Drugi je dovoljan znak temelja ekstremuma. Rast i promjena funkcija na intervalima, ekstremima. Dovoljan znak ekstrema

Ekstremna točka funkcije je točka područja označavanja funkcije, u kojoj je vrijednost funkcije postavljena na minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije.

Ugovoreni sastanak. Krapka x1 područja dodijeljene funkcije f(x) Zove se točka maksimalne funkcije čak iako je vrijednost funkcije u ovoj točki veća od vrijednosti funkcije u točkama blizu nje, šireći se desno i lijevo u njoj (kako bi se izbjegle neravnine f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Ugovoreni sastanak. Krapka x2 područja dodijeljene funkcije f(x) Zove se minimalna točka funkcije iako je vrijednost funkcije u ovoj točki manja od vrijednosti funkcije u točkama blizu nje, desnoruki i ljuti u njoj (zbog toga je nejednakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Svima se čini da funkcija može biti na mjestu x2 minimum.

Idemo na točku x1 - točka maksimalne funkcije f(x). Todi u intervalu do x1 funkcija raste Ovo je slično funkcijama većim od nule ( f "(x) > 0 ), au intervalu nakon x1 funkcija se sada mijenja, i slične funkcije manje od nule ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Također je moguće da točka x2 - pokažite na minimum funkcije f(x). Todi u intervalu do x2 funkcija se mijenja, a slična funkcija je manja od nule ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija raste, a slična funkcija je veća od nule ( f "(x) > 0). Čiji um ima istu točku x2 Pokhídna funkcija jesu li jednake nuli ili nisu.

Fermatov teorem. Kakva točka x0 - točka ekstrema funkcije f(x), tada je u n-toj točki funkcija slična nuli ( f "(x) = 0) ili ne.

Ugovoreni sastanak. Točke, koje imaju slične funkcije jednake nuli ili ne, nazivaju se kritične točke .

primjer 1. Pogledajmo funkciju.

U točki x= 0 x= 0 je kritična točka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafikonu funkcije, dolazi do povećanja u cijelom području imenovanja, to je poanta x= 0 nije ekstrem funkcije.

Na ovaj način, razmislite o onima koji su vrijedni funkcije do točke dostizanja nule, ili nisu potrebni, ili potrebni umovi ekstrema, ili nisu dovoljni, možete ukazati na krhotine i druge primjene funkcija, za neke od njih, um se može prevariti, inače funkcija ekstrema. Tom majka treba dovoljno znakova, koji vam omogućuje prosuđivanje, chi ê u određenoj kritičnoj točki ekstrema i samog yaky - maksimalni chi minimum.

Teorem (prvi je dovoljan znak baze ekstremuma funkcije). kritična točka x0 f(x) tako da pri prolasku kroz ovu točku funkcija mijenja predznak, štoviše, ako se predznak promijeni iz "plus" u "minus", tada je točka maksimuma, a ako se promijeni iz "minus" u "plus", tada minimalna točka.

Koliko je blizu poanta x0 , lijevo i desno u njoj, ako uzima znak, to znači da se funkcija ili mijenja, ili samo raste u blizini točke x0 . U kojem smjeru u točki x0 nema ekstrema.

Otzhe, dodijeliti točke ekstremumu funkcije, prema potrebi :

1. Pronađite odgovarajuću funkciju.
2. Postavite jednako nuli i dodijelite kritične točke.
3. Misli chi papiri označavaju kritične točke na numeričkoj osi i označavaju znakove slične funkcije oduzimanjem intervala. Ako se predznak promijeni iz "plus" u "minus", tada je kritična točka maksimalna točka, a ako se promijeni iz "minus" u "plus", tada je točka minimuma.
4. Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.

guza 2. Poznavati ekstremne funkcije .

Riješenje. Poznajemo sljedeće funkcije:

Jednak je nuli, kako bi se znale kritične točke:

.

