Անմիջապես իմացեք կետի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի կոորդինատները: Կետի պրոյեկցիա ուղիղ գծի վրա Կետի պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա: Կետի պրոյեկցիա ուղիղ գծի վրա - տեսություն, կիրառել այդ լուծումը

Tsya հոդվածը, որը նայում է ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիան հասկանալուն (բոլորը): Mi damo yoma նշանակվել է vikoristannya փոքրիկի համար, որը ես բացատրում եմ. Ուղիղ գծի վրա (հարթ կամ չնչին տարածության վրա) կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները նշանակելու Vivchimo եղանակը. Եկեք փորձենք այն:

«Կետի պրոյեկցիա հարթության վրա, կոորդինատներ» հոդվածում մենք մտածում էինք, թե արդյոք գործչի ձևավորումը պետք է հասկանալ ուղղահայաց կամ ուղղանկյուն ձևավորման հասկացություններով։

Բոլոր երկրաչափական պատկերները ծալված են կետերի մեջ. Ուստի, որպեսզի կարողանանք պատկերը նախագծել ուղիղ գծի վրա, անհրաժեշտ է հաշվի առնել կետը ուղիղ գծի վրա նախագծելու ունակությունը։

Նշանակում 1

Կետի պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա- tse կամ բուն կետը, քանի որ այն պետք է ընկած լինի տվյալ ուղիղ գծի վրա, կամ ուղղահայացության հիմքը, որը իջել է տվյալ ուղիղ գծի կետից:

Եկեք նայենք ստորև գտնվող փոքրիկներին. H 1 կետը ծառայում է որպես M 1 կետի պրոյեկցիա a ուղիղ գծի վրա, իսկ M 2 կետը, որը գտնվում է ուղիղ գծի վրա, ինքն իրեն պրոյեկցիան է:

Նշանակումը ավելի ճիշտ է վիպադկայի համար մակերեսի վրա և մանր տարածության մեջ:

M 1 կետի պրոյեկցիան հարթության վրա a ուղիղ գծի վրա վերցնելու համար գծեք b ուղիղ գիծ, ​​որպեսզի այն անցնի տրված M 1 կետով a ուղիղ գծին ուղղահայաց։ Այս հերթականությամբ a և b ուղիղների հատման կետը կլինի M 1 կետի պրոյեկցիան a ուղիղի վրա:

Չնչին տարածության մեջ ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիան կծառայի որպես կետ a ուղիղ գծի և α հարթության խաչմերուկին, որը կանցնի a ուղիղ գծին ուղղահայաց M 1 կետով:

Ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիայի կոորդինատների արժեքը

Եկեք նայենք շղթաներին դիզայնի լանդշաֆտներում բնակարանի և չնչին տարածության վրա:

Մեզ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի առաջադրանք տվեք O x y, կետ M1 (x1, y1) i ուղիղ a. Անհրաժեշտ է իմանալ M1 կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները ուղիղ գծի վրա a.

Տրված M 1 կետով (x 1, y 1) անցնենք a ուղիղին ուղղահայաց b ուղիղը։ Ընդմիջման կետը նշվում է որպես H1: H 1 կետը կլինի M 1 կետի պրոյեկցիայի կետը a ուղիղ գծի վրա:

Նկարագրությունից հնարավոր է ձևակերպել ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս իմանալ M 1 (x 1 y 1) կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները ուղիղ գծի վրա a.

Ծալովի ուղիղ գծեր (ինչպես նշված չէ): For zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya հիմնական rivnyan բնակարանում;

Գրանցե՛ք b ուղիղ գծի հավասարեցումը (M 1 կետով անցնելու և a ուղիղ գծին ուղղահայաց): Այստեղ կլրացվի ուղիղ գծի հավասարեցման մասին հոդվածը՝ տվյալ կետով տրված ուղիղին ուղղահայաց անցնելու մասին;

Ակնհայտ է, որ պրոյեկցիայի կոորդինատները վերցված են որպես a և b ուղիղների խաչմերուկի կոորդինատներ։ Եվ սրան ապացուցված է հավասարումների համակարգը, պահեստները, ինչպիսիք են՝ a և b ուղիղների հավասարեցումը։

հետույք 1

O x y հարթության վրա տրված M 1 (1, 0) կետը a ուղիղ գիծն է (ավելի բարձր հավասարեցում՝ 3 x + y + 7 = 0): Ուղղակի վրա անհրաժեշտ է նշել M1 կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները a.

