Matricos eilutės sprendimas. Arbatinukų matematika Matricos ir pagrindinės virš jų. Matricos perkėlimo operacija

Danų metodinė pagalba padės išmokti laimėti dії su matricomis: matricų pridėjimas (pašalinimas), matricų perkėlimas, matricų dauginimas, sukimosi matricos reikšmė. Visos nuosėdų medžiagos yra paprastos ir prieinamos formos, pagamintos vienodai, tokiu rangu nepasiruošęs žmogus gali išmokti dirbti su matricomis. Savikontrolei ir savęs patikrinimui galite naudoti matricos skaičiuotuvą >>> nemokamai.

Stengiuosi iki minimumo sumažinti teorinius poskyrius, jei gali „ant pirštų“ paaiškinti tuos nemokslinius terminus. Žemės teorijos mylėtojai, būkite malonūs, nesivelkite į kritiką, mūsų užduotis išmokti naudotis matricomis.

Paviršutiniškam pasirengimui temai (kas "dega") - intensyvus pdf kursas Matrica, vyznachnik ta salė!

Matrica yra stačiakampė lentelė, nesvarbu elementai. Jakostoje elementai galime žiūrėti į skaičius, tai yra skaičių matricas. ELEMENTAS- Tse terminas. Reikėtų prisiminti terminą, vynai dažnai rašomi, aš nevikoristav šios vizijos paryškintu šriftu.

Pavadinimas: matricos skamba didžiosiomis lotyniškomis raidėmis

Užpakalis: Pažvelkime į du po trijų matricą:

Ši matrica sudaryta iš šešių elementai:

Visus skaičius (elementus) matricos viduryje galite rasti patys, todėl nieko apie tai nerandate:

Tai tik skaičių lentelė (rinkinys)!

Taigi mes namie nepertvarkyti numerį, kuris paaiškinimuose nenurodytas. Odos numeris turi savo puvimo vietą, ir jų sumaišyti neįmanoma!

Žiūrima matrica, ji turi dvi eilutes:

ir trys ramsčiai:

STANDARTAS: jei kalbėsime apie matricos išplėtimą, tai ant burbuolės nurodykite eilučių skaičių, o tada - stulpelių skaičių. Po truputį jie šepečiais sutvarkė matricą „du po trijų“.

Jei matricos eilučių ir stulpelių skaičius yra zbіgaєtsya, tada matrica vadinama kvadratas, pavyzdžiui: - trijų po trijų matrica.

Kaip ir matricoje viena eilutė arba viena eilutė, tokios matricos taip pat vadinamos vektoriai.

Matricas tikrai žinome iš mokyklų, pažiūrėkime, pavyzdžiui, tašką su koordinatėmis „iks“ ir „iplayer“: . Tiesą sakant, taško koordinatės parašytos matricoje po vieną. Prieš kalbą ašis jums yra pavyzdys, kodėl skaičių tvarka gali būti reikšminga: i - tai du skirtingi plokštumos taškai.

Dabar be kliūčių eikime į vestuves pasidaryk iš matricų:

1) Diya persha. Matricos minuso kaltė (minuso įvedimas į matricą).

Pereikime prie mūsų matricos . Kaip jūs dainuodami prisiminėte, mano matricoje yra per daug neigiamų skaičių. Dar labiau nepatogiai atrodo mažųjų su matrica rašiklis, be rankenėlių rašomi minuso užrašai, kad vienas dizainas atrodo negražiai.

Kaltiname minusą dėl tarpmatricų, keičiame matricos SKIN elemento ženklą:

Prie nulio, kaip žinia, ženklas nesikeičia, nulis – vynas ir nulis Afrikoje.

Zvorotny užpakalis: . Žiūriu nuolaidžiai.

Į matricą įvedame minusą, keičiame matricos ODOS elemento ženklą:

Na, ašis, sodriai simpatiškas veyshlo. Aš, naygolovnіshe, bus LENGVIAU įveikti matricą. Nes tai taip matematinė žmonių prikmeta: kuo daugiau minusų - tuo daugiau sukčių ir atlaidų.

2) Dia draugas. Matricos padauginimas iš skaičiaus.

Užpakalis:

Tai paprasta, norint padauginti matricą iš skaičiaus, jums reikia oda padauginkite matricos elementą iš visas skaičius. At šiam konkrečiam tipui- Tris.

Dar vienas rudas užpakalis:

– matricos daugyba dribu

Ant pakaušio žiūrime į tuos, kurie yra robiti NEPRIVALOMA:

Pridėti daugiau pinigų į matricą NEREIKALINGA, pirma, lengviau sulankstyti toliau nuo matricos, kitu būdu, lengviau iš naujo patikrinti sprendimą naudojant vikladach (ypač yakscho - Likęs rekvizitas).

Tim daugiau, NEPRIVALOMA matricos odos elemento plonumas atėmus sim:

Trys statistiniai duomenys Matematika manekenams ar kodėl dar kitaip, mes tai prisimename dešimtainės trupmenos su kuriais visi kiti matematikai stengiasi būti unikalūs.

Vienas dalykas baganas robiti jūsų programoje - tse pridėkite minusą prie matricos:

Ir iš yakby VISI matricos elementai buvo padalinti iš 7 be pertekliaus, Tada galite (ir jums reikia!) Boulo b podіlit.

Užpakalis:

Kuria kryptimi galiu BŪTINA padauginkite visus matricos elementus iš , kad visi matricos skaičiai būtų padalinti iš 2 be pertekliaus.

Pastaba: teoriškai pažangioji matematika nėra moksleivio supratimo „podіl“. Vietoj frazės „nepridėkite prie to“ visada galite pasakyti „dauginti iš daugiau“. Tobto podіl – tse okremia vpadok daugiskaita.

