Підгрупи циклічних груп. Циклічні групи. Суміжні класи, теорема Лагранжа

Група О називається циклічною, якщо всі її елементи є ступенями одного і того ж елемента Цей елемент називається утворюючою циклічною групою О. Будь-яка циклічна група, очевидно, абелева.

Циклічною групою є, наприклад, група цілих чисел за додаванням. Цю групу ми позначатимемо символом 2. Її твірною є число 1 (і навіть число - 1). Циклічною групою є також група, що складається лише з одного елемента (одиниці).

У довільній групі Про рівень будь-якого елемента g становлять циклічну підгрупу з твірною g. Порядок цієї підгрупи, зрозуміло, збігається з порядком елемента g. Звідси з теореми Лагранжа (див. стор. 32) випливає, що порядок будь-якого елемента групи ділить, порядок групи (зауважимо, що це елементи кінцевої групи є елементами кінцевого порядку).

Тому для будь-якого елемента g кінцевої групи порядку має місце рівність

Це просте зауваження часто корисне.

Дійсно, якщо група циклічна і її утворює, то порядок елемента дорівнює . Назад, якщо група володіє елементом порядку , то серед ступенів цього елемента є різних, і тому ці ступеня вичерпують всю групу Про.

Ми бачимо, таким чином, що циклічна група може мати декілька різних утворюючих (саме, будь-який елемент порядку є твірною).

Завдання. Довести, що будь-яка група простого порядку є циклічною групою.

Завдання. Довести, що циклічна група порядку має рівно утворюють, де - число позитивних чисел, менших та взаємно простих з .

Поряд із порядком будь-якій кінцевій групі можна віднести число - найменше загальне кратне порядків всіх її елементів.

Завдання. Довести, що для будь-якої кінцевої групи число ділить порядок групи.

Вочевидь, що з циклічної групи число збігається з порядком. Назад, взагалі кажучи, не вірно. Тим не менш, має місце наступне твердження, що характеризує циклічні групи в класі кінцевих абелевих груп:

кінцева абелева група, для якої число дорівнює її порядку , є циклічною групою.

Справді, нехай

Порядки всіляких відмінних від одиниці елементів кінцевої абелевої групи Про порядок , і нехай - їх найменше загальне кратне.

Розкладемо число у добуток ступенів різних простих чисел:

Нехай Оскільки число є, за визначенням, найменшим загальним кратним чисел (1), серед цих чисел існує хоча б одне число, що ділиться точно на т. Е. Має вигляд, де b взаємно просто з . Нехай це число є порядком елемента g. Тоді елемент має порядок (див. слідство 1) на сторінці 29).

Таким чином, для будь-кого в групі Про існує хоча б один елемент порядку. Вибравши для кожного один такий елемент, розглянемо їхній твір. Згідно з твердженням, доведеним на стор. 29-30, порядок цього твору дорівнює добутку порядків, тобто дорівнює числу. Оскільки останнє число за умовою дорівнює , тим самим доведено, що в групі існує елемент порядку п. Отже, ця група є циклічною групою.

Нехай тепер О - довільна циклічна група з твірною та Н - деяка її підгрупа. Оскільки будь-який елемент підгрупи Н є елементом групи Про, його можна у вигляді , де d - деяке позитивне чи негативне ціле число (взагалі, певне неоднозначно). Розглянемо безліч всіх позитивних чисел котрим елемент належить підгрупі Н. Оскільки це безліч непусто (чому?), то ньому існує найменше число Виявляється, будь-який елемент h підгрупи Н є ступенем елемента . Справді, за визначенням, існує таке число d, що (число може бути і негативним). Розділимо (з залишком) число d на число

Так як , то в силу мінімальності числа залишок повинен дорівнювати нулю. Таким чином, .

Тим самим було доведено, що елемент є твірної групи Н, тобто група Н циклічна. Отже, будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною групою.

