Raskite vienalytės tiesės masės centro koordinates. Kaip apskaičiuoti plokščios apibrėžtos figūros svorio centrą, naudojant apatinio laido integralą? Tipiškos rozrahunkos vikonanijos tvarka

Taikinio užpakalį nukreipsime į kūno masės centrą podіlu jogos metodu ant kūno ribos, esančių namuose masės centro.

užpakalis 1. Nurodykite vienalytės plokštės masės centro koordinates (9 pav.). Apskaičiuokite užduotis milimetrais kūdikis 9.

Sprendimas: Rodome koordinačių ašis i . Mes sulaužome plokštę į gabalus, pagamintus trimis tiesiais pjūviais. Odos tiesiajai žarnai brėžiamos įstrižainės, kurių skersinio taškai rodo odos tiesiosios žarnos masės centro padėtį. Priimtoje koordinačių sistemoje nėra lengva apskaičiuoti koordinačių ir taškų reikšmes. Ir sau:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Odos kūno sritys vidutiniškai pagerėjo:

; ; .

Visų plokščių plotas geras:

Norint priskirti koordinates nurodytos plokštės masės centrui, reikia virazi (21). Mes atstovaujame visų žinomų dydžių vertę šis žmogus lygus, paimtas

Vіdpovіdno iki otrimanih koordinačių vertės iki plokštės masės centro, galite nurodyti tašką ant mažylio. Kaip matote, plokštės masės centras (geometrinis taškas) yra už ribų.

Papildymo būdas. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom būdas podіlu. Vіn gali zastosovuvatisya iki tіl, yakі mаyut virіzi (tuščias). Be to, be vir_zanoї matoma dalis kūno masės centro padėties. Pažvelkime į, pavyzdžiui, zastosuvannya tokį metodą.

užpakalis 2. Nurodykite apvalios plokštelės, kurios spindulys yra R, vagos masės centro padėtį, de є virіz spinduliu r (10 pav.). Nagi.

Sprendimas: Kaip ir Bachimo, iš 10 pav. plokštės masės centras yra ant plokštelės simetrijos ašies, tai yra tiesioje linijoje, skeveldros yra tiesios, visa simetrija. Tokiu būdu, norint priskirti padėtį plokštės masės centrui, reikia priskirti tik vieną koordinatę, tačiau kitos koordinatės bus nubrėžtos simetrijos ašyje ir lygios nuliui. Parodykime koordinačių ašis. Priimta, kad lėkštė sulankstyta į du kūnus – iš naujo kuolo (be viriz) tas kūnas, kaip nibi vikonane su virizu. Priimtoje koordinačių sistemoje įstaigų skyrimo koordinatės yra: .Įstaigų sritys yra: ; . Bendras viso kūno plotas yra lygesnis skirtumui tarp pirmojo ir kito kūno plotų ir

Apskaičiuokite vertes m, ir būtina suderinti (4), (5) ir (7) formules. Dėl to imame koordinačių formulės iki plonos plokštės masės centro :

4 užpakalis (koordinačių apskaičiavimas iki vienodos suknelės masės centro)

Raskite vienalytės figūros masės centro koordinates, apsuptas linijomis ir .

Įkvėpę figūrą, pastebime, kad ji yra geometriškai išlenkta ir simetriška kaip tiesi linija. dešiniarankiams. Tada už duotų fizinių galių išdėstome masės centrą, kurį vynai išsidėstę ant simetrijos ašies, kad

Norėdami apskaičiuoti, sudėkite statinį momentą ir laimėkite (4) ir (5) formules:

;

Pasiūlymas: C.

Trečiųjų integralų priedai

Papildomų integracijų programos yra panašios į subintegralų priedus, bet tik trivimeriams.

Jei norite laimėti vieną iš trigubo integralo laipsnių (apie tą pačią funkcijos reikšmę, kuri taip pat yra ta pati vieneto reikšmė), tada eikite prievolės būti apskaičiavimo formulė erdvus korpusas :

Užsirašykime formulę obyagu per trečiasis integralas ir apskaičiuojamų nuostolių integralas cilindrinėse koordinatėse:

Vidpovidas: (vienas įpareigoja).

Trivimerinio objekto masės apskaičiavimo formulė, kuri pasiskolina V tūrį, gali atrodyti:

(13)

Čia yra schіlnіst rozpodіlu masi tūris.

6 užpakalis

Žinokite šaltojo spindulio masę R kaip erdvė proporcinga kubui centre ir vienoje sienoje k.

V: elementarus tūris ta .

