Díí̈ nad matricama i njihovim vyzniki. Glavne operacije na matricama (presavijanje, množenje, transponiranje) iste su snage. Operacija množenja matrica

Matrice. Prijeđite preko matrica. Dominacija operacija na matricama. Vidi matricu.

Matrice može biti važna vrijednost u primijenjenoj matematici, koju je dopušteno napisati u jednostavnom obliku značajnog dijela matematički modeli objekata i procesa. Pojam "matrica" ​​pojavio se 1850. godine. Prije su se matrice pogađale u drevnoj Kini, kasnije u arapskim matematičarima.

Matrica A=Amn red m * n se zove pravocrtna tablica brojeva.

Elementi matrice aij, za koje se i=j nazivaju dijagonale i glavna dijagonala.

Za kvadratnu matricu (m=n), dijagonalu glave čine elementi a 11 , a 22 ,..., a nn .

Rivnistove matrice.

A=B samo redoslijed matrica Aі B međutim, to a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Prijeđite preko matrica.

1. Zbrajanje matrica - operacija element po element

2. Prikaz matrica - rad element po element

3. Dodavanje matrice broju je operacija element po element

4. Višestruki A*B matrica po pravilu red na vrhu(broj stupaca u matrici A može biti jednak broju redaka u matrici B)

Amk * Bkn = Cmn zašto element kože h ij matrice Cmn zbrojite zbroj elemenata i-tog retka matrice A i ostalih elemenata j-tog stupca matrice B, tobto.

Prikažimo operaciju množenja matrica na primjeru

5. Karike na nogama

m>1 stanica datum. A je kvadratna matrica (m=n) tobto. relevantan za kvadratne matrice

6. Transpozicija matrice A. Transponirana matrica se označava s A T ili A

Redovi i stupci bili su obilježeni po misijama

kundak

Moć operacija na matricama

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vidi matrice

1. Pravokutni: mі n- prilično pozitivne brojke

2. Kvadrat: m=n

3. Redak matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - za mnoge praktične zadatke, takva matrica se naziva vektor

4. Matrica Stovpets: n=1. Na primjer

5. Dijagonalna matrica: m=nі a ij = 0, Kao i≠j. Na primjer

6. Samostalna matrica: m=nі

7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Triko matrica: svi elementi ispod dijagonale glave jednaki su 0.

9. Simetrična matrica: m=nі a ij = a ji(da stoje jednaki elementi na simetričnim dijagonalama glave), a također A"=A

Na primjer,

10. Zakrivljena matrica: m=nі a ij =-a ji(Zato se na simetričnim glavnim dijagonalama nalaze protilenski elementi). Također, na dijagonali glave stoje nule (jer sa i=j može biti a ii =-a ii)

razumijem A"=-A

11. Hermitska matrica: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- složeno - primljeno do a ji, onda. yakscho A=3+2i, zatim složeno - dobiveno Ã=3-2i)

Dodjela usluge. Matrični kalkulator dodjele za pojavu matričnih virusa, na primjer, kao što su 3A-CB 2 ili A -1 +B T .

Uputa. Za online rješenja potrebno je postaviti varijablu matrice. U drugoj fazi bit će potrebno razjasniti veličinu matrica. Dopuštene operacije: množenje (*), zbrajanje (+), zbrajanje (-), obrnuta matrica A^(-1), korak prema dolje (A^2, B^3), transponiranje matrice (A^T).

Dopuštene operacije: množenje (*), zbrajanje (+), zbrajanje (-), obrnuta matrica A^(-1), korak prema dolje (A^2, B^3), transponiranje matrice (A^T).
Da biste vidjeli popis operacija, koristite pletenu mrlju sa zarezom (;). Na primjer, za vikonannya tri operacije:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
trebate napisati ovako: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica je pravokutna numerička tablica, koja ima m redova i n stupaca, tako da se matrica može shematski prikazati gledajući u pravokutnik.
Nulta matrica (nulta matrica) imenuje matricu, sve elemente koji su jednaki nuli i postavljeni na 0.
Sama matrica naziva se kvadratna matrica

Dvije matrice A i B jednake yakscho smrad iste veličine i njihovi vídpovídní elementi ívní.
Virogena matrica naziva se matrica koja je jednaka nuli (Δ = 0).

Značajno osnovne operacije na matricama.

Zbrajanje matrica

Ugovoreni sastanak. Zbroj dviju matrica A = | | a i k | | i B=||b i k || iste veličine naziva se matrica C=||c i k || tihi sami razmírív, elementi poput perebuvayut za formulu c i k =a i k + b i k . Prikazano kao C=A+B.

