Otkrij najvažniju funkciju broja. Najvažnije i najmanje važne funkcije nekoliko promjena u regiji. Funkcije mnogih promjena

Imenovanje 1.11 Neka se postavi funkcija dva mjenjača z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - unutarnja točka područja D .

Yakscho in D ê takvo susjedstvo UM 0 mrlje M 0 , koji za sve točke

zatim mrlju M 0 naziva se lokalna maksimalna točka. I smisao z(M 0 ) - lokalni maksimum.

A što se tiče svih točaka

zatim mrlju M 0 naziva se točka lokalnog minimuma funkcije z(x,y) . I smisao z(M 0 ) - Lokalni minimum.

Lokalni maksimum i lokalni minimum nazivaju se lokalni ekstremi funkcije z(x,y) . Na sl. 1.4 objašnjeno geometrijski zmist lokalni maksimum: M 0 - ukazati na maksimum, na ono što je na površini z = z(x, y) jasna točka C 0 znati bolje iz bilo kojeg drugog razloga C (Koji ima najveći lokalitet).

S poštovanjem, na površini su točkice (npr. Na ), ako znate više C 0 , ale qi točkice (na primjer, Na ) ne ê "sudski" s točkom C 0 .

Zocrema, točka Na potvrđuje razumijevanje globalnog maksimuma:

Slično se određuje globalni minimum:

O poznavanju globalnih maksimuma i minimuma raspravljat ćemo u paragrafu 1.10.

Teorem 1.3 (traženi ekstrem).

Neka funkcija bude postavljena z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Lokalna točka ekstrema.

Što imaš z" x і z" g , onda

Geometrijska potvrda je "očito". Što je sljedeće C 0 na (Sl. 1.4) za crtanje dotično ravnog područja, tu "prirodno" prolazi vodoravno, tj. ispod haube 0° do osi Oh ja do osi OU .

Isto vrijedi i za geometrijsku promjenu privatnih srodnika (Sl. 1.3):

što je bilo potrebno ponijeti.

Termin 1.12.

Što je sljedeće M 0 misliti (1.41), onda se to naziva stacionarna točka funkcije z (x, y) .

Teorem 1.4 (dovoljan um za ekstrem).

Da te pitam z = z (x, y), (x, y) D , budući da u blizini točke mogu postojati privatni događaji različitog reda M 0 (x 0 ,y 0 ) D . I zašto M 0 - Stacionarna točka Izračunajmo:

Dokaz Vicoristovog teorema pomoću onih (Taylorova formula funkcije niza varijabli i teorija kvadratnih oblika), koji nije razmatran od strane bilo kojeg pomagača.

kundak 1.13.

Idite u krajnost:

1. Poznajemo stacionarne točke koje lome sustav (1.41):

tako da smo pronašli neke stacionarne točke. 2.

nakon teorema 1.4, točke imaju minimum. I zašto

prema teoremu 1.4 u točki

Maksimum. I zašto

§10 Najveća i najmanja vrijednost funkcije dviju varijabli u zatvorenom području

Teorem 1.5 Pustimo blizu zatvorenog područja D funkcija je postavljena z = z(x, y) , to mogu biti bez prekida privatna putovanja prvog reda. Kordon G regije D ê shmatkovo glatko (to je presavijeno od shmatkív "glatko na dotik" krivulje ili ravne linije). Todi u regiji D funkcija z(x,y) dosegni svoje najveće M i najmanje m vrijednost.

Bez potvrde.

Možete propagirati sljedeći plan ukora M і m . 1. Bit ćemo stolice, možemo vidjeti sve dijelove kordona regije D a znamo sve "kutoví" točke kordona. 2. Poznajemo stacionarne točke u sredini D . 3. Poznate su stacionarne točke kože s kordona. 4. Izračunajte sve stacionarne i apeksne točke, a zatim odaberite najviše M i najmanje m značenje.

Slučaj 1.14 Saznajte više M i najmanje m vrijednost funkcije z = 4x2-2xy+y2-8x u blizini zatvorenog prostora D , ograničeno: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Premjestimo područje D (Sl. 1.5) na ravnom Ohu .