3) Diya trečia. Matricos perkėlimas.

Norint transponuoti matricą, perkeltos matricos stulpeliuose reikia rašyti eilutes.

Užpakalis:

Transponuoti matricą

Čia yra tik viena eilutė ir pagal taisyklę ją reikia įrašyti į stulpelį:

yra perkelta matrica.

Perkelta matrica žymima viršutiniu indeksu arba dešiniarankio ungurio brūkšniu.

Viršelio užpakalis:

Transponuoti matricą

Galinėje pusėje perrašome pirmąją eilutę pirmame žingsnyje:

Perrašykime kitą eilutę į kitą eilutę:

І, nareshti, perrašykite trečią eilutę prie trečiųjų viryklių:

Paruošta. Apytiksliai atrodo, transponuoti reiškia pasukti matricą į šoną.

4) Diya ketvirta. Sumos (mažmeninė) matrica.

Diya matricų suma yra nepatogi.
NE VISAS MATRIKSAS GALIMA SULANKSTI. Dėl vykonannya lankstymo (vіdnіmannya) matricų, būtina, kad rutuliukų kvapas būtų toks pat ir ROZMIROM.

Pavyzdžiui, jei pateikiama matrica „du iš dviejų“, tuomet ją galite pridėti tik prie „du iš dviejų“ matricos ir bet kokiu kitu būdu!

Užpakalis:

Sulenkite matricas і

Norint išlankstyti matricas, reikia sulenkti reikiamus jų elementus:

Skirtingoms matricoms taisyklė yra panaši, būtina žinoti skirtumą tarp skirtingų elementų.

Užpakalis:

Žinokite matricų skirtumą ,

O kaip šį užpakaliuką padaryti paprastesnį, kad nepasiklystumėte? Nedvejodami pridėkite minusų, už kuriuos pridėsime minusą prie matricos:

Pastaba: teoriškai nėra tokio dalyko kaip vidurinės mokyklos matematikos supratimas. Vietoj frazės „ką matai“ visada galite pasakyti „pridėti neigiamą skaičių“. Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok sulankstytas.

5) Diya p'yata. Matricų atkūrimas.

Kokias matricas galima padauginti?

Kad matricą būtų galima padauginti iš matricos pagal poreikį, kad stulpelių skaičius matricoje būtų lygus eilučių skaičiui matricoje.

Užpakalis:
Ar galima matricą padauginti iš matricos?

Vėlgi, galite padauginti šias matricas.

Ir iš tos pačios matricos pertvarkyti misijas, tada tokiu būdu daugyba jau neįmanoma!

Otzhe, vikonati daugiskaita neįmanoma:

Ne taip dažnai užduotys apgaudinėjamos gudraujant, jei mokinys skatinamas dauginti matricas, kurių daugyba akivaizdžiai neįmanoma.

Skaidrės rodo, kad daugybė kintamųjų gali padauginti matricas і taip, і taip.
Pavyzdžiui, matricoms i galima padauginti, taigi aš padauginau

Stačiakampė mxn išplėtimo matrica yra mxn skaičių suma, išdėstyta stačiakampėje lentelėje, siekiant atkeršyti už m ir n stulpelių eilutes. Užrašysime її matant

kitu atveju, žiūrint į A = (a i j) (i = ; j = ), skaičiai a i j vadinami її elementais; pirmasis indeksas nurodo eilutės numerį, kitas - eilutės numerį. To paties dydžio A \u003d (a i j) ir B \u003d (b i j) vadinami lygiais, nes elementai poromis yra lygūs, todėl jie stovi tose pačiose vietose, tada A \u003d B, taigi a i j \u003d b i j.

Matrica, sulankstyta iš vienos eilutės arba vieno stulpelio, vadinama eilutės arba stulpelio vektoriumi. Stovėjimo vektoriai ir eilučių vektoriai tiesiog vadinami vektoriais.

Matrica, turinti vieną skaičių, susieta su tuo skaičiumi. A rozmіru mxn, visi elementai, kurie yra lygūs nuliui, vadinami nuliais ir priskiriami per 0. Elementai su vienodais indeksais vadinami galvos įstrižainės elementais. Jei eilučių skaičius lygus pabėgių skaičiui, tada m = n, tada matrica vadinama kvadratine tvarka n. Kvadratinės matricos, turinčios nulį ar daugiau galvos įstrižainės elementų, vadinamos įstrižainėmis ir rašomos taip:

.

Jei visi elementai a i i įstrižai sudaro 1, tada jis vadinamas vienu ir žymimas raide E:

.

Kvadratinė matrica vadinama trikotažu, nes visi elementai, esantys aukščiau (arba žemiau) už galvos įstrižainę, yra lygūs nuliui. Transpozicija vadinama tokia transformacija, kai eilutės ir stulpeliai keičiami vietomis sutaupytuose jų numeriuose. Tai rodo perkėlimo piktograma T viršuje.

Kadangi (4.1) eilutes galime pertvarkyti stulpeliais, tai imame

,

tarsi transponuotas A. Zokremo, perkeliant vektorių-stovptsya atsiras eilė-vektorius ir navpacki.

Pokomponentis O skaičius b vadinamas matrica, kurios elementai kilę iš antrųjų A elementų, kad padaugintų skaičių b: b A = (b a i j).

Vieno matmens suma A = (a i j) ir B = (b i j) vadinama to paties matmens C = (c i j), kurios elementai priskiriami formulei c i j = a i j + b i j .

Dobutok AB yra susijęs su priėmimu, todėl A stulpelių skaičius yra lygus eilučių U skaičiui.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , priskirtas priskirtai tvarkai AB, vadinamas C = (c i k), elementai priskiriami tokiai taisyklei:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Priešingu atveju atrodytų, kad AB kūrimo elementas priskiriamas tokia tvarka: i-osios eilutės ir k-osios stulpelio elementas yra gražiausia i-osios A eilutės kūrybinių elementų suma. priklausomi k-ojo stulpelio B elementai.

užpakalis 2.1. Žinokite doboot AB i .

