Մեկ այլ բավարար նշան է ծայրահեղության հիմքի մասին: Գործառույթների աճը և փոփոխությունը ընդմիջումներով, էքստրեմումներով: Բավական է ծայրահեղության նշան

Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը ֆունկցիայի նշանակման տարածքի այն կետն է, որում ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է նվազագույն կամ առավելագույն արժեքի: Այս կետերում ֆունկցիայի արժեքները կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղություն (նվազագույն և առավելագույն):.

Նշանակում. Կրապկա x1 հանձնարարված գործառույթների ոլորտները զ(x) կոչվում է առավելագույն գործառույթի կետ չնայած ֆունկցիայի արժեքն այս կետում ավելի մեծ է, քան ֆունկցիայի արժեքն իրեն մոտ գտնվող կետերում, դրա մեջ տարածվելով աջ ու ձախ (անհավասարությունից խուսափելու համար) զ(x0 ) > զ(x 0 + Δ x) x1 առավելագույնը.

Նշանակում. Կրապկա x2 հանձնարարված գործառույթների ոլորտները զ(x) կոչվում է ֆունկցիայի նվազագույն կետըչնայած ֆունկցիայի արժեքն այս կետում ավելի քիչ է, քան ֆունկցիայի արժեքն իրեն մոտ գտնվող կետերում, աջլիկներն ու զայրացածները (այդ պատճառով է անհավասարությունը. զ(x0 ) < զ(x 0 + Δ x) ) Բոլորին թվում է, որ գործառույթը կարող է լինել կետում x2 նվազագույնը.

Եկեք կետ x1 - առավելագույն գործառույթի կետ զ(x) Todi ընդմիջումից մինչեւ x1 ֆունկցիան աճում էՍա նման է զրոյից մեծ ֆունկցիաներին ( զ "(x) > 0 ), իսկ հետո միջակայքում x1 ֆունկցիան փոխվում է, այժմ և նմանատիպ գործառույթներզրոյից պակաս ( զ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Հնարավոր է նաև, որ կետը x2 - մատնանշեք ֆունկցիայի նվազագույնը զ(x) Todi ընդմիջումից մինչեւ x2 ֆունկցիան փոխվում է, և նմանատիպ ֆունկցիան զրոյից փոքր է ( զ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ֆունկցիան աճում է, և նմանատիպ ֆունկցիան զրոյից մեծ է ( զ "(x) > 0): Ում միտքը նույն կետն ունի x2 Pokhіdna ֆունկցիաները հավասար են զրոյի, թե ոչ:

Ֆերմատի թեորեմա. Ինչպիսի մի կետ x0 - ֆունկցիայի ծայրահեղության կետը զ(x), ապա n-րդ կետում ֆունկցիան նման է զրոյի ( զ "(x) = 0) թե ոչ:

Նշանակում. Կոչվում են այն կետերը, որոնք ունեն միանման ֆունկցիաներ, որոնք հավասար են զրոյի կամ ոչ կրիտիկական կետեր .

օրինակ 1.Դիտարկենք ֆունկցիան։

Կետում x= 0 x= 0-ը կրիտիկական կետն է: Այնուամենայնիվ, ինչպես երևում է ֆունկցիայի գծապատկերից, նշանակման ամբողջ տարածքում աճ է նկատվում, դա է կետը. x= 0-ը ֆունկցիայի ծայրահեղություն չէ:

Այսպիսով, մտածեք նրանց մասին, որոնք արժանի են ֆունկցիայի՝ հասնելու զրոյի, կամ ոչ անհրաժեշտ, կամ ծայրահեղության անհրաժեշտ մտքերի կամ ոչ բավարարի, կարող եք մատնանշել բեկորները և գործառույթների այլ կիրառությունները, որոշների համար: նրանց, միտքը կարող է խաբել, կամ էլ՝ ծայրահեղության ֆունկցիան: Թոմ մայրը կարիք ունի բավարար նշանների, որը թույլ է տալիս դատել, chi є էքստրեմումի կոնկրետ կրիտիկական կետում և բուն յակի - առավելագույն chi նվազագույնը:

Թեորեմ (առաջինը ֆունկցիայի ծայրահեղության հիմքի բավարար նշան է):կրիտիկական կետ x0 զ(x) այնպես, որ այս կետով անցնելիս ֆունկցիան փոխում է նշանը, ընդ որում, եթե նշանը «պլյուս»-ից փոխվում է «մինուս»-ի, ապա առավելագույն կետը, իսկ եթե «մինուս»-ից դառնում է «պլյուս», ապա նվազագույն միավոր.

Որքան մոտ է կետը x0 , դրա մեջ ձախլիկ և աջլիկ, եթե նշան է վերցնում, նշանակում է ֆունկցիան կամ փոխվում է, կամ աճում է միայն կետի մոտակայքում։ x0 . Ինչ ուղղությամբ կետում x0 ծայրահեղություն չկա.

Օտժե, ըստ անհրաժեշտության միավորներ հատկացնել ֆունկցիայի ծայրահեղությանը :

1. Գտեք հարմար գործառույթ:
2. Սահմանեք հավասար զրոյի և նշանակեք կրիտիկական կետեր:
3. Մտքեր chi թղթերը նշում են թվային առանցքի կրիտիկական կետերը և նշում նույն ֆունկցիայի նշանները՝ հանելով միջակայքերը: Եթե ​​նշանը «պլյուս»-ից փոխվում է «մինուս»-ի, ապա կրիտիկական կետը առավելագույն կետն է, իսկ եթե «մինուս»-ից դառնում է «պլյուս», ապա նվազագույն կետը:
4. Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը ծայրահեղ կետերում:

հետույք 2.Իմացեք ծայրահեղ գործառույթները .

Լուծում. Մենք գիտենք հետևյալ գործառույթները.