Լուծում

Ուղիղ գծով տրված հավասարեցումը, որը, ըստ ալգորիթմի, անցնում ենք ուղիղ գծի հավասարեցման ամենակարճ գրառումին b. b ուղիղը ուղղահայաց է a ուղիղին, հետևաբար a ուղիղի նորմալ վեկտորը b ուղիղի ուղիղ վեկտորն է։ Այնուհետև b տողերի ուղիղ վեկտորը կարելի է գրել այսպես b → = (3, 1): Եկեք գրենք b ուղիղ գծի կանոնական հավասարեցումը, բայց մենք նաև պետք է սահմանենք M 1 կետի կոորդինատները B ուղիղ գիծն անցնելու ճանապարհով.

Վերջնական կտրվածքը ցույց է տալիս a և b ուղիղ գծերի խաչմերուկի կոորդինատները: Անցնենք առաջ կանոնական ռիվնյանուղիղ b դեպի zagalny її հավասար:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

a և b ուղիղների վերին հավասարումներից կազմենք հավասարումների համակարգ

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Դե, մենք հանեցինք M 1 (1, 0) կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները ուղիղ գծի վրա 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) :

Առաջարկություն: (- 2 , - 1) .

Հաշվետվությունը կվերանայվի, եթե անհրաժեշտ լինի նշել պրոյեկցիայի կոորդինատները սահմանված կետկոորդինատային գծերի և դրանց զուգահեռ գծերի վրա։

Թող տրված կոորդինատային ուղիղները O x і O y, ինչպես նաև M 1 կետը (x 1, y 1): Ես հասկացա, որ տրված կետի նախագծումը y = 0 ձևի O x ուղիղ գծի կոորդինատի վրա կլինի կոորդինատներով կետ (x 1, 0): Այսպիսով, O y ուղղի կոորդինատի վրա տրված կետի պրոյեկցիան կլինի 0, y 1 կոորդինատը:

Բե-յակուն բավականին ուղիղ, առանցքին զուգահեռ abscissa, դուք կարող եք դա սխալ ձեւակերպել վայրի նախանձ B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, և ուղիղ, y առանցքին զուգահեռ - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A:

Այնուհետև y \u003d - C B i x \u003d - CA ուղիղ գծի վրա M 1 (x 1, y 1) կետի կանխատեսումները դառնում են x 1, - C B i - CA A, y 1 կոորդինատներով կետեր:

հետույք 2

Վերցրեք M 1 (7, - 5) կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները O y կոորդինատային ուղղի վրա, ինչպես նաև O y 2 y - 3 = 0 ուղիղին զուգահեռ ուղղի վրա։

Լուծում

O y ուղիղ գծի վրա գրենք տրված կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները՝ (0 - 5) .

Գրենք ուղիղ գծի հավասարեցումը 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 : Պարզ է դառնում, որ տվյալ կետի պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա y = 3 2 7 3 2 կոորդինատային մատրիցով։

Առաջարկություն:(0, - 5) և 7, 3 2:

Թող չնչին տարածությունն ունենա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z , կետ M 1 (x 1 , y 1 , z 1) և ուղիղ a : Գիտենք M1 կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները ուղիղ գծի վրա.

Թույլ կտանք α հարթությունը անցնել a ուղիղ գծին ուղղահայաց M1 i կետով։ a ուղիղ գծի վրա տրված կետի պրոյեկցիան դառնում է a ուղիղ գծի կետ և α հարթություն: Դրա հիման վրա մենք ներկայացնում ենք M 1 (x 1, y 1, z 1) կետի պրոյեկցիայի կոորդինատների արժեքի ալգորիթմ ուղիղ գծի վրա a.

Գրում ենք a ուղիղ գծի հավասարեցումը (ինչպես նշված չէ): Այս խնդիրը հասկանալու համար անհրաժեշտ է ծանոթանալ այս հոդվածին տարածության մեջ ուղիղ գծերի հավասարեցման մասին.

Կարո՞ղ ենք պահպանել հարթությունը:

Մենք գիտենք M 1 (x 1, y 1, z 1) կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները a ուղիղ գծի վրա - կլինեն α ուղիղ գծի խաչի կետի կոորդինատները և α հարթությունը. (օգնության համար՝ «Ինքնաթիռի ուղիղ գծի խաչմերուկի կետի կոորդինատները» հոդվածը):

հետույք 3

Տրվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, i nіy - կետ М 1 (0, 1, - 1) i ուղիղ գիծ a . a ուղիղը համապատասխանում է կանոնական հավասարեցմանը` x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Որոշե՛ք M1 կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները ուղիղ a.