Sprendimas. Gegužė: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, tada dobutok AB \u003d C іsnuє і elementai С lygūs

Z 11 = 1x1 + 2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10.

ir tvir BA netiesa.

užpakalis 2.2. Lentelėje nurodytas pavienių produktų, kurie kasdien išvežami 1 ir 2 pieninėse į parduotuves M 1, M 2 ir M 3, skaičius, be to, vieno produkto pristatymas iš odos pieninės į parduotuvę M 1 kainuoja 50 den. vienas, į parduotuvę M 2 - 70, o M 3 - 130 den. vienas. Pіdrakhuvat schodennі transporto vitrati odų gamykla.

pieno produktai

Sprendimas. Žymiai per A matricą, duotą mums suprasti, ir per
B - matrica, apibūdinanti vieno parduotuvės produkto, tobto, pristatymo kintamumą,

,

Todo matricos vitratas ant transportuojamos matimos atrodė:

Taip pat pirmoji vitražo gamykla šiuo metu kainuoja 4750 grašių. vienas, kitas - 3680 den.

užpakalis 2.3. Siuvimo verslas ruošia žieminius, pussezoninius ir lietpalčius. Dešimtmečiui planuojamas išleidimas apibūdinamas vektoriumi X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya audiniai chotirioh tipai T1, T2, T3, T4. Lentelėje audinių vitratų (metrais) normos, skirtos odos vibracijai. Vektorius С = (40, 35, 24, 16) rodo odos tipo audinio matuoklio kintamumą, o vektorius P = (5, 3, 2, 2) - pernešamo audinio metro dispersiją. odos tipo audinys.

	Vitrata audiniai
žieminis paltas
Pussezoninis paltas

Tiesinė algebra

Matricos

matrica rozmіru m x n - tse tiesioji skaičių lentelė, atkeršyti už m eilučių ir n stoptsіv. Skaičiai, sudarantys matricą, vadinami matricos elementais.

Matricos žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, o elementai – tomis pačiomis mažomis raidėmis su apačia indeksacija.

Pavyzdžiui, pažiūrėkime į 2 x 3 matmenų matricą A:

Ši matrica turi dvi eilutes (m = 2) ir tris eilutes (n = 3), tai yra. won susideda iš šešių elementų a ij de i – eilutės numeris, j – eilutės numeris. Šiuo atveju reikšmė yra nuo 1 iki 2, o vienos vertė yra iki trijų (įrašyta). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Vadinamos vienodo dydžio (m x n) matricos A ir B lygus, kad smarvė būtų po elementą zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij , tada. bet kuriam i ir j (galite parašyti "i, j").

eilučių matrica- ta pati matrica, kuri sulankstyta iš vienos eilės, ir matricos antspaudas- Tse matrica, kuri yra sulankstyta iš vienos stovptsya.

Pavyzdžiui, yra eilučių matrica ir .

kvadratinė matrica iki n-osios eilės - matrica, iki eilutės iki stulpelių skaičiaus ir iki n.

Pavyzdžiui, skirtingos eilės kvadratinė matrica.

Įstrižainė matricos elementai – tiksliniai elementai, kurių eilutės numeris lygus stulpelio numeriui (a ij, i = j). Qi elementai tenkina pagrindinė įstrižainė matricos. Priekinėje užpakalinėje dalyje pagrindinė įstrižainė sudaryta iš elementų a 11 = 3 ir a 22 = 5.

Įstrižainė matrica- Tai kvadratinė matrica, kurioje visi neįstrižainiai elementai lygūs nuliui. Pavyzdžiui, - Trečios eilės įstrižainės matrica. Jei taip, visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui, tada vadinama matrica vienišas(Garsai žymimi raide E). Pavyzdžiui, - Vienintelė trečios eilės matrica.

Matrica vadinama nulis kad visi її elementai būtų lygūs nuliui.

Kvadratinė matrica vadinama megztas taigi visi elementai žemiau (arba aukščiau) galvutės įstrižainės yra lygūs nuliui. Pavyzdžiui, - Trečios eilės tricut matrica.

Operacijos su matricomis

Su matricomis galima atlikti šias operacijas:

1. Matricos padauginimas iš skaičiaus. Papildoma matrica skaičiui l yra matrica B = lА, kurios elementai yra b ij = la ij bet kuriam i i j.

Pavyzdžiui, yakscho .

2. Matricų pridėjimas. Dviejų matricų A і, kurių dydis yra vienodas m x n, suma vadinama matrica C \u003d A + B, kurios elementai yra ij \u003d a ij + b ij „i, j.

Pavyzdžiui, patinka tada

.

Svarbu, kad atliekant frontalinę operaciją galima vizualinė matrica tokio pačio dydžio: skirtumas A-B\u003d A + (-1) * Art.

3. Matricų atkūrimas. Papildoma matrica A išplėsta m x n į išplėstinę matricą n x p vadinama tokia matrica C, kurios odos elementas s ij papildo matricos A i-osios eilės elementų sumą ant matomų j-osios elementų. matricos stulpelis, tobto. .

Pavyzdžiui, patinka

, tada matricos kūrimo išplėtimas bus 2 x 3, ir atkreipkite dėmesį į motiną:

Tokiu būdu matrica A vadinama susiaurinta matrica.

Remiantis kvadratinių matricų daugybos operacija, operacija saitai prie kojų. Kvadratinės matricos A teigiama pakopa A m (m > 1) vadinama papildomomis m matricomis, lygiomis A, tobto.