Կրիտիկական կետերը իմանալու համար այն հավասար է զրոյի.

.

Այսպիսով, եթե «ix»-ի որևէ արժեքի համար դրոշակը հավասար չէ զրոյի, ապա թիվը հավասար է զրոյի.

Հեռացրեք մեկ կարևոր կետ x= 3. Հակառակի նշանը նշանակալի է կետով սահմանազատված ընդմիջումներում.

մինուս անհամապատասխանության միջակայքում մինչև 3 - մինուս նշան, որպեսզի ֆունկցիան փոխվի,

3-ից գումարած անհամապատասխանությունների միջակայքում՝ գումարած նշան, որպեսզի ֆունկցիան աճի:

Տոբտո, կետ x= 3 - նվազագույն միավոր:

Մենք գիտենք ֆունկցիայի արժեքը նվազագույն կետում.

Այս հերթականությամբ հայտնաբերվում է ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը՝ (3; 0), ընդ որում՝ դա նվազագույն կետն է։

Թեորեմ (մյուսը ֆունկցիայի ծայրահեղության հիմքի բավարար նշան է):կրիտիկական կետ x0 є ֆունկցիայի ծայրահեղ կետ զ(x); զ ""(x) ≠ 0); զ ""(x) > 0 ), ապա կետը առավելագույնն է, իսկ հակառակը զրոյից փոքր է ( զ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Ծանոթագրություն 1. Ինչ է գտնվում կետում x0 վերածվել զրոյի և առաջինին, իսկ մյուսը մեռած է, ապա այս կետում անհնար է դատել ծայրահեղության դրսևորման մասին մեկ այլ բավարար նշանի հիման վրա: Այս տեսակի տրամադրության համար անհրաժեշտ է արագացնել ֆունկցիայի ծայրահեղության առաջին բավարար նշանը։

Հարգանք 2. Ֆունկցիայի ծայրահեղության ևս մեկ բավարար նշանը բավարար չէ, և նույնիսկ եթե անշարժ կետում առաջինը լավ չէ (այլ վատը չկա): Անհրաժեշտ է նաև, որ այս տեսակի վերաբերմունքն արագանա ֆունկցիայի ծայրահեղության առաջին բավարար նշանով։

Ֆունկցիայի ծայրահեղությունների տեղական բնույթը

Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի ծայրահեղությունը կարող է ունենալ լոկալ բնույթ. ֆունկցիայի արժեքներից ամենաշատի և նվազագույնի արժեքը հավասար է ամենամոտ արժեքներին:

Ենթադրենք, դուք մի օր նայեք ձեր վաստակին հարսանիքի ժամանակ: Եթե ​​դուք խոտից վաստակել եք 45,000 ռուբլի, իսկ եռամսյակից՝ 42,000 ռուբլի, իսկ կարմիրներից՝ 39,000 ռուբլի, ապա խոտի հասույթը շահույթի ֆունկցիայի առավելագույնն է ամենամոտ արժեքների առումով: Ալեն դեղինից վաստակել է 71 000 ռուբլի, գարնանից՝ 75 000 ռուբլի, տերևաթափից՝ 74 000 ռուբլի, ուստի նույն եկամուտը՝ նվազագույն եկամտի ֆունկցիան հավասար է ամենամոտ արժեքներին։ Դուք կարող եք հեշտությամբ բաչիտ անել, որպեսզի գարնան-խոտ-բալի առավելագույն միջին արժեքը պակաս լինի գարնանային-ժովտնյա-տերևաթափի նվազագույնից:

Խոսելով zagalneno-ի մասին, միջանկյալ գործառույթը կարող է լինել ծայրահեղությունների ցողման մայր, ավելին, կարող է թվալ, որ ֆունկցիայի նվազագույնը մեծ է առավելագույնից: Այսպիսով, մի փոքր ավելի պատկերված ֆունկցիայի համար, .

Այսպիսով, չարժե մտածել, որ ֆունկցիայի առավելագույնն ու նվազագույնը, ըստ երևույթին, ամենամեծ և ամենափոքր արժեքներն են բոլոր մասերի վրա, որոնք կարելի է տեսնել: Առավելագույն կետում ֆունկցիան ունի նվազագույն արժեքը այս արժեքների միջակայքում, եթե դա հնարավոր է բոլոր կետերում, հասնել առավելագույնին մոտ կետին, իսկ նվազագույնի կետում՝ նվազագույն արժեքը այս արժեքների միջակայքը, եթե այն մոտ է կետերին նվազագույն կետին:

Հետևաբար, կարելի է պարզաբանել ֆունկցիայի ծայրահեղության կետը ավելի լավ հասկանալու համար և նվազագույնի կետերը անվանել տեղական նվազագույնի կետեր, իսկ առավելագույնի կետերը՝ տեղական առավելագույնի կետեր։

Shukaemo ծայրահեղ գործառույթները միանգամից

օրինակ 3.

Լուծում. Ֆունկցիան նշանակված է և առանց ընդհատումների ամբողջ թվային տողի վրա: Її pokhіdna іsnuє նաև ամբողջ թվային տողի վրա: Թոմը ներս այս կոնկրետ տեսակինկրիտիկական կետեր є պակաս ti, yak, tobto-ի համար: , աստղեր որ . Կրիտիկական կետերը և հատկացված ֆունկցիայի ողջ տարածքը բաժանեք միապաղաղության երեք ինտերվալների. Viberemo-ն դրանց կաշվի մեջ մեկ հսկիչ կետով, իսկ երկրորդ կետում մենք գիտենք հաջորդի նշանը:

Ինտերվալի համար կառավարման կետը կարող է լինել՝ հայտնի. Ընդմիջումից մի կետ վերցնելով՝ հանում ենք, իսկ միջակայքում միավոր վերցնելով՝ կարող ենք։ Նաև i ինտերվալներով և ընդմիջումներով: Zgіdno էքստրեմումի առաջին բավարար նշանով, այն կետում էքստրեմում չկա (բեկորներն ավելի հավանական է, որ նշանը վերցնեն միջակայքում), իսկ կետերում ֆունկցիան կարող է լինել նվազագույն (հաջորդով անցնելիս բեկորներն ավելի քիչ են լինում): կետ՝ նշանը մինուսից պլյուս փոխելով): Մենք գիտենք ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները՝ a. Այդ ինտերվալում ֆունկցիան փոխվում է, հասկերն այս ինտերվալում են, իսկ միջակայքերը մեծանում են, հասկերը՝ այդ ընդմիջումով:

Ապագա գրաֆիկան պարզաբանելու համար մենք գիտենք յոգայի գծի կետերը կոորդինատային առանցքներով։ Երբ վերցնում ենք հավասար , որի արմատը i , ապա գտնվում են ֆունկցիայի գրաֆիկի երկու կետերը (0; 0) և (4; 0): Vikoristovuyuchi բոլորը otrimani vіdomosti, budєmo ժամանակացույցը (div. վրա Cob հետույք):

Rozrachunkah-ով ինքնաստուգման համար կարող եք արագացնել առցանց նմանատիպ հաշվիչ .

հետույք 4.Իմացեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունները և դրդեք ժամանակացույցը:

Ֆունկցիայի շրջանակը ամբողջ թվային ուղիղն է, բացառությամբ կետերի՝ tobto: .

Արագ հետևելու համար կարող եք արագացնել այն փաստը, որ գոլորշու սենյակի գործառույթը, բեկորները . Հետեւաբար, ժամանակացույցը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ Օ՜այդ հետևողականությունը կարող է օգտագործվել միայն ընդմիջման համար:

Մենք գիտենք, որ ես գնալու եմ և ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը.

1) ;

2) ,

Բայց եթե ֆունկցիան գիտի այս կետի տարբերությունը, ապա այն չի կարող լինել ծայրահեղ կետ:

նման կերպ, գործառույթը սահմանված էկա երկու կրիտիկական կետ. i. Vrahovoyuchi զուգավորում գործառույթների, perevirim մեկ այլ բավարար նշան էքստրեմում է միայն մի կետ: Ում համար ընկեր գիտենք, ես կմեռնեմ і նշանակալի її նշան՝ otrimaєmo. Քանի որ i , ուրեմն є ֆունկցիայի նվազագույն կետը, որում .

Գործառույթի ժամանակացույցի մասին լրացուցիչ տեղեկություններ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է հետևել վարքագծին նշված տարածքի սահմաններում.

(այստեղ խորհրդանիշը ցույց է տալիս վարժություն xաջակողմյան զրոյի, ընդ որում xծանրաբեռնված լինել դրականով; նույն կերպ նշանակում է վարժություն xզայրացած, ընդ որում xծանրաբեռնված լինել բացասականով): Այդպիսի կոչումով, յակշչո, ապա. Դալի, մենք գիտենք

,

tobto. դրա նման.

Գրաֆիկական ֆունկցիայի առանցքներով ընդմիջման կետը չի կարող լինել: Փոքրիկը՝ կոճի հետույքի վրա:

Rozrachunkah-ով ինքնաստուգման համար կարող եք արագացնել առցանց նմանատիպ հաշվիչ .

Prodovzhuєmo shukati ծայրահեղ գործառույթները միանգամից

Օրինակ 8.Իմացեք ծայրահեղ գործառույթները:

Լուծում. Մենք գիտենք հանձնարարված գործառույթի շրջանակը: Այսպիսով, եթե նյարդայնությունը կարող է հաղթել, ապա մենք տարված ենք:

Եկեք իմանանք առաջին pokhіdnu գործառույթները:

դուջե կարեւոր տեղեկություններֆունկցիայի վարքագծի մասին, առաջացնում են աճի և քայքայման ժամանակաշրջաններ։ Їхнє perebuvannya є գործընթացի մի մասը Հետագա գործառույթներ և արագ գրաֆիկա. Մինչ այդ, ծայրահեղ կետերին, որոնցում տեղի է ունենում փոփոխություն աճից դեպի անկում, կամ փոփոխությունից դեպի աճ, առանձնահատուկ հարգանք է տրվում, երբ ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքի արժեքըընթացիկ միջակայքի վրա:

Այս հոդվածում անհրաժեշտ է սահմանել, ձևակերպել ֆունկցիայի այդ փոփոխության մեծացման բավական նշանը ընդմիջումով և ծայրահեղության համար բավարար պատճառ, մենք ամբողջ տեսությունը կատարելության կհասցնենք՝ կիրառելով այդ խնդիրը:

Նավիգացիա կողքի վրա:

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի աճն ու փոփոխությունը։

Նշանակված աճող գործառույթ:

y=f(x) ֆունկցիան աճում է X միջակայքում, ինչպես նաև ցանկացած i-ի համար nerіvnіst vykonuetsya. Հակառակ դեպքում, թվում է, փաստարկի ավելի մեծ արժեքը ավելի մեծ է, քան ֆունկցիայի արժեքը:

Նշանակված քայքայման գործառույթ:

y=f(x) ֆունկցիան փոխվում է X միջակայքով, ինչպես ցանկացած i nerіvnіst . Հակառակ դեպքում, ըստ երևույթին, փաստարկի ավելի մեծ արժեքը տրվում է ֆունկցիայի փոքր արժեքով:

ԾԱՆՈԹՈՒԹՅՈՒՆ. քանի որ ֆունկցիան նշանակված է և առանց ընդհատումների աճի կամ քայքայման միջակայքում (a; b), ապա x = a і x = b, ապա qi կետերը ներառված են աճի կամ քայքայման միջակայքում: Մի գերագնահատեք աճի և քայքայման ֆունկցիայի նպատակը X միջակայքի համար:

Օրինակ, հիմնական տարրական ֆունկցիաների հզորություններից մենք գիտենք, որ y=sinx-ը նշանակված է և անխափան է փաստարկի բոլոր արդյունավետ արժեքներով: Հետևաբար, ինտերվալների վրա սինուսի ֆունկցիայի աճից մենք կարող ենք հաստատել սինուսի ֆունկցիայի աճը ինտերվալի վրա։

Կրապկի էքստրեմում, էքստրեմում ֆունկցիաներ։

Անվանեք կետը առավելագույն միավոր y=f(x) ֆունկցիաները, ուստի հարևանությամբ բոլոր x-երը արդար են: Ֆունկցիայի արժեքը առավելագույն կետում կոչվում է առավելագույն գործառույթԵս նկատի ունեմ.

Անվանեք կետը նվազագույն միավոր y=f(x) ֆունկցիաները, ուստի հարևանությամբ բոլոր x-երը արդար են: Նվազագույնի կետում ֆունկցիայի արժեքը կոչվում է նվազագույն գործառույթԵս նկատի ունեմ.

Կետի ծայրամասում հասկացեք միջակայքը , de - Ավարտել փոքր դրական թիվ:

Նվազագույն և առավելագույն միավորները կոչվում են ծայրահեղ կետեր, և կոչվում է ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է ծայրահեղ կետերին ֆունկցիա ծայրահեղ.

Մի շփոթեք ծայրահեղ գործառույթները ամենամեծի հետ ամենացածր արժեքըգործառույթները։

Առաջին փոքրիկի վրա վերևում գտնվող ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը հասնում է ֆունկցիայի առավելագույն և հաջորդ առավելագույն կետին, իսկ մյուս փոքրիկի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը հասնում է x = կետում: բ, բայց ոչ առավելագույնի կետում:

Բավական է հասկանալ այդ փոփոխված ֆունկցիայի աճը։

Այդ փոփոխված ֆունկցիայի աճի բավարար մտքերի (նշանի) հիման վրա կան այդ փոփոխված ֆունկցիայի աճի բացեր։

Բանաձևի առանցքը միջակայքում ֆունկցիայի աճի և փոփոխության նշան է.

• եթե նմանատիպ y=f(x) ֆունկցիան դրական է ցանկացած x-ի համար X միջակայքում, ապա ֆունկցիան աճում է X-ի վրա;
• Եթե ​​նմանատիպ y=f(x) ֆունկցիան բացասական է, անկախ նրանից՝ x-ը գտնվում է X միջակայքում, ապա ֆունկցիան փոխվում է X-ի:

Այս կարգով աճի աճը և ֆունկցիայի փոփոխությունը նշանակելու համար անհրաժեշտ է.

Դիտարկենք միջանկյալ աճի և ֆունկցիայի փոփոխության իմացության օրինակը ալգորիթմի բացատրության համար։

հետույք.

Իմացեք աճի և ֆունկցիայի փոփոխության բացերը:

Լուծում.

Առաջին բերքի վրա անհրաժեշտ է իմանալ գործառույթի շրջանակը. Վիրազի ետնամասում, դրոշակակիրի մոտ այն կարող է վերածվել զրոյի, ավելի ուշ,.

Անցնենք ծանոթ ֆունկցիային.

Նպատակով promіzhkіv zrostannya որ zmenshennya funktії համար բավարար նշան vyrishuєmo nerіvієmі ի դաշտում նշանակման. Շտապե՛ք օգտագործել ինտերվալային մեթոդը: Օրագրի մեկ արմատը є x = 2 է, իսկ znamennik-ը դառնում է զրոյի x = 0-ում: Qi կետերը բաժանում են նշանակված միջակայքի տարածքը, որոշ այլ գործառույթների համար նրանք վերցնում են նշանը: Զգալիորեն qi կետերը թվային գծի վրա: Պլյուսներն ու մինուսները մտավոր նշանակալից ինտերվալներ են, որոնց համար դա դրական է և բացասական: Ներքևի սլաքները սխեմատիկորեն ցույց են տալիս ֆունկցիայի աճը կամ փոփոխությունը տվյալ միջակայքում:

նման կերպ, і .

Կետում x=2 ֆունկցիան նշանակված է և անխափան, դրան պետք է ավելացնել її աճի միջակայքին և քայքայման միջակայքին։ x=0 կետում ֆունկցիան նշանակված չէ, ուստի այս կետը ներառված չէ այն միջակայքերի մեջ, որոնց շուրջ կատակում են:

Մենք գծում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ դրանից արդյունքներ ստանալու համար։

Առաջարկություն:

Ֆունկցիան աճում է ժամը , փոփոխվող միջակայքում (0; 2] .

Բավականաչափ ուշադրություն դարձրեք ֆունկցիայի ծայրահեղությանը:

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույնը իմանալու համար կարելի է պարզել, թե արդյոք երեքից մեկը ծայրահեղության նշան է, ակնհայտորեն, քանի որ գործառույթը բավարարում է ձեր միտքը: Ամենալայնն ու ամենահարմարը դրանցից առաջինն են։

Պերշան բավարար է Ումովի էքստրեմումի համար։

Թող y=f(x) ֆունկցիան տարբերվի կետի մոտակայքում, բայց բուն կետում առանց ընդհատումների։

Այլ կերպ ասած:

Ֆունկցիայի ծայրահեղության առաջին նշանից հետո դեպի ծայրահեղ կետը գտնելու ալգորիթմ:

• Մենք գիտենք հանձնարարված գործառույթի շրջանակը:
• Մենք գիտենք հատկացված տարածքի գործառույթները.
• Զգալիորեն հավաքում են թվի զրոները, նշանակված տարածքի համապատասխան կետի դրոշակի զրոները, որոնցում չկան. հնարավոր ծայրահեղ կետերը, անցնելով qi կետերով, հնարավոր է փոխել ձեր նշանը):
• Qi կետերը բաժանում են promyzhki-ի գործառույթի համար նախատեսված տարածքը, ոմանց համար ավելի լավ է վերցնել նշանը: Մենք կարող ենք տեսնել մաշկի նմանատիպ ինտերվալի նշանները (օրինակ՝ հաշվարկելով նմանատիպ ֆունկցիայի արժեքը լավ վերցված ինտերվալի ցանկացած կետում):
• Ընտրում ենք կետեր, որոնցում ֆունկցիան անխափան է և, անցնելով յակերի միջով, փոխում է նշանը՝ գարշահոտ էքստրեմումային կետեր։

Չափազանց հարուստ բառերը, ավելի գեղեցիկ նայեցի kіlka-ն, կիրառեց էական կետերը ծայրահեղության վրա և ֆունկցիայի ծայրահեղությունները առաջինի օգնության համար բավականաչափ միտքֆունկցիայի ծայրահեղություն:

հետույք.

Իմացեք ծայրահեղ գործառույթները:

Լուծում.

Գործառույթի տարածքը բոլորն անանձնական են օրվա համարները, Կրիմ x = 2 .

Մենք գիտենք, որ ես գնալու եմ.

є համարիչի զրոները x = -1 і x = 5 znamennik վերածվում է զրոյի x = 2-ում: Թվային առանցքի վրա կետերի զգալի քանակություն

Տեսանելի են միանման մաշկային միջակայքի նշաններ, որոնցով հաշվարկվում է մաշկային համանման միջակայքի արժեքը, օրինակ՝ x=-2, x=0, x=3 և x=6 կետերում։

Նաև ինտերվալի վրա այն դրական է (փոքրիկի վրա գումարած նշան է դրվում cim միջակայքի վերևում): Նմանապես

Մենք մինուս ենք դնում մեկ այլ միջակայքի վրա, մինուս երրորդ ընդմիջումից, գումարած մեկ քառորդից:

Կորցրել է ընտրել կետերը, որոնց համար ֆունկցիան անխափան է և її pokhіdna փոփոխության նշան: Tse i є ծայրահեղ կետեր:

Կետում x=-1 ֆունկցիան անխափան է և աստիճանաբար նշանը գումարածից փոխում է մինուսի, այնուհետև, առաջին նշանից հետո դեպի ծայրահեղություն, x=-1 կետն է առավելագույնին, երկրորդը՝ ֆունկցիայի առավելագույնը: .

Կետում x=5 ֆունկցիան անխափան է և աստիճանաբար մինուսի նշանը փոխում է գումարածի, այնուհետև x=-1 նվազագույնի կետն է, որը նշանակում է ֆունկցիայի նվազագույնը։ .

Գրաֆիկական նկարազարդումներ.

Առաջարկություն:

ՀԱԿԱՌԱԿ ՀԱՐԳԱՆՔ. առաջին նշանը բավարար է էքստրեմումի համար, այն չի ազդում բուն կետի դիֆերենցիալ ֆունկցիայի վրա:

հետույք.

Գտեք ծայրահեղ կետեր և ծայրահեղ գործառույթներ .

Լուծում.

Գործառույթի շրջանակը բոլոր անանձնական իրական թվերն են: Ֆունկցիան ինքնին կարող է գրվել տեսքում.

Մենք գիտենք հետևյալ գործառույթները.

Կետում x=0 հնարավոր չէ, միակողմանի միջակայքերի արժեքների բեկորները չեն թույլատրվում զրոյի հասնել, երբ արգումենտը չափազանցված է.

Նույն ժամին ելքային ֆունկցիան անխափան է x=0 կետում (բաժանում. բաժան գործառույթի հետևում շարունակականության համար):

Մենք գիտենք այն փաստարկի իմաստը, որի տակ արժե զրոյի դիմել.

Զգալիորեն բոլոր կետերը թվային գծի վրա և զգալիորեն ցածր նշան մաշկի միջակայքում: Որի համար հնարավոր է հաշվարկել հարաբերականի արժեքը մաշկի միջակայքի որոշակի կետերում, օրինակ, հետ x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Տոբտո,

Այս հերթականությամբ էքստրեմի առաջին նշանից հետո նվազագույնի կետերը , մատնանշում է առավելագույնը є .

Նվազագույն գործառույթների հաշվարկ

Ֆունկցիայի մաքսիմումների հաշվարկ

Գրաֆիկական նկարազարդումներ.

Առաջարկություն:

.

Գործառույթի ծայրահեղության ևս մեկ նշան.

Բաչետեի նման, ֆունկցիայի ծայրահեղության նշանի համար, այն կպահանջի նույնը, առնվազն միավորների տարբեր կարգով:

Ծայրահեղության առաջին բավարար նշանը ձևակերպվում է կրիտիկական կետով անցման առաջին լավ ժամի նշանի փոփոխության բարելավմամբ։ Ծայրահեղության մեկ այլ նշանի մասին տե՛ս ստորև՝ § 6.4-ում:

Թեորեմ (ծայրահեղության առաջին նշանը) : ՅակշոX 0 - Գործառույթի կրիտիկական կետըy=զ(x) և կետի իրական մոտակայքումX 0 , անցնելով դրա միջով zlіva դեպի աջ, pokhіdna փոխել նշանը երկարացման, ապա.X 0 є ծայրահեղ կետ. Ընդ որում, քանի որ հակառակ նշանը «+»-ից փոխվում է «-»-ի, ապաX 0 առավելագույն միավորն է, ևզ(x 0 ) ֆունկցիայի առավելագույնն է, և դա նման է նշանը «-»-ից «+»-ի փոխելուն, ապաX 0 նվազագույն միավորն է, ևզ(x 0 ) - Նվազագույն գործառույթ:

Ծայրահեղ տեսքը կրելու համար տեղական(Misceviy) կրիտիկական կետի փոքր ծայրամասի բնավորությունը և զգայունությունը:

Ծայրահեղության և ընդարձակման կետերը բաժանում են միապաղաղության միջակայքի նշանակված ֆունկցիայի տարածքը:

Օրինակ 6.3.Օրինակ 6.1. մենք գիտեինք կրիտիկական կետերը X 1 =0 і X 2 =2.