Primjer 6 . .
Operacija presavijanja matrica se proširuje s brojem sabiranja. Očito je A+0=A.
Još jednom, potičemo vas da presavijete više od matrice iste veličine; za matrice različitih proširenja operacija zbrajanja nije dodijeljena.

Matrica vizije

Ugovoreni sastanak. Maloprodaja B-A matrica B i A iste veličine naziva se matrica C takva da je A+C=B.

Reprodukcija matrica

Ugovoreni sastanak. Dodatna matrica A=||a i k || broj α naziva se matrica C = | |

Ugovoreni sastanak. Zadajte dvije matrice A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), štoviše, broj stupaca u A jednak je broju redaka u B . Doboot A do B je matrica C=||c i k ||, čiji elementi stoje iza formule .
Prikazano kao C=A·B.
Shematski se operacija množenja matrica može prikazati na sljedeći način:

i pravilo za izračunavanje elementa stvaranja:

Pidkremlimo nasjeckajte jednom, scho priblut a · b MAê Sens Todi Tilki Todi, ako je broj koraka prvog dorivnika Kilkosti drugi, ispod rada kreativca, broj valjanih valjanih valjaka Rezultat množenja možete provjeriti putem posebnog online kalkulatora.

Primjer 7. S obzirom na matricu і . Poznavati matrice C = A B i D = B A.
Riješenje. S poštovanjem, koristi se A B, ali broj stupaca A jednak je broju redaka B.

S poštovanjem, tada vipadku ima A·B≠B·A . dobutok matrice anticommutatively.
Znamo B A (moguće više).

Primjer 8. S obzirom na matricu . Znajte 3A 2 - 2A.
Riješenje.

.
; .
.
Ovo je značajna činjenica.
Kako se pokazalo, zbrajanje dvaju dvostrukih nula brojeva nije jednako nuli. Za matrice, situacija može ali ne mora biti slična, tako da se proizvodnja matrica različitih od nule može činiti jednakom nul-matricama.

S poštovanjem, elementi matrice ne mogu biti više od broja. Reci mi da opisuješ knjige, kako stajati na svojoj knjižnoj policiji. Neka policija čuva red i neka sve knjige stoje na pjevačkim mjestima. Tablica, kao pravi opis vaše biblioteke (po policiji i sljedećih knjiga o policiji), također će biti matrica. Ale, takva matrica neće biti numerička. Drugi primjer. Umjesto brojeva stoje različite funkcije, međusobno izjedene vrstom ugara. Otrimanova tablica naziva se i matrica. Drugim riječima, Matrix je, takoreći, presavijeni pravokutni stol sličan elementi. Ovdje i dalje govorimo o matricama, savijenim iz brojeva.

Zamijenite okrugle krakove za matrice za snimanje postavljanjem kvadratnih krakova ili ravnih okomitih linija.

(2.1*)

Imenovanje 2. Kao Virazi(1) m = n, onda razgovarati o kvadratna matrica, ali yakscho , zatim o pravokutan.

Vrijednost ugara m i n podijeljena je u posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrice ê ji vyznachnik ili determinanta, Ono što je formirano od elemenata matrice i naznačeno je

Očito je D E = 1; .

Imenovanje 3. Yakscho , zatim matrica A nazvao nedjevica ili ne osobito.

Imenovanje 4. Yakscho detA = 0, zatim matrica A nazvao virogena ili posebno.

Imenovanje 5. Dvije matrice A і B nazvao jednak ona piše A=B kao da smrad može biti isti, razlike i njihovi održivi elementi su jednaki,.

Na primjer, matrice i jednakosti, jer smrad je bliži svijetu i element kože jedne matrice je bliži sličnom elementu druge matrice. A os matrice i ne može se nazvati jednakom, iako su determinante obiju matrica jednake, i matrice su iste, ali ne i svi elementi koji stoje na istim točkama jednakosti. Matrice su različite, tako da je drugačiji svijet moguć. Prva matrica je 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6, a sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale smrad stoji na različitim mjestima u blizini matrice kože. A os matrice je unaprijed, zgídno z vznachennyam 5.