Завдання. Довести, що число дорівнює індексу підгрупи Н і, отже, ділить порядок групи (якщо група О кінцева).

Зауважимо ще, що для будь-якого дільника порядку кінцевої циклічної групи Q у групі Про існує одна і лише одна підгрупа Н порядку (а саме підгрупа з твірною

Звідси випливає, що й кінцева циклічна група проста, її порядок є простим числом (або одиницею).

Зазначимо нарешті, що будь-яка фактор (група отже, будь-який гомоморфний образ) циклічної групи Q є циклічною групою.

Для доказу досить помітити, що твірної групи служить суміжний клас, що містить твірну групу Про.

Зокрема, будь-яка фактор групи групи цілих чисел Z є циклічною групою. Вивчимо ці циклічні групи докладніше.

Так як група Z абелева, то будь-яка її підгрупа Я є нормальним дільником. З іншого боку, згідно з доведеним вище, підгрупа Н є циклічною групою. Так як фактор групи за тривіальними підгрупами нам відомі, то ми можемо вважати підгрупу Н нетривіальною. Нехай число є утворюючою підгрупи Н. Ми можемо вважати це число позитивним (чому?) і, отже, більшим за одиницю.

Підгрупа Н. складається, очевидно, з усіх цілих чисел, що поділяються на . Тому два числа тоді й тільки тоді належать одному суміжному класу за підгрупою Н, коли їхня різниця ділиться на , тобто коли вони можна порівняти за модулем (див. Курс, стор. 277). Таким чином, суміжні класи за підгрупою Н суть не що інше, як класи чисел, які можна порівняти між собою за модулем .

Іншими словами, фактор група групи Z за підгрупою Н є групою (за додаванням) класів чисел, порівнянних між собою за модулем . Ми будемо цю групу позначати через Її утворюючу є клас, що містить число 1.

Виявляється, будь-яка циклічна група ізоморфна або групі Z (якщо вона нескінченна), або однієї з груп (якщо її порядок скінчен).

Справді, нехай - утворює групи О. Визначимо відображення групи 2 у групу О, вважаючи

Розглянемо мультиплікативну групу всіх цілих ступенів двійки (2Z, ), де 2Z = (2 n | пе Z). Аналогом цієї групи адитивною мовою є адитивна група парних цілих чисел (2Z, +), 2Z = (2n | п е Z). Дамо загальне визначення груп, окремими прикладами яких є дані групи.

Визначення 1.8. Мультиплікативна група (G,) (Адитивна група (G, +)) називається циклічною,якщо вона складається з усіх цілих ступенів (відповідно, всіх кратних) одного елемента а е G,тобто. G =(А п | п е Z) (відповідно, G - (па | п е Z)). Позначення: (а), читається: циклічна група, породжена елементом а.

Розглянемо приклади.

1. Прикладом мультиплікативної нескінченної циклічної групи може бути група всіх цілих ступенів деякого фіксованого цілого числа а Ф±1, вона позначається а р.Таким чином, а г - (а).
2. Прикладом мультиплікативної кінцевої циклічної групи є група С коріння n-йступеня з одиниці. Нагадаємо, що коріння n-йступеня з одиниці знаходяться

за формулою e k= cos---hisin^-, де до = 0, 1, ..., п - 1. Слід- п п

вально, З„ =(е х)= (е х = 1, е х, ef = е 2 ,..., е" -1 = ?„_ х ). Згадаємо, що комплексні числа е до, до = 1, ..., п - 1, зображуються точками одиничного кола, які поділяють її на прівних частин.

3. Характерним прикладом адитивної нескінченної циклічної групи є адитивна група цілих чисел Z вона породжується числом 1, тобто. Z = (1). Геометрично вона зображується у вигляді цілих точок числової прямої. Фактично так само зображується мультиплікативна група 2 7 - = (2), у загальному випадку a z = (а),де ціле число а Ф±1 (див. рис. 1.3). Цю подібність зображень ми обговоримо у параграфі 1.6.
4. Виберемо у довільній мультиплікативній групі Gдеякий елемент а.Тоді всі цілі ступені цього елемента утворюють циклічну підгрупу (а) = (а п п е Z) G.
5. Доведемо, що адитивна група раціональних чисел Q сама не циклічна, а будь-які два її елементи лежать у циклічній підгрупі.