Dakle, ako za bilo koju vrijednost "ix" banner nije jednak nuli, tada je broj jednak nuli:

Uklonite jednu kritičnu točku x= 3. Predznak suprotnosti značajan je u intervalima omeđenim točkom:

u intervalu minus nedosljednosti do 3 - znak minus, tako da se funkcija mijenja,

u intervalu od 3 do plus nedosljednosti - znak plus, tako da funkcija raste.

Tobto, točka x= 3 - minimum bodova.

Znamo vrijednost funkcije u točki minimuma:

Ovim redoslijedom nalazi se točka ekstrema funkcije: (3; 0), štoviše, to je točka minimuma.

Teorem (drugi je dovoljan znak baze ekstremuma funkcije). kritična točka x0 ê ekstremna točka funkcije f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), tada je točka maksimum, a obrnuto manji od nule ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Napomena 1. Što je u točki x0 okrenuti na nulu i prvi, a drugi je mrtav, tada je u ovoj točki nemoguće prosuditi manifestaciju ekstrema na temelju drugog dovoljnog znaka. Potrebno je da se ova vrsta raspoloženja ubrza prvim dovoljnim znakom ekstremuma funkcije.

Poštivanje 2. Još jedan dovoljan znak ekstrema funkcije nije dovoljan, pa čak i ako je u stacionarnoj točki prvi nije dobar (nema drugog lošeg). Također je potrebno da ovaj tip stava bude ubrzan prvim dovoljnim znakom ekstremuma funkcije.

Lokalna priroda ekstrema funkcije

Očito je da ekstrem funkcije može imati lokalni karakter - vrijednost najveće i najmanje vrijednosti funkcije jednaka je najbližim vrijednostima.

Recimo da jednog dana pogledate svoju zaradu u vrijeme vjenčanja. Ako ste zaradili 45 000 rubalja od trave, 42 000 rubalja od četvrtine i 39 000 rubalja od crvenih, tada je zarada od trave maksimum funkcije zarade u smislu najbližih vrijednosti. Ale je zaradio 71.000 rubalja od žutila, 75.000 rubalja od proljeća i 74.000 rubalja od opadanja lišća, tako da je isti prihod - funkcija minimalnog dohotka jednaka najbližim vrijednostima. Možete jednostavno bachite, tako da maksimalna prosječna vrijednost proljeće-trava-trešnja bude manja od minimalne proljeće-zhovtnya-opadanje lišća.

Govoreći općenito, u međuvremenu, funkcija može biti majka niza krajnosti, štoviše, može se činiti da je minimum funkcije veći od maksimuma. Dakle, za prikazanu funkciju malo više, .

Dakle, nije potrebno misliti da su maksimum i minimum funkcije, naizgled, najveća i najmanja vrijednost na svim dijelovima koji se mogu vidjeti. U točki maksimuma funkcija ima najmanju vrijednost u rasponu ovih vrijednosti, ako je moguće u svim točkama doći do točke blizu maksimuma, a u točki minimuma - najmanju vrijednost u raspon ovih vrijednosti, ako je blizu točaka do minimalne točke.

Stoga se može pojasniti bolje razumjeti točku ekstrema funkcije i nazvati točke minimuma točkama lokalnog minimuma, a točke maksimuma - točkama lokalnog maksimuma.

Shukaemo ekstremne funkcije odjednom

primjer 3.

Riješenje. Funkcija je dodijeljena i bez prekida na cijelom brojevnom pravcu. ê pokhídna ísnuê također na cijelom brojevnom pravcu. Tom ulazi ovom posebnom tipu kritične točke ê manje ti, za jaka, tobto. , zvijezde koje . Kritične točke i cijelo područje dodijeljene funkcije podijeliti na tri intervala monotonosti: . Viberemo ih u kožu po jednoj kontrolnoj točki i znamo znak sljedeće na drugoj točki.

Za interval, kontrolna točka može biti: poznata. Uzimajući točku u intervalu, oduzimamo, a uzimamo točku u intervalu, možemo. Također, u intervalima i , iu intervalima . Zgídno s prvim dovoljnim predznakom ekstrema, u točki nema ekstrema (vjerojatnije je da će krhotine uzeti predznak u intervalu), a u točkama funkcija može biti minimalna (krhotine su manje kada prolaze kroz sljedeći točka, mijenjajući znak iz minusa u plus). Znamo relevantne vrijednosti funkcije: , a . U intervalu se funkcija mijenja, skokovi u ovom intervalu, a intervali se povećavaju, skokovi u tom intervalu.

