Oprati okomitost dviju ravnih linija u prostoru. Paralelni pravci, znakovi i umovi paralelnih pravaca. Hodajte od točke do ravne linije

KUT između stan

Pogledajmo dvije ravnine α 1 i α 2 zadatka na isti način:

Pid cutom između dva stana, jedan od dvoličnih kutív, sastavljen od ovih stanova, je razumljiv. Očito je da je između normalnih vektora i ravnina 1 i 2 jednaka jedna od oznaka zbroja diedara . Tom . Jer і , onda

kundak. Označite rez između stanova x+2g-3z+4=0 i 2 x+3g+z+8=0.

Oprati paralelnost dviju ravnina.

Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne jedna s drugom i samo ako su normalni vektori i paralelne, a također .

Također, dvije su ravnine paralelne s jednom istom, a manje s istom, ako su koeficijenti za odgovarajuće koordinate proporcionalni:

ili

Operite okomitost ravnina.

Bilo je jasno da su dvije ravnine okomite i iste, ako su normalni vektori i okomite.

Na takav način,

primijeniti.

DIREKTNO U SVEMIRU.

VECTORNE RIVNYANNYA IZRAVNO.

PARAMETRIJSKO NIVELIRANJE DIREKTNO

Položaj ravne crte u prostoru u potpunosti ovisi o danim podacima, jer postoje njezine fiksne točke M 1 i vektor , paralelan s pravom.

Vektor, paralelni pravac, naziva se direktno vektor je ravan.

Otzhe, zdravo ravno l proći kroz točku M 1 (x 1 , g 1 , z 1), koji leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom.

Pogledajmo jednu točku M(x, y, z) na ravnoj liniji. Po malom se to vidi .

Vektori i kolínearní, tako da postoji takav broj t, sho , de množitelj t možete pokupiti je li brojčana vrijednost u ostatku na položaju točke M na ravnoj liniji. Multiplikator t naziva parametar. Dodjeljivanje točke radijus-vektora M 1 ta M očito kroz i, otrimuemo. Tse jednako se zove vektor ravne linije. Prikazuje vrijednost parametra za kožu t promijeniti radijus-vektor deak točke M, koji leže na ravnoj liniji.

Zapišimo redoslijed koordinatnog oblika. S poštovanjem, sho, i zvijezde

Otrimani jednaki zovu se parametarski ravno.

Prilikom promjene parametra t promjene koordinata x, gі z išaran sam M kretati se pravocrtno.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

dođi M 1 (x 1 , g 1 , z 1) - točka koja leži na ravnoj liniji l, і - Njen izravni vektor. Preći ću odmah na bit M(x, y, z) gledam vektor.

Bilo je jasno da vektori i kolinearni, s tim da njihove odgovarajuće koordinate mogu biti proporcionalne,

– kanonski ravne linije.

poštovanje 1. Uz dužno poštovanje, kanonsko poravnanje ravne linije može se oduzeti parametarskim uključivanjem parametra t. Istina, iz parametarskih jednakosti potrebno je ili .

kundak. Pišite ravne crte parametarski izgled.

Značajno , zvijezde x = 2 + 3t, g = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je pravac okomit na jednu od koordinatnih osi, na primjer, os Vol. Zatim direktni vektor linija okomica Vol, otzhe, m=0. Otzhe, parametarsko izjednačavanje izravnog pogleda naprijed

Uključujući parametar izjednačenja t, Odnesite ravno s vida

Prote i ujedno formalno zapišimo kanonske jednakosti izravnog jaka . U ovom redoslijedu, ako postoji nula u natpisu jednog od razlomaka, to znači da je ravna linija okomita na dvostruku koordinatnu os.

Slično, kanonski jednaki ravna crta je okomita na osi Volі jao ili paralelno s osi Oz.

primijeniti.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, YAK LINE REVERZIJA DVIJE RAVNINE

Kroz kožu ravno u otvorenom prostoru proći bezlično područje. Bilo njih dvoje, ispreplićući se, označavaju u prostoru. Otzhe, kad bi bila dva jednaka stana, koji se zajedno gledaju, jednaki su ravnim crtama.

Vzagali be-like two paralelne ravnine, postavili gorljivi jednaki

označavaju ravnu liniju. Qi jednaki nazivaju se divlja ljubomora ravno.

primijeniti.

Brz izravni, postavljaju vršnjaci

Da biste potaknuli izravno, dovoljno je znati ima li njezinih bodova. Najlakši način je odabrati sjecišta pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, križna točka s ravninom xOy uzimamo ravno, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu sustav, znamo poantu M 1 (1;2;0).