Լուծում

Vykoristovuёmo vkazyvshee ալգորիթմ: Rivnyannya ուղիղ գիծ, ​​առաջին քայլը բաց է թողնվում ալգորիթմի կողմից: Գրենք α տարածքի հավասարեցումը: Որի համար նշանակալի են տարածքի նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ a ուղիղ գծի տրված կանոնական հավասարումներից տեսնում ենք ուղիղ վեկտորի կոորդինատները՝ (3, - 4, 1), որը կլինի α տարածքի նորմալ վեկտորը՝ ուղիղին ուղղահայաց։ ա. Թոդի n → = (3, - 4, 1) α տարածքի նորմալ վեկտորն է։ Այս կարգով α matime-ի հարթությունը հավասար էր.

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Այժմ մենք գիտենք ուղիղ գծի և α հարթության խաչմերուկի կոորդինատները, որոնց համար կա երկու եղանակ.

1. Կանոնական հավասարեցման առաջադրանքները թույլ են տալիս վերցնել երկու հարթությունների հավասարեցում, որոնք համընկնում են, որոնք ներկայացնում են ուղիղ գիծը a.

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Իմանալ ուղիղ գծի 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 և հարթությունները 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 ուղիղ գծի խաչմերուկի կետերը

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

ժամը այս կոնկրետ տեսակին vikoristovuєmo Cramer մեթոդը, բայց դուք կարող եք zasosuvat արդյոք դա ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Այսպիսով, a ուղիղ գծի վրա տրված կետի պրոյեկցիան կոորդինատներով կետ է (1, 2, 0)

1. Կանոնական հավասարումների առաջադրանքների հիման վրա հեշտ է գրել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարեցումը տարածության մեջ.

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Եկեք պատկերացնենք հարթության մակարդակում, որը կարելի է տեսնել որպես 3 x - 4 y + z + 5 = 0 փոխարեն x , y і z їх արտահայտություն պարամետրի միջոցով.

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Հաշվենք a ուղիղ գծի խաչմերուկի կոորդինատները և a հարթության α հարթության պարամետրային հավասարեցումները λ = 1-ում:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Այսպիսով, a ուղիղ գծի վրա տրված կետի պրոյեկցիան ունի կոորդինատներ (1, 2, 0)

Առաջարկություն: (1 , 2 , 0)

Հատկանշական է, որ M 1 (x 1, y 1, z 1) կետի կանխատեսումները Ox, O y і O z կոորդինատային գծերի վրա կլինեն կետեր (x 1, 0, 0) , (0, y 1 , 0 ) և (0, 0, z 1) վավեր է:

Ինչպե՞ս եք հիշել տեքստի ներումը, բարի եղեք, տեսեք և սեղմեք Ctrl + Enter

օգնել մեկ ուրիշին առցանց հաշվիչդուք կարող եք իմանալ ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիան: Հուսով ենք, որ լուծումը կհայտնենք բացատրություններով: Ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիան հաշվարկելու համար սահմանեք հեռավորությունը (2- հարթության վրա կարծես ուղիղ գիծ է, 3- տարածության մեջ ուղիղ գիծ է), մուտքագրեք այդ կետի կոորդինատները. հավասարեցման տարրը վանդակում և սեղմեք «Verishity» կոճակը:

×

Կանխավճար

Մաքրե՞լ բոլոր սենյակները:

Փակել Մաքրել

Տվյալների մուտքագրման հրահանգներ.Թվերը մուտքագրվում են որպես ամբողջ թվեր (կիրառել՝ 487, 5, -7623 բարակ), տասներորդ թվեր (օրինակ՝ 67., 102,54 բարակ.) կամ կոտորակներ։ Կոտորակը պահանջվում է մուտքագրել a / b, de a і b (b> 0) tsіlі կամ տասնյակ թվեր. Կիրառել 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 բարակ:

Կետի պրոյեկցիա ուղիղ գծի վրա - տեսություն, կիրառել այդ լուծումը

Դիտարկենք առաջադրանքը երկաշխարհի և եռաշխարհի տարածություններում:

1. Թողեք միավոր տրվի երկաշխարհային տարածությանը Մ 0 (x 0 , y 0) ես ուղիղ Լ:

Ուղիղ գծի վրա կետի նախագծման ալգորիթմ Լվրեժ լուծել այսպես.

• ուղղակիորեն հուշել Լ 1 կետով անցնելու համար Մ 0 i ուղղահայաց ուղիղ գծին Լ,
• իմացեք ուղիղ գծերի բացվածքը Լі Լ 1 (կետ Մ 1)

Ուղիղ գիծ՝ կետով անցնելու համար Մ 0 (x 0 , y 0) կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Vіdkrієmo խոնարհվում

(5)

Ենթադրենք արժեքը xі y 4-ին):

դե x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".

