчин зүйл нь бүлгийн бүлэг гэж нэрлэгддэг тул бүлэг болдог Гдэд бүлгээр Х.

Бүлгийн гомоморфизм

Уулзалт.Аливээ Г 1 i Г 2 - бүлэг. Тоди исгэх е: Г 1
Г 2-ыг гомоморфизм гэж нэрлэдэг Г 1 инч Г 2 гэх мэт

Ф(ab) = е(а)е(б) , а,б Г 1 .

Лемма 6.6.Аливээ е- бүлгийн гомоморфизм Гбүлэгт 1 Г 2. Тоди:

1) е(1) - нэг бүлэг Г 2 ;

2) е(а -1) = е(а) -1 ,аГ 1 ;

3) е(Г 1) - бүлгийн дэд бүлэг Г 2 ;

Уулзалт.Аливээ е- бүлгийн гомоморфизм Гбүлэгт 1 Г 2. Тоди безлич

кере = {аГ 1 ׀е(а) = 1Г 2 }

гомоморфизмын цөм гэж нэрлэдэг е .

Теорем 6.5. кэ е
Г.

Теорем 6.6.Бүлгийн ердийн дэд бүлэг байх Гє аливаа гомоморфизмын гол цөм.

Кильця

Уулзалт.Хоосон нүүргүй Өмнө ньдуудсан хэлцэм, шинэ үйлдлийн нэгэн адил хоёр хоёртын үйлдлийг оноож өгдөг, учир нь тэдгээрийг нэмэх, үржүүлэх гэж нэрлэдэг бөгөөд урагшлах оюун ухааныг хангадаг:

Өмнө нь- Цаашдын үйл ажиллагаанд зориулж Абелийн бүлэг;

олон тооны холбоо;

хуваарилалтын vikonuyutsya хуулиуд

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zК.

өгзөг 1. Безлич Qі Р- Кильця.

Kіltse гэж нэрлэдэг хувирах, гэх мэт

xy=yx, x,yК.

өгзөг 2. (Поривнянниа). Аливээ м- тогтмол натурал тоо, аі б- Dovіlnі tsіlі дугаар. Ижил тоо атоотой таарч байна бмодулийн ард мжижиглэн худалдаа байдлаар а – бгэж хуваагдана м(бичсэн: аб(mod м)).

Үнэлгээ нь хувь хүний бус дээр эквивалент тогтоохтой тэнцүү байна З, юу эвдэж байна Занги дээр, модулийн хувьд yakі дуудлагын ангиуд vіdrahuvan ммөн илэрхийлнэ З м. Безлич З мє эв нэгдэлтэй шилжих цагираг.

талбайнууд

Уулзалт.Талбайг хоосон, хувийн бус гэж нэрлэдэг Р, Хоёр элементийн өшөөг авахын тулд хоёр хоёртын үйлдлээр нугалж, үржүүлнэ.

өгзөг 1. Безлич Qі Рхязгааргүй талбарууд.

өгзөг 2. Безлич З r- Кинцеве талбай.

Хоёр элемент аі бталбайнууд Р vіdminnі vіd 0 гэх мэт тэг дилер гэж нэрлэдэг ab = 0.

Лемма 6.7.Талбарт тэгийн тоо байхгүй.

Хамгийн бага дэд бүлгийг хүлээн зөвшөөрч g нь Г.Тоди бүлгийн нэмэлт элемент байцгаая
, нэг элементээр үүсгэгдсэн
.

Уулзалт. Хамгийн бага дэд бүлэг
G бүлгийн нэг g элементээр үүсгэгдсэн , гэж нэрлэдэг мөчлөгийн дэд бүлэгбүлэг Г.

Уулзалт. Бүхэл бүтэн G бүлэг нэг элементээс төрдөг шиг, өөрөөр хэлбэл.
, дараа нь үүнийг дууддаг мөчлөгийн бүлэг.

Аливээ үржүүлэгч G бүлгийн элемент, энэ элементээр үүсгэгдсэн ижил хамгийн бага дэд бүлэг нь оюун ухаанд байгаа элементээс үүсдэг.

Элементийн алхамыг харцгаая , дараа нь. элементүүд

Хоёр боломж:

1. Usі алхам элемент g raznі, tobto.

, дараа нь g элементийг дарааллаар нь багасгаж болохгүй гэж хэлэх болно.

2. Є zbіgi алхамууд, тобто. , але
.

I энд g элемент нь эцсийн дараалал юм.

Тийм ээ, жишээ нь надад хэлээрэй.
і
тоди,
, дараа нь. эерэг алхамуудыг бий болгох
элемент
, нэг элементтэй тэнцүү.

d - элементийн түвшний хамгийн бага эерэг үзүүлэлт , Үүний төлөө
. Дараа нь энэ нь элемент юм шиг санагддаг
Сүүлийн 5 сарын дараалал, тэнцүү d.

Висновок. Сүүлийн эрэмбийн G бүлэгтэй байх (
) бүх элементүүд эцсийн дарааллаар байх болно.

g нь үржүүлэх G бүлгийн элемент эсвэл үржүүлэх дэд бүлгийн элемент байцгаая
g элементийн бүх өөр өөр алхмуудаас нэмэгддэг. Otzhe, дэд бүлгийн элементүүдийн тоо
элементийн дарааллаар zbigaєtsya tobto.

