Tunne pisteen ortogonaalisen projektion koordinaatit suoraan. Pisteen projektio suoralla Pisteen projektion koordinaatit suoralla. Pisteen projektio suoralle - teoria, sovelle sitä ratkaisua

Tsya artikkeli, jossa tarkastellaan pisteen projektion ymmärtämistä suoralla viivalla (kaikki). Vikoristannya pikkuiselle nimitettiin Mi damo yoma, minkä selitän; Vivchimo-tapa määrittää pisteen projektion koordinaatit suoralle viivalle (tasaiselle tai triviaalille avaruudelle); Kokeillaan sitä.

Artikkelissa "Pisteen projektio tasossa, koordinaatit" pohdimme, pitäisikö hahmon suunnittelu ymmärtää kohtisuoran tai ortogonaalisen suunnittelun käsitteillä.

Kaikki geometriset hahmot on taitettu pisteisiin; Siksi, jotta hahmo voidaan projisoida suoralle viivalle, on otettava huomioon kyky projisoida piste suoralle viivalle.

Tapaaminen 1

Pisteen projektio suoralle viivalle- tse tai itse piste, koska sen pitäisi olla annetulla suoralla, tai pisteestä pudotetun kohtisuoran perusta annetulla suoralla.

Katsotaanpa alla olevia pieniä: piste H 1 toimii pisteen M 1 projektiona suoralla a ja suoralla a oleva piste M 2 on projektio itselleen.

Nimitys on oikeampi vipadka pinnalla ja trivimeri-tilassa.

Ottaaksesi pisteen M 1 projektion tason suoralle a, piirrä suora b, joka kulkee tietyn pisteen läpi M 1 i on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Tässä järjestyksessä suorien a ja b leikkauspiste on pisteen M 1 projektio suoralla a.

Triviaalitilassa pisteen projektiota suoralla palvelee suoran a ja tason α poikkiviivan piste, joka kulkee pisteen M 1 kautta kohtisuorassa suoraa a vastaan.

Pisteen projektion koordinaattien arvo suoralla viivalla

Katsotaanpa ketjuja tasaisen suunnittelun maisemissa ja triviaalissa avaruudessa.

Anna tehtävä suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y, piste M1 (x1, y1) i suora a. On tarpeen tietää pisteen M1 projektion koordinaatit suoralla a.

Ohjataan annetun pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi suora b kohtisuorassa suoraa a vastaan. Katkokohta on merkitty H1:llä. Piste H 1 on pisteen M 1 projektiopiste suoralla a.

Kuvauksesta on mahdollista muodostaa algoritmi, jonka avulla voit tietää pisteen M 1 (x 1 y 1) projektion koordinaatit suoralla a:

Taittuvat suorat viivat (koska sitä ei ole määritelty). Sillä zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya tärkein rivnyan tasaisella;

Kirjaa muistiin suoran b kohdistus (kulkeaksesi pisteen M 1 läpi ja kohtisuorassa suoraa a vastaan). Täällä täydennetään artikkelia suoran kohdistamisesta tietyn pisteen läpi kulkemiseksi kohtisuorassa annettuun suoraan nähden;

On selvää, että projektion koordinaatit otetaan suorien a ja b poikkipisteen koordinaatteiksi. Ja tähän on todistettu yhtäläisyysjärjestelmä, varastot kuten - suorien a ja b tasaus.

peppu 1

Tasolla O x y annettu piste M 1 (1, 0) on suora a (korkeampi tasaus - 3 x + y + 7 = 0). On tarpeen määrittää pisteen M1 projektion koordinaatit suoralla a.

Ratkaisu

Suoran suoran antama kohdistus, joka algoritmin mukaan siirrytään suoran b kohdistuksen lyhimpään tietueeseen. Suora b on kohtisuorassa suoraa a vastaan, joten suoran a normaalivektori on suoran b suora vektori. Sitten suorien b suora vektori voidaan kirjoittaa muodossa b → = (3, 1). Kirjataan muistiin suoran b kanoninen kohdistus, mutta meidän on myös asetettava pisteen M 1 koordinaatit läpi kulkevan suoran b:

Lopullinen leikkaus näyttää suorien a ja b poikkipisteen koordinaatit. Siirrytään eteenpäin kanoninen rivnyan suora b: zagalny її yhtä kuin:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Tehdään tasausjärjestelmä suorien a ja b ylemmistä tasoituksista

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 ( - 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

No, otimme pois pisteen M 1 (1, 0) projektion koordinaatit suoralla 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Ehdotus: (- 2 , - 1) .

Raportti tarkistetaan, jos on tarpeen ilmoittaa projektion koordinaatit asetuspiste koordinaattiviivoilla ja niiden suuntaisilla viivoilla.

Olkoon annetut koordinaattiviivat O x і O y sekä piste M 1 (x 1, y 1). Ymmärsin, että tietyn pisteen projektio suoralle koordinaatille O x, joka on muotoa y = 0, on piste, jonka koordinaatit ovat (x 1, 0) . Siten annetun pisteen projektio suoralla koordinaatilla O y on koordinaatti 0 , y 1 .