Imenovanje 6. Kako popraviti sprat matrice A i takav je broj njegovih redaka, istih elemenata koji stoje na mrežnici oznaka stupaca i redaka za uspostavljanje kvadratne matrice n- red, preteča toga nazvao manji k- matrični poredak A.

kundak. Napišite tri minora u različitom redoslijedu matrice

U ovoj temi će se razmatrati takve operacije, kao što je zbrajanje te ulazne matrice, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom, transponiranje matrice. Usí znachennya, scho vikoristovuyutsya na ts_y strani, preuzeto s prednje teme.

Preklapanje te vizualne matrice.

Zbroj $A+B$ matrica $A_(m\puta n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\ puta n) =(c_(ij))$, gdje $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1 ,n) $.

Unesite sličnu oznaku za različite matrice:

Razlika između $A-B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n )$.

Objašnjenje prije objave $i=\overline(1,m)$: show\hook

Unos "$i=\overline(1,m)$" znači da se parametar $i$ mijenja iz 1 u m. Na primjer, oznaka $i=\overline(1,5)$ odnosi se na one za koje parametar $i$ ima vrijednost 1, 2, 3, 4, 5.

Obratite pozornost na činjenicu da su operacije zbrajanja i vježbanja namijenjene samo za matrice iste veličine. Vzagali, zbrajanje i vídnímannya matrice - operacije, jasne intuitivno, više znači smrad, u stvari, to je manje zbrajanja ili više očitih elemenata.

Guzica #1

Date su tri matrice:

$$ A=\lijevo(\početak(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \kraj(niz) \desno)\;\; B=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \kraj(niz) \desno); \;\; F=\lijevo(\početak(niz) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \kraj(niz) \desno). $$

Chi, znaš li matricu $A+F$? Poznavati matrice $C$ i $D$, tj. $C=A+B$ i $D=A-B$.

Matrica $A$ za brisanje 2 retka i 3 stupca (drugim riječima, proširenje matrice $A$ je $2\puta 3$), a matrica $F$ za brisanje 2 retka i 2 retka. Proširenja matrica $A$ i $F$ ne bježe, pa ih možemo zbrajati. operacija $A+F$ za ove matrice nije dodijeljena.

Neka su matrice $A$ i $B$ proširene, dakle. podaci matrice trebaju biti jednaki broju redaka i stovptsiv, bit će potrebna operacija dodavanja njima.

$$ C=A+B=\lijevo(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \desno)+ \lijevo(\begin(niz ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(niz) \desno)= \lijevo(\početak(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Znamo matricu $D=A-B$:

$$ D=A-B=\lijevo(\početak(niza) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \kraj(niza) \desno)- \lijevo(\početak(niza) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \right)=\\= \lijevo(\begin(niz) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(niz) \desno) $$

Vidpovid: $C=\lijevo(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(niz) \desno)$, $D=\lijevo(\begin(niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Množenje matrice brojem.

Dodatna matrica $A_(m\puta n)=(a_(ij))$ za broj $\alpha$ je matrica $B_(m\times n)=(b_(ij))$, gdje je $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Naizgled jednostavnije, pomnožiti matricu s brojem - znači pomnožiti element kože zadane matrice s cijelim brojem.

Guzica #2

Dana je matrica: $ A = \ lijevo (\ početak (niza) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \kraj (niza) \ desno)$. Poznavati matrice $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \lijevo(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\lijevo(\begin( niz) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno).\\ -5\cdot A=-5\cdot \lijevo(\početak (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(niz)\desno). $$

Oznaka $-A$ je kratka oznaka za $-1\cdot A$. Dakle, da biste znali $-A$, trebate pomnožiti sve elemente matrice $A$ s (-1). U biti, to znači da se predznak svih elemenata u matrici $A$ mijenja u produljenje:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \lijevo(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno)= \ lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \kraj(niz) \desno) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\lijevo(\početak(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \kraj(niz) \desno);\; -5\cdot A=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \kraj(niz) \desno);\; -A=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \kraj(niz) \desno)$.

Dobutok dvije matrice.

Svrha ovih operacija je glomazna i na prvi pogled nerazumna. Reći ću vam u potiljak ozbiljniji termin, a onda ćemo izvijestiti što to znači i kako to riješiti.