Kutoví bodovi: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G regije D sastoji se od tri dijela:

2. Poznajemo stacionarne točke u sredini regije D :

3. Stacionarne točke na kordonima l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Broji se šest vrijednosti:

Od izostavljenih šest vrijednosti odaberite najviše i najmanje.

Teorem 1.5 Pustimo blizu zatvorenog područja D funkcija je postavljena z = z(x, y) , to mogu biti bez prekida privatna putovanja prvog reda. Kordon G regije D ê shmatkovo glatko (to je presavijeno od shmatkív "glatko na dotik" krivulje ili ravne linije). Todi u regiji D funkcija z (x, y) dosegni svoje najveće M i najmanje m vrijednost.

Bez potvrde.

Možete propagirati sljedeći plan ukora M і m .
1. Bit ćemo stolice, možemo vidjeti sve dijelove kordona regije D a znamo sve "kutoví" točke kordona.
2. Poznajemo stacionarne točke u sredini D .
3. Poznate su stacionarne točke kože s kordona.
4. Izračunajte sve stacionarne i apeksne točke, a zatim odaberite najviše M i najmanje m značenje.

Slučaj 1.14 Saznajte više M i najmanje m vrijednost funkcije z = 4x2-2xy+y2-8x u blizini zatvorenog prostora D , ograničeno: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Premjestimo područje D (Sl. 1.5) na ravnom Ohu .

Kutoví bodovi: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G regije D sastoji se od tri dijela:

2. Poznajemo stacionarne točke u sredini regije D :

3. Stacionarne točke na kordonima l 1 , l 2 , l 3 :

4. Broji se šest vrijednosti:

primijeniti

primjer 1.

Ova funkcija se dodjeljuje svim promjenjivim vrijednostima x і g , crim klip koordinata, de znamennik se pretvara u nulu.

Bogati član x2+y2 neprekinuti usudi, i stoga i neprekinuti kvadratni korijen neprekinute funkcije.

Drib će biti svugdje bez prekida, Krim točka, de banner na nulu. Ta funkcija, koja se promatra, neprekinuta je na cijeloj koordinatnoj ravnini Ohu , uključujući klip koordinata.

guza 2.

Slijedite funkciju radi sigurnosti z=tg (x, y) . Tangenta vrijednosti i bez prekida za sve konačna značenja argument, crim vrijednost, jednaka neuparenom broju veličine π /2 , onda. uključujući bodove, de

S kožnim fiksnim "k" Jednadžba (1.11) označava hiperbolu. Stoga funkcija ê neprekinutu funkciju x i y uključujući točke koje leže na krivuljama (1.11).

primjer 3.

Poznavati privatne vanjske funkcije u=z-xy , z > 0 .

guza 4.

Pokažite koja je funkcija

zadovoljan istovjetnošću:

– ova jednakost vrijedi za sve točke M(x; y; z) krema točka M 0 (a; b; c) .

Pogledajmo funkciju z=f(x, y) dviju neovisnih varijabli i instalirajmo geometrijsku zamjenu privatnih varijabli z" x = f" x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Čija je pamet jednaka z=f (x, y) ê izravnavanje površine (Sl. 1.3). Držao ravno g = konst . Na pererizí tsíêí̈ površinske površine z=f (x, y) vide deyka liniju l 1 peretina, vzdovzh da se mijenja manje od veličine x і z .

Privatno putovanje z" x (í̈í̈ geometrijski pomak bez sredine vyplyaê z poznati nam geometrijski smisao slične funkcije jedne varijable) je numerički superiorniji od tangente kuta α bolesno, proširenjem na os Oh , shodo L1 do krivulje l 1 , scho ići blizu površine z=f (x, y) ravan g = konst u točki M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Na mrežnici i površini z=f (x, y) ravan x = konst široka linija peretina l 2 , vzdovzh ta promjena manja od magnitude na і z . Todi privatna zabava z" y brojčano superiorniji od tangente kuta β nahilu produženjem do osi OU , shodo L2 na navedenu liniju l 2 peretina u točkicama M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Primjer 5.

Kakav kutvoruê íz víssyu Oh dotična do retka:

u točki M(2,4,5) ?

