Odredite koordinate središta mase homogenog pravca. Kako izračunati težište ravnog opisanog lika uz pomoć integrala podžice? Redoslijed vikonannyja tipične rozrahunke

Vodit ćemo kundak mete do središta mase tijela metodom podílu joge na granici tijela, središta mase onih u kući.

guza 1. Označite koordinate središta mase homogene ploče (slika 9). Izračunaj zadatke u milimetrima bebo 9.

Riješenje: Prikazujemo koordinatne osi i . Ploču razbijamo na komade, napravljene s tri ravna reza. Za dermalni rektus nacrtane su dijagonale čije točke poprečne trake označavaju položaj središta mase dermalnog rektusa. U usvojenom koordinatnom sustavu nije lako izračunati vrijednosti koordinata i točaka. I sebi:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Područja kože tijela su umjereno poboljšana:

; ; .

Područje svih ploča je dobro:

Za dodjelu koordinata središtu mase zadane ploče potrebno je virazi (21). Predstavljamo vrijednost svih poznatih veličina ovaj čovjek je jednak, poduzete

Vídpovídno do otrimanih vrijednosti koordinata do središta mase ploče, možete odrediti točku na maloj. Kao što vidite, središte mase (geometrijska točka) ploče nalazi se iza granica.

Metoda zbrajanja. Tsej sposíb ê chastkovy vpadkom način podílu. Vín može zastosovuvatisya na tíl, yakí mayut virízi (prazno). Štoviše, bez vir_zanoí̈ dio položaja centra mase tijela je vidljiv. Pogledajmo, na primjer, zastosuvannya takvu metodu.

guza 2. Označite položaj središta mase vagine okrugle ploče polumjera R, de ê viríz polumjera r (slika 10). Dođi.

Riješenje: Kao i Bachimo, sa sl.10 središte mase ploče leži na osi simetrije ploče, odnosno na ravnoj liniji, krhotine su ravne, sva simetrija. Dakle, da bi se odredio položaj središta mase ploče, potrebno je zadati samo jednu koordinatu, ali će ostale koordinate biti nacrtane na osi simetrije i jednake nuli. Pokažimo koordinatne osi. Prihvaćeno je da je ploča sastavljena od dva tijela - od novog kolca (ne bez viriza) to tijelo, kao nibi vikonane s virizom. U usvojenom koordinatnom sustavu koordinate za označavanje tijela su: .Površine tijela su: ; . Ukupna površina cijelog tijela jednaka je razlici između površina prvog i drugog tijela, te

Izračunajte vrijednosti m, te je potrebno uskladiti formule (4), (5) i (7). Kao rezultat toga, uzimamo formule za koordinate središta mase tanke ploče :

Kundak 4 (izračun koordinata središta mase uniformne haljine)

Odredite koordinate središta mase homogene figure okružene crtama i .

Nakon što smo nadahnuli figuru, primjećujemo da je geometrijski izvana i simetrična poput ravne linije. dešnjak. Zatim iza zadanih fizikalnih sila postavljamo središte mase da se vina nalaze na osi simetrije, tako da

Za izračun zbrojite statički moment i dobijte formule (4) i (5):

;

Prijedlog: C.

Dodaci trećih integrala

Programi za dodatne integracije slični su suplementima podintegrala, ali samo za trivimere.

Ako želite osvojiti jednu od potencija trostrukog integrala (otprilike iste vrijednosti funkcije, koja je također jednaka vrijednosti jedan), onda idite formula za izračun obveze da se prostrano tijelo :

Zapišimo formulu za obyagu kroz treći integral i izračunati integral gubitka u cilindričnim koordinatama:

Vidpovid: (sam obvezat).

Formula za izračunavanje mase trivimernog objekta koji posuđuje volumen V, može izgledati:

(13)

Ovdje je volumen schílníst rozpodílu masi.

stražnjica 6

Znati masu hladnog radijusa R kako je prostor proporcionalan kocki u središtu i na jednom zidu k.

V: elementarni volumen ta .