Podskup matrice $A_(m\puta n)=(a_(ij))$ na matricu $B_(n\puta k)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\puta k )=(c_( ij))$, za element kože $c_(ij)$ elementi i-ti redovi matrice $A$ na elementima j-tog stupca matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pokrokovljevo množenje matrica preuzeto je s kundaka. Međutim, imajte na umu da se ne mogu sve matrice množiti. Ako želimo pomnožiti matricu $A$ s matricom $B$, tada je potrebno odmaknuti se, tako da broj stupaca u matrici $A$ bude jednak broju redaka u matrici $B$ ( takve se matrice često nazivaju pleasezhenimi). Na primjer, matrica $A_(5\puta 4)$ (matrica ima 5 redaka i 4 retka), ne može se pomnožiti s matricom $F_(9\times 8)$ (9 redaka i 8 redaka), broj redaka $A matrice $ nije jednak broju redaka u matrici $F$, to je to. $4\neq 9 $. I množenje matrice $A_(5\times 4)$ s matricom $B_(4\times 9)$ je moguće, ali je broj stupaca u matrici $A$ veći od broja redaka u $B$ matrici. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $A_(5\times 4)$ i $B_(4\times 9)$ bit će matrica $C_(5\times 9)$, koja će pokriti 5 redaka i 9 stupci:

Guzica #3

Dana je matrica: $ A = \ lijevo ( \ početak (niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ kraj (niza) \desno)$ i $ B=\lijevo(\početak(niza) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \kraj (niza) \desno ) $. Poznavanje matrice $C = A\cdot B$.

Za proširenje matrice $C$ bitan je red veličine. Ako je matrica $A$ $3\times 4$, a $B$ je $4\times 2$, tada je matrica $C$ $3\times 2$:

Zatim, kao rezultat zbrajanja matrica $A$ i $B$, naizmjenično uzimamo matricu $C$ koja se sastoji od tri retka i dva stupca: $C = \ lijevo ( \ početak (niz) ( cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Što se tiče značenja elemenata, možete pogledati prednju temu: "Matrice. Vidite matricu. Osnovni pojmovi", na cob-u je objašnjeno značenje elemenata matrice. Naša meta je znati vrijednosti svih elemenata u $C$ matrici.

Pogledajmo element $c_(11)$. Za uzimanje elementa $c_(11)$ potrebno je znati zbroj kreacija elemenata prvog retka matrice $A$ i prvog stupca matrice $B$:

Za poznavanje elementa $c_(11)$ potrebno je elemente prvog retka matrice $A$ pomnožiti s drugim elementima prvog stupca matrice $B$, dakle. prvi element je prvi, drugi je drugi, treći je treći, četvrti je četvrti. Očekuje se povlačenje rezultata:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Nastavljamo rješavanje i znamo $c_(12)$. Za koji slučajno množite elemente prvog retka matrice $A$ i drugog retka matrice $B$:

Slično prednjem dijelu, možda:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Pronađeni su svi elementi prvog retka matrice $C$. Prijeđimo na drugi red, koji započinje element $c_(21)$. Da biste to znali, pomnožite elemente drugog retka matrice $A$ i prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Element koji napreduje $c_(22)$ se poznaje množenjem elemenata drugog reda matrice $A$ s elementima drugog reda drugog reda matrice $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Da biste saznali $c_(31)$, pomnožite elemente trećeg retka matrice $A$ s elementima prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

Prvo, vrijednost elementa $c_(32)$ mora se pomnožiti s elementima trećeg retka matrice $A$ s ostalim elementima drugog stupca matrice $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Svi elementi matrice $C$ su pronađeni, nije dovoljno napisati da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( niz) \desno)$ . Abo, napisat ću još jednom:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(niz) \desno)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) =\lijevo(\početak(niz) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \kraj(niz) \desno). $$

Vidpovid: $C=\lijevo(\početak(niz) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \kraj(niz) \desno)$.

Prije govora, često nema smisla izvijestiti o značaju elementa kože za rezultat matrice. Za matrice, čiji je broj mali, možete ga pronaći ovako:

$$ \lijevo(\begin(niz) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(niz)\desno)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(niz) \desno) $$

Imajte na umu da je množenje matrica nekomutativno. Tse znači da u divljini vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za određene vrste matrica, kako nazvati permutacijski(inače putovanje na posao), jednako $A cdot B = B cdot A $. Sama nekomutativnost množenja, potrebno je pokazati kako množimo množenjem te chi i druge matrice: desno je chi zlo. Na primjer, izraz "pomnoži dio koji je uvredljiv pariteta $3E-F=Y$ s matricom $A$ je desnokretan" znači da je potrebno uzeti sljedeći paritet: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.