Vikoristovuêmo geometrijsku zamjenu privatne zamjene za zamjenu x (brzo na ):

Primjer 6.

Zgidno (1,31):

Primjer 7.

Vvayayuchi, scho jednako

implicitno definiraju funkciju

znati z" x , z" y .

Iz tog razloga (1.37) potrebni su nam dokazi.

Primjer 8.

Idite u krajnost:

1. Poznajemo stacionarne točke koje lome sustav (1.41):

tako da smo pronašli neke stacionarne točke.
2.

nakon teorema 1.4, točke imaju minimum.

I zašto

4. Broji se šest vrijednosti:

Od izostavljenih šest vrijednosti odaberite najviše i najmanje.

Popis literature:

ü Belko I. V., Kuzmič K.K. Odlična matematika za ekonomiste I semestar: Ekspresni tečaj. - M.: Novo znanje, 2002. - 140 str.

ü Gusak A. A. Matematička analiza i diferencijalno poravnanje. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 str.

ü Gusak A. A. Vishcha matematika. Naslovni vodič za studente u 2 sveska. - Mn., 1998. - 544 str. (1 svezak), 448 str. (2 tone).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematika za ekonomiste: priručnik za sveučilišta / Ed. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 str.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. ja to u. Vishcha matematika. Zagalniy tečaj: Pidruchnik / Zag. izd. S. A. Samal. - Mn.: Vish. škola, 2000. - 351 str.

Više i manje smisla

Funkcija, koja je okružena u zatvorenom prostoru, postiže svoju najveću i najmanju vrijednost, bilo u stacionarnim točkama, bilo u točkama koje leže na graničnom području.

Za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije potrebno je:

1. Pronađite stacionarne točke koje leže u sredini ovog područja i izračunajte vrijednosti funkcije za njih.

2. Znati najveću (najmanju) vrijednost funkcije međuregije.

3. Izjednačite sve negativne vrijednosti funkcije: najveće (manje) i bit će najveće (najmanje) vrijednosti funkcije za ovu galeriju.

guza 2. Nađi najveću (najmanju) vrijednost funkcije: y .

Riješenje.

točka je stacionarna; .

2 . Granica zatvorenog područja je prsten, de.

Funkcija međuregije postaje funkcija jedne promjene: , de . Znamo najvažnije i najmanje važne funkcije.

Za x = 0; (0,-3) i (0,3) su kritične točke.

Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima vijenca

3 . Porivnyuyuchi mizh sebe otrimuemo,

U točkama A i B.

U točkama C i D.

primjer 3. Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području s obzirom na neravninu:

Riješenje. Područje ê trikutnik, okružit ćemo osi koordinata í ravnom linijom x + y = 1.

1. Znamo stacionarne točke u sredini regije:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Stacionarna točka ne pripada ovom području, pa se vrijednost z u njoj ne izračunava.

2 .Doslídzhuêmo funkcija na kordonu. Krhotine granice formirane su od tri dílyanki, opisane s tri različita jednaka, doslídzhuêmo funkciju kože dílantsí okremo:

a) div 0A: y=0- jednako 0A, tada ; iz jednakog je jasno da funkcija raste za 0A od 0 do 1. Srednja vrijednost .

b) na udaljenosti 0B: x = 0 - udaljenost 0B, dakle; -6y + 1 = 0; - Kritična točka.

u) na izravni x + y = 1: y = 1-x, tada uzimamo funkciju

Izračunamo vrijednost funkcije z u točki B(0,1).

3 .Perívnyuyuchi brojevi otrimuemo, scho

Do ravne AB.

U točki B.