А. Доведемо, що адитивна група Q не циклічна. Припустимо неприємне: нехай Q = (-). Існує ціле число Ь,

не ділить т.Оскільки - eQ = (-) = sn-|neZ>, то сущ-

Ъ т/ (т J

є ціле число гс 0 таке що - = п 0 -. Але тоді т = n 0 kb,

звідки т:- дійшли суперечності.

Б. Доведемо, що два довільні раціональних числа -

з „ /1

і - належать циклічній підгрупі (-), де тє най- d т/

менше загальне кратне чисел bі d.Справді, нехай т-Ьі

, а аї 1 /1 з cv 1/1

і m = av, u, v е Z, тоді - = - = аї-е(-)і - = - = cv-е (-).

b Ьі т т/ a dv т т/

Теорема 1.3. Порядок циклічної групи дорівнює порядку породжувального елемента цієї групи, тобто.|(а)| = | а |.

Доведення. 1. Нехай | = «>. Доведемо, що всі натуральні ступені елемента арізні. Припустимо неприємне: нехай ак = а ті 0 до Тоді т - до - натуральне числоі а т ~ до = е.Але це суперечить з того що | а = ° °.Таким чином, всі натуральні ступені елемента арізні, звідки випливає нескінченність групи (а). Отже, | (а)| = ° ° = | а |.

2. Нехай | а | = п. Доведемо, що (а) = (е - а 0 , а, а 2 ,..., а" -1 ). З визначення циклічної групи випливає включення (а 0, а, а 2, ..., o" 1-1) з (а). Доведемо зворотне включення. Довільний елемент циклічної групи (а)має вигляд а т,де ті Z. Розділимо шнапс залишком: m-nq + r,де 0 п. Оскільки а п = е,то а т = а п я +г = а п ч? а г = а г е(а 0, а, а 2 ,..., а" - 1). Звідси (а) з (а 0, а, а 2,..., Таким чином, (а) = (а 0, а, а 2,..., а" -1).

Залишається довести, що всі елементи множини (а 0 , а, а 2 ,..., а "-1) різні. Припустимо неприємне: нехай 0 i п,але а" = а).Тоді він - ета 0 j - i - дійшли суперечності з умовою | а | = п.Теорему доведено.

Підгрупи циклічних груп

Наступна теорема визначає будову підгруп циклічних груп.

Теорема 1.4. Підгрупа циклічної групи циклічна. Якщо G = (a)uH - непоодинока підгрупа групи G,moH = (ад), де п - найменше натуральне число, таке що а п е Н.

Доведення.Нехай G = (а) та Н- підгрупа групи G.Якщо підгрупа Нодинична, то Н =(е) – циклічна група. Нехай Н- непоодинока підгрупа. Позначимо через пнайменше натуральне число, таке що а п е Н,і доведемо, що Н = (а п).Включення ( а п) з Ночевидно. Доведемо зворотне включення. Нехай h е Н.Оскільки G = (а),то існує цілий показник до,такий що h = а до.Розділимо дона піз залишком: до = nq+ г, де 0 п. Якщо припустити, що г Ф 0, то отримаємо h = а до =а па п ч а г, звідки a r = а~ п чН е Н.Прийшли до суперечності з мінімальністю показника п.Отже, г = 0 і до - nq.Звідси h = a k = а п ч еа"). Таким чином, Нз ( ап), отже, Н = (ад). Теорему доведено.

Породжувальні елементи циклічної групи

Якими елементами може породжуватись циклічна група? Відповідають це питання такі дві теореми.