Օրինակ 1. Իմացեք կետի պրոյեկցիան Մ 0 (1, 3) ուղիղ

Տոբտո. մ=4, էջ=5. Ուղիղ գծից (6) պարզ է, որ այն անցնելու է կետով Մ» (x", y")=(2, −3)(որը հեշտ է փոխել. (6) արժեքը փոխարինելով նույնականությունը՝ 0=0), ապա. x"=2, y"=-3. Ենթադրենք արժեքը m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5"):

2. Թող մի միավոր տրվի տրիվի-աշխարհական տարածությանը Մ 0 (x 0 , y 0 , զ 0) ես ուղիղ Լ:

Ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիայի իմաստը Լվրեժ լուծել այսպես.

• խրախուսել բնակարանը α , կետով անցնել Մ 0 i ուղղահայաց ուղիղ գծին Լ,
• իմանալ ցանցաթաղանթի տարածքը α ես ուղիղ Լ(հատիկ Մ 1)

Ինքնաթիռի հարթությունը կետով անցնելու համար Մ 0 (x 0 , y 0 , զ 0) կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Vіdkrієmo խոնարհվում

Ենթադրենք արժեքը xі yմոտ 9):

Ուղիղ գծի վրա կետի պրոյեկցիան հեշտ է անել, և վերջին մի քանի գործողությունների համար զրոյական մոտիկությունը հաշվարկվում է որպես կետի ուղիղ գծի պրոյեկցիա: Եկեք նայենք համատեղ առաջադրանքի այս թվով ասպեկտներին:

Թող ուղիղ գնա

ես բծում եմ. Կարևոր է, որ w ուղիղ գծերի վեկտորը կարող է բավականին երկար լինել: Ուղիղ գիծն անցնում է կետով, որտեղ t պարամետրը հավասար է զրոյի, իսկ w վեկտորը կարող է ուղիղ լինել։ Անհրաժեշտ է իմանալ կետի պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա: Կա միայն մեկ լուծում. Ուղիղ գծի կետից մենք վեկտորը կներկայացնենք դեպի կետ և հաշվարկելի սկալյար կոշտ վեկտոր և ուղիղ գծի վեկտոր w: Նկ. 4.5.1, որը ցույց է տալիս w ուղիղների ուղիղ վեկտորը, տրված կետ. Եթե ​​այս սկալյար ընդլայնումը բաժանենք w վեկտորի երկարության վրա, ապա մենք հեռացնում ենք վեկտորի պրոյեկցիայի երկարությունը ուղիղ գծի վրա:

Բրինձ. 4.5.1. Կետի պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա

Եթե ​​սկալյար ընդլայնումը բաժանենք w վեկտորի քառակուսու վրա, ապա ուղիղ գծի վրա վեկտորի պրոյեկցիան կհանենք w վեկտորի երկարացման միավորներով, ուստի կետի վրա կետի պրոյեկցիայի համար վերցնում ենք t պարամետրը: ուղիղ գիծը.

Այսպիսով, ուղիղ գծի վրա գտնվող կետի նախագծման պարամետրը և պրոեկցիայի շառավիղ-վեկտորը. հաշվարկել բանաձևերով

(4.5.3)

Եթե ​​w վեկտորի երկարությունը հավասար է 1-ի, ապա (4.5.2) անհրաժեշտ չէ հանել կետից մինչև կորի պրոյեկցիան կտրուկ թեքությամբ, այն հաշվարկվում է որպես վեկտորի երկարություն։ Դուք կարող եք հաշվարկել հեռավորությունը կետից մինչև її պրոյեկցիա ուղիղ գծի վրա, ոչ թե հաշվարկելով կետի պրոյեկցիան, այլ արագացնելով բանաձևը:

Okremі ընկնում.

Անալիտիկ կորերի վրա կետի պրոյեկցիան կարող է հայտնի լինել նաև առանց թվային մեթոդների իմացության: Օրինակ, վերջնական կտրվածքի վրա կետի պրոյեկցիան իմանալու համար անհրաժեշտ է նախագծվող կետը թարգմանել ծայրամասային կտրվածքի կոորդինատային համակարգ, նախագծել կետը ծայրամասային կտրվածքի հարթության վրա և իմանալ. տվյալ կետի երկչափ պրոյեկցիայի պարամետրը.

Զագալնի վպադոկ.

Թող անհրաժեշտ լինի իմանալ կոր գծի կետի բոլոր կանխատեսումները:

(4.5.5)

Նպատակը մեկ անհայտ արժեքից վրեժ լուծելն է՝ t պարամետրը։ Ինչպես արդեն ասվեց, որի առաջադրանքի կատարումը բաժանվեց երկու փուլի. Առաջին փուլում մենք նշում ենք պարամետրերի զրոյական մոտարկումը կորի կետի կանխատեսումներում, իսկ մյուս փուլում մեզ հայտնի են կորի պարամետրերի ճշգրիտ արժեքները, որոնք վերագրում են տվյալ կետի կանխատեսումները: z գծի կորի վրա