Slično, s poštovanjem g= 0 xOz:

S gornjih razina ravne linije možete ići na njezine kanonske ili parametarske razine. Za koga je potrebno znati neku točku M 1 na ravnoj liniji, a direktni vektor je ravna crta.

Koordinate točke M 1 uzima se iz središta sustava izjednačavanja, pritiskom jedne od koordinata na dovoljnu vrijednost. Što se tiče izravnog vektora, vektor mora biti okomit na oba normalna vektora. і . Tome za direktni vektor l možete li uzeti vektorska odjeća normalni vektori:

kundak. Vodi ravno naprijed kanonskom izgledu.

Nađimo točku koja leži na pravoj liniji. Za koju biramo samo jednu od koordinata, npr. g= 0 i podijelite sustav izjednačenja:

Normalni vektori ravnina, koji određuju ravnu liniju, određuju koordinate. Stoga će direktni vektor biti direktan

. Otzhe, l: .

KUT MIŽ RAVNI

Kutom između ravnih crta u prostoru nazvat ćemo li jedan od sažetih kutiva, načinjenih dviju ravnih linija, povučene kroz stanovitu točku paralelno, dajemo.

Neka prostor postavlja dvije ravne linije:

Očito je da se kut između njihovih ravnih linija može uzeti kao kut između njihovih direktnih vektora i . Dakle, onda za formulu za kosinus kuta između vektora uzimamo

Pregrada V *. Jednadžba ravnih linija i ravnina u blizini otvorenog prostora.

§ 70. Razmislite o paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca.

Ravne linije s izravnim vektorima a і b :

a) paralelni isti i manje isti, ako su vektori a і b kolinearan;

b) okomite na iste i manje na iste, ako su vektori a і b okomito, onda ako a b = 0.

Potrebno je voditi računa o nužnom i dovoljnom razumijevanju paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija, zadanih kanonskim jednakostima.

Za to, ravno

kuglane su paralelne, potrebne i dovoljne, da um pobijedi

Imati vipadku, poput nekih brojeva b 1 , b 2 , b 3 vratiti na nulu, tada je kriv vratiti se na nulu drugi broj a 1 , a 2 , a 3 .

Za okomitost ravnih linija potrebno je i dovoljno, da um

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Zadatak 1. Između parova ravnih linija koji napreduju, oklade su paralelne ili okomite na prave linije:

a) Izravni vektori a = (2; 4; -13) i b = (3; 5; 2) očito nisu kolinearni. Otzhe, a ne izravno paralelno. Razmotrimo ponovno okomitost uma

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Ravna okomita.

b) Direktni vektor drugog pravca može se koordinirati b = (3; 2; 4). Za izravni vektor, mogu prvo uzeti vektorski komplement normalnih vektora
n 1 = (2; -3; 0) i n 2 \u003d (4; -2; -2) ravnine, kako postaviti qiu ravno:

Umov (1) pobjeđuje, krhotine 6/3 = 4/2 = 8/4. Izravno paralelno.

c) Direktni vektor prvog pravca maê koordinate a = (2; 3; 1). Lako je dovesti drugu ravnu liniju do kanonskog izgleda.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektori a і b ne paralelno. Smrad nije okomit, krhotine

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Podaci su ravni, nisu paralelni niti okomiti.

Zadatak 2. Znati poravnanje ravne linije koja prolazi kroz točku M 0 (2; -3; 4) okomito na ravnu crtu

Tsya članak o paralelnim pravcima i o paralelnim pravcima. Na poleđini se daje oznaka paralelnih pravaca u ravnini i u blizini otvorenog prostora, uvodi se oznaka i primjenjuju se grafički prikazi paralelnih pravaca. Davali su znakove i razumjeli paralelizam ravnih linija. Visnovka prikazuje rješenja karakterističnih zadataka za dokazivanje paralelnosti pravaca, kao da su zadana nekim jednakostima pravca pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini i u trivijalnom prostoru.

Navigacija sa strane.

Paralelni izravni glavni mostovi.

Ugovoreni sastanak.

Dva pravca na ravnini nazivaju se paralelno zašto ne smrdiš vruće točke.

Ugovoreni sastanak.

Dvije ravne linije u trosvjetovnom prostoru nazivaju se paralelno kao smrad ležanja u jednom stanu i nespavanja na točkama za spavanje.

Poštujte da je upozorenje “da smrad leži u istoj ravnini” na označenim paralelnim linijama na otvorenom prostoru još važnije. Objasnimo ovaj trenutak: dvoje su ravni u trosvjetovnom prostoru, tako da nemaju točaka spavanja i ne leže u istoj ravnini, ne paralelno, nego križno.