Իհարկե, այն, ինչ ճշմարիտ է այս կետերում, գործառույթն է y=2x 3 -6x 2 +1 կարող է ծայրահեղություն. Պատկերացրեք її pokhіdnu-ում
իմաստը X, վերցված զլիվա և աջ ձեռքով կետում X 1 =0 դոզացնել ծայրամասերի մոտ, օրինակ, x=-1і x = 1. վերցված. Oskіlki pokhіdna փոխել նշանը «+»-ից «-», ապա X 1 =0 - մատնանշեք գործառույթի առավելագույնը և առավելագույնը
. Այժմ մենք վերցնում ենք երկու արժեք x = 1 i x = 3մեկ այլ կրիտիկական կետի շրջակայքից X 2 =2 . Դա արդեն ցույց է տրվել
, ա
. Oskіlki pokhіdna փոխել նշանը «-»-ից «+», ապա X 2 =2 - Նվազագույն միավորը. Եվ առնվազն գործառույթներ
.

Իմանալ ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն արժեքը՝ առանց քամու ընդհատման
անհրաժեշտ է հաշվարկել її արժեքները ոլորման բոլոր կրիտիկական կետերում և ոլորուն, որպեսզի bv-ն ընտրի ամենաշատը և նվազագույնը:.

6.3. Ֆունկցիայի գրաֆիկի այտուցվածության և փոքրացման նշանները. Շեղման կետեր

Տարբերակված ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում էօուկլիմինտերվալում, ինչպես գինիները, որ roztashovaniya ավելի ցածր է, թե արդյոք դա ձեր dotichnu այդ ընդմիջումից;թեքվել (իջնել)yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї ընդմիջման վրա..

6.3.1. Գրաֆիկայի այտուցվածության և նեղացման անհրաժեշտ և բավարար նշաններ

ա) Պահանջվող նշաններ

Ո՞րն է գործառույթի ժամանակացույցըy=զ(x) ուռուցք ընդմիջման վրա(ա, բ) , ուրեմն ընկերը լավն է
ինչ ընդմիջումով; որպես ժամանակացույցահաբեկում վրա(ա, բ) , ապա
վրա(ա, բ) .

Պ st ժամանակացույցի գործառույթը y=զ(x) ուռուցք (ա, բ) (նկ.6.3ա): Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh ուռած ծուռ zlіva դեպի աջ, її kut փոխել վատ (
), միևնույն ժամանակ փոխվում է կետի վերջնական գործակիցը, ինչը նշանակում է, որ փոխվում է առաջին անգամը
վրա (ա, բ) . Ալեն, սակայն, նման է առաջինին, քանի որ նման է ռեցեսիվ ֆունկցիային, բայց կարող է լինել բացասական, tobto.
վրա (ա, բ) .

Ո՞րն է գործառույթի ժամանակացույցը ահաբեկումվրա (ա, բ) , Դա, միրկույչին նմանապես, Բաչիմո, որ դոտիկ վզդովժ կորը կեղծելիս (նկ. 6.3բ) կտրել է հիվանդագին դոտիկ աճը (
); Եվ նույնիսկ եթե այն կարծես աճող գործառույթ է, այն կարող է դրական լինել, ուստի
վրա (ա, բ) .

բ ) Բավարար նշաններ

Հավանել ֆունկցիայի համարy=զ(x) բոլոր կետերը կունենան նույն միջակայքը
, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկըահաբեկում ինչ ընդմիջումով, բայց ինչպես
, ապաուռուցք .

«Կանոն Դոշու» : Որպեսզի հիշեք մեկ այլ pokhіdnoї pov'yazuvati z այտուցվածության որևէ նշան, և որը գրաֆիկի կոր աղեղից, խորհուրդ է տրվում հիշել՝ գումարած ջուր: ծուռ լուսնայիններում, «մինուս ջուրը»՝ ուռուցիկ լուսնայիններում (նկ. 6.4):

Կրապկա գրաֆիկա անխափան գործառույթ, որի մեջ ուռուցիկությունը փոխվում է չի նավպակի ուռուցիկության, կոչվում էանկարգ կետ .

Թեորեմ (բավարար է թեքության կետի նշանի համար).

Յակշո կետում ֆունկցիան
dvіchі տարբերակեց, որ ընկերը tsіy կետով նման է զրոյի, թե ոչ, և նույնիսկ կետով անցնելիս. լավ ընկեր
փոխել նշանը, հետո կետը є թեքման կետ. Կռվածքի կետի կոորդինատները
.