Tarkime, matricų sudėjimas (pakeitimas) ir dauginimas yra skirti ne dviem matricoms, o tik labiausiai išdainuoti, kas patinka savaip. Dėl znakhodzhennya sumi chi rіznitі matricos їх rozmіr obov'yazkovo gali būti tas pats. Kuriant matricas, pirmojoje stulpelių skaičių galima padidinti eilučių skaičiumi kitoje (tokios matricos vadinamos prašau ženimi).

Pažvelkime į pažiūrėtų operacijų galias, analogiškas skaičių operacijų galioms.

1) Komutacinis (slinkimo) lankstymo dėsnis:

A + B = B + A

2) Asociatyvus (laimingas) lankstymo įstatymas:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Paskirstymo (sklaidos) daugybos dėsnis, kaip sulankstyti:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Asociatyvus (laimingas) daugybos dėsnis:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Pritariama, kad matricų daugybos poslinkio dėsnis nesikeičia priešinga kryptimi, tai yra. AB ¹ BA. Be to, iš pagrindo AB nebūtinai ištariamas pagrindas BA (matricos gali būti nepriimtinos ir net nepriskiriami tie patys dobutai, kaip indukuoto užpakalio atveju, matricų daugybė). Ale navіt yakscho daryti nusikaltimą, daryk tai, smirdi riaumojimas raznі.

Gerąja prasme komutacinis dėsnis gali pridėti kvadratinę matricą A prie vienos tos pačios eilės matricos, be to, tai sudaro A (dauginimas iš vienos matricos čia panašus į dauginimą iš vieno, kai dauginami skaičiai):

AE = EA = A

Tiesa,

Prie skaičių daugybos pridedame dar vieną matricų dauginį. Prie nulio galima pridėti daugiau skaičių arba mažiau, jei norite, kad vienas iš jų būtų lygus nuliui. Apie matricas, tobto pasakyti negalima. prie nulių matricų galima pridėti papildomų nenulinių matricų. Pavyzdžiui,

Pažvelkime į operacijas su matricomis.

4. Matricos perkėlimasє perėjimo operacija iš matricos A į išplėtimą m x n į matricą A T į išplėtimą n x m, tose pačiose eilutėse ir stulpeliuose buvo pažymėti tarpai:

%.

Perkėlimo operacijos galia:

1) Pasirinkome taip, kad matricą būtų galima perkelti į dvi, pereisime prie išvesties matricos: (AT) T = A.

2) Dėl transpozicijos ženklo galima kaltinti pastovų daugiklį: (lА) T = lА T .

3) Paskirstomuoju būdu padaugintų papildomų matricų transpozicija: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matricos

Odos kvadratinei matricai A įveskite skaičių |A| vyznachnik. Innodi joga žymima raide D.

Tse є svarbi mažų praktinių užduočių viršuje. Žymiai joga per skaičiavimo metodą.

Pirmos eilės matricai її vienas elementas |А| = D1 = a11.

Skirtingos eilės matricai її skaičius vadinamas žymenu, nes jis apskaičiuojamas pagal formulę |А| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Trečiosios eilės її matricai A skaičius vadinamas žymenu, nes jis apskaičiuojamas pagal formulę

Tai reiškia algebros sumą, susidedančią iš 6 priedų, kurių odoje įvedamas tiksliai vienas elementas iš odos eilutės ir odos matricos matricos. Norint įsiminti vyznachniko formulę, įprasta paspartinti vadinamąją triukų taisyklę arba Sarrus taisyklę (6.1 pav.).

Mažajame 6.1 parodyta blogio schema, kaip pasirinkti elementus priedams su pliuso ženklu, - smarvė perebuvayut galvos įstrižainėje ir lygiagrečių šlaunikaulio trikutnikų viršūnėse ir sudėkite juos lygiagrečiai. Schema zlіva vikoristovuєtsya už dodankіv zі ženklas "minusas"; ant jo galvos įstrižainės pavaduotoja paimama taip vadinama puse.

Aukštesnių eilių lyderiai skaičiuojami rekursiniu būdu, tobto. ketvirtos eilės įpėdinis per trečios eilės įpėdinį, penktos eilės įpėdinis per ketvirtos eilės įpėdinį ir kt. Metodui apibūdinti reikia įvesti to matricos algebrinio komplemento elemento minoro sampratą (svarbiausia, kad pats metodas, į kurį bus žiūrima toliau, yra tinkamas trečiajai ir kitai tvarkai).

Nepilnametis M ij elementas a ij n-osios eilės matrica vadinamas (n-1)-osios eilės matricos inicialu, paimtu iš matricos A ir j-ojo stulpelio i eilutės i atitikimo.

N-osios eilės odos matrica yra n2 mažoji (n-1) eilėje.

Algebriniai priedai N-osios eilės ij elementas ij matrica vadinama yogo minor, atsižvelgiant į zі ženklą (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, tai yra skaičių suma eilutėje ir poros stulpelyje, і A ij \u003d -M ij, kuri nėra suporuota.

Pavyzdžiui, patinka , tada ; ir kt.

Pagrindinės sumos apskaičiavimo būdas poligaє puolime: kvadratinės matricos žymeklis yra labiau pažengęs elementų kūrinių suma bet kokia tvarka (stovptsya) dėl jų papildymų algebroje:

(išdėstymas pagal i-tieji elementai eilutės; );

(J-ojo stulpelio elementų išdėstymas;).

Pavyzdžiui,

Svarbu tai, kad pradžioje trikotažo matricos pirminis raštas yra labiau pažengęs nei galvos įstrižainės elementai.

Suformuluokime pagrindinius magistratų įgaliojimus.