Matrica $A_(n\puta m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente tj. $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Naizgled jednostavnije, da bi se uzela transponirana matrica $A^T$, potrebno je da vanjska matrica $A$ stupce zamijeni dvostrukim redovima po ovom principu: prvi red - postaje prvi red; buv još jedan red - stajati još jedan red; biti treći red - postati treći korak i tako dalje. Na primjer, znamo transponiranu matricu u matricu $A_(3\times 5)$:

Jasno, budući da je izlazna matrica mala $3\puta 5$, transponirana matrica je $5\puta 3$.

Stvarne karakteristike operacija na matricama.

Ovdje se prenosi da su $alpha$, $beta$ decimalni brojevi, a $A$, $B$, $C$ matrice. Za prve autoritete chotirioh, nakon naznake imena, reshta se može imenovati po analogiji s prvom chotirmom.

U ovom članku možemo izabrati kako izvršiti operaciju zbrajanja matrica istog reda, operaciju množenja matrice brojem i operaciju množenja matrica istim redoslijedom, aksiomatski, možemo staviti snagu operacije, te raspravljati o prioritetu operacija na matricama. Paralelno s teorijom, vodimo izvještajna rješenja aplikacija u kojima se izvode operacije na matricama.

Vrlo je poštovano da se sve što je dolje rečeno svodi na matrice, pomoću elemenata kao što su ê díysní (ili kompleksni) brojevi.

Navigacija sa strane.

Operacija presavijanja dviju matrica.

Određena operacija presavijanja dviju matrica.

Operacija zbrajanja dodijeljena je SAMO ZA MATRICE JEDNOG REDA. Drugim riječima, nemoguće je znati zbroj matrica različite dimenzionalnosti, te je nemoguće govoriti o presavijanju matrice varijantne dimenzionalnosti. Dakle, ne možete govoriti o zbroju matrice i broja ili o zbroju matrice i bilo kojeg drugog elementa.

Ugovoreni sastanak.

Zbroj dviju matrica i - matrica, čiji su elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata matrica A i B, tobto.

Dakle, rezultat operacije presavijanja dviju matrica je matrica istog reda.

Snaga operacije savijanja matrica.

Kakvu snagu može imati rad sklopivih matrica? Na lancu je lako doći do odgovora, ovisno o zbroju dviju matrica zadanog reda i pogađanju snage operacije presavijanja realnih (ili složenih) brojeva.

1. Za matrice A, B i C istog reda, moć asocijativnosti je karakteristična za zbrajanje A + (B + C) = (A + B) + C.
2. Za matrice prvog reda postoji neutralni element nakon zbrajanja, a to je nula matrica. Dakle, moć A+O=A je pravedna.
3. Za nenultu matricu A danog reda, matrica (-A) sa svojim zbrojem je nula matrica: A + (-A) = O .
4. Za matrice A i ovog reda vrijedi moć komutativnosti presavijanja A + B = B + A.

Kasnije, bezlične matrice danog reda daju aditivnu Abelovu grupu (Abelova grupa poput operacije presavijanja algebre).

Zbrajanje matrica - rješavanje aplikacija.

Pogledajmo primjer presavijene matrice.

kundak.

Nađite zbroj matrica i .

Riješenje.

Redovi matrica A i B se povećavaju i povećavaju za 4 puta 2, tako da možemo izvesti operaciju zbrajanja matrice i kao rezultat, uzeti matricu reda 4 puta 2. Potrebno je osmisliti operaciju presavijanja dviju matrica, dodajući element po element:

kundak.

Nađite zbroj dviju matrica і elementi su kompleksni brojevi.

Riješenje.

Ako su redoslijedi matrica jednaki, možemo vikonat dodavannya.

kundak.

Vikoite dodavannya tri matrice .

Riješenje.

Složimo matricu A z B, zatim ćemo ukloniti matricu, dodamo Z:

Uklonite nultu matricu.

Operacija množenja matrice brojem.

Označena operacija množenja matrice brojem.

Operacija množenja matrice brojem dodijeljena je ZA MATRICU BILO KOJEG REDA.

Ugovoreni sastanak.

Zbrajanje matrice i decimalnog (ili kompleksnog) broja- cijela matrica, čiji elementi izgledaju kao da su pomnoženi s odgovarajućim elementima izlazne matrice brojem , tj.

U ovom redoslijedu, rezultat množenja matrice brojem ê je matrica istog reda.

Snaga operacije množenja matrice brojem.

Iz snage operacije množenja matrice brojem, moguće je da množenje nulte matrice s brojem nula daje nultu matricu, a zbrajanje dodatnog broja i nulte matrice je nulta matrica.

Množenje matrice brojem - primijenite taj stih.

Pogledajmo operaciju množenja matrice s brojem na stražnjicama.

kundak.