Navedimo nekoliko primjera paralelnih pravaca. Protilezhní rubovi lista zoshita leže na paralelnim ravnim linijama. Ravna, iza koje ploha zida kabine prelazi plohu stele i podloge koje su paralelne. Također možete vidjeti koliko su paralelne ravne linije ravnopravne.

Za definiciju paralelnih pravaca koristi se simbol "". Budući da su ravni a i b paralelni, možete napisati kratko a b.

Pokažite poštovanje: budući da su prave a i b paralelne, možete reći da je pravac a paralelna s pravcem b, a možete reći da je pravac b paralelan s pravcem a.

Zvučno čvrsto, kao da igra važnu ulogu nekih paralelnih pravaca u ravnini: kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu provucite jednu ravnu liniju, paralelnu sa zadanim pravcem. Ova se tvrdnja prihvaća kao činjenica (ne može se dokazati na temelju aksioma planometrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravaca.

Za prostor u prostoru vrijedi sljedeći teorem: kroz prolazi li točka u prostoru, koja ne leži na danoj pravoj liniji, kroz jednu ravnu crtu, paralelnu sa danom. Tsya teorem može se lako dovesti u pomoć pri uvođenju aksiomije paralelnih linija (í̈í̈ dokaz možete znati iz priručnika geometrije 10-11 razreda, koji je naveden u članku na popisu literature).

Paralelizam ravnih linija – znakovi tog umnog paralelizma.

Znak paralelnih pravaca Za paralelizam ravnih pravaca ima dovoljno pameti, tako da postoji takav način razmišljanja, koji jamči paralelnost ravnih linija. Drugim riječima, vykonannya tsíêí̈ dovoljno razmišljati da se utvrdi činjenica paralelnih linija.

Također, potrebno je utvrditi potrebne i dovoljne umove paralelnosti ravnih linija na ravnini iu trivijalnom prostoru.

Razumljivo je promijeniti izraz "da je potreban dovoljan mentalni paralelizam ravnih linija".

Uz dovoljan mentalni paralelizam ravnih linija, već smo razvrstali. I što je to? potreban um paralelnost ravnih linija? Iza naziva "potrebno" podrazumijevalo se da je vikonnannya tsíêí̈ um neophodan za paralelizam linija. Drugim riječima, ako paralelnost pravaca nije nužna, onda pravci nisu paralelni. na takav način, potrebno da dovoljan mentalni paralelizam ravnih linija- Tse mind, vykonannya kao što je potrebno, tako da je dovoljno za paralelnost ravnih linija. To jest, s jedne strane postoji znak paralelizma ravnih linija, s druge strane - cjelovitost, kao da se mogu vidjeti paralelne linije.

Prvi korak je formuliranje potrebnog paralelizma ravnih linija, dovoljnog da um pogodi malo dodatnih znakova.

Ravna crta- Tse je ravno, kao da prelazimo kožu u dvije ravne linije.

Prilikom odlaska u mirovinu, dva ravna sichny utvoryuyuyutsya vísím neizgorjeli. Za formularnu nužnu i dovoljnu umnu paralelnost ravnih linija poprimiti sudbinu tzv naopako ležeći, ležećiі jednostrani kuti. Pokažite ih na fotelji.

Teorema.

Kako su dvije ravne crte na ravnini presjecišta sičnoga, onda je za njihovu paralelnost potrebno i dovoljno, da su presječene rezom, koji je ležao, bile jednake, ili pak su dvije strane bile jednake, ili zbroj jedno- bočni rezovi bili su 180 stupnjeva.

Pokažimo grafičkim prikazom potrebne i dovoljne umne paralelnosti ravnih linija u ravnini.

Dokaze o paralelnosti ravnih linija možete pronaći u asistentima geometrije za 7-9 razred.

Važno je da mislite da možete pobijediti iu trivijalnom prostoru - smut, tako da dvije ravne linije leže u istoj ravnini.

Uvedimo još nekoliko teorema, koji se često osporavaju za dokazivanje paralelnosti pravaca.

Teorema.

Ako su dvije crte na ravnini paralelne s trećom crtom, tada je smrad paralelan. Dokaz da su znakovi vidljivi iz aksioma paralelnih pravaca.

To je analogno umnom paralelizmu ravnih linija u trivijalnom prostoru.

Teorema.

Kao dvije ravne crte u prostoru paralelne s trećom pravom crtom, svi smradovi su paralelni. Dokaz da se znakovi vide na nastavi geometrije u 10. razredu.

Ilustrirajmo kako zvuči teorem.

Uvodimo još jedan teorem, koji nam omogućuje da dovedemo paralelnost pravaca na ravninu.

Teorema.

Kao dvije ravne crte na ravnini okomitoj na treću ravnicu, one su paralelne.

Postoji sličan teorem za pravce u prostoru.