1. Jei yra eilutė arba jei matrica sudaryta tik iš nulių, tada arbitras yra lygus 0 (tai vadovaujasi rozrahunka metodu).

2. Jei padauginate visus matricos tam tikros eilutės (stowptsya) elementus iš to paties skaičiaus, tai tas pats skaičius padauginamas iš sveikojo skaičiaus).

Pastaba: dėl žymeno ženklo galite kaltinti pačios eilutės karštąjį daugiklį (dėl matricos ženklo, už kurio ženklą galite kaltinti karštąjį elementų daugiklį). Pavyzdžiui, , .

3. Transponavus matricą її, žymuo nesikeičia: | A T | = | A | (Įrodymas nebus atliktas).

4. Pertvarkydamas dviejų matricos eilučių tarpus (stowptsiv), arbitras pakeičia prolegės ženklą.

Norint patvirtinti burbuolės reikšmę, priimtina, kad dvi iš eilės matricos eilutės būtų pertvarkytos: i-oji ir (i + 1)-oji. Dėl rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matrica i-oji eilė, o naujai matricai (su pertvarkytomis eilutėmis) - pagal (i + 1) - th (kaip niy yra vienoda, todėl ji juda elementas po elemento). Tada, kai išplečiamas kitas ženklas, oda papildo algebrinę matimą prolegės ženklu, todėl (-1) bus sumažintas ne į žingsnius (i + j), o į žingsnius (i + 1 + j), o kitoje formulėje formulės nebus pridedamos. Tokiu būdu primato ženklas pakeičiamas į protilį.

Dabar priimtina, kad pertvarkomi ne teismai, o dar dvi eilės, pavyzdžiui, i-oji ir (i + t)-oji. Tokia permutacija galima kaip vėlesnis i-osios eilutės poslinkis t eilėmis žemyn, o (i + t)-toji eilutė - (t-1) eilėmis aukštyn. Kam primato ženklas keičiasi (t + t - 1) = 2t - 1 kartų skaičius, t.y. nesuporuotas kartų skaičius. Otz, tegul vynmedžiai pakeičia visa kita.

Panašų veidrodį galima pakeisti ir stovptsiv.

5. Jei matrica turi pakeisti dvi identiškas eilutes (stowptsya), kita lygi 0.

Tiesa, jei tos pačios eilutės (stovptsі) bus pertvarkytos misijomis, tai tą matricą pati atims tie patys paskirtieji. Kitoje pusėje, už priekinių yakistyu venų, galite pakeisti simbolį, tobto. D = -D D = 0.

6. Kadangi dviejų matricos eilučių (stowptsіv) elementai yra proporcingi, tai skaičius vienas lygus 0.

Ši galia pagrįsta to vyno priekine galia galvos daugiklio pančiai (jei matricos proporcijos koeficiento pančių vynas bus tos pačios abo stovpts eilės, ir dėl to koeficientas bus padauginti iš nulio).

7. Bet kurios matricos eilutės (stowptsya) kūrybinių elementų suma, algebriškai pridedant kitos tos pačios matricos eilutės (stowptsya) elementus, visada bus 0: už i ¹ j.

Norint gauti galią, pakanka j-ąją matricos A eilutę pakeisti i-ąja eilute. Sutrumpintoje matricoje bus dvi lygios eilutės, kurioms kitas arbitras yra lygus 0. Kitoje pusėje jį galima apskaičiuoti pagal j-osios eilutės elementus: .

8. Matricos indeksas nesikeičia, tiesiog prie eilutės elementų arba prie matricos pridėkite kitos eilės (stow) elementus, padaugintus iš to paties skaičiaus.

Teisingai, leiskite man pridėti i-osios eilutės elementus j-asis elementas eilutės padaugintos iš l. Bus matomi naujos i-osios eilės Todi elementai
(a ik + la jk , "k). Apskaičiuokime naujos matricos išdėstymo ženklą po i-osios eilutės elementais (svarbu, kad її elementų algebriniai priedai jiems pasikeitus nesikeičia):

Mes pašalinome, kad šis primatas neatrodo kaip išorinės matricos primatas.

9. Reikšmingos dobutku matricos brangesnės dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | A | * |U| (Įrodymas nebus atliktas).

Jie pažvelgė į daugiau vyznachnikų ir vikoristų autoritetų, kad atleistų jų skaičiavimus. Zzvichay namagayutsya perevorit matrica į tokią formą, shchob be-yaky stovpets arba keršto eilė yaknabіlshe nulis. Nesunku sužinoti kitą arbitrą dėl išdėstymo iš pirmos ar kitos eilės.

atvirkštinė matrica

Matrica A-1 vadinama grįžtamasis pagal santykį su kvadratine matrica A, net jei matrica padauginta iš matricos A, ji yra dešinė, todėl išeina viena matrica: A -1 * A = A * A -1 = E.

Iš to išplaukia, kad atvirkštinė matrica yra kvadratinė matrica tos pačios eilės kaip ir matrica A.

Galima pastebėti, kad sukimosi matricos supratimas yra panašus į sukimosi skaičiaus supratimą (visas skaičius, padaugintas iš nurodyto skaičiaus, gauna vieną: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Ūsų skaičiai, nulis, gali apvynioti skaičius.

Norint sužinoti galią, kokia yra grąžos kvadratinė matrica, reikia žinoti arbitrą. Jei matrica yra lygi nuliui, tada tokia matrica vadinama virogeninis, arba ypač.

Būtinas proto užtenka Serumo matricos pagrindas: serumo matrica yra ta pati ir tik tuo atveju, jei nenaudojama ne virogeninė matrica.

Mes atnešime poreikį. Tegul matrica yra atvirkštinė matrica A -1. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. Vėliau
|A| 0 ¹.