Vrijedno je napomenuti da pri izračunu trostrukog integrala više nije bilo integrala, činilo se da su čipovi unutarnjih integrala ispali u slučaju promjene vanjskih integrala.

Vidpovid: (pojedinačna masi).

Mehanička svojstva za uvez V(Statički momenti, momenti tromosti, koordinate prema središtu mase) izračunavaju se prema formulama, npr.

presavijeni po analogiji s formulama za dvosvjetska tijela.

Elementarni statički momenti i momenti tromosti duž koordinatnih osi:

elementarni momenti tromosti duž koordinatnih ravnina i točaka na koordinatnoj točki:

Dali, izračunati mehaničke karakteristike cijelog obyagua V,Potrebno je zbrojiti elementarne dodatke karakteristika za sve dijelove sloma (računaju se karakteristike najveće snage aditivnosti), a zatim ići na granicu u zbroju, koji je bio izvan pameti, da su svi elementarni dijelovi raščlambe će se promijeniti (skupiti u točke). Količine su opisane kao integracija elementarnog dodatka mehaničkih karakteristika, koje su izračunate, za obvezno V.

Kao rezultat toga, dođite formule za izračunavanje statičkih momenata M i momenata tromosti I trivi- mer tíl :

Uistinu, formulirali su formule kao pobjedničke kao što su spremni, i vodili ih u virishuvaniy zadatke.

Primijeni 7 (proračun mehaničkih karakteristika trodimenzionalnih tijela)

Odredite moment tromosti jednolikog valjka čija je visina h i radijus baze R, kako osi, koja zbígaêtsya s promjerom baze.

Znamo d za parcijalnu točku cilindra:

premjestiti na točku s koordinatama na os – duljina okomice povučene iz središta točke na os . Napravimo ravninu okomitu na os tako da točka leži na toj ravnini. Onda budi ravna, koja siječe sve i leži na ovoj ravnini, bit će okomita . Zokrema, ravna linija, koja spaja točku i točku, bit će okomita na osu, a ako staneš između tih točaka, bit ćeš šukana. d. Izračunajte yogu za zadanu formulu između dvije točke.

3 Dodaci temeljnih integrala

3.1 Teorijski uvod

Pogledajmo programe underwire integral do vrha niskih geometrijskih zadataka i zadataka mehanike.

3.1.1 Izračun površine ravne ploče

Pogledajmo ploču od tankog materijala D, proširen u stan Ohu. područje S tsíêí̈ ploče mogu se pronaći uz pomoć integrala podzemne struje za formulu:

3.1.2 Statički momenti. Središte mase ravne ploče

statički moment M x shodo os Vol materijalna točka P(x;g) koji leže u blizini stana Oxy i maê masu m, To se zove dobutok massi točke na njenoj ordinati, tobto. M x = moj. Slično, statički moment M g shodo os jao: ­ ­ ­ M g = mx. Statički momenti ravne ploče s površinskim prorezom γ = γ (x, y) izračunavaju se pomoću formula:

Kao što se vidi iz mehanike, koordinate x c ,y c centri mase ravnog materijalnog sustava definirani su jednakostima:

de m- Masa sustav, i M xі M g- Statički momenti sustava. Težina ravne ploče m određeni formulom (1), statički momenti ravne ploče mogu se izračunati pomoću formula (3) i (4). Todi, zgídno s formulama (5), uzima se viraz za koordinate središta mase ravne ploče:

Tipični rozrahunok osvetiti dva zadatka. Kožni liječnik dobiva ravnu ploču D, okruženo linijama, prikazano za um zadatka. G(x,y) - površinski zazor ploče D. Da biste saznali broj ploča: 1. S- Trg; 2. m- Masu; 3. M g , M x- Statički momenti za sjekire Jojі Oh očito; 4. , - Koordinate središta mase.