бүлгийн элементүүдийн тоо
элементийн дарааллыг засах ,

Нөгөө талаас, ижил хатуулагтай байж болно.

Тууштай байдал. Захиалга ямар ч элемент
энэ элементийн үүсгэсэн хамгийн бага дэд бүлгийн дарааллаар
.

авчирч байна. 1. Якчо - Эцсийн захиалгын элемент , дараа нь

2. Якчо - Тогтворгүй дэг журмын элемент, дараа нь юу ч авчрахгүй.

Якшо элемент захиалж болно , дараа нь, зорилгоор бүх элементүүд

бусдаас өөр, нэг алхам байх Эдгээр элементүүдийн нэг нь zbіgaєtsya.

Үнэн, сүртэй алхам байг
, дараа нь. - хангалттай тоо, бүү яв
. Ижил тоо нэг дороос харж болно
, де
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuu g элементийн чадлын түвшин,

Зокрема, якшчо.

өгзөг. Аливээ
- Абелийн бүлэг бүхэл тоо нь нэмэлт юм. G бүлэг нь 1 эсвэл –1 элементүүдийн аль нэгээр үүсгэгдсэн хамгийн бага дэд бүлгээс үүсдэг:

otzhe,
- Bezkіnechna tsiklіchna бүлэг.

Эцсийн дарааллын мөчлөгийн бүлгүүд

Эцсийн дарааллын мөчлөгийн бүлгийн жишээ шиг энэ нь тодорхой юм зөв н-кутник шодо ёогоо голоор ороох бүлэг
.

Бүлгийн элементүүд

є кути дээрх годинниковын сумны эсрэг н-кутникийг эргүүл.

Бүлгийн элементүүд
є

мөн геометрийн толин тусгал нь тодорхой байна

бүлэг
элементүүдээс өшөө авах, tobto.
, гэхдээ бүлгийн сэтгэл ханамжтай элемент
є , дараа нь.

Аливээ
тоди (див. 1-р зураг)

Цагаан будаа. нэг – бүлэг - зөв trikutnik ABC shodo нь боодол нь төв О.

Алгебрийн үйлдэл  бүлэгт - Жилийн сумны сүүлчийн боодог, кут дээр, олон , дараа нь.

Зворотный элемент
- кут 1 дээр жилийн сумны ард ороох, тобто.

Хүснэгт Кдчи

Kіntsevyh бүлгүүдийн шинжилгээг Келигийн нэмэлт хүснэгтүүд, түүнчлэн "үржүүлэх хүснэгт" -ийг нэвтрүүлэхэд урьдчилан ашиглах магадлалтай.

G бүлэг n элементүүдээс өшөө авцгаая.

Миний бодлоор хүснэгт Keli є квадрат матриц n мөр, n мөр байна.

Арьсны эгнээ болон арьсны давхаргад бүлгийн нэг буюу хэд хэдэн элемент.

элемент хүснэгт Kelі, scho i-р эгнээ болон j-р баганын торлог бүрхэвч дээр зогсох, i-р элементийг бүлгийн j-р элементтэй "үржүүлэх" үйлдлийн үр дүнд.

өгзөг. G бүлэг гурван элементийн өшөөг авъя (g1, g2, g3). "Үржүүлэх" бүлэгт үйл ажиллагаа. Энэ үед Келигийн хүснэгт дараах байдалтай байж болно.

Хүндэтгэл. Кели хүснэгтийн арьсны эгнээ, арьсны баганад бүлгийн бүх элементүүд илэрч, өмхий үнэр байхгүй. Бүлгийн талаархи бүх мэдээллийг орлуулах хүснэгт Кели. Энэ бүлгийн хүч чадлын талаар та юу хэлэх вэ?

1. Энэ бүлгийн цорын ганц элемент нь g1 юм.

2. Бүлэг нь abelian, учир нь хүснэгт нь үндсэн диагональ дагуу тэгш хэмтэй байна.

3. Бүлгийн арьсны элементийн хувьд зайлшгүй шаардлагатай

g 1 боодол є элементийн хувьд g 1 g 2 элементийн хувьд g 3 .

Бүлэг рүү явцгаая Үүрэн хүснэгтүүд.

Элементийн гол элементийн ач холбогдлын хувьд, жишээлбэл, , тодорхой элементийн хувьд эгнээнд шаардлагатай stovpets өшөө авах элементийг мэдэх . элемент vidpovіdny өгөгдсөн stovptsyu би є vorotnym элемент нь , учир нь
.

Кели хүснэгт нь толгойн диагональ шиг тэгш хэмтэй байдаг шиг tse нь үүнийг илэрхийлдэг

- Тобто. Шинжилгээнд хамрагдсан бүлгийн үйл ажиллагаа нь солигддог. Аргументийн үүднээс Кели хүснэгт нь тэгш хэмтэй боловч толгойн диагональ нь үйл ажиллагаа гэсэн үг юм. шилжих, өөрөөр хэлбэл.
,

бүлэг - Абелова.

Та зөв n - cosin-ийн тэгш хэмийн хувиргалтын бүх бүлгийг харж болно тэгш хэмийн тэнхлэгийн эргэн тойронд өргөн эргэлтийн нэмэлт ажиллагааг ороосон үйл ажиллагаанд нэмсэн.