Միավորները, ինչ-որ ընկերոջ համար կարելի է զրոյի թեքվել, թե ոչ, կոչվում են տարբեր տեսակի կրիտիկական կետեր:

Օրինակ 6.4.Իմացեք թեքության կետերը և նշեք կորի այտուցվածության և անկման միջակայքերը
(Curve Gaus):

Ռ լուծում.Մենք գիտենք pershu այդ ընկերը pokhіdnі:
,. Ընկերը լավ է ձեզ համար . Հավասար է զրոյի և virishima otrimane հավասար
, դե
նույնպես
, աստղեր
,
- Այլ տեսակի կրիտիկական կետեր: Կրիտիկական կետն անցնելու ևս մեկ լավ ժամի նշանի փոփոխությունը շրջելը
. Յակշո
օրինակ,
, ապա
, բայց
օրինակ,
, ապա
Tobto ընկերը փոխել նշանը. Օտժե,
- շրջադարձային կետի աբսցիսա, її կոորդինատներ
. Պարիտետային ֆունկցիաների միջոցով
, խայտաբղետ
, սիմետրիկ կետ
, թեժ կլինի թեքության կետ։

Թեորեմ (առաջինը բավարար է Ումովի էքստրեմումի համար)։ Թող ֆունկցիան կետում լինի անխափան, բայց եթե ժամը անցնում է կետով, նշանը փոխվում է։ Todi - ծայրահեղ կետ. առավելագույնը, ինչը նշանակում է, որ նշանը փոխվում է «+»-ից «-»-ի, իսկ նվազագույնը, ինչը նշանակում է «-»-ից «+»:

Բերելով.Արի ինձ հետ:

Լագրանժի թեորեմի համար , de .Todі yakshcho, ապա; դրան , otzhe, , կամ . Դե, ուրեմն; դրան , otzhe, կամ .

Otzhe բերել, scho ցանկացած կետ մոտակայքում, tobto. ֆունկցիայի առավելագույն կետն է:

Նվազագույն կետի թեորեմի ապացուցումը կատարվում է նույն կերպ։ Թեորեմն ավարտված է.

Հենց որ ժամը անցնում է կետով, այն չի փոխում նշանը, ուրեմն կետը ծայրահեղ չէ:

Թեորեմ (ընկերը բավարար է Ումովի էքստրեմումի համար). Թող կետն ունենա նմանատիպ ֆունկցիա, որը երկուական տարբերակիչ է, ստանալով 0 (), իսկ մյուսը ներկայիս կետում նման է զրո () և առանց ընդհատման կետի ակտիվ հարևանությամբ: Todi - ծայրահեղ կետ; որ կետում է նվազագույնը, իսկ որ կետում է առավելագույնը:

Էքստրեմում ֆունկցիայի ճանաչման ալգորիթմ՝ էքստրեմումը լուծելու առաջին բավարար պատճառից հետո:

1. Իմացեք հնարքը.

2. Նշեք ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը:

3. Հետևեք մաշկի կրիտիկական կետում ձախլիկի և աջլիկի նշանին և ծայրահեղությունների դրսևորման մասին visnovo-ի աճին։

4. Իմացեք ֆունկցիայի ծայրահեղ արժեքները:

Էքստրեմում ֆունկցիայի ճանաչման ալգորիթմ՝ ծայրահեղությունը վերացնելու մեկ այլ բավարար պատճառի օգնությամբ:

1. Իմացեք հնարքը.

2. Իմացիր ընկերոջը pokhіdnu.

3. Իմացեք tі կետերը, u yakikh.

4. Այս կետերում նշանակեք նշան:

5. Zrobiti vysnovok ծայրահեղությունների բնույթի մասին.

6. Իմացեք ֆունկցիայի ծայրահեղ արժեքները:

հետույք.Նայել . Մենք գիտենք . Դեյլի, ես համար . Dolіdzhuєmo կրիտիկական կետեր առաջին բավարար մտքի ծայրահեղության օգնության համար: Միգուցե, ինչի համար ես, ես: i կետերում ավելի լավ է փոխել իրենց նշանը՝ «+»-ում «-»-ի, իսկ «-»-ում՝ «+»-ի: Tse-ն նշանակում է, որ կետային ֆունկցիան ունի առավելագույնը, իսկ կետը՝ նվազագույնը. . Հավասարեցման համար մենք պետք է հասնենք կրիտիկական կետին՝ մեկ այլ բավարար մտքի և ծայրահեղության օգնությամբ։ Եկեք իմանանք, որ ընկերը կմահանա: Մայիս՝ , իսկ tse նշանակում է, որ կետն ունի առավելագույն ֆունկցիա, իսկ կետը՝ նվազագույն։

Հասկանալով ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտիկները: Հորիզոնական, թույլ և ուղղահայաց ասիմպտոտիկներ: դիմել.

Նշանակում. p align="justify"> Ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտը կոչվում է ուղիղ գիծ, ​​որը թույլ է տալիս ուղիղ գծի կետից դեպի կենտրոն շարժվել զրոյի, երբ գրաֆիկի կետը հեռու չէ: կոորդինատների կոճ.

Տարբերակել ուղղահայաց (նկ. 6.6 ա), հորիզոնական (նկ. 6.6 բ) և ճոճվող (նկ. 6.6 գ) ասիմպտոտները:

Նկ. 6.6 ա ցույց է տրված ուղղահայաց ասիմպտոտ.

Նկար 6.6b-ում - հորիզոնական ասիմպտոտ.

Նկ. 6,6 վ - ասիմպտոտ.

Թեորեմ 1.Ուղղահայաց ասիմպտոտների կետերում (օրինակ՝ ) ֆունկցիան գիտի տարբերությունը, գծերի և կետերի աջակողմյան ձևի միջև կան.

Թեորեմ 2.Թող այդ գործառույթը նշանակվի մեծն ավարտելու և վերջնական սահմաններ հաստատելու համար

І .

Այնուհետև այն ուղիղ է, ֆունկցիայի գրաֆիկի անմխիթար ասիմպտոտ:

Թեորեմ 3.Թող գործառույթը նշանակվի dosit great և іsnuє գործառույթների միջև: Այնուհետև ուղիղ գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկի հորիզոնական ասիմպտոտն է։

Հորիզոնական ասիմպտոտ є մենք այն անվանում ենք վատ ասիմպտոտ, եթե . Դրան, թեև ուղիղ գծում կորն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ, ապա այդ ուղիղ գծում վատ ու վատ բախտ չկա։

հետույք.Իմացեք ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտիկան:

Լուծում. Կետում ֆունկցիան նշանակված չէ, մենք գիտենք կետում ձախ և աջակողմյան գործառույթների միջև.