3.3 Redoslijed vykonannya tipičnog rozrahunku

Prilikom izvođenja kožnog zadatka potrebno je: 1. Ukloniti stolicu s određenog područja. Odaberite koordinatni sustav za koji će se izračunati podintegrali. 2. Zabilježite područje vizualnog sustava nepravilnosti u odabranom koordinatnom sustavu. 3. Izračunajte površinu S ta masu m ploče prema formulama (1) i (2). 4. Izračunajte statičke momente M g , M x formule (3) i (4). 5. Izračunajte koordinate središta mase koristeći formule (6). Središte mase nanesite na fotelju. Za oduzimanje rezultata krivimo vizualnu (jakiš) kontrolu. Numerički brojevi mogu se oduzeti od trojca brojeva.

3.4 Nanesite tipični ogrtač

Zadatak 1. tanjur D okruženo linijama: g = 4 – x 2 ; x = 0; g = 0 (x ≥ 0; g≥ 0) Debljina površine γ 0 = 3. Riješenje. Područje navedeno u zadatku je okruženo parabolom g = 4 – x 2, koordinatne osi i leže u prvoj četvrtini (sl. 1). Zadatak je modificiran u kartezijevom koordinatnom sustavu. Ovo područje se može opisati sustavom nepravilnosti:

Riža. jedan

područje S ploče su stabilnije (1): Budući da je ploča jednolika, m = γ 0 S= 3 = 16. Iza formula (3), (4) poznati su nam statički momenti ploče: Koordinate središta mas dane su formulom (6): Prijedlog: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M g = 12; = 0,75; = 1,6.

Zadatak 2. tanjur D okruženo linijama: x 2 + na 2 = 4; x = 0, na = x (x ≥ 0, na≥ 0). Debljina površine γ (x,y) = na. Riješenje. Ploča je okružena kolcem i ravnim linijama koje prolaze kroz klip koordinata (sl. 2). Stoga je za izvršenje zadatka potrebno ručno prepisati polarni koordinatni sustav. polarni kut φ promjena iz π/4 u π/2. Promin, koji prolazi od stuba kroz ploču, "ulazi" ispred njega na ρ = 0 i "ulazi" u kolac, jednako: x 2 + na 2 = 4 <=>p = 2.

Riža. 2

Opet, određeno područje može se pisati sa sustavom nepravilnosti: Površina ploče poznata je iz formule (1): Masa ploče poznata je formulom (2), zamjenom γ (x,y) = y = ρ grijeh φ :
Za proračun statičkih momenata ploče možemo koristiti formule (3) i (4):
Koordinate centra mase uzimaju se iz formula (6): Prijedlog: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M g = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Dizajniranje zvuka

Zvijezde mogu imati prikaz svih vikonan rozrahunka, uredno vikonan fotelja. Numerički brojevi mogu se oduzeti od trojca brojeva.

– proračun za težište je ravan resast lik . Bogati čitatelj intuitivno razumije što je težište, preporučujem ponavljanje gradiva jedne od lekcija analitička geometrija de riješio sam zavdannya o težištu trikutnika te u pristupačnom obliku dešifrirajući fizički pojam.

Kod samostalnih i kontrolnih zadataka, za savršenstvo, u pravilu se propagira najjednostavniji vipadok - stan je okružen homogena figura, objaviti postiynoí̈ fizičku snagu - staklo, derev'yana, kositar'yana chavunní ígry, teško djetinjasto je tanko. Dali za umovchannyam mova píde tílki o takvim brojkama =)

Prvo pravilo je najjednostavnija stražnjica: iako je figura ravna centar simetrije, zatim vin ê centar gravitacije tsíêí̈ lik. Na primjer, središte okrugle uniformne ploče. To je logično i životno svjesno - masa takve figure je poput središta “pravedno raspoređena na sve strane”. Vjeruj - ne želim.

Međutim, u stvarnosti, malo je vjerojatno da ćete dati sladić eliptična čokoladica Tom će se morati pozabaviti ozbiljnim kuhinjskim alatom:

Koordinate težišta jednolike ravne opisane figure pokrivene su naprednim formulama:

, ili:

, de - područje regije (brojke); ali ajmo ukratko:

, de

Integral se mentalno naziva “ixovim” integralom, a integral je “igrom” integral.