Atsinešame pakankamai. Norint jį iškelti, reikia tiesiog apibūdinti serumo matricos apskaičiavimo metodą, kuris visada gali būti atliktas naudojant ne pirminę matricą.

Otzhe, ateik | A | ¹ 0. Perkelkite matricą A. Odos elementui А Т ateiti(Abipusiai, sąjungininkai):.

Mes žinome gautos matricos ir išvesties tikrovę. Atimti . Šia tvarka matrica yra įstrižai. Ant її galvutės įstrižainės yra išvesties matricos ženklai, o elementų linijos yra nuliai:

Panašiai galite tai parodyti.

Jei visus matricos elementus padalinsite į |A|, tada atimsite vieną matricą E.

Toks rangas , tada. .

Pateikiame sukimosi matricos vienybę. Tarkime, pagrindinė atvirkštinė matrica A, numatytoji yra A -1 . Žymiai її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Vienybė atnešė.

Be to, sukimosi matricos skaičiavimo algoritmas susideda iš šių žingsnių:

1. Žinokite matricos arbitrą | A | . Yakscho |A| = 0, tada matrica A yra virogenas, o atvirkštinė matrica negali būti žinoma. Yakscho |A| ¹ 0, tada pereikite prie žingsninio nėrimo.

2. Skatinkite AT matricos perkėlimą.

3. Žinoti transponuotos matricos algebrinius komplementarius elementus ir indukuoti duotąją matricą.

4. Apskaičiuokite apvyniotą matricą gautą matricą padalydami į |A|.

5. Sukamosios matricos skaičiavimo teisingumą galima teisingai apversti iki taško: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Sužinokime gudrybių taisyklės slypinčios matricos numerį:

Praleiskime perrašymą.

Galite įjungti šias matricas:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Matricos rangas

Mažoji k-oji tvarkaį m x n matmenų matricą, pavadinti k-osios eilės kvadratinės matricos žymenį, nes jis paimtas iš matricos A, siekiant sutapti, ar yra eilučių ir stulpelių.

Svarbu atkreipti dėmesį, kad nepilnamečio eiliškumas nenusveria mažesnio, tobto. k £ min (m; n). Pavyzdžiui, iš matricų A 5x3 galima pašalinti pirmos, kitos ir trečios eilės kvadratines submatricas (galima išplėsti smulkiąsias eiles).

rangas matricos pavadinimas tvarkos radimas nulių pavidalu matricos mažosiose dalyse (nurodykite rangą A arba r(A)).

Oho

1) matricos rangas parenkamas iš mažiausio s її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 ir tada, jei matrica lygi nuliui (visi matricos elementai lygūs nuliui), tada. r(A) = 0 A = 0;

3) n-osios eilės kvadratinei matricai r(A) = n ir tada, jei matrica A nevirogeniška, tada. r(A) = n | | 0 ¹.

Tiesą sakant, kam užtenka paskaičiuoti daugiau nei vieną tokį nepilnametį (tą, kuris buvo atimtas iš trečios kolonos prisikėlimo (nes rešte bus nulis trečias stulpelis, o prie to bus pridėta smarvė) iki nulio).

Už trikovės taisyklės = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Visų trečios eilės nepilnamečių skeveldros yra nulis, r(A) £ 2. Skeveldros turi skirtingos eilės nepilnametį, pvz.

Akivaizdu, kad mūsų priimtas vikoristani (žvilgsnis į įvairius nepilnamečius) nėra tinkamas aukštesniam rangui sudėtingesnėse tendencijose per didelį darbą. Skambinkite matricos rango ženklą pergalingi transformacijos darbai, kaip jie vadina elementarus:

vienas). V_dkidannya nulis eilučių (stovpts_v).

2). Visų eilutės ar matricos elementų atkūrimas skaičiumi, neskaičiuojant nulio.

3). Matricos eilučių (stovptsiv) tvarkos keitimas.

keturi). Vienos eilės (stovptsya) antrosios eilės elementų (stovptsya) odos elemento papildymas, padaugintas iš skaičiaus.

5). Transponuoti.

Kadangi iš matricų B elementariosiomis transformacijomis paimama matrica A, šios matricos vadinamos lygiavertis aš žymiu A ~ B.

Teorema. Elementarios matricos transformacijos rango nekeičia.

Teoremos įrodymas akivaizdus iš matricos dominavimo. Iš tiesų, šių transformacijų atveju kvadratinės matricos arba išsaugomos, arba padauginamos iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui. Karo metu didžiausia išorinės matricos nepilnamečių nulių tvarka paliekama savaime, t. її rangas nesikeičia.

Elementarių transformacijų pagalba matrica iškeliama į vadinamąjį laipsnišką vaizdą (perdaryta ant žingsnių matrica), tada. Daroma prielaida, kad lygiavertė matrica po galvos įstrižane turėjo tik nulį elementų, o galvutės įstrižainė turėjo nulinius elementus:

Žingsnio dažnio matricos rangas yra lygus r, iš jos kryžminių nuorodų reikšmių osciliatoriai, pradedant nuo (r + 1) ir toli, galima imti r-ąją eilę trivaliutų matrica, arbitras, kuris bus nulio formos, generatoriai bus ne nulinės eilės, nelygūs nuliui):

užpakalis. Raskite matricos rangą

vienas). Jei 11 \u003d 0 (kaip mūsų atveju), tada pertvarkant eilutes ir stovptsіv pasiekiama, kad 11 ¹ 0. Čia mes prisimename 1 ir 2 matricos eilutes:

2). Ar dabar 11? 0. Elementarios transformacijos Dob'єmosja, shchob shta elementіv prie pirmojo stovptsi doіvnyuvali nulis. Kitoje eilutėje yra 21 = 0. Trečioje eilutėje yra 31 = -4. Sob (-4) stovint 0, į trečią eilutę pridedant pirmąją eilutę, dauginant iš 2 (tobto iš (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Panašiai į ketvirtą eilutę pridėkite pirmąją eilutę (daugyba iš vieneto, tada iš (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Atimtojoje matricoje a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, tada vėl galite pertvarkyti eilutes). Įsitikinkite, kad įstrižainės žemiau kitos pusės buvo lygios nuliui. Prie 3 ir 4 eilučių pridėkite kitą eilutę, daugindami iš -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

keturi). Sutrumpintoje matricoje dvi likusios eilutės yra lygios nuliui, o їх galima atmesti:

Buvo pašalinta žingsnių matrica, kuri sulankstyta dviem eilėmis. Be to, r(A) = 2.

