Izravno poznavati koordinate ortogonalne projekcije točke. Projekcija točke na ravnu liniju Koordinate projekcije točke na ravnu liniju. Projekcija točke na pravac - teorija, primijeniti to rješenje

Tsya članak o razumijevanju projekcije točke na ravnu liniju (sve). Mi damo yoma je imenovan za vikoristannya mali, što objašnjavam; Vivchimo način zadavanja koordinata projekcije točke na ravnu liniju (na ravni ili trivijalni prostor); Hajdemo ga isprobati.

U članku "Projekcija točke na ravninu, koordinate" pitali smo se treba li projektiranje figure podrazumijevati pod pojmovima okomito ili ortogonalno projektiranje.

Svi geometrijski likovi su presavijeni u točke; Dakle, da bismo mogli projicirati lik na ravnu liniju, potrebno je voditi računa o sposobnosti projiciranja točke na ravnu liniju.

Imenovanje 1

Projekcija točke na ravnu liniju- tse ili sama točka, kako bi trebala ležati na danoj ravnoj crti, ili osnovica okomice spuštene s točke na danoj ravnoj crti.

Pogledajmo sitnice u nastavku: točka H 1 služi kao projekcija točke M 1 na ravnu liniju a, a točka M 2, koja leži na pravoj liniji, projekcija je sama sebi.

Oznaka je ispravnija za vipadku na površini iu trivimernom prostoru.

Da bismo uzeli projekciju točke M 1 na pravac a na ravninu, povucimo pravac b, koji prolazi kroz zadanu točku M 1 i je okomit na pravac a. U ovom redoslijedu, sjecište pravaca a i b bit će projekcija točke M 1 na pravac a.

U trivijalnom prostoru projekcija točke na ravnu crtu služit će točka križnice pravca a i ravnine α koja će prolaziti kroz točku M 1 okomito na pravac a.

Vrijednost koordinata projekcije točke na ravnu liniju

Pogledajmo lance u pejzažima dizajna na ravnom iu trivijalnom prostranstvu.

Zadajte nam zadatak pravokutnog koordinatnog sustava O x y, točka M1 (x1, y1) i pravac a. Potrebno je znati koordinate projekcije točke M1 na pravac a.

Prođimo kroz zadanu točku M 1 (x 1, y 1) pravac b okomit na pravac a. Prijelomna točka je označena kao H1. Točka H 1 bit će točka projekcije točke M 1 na ravnu liniju a.

Iz opisa je moguće formulirati algoritam koji vam omogućuje da znate koordinate projekcije točke M 1 (x 1 y 1) na ravnu liniju a:

Preklopne ravne linije (kao što nije navedeno). Za zdíysnennya ts_êí̈ díí nebhídna navička skladannya glavni rivnyan na stanu;

Snimite poravnanje pravca b (da prolazi kroz točku M 1 i okomito na pravac a). Ovdje će se dopuniti članak o poravnanju pravca, da prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac;

Očito je da su koordinate projekcije uzete kao koordinate sjecišta pravaca a i b. I ovome je dokazan sustav jednakosti, skladišta poput - izjednačenja pravaca a i b.

guza 1

Na ravnini O x y dana točka M 1 (1, 0) je pravac a (visoka linija - 3 x + y + 7 = 0). Potrebno je zadati koordinate projekcije točke M1 na pravac a.

Riješenje

Poravnanje zadano ravnom crtom, koje prema algoritmu prenosimo na najkraći zapis poravnanja pravca b. Pravac b je okomit na pravac a, pa je normalni vektor pravca a direktni vektor pravca b. Tada se direktni vektor pravaca b može napisati kao b → = (3, 1). Zapišimo kanonsko poravnanje pravca b, ali trebamo postaviti i koordinate točke M 1 kroz koju prolazi pravac b:

Konačni rez pokazuje koordinate sjecišta ravnih linija a i b. Idemo dalje kanonski rivnyan izravni b na zagalny ji jednak:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Napravimo sustav jednadžbi od gornjih jednadžbi pravaca a i b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Pa, uzeli smo koordinate projekcije točke M 1 (1, 0) na ravnu liniju 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Prijedlog: (- 2 , - 1) .

Izvješće će biti pregledano ako je potrebno navesti koordinate projekcije postavljena točka na koordinatnim pravcima i njima paralelnim pravcima.

Neka su zadani koordinatni pravci O x í O y, kao i točka M 1 (x 1, y 1). Shvatio sam da će projekcija dane točke na ravnu liniju koordinata O x oblika y = 0 biti točka s koordinatama (x 1, 0) . Dakle, projekcija zadane točke na pravu koordinatu O y bit će koordinata 0 , y 1 .