Pažymėtina, kad skaičiuojant trikartį integralą, integralų nebeliko, išorinių integralų kaitos atveju vidinių integralų lustai pasirodė esantys pūdymai.

Vidpovid: (vienas masi).

Įrišimo mechaninės charakteristikos V(Statiniai momentai, inercijos momentai, masės centro koordinatės) apskaičiuojami pagal formules, pvz.

sulankstytas pagal analogiją su dviejų pasaulių kūnų formulėmis.

Elementarieji statiniai momentai ir inercijos momentai išilgai koordinačių ašių:

elementarieji inercijos momentai išilgai koordinačių plokštumų ir taškai koordinačių burbulėje:

Dali, apskaičiuoti viso obyagu mechanines charakteristikas V,Reikia susumuoti elementarius charakteristikų priedus visoms suskirstymo dalims (skaičiuojamos didžiausios adityvumo galios charakteristikos), o tada pereiti prie ribos sumoje, kuri buvo už proto ribų, kad visi pasikeis elementarios suskirstymo dalys (susitarimas į taškus). Kiekiai apibūdinami kaip elementaraus mechaninių charakteristikų priedo integracija, kuri apskaičiuojama privalomiesiems V.

Dėl to ateik statinių momentų М ir inercijos momentų I trivimer tіl apskaičiavimo formulės :

Tiesą sakant, jie suformulavo formules kaip pergalingi, nes jie yra pasiruošę, ir veda juos į virišuvanias užduotis.

Taikyti 7 (trimačių kūnų mechaninių charakteristikų apskaičiavimas)

Raskite vienodo cilindro, kurio aukštis, inercijos momentą h ir pagrindo spindulys R, kaip ašis, kuri zbіgaєtsya su pagrindo skersmeniu.

Mes žinome d daliniam cilindro taškui:

pereiti į tašką, kurio ašies koordinatės – statmens, nubrėžto nuo taško centro iki ašies, ilgis . Padarykime plokštumą statmeną ašiai, kad taškas būtų šioje plokštumoje. Tada būk tiesus, kuris kerta viską ir guli šioje plokštumoje, jis bus statmenas . Zokrema, tiesi linija, jungianti tašką ir tašką, bus statmena ašiai, o jei stovėsite tarp šių taškų, būsite šukana d. Apskaičiuokite jogą pagal pateiktą formulę tarp dviejų taškų.

3 Pagrindinių integralų papildymai

3.1 Teorinis įvadas

Pažvelkime į programas apatinio laido integralasį žemųjų geometrinių užduočių ir mechanikos užduočių viršūnę.

3.1.1 Plokščios plokštės ploto apskaičiavimas

Pažiūrėkime į plonos medžiagos plokštę D, išplėstas bute Oho. plotas S tsієї plokštes galima rasti pagalbinės srovės integralo formulei:

3.1.2 Statiniai momentai. Plokščias plokštės masės centras

statinis momentas M x shodo ašis Jautis materialus taškas P(x;y), kurie yra šalia buto Oxy ir maє masu m, Jis vadinamas dobutok masyvo taškais її ordinatėje, tobto. M x = mano. Panašiai ir statinis momentas M y shodo ašis Ach: ­ ­ ­ M y = mx. Statiškos akimirkos plokščios plokštės su paviršiaus plyšiu γ = γ (x, y) apskaičiuojami naudojant formules:

Kaip matyti iš mechanikos, koordinatės x c ,y c plokščių medžiagų sistemos masės centrai apibrėžiami lygybėmis:

de m- Masa sistema, ir M xі M y- Statiniai sistemos momentai. Plokščios plokštės svoris m nustatomi pagal (1) formulę, plokščios plokštės statinius momentus galima apskaičiuoti naudojant (3) ir (4) formules. Todi, zgіdno z formulės (5), imama viraz koordinatėms iki plokščios plokštės masės centro:

Tipiškas rozrahunok atkeršyti už dvi užduotis. Odos gydytojui suteikiama plokščia plokštelė D, apsuptas linijomis, parodytas užduočiai atlikti. G(x,y) - plokštės paviršiaus prošvaisa D. Norėdami sužinoti plokščių skaičių: 1. S- Kvadratinė; 2. m- Masu; 3. M y , M x- Statiniai kirvių momentai Oyі Oi aišku; 4. , - Masės centro koordinatės.