Tse supratimas, mokyklų mainai zagalnyu є visos galimos operacijos, yakі viroblyayutsya su matricomis. Matematinė matrica – elementų lentelė. Apie tokią lentelę de m rowkіv ta n stoptsіv, atrodo, kad matrica gali būti rozmirnіst m ant n.

Ryški matricos išvaizda:

Dėl tirpalo matrica būtina suprasti kas yra matrica ir žinoti pagrindinius parametrus. Pagrindiniai matricos elementai:

• Galvos įstrižainė, kurią sudaro elementai a 11, a 22 ..... a mn.
• Šoninė įstrižainė, kurią sudaro elementai a 1n, a 2n-1 .....a m1.

Pagrindiniai matricų tipai:

• Kvadratas - tokia matrica, de eilučių skaičius = stulpelių skaičius ( m=n).
• Nulis – visi matricos elementai = 0.
• Transponuota matrica – matrica At, jak bula otrimana iš išorinės matricos A su taku, pakeiskite eilutes ant stulpų.
• Vien – visi galvos įstrižainės elementai = 1, linija = 0.
• Atvirkštinė matrica yra matrica, kurią padauginus iš atvirkštinės matricos, gaunama viena matrica.

Matrica gali būti simetriška tiek galvos, tiek šoninėms įstrižainėms. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1 tada matrica yra simetriška išilgai pagrindinės įstrižainės. Daugiau nei kvadratinės matricos gali būti simetriškos.

Rozvyazannya matricų metodai.

Mayzhe visi matricos transformacijos metodas gulėti prie garsiojo її vyznachnik n tvarka ir daugiau jų padaryti sudėtinga. Pažinti 2 ir 3 eilės primatą yra ir kitų, racionalesnių būdų.

Znakhodzhennya vyznachnikі 2-oje eilėje.

Matricos skaičiavimui BET 2 eilės, norint sukurti elementus galvos įstrižainėje, reikia pridėti papildomų elementų šoninėje įstrižainėje:

3 eilės pažinimo metodai.

Žemiau pateikiamos 3 eilės pažinimo taisyklės.

Trikutnik taisyklė buvo supaprastinta, kaip ir viena vyšnių matricos metodai, gali būti pavaizduotas taip:

Kitaip tariant, elementų gavimas iš pirmojo arbitro, tarsi jie būtų tiesūs, imamas su ženklu „+“; lygiai taip pat 2 raštininkui - svarbiausi kūriniai imami su ženklu "-", taigi tokiai schemai:

At sprendžiant matricas pagal Sarrus taisyklę, dešiniarankis, pasirašančiojo kryptimi, pridėkite pirmuosius 2 stulpelius ir sukurkite svarbiausius elementus ant galvos įstrižainės, o įstrižainėse, kaip ir i-oji lygiagretė, paimkite 3 su „+“ ženklu; bet sukurkite du šoninių įstrižainių ir įstrižainių elementus, kaip paraleles, su ženklu „-“:

Razkladannya vyznachnik eilės tvarka stovptsyu pіd valandos vіrіshennya matricų.

vyznachnik yra geresnė vyznachniko eilutės elementų kūrinių suma jų algebros prieduose. Skambinkite, kad pasirinktumėte tą eilutę / virykles taip, kad ji būtų lygi nuliui. Eilutė arba eilutė, pagal kurią atliekamas išdėstymas, bus pažymėtos kaip rodyklė.

Atvedus primatą prie trikotažo žvilgsnio į vyšnių matricų valandą.

At tirpalo matrica Suteikdami primatą į trikotažą, praktikuokite taip: pasitelkus paprasčiausias transformacijas per giesmių eilutes, primatas tampa trikotažo išvaizda ir ta pačia prasme, matyt, primato galia, dobutku elementai , kaip stovint ant galvos įstrižai.

Laplaso teorema matricų tobulumui.

Matant už Laplaso teoremos esančias matricas, reikia žinoti pačią teoremą be vidurio. Laplaso teorema: Nagi Δ - tse vyznachnik nįsakymas. Vibiraemo naujajame be-yakі k rowkiv (abo stovptsiv), protui k≤ n - 1. Toks laikas turi darbų sumą kįsakymą, kuo atkeršyti išrinktajam k eilučių (stowptsyah), ant jų algebrinių priedų prie vyznachnik.

Virishennya matrica.

Seka skirta serumo matricos tirpalas:

1. Supraskite, kad duota kvadratinė matrica. Neigiamos nuomonės metu tampa aišku, kad seilių matrica negali būti.
2. Algebros priedų skaičiavimas.
3. Mes sukuriame sąjunginę (abipusiai, ateiti) matricą C.
4. Atvirkštinės matricos pridėjimas su algebros priedais: visi duotosios matricos elementai C dilimo ant burbuolės matricos. Sumos matrica bus atsitiktinai apibrėžta sukimosi matrica.
5. Patikriname vikonan robotą: padauginame pašto kodo matricą ir matricos matricą, rezultatas gali būti viena matrica.

Virishennya sistemų matricos.