Prijem-dorada : za ravne izbrazdane heterogena figure čija je širina dana funkcijom, formule za preklapanje:
, de - Masa figure;u vremenima ujednačene snage, smrad će se oprostiti uvođenju više formula.

Na formule, vlasne, sve novosti i krajeve, reshta - sve vaše vminnya virishuvati subvincial integrals, do točke govora, odjednom se nada čudesnoj sposobnosti da razradi i usavrši svoju tehniku. A temeljitost, kako se čini, nema razlike =)

Bacanje velikog dijela parabole:

guza 1

Odredite koordinate središta vagi jednolike plosnate figure okružene linijama.

Riješenje: linije su ovdje elementarne: postavite cijelu apscisu, a jednake - parabolu, tako da ćete lako dobiti pomoć geometrijska transformacija grafike:

– parabola, Gurnuo 2 jedinice ulijevo i 1 jedinicu prema dolje.

Šivam cijelu fotelju s gotovom točkom u središte ćudljivosti figure:

Vladaj prijatelju: što ima figura sva simetrija, tada će težište ove figure ležati na njezinoj osi.

Naša figura je simetrična prema shodou ravno tako da zapravo već znamo "ix" koordinatu točke "em".

Također je važno poštovati da je težište pomaka bliže osi apscise duž okomice, oscilatori su tamo masivni.

Dakle, možda još nisu svi shvatili kako izgleda središte vage: budite ljubazni, podignite prst uzbrdo i stavite točku na novo osjenčano "stopalo". Teoretski, figura nije kriva za pad.

Po formulama su poznate koordinate težišta lika de .

Ovdje je očit redoslijed zaobilaženja područja (figura):

Poštovanje! Određuje se najuspješnijim redoslijedom premosnice jednom- Koristim jogu za sve integriran!

1) Na poleđini izračunavam površinu figura. Kroz očiglednu jednostavnost integrala, rješenje se može složiti kompaktno, bezveze, da se ne izgubi u izračunima:

Čudimo se fotelji i pravimo se da smo na kvadratu. Viyshlo bílya to učiniti.

2) X-koordinata težišta je već pronađena "grafičkom metodom", tako da se možete pozvati na simetriju i prijeći na sljedeću točku. Međutim, još uvijek nije raja tako raditi - super je misliti da je dobra ideja odbaciti formulu "osvoji formulu".

Poštujte da se ovdje možete baviti izračunima boje vina - ponekad nije obavezno dovoditi razlomke do dvostrukih standarda i mučiti kalkulator.

Na ovaj način:
, Što i treba poduzeti.

3) Znamo ordinatu težišta. Izračunajmo grčki integral:

A os ovdje bez kalkulatora bila bi teška. O svakoj promjeni ću komentirati da je zbog mnoštva bogato podijeljenih članova 9 članova, štoviše, đakoni su im slični. Slične dodatke sam cijepio oralno (kako zvučati kao robiti na takvim vipadkama) i odmah zapisujući iznos torbe.

Kao rezultat:
koja je sve sličnija istini.

U završnoj fazi, to je označeno na mrljici fotelje. Za um nije bilo potrebno napraviti fotelju, ali u većem broju želim prikazati figuru, čak i ako to ne želim. Natomist je ludi plus - vizualna i učinkovita ponovna provjera rezultata.

Vidpovid:

Dođite dva puta nezavisnog rješenja.

guza 2

Odredite koordinate središta vagi jednolike plosnate figure okružene linijama

Prije govora, kao što vidite, kao parabola se nakostriješi i točkice izvrte, u kojoj je sve prevrnuto, onda se ovdje zaista može bez fotelje.

Í savijanje:

guza 3

Pronađite središte vagi jednolike plosnate figure, okružene linijama

U vrijeme poteškoća iz rasporeda nakon proračuna, vivchit (ponoviti) parabolična lekcija i/ili kundak br. 11 statti Viseći integrali za čajnike.