Be-yaku sasvim prav, paralelno s osi apscisa, možete krivo postaviti divlji ljubomoran B y + C = 0 ⇔ y = - C B, i ravna, paralelna s osi y - A x + C = 0 ⇔ x = - C A.

Tada projekcije točke M 1 (x 1, y 1) na ravnu liniju y \u003d - C B i x \u003d - CA postaju točke s koordinatama x 1, - C B i - CA A, y 1.

guza 2

Uzmite koordinate projekcije točke M 1 (7, - 5) na koordinatni pravac O y , a također i na pravac paralelan s pravcem O y 2 y - 3 = 0 .

Riješenje

Napišimo koordinate projekcije zadane točke na pravac O y: (0 - 5) .

Zapišimo poravnanje ravne linije 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Postaje jasno da je projekcija zadane točke na pravac y = 3 2 s koordinatnom matricom 7 3 2 .

Prijedlog:(0 , - 5) i 7 , 3 2 .

Neka trivijalni prostor ima pravokutni koordinatni sustav O x y z , točku M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) i ravnu liniju a . Poznate su nam koordinate projekcije točke M1 na pravac a.

Propustit ćemo ravninu α kroz točku M1 i okomito na pravac a. Projekcija zadane točke na pravac a postaje točka na pravac a i ravninu α. Na temelju toga uvodimo algoritam za vrijednost koordinata projekcije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravnu liniju a:

Zapisujemo poravnanje pravca a (jer nije navedeno). Da biste razumjeli ovaj zadatak, potrebno je upoznati se s ovim člankom o poravnanju ravnih linija u prostoru;

Možemo li pohraniti ravnost?

Znamo koordinate projekcije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravnu liniju a - tu će biti koordinate točke križnice prave α i ravnine α (za pomoć - članak "Koordinate točke poprečne linije ravne linije ravnine").

guza 3

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z , i u níy - točka M 1 (0, 1, - 1) i pravac a . Pravac a odgovara kanonskom poravnanju: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Odredite koordinate projekcije točke M1 na pravac a.

Riješenje

Vykoristovuëmo vkazyvshee algoritam. Rivnyannya ravna linija, algoritam preskače prvi korak. Zapišimo poravnanje površine α. Za koje su značajne koordinate vektora normale površine. Iz zadanih kanonskih poravnanja pravca a možemo vidjeti koordinate direktnog vektora pravca: (3, - 4, 1), koji će biti vektor normale površine α, okomit na ravnjak a. Todi n → = (3, - 4, 1) je vektor normale površine α. U ovom redoslijedu, ravnina α matime izgledala je jednako:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Sada znamo koordinate sjecišta pravca i ravnine α, za što postoje dva načina:

1. Zadaci kanonskog poravnanja omogućuju vam poravnanje dviju ravnina koje se preklapaju, a koje predstavljaju ravnu liniju a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Poznavati točke poprečne crte prave 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 i ravnine 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Na ovom posebnom tipu vikoristovuêmo Cramerovu metodu, ali možete zasosuvat da li je ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Na taj način, projekcija zadane točke na ravnu liniju a je točka s koordinatama (1, 2, 0)

1. Na temelju zadataka kanonskih poravnanja lako je napisati parametarsko poravnanje pravca u prostoru:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Zamislimo u razini ravnine, što se može vidjeti kao 3 x - 4 y + z + 5 = 0 umjesto x , y í z njihov izraz kroz parametar:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Izračunajmo koordinate točke križanja pravca a i ravnine α iza parametarskih poravnanja pravca a pri λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Dakle, projekcija zadane točke na ravnu liniju a ima koordinate (1, 2, 0)

Prijedlog: (1 , 2 , 0)

Značajno je da će projekcije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na koordinatne pravce O x , O y i O z biti točke s koordinatama (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) i (0 , 0 , z 1) vrijedi.

Kako ste se sjetili oprosta u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter

pomoći nekom drugom online kalkulator možete znati projekciju točke na ravnu liniju. Nadamo se da ćemo prijaviti rješenje s objašnjenjima. Da biste izračunali projekciju točke na ravnu liniju, postavite udaljenost (2- izgleda kao ravna crta u ravnini, 3- izgleda kao ravna crta u prostoru), unesite koordinate točke te točke. element poravnanja u okviru i pritisnite gumb "Verishity".

×

unaprijed

Očistiti sve sobe?