Dėl matricinių sistemų sprendimai Labiausiai paplitęs metodas yra Gauso metodas.

Gauso metodas yra standartinis algebros (SLAE) ir vin polygaє tiesinių išlyginimo sistemų išvedimo būdas, kai nuosekliai įjungiami pakeitimai, taigi, norint atlikti papildomus elementarius pakeitimus, lygiavimo sistema yra lygiavertė (už skaičius) žino sistemos odos elementą.

Gauso metodasє pati universaliausia ir geriausia matricų sprendimo priemonė. Kaip sistema turi beasmenį sprendimą arba sistema yra neapibendrinta, taip ir Cramerio taisyklės bei matricos metodo pažeisti neįmanoma.

Gauso perkėlimo metodas taip pat yra tiesioginis (išplėstos matricos sumažinimas iki pakopinės, kad nuliai būtų pašalinti po galvos įstriža) ir atvirkštinis (nuliai pašalinami virš išplėstos matricos galvos įstrižainės). Tiesioginė kryptis yra Gauso metodas, atvirkštinė - Gauso-Jordano metodas. Gauso-Jordano metodas yra panašus į Gauso metodą, išskyrus pakeitimų seką.

Paskyrimas 1. Matrica A pasauliuim n iškviečiama stačiakampė lentelė su m eilučių ir n stulpelių, kuri sumuojama su skaičiais ar kitais matematiniais kintamaisiais (matricos elementų eilėmis), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, arba

2 susitikimas. Dvi matricos
і
vadinami tokio pat dydžio lygus, kurios yra surūšiuotos pagal elementus, tai yra. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Papildomoms matricoms nesunku užsirašyti ūkinių indėlių aktus, pavyzdžiui, išteklių paskirstymo pagal ūkio aktus lenteles.

3 susitikimas. Taigi, eilučių skaičius matricoje yra zbіgaєtsya nuo її stovptsіv, taigi. m = n, tada vadinama matrica kvadratinė tvarkan, ir kitoje šviesoje tiesinis.

4 susitikimas. Perėjimas iš matricos A į matricą A t, kurioje eilutės ir stulpeliai buvo pažymėti vietomis iš taupymo tvarkos, jie vadinami perkėlimas matricos.

Žiūrėkite matricą: kvadratas (dydis 33) -
,

tiesus (dydis 25) -
,

įstrižainė -
, vienišas -
, nulis -
,

matricos eilutė -
, matricos-stowpets -.

5 susitikimas. Kvadratinės n eilės matricos elementai su vienodais indeksais vadinami galvos įstrižainės elementais, tai yra. ce elementai:
.

6 susitikimas. Kvadratinės matricos n eilės elementai vadinami šoninės įstrižainės elementais, nes jų indeksai yra n + 1, tai yra. Elementai:.

1.2. Operacijos su matricomis.

1 0 . sumoyu dvi matricos
і
tokio pat dydžio matrica С = (з ij), kurios elementai lygūs ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

Lankstymo matricų operacijos galia.

Dėl be-yakah matricos A,B,C vienas rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (komutaciškumas),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (asociatyvumas).

2 0 . Tvoromas matricos
už skaičių  vadinama matrica
tokio pat matmens kaip i yra matrica A, be to, b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Matricos dauginimo iš skaičiaus operacijos galia.

(А) = ()А (daugiklio asociatyvumas);

(А+В) = А+В (atsitiktinai sulankstytų matricų dauginio pasiskirstymas);

(+)А = А+А (atsitiktinai sulankstytų skaičių dauginimo pasiskirstymas).

7 susitikimas. Tiesinis matricų derinys
і
toks pat dydis vadinamas A + B forma, de  ir  - pakankami skaičiai.

3 0 . Dobutcom A  Matricos A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk vadinama matrica 3 expіrum mk, kad elementas z ij yra kūrybinių elementų suma i-oje matricos eilutėje A і j stulpelyje. matricos B, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB naudojamas tik tuo atveju, nes matricos A stulpelių skaičius kinta priklausomai nuo matricos eilučių skaičiaus.

Dauginimo matricų operacijos galia:

(АВ)С = А(ВС) (asociatyvumas);

(А+В)С = АС+ВС (atsitiktinai sulankstytų matricų pasiskirstymas);

А(В+С) = АВ+АС (atsitiktinai sulankstytų matricų pasiskirstymas);

АВВА (ne komutacinė).

Paskyrimas 8. Matricos A ir B, kurioms AB = BA, vadinamos važinėjančiomis į darbą arba atgal.

Kvadratinės matricos atkūrimas, nesvarbu, kokia tvarka kitoje vienoje matricoje, matricos nekeičia.

Susitikimas 9. Elementarios transformacijos matricos vadinamos tokiomis operacijomis:

Dviejų eilučių (stovptsiv) pakeitimas misijomis.

Eilės odos elemento (stovptsya) atkūrimas skaičiumi, nelygu nuliui.

Papildymas prie vienos eilutės elementų (stowptsya) antros eilės elementų kitos eilutės (stowptsya).

Susitikimas 10. Matrica, otrimana iš matricų Ir elementariųjų transformacijų pagalba vadinama lygiavertis(pasirašyta BA).

užpakalis 1.1.Žinokite tiesinę matricų 2A-3B kombinaciją, pvz

,
.

,
,

.

užpakalis 1.2. Žinokite doboot matricą
, Kaip

.

Sprendimas: pirmosios matricos stulpelių skaičius pakeičiamas nuo eilučių skaičiaus kitoje matricoje, tada naudojama papildoma matrica. Dėl to paimame naują matricą
, de

Dėl to imame
.

Paskaita 2. Paskirtieji. Vyznachniki apskaičiavimas kita, trečia tvarka. Paskirtųjų galianįsakymas.