Da bismo pojasnili buduću grafiku, znamo točke linije joge s koordinatnim osima. Kad uzmemo jednako , čiji je korijen i , tada se nalaze dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije. Vikoristovuyuchi sve otrimani vídomosti, budêmo raspored (div. na klipu).

Za samoprovjeru s rozrachunkah, možete ubrzati online sličan kalkulator .

guza 4. Poznavati ekstreme funkcije i inducirati raspored.

Opseg funkcije je cijeli brojevni pravac, osim točaka, tobto. .

Za brzo praćenje, možete ubrzati činjenicu da je funkcija parne sobe, krhotine . Dakle, raspored je simetričan u odnosu na os jao to praćenje može se koristiti samo za interval.

Znamo da ću ići i kritične točke funkcije:

1) ;

2) ,

Ali ako funkcija zna razliku u ovoj točki, onda to ne može biti točka ekstrema.

na takav način, funkcija je postavljena ima dvije kritične točke: i . Vrahovoyuchi uparivanje funkcija, perevirim za još jedan dovoljan znak ekstrema je samo točka. Za koga poznajemo prijatelja umrijet ću í značajan njezin znak na: otrimaêmo. Budući da i , tada je minimalna točka funkcije, u kojoj .

Kako bismo dodali više informacija o rasporedu funkcije, potrebno je pratiti ponašanje na granicama označenog područja:

(ovdje simbol označava vježbu x desno na nulu, štoviše x postati preplavljen pozitivnim; slično znači vježbanje x do nule ljut, štoviše x postati preplavljen negativnim). U takvom rangu, yakscho, dakle. Dali, znamo

,

tobto. ovako.

Prijelomna točka s osi grafa funkcije ne može biti. Mali - na guzici.

Za samoprovjeru s rozrachunkah, možete ubrzati online sličan kalkulator .

Prodovzhuêmo shukati ekstremne funkcije odjednom

Primjer 8. Poznavati ekstremne funkcije.

Riješenje. Znamo opseg dodijeljene funkcije. Dakle, ako nervoza može pobijediti, onda smo opsjednuti.

Upoznajmo prve pokhídnu funkcije.

duje važna informacija o ponašanju funkcije, uzrokuju razdoblja rasta i propadanja. Íhnê perebuvannya je dio procesa funkcije praćenja i brze grafike. Do tada se točke ekstrema, u kojima dolazi do promjene rasta u pad ili promjene u rast, posebno poštuju kada vrijednost najveće i najmanje vrijednosti funkcije na trenutnom intervalu.

U ovom članku treba definirati, formulirati dovoljan znak porasta te promjene funkcije u intervalu i dovoljan razlog za ekstrem, primjenom tog zadatka ćemo cijelu teoriju dovesti do savršenstva.

Navigacija sa strane.

Rast i promjena funkcije na intervalu.

Određena rastuća funkcija.

Funkcija y=f(x) raste na intervalu X, kao i za bilo koji i nerívníst vykonuetsya. Inače, čini se - veća vrijednost argumenta veća je od vrijednosti funkcije.

Određena funkcija raspadanja.

Funkcija y=f(x) mijenja se za interval X, kao i za svaki i nerívníst . Inače, očito - veću vrijednost argumenta daje manja vrijednost funkcije.

NAPOMENA: kako je funkcija dodijeljena i bez prekida u intervalima rasta ili opadanja (a; b), tada se kod x = a í x = b, tada su qi točke uključene u interval rasta ili opadanja. Nemojte precijeniti svrhu funkcije rasta i opadanja za interval X .

Na primjer, iz potencije osnovnih elementarnih funkcija, znamo da je y=sinx dodijeljen i neprekinut svim efektivnim vrijednostima argumenta. Dakle, iz rasta sinusne funkcije na intervalima možemo potvrditi rast sinusne funkcije na intervalu.