3.3 Kad vykonannya tipiškas rozrahunku

Atliekant odos užduotį, būtina: 1. Nuimti kėdę nuo nurodytos vietos. Pasirinkite koordinačių sistemą, kuriai bus skaičiuojami subintegralai. 2. Pasirinktoje koordinačių sistemoje užrašykite nelygumų vaizdinės sistemos plotą. 3. Apskaičiuokite plotą S ta masu m plokštės pagal (1) ir (2) formules. 4. Apskaičiuokite statinius momentus M y , M x(3) ir (4) formules. 5. Apskaičiuokite centro masės koordinates pagal (6) formules. Masės centrą užtepkite ant fotelio. Mes kaltiname vizualinę (jakišką) kontrolę dėl rezultatų atėmimo. Skaitiniai skaičiai gali būti atimti iš skaičių trijulės.

3.4 Uždėkite tipišką chalatą

1 užduotis. plokštelė D apsuptas linijomis: y = 4 – x 2 ; X = 0; y = 0 (x ≥ 0; y≥ 0) Paviršiaus storis γ 0 = 3. Sprendimas. Užduotyje nurodyta sritis yra apsupta parabolės y = 4 – x 2 , koordinačių ašys i yra pirmame ketvirtyje (1 pav.). Užduotis modifikuojama Dekarto koordinačių sistemoje. Šią sritį galima apibūdinti pažeidimų sistema:

Ryžiai. vienas

plotas S plokštės yra stabilesnės (1): kadangi plokštė yra vienoda, m = γ 0 S= 3 = 16. Už formulių (3), (4) žinome plokštelės statinius momentus: Centro mas koordinatės pateikiamos pagal (6) formulę: Pasiūlymas: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

2 užduotis. plokštelė D apsuptas linijomis: X 2 + adresu 2 = 4; X = 0, adresu = X (X ≥ 0, adresu≥ 0). Paviršiaus storis γ (x,y) = adresu. Sprendimas. Plokštę supa kuolas ir tiesios linijos, einančios per koordinačių burbulą (2 pav.). Todėl norint atlikti užduotį, būtina rankiniu būdu perrašyti polinę koordinačių sistemą. poliarinis kut φ pakeisti iš π/4 į π/2. Prominas, eidamas nuo stulpo per plokštę, „įeikite“ prieš jį, kai ρ = ​​0, ir „įeikite“ į statymą, lygų: X 2 + adresu 2 = 4 <=>p = 2.

Ryžiai. 2

Vėlgi, tam tikrą sritį galima parašyti su nelygumų sistema: Plokštelės plotas žinomas pagal formulę (1): Plokštelės masė žinoma pagal (2) formulę, pakeičiant γ (x,y) = y = ρ nuodėmė φ :
Plokštės statiniams momentams apskaičiuoti galime naudoti (3) ir (4) formules:
Masės centro koordinatės paimtos iš (6) formulių: Pasiūlymas: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Garso projektavimas

Žvaigždės gali turėti visų vikonan rozrahunka, tvarkingai vikonan fotelių atvaizdą. Skaitiniai skaičiai gali būti atimti iš skaičių trijulės.

– svorio centro skaičiavimas yra plokščias kutais figūra . Turtingas skaitytojas intuityviai supranta, kas yra svorio centras, rekomenduoju pakartoti vienos iš pamokų medžiagą analitinė geometrija aš išsprendžiau zavdannya apie trikutnik svorio centrą ir prieinama forma iššifruojant fizinį terminą.

Atliekant nepriklausomas ir kontrolines užduotis, siekiant tobulumo, paprastai skleidžiamas paprasčiausias vipadokas - butas yra apsuptas vienalytis figūra, siekiant paskelbti postiynoї fizinę jėgą - stiklas, derev'yana, pewter'yana chavunnі іgry, sunkus vaikiškumas yra plonas. Dali už umovchannyam mova pіde tіlki apie tokius skaičius =)

Pirmoji taisyklė – paprasčiausias užpakalis: nors figūra plokščia simetrijos centras, tada vin є svorio centro tsієї figūra. Pavyzdžiui, apvalios vienodos plokštės centras. Tai logiška ir gyvenimiška - tokios figūros masė yra „teisingai paskirstyta į visas puses“ kaip centras. Patikėk – nenoriu.

Tačiau iš tikrųjų vargu ar duosite saldymedžio elipsinė šokolado plytelė Tomui teks susidurti su rimtu virtuvės įrankiu:

Vienodos plokščios apibrėžtos figūros svorio centro koordinatės padengiamos tolesnėmis formulėmis:

, arba:

, de - regiono plotas (skaičiai); bet trumpai:

, de

Integralas mintyse vadinamas „ixovim“ integralu, o integralas yra „igrom“ integralas.