Pronađite dodatni broj 2 i matricu .

Riješenje.

Da biste pomnožili matricu s brojem, morate pomnožiti element s cijelim brojem:

kundak.

Nađi množenje matrice brojem.

Riješenje.

Element kože dane matrice množimo s cijelim brojem:

Operacija množenja dviju matrica.

Namjenska operacija množenja dviju matrica.

Operacija množenja dviju matrica A i B primjenjiva je samo za pad, ako je broj stupaca u matrici A jednak broju redaka u matrici B.

Ugovoreni sastanak.

Ponovno pokrenite matricu A prema redoslijedu matrice In- takva matrica 3. reda, element kože je najvrjedniji zbroj elemenata i-tog retka matrice na slične elemente j-tog stupca matrice B, zatim,

Dakle, rezultat operacije množenja matrice po redu s matricom je matrica po redu.

Reprodukcija matrice matricom - rješenje aplikacija.

Pogledajmo množenje matrica na kundacima, nakon čega ćemo prijeći na obrat potencije operacije množenja matrica.

kundak.

Pronađite sve elemente matrice C, kako množiti matrice і .

Riješenje.

Redoslijed matrice A povećava se za p = 3 za n = 2, redoslijed matrice se povećava za n = 2 za q = 4, a poredak matrice će biti p = 3 za q = 4. . Ubrzavanje s formulom

Dosljedno, uzimamo vrijednost i u 1 do 3 (ljestvice p=3) za kožu j u 1 do 4 (ljestvice q=4), a n=2 u našem slučaju, tada

Dakle, izračunati su svi elementi matrice Z i matrica, kada se množe dvije zadane matrice, može izgledati .

kundak.

Digitalizirajte matricu množitelja .

Riješenje.

Redovi vanjskih matrica omogućuju nam izvođenje operacije množenja. Kao rezultat, možemo uzeti matricu reda 2 puta 3.

kundak.

S obzirom na matricu . Pronađite dodatne matrice A i B, kao i matrice B i A.

Riješenje.

Ako je redoslijed matrice 3 puta 1, a matrica je 1 puta 3, tada je A⋅B redoslijed 3 puta 3, a dodatna matrica B i A je redoslijed 1 puta 1.

Yak bachite,. Ovo je jedna od snaga operacije množenja matrica.

Snaga operacije množenja matrica.

Ako su matrice A, B i C istog reda, vrijedi sljedeće snaga operacije množenja matrica.

Slijedi vrijednost koja, za različite redove, dodavanjem nulte matrice matrici A daje nultu matricu. Dobutok A također daje nultu matricu, tako da redovi veličina dopuštaju operaciju množenja matrica.

Matrice srednjeg kvadrata nazivaju se tako permutacijske matrice, Operacija množenja je komutativna, pa je . Suzak permutacijskih matrica je par pojedinačnih matrica, bilo da se radi o drugoj matrici istog reda, tako da je pošteno.

Prioritet operacija na matricama.

Operacije množenja matrice brojem i množenja matrice matricom imaju jednaki prioritet. Upravo u tom satu operacije prioritet je veći, niža operacija je presavijanje dviju matrica. Ovim redoslijedom, množenje matrice se broji brojem tog množenja matrica, a zatim se vrši zbrajanje matrica. Međutim, redoslijed operacija nad matricama može se eksplicitno dodijeliti za dodatni luk.

Također, prioritet operacija na matricama sličan je prioritetu koji se dodjeljuje operacijama zbrajanja i množenja realnih brojeva.

kundak.

S obzirom na matricu . Saznajte iz zadanih matrica dodijeljenih díí .

Riješenje.

Počinjemo množenjem matrice A s matricom B:

Sada množimo jednu matricu drugog reda E s dva:

Zbrajamo dvije oduzete matrice:

Operacija množenja uklonjene matrice s matricom A je izgubljena:

Imajte na umu da operacije koje gledaju matrice istog reda A i B nisu potrebne. Razlika između dvije matrice je u biti zbroj matrice A i matrica, pomnožen ispred s minus jedan: .

Operacija izgradnje kvadratne matrice u prirodnom svijetu nije sama po sebi dovoljna, već su krhotine uzastopnih množenja matrica.

Ponesimo torbu.

Bezličnim matricama dodijeljene su tri operacije: zbrajanje matrica istog reda, množenje matrice brojem i množenje matrica istog reda. Operacija zbrajanja bezličnih matrica danog reda generira Abelovu grupu.