Be-yaku melko suora, yhdensuuntainen akselin kanssa abskissa, voit kirjoittaa sen väärin villi kateellinen B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B ja suora, yhdensuuntainen y-akselin kanssa - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Sitten pisteen M 1 (x 1, y 1) projektioista suoralla y \u003d - C B i x \u003d - CA tulee pisteitä, joiden koordinaatit ovat x 1, - C B i - CA A, y 1.

peppu 2

Otetaan pisteen M 1 (7, - 5) projektion koordinaatit koordinaattiviivalle O y ja myös suoralle, joka on yhdensuuntainen suoran O y 2 y - 3 = 0 kanssa.

Ratkaisu

Kirjoitetaan suoralle O y annetun pisteen projektion koordinaatit: (0 - 5) .

Kirjataan ylös suoran 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 kohdistus. On selvää, että annetun pisteen projektio suoralla y = 3 2 koordinaattimatriisilla 7 3 2 .

Ehdotus:(0 , - 5) ja 7 , 3 2 .

Olkoon triviaaliavaruudessa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z , piste M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja suora a . Tiedämme pisteen M1 projektion koordinaatit suoralla a.

Annamme tason α kulkea pisteen M1 i kautta kohtisuorassa suoraa a vastaan. Tietyn pisteen projektiosta suoralla a tulee piste suoralla a ja taso α. Tämän perusteella otamme käyttöön algoritmin pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektion koordinaattien arvolle suoralla a:lla:

Kirjoitamme muistiin suoran a kohdistuksen (koska sitä ei ole määritelty). Tämän tehtävän ymmärtämiseksi sinun on perehdyttävä tähän artikkeliin suorien viivojen kohdistamisesta avaruudessa;

Voimmeko säilyttää tasaisuuden?

Tiedämme pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektion koordinaatit suoralla a - siellä tulee olemaan suoran α poikkiviivan pisteen ja α tason koordinaatit. (apua varten - artikkeli "Tason suoran poikkiviivan pisteen koordinaatit").

peppu 3

Kun on annettu suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y z , i in nіy - piste М 1 (0, 1, - 1) i suora a . Suora a vastaa kanonista kohdistusta: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Määritä pisteen M1 projektion koordinaatit suoralla a.

Ratkaisu

Vykoristovuёmo vkazyvshee-algoritmi. Rivnyannya suora viiva, ensimmäinen vaihe ohitetaan algoritmilla. Kirjataan muistiin alueen α kohdistus. Joille alueen normaalivektorin koordinaatit ovat tärkeitä. Annetuista suoran a kanonisista kohdistuksista näemme suoran suoran vektorin koordinaatit: (3, - 4, 1), joka on alueen α normaalivektori, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan a. Todi n → = (3, - 4, 1) on alueen α normaalivektori. Tässä järjestyksessä α matimen taso näytti yhtä suurelta:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Nyt tiedämme suoran ja tason α poikkipisteen koordinaatit, joille on kaksi tapaa:

1. Kanonisen kohdistuksen tehtävien avulla voit kohdistaa kaksi päällekkäistä tasoa, jotka edustavat suoraa a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Tietää suoran 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 ja tasojen 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 poikkiviivan pisteet

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

klo tähän nimenomaiseen tyyppiin vikoristovuєmo Cramerin menetelmällä, mutta voit zasosuvat, onko se ruskea:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ 0-78 = 0

Tällä tavalla tietyn pisteen projektio suoralla a on piste, jonka koordinaatit (1, 2, 0)

1. Kanonisten kohdistusten tehtävien perusteella on helppo kirjoittaa muistiin suoran parametrinen kohdistus avaruuteen:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Kuvitellaan tason tasolla, joka voidaan nähdä 3 x - 4 y + z + 5 = 0 x , y і z їх lausekkeen sijaan parametrin kautta:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Lasketaan suoran a poikkipisteen ja suoran a parametristen kohdistusten takana olevan tason α koordinaatit kohdassa λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Siten tietyn pisteen projektiolla suoralla a on koordinaatit (1, 2, 0)

Ehdotus: (1 , 2 , 0)

On merkittävää, että pisteen M 1 (x 1, y 1, z 1) projektiot koordinaattiviivoilla O x , O y ja O z ovat pisteitä, joiden koordinaatit ovat (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) ja (0 , 0 , z 1) on voimassa.

Miten muistit tekstissä olevan anteeksipyynnön, ole ystävällinen, katso se ja paina Ctrl + Enter

auttaa jotakuta toista online-laskin voit tietää pisteen projektion suoralla. Toivomme, että voimme raportoida ratkaisusta selityksineen. Laskeaksesi pisteen projektion suoralla, aseta etäisyys (2- näyttää suoralta tasossa, 3- näyttää suoralta avaruudessa), syötä pisteen koordinaatit Kohdistuselementti ruutuun ja paina "Verishity"-painiketta.

×

Advance

Tyhjennetäänkö kaikki huoneet?