Krapki ekstrem, ekstremne funkcije.

Imenujte točku maksimalna točka funkcije y=f(x) , tako da su svi x u susjedstvu pravedni. Naziva se vrijednost funkcije u točki maksimuma maksimalna funkcija mislim.

Imenujte točku minimalna točka funkcije y=f(x) , tako da su svi x u susjedstvu pravedni. Vrijednost funkcije u točki minimuma naziva se minimalna funkcija mislim.

Pod periferijom točke shvatite interval , de - Završi mali pozitivan broj.

Točke minimuma i maksimuma nazivaju se ekstremne točke, a zove se vrijednost funkcije, koja odgovara točkama ekstrema ekstremi funkcije.

Ne brkajte ekstremne funkcije s najvećom najniža vrijednost funkcije.

Na prvom malom najveća vrijednost funkcije na vrhu postiže se u točki maksimuma i sljedećem maksimumu funkcije, a na drugom malom najveća vrijednost funkcije se postiže u točki x = b, ali ne u točki maksimuma.

Dovoljno za razumijevanje rasta te promijenjene funkcije.

Na temelju dovoljnih umova (znaka) rasta te promijenjene funkcije postoje praznine rasta te promijenjene funkcije.

Os formule je znak rasta i promjene funkcije na intervalu:

• ako je slična funkcija y=f(x) pozitivna za bilo koji x u intervalu X, tada funkcija raste na X;
• Ako je slična funkcija y=f(x) negativna, bilo da je x unutar intervala X , tada se funkcija mijenja u X .

Ovim redom, da bi se označio rast rasta i promjena funkcije, potrebno je:

Pogledajmo primjer poznavanja intervenirajućeg rasta i promjene funkcije za objašnjenje algoritma.

kundak.

Upoznajte se s prazninama u rastu i promjenama u funkciji.

Riješenje.

Na prvom usjevu potrebno je znati opseg funkcije. Na zadnjici viraza, na barjaktaru, može se pretvoriti u nulu, kasnije,.

Prijeđimo na poznatu funkciju:

U svrhu promízhkív zrostannya da zmenshennya funktíí̈ za dovoljan znak vyrishuêmo nerívíêmí í na polju imenovanja. Budite brzi u korištenju metode intervala. Jedini korijen dnevnika je ê x = 2, a znamennik se pretvara u nulu na x = 0. Qi točke dijele područje dodijeljenog intervala, za neke druge funkcije uzimaju znak. Značajne točke qi na brojevnoj liniji. Plusevi i minusi su mentalno značajni intervali, za koje je pozitivan i negativan. Strelice na dnu shematski prikazuju povećanje ili promjenu funkcije na zadanom intervalu.

na takav način, і .

U točki x=2 funkcija je dodijeljena i neprekinuta, tome ji treba dodati interval rasta i interval opadanja. U točki x=0 funkcija nije dodijeljena, pa ta točka nije uključena u intervale koji se šale.

Crtamo graf funkcije za izvođenje rezultata iz nje.

Prijedlog:

Funkcija raste na , mijenjajući se na intervalu (0; 2] .

Dovoljan um ekstremuma funkcije.

Za poznavanje maksimuma i minimuma funkcije, može se koristiti da li je jedan od tri znak ekstremuma, očito, jer funkcija zadovoljava vaš um. Najširi i najpraktičniji su prvi od njih.

Persha je dovoljan za Umov ekstrem.

Neka je funkcija y=f(x) diferencirana u blizini točke, ali bez prekida u samoj točki.

Drugim riječima:

Algoritam nalaženja točke ekstrema nakon prvog predznaka ekstrema funkcije.

• Znamo opseg dodijeljene funkcije.
• Znamo funkcije dodijeljenog područja.
• Značajne nule na brojčaniku, nule na natpisu odgovarajuće točke označenog područja, u kojem nema moguće ekstremne točke, prolazeći kroz qi točke, moguće je promijeniti svoj predznak).
• Qi točke dijele područje određeno za funkciju promyzhki, za neke je bolje uzeti znak. Možemo vidjeti znakove sličnog kožnog intervala (na primjer, izračunavanje vrijednosti slične funkcije u bilo kojoj točki dobro uzetog intervala).
• Odabiremo točke, u kojima je funkcija neprekinuta i, prolazeći kroz jakove, mijenja predznak - točke ekstrema smrada.