Test znanja samokontrole.

jedan . Ekstrem funkcije – ce

a) ji pokhídní prvi red

b) jednaka je

c) njezin raspored

d) njen maksimum i minimum

2. Ekstremum funkcije se može doseći što je više moguće:

a) samo u točkama koje leže u sredini označenog područja, u kojem slučaju su privatne vrijednosti prvog reda veće od nule

b) samo u točkama koje leže u sredini označenog područja, u kojem slučaju su privatne vrijednosti prvog reda manje od nule

c) samo u točkama koje leže u sredini označenog područja, u kojem slučaju privatne vrijednosti prvog reda nisu jednake nuli

d) samo u točkama koje leže u sredini označenog područja, u kojem slučaju su privatne sličnosti prvog reda jednake nuli

3. Funkcija koja je neprekinuta u zatvorenom prostoru, dostižući svoje najviše i najniže vrijednosti:

a) u stacionarnim točkama

b) bilo na stacionarnim točkama, bilo na točkama koje leže na međuregiji

c) u točkama koje leže na međuregiji

d) u svim točkama

4. Stacionarne točke za funkciju koliko varijabli nazivamo točkama:

a) za neki u

b) neki od njih imaju privatne razlike prvog reda veće od nule

c) za neke od njih privatne promjene prvog reda jednake su nuli

d) za neke od njih, privatna ponašanja prvog reda su manja od nule

Neka je funkcija y = f (x) prekinuta vjetrom. Očigledno, takva funkcija doseže svoj najveći. to zapošljavanje. vrijednost. Ova se funkcija može preuzeti na unutarnjoj točki prozora ili na rubu prozora, tobto. na = a ili = b. Kao točka za praćenje sredine kritičnih točaka dane funkcije.

Uzimamo pravilo vrijednosti najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

1) odrediti kritične točke funkcije na intervalu (a, b);

2) izračunati vrijednosti funkcije u pronađenim kritičnim točkama;

3) izračunajte vrijednost funkcije kintsyah vídrízka, tobto. u točkama x=a i x=b;

4) prosjek izračunatih vrijednosti funkcije je odabrati najviše i najmanje.

Poštovanje:

1. Ako funkcija y = f (x) ima više od jedne kritične točke po vdrízku i osvojila je točku maksimuma (minimuma), tada u ovoj točki funkcija dobiva najveću (najmanju) vrijednost.

2. Budući da funkcija y=f(x) nema kritičnih točaka, to znači da funkcija monotono raste i opada za novu. Također, funkcija uzima svoju najveću vrijednost (M) na jedan kraj hoda, a najmanju (m) na drugi.

60. Kompleksni brojevi. Formula de Moivre.
složeni broj Ime viraz um z = x + iy, de x i y - díysní brojevi, a ja - tzv. očita usamljenost. Ako je x=0, tada je broj 0+iy=iy rangiran. pokažimo to brojem; iako je y=0, broj x+i0=x se preslikava na trenutni broj x, ali to znači da je bezlični R svih funkcija. brojevi javl. pod višestrukošću bezličnog Z usiha kompleksni brojevi, onda. . Broj x imena decimalni dio z, . Dva kompleksna broja í nazivaju se jednakima (z1=z2) parnim i samo jednom, ako su jednaki dijelovi i jednaki dijelovi jednaki: x1=x2, y1=y2. Dakle, kompleksni broj Z=x+iy jednak je nuli i onda ako je x=y=0. Ne uvode se pojmovi "veće" i "manje" za kompleksne brojeve. Dva kompleksna broja z \u003d x + iy í, koji se razmatraju samo znakom eksplicitnog dijela, nazivaju se dobiveni.

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva.

Može li se kompleksni broj z = x + iy prikazati točkom M(x,y) ravnine Oxy tako da je x=Re z, y=Im z. Prvo, kožna točka M(x;y) koordinatne ravnine može se koristiti kao slika kompleksnog broja z = x + iy. Područje, gdje su prikazani kompleksni brojevi, naziva se kompleksno područje, jer on mora lagati realne brojeve z = x + 0i = x. Sve ordinate nazivamo eksplicitnim vrhovima, na činjenicu da na njima leže prividni kompleksni brojevi z = 0 + iy. Kompleksni broj Z=x+iy može se umetnuti iza pomoćnog radijus vektora r=OM=(x,y). Duljina vektora r, koji predstavlja kompleksni broj z, zove se modul tog broja i označava se sa | z | ili r. Rozmir kuta mizh poklade. Izravno na realnoj osi, vektor r, koji predstavlja kompleksni broj, naziva se argument kompleksnog broja, označava se s Arg z ili . Argument kompleksnog broja Z = 0 nije dodijeljen. Argument složenog broja - vrijednost je bogato značajna i mjeri se s točnošću do dodatka, de arg z - glavna vrijednost argumenta, stavite u razmak (), zatim. - (Ponekad kao početnu vrijednost argumenta, uzmite vrijednost koja bi trebala sadržavati prazninu (0; )).