Sulje Tyhjennä

Ohjeet tietojen syöttämiseen. Numerot syötetään kokonaislukuina (käytä: 487, 5, -7623 ohut.), kymmeneslukuina (esim. 67., 102,54 ohuina.) tai murtolukuina. Murtoluku on kirjoitettava, kun näkyy a / b, de a і b (b> 0) tsіlі tai kymmeniä numeroita. Levitä 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 ohut.

Pisteen projektio suoralle - teoria, sovelle sitä ratkaisua

Katsotaanpa tehtävää kahden ja kolmen maailman laajuuksilla.

1. Annetaan kahden maailman avaruudelle piste M 0 (x 0 , y 0) olen suora L:

Algoritmi pisteen projisoimiseksi suoralle viivalle L kostaa näin:

• kehota suoraan L 1 kulkea pisteen läpi M 0 i kohtisuorassa suoraa vastaan L,
• tietää suorien viivojen jännevälin Lі L 1 (kohta M 1)

Suora viiva kulkemaan pisteen läpi M 0 (x 0 , y 0) voi näyttää tältä:

Vіdkrієmo kumartaa

(5)

Oletetaan arvo xі y klo 4):

de x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".

Esimerkki 1. Tunne pisteen projektio M 0 (1, 3) suoraan

Tobto. m=4, s=5. Suoran (6) kohdistuksesta on selvää, että se kulkee pisteen läpi M" (x", y")=(2, −3)(joka on helppo muuttaa - arvon (6) korvaaminen saa identiteetiksi 0=0), niin. x"=2, y"=-3. Oletetaan arvo m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5"):

2. Olkoon trivi-maailmalliselle avaruudelle piste M 0 (x 0 , y 0 , z 0) olen suora L:

Pisteen projektion merkitys suoralla viivalla L kostaa näin:

• kannustaa asuntoa α , kulkea pisteen läpi M 0 i kohtisuorassa suoraa vastaan L,
• tietää verkkokalvon alueen α minä suoraan L(täplä M 1)

Tasaisuus koneen läpi pisteen M 0 (x 0 , y 0 , z 0) voi näyttää tältä:

Vіdkrієmo kumartaa

Oletetaan arvo xі y noin 9):

Pisteen projisointi suoralle on helppo tehdä, ja muutamassa viimeisessä operaatiossa nollaläheisyys lasketaan pisteen projektioksi pistemäisellä suoralla. Katsotaanpa näitä yhteisen tehtävän näkökohtia.

Anna sen mennä suoraan

minä täplän. Tärkeää on, että suorien viivojen w vektori voi olla melko pitkä. Suora kulkee pisteen kautta, jossa parametri t on yhtä suuri kuin nolla ja vektori w voi olla suora. On tarpeen tietää pisteen projektio suoralla. On vain yksi ratkaisu. Indusoimme vektorin suoran pisteestä pisteeseen ja laskennallisesti skalaarisen jäykän vektorin ja suoran w vektorin. Kuvassa 4.5.1, joka esittää viivojen w suoran vektorin, annettu piste. Jos jaetaan tämä skalaarilaajennus vektorin w pituudeksi, otetaan pois vektorin projektion pituus suoralle viivalle.

Riisi. 4.5.1. Pisteen projektio suoralle viivalle

Jos jaetaan skalaarilaajennus vektorin w neliöllä, otetaan pois vektorin projektio suoralla vektorin w laajennuksen yksiköissä, joten otetaan parametri t pisteen projektiolle suora viiva.

Siten suoran pisteen projektioparametri ja projektion sädevektori ; laskea kaavoilla

(4.5.3)

Jos vektorin w pituus on 1, niin (4.5.2) pisteestä ei tarvitse vähentää jyrkässä rinteessä olevaa projektiota, vaan se lasketaan vektorin pituudeksi. Voit laskea etäisyyden pisteestä її-projektioon suoralla viivalla, ei laskemalla pisteen projektiota, vaan nopeuttamalla kaavaa

Okrem putoaa.

Pisteen projektio analyyttisille käyrälle voidaan tuntea myös ilman numeeristen menetelmien tuntemusta. Esimerkiksi, jotta tietää pisteen projektio loppuleikkauksessa, on tarpeen kääntää projisoitava piste päätyleikkauksen koordinaatistoon, heijastaa piste päätyleikkauksen tasolle ja tietää annetun pisteen kaksiulotteisen projektion parametri.

Zagalny vpadok.

Olkoon tarpeellista tietää kaikki pisteen projektiot kaarevalla viivalla.

(4.5.5)

Tavoitteena on kostaa yksi tuntematon arvo - parametri t. Kuten jo sanottiin, minkä tehtävän suorittaminen jaettiin kahteen vaiheeseen. Ensimmäisessä vaiheessa tarkoitamme käyrän pisteen projektioiden parametrien nolla-approksimaatiota ja toisessa vaiheessa tiedämme käyrän parametrien tarkat arvot, jotka osoittavat tietyn pisteen projektiot. käyrällä z-viivalle