Теорема 1.5. Нехай дано циклічну групу G = (а) нескінченного порядку. Тоді (а) - (ак) тоді і тільки тоді, коли до - ± 1.

Доведення.Нехай G = (а),|а| = ° ° і (а) = (Ак).Тоді існує ціла кількість п,таке що а = а кп.Звідси а * "-1 = е,а оскільки | а =то кп - 1 = 0. Але тоді кп = 1 іч-± 1. Зворотне твердження очевидне.

Теорема 1.6. Нехай дана циклічна група G = (а) порядку т. Тоді (а) = (ак) тоді і тільки тоді, колиНОД(/с, т) = 1.

Доведення.(=>) Нехай (а) = (а до),доведемо, що НОД(/с, т) - 1. Позначимо НОДЦс, т) – d.Оскільки ае (а) - (а до),то а = а кппри деякому цілому п.За якістю порядків елементів звідси випливає, що (1 - кп) : т,тобто. 1 - кп = mtпри деякому цілому t. Але тоді 1 = (кп + mt) : d,звідки d = 1 і НОД(/с, т)= 1.

(Нехай НІД (к, т) = 1. Доведемо, що (а) = (Ак).Увімкнення (а до)з (а) очевидно. Назад, з умови НОД №, т) = 1 слідує існування цілих чисел іі v, таких що кі + mv = 1. Користуючись тим, що | а | - т,отримуємо а = a ku + mv = a ku a mv = а кі е (а до). Отже, (а) = (а до). Теорему доведено.

Нагадаємо, що функція Ейлераф(т) визначається як кількість натуральних чисел, що не перевищують натурального числа ті взаємно простих з т.Звідси одержуємо слідство.

Слідство.Циклічна група (а)порядку тмає ф(т) різних елементів, що породжують.

Для надання геометричної наочності теоремі 1.5 зобразимо циклічну групу G = (а)порядку тточками кола А 0, А ь..., А т _ ьділять її на трівних частин. Елемент а доданої групи, що відповідає точці А до,буде породжує тоді і тільки тоді, коли, з'єднуючи послідовно точки А 0 , Ак, А 2кі т.д., ми прийдемо до точки А]. Знайдемо всі такі допри т= 10 простим перебором випадків (рис. 1.5). В результаті отримаємо до =1,3, 7, 9. Для циклічної групи (а)це означає, що (а) = (а 3) = (а 7) = (а 9). Назад: знайшовши до,взаємно просте з цим числом т,можна сміливо викреслювати відповідну «зірочку», твердо знаючи, що рано чи пізно потрапиш у кожну точку, бо (а) = ( ак).

Нехай G– група та елемент a G. Порядком елемента а (позначається ׀а׀) називається таке найменше натуральне число nN, що

a n = a . . . . a =1.

Якщо ж такого числа не існує, то кажуть, що а- Елемент нескінченного порядку.

Лемма 6.2.Якщо a k= 1 , то kділиться на порядок елемента а.

Визначення.Нехай G– група та а G. Тоді безліч

H = (ak ׀ k }

є підгрупою групи G , яка називається циклічною підгрупою, породженою елементом а (позначається Н =< а >).

Лемма 6.3.Циклічна підгрупа Н, породжена елементом апорядку n, є кінцевою групою порядку n, причому

H = (1 = a 0, а, …, а n-1).

Лемма 6.4.Нехай а- Елемент нескінченного порядку. Тоді циклічна підгрупа Н = <а> - нескінченна і будь-який елемент з Нзаписується у вигляді a k , доZ, причому єдиним чином.

Група називається циклічноюякщо вона збігається з однією зі своїх циклічних підгруп.

Приклад 1. Адитивна група Zвсіх цілих чисел – нескінченна циклічна група, породжена елементом 1.

приклад 2.Безліч усіх коренів n-ой ступені з 1 є циклічною групою порядку n.