; .

Նաև ուղղահայաց ասիմպտոտ է:

Գործառույթների հետևողականության և դրանց ժամանակացույցի խրախուսման հիմնական սխեման: հետույք.

Հետևողական գործառույթի ընդհանուր սխեման որ հուշում է її գրաֆիկան։

1. Իմացեք թիրախային տարածքը:

2. Հետևեք պարիտետի գործառույթին՝ անհավասարություն:

3. Իմացեք ընդարձակման կետի ուղղահայաց ասիմպտոտիկաները (ինչպես є):

4. Հետևել ֆունկցիայի վարքագծին անհամապատասխանության մեջ. իմանալ հորիզոնական և հիվանդագին ասիմպտոտները (ինչպես є):

5. Գտի՛ր ֆունկցիայի միապաղաղության ծայրահեղությունները և միջակայքերը:

6. Գտե՛ք գրաֆիկի i կոորդինատային առանցքներով գծի կետերը, քանի որ դա անհրաժեշտ է սխեմատիկ գծապատկերի համար՝ լրացուցիչ կետերն իմանալու համար։

7. Սխեմատիկորեն զանգահարեք ժամանակացույցը:

Մանրամասն սխեմահետևողական գործառույթներ որոնք խրախուսում են գրաֆիկան .

1. Իմացեք նպատակակետ տարածքը .

ա. Yakshcho є znamennik, vin մեղավոր է zratatisya 0-ում:

բ. Զուգակցված փուլի արմատի ենթաարմատը կարող է լինել ոչ բացասական (զրոյից մեծ կամ հավասար):

գ. Sublogarithmic virase-ը կարող է դրական լինել:

2. Հետևեք պարիտետի գործառույթին՝ անհավասարություն:

ա. Yakscho, այնուհետև գործառույթը զուգակցվում է:

բ. Յակշչո, այնուհետև ֆունկցիան չզուգակցված է:

գ. Յակշչո ոչ վիկոնանո ոչ, ոչ , ապա գլոբալ հայացքի ֆունկցիան է։

3. Իմացեք ընդլայնման կետի ուղղահայաց ասիմպտոտիկները (ինչպես є):

ա. Ուղղահայաց ասիմպտոտը կարող է ավելի քիչ արտահայտված լինել հանձնարարված ֆունկցիայի միջտարածաշրջաններում:

բ. Yakscho (կամ ), ապա գրաֆիկի ասիմպտոտը ուղղահայաց է:

4. Հետևեք ֆունկցիայի պահվածքին անհամապատասխանության մեջ. իմանալ հորիզոնական և հիվանդագին ասիմպտոտները (ինչպես є):

ա. Յակշո, ապա գրաֆիկի ասիմպտոտը հորիզոնական է։

բ. Յակշչո Ի ապա ուղիղ գիծը գրաֆիկի թույլ ասիմպտոտ է:

գ. Ինչ վերաբերում է a, b պարբերություններում նշված սահմաններին, ապա դա հնարավոր է միայն միակողմանի չափազանցությամբ մինչև անհամապատասխանություն (կամ ), ապա ասիմպտոտիկները կլինեն միակողմանի՝ ձախակողմյան և աջակողմյան .

5. Գտե՛ք ֆունկցիայի միապաղաղության ծայրահեղությունները և միջակայքերը:

ա. Իմացեք փոխինու.

բ. Իմացեք կրիտիկական կետերը (ti կետեր, de chi de nemaє):

գ. Թվային առանցքի վրա նշանակեք նշանակված տարածքը և її կրիտիկական կետերը:

դ. Թվային միջակայքերի բովանդակության մաշկի վրա նշեք հաջորդի նշանը:

ե. Ըստ այդ տեսակների ծայրահեղությունների դրսևորման մասին բեղերի նմանատիպ հետազոտությունների նշանների.

զ. Ծանոթացեք ծայրահեղ արժեքներին.

է. Ըստ աճի և փոփոխության մասին բեղերի երթային աճի նշանների։

6. Իմացեք գրաֆիկի գծի կետերը i կոորդինատային առանցքներով, քանի որ դա անհրաժեշտ է սխեմատիկ գծապատկերի համար, իմանալ լրացուցիչ կետերը:

ա. Schob-ը, որպեսզի իմանաք գրաֆիկի գծի կետերը vіssyu-ից, անհրաժեշտ է առանձնացնել գիծը: Կետերը, դե զրոյական, կլինեն z vyssyu գրաֆիկի գծի կետերը:

բ. Գրաֆիկի գծի կետը երևում է վերևից։ Vaughn іsnuє, դա ավելի քիչ է նման մի կետի մուտք գործել նշանակված գործառույթի տարածք:

8. Սխեմատիկորեն զանգահարեք ժամանակացույցը:

ա. Առաջացնել կոորդինատային համակարգը և ասիմպտոտները:

բ. Նշեք ծայրահեղ կետերը:

գ. Կոորդինատային առանցքներով նշեք գրաֆիկի ընդմիջման կետերը:

դ. Գծապատկերը սխեմատիկ կերպով դրդեք այնպես, որ անցնելով նշանակված կետերով և մոտենալով ասիմպտոտներին.

հետույք.Հետևեք ֆունկցիային և սխեմատիկ կերպով դրդեք її գրաֆիկը:

2. - վայրի մտքի ֆունկցիան.

3. Oskіlki i , ապա ուղիղ գծեր є ուղղահայաց ասիմպտոտներ; կետեր і є կետավոր. , երբ չմտնեք նշանակված գործառույթի տարածք