Priėmimas-apdaila : skirta plokščiai vagotai nevienalytis figūros, kurių plotis nustatomas pagal funkciją, lankstymo formulės:
, de - Masa figūrėlės;vienodo stiprumo laikais smarvė bus atleista įvedus daugiau formulių.

Dėl formulių, vlasne, visos naujovės ir galai, reshta - visa tavo vminnya virishuvati subvincialiniai integralai, iki kalbos, iš karto tikimasi stebuklingo sugebėjimo treniruotis ir tobulinti savo techniką. O kruopštumas, kaip atrodo, jokio skirtumo =)

Mesti didelę dalį parabolių:

užpakalis 1

Raskite vienodos plokščios figūros, apsuptos linijomis, vagos centro koordinates.

Sprendimas: eilutės čia yra elementarios: nustatykite visą abscisę, o lygi - parabolę, kad jums būtų lengva gauti pagalbą grafikos geometrinė transformacija:

– parabolė, Pastumta 2 vienetus į kairę ir 1 vienetą žemyn.

Aš susiuvau visą fotelį su paruoštu tašku iki figūros kaprizo centro:

Valdyk draugą: ką turi figūra visa simetrija, tada šios figūros svorio centras turi būti ant jos ašies.

Mūsų figūra yra simetriška shodo tiesiai taigi mes iš tikrųjų jau žinome taško „em“ koordinatę „ix“.

Taip pat svarbu atsižvelgti į tai, kad poslinkių svorio centras yra arčiau abscisių ašies išilgai vertikalės, uolienos yra masyvios figūros.

Taigi, ko gero, dar ne visi suprato, koks yra vagos centras: būk malonus, pakelk pirštą į kalną ir uždėk tašką ant naujos nuspalvintos „pėdos“. Teoriškai figūra nėra kalta dėl kritimo.

Figūros svorio centro koordinatės žinomos pagal formules de .

Srities apėjimo tvarka (skaičiai) akivaizdi čia:

Pagarba! Jį lemia perspektyviausia aplinkkelio tvarka kartą- Aš vikoristovuemo joga visiems integruota!

1) Nugarėlėje apskaičiuoju figūrų plotą. Dėl akivaizdaus integralo paprastumo sprendimas gali būti išdėstytas kompaktiškai, nešvariai, kad nebūtų pasiklydę skaičiavimuose:

Stebimės foteliu ir apsimetame aikštėje. Viyshlo bіlya tai padaryti.

2) Svorio centro x koordinatė jau buvo rasta „grafiniu metodu“, todėl galite remtis simetrija ir pereiti prie kito taško. Tačiau taip dirbti vis tiek nėra malonu – puiku manyti, kad gera mintis atmesti formulę „laimėk formulę“.

Pagarba, kad čia galima užsiimti vyno spalvos skaičiavimais - kartais neprivaloma suvesti trupmenas prie dvigubų standartų ir kankinti skaičiuotuvą.

Šiuo būdu:
, Ką ir reikia imtis.

3) Mes žinome svorio centro ordinates. Apskaičiuokime graikų integralą:

O ašis čia be skaičiuotuvo būtų buvusi sunki. Apie kiekvieną pasikeitimą pakomentuosiu, kad dėl turtingų narių gausos yra 9 nariai, be to, nariai yra panašūs į juos. Panašiai dodanki paskiepijau per burną (kaip prie tokių vipadkų skambėti kaip robiti) ir tuoj pat užsirašydamas maišelio sumą.

Kaip rezultatas:
kuri vis labiau panašėja į tiesą.

Paskutiniame etape jis pažymėtas ant fotelio dėmės. Protui nereikėjo daryti fotelio, bet didesniais kiekiais norisi pavaizduoti figūrą, net jei to nenoriu. Natomist yra beprotiškas pliusas – vizualus ir efektyvus pakartotinis rezultato patikrinimas.

Vidpovidas:

Ateik du užpakaliai nepriklausomo sprendimo.

užpakalis 2

Raskite vienodos plokščios figūros, apsuptos linijomis, vagos centro koordinates

Prieš kalbą, kaip matote, lyg parabolė suraizgyta ir susukti taškai, kuriuose viskas apvirsta, tai čia tikrai galima apsieiti be fotelio.

І sulankstymas:

užpakalis 3

Raskite vienodos plokščios figūros vagos centrą, apsuptą linijomis

Sunkumų metu pagal grafiką po biudžeto, vivchit (kartokite) parabolinė pamoka ir (arba) užpakalis Nr. 11 statti Pakabinami arbatinukų integralai.