Srazkoví zrazki rješenje poput lekcije.

Osim toga, u arhivama sa strane nalazi se desetak sličnih aplikacija Gotova rješenja za vašu matematiku.

Pa, ne mogu ne zadovoljiti ljubavnike napredna matematika, Koliko me često tražite da riješim važne zadatke:

guza 4

Pronađite središte vagi jednolike plosnate figure, okružene linijama. Lik tog njezinog težišta prikazan je na naslonjaču.

Riješenje: umova tsíêí̈ zadachi vzhe kategorički vmagaê vykonannya fotelja Aje vimoga ne nastílki í formalno! - Tsyu figura zdatna da otkrije u umu osobu sa srednje razine obuke:

Ravno roz_kaê kolo na 2 dijela, i dodatni štitnik (Div. linearne nepravilnosti) Ističem onima da mogu ići sam o malom sjenčanju shmatochok.

Figura je simetrična i vizualno ravna (prikazana isprekidanom linijom), težište je krivo što leži na ovoj liniji. Í očito je da su yogo koordinate jednake iza modula. Smjernica koja praktički uključuje oprost!

Sada je to prljava novotarija =) Na horizontu se nazire slaboprijemni integral iz roota, koji smo navodno preuzeli iz Primijenjene br. 4 na lekciju. Učinkovite metode rješavanja integracija. I tko zna što je još tamo naslikano. Bilo bi dano, kroz prisutnost cola Očito nije sve tako jednostavno. Rivnyannya ravna linija transformira se na prvi pogled a integracija možda nije istinita (ako fanatici žele trigonometrijski integrali procijeniti). Na spoju sa zimom zupinitet je češći na kartezijevim koordinatama.

Redoslijed zaobilaženja figure:

1) Izračunajte površinu figure:

Prvi integral racionalnog uzimanja p_dvedennyam p_d znak diferencijala:

A u drugom integralu izvršit ćemo standardnu ​​zamjenu:

Prebrojimo novu međuintegraciju:

2) Znamo.

Ovdje kod 2. integrala postoji novi obrat metoda. Vídpratsyuyte ta vízmít na ozbroênnya qí optimalno (na pameti) prihvatiti razvoj tipičnih integrala.

Nakon teškog i trivijalnog, kalkulirajte opet zvjerski pogled na fotelju (zapamtite da bodovi Još uvijek ne znamo! ) i otrimuêmo do određenog stupnja moralnog zadovoljstva s obzirom na pronađenu vrijednost.

3) Vyhodyachi z provedena ranija analiza, izgubljeno pomirenje, scho.

Bilješka:

Reprezentativna točka na stolici. U skladu s formularnim umom, zapisat ćemo je kao ostatak dokaz:

Sličan zadatak za neovisnu viziju:

guza 5

Pronađite središte vagi jednolike plosnate figure, okružene linijama. Vikonati fotelja.

Zanimljiva nam je činjenica da je u njemu lik dat za male uspomene, a ako postoji malo vremena za pomilovanje, tada se visoka razina vatre "ne troši" u regiji. Što je, bezperechno, dobro s gledišta kontrolnog rješenja.

Srazkovy zrazok dizajniran kao lekcija.

Ínodi buvaê dotsílnim prijelaz na polarne koordinate pri nižim integralima. Vidi sliku. Šukav-šukav doma daleko zadnjica Ako ne znate, pokazat ću vam rješenje za 1. ogledni zadatak zadane lekcije:


Pogodite do čega smo došli u toj guzici polarne koordinate, objasnio je proceduru zaobilaženja područja i virahuvali njezino područje

Poznajmo težište figura. Shema je ista: . Vrijednost je vidljiva izravno iz fotelje, a "ix" koordinata se može pomaknuti malo bliže y-osi, krhotine su tamo razbacane masivnim dijelom piva.

U integralima možemo koristiti standardne formule za prijelaz:

Ymovirno, bolje od svega, nisu imali milosti.