Previše bogate riječi, ljepše gledano na kílku primijenjene značajne točke na ekstrem i ekstreme funkcije za pomoć prvog dovoljno pameti ekstrem funkcije.

kundak.

Poznavati ekstremne funkcije.

Riješenje.

Područje funkcije je potpuno bezlično brojevi dana, Krim x = 2 .

Znamo da ću ići:

Nule brojnika ê točke x = -1 í x = 5 znamennik se pretvara u nulu na x = 2 . Značajan broj točaka na numeričkoj osi

Vidljivi su znakovi sličnog skin intervala, s kojim se izračunava vrijednost sličnog skin intervala, npr. u točkama x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Također, na intervalu je pozitivan (plus se stavlja na mali iznad cim intervala). Na sličan način

Stavljamo minus preko drugog intervala, minus preko trećeg intervala, plus preko četvrtine.

Izgubili ste odabrati bodove, za koje je funkcija neprekinuta i njezina pokhídna promijeni znak. Tse i ê ekstremne točke.

U točki x=-1 funkcija je neprekinuta i postupno mijenja predznak od plusa do minusa, zatim, nakon prvog predznaka prema ekstremu, x=-1 je točka do maksimuma, drugi je maksimum funkcije .

U točki x=5 funkcija je neprekinuta i postupno mijenja predznak minusa u plus, tada je x=-1 točka minimuma, što znači minimum funkcije .

Grafičke ilustracije.

Prijedlog:

OBRNUTO POŠTOVANJE: prvi predznak dovoljan je za ekstrem, ne utječe na diferencijalnu funkciju same točke.

kundak.

Pronađite točke ekstrema i funkcije ekstrema .

Riješenje.

Opseg funkcije su svi bezlični realni brojevi. Sama funkcija se može napisati u pogledu:

Poznajemo sljedeće funkcije:

U točki x=0 nije moguće, krhotine vrijednosti jednostranih intertera ne smiju doseći nulu kada je argument pretjeran:

U istom satu, izlazna funkcija je neprekinuta u točki x=0 (div. split praćenje funkcije za kontinuitet):

Znamo značenje argumenta, pod kojim se vrijedi okrenuti na nulu:

Značajno sve točke na brojevnoj crti i značajno niži predznak na kožnim intervalima. Za koje je moguće izračunati vrijednost relativnog u određenim točkama intervala kože, na primjer, s x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

Ovim redoslijedom, nakon prvog znaka ekstrema, točke minimuma , pokazuje maksimum ê .

Izračun minimalnih funkcija

Izračunavanje maksimuma funkcije

Grafičke ilustracije.

Prijedlog:

.

Još jedan znak ekstrema funkcije.

Kao i bachete, za znak ekstrema funkcije zahtijevat će sličan, barem drugačijeg reda u točkama.

Prvi dovoljan predznak ekstremuma formuliran je s poboljšanjem promjene predznaka prvog dobrog sata prijelaza kroz kritičnu točku. O još jednom znaku ekstrema, vidi dolje u § 6.4.

Teorem (prvi znak ekstrema) : Yakschox 0 - Kritična točka funkcijey=f(x) a u stvarnoj blizini točkex 0 , prolazeći kroz njega zlíva udesno, pokhídna promijenite znak u produljenje, zatimx 0 ê ekstremna točka. Štoviše, kako se znak suprotnosti mijenja iz “+” u “-”, tadax 0 je najveća točka, if(x 0 ) je maksimum funkcije, a slično je promijeniti predznak s “-” na “+”, tadax 0 je minimalna točka, if(x 0 ) - Minimalna funkcija.

Izgleda ekstremno za nositi lokalni(Misceviy) karakter i osjetljivost male periferije kritične točke.