Srazkovі zrazki sprendimas kaip pamoka.

Be to, šone esančiame archyve galima rasti keliolika panašių programų Paruošti sprendimai jūsų matematikai.

Na, negaliu neįtikti įsimylėjėlių pažangioji matematika, Kaip dažnai manęs prašo sutvarkyti ir svarbias užduotis:

užpakalis 4

Raskite vienodos plokščios figūros vagos centrą, apsuptą linijomis. To її svorio centro figūra pavaizduota ant fotelio.

Sprendimas: umova tsієї zadachi vzhe kategoriškai vmagaє vykonannya fotelis Aje vimoga not nastіlki і formaliai! - Tsyu figūra zdatna, kad mintyse atskleistų žmogų iš vidutinio mokymo lygio:

Tiesus roz_kaє kolo ant 2 dalių, ir papildoma apsauga (Skyrius. linijiniai nelygumai) Atkreipiu dėmesį į tuos, kad galiu pats eiti apie nedidelį šešėlį „shmatochok“.

Figūra simetriška ir vizualiai tiesi (pavaizduota punktyrine linija), dėl gulėjimo ant šios linijos kaltas svorio centras. І akivaizdu, kad jogo koordinatės yra lygios už modulio. Gairė, kuri praktiškai įjungia atleidimą!

Dabar tai nešvari naujovė =) Horizonte šmėžuoja žemo signalo integralas iš šaknies, kurį, kaip pranešama, perėmėme iš Taikomosios Nr. 4 į pamoką Veiksmingi integracijų sprendimo metodai. Ir kas žino, kas ten dar nupiešta. Tai būtų suteikta per buvimą kolos Akivaizdu, kad ne viskas taip paprasta. Rivnyannya tiesi linija virsta iš pirmo žvilgsnio ir integracija gali būti netikra (jei fanatikai to nori trigonometriniai integralaiįvertinti). Tuo zvyazku z tsim paprastai zupinitsya Dekarto koordinates.

Figūros apėjimo tvarka:

1) Apskaičiuokite figūros plotą:

Pirmasis racionalaus pasirinkimo integralas p_dvedennyam p_d diferencialo ženklas:

Ir kitame integrale atliksime standartinį pakeitimą:

Suskaičiuokime naują tarpusavio integraciją:

2) Mes žinome.

Čia 2-ajame integrale yra naujas posūkis metodas. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt ant ozbroєnnya qі optimalus (Mano galvoje) priimti tipinių integralų raidą.

Po sunkaus ir nereikšmingo, dar kartą apskaičiuokite žvėrišką žvilgsnį į fotelį (atminkite, kad taškai Mes vis dar nežinome! ) ir otrimuemo iki tam tikro moralinio pasitenkinimo, atsižvelgiant į rastą vertę.

3) Vykhodyachi z atliko ankstesnę analizę, prarado susitaikymą, scho.

Pastaba:

Reprezentatyvus taškas ant kedės. Vіdpovidno į formuluotą mintį, mes užrašysime її kaip likutį įrodymas:

Panaši užduotis savarankiškam regėjimui:

užpakalis 5

Raskite vienodos plokščios figūros vagos centrą, apsuptą linijomis. Vikonati fotelis.

Mus domina tai, kad jame figūrėlė yra skirta atlikti nedidelius prisiminimus, o jei bus šiek tiek laiko atleisti, tada didelis ugnies lygis bus „neišleistas“ regione. Kas, bezperechno, gerai iš kontrolės sprendimo taško.

Srazkovy zrazok sukurtas kaip pamoka.

Іnodi buvaє dotsіlnim perėjimas prie polinių koordinačių prie žemesnių integralų. Žiūrėkite paveikslą. Shukav-shukav namuose toli užpakalis Jei nežinai, parodysiu paskirtos pamokos 1-os demonstracinės užduoties sprendimą:


Atspėk, prie ko tame užpakaliuke nuėjome poliarines koordinates, paaiškino teritorijos apėjimo tvarką ir virahuvali її sritis

Sužinokime figūrų svorio centrą. Schema ta pati: . Vertė matoma tiesiai iš fotelio, o „ix“ koordinatę galima šiek tiek pastumti arčiau y ašies, ten esančias šukes išbarsto masyvi alaus dalis.

Integraluose galime naudoti standartines perėjimo formules:

Ymovirno, geriau už viską, jie nepasigailėjo.