Teorema.

Kao dvije ravne crte u trivijalnom prostranstvu, okomite na jednu ravninu, smrad je paralelan.

Zamislivo mali, yakí vídpovídat zim teoreme.

Sve formulacije teoreme, znakovi i potrebni dovoljni umovi čudesno odgovaraju za dokazivanje paralelnosti ravnih linija metodama geometrije. Dakle, da bi se dovela paralelnost dviju zadataka ravnih linija, potrebno je pokazati da su one paralelne s trećom pravcom, ili pokazati jednakost presjeka, ležati i tako dalje. Anonimni slični zadaci krše se tijekom prvog sata nastave geometrije u nepoznatoj srednjoj školi. Međutim, važno je napomenuti da je u bogatim vipadima lako koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti ravnih linija na ravnini ili trivimernom prostoru. Formuliramo potrebno dovoljno razumijevanje paralelnosti pravaca, kao zadatak za pravokutni koordinatni sustav.

Paralelnost pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu.

U ovom odlomku formulirana je statistika potrebni i dovoljni za razumijevanje paralelnosti ravnih linija u pravocrtnom koordinatnom sustavu nalazi se ugar u obliku rívnyan, što označava tsí ravne linije, a također ćemo potaknuti izvješća o raspodjeli karakterističnih zadataka.

Prisjetimo se paralelnosti dvaju pravaca na ravnini pravokutnog koordinatnog sustava Oxy . U osnovi yoge dokazati laž oznaka direktnog vektora pravcaі vektor normale pravca na ravnom.

Teorema.

Za paralelnost dvaju pravaca koji se ne upadaju u ravninu potrebno je i dovoljno da su direktni vektori tih pravaca kolinearni, ili normalni vektori tih pravaca kolinearni, ili da su direktni vektori jednog pravca okomica na normalu. vektor drugog pravca.

Očigledno, mentalna paralelnost dvaju pravaca na ravnini može se svesti na (direktne vektore pravaca ili normalne vektore pravaca) ili na (izravne vektore jednog pravca na vektor normale drugog pravca). Ovim redom, kao i - direktni vektori pravaca a í b i і - normalni vektori pravaca a i b su ispravni, tada je potrebno da se dovoljna mentalna paralelnost pravaca a i b zapiše kao , ili , ili je de t realan broj. Koordinate pravaca i (ili) vektora normala pravaca a i b imaju svoj raspon koordinata iza zadanih pravaca pravaca.

Zokrema, poput pravca a u Oxy pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini ravna crta um , i ravna linija b - tada normalni vektori tsikh ravnih linija mogu biti koordinate í vídpovídno, a Um-ov paralelizam pravaca a í b bit će zapisan kao .

Yakshcho usmjeriti vídpovídaê poravnanje ravnih linija s koeficijentom rezanja um , i pravac b - , onda normalni vektori ovih pravaca mogu imati koordinate i , te će se vidjeti mentalni paralelizam ovih pravaca . Također, iako su pravci na ravnini pravokutnog koordinatnog sustava paralelni i mogu se postaviti jednaki pravcima s vršnim koeficijentima, tada će vršni koeficijenti pravaca biti jednaki. Prije svega: iako se ravne crte, koje se ne savijaju, na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu mogu postaviti ravnim crtama s jednakim rubnim koeficijentima, onda su takve ravne linije paralelne.

Kao pravac a i pravac b u pravocrtnom koordinatnom sustavu kanonsko poravnanje ravnih linija na ravni um і , ili parametarsko poravnanje pravca na ravnini um і očito, direktni vektori ovih pravaca mogu biti koordinate i , a mentalna paralelnost pravaca a i b se piše kao .

Pogledajmo nekoliko aplikacija.

kundak.

Chi paralelne linije і?

Riješenje.

Prepišimo poravnanje ravnih linija na namotima u pogledu divlje ravne linije: . Sada možete vidjeti da je scho normalni vektor ravnih linija , a vektor normale je pravac. Qi vektori nisu kolinearni, jer takvi ne postoje broj datuma t , za koju je jednakost točna ( ). Dakle, nije potrebno prevladati potrebu za tom dovoljnom mentalnom paralelizmom ravnih linija na ravnini, zadaci ravnih linija nisu paralelni s tim.

Prijedlog:

Ne, ne izravno paralelno.

kundak.

Jesu li ravne i paralelne?

Riješenje.

Plovna kanonski jednaki ravno jednako ravno koeficijent rezanja: . Jasno je da je izjednačavanje ravnih linija i isto (za različite zadatke, ravne linije će se izbjegavati) i kutoví koeficijenti izravnih jednaki, također, vihídní ravne linije su paralelne.