Točke ekstrema i točke ekspanzije dijele područje dodijeljene funkcije intervala monotonosti.

Primjer 6.3. Na primjer 6.1. znali smo kritične točke x 1 =0 і x 2 =2.

Naravno, ono što je istina u ovim točkama je funkcija y=2x 3 -6x 2 +1 svibanj extremum. Zamislite u nje pokhídnu
značenje x, uzeto zliva i desno na tocki x 1 =0 boraviti blizu periferije, npr. x=-1і x = 1. poduzete. Oskílki pokhídna promijeniti znak iz "+" u "-", zatim x 1 =0 - točka na maksimum, te maksimum funkcije
. Sada uzimamo dvije vrijednosti x = 1 i x = 3 iz blizine druge kritične točke x 2 =2 . Već se pokazalo da
, a
. Oskílki pokhídna promijeniti znak iz "-" u "+", zatim x 2 =2 - Minimalni bod. A najmanje funkcije
.

Znati najveću i najmanju vrijednost funkcije bez prekidanja vjetra
potrebno je izračunati njezine vrijednosti na svim kritičnim točkama i kintsy namota, da bv odabrati najviše i najmanje.

6.3. Znakovi bubrenja i skupljanja grafa funkcije. Točke savijanja

Graf diferencirane funkcije naziva seopuklimu intervalu, poput vina roztashovaniya niže je li to bila vaša dotichnu u tom intervalu;sagnuti se (zaroniti)yakscho vín raztashovaniya vshee be-yakoí̈ dotichí̈ na intervalu.

6.3.1. Potrebni i dovoljni znakovi bubrenja i skupljanja grafike

a) Potrebni znakovi

Kakav je raspored funkcijay=f(x) tumor na intervalu(a, b) , onda je prijatelj dobar
u kojem intervalu; kao rasporedzastrašivanje na(a, b) , onda
na(a, b) .

P st funkcija rasporeda y=f(x) tumor (a, b) (Sl.6.3a). Yakshcho dotichna kovzaê vzdovzh natečena kriva zlíva udesno, njen kut se loše mijenja (
), u isto vrijeme se mijenja konačni koeficijent točke, što znači da se mijenja prvo vrijeme
na (a, b) . Ale je, međutim, slična prvoj, jer je slična recesivnoj funkciji, ali može biti negativna, tj.
na (a, b) .

Kakav je raspored funkcija zastrašivanje na (a, b) , To, mirkuyuchi slično, Bachimo, da pri kovanju dotične krivulje vzdovzh (sl. 6.3b) izreže bolešljiv dotični rast (
); Čak i ako izgleda kao rastuća funkcija, može biti pozitivno, tako da
na (a, b) .

b ) Dovoljno znakova

Kao za funkcijuy=f(x) sve točke će imati isti interval
, zatim graf funkcijezastrašivanje u kojem intervalu, ali kako
, ondatumor .

"Pravilo Doschu" : Da biste zapamtili neki znak drugog pokhídnoí̈ pov'yazuvati z swollen, a koji od zakrivljenog luka grafikona, preporučuje se zapamtiti: plus voda u krivim lunarama, "minus voda" - u ispupčenim lunarama (Sl. 6.4).

Krapka grafika neprekinutu funkciju, u kojem se izbočina mijenja u izbočinu chi navpaka, zove setočka savijanja .

Teorem (dovoljan za predznak točke infleksije).

Yakscho u točki funkcija
dvíchí razlikuje da je prijatelj sličan u tsíy točki do nule ili ne, pa čak i kada prolazi kroz točku dobar prijatelj
promijenite znak, a zatim točku ê točka infleksije. Koordinate točke preloma
.

Točke, koje je za nekog prijatelja moguće pretvoriti u nulu ili ne, nazivaju se kritičnim točkama druge vrste.

Primjer 6.4. Poznavati točke infleksije i označiti intervale bubrenja i udubljenja krivulje
(Gausova krivulja).