Zatvori Clear

Upute za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjenjuje se: 487, 5, -7623 tank.), desetina (npr. 67., 102,54 tank.) ili razlomci. Razlomak se mora otkucati pri pogledu na a / b, de a í b (b> 0) tsílí ili desetine brojeva. Nanesite 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 tanko.

Projekcija točke na pravac - teorija, primijeniti to rješenje

Pogledajmo zadatak na dvosvjetskim i trosvjetnim prostranstvima.

1. Neka je dvosvjetovnom prostoru dana točka M 0 (x 0 , g 0) ja ravno L:

Algoritam za projekciju točke na ravnu liniju L osvetiti se ovako:

• izravno zatražiti L 1 proći kroz točku M 0 i okomito na pravac L,
• znati raspon ravnih linija Lі L 1 (točka M 1)

Ravna crta koja prolazi kroz točku M 0 (x 0 , g 0) može izgledati ovako:

Vídkríêmo lukove

(5)

Pretpostavimo vrijednost xі g na 4):

de x 1 =mt"+x", g 1 =bod"+y".

Primjer 1. Poznavati projekciju točke M 0 (1, 3) ravno

Tobto. m=4, str=5. Iz poravnanja pravca (6) jasno je da će prolaziti točkom M" (x", y")=(2, −3)(što je lako promijeniti - zamjenom vrijednosti (6) dobiva se identitet 0=0), tada. x"=2, y"=-3. Pretpostavimo vrijednost m, p, x 0 , g 0 ,x", y" na 5"):

2. Neka se da točka na trosvjetovni prostor M 0 (x 0 , g 0 , z 0) ja ravno L:

Značenje projekcije točke na ravnu liniju L osvetiti se ovako:

• poticati stan α , proći kroz točku M 0 i okomito na pravac L,
• poznavati područje mrežnice α ja ravno L(točka M 1)

Ravnost ravnine koja prolazi kroz točku M 0 (x 0 , g 0 , z 0) može izgledati ovako:

Vídkríêmo lukove

Pretpostavimo vrijednost xі g oko 9):

Projekcija točke na ravnu liniju je jednostavna za napraviti, a za posljednjih nekoliko operacija, nulta blizina se izračunava kao projekcija točke na točkastu ravnu liniju. Pogledajmo ovaj broj aspekata zajedničkog zadatka.

Neka ide ravno

ja mrlja. Važno je da vektor ravnih linija w može biti prilično dug. Pravac prolazi točkom , gdje je parametar t jednak nuli, a vektor w može biti ravan. Potrebno je znati projekciju točke na ravnu liniju. Postoji samo jedno rješenje. Inducirat ćemo vektor iz točke pravca u točku i izračunljivo skalarni kruti vektor i vektor pravca w. Na sl. 4.5.1 prikazuje izravni vektor linija w, dana točka. Podijelimo li ovo skalarno proširenje na duljinu vektora w, oduzimamo duljinu projekcije vektora na ravnu liniju.

Riža. 4.5.1. Projekcija točke na ravnu liniju

Podijelimo li produžetak skalara s kvadratom vektora w, tada oduzimamo projekciju vektora na pravac u jedinicama produžetka vektora w, pa uzimamo parametar t za projekciju točke na ravna linija.

Dakle, parametar projekcije točke na ravnu liniju i radijus-vektor projekcije ; izračunati pomoću formula

(4.5.3)

Ako je duljina vektora w jednaka 1, tada (4.5.2) nije potrebno oduzimati od točke do projekcije na krivulji u strmom nagibu, ona se računa kao duljina vektora. Možete izračunati udaljenost od točke do njezine projekcije na ravnoj liniji, ne izračunavanjem projekcije točke, već ubrzanjem formule

Okremí pada.

Projekcija točke na analitičke krivulje može se znati i bez poznavanja numeričkih metoda. Na primjer, da bi se znala projekcija točke na završni rez, potrebno je točku koja se projicira prevesti u koordinatni sustav krajnjeg reza, projicirati točku na ravninu krajnjeg reza i znati parametar dvodimenzionalne projekcije zadane točke.

Zagalni vpadok.

Neka je potrebno znati sve projekcije točke na krivu liniju.

(4.5.5)

Cilj je osvetiti se jednoj nepoznatoj vrijednosti - parametru t. Kako je već rečeno, izvršenje tog zadatka je podijeljeno u dvije faze. U prvoj fazi označavamo nultu aproksimaciju parametara u projekcijama točke na krivulji, a u drugoj fazi znamo točne vrijednosti parametara u krivulji koji zadaju projekcije dane točke na krivulji do pravca z