Zapisivanje broja z kao z=x+iy naziva se algebarski oblik kompleksnog broja.

Díí nad kompleksnim brojevima

Dodatak. Zbroj dva kompleksna broja z1=x1+iy1 i z2=x2+iy2 je kompleksan broj koji je jednak: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Zbrajanje kompleksnih brojeva može se mijenjati i mijenjati potenciju: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vídnímannya. Vídnímannya vyznaêtsya yak díya, zvorotne dodavannya. Razlikom kompleksnih brojeva z1 i z2 naziva se takav kompleksni broj z koji zbrajanjem z2 daje broj z1, tj. z = z1-z2, pa je z + z2 = z1. Kao z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, lako je izvaditi z iz ove dodjele: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). plural. Komplement kompleksnih brojeva z1=x1+iy1 i z2=x2+iy2 je kompleksan broj koji je jednak z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvídsi, zokrema, i vyplyaê: . Kao i broj dodjela za trigonometrijski oblik: .

Kada se kompleksni brojevi množe, njihovi moduli se množe, a argumenti se dodaju. De Moivreova formula(kao i ê n množitelji i smradi isti): .

Do kraja 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Dopremite letjelicu na Mars s elektroničkim nosačem s imenima svih registriranih sudionika ekspedicije.

Registracija sudionika u glasovanju. Uzmi svoju kartu za Mars za blagoslove.

Lajkajte ovu objavu, nakon što ste riješili svoj problem ili ste samo dostojni sebe, podijelite svoju snagu s prijateljima na društvenim mrežama.

Morate kopirati i zalijepiti jednu od ovih opcija koda u kôd vaše web stranice, između oznaka і ili odmah nakon oznake . Iza prve verzije MathJaxa prednost se daje manjoj i manje ljepljivoj strani. Druga opcija Natomist automatski odabire i nadograđuje na najnoviju verziju MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, strane će se više zainteresirati, tako da nećete morati stalno pratiti MathJax ažuriranja.

Omogućite MathJax na najjednostavniji način u Bloggeru ili WordPressu: dodajte widget na ploču za naplatu web-mjesta, odredišta za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu opciju u gore prikazani kod za angažman i promijenite veličinu widgeta bliže vrh predloška (prije govora, ne trebamo novi 'jezik) , MathJax skripte se pozivaju asinkrono). Od svih. Sada provjerite sintaksu MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula na web stranice svoje stranice.

Chergovy prije New Rocka... vrijeme je hladno, oni snizhinki na shibtsí... Sve me potaklo da ponovno pišem o... fraktalima, i o onima koji znaju za Wolfram Alpha. íz thogo pogon ê tsíkava stattya, u yakíy ê stražnjica dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Svijet odmah može vidjeti presavijene stražnjice trivijalnih fraktala.

Fraktal se može vizualno manifestirati (opisati), kao geometrijska figura ili tijelo (vireći se u zraku, koje je također bezlično, ovom posebnom tipu, bezlična točka), detalji koji čine takav oblik, poput same figure. Tobto tse samoslična struktura, gledajući detalje kao da su uvećani, oponašaju sam oblik koji je bez povećanja. Slično, u vizualno upečatljivom geometrijskom liku (ne fraktalu), s više sitnih detalja, kao da se može napraviti jednostavna forma, lik je niži. Na primjer, kada završite veliki veliki dio elipse, ona izgleda kao ravno stablo. To nije slučaj s fraktalima: za bilo kakvu vrstu poboljšanja, ponovit ćemo isti preklopni oblik, kao kod poboljšanja kože, ponavljati iznova i iznova.

Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i misterij u ime znanosti: formalni oblik. Odnosno, ako se dio fraktala poveća u mjeri cjeline, vidjet će se kao cjelina, ili točno, ili, eventualno, s malom deformacijom.