R riješenje. Znamo pershu da prijatelj pokhídní:
,. Prijatelj je dobar za tebe . Jednako nuli i virishima otrimane jednako
, de
također
, zvijezde
,
- Kritične točke druge vrste. Okretanje promjene predznaka drugog dobrog sata za prelazak kritične točke
. Yakscho
na primjer,
, onda
, ali
na primjer,
, onda
Tobto prijatelj promijeni znak. Otzhe,
- apscisa točke preloma, njezine koordinate
. Kroz paritetne funkcije
, šaren
, simetrična točka
, tezh će biti točka infleksije.

Teorem (prvi je dovoljan za Umovljev ekstrem). Neka je funkcija na točki neprekinuta, ali ako sat prolazi kroz točku, predznak se mijenja. Todi - točka ekstrema: maksimum, što znači da se predznak mijenja iz "+" u "-", i do minimuma, što znači "-" u "+".

Dovođenje. Dođi s i za .

Za Lagrangeov teorem , de .Todí yakshcho, zatim; za to , otzhe, , ili . Dobro onda; za to , otzhe, ili .

Otzhe donio, scho na bilo kojem mjestu u blizini, tobto. je maksimalna točka funkcije.

Dokaz teorema o minimalnoj točki provodi se na sličan način. Teorema gotova.

Čim sat prođe kroz točku, ne mijenja predznak, tada točka nije ekstrem.

Teorem (prijatelj je dovoljan za Umov ekstrem). Neka točka ima sličnu funkciju, a to je binarno diferenciranje, dobivanje 0 (), a druga je slična u trenutnoj točki kao nula () i bez prekida u aktivnom susjedstvu točke. Todi - točka ekstrema; u kojoj je točki minimum, a u kojoj je maksimum.

Algoritam za prepoznavanje funkcije ekstrema nakon prvog dovoljnog razloga za rješavanje ekstrema.

1. Znajte trik.

2. Označiti kritične točke funkcije.

3. Pratite znak ljevoruka i dešnjaka u kožnoj kritičnoj točki i rast viskovo o manifestaciji krajnosti.

4. Poznavati ekstremne vrijednosti funkcije.

Algoritam za prepoznavanje funkcije ekstrema za pomoć drugog dovoljnog razloga za eliminaciju ekstrema.

1. Znajte trik.

2. Znati prijatelja pokhídnu.

3. Znaj tí točke, u yakikh.

4. Na ovim točkama dodijelite znak.

5. Zrobiti vysnovok o prirodi ekstrema.

6. Poznavati ekstremne vrijednosti funkcije.

kundak. Pogledaj . Znamo . Daly, u i za . Dolídzhuêmo kritične točke za pomoć prvog dovoljnog ekstrema uma. Možda, što za ja kod , ja kod . U točkama i bolje je promijeniti njihov predznak: kod "+" u "-" i kod "-" u "+". Tse znači da točkasta funkcija ima maksimum, a točka ima minimum; . Za izjednačenje moramo doći do kritične točke uz pomoć drugog dovoljnog uma i ekstrema. Znajmo da će prijatelj umrijeti. Svibanj: , a tse znači da točka ima maksimalnu funkciju, a točka minimalnu.

Razumijevanje asimptotike grafa funkcije. Horizontalna, slaba i vertikalna asimptotika. primijeniti.

Ugovoreni sastanak. p align="justify"> Asimptota grafa funkcije naziva se ravna linija, što vam omogućuje pomicanje od točke do središta ravne linije do nule kada točka grafa nije daleko od kob koordinata.

Razlikujemo vertikalnu (Sl. 6.6 a), horizontalnu (Sl. 6.6 b) i asimptotu ljuljanja (Sl. 6.6 c).

Na sl. 6.6a je prikazana vertikalna asimptota.

Na slici 6.6b - horizontalna asimptota.

Na sl. 6,6 v - asimptota.

Teorem 1. U točkama okomitih asimptota (na primjer, ) funkcija poznaje proširenje, ji između linija i desna putanja točaka su:

Teorem 2. Neka se odredi funkcija da dovrši veliko i uspostavi konačne granice

І .

Tada je ravna, otrcana asimptota grafa funkcije.