Теорема 6.2.Будь-яка підгрупа циклічної групи – циклічна.

Теорема 6.3.Будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна адитивної групи цілих чисел Z. Будь-яка кінцева циклічна система nізоморфна групі всіх коренів n-ой ступеня з 1.

Нормальна підгрупа. Група фактор.

Лемма 6.5.Нехай Н- Підгрупа групи G, на яку всі ліві суміжні класи одночасно є і правими суміжними класами. Тоді

aH = Ha, a G.

Визначення.Підгрупа Нгрупи Gназивається нормальною в G(позначається НG), якщо всі і ліві суміжні класи є правими, тобто

aH = Ha, aG.

Теорема 6.4. Нехай Н
G, G/Н– безліч усіх суміжних класів групи Gпо підгрупі Н. Якщо визначити на множині G/Ноперацію множення так

(аН)(bН) = (аb)Н,

то G/Нстає групою, яка називається фактор групою групи Gпо підгрупі Н.

Гомоморфізм груп

Визначення.Нехай G 1 і G 2 – групи. Тоді відображення f: G 1
G 2 називається гомоморфізмом G 1 в G 2 , якщо

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G 1 .

Лемма 6.6.Нехай f– гомоморфізм групи G 1 до групи G 2 . Тоді:

1) f(1) – одиниця групи G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - підгрупа групи G 2 ;

Визначення.Нехай f– гомоморфізм групи G 1 до групи G 2 . Тоді безліч

kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

називається ядром гомоморфізму f .

Теорема 6.5. ker f
G.

Теорема 6.6.Будь-яка нормальна підгрупа групи Gє ядром деякого гомоморфізму.

Кільця

Визначення.Непорожня безліч Доназивається кільцем, якщо на ньому визначено дві бінарні операції, які називаються додаванням і множенням і задовольняють наступним умовам:

До- Абелева група щодо операції додавання;

множення асоціативно;

виконуються закони дистрибутивності

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

приклад 1. Безліч Qі R- Кільця.

Кільце називається комутативним, якщо

xy = yx, x,yK.

приклад 2. (Порівняння). Нехай m- фіксоване натуральне число, aі b- Довільні цілі числа. Тоді число апорівняно з числом bза модулем mякщо різниця a – bділиться на m(пишається: ab(mod m)).

Відношення рівняння є ставленням еквівалентності на безліч Z, що розбиває Zна класи, які називають класами відрахувань за модулем mі позначається Z m. Безліч Z mє комутативним кільцем з одиницею.

Поля

Визначення.Полем називається непорожня безліч Р, Що містить не 2-х елементів, з двома бінарними операціями складання та множення такими, що:

Приклад 1. Безліч Qі Rнескінченні поля.

Приклад 2. Безліч Z r- Кінцеве поле.

Два елементи aі bполя Рвідмінні від 0 називаються дільниками нуля, якщо ab = 0.

Лемма 6.7.У полі немає дільників нуля.

Нехай g – довільний елемент групи G. Тоді, приймаючи ми отримаємо мінімальну підгрупу
, породжену одним елементом
.

Визначення. Мінімальна підгрупа
, породжена одним елементом g групи G, називається циклічною підгрупоюгрупи G.

Визначення. Якщо вся група G породжена одним елементом, тобто.
, то вона називається циклічною групою.

Нехай елемент мультиплікативної групи G, тоді мінімальна підгрупа, породжена цим елементом, складається з елементів виду

Розглянемо ступеня елемента , тобто. елементи

Є дві можливості:

1. Усі ступеня елемента g різні, тобто.

, то тут говорять, що елемент g має нескінченний порядок.

2. Є збіги ступенів, тобто. , але
.

І тут елемент g має кінцевий порядок.

Справді, нехай, наприклад,
і
тоді,
, тобто. існують позитивні ступені
елемента
, рівні одиничному елементу.

Нехай d – найменший позитивний показник ступеня елемента , для котрого
. Тоді кажуть, що елемент
має кінцевий порядок, рівний d.