Teorem 3. Neka funkcija bude imenovana za dosit velik i ísnuê između funkcija. Tada je pravac horizontalna asimptota grafa funkcije.

Horizontalnu asimptotu ê nazivamo lošom asimptotom, ako . Na to, iako u pravoj liniji krivulja ima horizontalnu asimptotu, onda u toj ravnoj liniji nema zla i baksuza.

kundak. Poznavati asimptotiku grafa funkcije.

Riješenje. U točki, funkcija nije dodijeljena, znamo između funkcija lijeve i desne strane u točki:

; .

Također, je vertikalna asimptota.

Glavna shema za praćenje funkcija i poticanje njihovih rasporeda. kundak.

Opća shema funkcije praćenja ta brza njezina grafika.

1. Upoznajte ciljno područje.

2. Pratite funkciju za paritet - neparitet.

3. Poznavati vertikalnu asimptotiku točke širenja (poput ê).

4. Pratiti ponašanje funkcije u nedosljednosti; poznavati horizontalne i bolne asimptote (poput ê).

5. Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite točke linije grafa s koordinatnim osima i, jer je potrebno za shematski dijagram, znati dodatne točke.

7. Shematski nazovite raspored.

Detaljna shema funkcije praćenja koji potiču grafiku .

1. Upoznajte područje odredišta .

a. Yakshcho ê znamennik, vin je kriv za zratatisya u 0.

b. Podkorijen korijena uparenog stupnja može biti nenegativan (veći ili jednak nuli).

c. Sublogaritamska virase može biti pozitivna.

2. Slijedite funkciju za paritet - neparitet.

a. Yakscho , tada je funkcija uparena.

b. Yakshcho , tada funkcija nije uparena.

c. Yakshcho nije vikonano ne, ne , onda je funkcija globalnog pogleda.

3. Poznavati vertikalnu asimptotiku točke širenja (poput ê).

a. Vertikalna asimptota može biti manje izražena na međuregijama dodijeljene funkcije.

b. Yakscho (ili ), tada je asimptota grafa okomita.

4. Pratiti ponašanje funkcije u nedosljednosti; poznavati horizontalne i bolne asimptote (poput ê).

a. Yakscho, tada je asimptota grafa vodoravna.

b. Yakshcho i tada je ravna linija slaba asimptota grafa.

c. Što se tiče granica, naznačenih u paragrafima a, b, moguće je samo s jednostranim pragnenní na nedosljednost (ili ), tada će se asimptotika oduzeti jednostrano: lijevo-ako i desno-ako.

5. Odredite ekstreme i intervale monotonosti funkcije.

a. Znaj pokhidnu.

b. Poznavati kritične točke (ti points, de chi de nemaê).

c. Na numeričkoj osi označite označeno područje i njene kritične točke.

d. Na koži sadržaja numeričkih intervala označite znak sljedećeg.

e. Prema znakovima sličnih istraživanja visnovoka o očitovanju ekstrema u tim vrstama.

f. Znati ekstremne vrijednosti.

g. Prema znakovima marširanja rasta brkova o rastu i promjeni.

6. Poznavati točke linije grafa s koordinatnim osima i, kao što je potrebno za shematski dijagram, poznavati dodatne točke.

a. Ako želite znati točke linije grafikona od víssyu, potrebno je odvojiti liniju. Točke, de nula, bit će točke linije grafa z vyssyu.

b. Točka linije grafikona može se vidjeti s vrha. Vaughn ísnuê, to je manje kao točka za ulazak u područje naznačene funkcije.

8. Shematski nazovite raspored.

a. Inducirajte koordinatni sustav i asimptote.

b. Označite krajnje točke.

c. Odredite lomne točke grafa s koordinatnim osima.

d. Shematski inducirajte graf na takav način da, prolazeći kroz označene točke i približavajući se asimptotama.

kundak. Pratite funkciju i shematski inducirajte njen raspored.

2. - funkcija divljeg uma.

3. Oskílki i , zatim ravne linije ê vertikalne asimptote; točkice í ê točkasto. , kada ne ulazite u područje dodijeljene funkcije