Висновок. У будь-якій групі G кінцевого порядку (
) всі елементи будуть кінцевого порядку.

Нехай g елемент мультиплікативної групи G, тоді мультиплікативна підгрупа
складається зі всіх різних ступенів елемента g. Отже, кількість елементів у підгрупі
збігається з порядком елемента тобто.

кількість елементів у групі
дорівнює порядку елемента ,

З іншого боку, має місце таке твердження.

Твердження. Порядок будь-якого елемента
дорівнює порядку мінімальної підгрупи, породженої цим елементом
.

Доведення. 1.Якщо - Елемент кінцевого порядку , то

2. Якщо - Елемент нескінченного порядку, то доводити нічого.

Якщо елемент має порядок , то, за визначенням, всі елементи

різні і будь-який ступінь збігається з одним із цих елементів.

Справді, нехай показник ступеня
, тобто. - довільне ціле число і нехай
. Тоді число можна уявити у вигляді
, де
,
. Тоді, використовуючи властивості ступеня елемента g, отримуємо

Зокрема, якщо .

приклад. Нехай
- Адитивна абелева група цілих чисел. Група G збігається з мінімальною підгрупою, породженою одним з елементів 1 або –1:

отже,
- Безкінечна циклічна група.

Циклічні групи кінцевого порядку

Як приклад циклічної групи кінцевого порядку розглянемо групу обертань правильного n-кутника щодо його центру
.

Елементами групи

є повороти n-кутника проти годинникової стрілки на кути.

Елементами групи
є

а з геометричних міркувань ясно, що

Група
містить елементів, тобто.
, а утворюючим елементом групи
є , тобто.

Нехай
тоді (див. рис. 1)

Рис. 1 – Група – обертання правильного трикутника АВС щодо центру О.

Алгебраїчна операція  у групі - Послідовне обертання проти годинникової стрілки, на кут, кратний , тобто.

Зворотний елемент
– обертання за годинниковою стрілкою на кут 1 , тобто.

Таблиця Кечи

Аналіз кінцевих груп найбільше наочно здійснювати за допомогою таблиці Келі, яка є узагальненням відомої «таблиці множення».

Нехай група G містить елементи n.

У цьому випадку таблиця Келі є квадратну матрицющо має n рядків та n стовпців.

Кожному рядку та кожному стовпцю відповідає один і лише один елемент групи.

Елемент таблиці Келі, що стоїть на перетині i-того рядка і j-того стовпця, дорівнює результату виконання операції «множення» i-го елемента з j-тим елементом групи.

приклад. Нехай група G містить три елементи (g1, g2, g3). Операція в групі «множення». У цьому випадку таблиця Келі має вигляд:

Зауваження. У кожному рядку та кожному стовпці таблиці Келі знаходяться всі елементи групи і лише вони. Таблиця Келі містить повну інформацію про групу. Що можна сказати про властивості цієї групи?

1. Єдиним елементом цієї групи є g1.

2.Група абелева т.к. таблиця симетрична щодо головної діагоналі.

3.Для кожного елемента групи існують зворотні-

для g 1 оберненим є елемент g 1 для g 2 елемент g 3 .

Побудуємо для груп Келі таблиці.

Для знаходження зворотного елемента елементу, наприклад, , необхідно у рядку, відповідному елементу знайти стовпець містить елемент . Елемент відповідний даному стовпцю і є зворотним до елемента , т.к.
.

Якщо таблиця Келі симетрична щодо головної діагоналі, це означає, що

- Тобто. операція у аналізованої групі коммутативна. Для прикладу, що розглядається, таблиця Келі симетрична щодо головної діагоналі це означає, що операція в комутативна, тобто.
,

а група - Абельова.

Можна розглядати повну групу перетворень симетрій правильного n – косинця додавши до операції обертання додаткові операції просторового повороту навколо осей симетрії.